高考数学压轴数列的最值题型分类专题

高考数学压轴数列的最值题型分类专题
题型一、求数列n a 的最大项、最小项
求解数列的最大项最小项通常采用 ①利用均值不等式求最值
②解不等式组 1+≥n n a a ，1-≥n n a a ③构造函数利用单调性法
④根据数列项的正负与单调性求数列的最大最小
项.
1. 基本不等式法
例1.已知数列{}n a 的通项公式为156
2
+=
n n
a n ，，求{}的最大值n a
2.解不等式组
例1.已知数列{}n a 的通项公式为156
2
+=
n n
a n ，，求{}的最大值n a
变式练习：
（1） 已知数列}{n a 中，)2(8.0+=n a n n ，求数列的最大项.
（2）已知等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且15,1054≤≥T T ,求的最大值4a
（3）已知数列}{n a 中，)2(8.0+=n a n n ，求数列的最大项.
（4）已知数列}{n a 的通项公式n
n n n a 11
)
1(10+=，试求出该数列的最大项.
3.构造函数利用单调性 （若1n n a a +<，则此数列为递增数列，若1n n a a +>，则其为递减数列，若1n n a a +=，则其为常数列）
例 1 数列}{n a 中，2017
2016--=n n a n ,则该数列中的最大项与最小项分别是
__________
例2. 设函数)1x 0(log log )x (f 2x x 2<<-=数列{}n a 满足),2,1n (,n 2)2(f n
a
==
（1）求n a 。

（2）求{}n a 的最小项
变式练习： （1）已知)N n (98
n 97n a n
*∈--=则在数列{}n a 的前
30项中最大项和最小项
分别是_____。

（2） 已知)N n (n
1
31211S n *∈++++
= ，记1n 1n 2n S S a ++-=，求数列{}n a 的最小值。

（3） 已知数列)N n (156
n n a 2
n
*
∈+=
，则该数列中的最大项是第几项？
（4） 已知无穷数列{}n a 的通项公式n
n n 10)
1n (9a +=，试判断此数列是否
有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。

4.根据数列项的正负与单调性求数列的最大最小项.
例 1 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知3a =12，012>S ,013<S ，试指出
n
n a S a S a S ,,,22
11 中哪一个最小？说明理由.
题型二、求n S 的最值
求解数列前n 项和主要有①单调性法②配方法③邻项比较法④二次函数图像法
结论：一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2
,n s pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是
一、单调性法
例1 等差数列{}n a 中，2338a a +=-，120a =，求n S 的最小值，以及相对应的n 的值．
例2.等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大
二、配方法
例1 数列{}n a 是递减等差数列，且3950a a +=，57616a a =·，试求数列{}n a 前n 项和n S 的最大值，并指出对应的n 的值．
例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值
例3.已知a n 是等差数列，其中a 1=31，公差d=﹣8，则数列a n 前n 项和的最大值为 ．
例4.在等差数列a n 中，a 1=25，S 17=S 9，求S n 的最大值．
三、邻项比较法
(1) 当1a >0,d<0时，满足1
0m m a a +≥⎧⎨≤⎩的项数m 使得m S 取最大.
(2) (2)当1a <0,d>0时，满足10
m m a a +≤⎧⎨
≥⎩的项数m 使得
取最小值。

例1.已知等差数列{}n a 中，1102029a S S ==，，问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值．
例2：已知等差数列{a n }的a n ＝24－3n ，则前多少项和最大？
例3.已知等差数列{b n }的通项b n ＝2n-17,则前多少项和最小?
题型三、求满足数列特定条件的n 的最值
例1．已知等差数列{}n a 中，23a =，67a =，设()
1
1n n n b a a =
-，则使
12100
101
n b b b ++
+≤
成立的最大n 的值为（ ） A ．98
B ．99
C ．100
D ．101
例2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且836S S =，2121n n a a +=+，则使
12111116
n S S S ++⋯+<的最大正整数n 的值为_____．
例3．设数列{}n a 满足()*16
4
n n n a a n a +-=
∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
是等比数列；
（Ⅱ）令1
12
n n b a =-
-，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.
例4．已知递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）若12
log n n n
b a a =，123n n S b b b b =++++求使1230n n S n ++⋅>成立的n 的最
小值.
例5．已知数列{a n }为等比数列，a 1=2，公比q>0，且a 2,6,a 3成等差数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设2log n n b a =,12233411111...n n n T b b b b b b b b +=
++++,求使99100
n T <的n 的最大值.
题型四、求满足条件的参数的最值
解决参数有关的最值问题，主要是分离变量，构造新的函数
1．已知递增等比数列{}n a ，11a =，且1a ，22a +，3a 成等差数列，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，点(),n P n S 在抛物线2y
x 上．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n n n
b c a =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若()
*
21n T a n N <-∈恒成立，求实数a 的取值范围．
例2．已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，2
1
2
n n n S a a =+
，*n N ∈． ()1求数列{}n a 的通项公式；
()2设数列{}n b 满足：11b =，()122n n n b b a n --=≥，数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.n T 求证：
2n T <．
()3若()4n T n λ≤+对任意*n N ∈恒成立，求λ的取值范围．。