翼教版八年级数学上册难点探究专题动态变化中的三角形全等

难点探究专题：动态变化中的三角形全等
——以“静”制“动”，不离其宗
◆类型一动点变化
1．如图甲，已知AB＝AC，M是BC的中点，点D是线段AM上的动点．
(1)求证：BD＝CD；
(2)如图乙，若点D在线段MA的延长线上，BD与CD还相等吗？为什么？
(3)如图丙，若M不是BC的中点，且BM＝CM，则(1)中的结论还成立吗？为什么？
◆类型二图形变换
一、平移
2．如图甲，已知A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且∠A＝∠C.
(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；
(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．
二、旋转
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、F分别在AB、AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.
(1)求证：△BCD≌△FCE；
(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．
三、翻折
4．(启东月考)如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝1
2
∠
DAB .试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．【方法5】
参考答案与解析
1．(1)证明：∵M 是BC 的中点，∴BM ＝CM .在△ABM 和△ACM 中，∵AB ＝AC ，AM ＝AM ，BM ＝CM, ∴△ABM
≌△ACM (SSS)，∴∠BAM ＝∠CAM . 在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，
∴△ABD ≌△ACD (SAS)，∴BD ＝CD ；
(2)解：相等．理由如下：由(1)得∠BAM ＝∠CAM ，∴∠BAD ＝∠CAD .在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，
∴△ABD ≌△ACD (SAS)，∴BD ＝CD ；
(3)解：成立．理由如下：在△ABM 和△ACM 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AC ，AM ＝AM ，BM ＝CM ，
∴△ABM ≌△ACM (SSS)，∴∠BAM ＝∠CAM . 在
△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，
∴△ABD ≌△ACD (SAS)，∴BD ＝CD .
2．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BFA ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋
EF ，即AF ＝CE .在△ABF 和△CDE 中，
∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠A ＝∠C ，∠BFA ＝∠DEC ，AF ＝CE ，
∴△ABF ≌△CDE ，∴BF ＝DE .在△BFO 和△DEO 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠BFO ＝∠DEO ，∠BOF ＝∠DOE ，BF ＝DE ，
∴△BFO ≌△
DOE (AAS)，∴OE ＝OF ；
(2)结论依然成立．理由如下：由AE ＝CF ，得AF ＝CE ，结合已知得Rt △ABF ≌Rt △CDE ，得BF ＝DE ，从而△BFO ≌△DEO ，∴FO ＝EO ，即结论依然成立．
3．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，
∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE .在△BCD 和△FCE 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，
∴△BCD ≌△FCE (SAS)；
(2)解：由(1)可知∠DCE ＝90°，△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E .∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.
4．解：DE ＋BF ＝EF .证明如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如图．∵将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝1
2∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠2＋∠3＝∠1＋∠4.∵∠5＝∠1，∴∠2
＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF .在△AGB 和△AED 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，
∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG
＝AE ，BG ＝DE .在△AGF 和△AEF 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，
∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF ＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .
易错专题：求二次函数的最值或函数值的范围
——类比各形式，突破给定范围求最值
◆类型一 没有限定自变量的取值范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为________．
2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法12】( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．－1
3．函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值． ◆类型二 限定自变量的取值范围求最值
4．在二次函数y ＝x 2－2x －3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是【方法12】( )
A ．0，－4
B ．0，－3
C ．－3，－4
D ．0，0
5．已知0≤x ≤3
2
，则函数y ＝x 2＋x ＋1( )
A ．有最小值34，但无最大值
B ．有最小值34
，有最大值1
C ．有最小值1，有最大值19
4
D ．无最小值，也无最大值
6．已知二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1，当－5≤x ≤0时，它的最大值与最小值分别是( )
A ．1，－29
B ．3，－29
C ．3，1
D ．1，－3
7．已知0≤x ≤1
2，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是________．
◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围
8．从y ＝2x 2－3的图像上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是( )
A ．－1≤y ≤5
B ．－5≤y ≤5
C ．－3≤y ≤5
D ．－2≤y ≤1
9．(贵阳中考)已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是( )
A ．y ≥3
B ．y ≤3
C ．y ＞3
D ．y ＜3
10．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图像如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值C
A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m
11．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是______________．
◆类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值
12．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为( )
A．－2 B．1 C．2 D．9
13．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( )
A．3 B．－1 C．4 D．4或－1
14．已知y＝－x2＋(a－3)x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是( )
A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤5
15．已知a≥4，当1≤x≤3时，函数y＝2x2－3ax＋4的最小值是－23，则a＝________.
16．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图像关于直线x＝－2对称，已知当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____________.
参考答案与解析
1．5 2.C
3．解：∵y ＝x (2－3x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋13，∴该抛物线的顶点坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，13.∵－3＜0，∴该抛物线的开口方向向下，∴当x ＝13时，该函数有最大值，最大值是13
. 4．A 5.C
6．B 解析：首先看自变量的取值范围－5≤x ≤0是否包含了顶点的横坐标．由于y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x ＋1)2＋3，其图像的顶点坐标为(－1，3)，所以在－5≤x ≤0范围内，当x ＝－1时，y 取最大值，最大值为3；当x ＝－5时，y 取最小值，最小值为y ＝－2×(－5)2－4×(－5)＋1＝－29.故选B.
7．－2.5 解析：∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，当x ＜2，y
随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤12，∴当x ＝12时，y 取最大值，y 最大＝－2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－22＋2＝－2.5. 8．C
9．B 解析：当x ＝2时，y ＝－4＋4＋3＝3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ≥2时，y 的取值范围是y ≤3.故选B.
10．C 解析：当x ＝a 时，y ＜0，则a 的范围是x 1＜a ＜x 2，又对称轴是直线x ＝12
，所以a －1＜0.当x ＜12
时，y 随x 的增大而减小，当x ＝0时函数值是m .因此当x ＝a －1＜0时，函数值y 一定大于m . 11．－72≤y ≤21 解析：二次函数y ＝2x 2－6x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝32
.在0≤x ≤5范围内，当x ＝32时，y 取最小值，y 最小＝－72；当x ＝5时，y 取最大值，y 最大＝21.所以当0≤x ≤5时，y 的取值范围是－72≤y ≤21.
12．A
13．C 解析：∵二次函数y ＝ax 2
＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a ＝4a （a －1）－42
4a ＝2，整理得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C.
14．D 解析：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x ≤5内时，∵在1≤x ≤5时，y 在x ＝1时取得最大值，∴对称轴一定在1≤x ≤5的左边，∴对称轴直线x ＝a －32＜1，即a ＜5；第二种情况：当对称轴在1
≤x ≤5内时，∵－1<0，∴对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为直线x ＝1，∴a －32＝1，即a ＝5.
综上所述，a≤5.故选D.
15．5 解析：抛物线的对称轴为直线x＝3a
4
.∵a≥4，∴x＝
3a
4
≥3.∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧，
y随x的增大而减小，∴当1≤x≤3时，函数取最小值－23时，x＝3.把x＝3代入y＝2x2－3ax＋4中，得18－9a＋4＝－23，解得a＝5.
16．－4≤m≤－2 解析：∵二次函数图像关于直线x＝－2对称，∴－a
2×1
＝－2，∴a＝4，∴y＝x2＋4x ＋5＝(x＋2)2＋1.当y＝1时，x＝－2；当y＝5时，x＝0或－4.∵当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，∴－4≤m≤－2.。