2021高三数学北师大版(理)一轮课后限时集训：66 二项式定理

二项式定理
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一、选择题
1．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2n C n n＝729，则C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n等于()
A．63B．64
C．31D．32
A[逆用二项式定理得C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2n C n n＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝26－C0n＝64－1＝63.] 2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()
A．12 B．16
C．20 D．24
A[展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12.]
3．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()
A．212B．211
C．210D．29
D[因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C3n＝C7n，解得n ＝10.根据二项式系数和的相关公式得，奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选D.]
4．在(x－2)6展开式中，二项式系数的最大值为a，含x5项的系数为b，则a b
＝
()
A.5
3B．－
5
3
C.35 D ．－35
B [由条件知a ＝
C 36＝20，b ＝C 16(－2)1
＝－12，
∴a b ＝－5
3，故选B.]
5．已知⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项
为( )
A ．－80
B ．－40
C ．40
D ．80
D [令x ＝1，得展开式的各项系数和为⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－115＝1＋a ，∴1＋a ＝2，
∴a ＝1，
∴⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5＋1x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x 5， 所求展开式中常数项为⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的常数项与x 项的系数和，
⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(－1)r (1x )r ＝(－1)r 25－r C r 5x 5－2r
， 令5－2r ＝1得r ＝2；令5－2r ＝0，无整数解， ∴展开式中常数项为8C 25＝80，故选D.]
6．(2019·武汉模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －16的展开式中，含x 5项的系数为( )
A ．6
B ．－6
C ．24
D ．－24
B [由⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －16＝
C 06⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 6－C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5＋C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4＋…－C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋C 66，可知只有－C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5的展开式中含有x 5，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x －16的展开式中含x 5
项的系数为－C 05C 16＝－6，故选B.]
7．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝( ) A ．284 B ．356 C ．364
D ．378
C [令x ＝0，则a 0＝1；
令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， ① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ② ①②两式左右分别相加，
得2(a 0＋a 2＋…＋a 12)＝36＋1＝730， 所以a 0＋a 2＋…＋a 12＝365，
又a 0＝1，所以a 2＋a 4＋…＋a 12＝364.] 二、填空题
8．(2017·山东高考)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝________.
4 [(1＋3x )n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )r ，令r ＝2，得T 3＝9C 2n x 2，由题
意得9C 2n ＝54，解得n ＝4.]
9．(1＋x ＋x 2)(1＋x )5的展开式中x 4的系数为________(用数字作答)．
25 [当第一个因式中的项为1时，x 4的系数为C 45，当第一个因式中的项为x 时，x 4的系数为C 35，当第一个因式中的项为x 2时，x 4的系数为C 25，则展开式中x 4的系数为C 45＋C 35＋C 25＝25.]
10．(2019·江苏高考改编)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ≥4，n ∈N
＋
.已知a 23＝2a 2a 4，则n 的值为________．
5 [因为(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n
，n ≥4， 所以a 2 ＝C 2n ＝
n (n －1)2，a 3 ＝ C 3
n ＝n (n －1)(n －2)6
， a 4＝C 4n ＝n (n －1)(n －2)(n －3)
24
.
因为
a 23＝2a 2a 4，所以⎣⎢
⎡
⎦
⎥⎤n (n －1)(n －2)62
＝2×n (n －1)2×n (n －1)(n －2)(n －3)24，
解得n ＝5.]
1．(2019·威海模拟)在1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋(1＋x )4＋(1＋x )5的展开式中，含x 2项的系数是( )
A ．10
B ．15
C ．20
D ．25
C [含x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 2
5＝20.]
2．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，
a k(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是()
A．5 B．6
C．7 D．8
B[由二项式定理知a n＝C n－1
(n＝1,2,3，…，n)．又(x＋1)10展开式中二项式
10
系数最大项是第6项，∴a6＝C510，则k的最大值为6.]
3．已知(1－2x)2 019＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a2 018(x－2)2 018＋a2 019(x －2)2 019(x∈R)，则a1－2a2＋3a3－…－2 018a2 018＋2 019a2 019＝() A．－2 019 B．2 019
C．－4 038 D．0
C[因为(1－2x)2 019＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a2 018(x－2)2 018＋a2
(x－2)2 019(x∈R)，两边分别对x求导可得－2 019×2×(2x－1)2 018＝a1＋2a2(x－019
2)＋…＋2 018a2 018(x－2)2 017＋2 019a2 019(x－2)2 018(x∈R)，令x＝1得－4 038＝a1－2a2＋…－2 018a2 018＋2 019a2 019，故选C.]
4．(2019·长沙模拟)若x10－x5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a5＝________.
251[x10－x5＝[(x－1)＋1]10－[(x－1)＋1]5，则a5＝C510－C05＝252－1＝251.]
1．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)．若a＝C020＋C120·2＋C220·22＋…＋C2020·220, a≡b(mod 10)，则b的值可以是()
A．2 011 B．2 012
C．2 013 D．2 014
A[因为a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C0101010－C110109＋…－C01010＋1，所以a被10除所得的余数为1.观察各选项，知2011被10除得的余数是1，故选A.]
2．在(x＋y)n的展开式中，若第7项系数最大，则n的值可能等于________．11,12,13[根据题意，分三种情况：①若仅T7系数最大，则共有13项，n ＝12；②若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n＝11；③若T7与T8系数
相等且最大，则共有14项，n＝13.所以n的值可能等于11,12,13.]。