数学圆锥曲线综合问题(二) 课后练习一及详解

圆锥曲线综合问题(二)
题一：设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-则抛物线的方程是( )
A ．28y x =
B ．28y x =-
C ．24y x =-
D ．24y x = 题二：已知抛物线24x y =上一点p 到焦点F 的距离是5，则点p 的横坐标是 .
题三：已知抛物线C ：212
x
y =，过焦点F 的动直线l 交抛物线于A B 、两点，O 为坐标原点. (1)求证：OA OB ⋅－－－→→为定值；
(2)设M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，
证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.
题四：已知抛物线2:2C y px =的焦点坐标为(1,0)F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，直线AO ，BO 分别与直线m ：2x =-相交于M N ,两点.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值.
题五：已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l ：2x =．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设O 为坐标原点，F 是椭圆的右焦点，点M 是直线l 上的动点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值．
题六：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过31,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． (1)求椭圆C 的方程；
(2)设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
圆锥曲线综合问题(二)
课后练习参考答案
题一：答案：A
详解：抛物线的准线方程为2x =-，∴抛物线的开口向右.
设抛物线的标准方程为2
2y px =，则其准线方程为2p x =-
∴22
p -=-解得4p = ∴抛物线的标准方程为28y
x =.故选A.
题二：答案：±4 详解：根据抛物线的定义可知
p 到焦点的距离为5，则其到准线距离也为5． 又∵抛物线的准线为1y
=-，∴p 点的纵坐标为514-=． 将4y = 代入抛物线方程得：244x ⨯=，解得4x =±，故答案为：4±． 题三：答案：(1)364
-；(2)见详解 详解：(1)设直线l 的方程为：18
y kx =+，()()1122,,,A x y B x y . 由2121
8x y y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得：2110264x kx --=， ∴ 12164
x x =- ∴()2121212123464
OA OB x x y y x x x x =+=+=-－－－→→为定值 (2)由(1)得：点M 的横坐标为4k ，∴点N 的横坐标为 4
k ∵4y x '= ∴4|k x y k ='=，∴平行
另解：设()00,N x y ，则12024x x k x +==，220028
k y x == 设抛物线C 在点N 处的切线为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭
由228412k k y m x x y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得：22
02816m mk k x x -+-= ∴2
2404816m mk k ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
△，解得：m k =，∴平行 题四：答案：(1)x y 42=；(2)14
ABO MNO S S ∆∆= 详解：(1)由焦点坐标为(1,0)，可知
12
p =，所以2=p 所以抛物线C 的方程为x y 42= (2)当直线l 垂直于x 轴时，△ABO 与△MNO 相似， 所以21()24
ABO MNO OF S S ∆∆==，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为(1)y k x =- 设(2,)M M y -，(2,)N N y -，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
解 2(1)4y k x y x
=-⎧⎨=⎩ 整理得 2222(42)0k x k x k -++=，所以121x x ⋅= 121sin 121224
sin 2ABO MNO
AO BO AOB S AO BO x x S MO NO MO NO MON ∆∆⋅⋅⋅∠∴==⋅=⋅=⋅⋅⋅∠， 综上 14
ABO MNO S S ∆∆= 题五：答案：(1)2
212
x y +=；
(2)ON = 详解：(1)∵椭圆C 的短轴长为2，椭圆C 的一条准线为l ：2x =，
∴不妨设椭圆C 的方程为2221x y a +=．∴22
12a c c c
+==， 即1c =．∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=． (2) F (1，0)，右准线为l ：2x =， 设00(,)N x y ，
则直线FN 的斜率为001FN y k x =-，直线ON 的斜率为00
CN y k x =， ∵FN ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为00
1OM x k y -=-， ∴直线OM 的方程为：001x y x y -=-
，点M 的坐标为002(1)2,x M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∴直线MN 的斜率为()0000212
MN x y y k x -+=-． ∵MN ⊥ON ，∴1MN CN k k =-， ∴()000000
2112x y y y x x -+=--， ∴()()20
0002120y x x x +-
+-=，即22002x y +=．∴ON =
题六：答案：(1)22
143
x y +=.；(2)内切 详解： (1)∵椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点31,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则 221914a b
+=，且22214a b a -=∴224,3a b ==， ∴椭圆C 的方程为22
143
x
y += (2)∵224,3a b ==，∴1c ==， ∴椭圆C 的左焦点F 的坐标为()1,0-．
以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为224x
y +=，圆心坐标是()0,0 ，
半径为2. 以PF 为直径的圆的方程为22325416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，圆心坐标是30,4⎛⎫
⎪⎝⎭
，半径为54. 35244==-，故以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切。