2019-2020学年湖南省常德市高一上学期第一次月考数学试题

2019-2020学年湖南省常德市高一上学期第一次月考数学试
题
一、单选题
1．（2015秋•河西区期末）若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【答案】B
【解析】试题分析：直接由三角函数的象限符号取交集得答案． 解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y 轴正半轴上的角； 由cosα＜0，可得α为第二、第三及x 轴负半轴上的角． ∴取交集可得，α是第二象限角． 故选：B ．
【考点】三角函数值的符号． 2．函数()2tan 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期为（ ） A ．
4
π B ．
2
π C ．π
D ．2π
【答案】B
【解析】根据正切函数的周期公式T π
ω
=进行计算即可. 【详解】
函数()2tan 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的最小正周期为：2
ππT ω=
=， 故选：B. 【点睛】
本题考查正切函数的最小正周期，熟记公式是解题的关键，属于基础题.
3．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是( ) A ．B=A∩C B ．B ∪C=C
C ．A
C
D ．A=B=C
【答案】B
【解析】由集合A ，B ，C ，求出B 与C 的并集，判断A 与C 的包含关系，以及A ，B ，C 三者之间的关系即可． 【详解】
由题B ⊆A ，
∵A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}， ∴B ∪C ＝{小于90°的角}＝C ，即B ⊆C ，
则B 不一定等于A ∩C ，A 不一定是C 的真子集，三集合不一定相等， 故选：B ． 【点睛】
此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题 4．化简：AB OA OB +-=（ ） A ．0 B ．BA
C ．2AB
D ．2AB -
【答案】A
【解析】根据平面向量减法法则和相反向量的意义计算即可.
【详解】
()0AB OA OB AB OA OB AB BA +-=+-=+=，
故选：A. 【点睛】
本题主要考查平面向量减法的三角形法则，属于基础题.
5．在ΔABC 中,若3,4,60AB AC BAC ==∠=︒ ,则BA AC ⋅=（ ） A ．6 B ．4
C ．-6
D ．-4
【答案】C
【解析】向量的点乘，=cos ,BA AC BA AC BA AC ⋅⋅⋅<> 【详解】
1
==cos 3462
BA AC AB AC AB AC BAC ⋅-⋅-⋅⋅∠=-⨯⨯=-,选C.
【点睛】
向量的点乘，需要注意后面乘的是两向量的夹角的余弦值，本题如果直接计算的话，
BA AC 与的夹角为∠BAC 的补角
6．已知向量()1,2a =，向量()3,4b =-，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ） A ．2- B ．1-
C ．0
D ．2
【答案】B
【解析】由题意可得：()()2
213245,345a b b ⋅=⨯+⨯-=-=+-= ，
则：向量a 在向量b 方向上的投影为5
cos ,15a b a a b b ⋅-〈〉===- . 本题选择B 选项.
点睛：在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．设向量a ，b 的夹角为θ，当θ为锐角时，投影为正值；当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0；
7．已知1a =，2b =，且a 与b 夹角为60︒，则()
b b a ⋅-等于（ ）
A ．1
B ．3
C ．2-
D ．4
【答案】B
【解析】先根据平面向量的运算法则对式子展开，然后根据平面向量的数量积公式计算即可. 【详解】
因为1a =，2b =，且a 与b 夹角为60︒，
所以()
2
2412cos 60413b b a b a b b a b ⋅-=-⋅=-⋅=-⨯⨯=-=. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算，属于基础题. 8．函数sin 23y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象 （ ） A ．关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭对称 B ．关于直线4
x π
=
对称
C ．关于点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．关于直线3
x π
=
对称
【答案】A
【解析】分别求出函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的对称中心坐标和对称轴方程，然后对k 赋整
数值得出结果. 【详解】
对于函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，令()23x k k Z ππ+=∈，得26k x ππ=
-，k Z ∈， 令()23
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，得12
2
k x π
π
=
+
，k Z ∈， 所以，函数sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象的对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭
，对称轴为直线()12
2
k x k Z π
π
=
+
∈， 令1k =，可知函数sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
图象的一个对称中心坐标为,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选：A. 【点睛】
本题考查三角函数的对称中心和对称轴方程，一般先求出对称中心坐标和对称轴方程通式，然后通过赋值法得到，考查计算能力，属于基础题. 9．函数的单调递增区间是( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】.
则的单调减区间即为函数
的单调递增区间.
即.
解得
故选B.
10．要得到函数
的图象，只需将图象上的所有点（ ）
A ．向左平行移动个单位长度
B ．向右平行移动个单位长度
C ．向左平行移动个单位长度
D ．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【解析】试题分析：，向右平
移个单位得
.选D.
【考点】三角函数图像变换
【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝kπ(k ∈Z)；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔
φ＝kπ＋(k ∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝kπ＋(k ∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝kπ(k ∈Z). 11．已知函数()2sin 2
x
f x =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]-，则b a -的值不可能是（ ） A ．
43
π B ．2π
C ．
83
π D ．
143
π
【答案】D 【解析】【详解】
()2sin 2x
f x =的周期为4π，b a -不可能超过一个周期，如果超过一个周期值域为
[2,2]-，
1443
ππ>，所以b a -的值不可能是143π
12．函数y =A sin(ωx +φ)(A ＞0,ω＞0)的部分图象如图所示,则f (1)+f (2)+f (3)++f (11)的值
等于
A ．2
B ．22+
C ．222+
D ．222--
【答案】C
【解析】由图可知，2A =，函数的周期为2π
8T ω
==
，所以π
4
ω=
.φ=0.所以()π
2sin
4
f x x =.所()1f =()()()()92,2102,3f f f f ====()()112,4f f ==()0,5f =()2,6f -=2-
(),7f =()2,8f -=0.所以()()()()12311222f f f f +++
+=+故选C.
二、填空题
13．已知tan 3a =，则()2
sin cos a a +=_______
【答案】
85
【解析】将()2
sin cos a a +展开，然后分子分母同时除以2cos α，得到一个关于tan α的式子，代值计算即可. 【详解】
()
2
sin cos a a +
22sin 2sin cos cos αααα=++
22tan 2tan 1
tan 1ααα++=
+ 961
91
++=
+ 85
= . 故答案为：85
. 【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系以及“弦化切”的应用，属于常考题. 14．函数()sin 1f x ax b x =++，若()57f =，则()5f -=____ 【答案】5-
【解析】试题分析：()575sin5175sin56f a b a b =∴++=∴+=，
()55sin51615f a b -=--+=-+=-
【考点】函数求值
15．已知一个扇形周长为4，面积为1，则其中心角等于 (弧度). 【答案】2
【解析】试题分析：由周长为4，可得24r l +=，又由面积为1，可得
1
12
lr =，解得1,2r l ==，∴2l
r
α=
=. 【考点】弧度制下的扇形的相关公式.
16．已知向量()cos ,sin a θθ=，(3,1)b =，则a b -的最大值为_________ 【答案】3
【解析】对a b -先平方再开方，然后利用辅助角公式及三角函数的有界性计算即可.
【详解】
2
a b -2()a b =-22
2a a b b =-⋅
+5sin )θθ=-+54sin()3
πθ=-+，
又1sin()13
π
θ-≤+
≤，
∴2
19a b ≤-≤， ∴13a b ≤-≤.
所以a b -的最大值为3. 故答案为：3. 【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标运算、三角函数的性质以及辅助角公式，属于常考题.
三、解答题
17．已知向量()2,0a =-，()
1,3b =，求a b ⋅及向量a 与b 的夹角θ. 【答案】2a b ⋅=-；23
πθ=
【解析】根据平面向量数量积坐标计算公式直接计算即可. 【详解】 解：
向量()2,0a =-
，()
1,3b =,
∴2102a b ⋅=-⨯+=-，2a =，2b =，
∴1cos 2a b
a b
θ⋅=
=-，
又0θπ≤≤，
∴23
π
θ=
. 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算及夹角公式，熟记公式是解题的关键，属于常考题. 18．（1）求值()()2
2
sin 120cos180tan 45cos
330sin 210︒+︒+︒--︒+-︒
（2）化简()()
()()
sin cos tan 22tan sin f ππααπααπαπα⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
++
【答案】（1）
1
2
；（2）()cos f a α=-. 【解析】（1）先利用诱导公式化简成特殊角的三角函数，然后根据特殊角的三角函数值进行计算；
（2）直接用诱导公式化简即可. 【详解】
（1）()()2
2
sin 120cos180tan 45cos
330sin 210︒+︒+︒--︒+-︒
22sin 60(1)1cos 30sin 30︒︒︒=+-+-+
221
2
=-+ 12
=
； （2）()()
()()
sin cos tan 22tan sin f ππααπααπαπα⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
++ sin sin (tan )
2tan (sin )πααααα⎛⎫
--⋅⋅- ⎪⎝⎭=
⋅- cos sin (tan )
tan (sin )
ααααα-⋅-=
⋅-
cos α=-
【点睛】
本题考查三角函数式的化简，熟练运用诱导公式进行计算是关键，诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”，属于常考题.
19．平面内给定三个向量()3,2a =，()1,2b =-，()4,1c = （1）求322a b c +-；
（2）若()()
//2a kc a b +-，求实数k 的值. 【答案】（1
（2）8k
.
【解析】（1）先根据平面向量的坐标计算322a b c +-，再根据平面向量的模长计算公式进行计算；
（2）根据向量平行的条件即可得出.
【详解】
解：（1）∵()()()()3229,62,48,21,8a b c +-=+--=- ∴32265a b c +-=；
（2）∵()()()3,24,43,2a kc k k k k +=+=++，()27,2a b -=， 且()()
//2a kc a b +-
∴()()2437208k k k +-+=⇒=. 【点睛】
本题考查平面向量平行的坐标表示以及模长计算，熟记公式是解题的关键，属于基础题. 20．已知1a =，2b =
.
（1）若a 与b 的夹角为60︒，求a b +; （2）若a b -与a 垂直，求a 与b 的夹角.
【答案】（1（2）45︒. 【解析】（1）先计算出2
a b ⋅=，再根据()2
22
2a b a b a b a b +=+=++⋅代值
进行计算；
（2）设a 与b 的夹角为θ，若a b -与a 垂直，则有(
)
0a a b ⋅-=，由此求得cos θ的值，然后得出θ的值. 【详解】
解：（1）∵1a =，2b =
，a 与b 的夹角为60︒，
∴cos 601cos 60a b a b ⋅=︒=︒=
，
∴(
)
2
22
212a b a b
a b a b +=
+=++⋅=+= （2）设a 与b 的夹角为θ， ∵()
a b a -⊥，
∴()
0a a b ⋅-=即2
0a a b -⋅=，
∴211cos 0θ-= ，
∴cos 2
θ=
， 又∵0180θ︒<<︒， ∴45θ=︒，
即a 与b 的夹角为45︒. 【点睛】
本题考查向量的模的计算、向量垂直的条件以及向量夹角的计算，应正确理解并熟练运用公式进行计算，属于常考题.
21．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(－1，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝1. (1)求角A ； (2)若
221sin 2cos sin B
B B
+-＝－3，求tan C ．
【答案】(1)
3π;(2) . 【解析】试题分析：(1)由m ·
n ＝1，代入坐标用两角和与差的正弦公式化简,即可求出角A;(2)将已知条件用完全平方公式和平方差公式化简,可得
cos sin cos sin B B
B B
+-＝－3,分式上下
同除以cos B ,解出tan B ,又tan C ＝tan[π－(A ＋B )],利用诱导公式和两角和与差的正切公式化简,把tan A 和tan B 的值代入即可. 试题解析: (1)∵m ·n ＝1，
A －cos A ＝1,2(sin A ·2
－cos A ·12)＝1，
sin(A －
6π)＝1
2
， ∵0<A <π，－6π<A －6π<56π
，
∴A －6π＝6π.∴A ＝3π.
(2)由题知22
12sin cos cos sin B B
B B
+-＝－3， ∴()()()
2
cos sin cos sin cos sin B B B B B B ++-＝－3 ∴
cos sin cos sin B B
B B
+-＝－3
∴1tan 1tan B B
+-＝－3，∴tan B ＝2. ∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]
＝－tan(A ＋B )＝－tan tan 1tan tan A B A B +-＝85311
+. 点睛:本题考查平面向量数量积的坐标运算,同角三角函数的基本关系和两角和与差的正切公式. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数. 22．已知函数()()21,A 0,0,02f x Acos x πωϕωϕ⎛⎫=++>><< ⎪⎝⎭
的最大值为3，()f x
的图像的相邻两对称轴间的距离为2，与y 轴的交点坐标为(0,2).
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）设数列()n a f n =，n S 为其前n 项和，求100S .
【答案】（1）()22f x sin x π
⎛⎫=- ⎪⎝⎭
（2）100200S =. 【解析】（1）根据题中条件，先求出2A =，再由对称轴距离得到
22T =，求出4πω=，进而可求出结果；
（2）先由（1）得到()22n a f n sin n π⎛⎫==-
⎪⎝⎭，分别讨论n 为偶数与n 为奇数，即可求出结果.
【详解】
（1）∵()()22122A A f x cos x ωϕ=+++，依题意：1322A A ++=，∴2A =. 又22T =，∴242πω=，得4πω=.∴()222f x cos x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
. 令0x =得：222cos ϕ+=，又02π
ϕ<<，∴22π
ϕ=.
故函数()f x 的解析式为：()22f x sin x π
⎛⎫=- ⎪⎝⎭
（2）由()22f x sin x π
⎛⎫=- ⎪⎝⎭
知：()22n a f n sin n π⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 当n 为偶数时，()2f n =;
当n 为奇数时，()()()()()()135797994f f f f f f +=+=
=+=. ∴100250425200S =⨯+⨯=.
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，熟记相关知识点即可，属于常考题型.。