【三维设计,广东(文)人教版】高考数学第一轮复习考案：第42课 等差数列课件 文

∵ k N* ，∴ k 7 ．
【变式】（2012 北京模拟）在等差数列{an}中，首项 a1 0, 公差 d 0 ，若
ak a1 a2 a3 a7 ，则 k （ ）
A． 22
B． 23
C． 24
D． 25
【答案】A
【解析】 ak a1 a2 a3
a7
7a1
76 2
d
21d a1 (22 1)d ，
5 项和 S5 =（
A．7
） B．15
C．20 D．25
【答案】B
【解析】∵ a2 1， a4 5 ，∴ a1 a5 a2 a4 6 ，
∴ S5
5(a1 2
a5 )
5(a2 2
a4 )
5 2
6
15．
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 11:16:05 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/182021/9/182021/9/18Sep-2118-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/182021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021
66
6 2 24
∴ n 12或13 时， S n 有最大值，最大值为 130．
【变式】（2012 浙江高考）设 Sn 是公差为 d (d 0) 的无穷等差数列{an}的前 n 项
和，则下列命题错误的是（ ）
A．若 d 0 ，则数列{Sn} 有最大项 B．若数列{Sn} 有最大项，则 d 0 C．若数列{Sn} 是递增数列，则对任意 n N* ，均有 Sn 0 D． 若对任意 n N* ，均有 Sn 0 ，则数列{Sn} 是递增数列
考纲要求
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式．
知识梳理
1．等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数
d ，这个数列就叫做等差数列，常数 d 称为等差数列的公差．
2．等差数列的通项公式
⑴原型结构式： an a1 (n 1)d ．
⑵变形结构式： an am (nm)d (n, m N*) ．
（）
A．12
B．16
C． 20
D． 24
【答案】B
【解析】∵ a4 a8 (a1 3d ) (a1 7d ) 2a1 10d, a2 a10 (a1 d ) (a1 9d ) 2a1 10d ，
∴ a2 a10 a4 a8 16 ．
3．（2012 重庆高考）在等差数列{an}中，a2 1，a4 5 则{an}的前
A．160
B．180
C． 200
）
D． 220
【答案】B
【解析】∵ a1 a2 a3 24 ，
∴ 3a2 24 ，即 a2 8 ．
∴
S20
20(a1 2
a20 )
10(a1
a20 )
10(a2
a19 )
180
．
典例剖析
考点1 等差数列基本运算
【例 1】（2011 福建高考）已知等差数列{an } 中， a1 1， a3 3 ． （1）求数列{an } 的通项公式； （2）若数列{an }的前 k 项和 Sk 35 ，求 k 的值．
【答案】C 【解析】选项 C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．
满足数列{S n}是递增数列，但是 S n＞0 不成立．
归纳反思
1．注意公式的灵活运用，如：
an am (n m)d ， d an am (n m, n, m N ) ，
nm S2n1 (2n 1)an 等． 2．等差数列的单调性由公差 d 确定： 当 d 0 时，数列递增； 当 d 0 时，数列递减．
⑵ d an am (n m, n, m N ) ． nm
⑶ Sn , S2n Sn , S3n S2n 仍是等差数列． ⑷ S2n1 (2n 1)an ．
⑸若
n
为偶数，则
S偶
S奇
n 2
d；Biblioteka 若 n 为奇数，则 S奇 S偶 an1 (中间项)．
2
⑹两个等差数列
{an
}
、{bn
}
的前
n
3． 等差数列的判定方法
⑴定义法：即证明 an1 an d （ d 是常数， n N* ） ⑵中项公式法：即证明 2an1 an an2 (n N * ) ．
5．等差数列的前 n 项和公式
Sn
n(a1 an ) 2
＝
na1
n(n1) 2
d
．
6．等差数列的重要性质
⑴若 m n p q ，则 amanapaq ．
【解析】（1）设等差数列{an }的公差 d ，则 an a1 n 1 d ，
∴ a3 3 a1 2d 1 2d ，∴ d 2 ．
an 1 n 12 3 2n ．
（2）∵ Sk
k a1 ak
2
k
1 3 2k
2
k 2 k 35，
∴ k2 2k 35 0 ，解得 k 7 或 k 5．
∴ k 22 ．
考点2 等差数列的判定
【例 2】已知数列{an}中， a1 5 且 an 2an1 2n 1 （ n 2 且 n N* ）．
（1）求证数列
an 2n
1
为等差数列；
（2）求数列 {an } 的通项公式．
【解析】（1）∵ a1 5 ，当 n 2 时，
an 1 2n
an1 1 2n1
(2an1
2n 2n
1)
1
an1 1 2n1
1，
∴
an 2n
1
是以
a1 2
1
2
为首项，以1
为公差的等差数列．
（2）由（1）知
an 1 2n
2
(n
1)
1
，
∴ an (n 1)2n 1．
【变式】已知数列{an} 中，a3
2, a7
1
，若
1 an
1
成等差数列，则
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/182021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月18日星期六2021/9/182021/9/182021/9/18 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/182021/9/18September 18, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/182021/9/182021/9/182021/9/18
项和分别为
S
n
、Tn
，则
an bn
S 2 n 1 T2 n 1
．
基础自测
1．（2012 福建高考）等差数列{an}中，a1 a5 10, a4 7 ，则数列{an}
的公差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】∵ a3
a1 a5 2
5 ，∴ d
a4
a3
2．
2．（2012 辽宁高考）在等差数列{an}中，已知 a4 a8 16 ，则 a2 a10
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
4．（2012 韶关一模）设数列{an} 是等差数列， a1 a2 a3 24 ，
a19 26 ， 则此数列{an}前 20 项和等于 （
a11
等于（ ）
A． 0
B． 1 2
C． 2 3
D． 2
【答案】B
【解析】设 bn
1 an
1
，则
b3
b11
2b7
，
∴1 1 2， a3 1 a11 1 a7 1
∴
1 2 1
1 a11 1
2 11
，∴
a11
1 2
．
考点3 等差数列前n项和的最值
【例 3】在等差数列{an} 中，已知 a1 20 ，前 n 项和为 S n ，且 S10 S15 ，
求当 n 取何值时 S n 有最大值，并求出它的最大值．
【解析】（1）∵在等差数列{an} 中， a1 20 ， S10 S15 ，
∴10a1
10 9 2
d
15a1
1514 2
d
，
∴
a1
12d
，
d
5 3
，
∴
Sn
20n
n(n 1) 2
(
5) 3
5 n2 125 n 5 (n 25)2 3125 ，