2.3 匀变速直线运动的规律(三) 学案(沪科版必修1)

2.3 匀变速直线运动的规律（三）
[学习目标定位] 1.进一步熟练掌握匀变速直线运动的两个基本公式和三个导出公式及其特点并能熟练应用其解决问题.2.能推导初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式.3.能熟练应用自由落体运动的规律解决问题．
1.匀变速直线运动的两个基本公式：
(1)速度公式：v t ＝v 0＋at ； (2)位移公式：s ＝v 0t ＋12
at 2. 2．匀变速直线运动的三个常用的导出公式：
(1)速度位移公式：v 2t －v 20＝2as .
(2)平均速度公式：①v ＝v t 2
，即某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度；②v ＝v 0＋v t 2
，即某段时间内的平均速度等于初、末速度的平均值． (3)在连续相等时间间隔T 内的位移之差为一恒定值，即Δs ＝aT 2.
3．自由落体运动的规律
(1)速度公式v t ＝gt .
(2)位移公式h ＝12
gt 2. (3)速度位移公式v 2t ＝2gh .
一、匀变速直线运动基本公式的应用
1．对于公式v t ＝v 0＋at 和s ＝v 0t ＋12
at 2，要理解好各个物理量的含义及其对应的关系．两个公式涉及5个量，原则上已知三个量可求另外两个量，可以解决所有的匀变速直线运动的问题．
2．解决运动学问题的基本思路为：审题→画过程草图→判断运动性质→选取正方向(或选取坐标轴)→选用公式列方程→求解方程，必要时对结果进行讨论．
例1 一个物体以v 0＝8 m/s 的初速度沿光滑斜面向上滑，加速度的大小为2 m/s 2，冲上最高点之后，又以相同的加速度往回运动．则( )
A ．1 s 末的速度大小为6 m/s
B ．3 s 末的速度为零
C ．2 s 内的位移大小是12 m
D ．5 s 内的位移大小是15 m
解析 由t ＝v t －v 0a
，物体冲上最高点的时间是4 s ，又根据v t ＝v 0＋at ，物体1 s 末的速度为6 m/s ，A 对，B 错．根据s ＝v 0t ＋12
at 2，物体2 s 内的位移是12 m,4 s 内的位移是16 m ，第5 s 内的位移是沿斜面向下的1 m ，所以5 s 内的位移是15 m ，C 、D 对．
答案 ACD
二、三个导出公式的应用
1．速度与位移的关系v 2t －v 20＝2as ，如果问题的已知量和未知量都不涉及时间，利用此式往
往会使问题变得简单．
2．与平均速度有关的公式有v ＝s t 和v ＝v t 2＝v 0＋v t 2.其中v ＝s t
普遍适用于各种运动，而v ＝v t 2＝v 0＋v t 2只适用于匀变速直线运动．利用v ＝s t 和v ＝v t 2
可以很轻松地求出中间时刻的瞬时速度．
3．匀变速直线运动中，任意连续相等的时间间隔T 内的位移差为常数，即s 2－s 1＝aT 2. 例2 一列火车做匀变速直线运动驶来，一人在轨道旁边观察火车运动，发现在相邻的两个10 s 内，火车从他跟前分别驶过8节车厢和6节车厢，每节车厢长8 m(相邻车厢连接处长度不计)，求：
(1)火车加速度的大小；
(2)这20 s 内中间时刻的瞬时速度；
(3)人刚开始观察时火车速度的大小．
解析 (1)由题知，火车做匀减速运动，设火车加速度大小为a ，人开始观察时火车速度大小为v 0，车厢长L ＝8 m ，则Δs ＝aT 2,8L －6L ＝a ×102，
解得a ＝2L 100＝2×8100
m/s 2＝0.16 m/s 2 (2)由于v t 2＝v ＝8L ＋6L 2T ＝14×820
m/s ＝5.6 m/s (3)由v t 22－v 20＝2·(－a )·8L 得v 0＝ v t 2
2＋16aL ＝7.2 m/s [还可以：由v t 2＝v 0－aT 得v 0＝v t 2
＋aT ＝(5.6＋0.16×10) m/s ＝7.2 m/s] 答案 (1)0.16 m/s 2 (2)5.6 m/s (3)7.2 m/s
三、初速度为零的匀变速直线运动的比例式
1．初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T )
(1)T 末、2T 末、3T 末、…、nT 末瞬时速度之比
v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n
(2)T 内、2T 内、3T 内、…、nT 内的位移之比
s 1∶s 2∶s 3∶…∶s n ＝12∶22∶32∶…∶n 2
(3)第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内、……，第n 个T 内位移之比
s Ⅰ∶s Ⅱ∶s Ⅲ∶…∶s n ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)
2．初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为s )
(1)通过前s 、前2s 、前3s 、…前ns 时的速度之比
v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n
(2)通过前s 、前2s 、前3s 、…前ns 的位移所用时间之比
t 1∶t 2∶t 3∶…∶t n ＝1∶2∶3∶…∶n
(3)通过连续相等的位移所用时间之比：t Ⅰ∶t Ⅱ∶t Ⅲ∶…∶t n ＝1∶(2－1)∶(3－
2)∶…∶(n －n －1)
注意 ①以上比例成立的条件是物体做初速度为零的匀加速直线运动．②对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化．
例3 一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时( )
A ．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…∶n
B ．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…∶n
C ．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
D ．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…
解析 设每节车厢为l ，由2as ＝v 2t 得第一节车厢经过观察者时v 1＝2al ，同理，第二节经过观察者时v 2＝2a ·2l ……第n 节经过观察者时，v n ＝2a ·nl ，所以有v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n ，选项A 正确．相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…，选项C 正确．
答案 AC
针对训练 做匀减速直线运动的物体经4 s 后停止，若在第1 s 内的位移是14 m ，则最后1 s 内的位移是( )
A ．3.5 m
B ．2 m
C ．1 m
D ．0
答案 B
解析 物体做匀减速直线运动至停止，可以把这个过程看做逆向的初速度为零的匀加速直线
运动，则相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7，所以由14 m 7＝s 11
得，所求位移s 1＝2 m. 四、自由落体运动
1．自由落体运动的基本规律
(1)速度公式：v t ＝gt .
(2)位移公式：h ＝12
gt 2. (3)速度位移公式：v 2t ＝2gh .
2．匀变速直线运动的其他规律，如平均速度公式、位移差公式、初速度为零的比例式同样
适用于自由落体运动．
注意 若分析自由落体运动过程中的一段，则该过程是初速度不为零的匀变速直线运动，相
应的速度公式和位移公式分别为v t ＝v 0＋gt 、h ＝v 0t ＋12
gt 2. 例4 如图1所示，悬挂着的一根长为15 m 的直杆AB ，在直杆正下方5 m 处有一个无底圆筒CD .若将悬线剪断，直杆通过圆筒所用的时间为2 s ，求无底圆筒的竖直长度(g 取10 m/s 2)．
图1
解析 取杆的下端B 点为研究对象，
设下降5 m 时B 点的速度的大小为v 0，
根据v 2t ＝2gh 可得，
v 0＝2gh ＝2×10×5 m/s ＝10 m/s ，
直杆通过圆筒的时间是从B 点进入圆筒开始，到A 点离开圆筒时结束，设圆筒的竖直长度
为l ，则在2 s 内杆下降的距离为l ＋15，由位移公式可得，l ＋15＝v 0t ＋12
gt 2， 即l ＋15＝10×2＋12
×10×22， 解得l ＝25 m.
答案 25 m
1．熟练掌握匀变速直线运动的两个基本公式
(1)v t ＝v 0＋at (2)s ＝v 0t ＋12
at 2 2．对应题目中的场景灵活选用三个导出公式
(1)v 2t －v 20＝2as (2)v ＝v t 2＝v 0＋v t 2
(3)Δs ＝aT 2 3．会推导和应用初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式．
4．熟练应用匀变速直线运动的公式、推论以及比例式解决自由落体运动问题.
1.(初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式)如图2所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一颗子弹以水平速度v 射入．若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为( )
图2
A ．v 1∶v 2∶v 3＝3∶2∶1
B ．v 1∶v 2∶v 3＝3∶2∶1
C ．t 1∶t 2∶t 3＝1∶2∶ 3
D ．t 1∶t 2∶t 3＝(3－2)∶(2－1)∶1
答案 BD
解析 把子弹的运动看做逆向的初速度为零的匀加速运动．子弹由右向左依次“穿出”3个木块的速度之比为1∶2∶ 3.则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v 1∶v 2∶v 3＝3∶2∶1，故B 正确．子弹从右向左，通过每个木块的时间之比为1∶(2－1)∶(3－
2)．则子弹实际运动通过连续相等位移的时间之比为t 1∶t 2∶t 3＝(3－2)∶(2－1)∶1，故D 正确．
2．(导出公式的应用)超载、超速都会危及人民的生命安全．一货车严重超载后的总质量为50 t ，以54 km/h 的速率匀速行驶，发现红灯时司机刹车，货车即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s 2，而不超载时则为5 m/s 2.
(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？
(2)在一小学附近，限速为36 km/h ，若该货车不超载，仍以54 km/h 的速率匀速行驶，看见正前方有一小孩后立即刹车到停止，幸运的是没有发生车祸，问货车比不超速行驶至少多前进了多远？
答案 (1)45 m 22.5 m (2)12.5 m
解析 (1)货车刹车时的初速度v 0＝15 m/s ，末速度为0，加速度分别为2.5 m/s 2和5 m/s 2，
根据速度位移公式得：s ＝v 202a
代入数据解得超载时位移为s 1＝45 m
不超载时位移为s 2＝22.5 m
(2)不超速行驶时刹车后运动的最大距离为：s 3＝v ′2
2a
＝10 m 货车比不超速行驶时至少多前进了Δs ＝s 2－s 3＝12.5 m
3．(自由落体运动规律的应用)屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴己刚好到达地面，而第3滴与第2滴分别位于高为1 m 的窗户的上、下沿，如图3所示，问：
图3
(1)此屋檐离地面多高？
(2)滴水的时间间隔是多少？(g 取10 m/s 2)
答案 (1)3.2 m (2)0.2 s
解析 (1)根据比例关系，从上到下相邻水滴间距离之比为1∶3∶5∶7，而2、3两滴间距离
为1米，所以总高度H ＝1＋3＋5＋75
×1＝3.2 m. (2)根据h ＝12gt 2，代入数据得t ＝2H g ＝ 2×3.210
s ＝0.8 s. 滴水时间间隔Δt ＝t 4
＝0.2 s.。