高考数学压轴数列的最值题型分类专题

高考数学压轴数列的最值题型分类专题

题型一、求数列n a 的最大项、最小项

求解数列的最大项最小项通常采用 ①利用均值不等式求最值

②解不等式组 1+≥n n a a ，1-≥n n a a ③构造函数利用单调性法

④根据数列项的正负与单调性求数列的最大最小

项.

1. 基本不等式法

例1.已知数列{}n a 的通项公式为156

2

+=

n n

a n ，，求{}的最大值n a

2.解不等式组

例1.已知数列{}n a 的通项公式为156

2

+=

n n

a n ，，求{}的最大值n a

变式练习：

（1） 已知数列}{n a 中，)2(8.0+=n a n n ，求数列的最大项.

（2）已知等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且15,1054≤≥T T ,求的最大值4a

（3）已知数列}{n a 中，)2(8.0+=n a n n ，求数列的最大项.

（4）已知数列}{n a 的通项公式n

n n n a 11

)

1(10+=，试求出该数列的最大项.

3.构造函数利用单调性 （若1n n a a +<，则此数列为递增数列，若1n n a a +>，则其为递减数列，若1n n a a +=，则其为常数列）

例 1 数列}{n a 中，2017

2016--=n n a n ,则该数列中的最大项与最小项分别是

__________

例2. 设函数)1x 0(log log )x (f 2x x 2<<-=数列{}n a 满足),2,1n (,n 2)2(f n

a

==

（1）求n a 。 （2）求{}n a 的最小项

变式练习： （1）已知)N n (98

n 97n a n

*∈--=则在数列{}n a 的前

30项中最大项和最小项

分别是_____。

（2） 已知)N n (n

1

31211S n *∈++++

= ，记1n 1n 2n S S a ++-=，求数列{}n a 的最小值。

（3） 已知数列)N n (156

n n a 2

n

*

∈+=

，则该数列中的最大项是第几项？

（4） 已知无穷数列{}n a 的通项公式n

n n 10)

1n (9a +=，试判断此数列是否

有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。

4.根据数列项的正负与单调性求数列的最大最小项.

例 1 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知3a =12，012>S ,013

n

n a S a S a S ,,,22

11 中哪一个最小？说明理由.

题型二、求n S 的最值

求解数列前n 项和主要有①单调性法②配方法③邻项比较法④二次函数图像法

结论：一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2

,n s pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是

一、单调性法

例1 等差数列{}n a 中，2338a a +=-，120a =，求n S 的最小值，以及相对应的n 的值．

例2.等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大

二、配方法

例1 数列{}n a 是递减等差数列，且3950a a +=，57616a a =·，试求数列{}n a 前n 项和n S 的最大值，并指出对应的n 的值．

例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值

例3.已知a n 是等差数列，其中a 1=31，公差d=﹣8，则数列a n 前n 项和的最大值为 ．

例4.在等差数列a n 中，a 1=25，S 17=S 9，求S n 的最大值．

三、邻项比较法

(1) 当1a >0,d<0时，满足1

0m m a a +≥⎧⎨≤⎩的项数m 使得m S 取最大.

(2) (2)当1a <0,d>0时，满足10

m m a a +≤⎧⎨

≥⎩的项数m 使得

取最小值。

例1.已知等差数列{}n a 中，1102029a S S ==，，问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值．

例2：已知等差数列{a n }的a n ＝24－3n ，则前多少项和最大？

例3.已知等差数列{b n }的通项b n ＝2n-17,则前多少项和最小?

题型三、求满足数列特定条件的n 的最值

例1．已知等差数列{}n a 中，23a =，67a =，设()

1

1n n n b a a =

-，则使

12100

101

n b b b ++

+≤

成立的最大n 的值为（ ） A ．98

B ．99

C ．100

D ．101

例2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且836S S =，2121n n a a +=+，则使

12111116

n S S S ++⋯+<的最大正整数n 的值为_____．

例3．设数列{}n a 满足()*16

4

n n n a a n a +-=

∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫

-⎨⎬-⎩⎭

是等比数列；

（Ⅱ）令1

12

n n b a =-

-，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.

例4．已知递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项.

（1）求{}n a 的通项公式； （2）若12

log n n n

b a a =，123n n S b b b b =++++求使1230n n S n ++⋅>成立的n 的最

小值.