标定相关计算题

标定相关计算题
当涉及到标定问题时，以下是两个与无人机摄像头标定相关的计算题：
问题1：相机的焦距
已知在标定图像上测量到的真实物体的宽度为5厘米，而在图像中测量到的对应物体的像素宽度为200个像素。

如果相机的焦距为30毫米，求相机的视场角。

解答：使用相似三角形原理，可以得到以下关系：焦距/ 物距 = 图像长度 / 物体长度
将已知值代入公式： 30毫米 / 5000厘米 = 图像长度 / 5厘米
得到图像长度为：图像长度 = 30毫米 * 5厘米 / 5000厘米= 0.03毫米
相机的视场角可以通过以下公式计算：视场角= 2 * arctan(图像长度 / (2 * 焦距))
将已知值代入公式：视场角 = 2 * arctan(0.03毫米 / (2 * 30毫米))
用计算器计算得到视场角约为：视场角≈ 0.029弧度
问题2：图像失真校正
针对一个无人机摄像头，已经通过棋盘格图像进行了相机标定，并得到了相机的内参矩阵K 以及畸变系数D。

现在需要对一张未失真校正的图像进行失真校正。

已知相机内参矩阵 K 为： K = [[f_x, 0, c_x], [0, f_y, c_y], [0, 0, 1]]
畸变系数 D 为： D = [k_1, k_2, p_1, p_2, k_3]
假设需要校正的点在图像坐标系下为 P = [u, v, 1]，经过失真校正后的点为 P' = [u', v', 1]。

请推导出计算 P' 的表达式。

解答：在失真校正时，首先需要将图像坐标系中的点P 转换到归一化平面坐标系（Normalized Image Coordinates）中，可以通过以下公式实现： P_norm = inv(K) * P
得到 P_norm 后，需要对其进行畸变矫正，通过以下公式实现： P_distorted = distort(P_norm, D)
最后，将畸变校正后的点P_distorted 转换回图像坐标系，通过以下公式实现： P' = K * P_distorted
综上所述，将上述公式带入可以得到计算P' 的表达式：P' = K * distort(inv(K) * P, D)
这是一个标定相关的计算题，其中涉及到相机内参矩阵K、畸变系数 D，还有畸变校正的步骤。