有理数巧算
有理数的巧算含答案
2
=
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
2
11
=2( - )
(3)
52003 5
4
提示:设 s=5+52+53+…+52002,则 5s=52+53+…+52003.
【例 4】(1)若按奇偶分类,则 22004+32004+72004+92004 是________数; (2)设 a=355,b=444,c=533,则 a、b、c 的大小关系是_______(用“>”号连接); (3)求证:32002+42002 是 5 的倍数. 思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算,解与乘方运算有关问题常用到以下知 识:①乘方意义;②乘方法则;③a2n≥0;④an 与 a 的奇偶性相同;⑤在 n4k+r 中(k,r 为非负整 数,n≠0,0≤r<4),当 r=0 时,n4k+r 的个位数字与 n4 的个位数字相同;当 r≠0 时,n4k+r的个 位数字与 nr 的个位数字相同. 解:(1)奇;(2)a>b>c. (3)因为 32002=34×500+2,42002=44×500+2,所以 32002 与 42002 的个位数字分别与 32、42 的个数 数字相同,即 9、6,从而 32002+42002 的个位数字为 5,因此,32002+42002 是 5 的倍数. 【例 5】有人编了一个程序:从 1 开始,交替地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可 以是乘法),每次加法,将上次运算结果加 2 或加 3;每次乘法,将上次运算结果乘 2 或乘 3,
例题求题
【例 1】现有四个有理数 3,4,-6,10,将这 4 个数(每个数用且只用一次)进行加、减、
有理数的巧算(含答案)
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例2在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________这个公式叫___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例3 计算 3001×2999的值．练习1 计算 103×97的值． 练习2 计算：练习3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．练习4 计算： )1011()311)(211(222-⋯⋯--3．观察算式找规律例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分． 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．例7 计算：201020091321211⨯+⋯⋯+⨯+⨯第一讲有理数的巧算答案例1 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．例3 计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S 各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1． ②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解 设S=1+5+52+…+599+5100， ①所以5S=5+52+53+…+5100+5101． ②②—①得4S=5101-1，例7 计算：201020091321211⨯+⋯⋯+⨯+⨯分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解 由于所以原式=)2010120091()3121()211(-+⋯⋯+-+-=20102009 说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．。
培优专题3 有理数的巧算(含答案)-
培优专题3 有理数的巧算有理数的巧算，实际上是结合算式的特点，灵活运用有理数的运算律，使之避繁就简，从而提高解题的速度和准确率．由于有理数的巧算常常体现出方法和思维的灵活性，因此是初中数学竞赛试题中，作为考察代数运算能力的一个重要内容．在有理数的运算中，除了一些常见的巧算方法外，还可以用平均数的估算法、连续整数的求和法、求分数和的裂项相消法等．例1计算：（-1136+13107÷24107-1718）÷（-78）×1711．分析在运算中合理运用运算律，可以达到简化运算的目的．要做到合理，关键是仔细观察题中数之间的联系．解：原式＝371317818 ()()362418711 -+-⨯-⨯=37398 (17)()2477 -+-⨯-=14878136206 77777777-+=．练习11．-292324×12=_________．2．1995减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，…依次类推，一直减到余下的11995，•试求最后剩下的数．3．计算：472 6342＋472 6352－472 633×472 635－472 634×472 636．例2 计算：3-6+9-12+…+1995-1998+2001-2004．分析 此题解法较多，如何根据其特点使运算简而巧是关键．这个题的特点是每一个数均是3的倍数，当提取公因数3后，很容易发现这个和实际上是由668•个数组成，且可相邻的两个数为一组，组成334组就可解决．解法1：原式=3×（1-2+3-4+…+665-666+667-668）=3×[（1-2）+（3-4）+…+（665-666）+（667-668）]=3×（-334）=-1002．解法2：原式=（3-6）+（9-12）+…+（1995-1998）+（2001-2004）=-3×334=-1002．练习21．计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+1998-1999-2000+2001+2002-2003-2004．2．计算：999×998 998 999-998×999 999 998．3．计算：9999n 个×9999n 个+91999n 个．例3 计算：S n =222121+-+223131+-+…+2211n n +-+22(1)1(1)1n n +++-． 分析 将每一项拆成两项之差，使得总和中构成相反数的项相消．拆项中常常用到： ①1(1)n n +=1n -11n +； ②1(1)(1)n n -+=12（11n --11n +）； ③1(1)(2)n n n ++=12[1(1)n n +-1(1)(2)n n ++]． 解：先将假分数化成带分数，并适当拆项．由2211n n +-＝1+221n -＝1+（11n --11n +）， 知：222121+-＝1+（1-13） 223131+-=1+（12-14） …因此S n =n+（1-13）+（12-14）+…+（11n --11n +）+（1n -12n +） =n+1+12-11n +-12n + =322992(1)(2)n n n n n ++++． 练习31．1-22+32-42+…+992-1002+1012．2．112⨯+123⨯+134⨯+…+1(1)n n+=________．3．已知：P=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．那么P的个位数是________．例4 计算：（12+13+…+12005）（1+12+13+…+12004）-（1+12+13+…+12005）（12+13+…+12004）．分析四个括号中均包含12+13+…+12004，我们可以用一个字母表示它，简化计算．解：设12+13+…+12004＝A，则：原式＝（A+12005）（1+A）-（1+A+12005）·A＝A+A2+12005+12005A-A-A2-12005A=12005．练习41．求S=1+3+32+33+ (32005)2．求1+12+212+312+…+200412．3．比较：S n=12+23448162nn++++（n是正整数）与2的大小．例5从A、B两地随机抽取10株麦苗，测得它们的株高分别如下：（单位：cm）A：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83；B：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74．问：哪个麦地的麦苗长得高．分析这里问哪个麦地的麦苗长得高，实质上是比较其平均数的大小．在求平均数时，若直接将各数相加求和，计算较麻烦．一般是当一组数据x1，x2，x3•…x n的各个数值较大且要求它们的和时，我们可将各数据同时减去一个适当的常数a，•得到y1=x1-a，y2=x2-a，y3=x3-a…，y n=x n-a，那么x1+x2+x3+…+x n=na+（y1+y2+y3+…y n）．这里应注意的是，常数a的确定要使得新数据的求和运算尽可能简单．解：将上述两组数据分别减去85，得到两组新数据：A′：-9，5，-1，1，-4，2，1，-3，0，-2；B′：-3，-1，0，4，-6，-5，6，4，-6，-11．则A组数据的平均数为：110[85×10+（-9+5-1+1-4+2+1-3+0-2）]=110（850-10）=84．B组数据的平均数为：110[85×10+（-3-1+0+4-6-5+6+4-6-11）]=110（850-18）=83.2．∴A地麦苗长得高．练习51．已知如下数表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…那么第200行所有数的和为__________．2．对20名儿童的身高测量如下：（单位：cm）97，101，104，98，103，101，99，97，102，96，100，102，88，100，101，96，99，102，105，98．则它们的平均身高是________．3．计算下列各数的和．49.7，50.3，49，49.3，50.5，49.4，49.8，50.2，50，50.4，49.6，49.7，50.2．答案:练习11．-35912．原式=（-30+124）×12=360+12=35912． 2．1．原式=1995×（1-12）×（1-13）×…×（1-11995） =1995×12×23…×19941995 =1．3．2原式=472 635×（472 635-472 633）+472 634×（472 634-472 636）=472 635×2-472 634×2=（472 635-472 634）×2=2．练习21．-2004．原式=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+…+（1997+1998-1999-2000）+（2001+•2002-•2003-2004） =-4×501=-2004．2．1997．原式=（998+1）×998 998 999-998×（998 998 999+1 001 000-1） =998×998 998 999+998 998 999-998×998 998 999-998 998 000+998=999+998=1997．3．21000n 个0原式=9999n 个×9999n 个+1000n 个0+9999n 个=9999n 个×(9999n 个+1)+ 1000n 个0=9999n 个×1000n 个0+1000n 个0=（9999n 个+1）×1000n 个0=1000n 个0×1000n 个0=21000n 个0． 练习31．5151．原式=（1012-1002）+（992-982）+…+（32-22）+1=（101+100）×（101-100）+（99+98）×（99-98）+…+（3+2）×（3-2）+1 =201+197+…+1 =(2011)512+⨯ =5151．2．1n n + 原式=（1-12）+（12-13）+…+（1n -11n +） =1-11n +=1n n +． 3．5．原式=（2-1）（2+1）（22+1）…（232+1）=（22-1）（22+1）…（232+1）=（232-1）（232+1）=264-1．∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，故264的末尾数字为6，∴原数的末尾数字为5． 练习41．2006312-．3S=3+32+33+…+32006， ∴2S=32006-1，∴S=2006312-． 2．2-200412．设1+12+212+…+200412=A ． 则2A=2+1+12+212+…+200312，∴A=2-200412． 3．S n <2． 2S n =1+22+34+48+…+12n n -．∴2S n -S n =1+（22-12）+（34-24）+（48-38）+…+（12n n --112n n --）-2n n =1+12+14+18+…+112n --2n n 由练2知1+12+14+18+…+112n -=2-112n -． ∴S=2-112n --2n n <2． 练习51．159201．第200行的数为：200，201，202…598．方法1：200+201+…+598=(598200)3992+⨯=159201． 方法2：每个数都减去399，则得到一组新数据：-199，-198，-197…，197，198，199，其和为0，故200+201+…+598=399×399+0=159201．2．198.9．将每个数据都减去100得到一组新数据，其和为-11， 故原数据和为：100×20-11=1989，故平均身高为99.45．3．648.1．将原数据的每个数据减去50，得到一组新数据，其和为-1.9，• 故原数据和为：50×13-1.9=648.1．。
聚焦有理数运算的简便技巧
聚焦有理数运算的简便技巧（一）把有理数分解成有理分数有理数运算的一个常见技巧就是把分数分解成有理分数，以此建立起有理数之间的联系。
通常可以给定一个有理数，把它分解成几个最简分数之和。
例如，3/5可以分解成1/5与2/5，其它有理数也都可以如此分解。
这样分解后，有理数之间就可以建立起一种“抵消法”的关系，方便有理数运算。
（二）合并带分母的余式合并带分母的余式是有理数运算最常用的技巧之一。
我们知道，当分母相同时，有理数间可以把分子相加，例如：2/5-1/5=1/5，这样就可以更方便进行有理数运算。
当出现不同分母的情况时，可以把余式统一处理成带有相同分母的模式，再进行简化。
例如：3/4-1/5=15/20-4/20，可以把15/20及4/20合并为11/20，把重复度较高的运算简化掉，大大节省了计算量。
（三）利用常数来复杂有理数运算有理数运算也可以利用常数进行复杂的计算，有时可以让符号的变换更加简单。
比如，(a+b)/(a-b)可以改写为(a+b)/a-b/a，即：1/a+b/a-b/a，由此可以方便地进行有理数运算，使杂乱的运算步骤变得更加清楚。
（四）利用特殊比例计算有时候可以利用一些特殊的比例来进行有理数运算。
例如，a1/a2=b1/b2，那么a1/a2+c1/c2=b1/b2+c1/c2。
由此可以方便地转换出一些比较复杂的运算，从而方便有理数的运算。
（五）以底数为底的幂运算有理数的运算中也可以采用一些幂运算技巧，比如：a^b×a^c=a^(b+c)。
例如：2^3×2^2=2^5；上式中就是利用幂运算把有理数中的相乘转换成有理数中的相加，把运算变得更加容易。
中考数学专题讲练 有理数的巧算(解析版)
有理数的巧算一．结合律加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，再加第三个数，或者先把后面两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变．乘法结合律：三个数相乘,先把前面两个数相乘,先乘第三个数,或者先把后面两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变．二．分配律乘法分配律：两个数的和同一个数相乘,等于把两个加 数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,结果不变.三．裂项法在一些题型中，需要运用拆项法（也称裂项法）进行简便运算，运用拆项法使得拆项后的一些数能够互相抵消，达到简化运算的目的．常用拆项公式：（1）()11111n n n n =-++； （2）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭； （3）()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦，或()()()()()21112112n n n n n n n =-+++++；（4）11a ba b a b+=+⨯，11b aa b a b-=-⨯．四．换元法我们经常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从下手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字（换元法），能够达到化繁为简，化难为易的效果．探索算式的结构往往是解决这类问题的突破口，其步骤大致分为三步：（1）比对观察：寻找并发现题目中的结构与规律；（2）总结归纳：把数字转化为字母，化繁为简；（3）代数计算：利用代数的方法，仔细地将冗长的题目化难为易，解决问题．一．考点：结合律、分配律、裂项法、换元法．二．重难点：裂项法、换元法．三．易错点：裂项法要注意相邻两数之差是多少．题模一：结合律例1.1.1151515 8124292929⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】0【解析】该题考查的是有理数巧算．观察该题，发现都含有共同的因数1529-．因此先提取公因数 原式()15812429⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭， 15029⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 0=例1.1.2 计算：()()()3.2289 3.7729 1.59⨯-+-⨯--⨯【答案】 49.5- 【解析】 ()()()3.2289 3.7729 1.59⨯-+-⨯--⨯ 3.2289 3.7729 1.59=-⨯-⨯+⨯ ()3.228 3.772 1.59=--+⨯5.59=-⨯49.5=-．题模二：分配律例1.2.1 计算：1﹣24×（﹣311836+-）． 【答案】 6．【解析】 原式=1+9﹣8+4=6．例1.2.2 阅读下列材料： 计算（﹣130）÷（23﹣110+16﹣25） 解法①：原式=（﹣130）÷23﹣（﹣130）÷110+（﹣130）÷16﹣（﹣130）÷25=﹣120+13﹣15+112=16解法②：原式=（﹣130）÷[（23+16）﹣（110+25）]=（﹣130）÷（56﹣12）=﹣130×3=﹣110 解法③：原式的倒数为（23﹣110+16﹣25）÷（﹣130）=（23﹣110+16﹣25）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10故原式=﹣110（1）上面得出的结果不同，其中肯定有错误的解法，你认为解法_____是错误的．在正确的解法中，你认为解法_____最简便，该解法运用的运算律是_____．（2）请计算：（﹣142）÷（16﹣314+23﹣37）． 【答案】 （1）①；③；乘法分配律（2）﹣18【解析】 （1）上面得出的结果不同，有错误的解法，我认为解法①是错误的．在正确的解法中，我认为解法③最简便，该解法运用的运算律是乘法分配律．（2）∵（16﹣314+23﹣37）÷（﹣142） =（16﹣314+23﹣37）×（﹣42） =16×（﹣42）﹣314×（﹣42）+23×（﹣42）﹣37×（﹣42） =﹣7+9﹣28+18=﹣8 ∴（﹣142）÷（16﹣314+23﹣37）=﹣18题模三：裂项求和例1.3.1 已知220ab a -+-=，求()()()()()()1111112220132013ab a b a b a b ++++++++++的值．【答案】 20142015【解析】 由220ab a -+-=知，2a =，1b =． 原式11111111111201411223342014201522334201420152015=++++=-+-+-++-=⨯⨯⨯⨯ 例1.3.2 计算：15791113151261220304256-+-+-+ 【答案】 98 【解析】 15791113151261220304256-+-+-+ 1223344556677812233445566778+++++++=-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111111112233445566778⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111111111112233445566778=+--++--++--++ 118=+ 98=． 题模四：换元法例1.4.1 计算：11111111111111232012232011232012232011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【答案】 12012【解析】 设111232012a =+++，111232011b =+++．则原式()()1112012a b b a a ab b ab a b =+-+=+--=-=．随练1.1 计算：()()()32419151515171717-⨯+-⨯--⨯ 【答案】 15-【解析】 提取公因数．()()()32419324191515151515171717171717⎛⎫-⨯+-⨯--⨯=-⨯+-=- ⎪⎝⎭． 随练1.2 3571491236⎛⎫--+÷ ⎪⎝⎭ 【解析】 该题考查的是实数的混合运算． 3571491236⎛⎫--+÷ ⎪⎝⎭ 357364912⎛⎫=--+⨯ ⎪⎝⎭()395473=-⨯-⨯+⨯272021=--+26=-随练1.3 计算：1517()(36)126369-+--⨯- 【答案】 2【解析】 该题考查的是有理数的综合运算．原式()()()()151736363636126369=-⨯-+⨯--⨯--⨯- 330128=-++=2随练1.4 计算：()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【答案】 91216- 【解析】 ()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()91285416⎛⎫=-⨯---+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 912116⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 91216=-．随练1.5 阅读材料：计算：12112()()3031065-÷-+- 解法1：原式＝1211215111()()()()()3303610530623010⎡⎤-÷++--=-÷-=-⨯=-⎢⎥⎣⎦； 解法2：原式的倒数为：()21121211230310653031065⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-÷-=-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20351210=-+-+=-， 故原式＝110-。
有理数简便运算与技巧
有理数简便运算与技巧有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采取运算技巧，不单能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖新颖。
现举例介绍有理数运算中的几个经常使用技巧。
一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦()69=+-3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-1002282=+-12282=-40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。
解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦009=++9=。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186---+。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5171386=- 13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭ 11221212=+=。
例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()32844⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭283=-+25=-。
有理数运算技巧十五招
有理数运算技巧十五招一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-1002282=+- 12282=- 40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3计算：()()()5464332+-++++-+-。
原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。
四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186---+。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=-13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+=。
例6：计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯ 0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()32844⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭283=-+ 25=-七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
有理数简便运算技巧(十五法)
有理数简便运算技巧（十五法）有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3计算：()()()5464332+-++++-+-。
原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=- 13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+= 六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例6：计算：例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
11221212=+= 七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭。
13131=-⨯=-八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。
第4讲有理数的巧算
第4讲 有理数的巧算1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧，不仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯。
2、有理数的相关概念和性质法则⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质3、常用运算技巧⑴巧用运算律 ⑵凑整法 ⑶拆项法（裂项相消） ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑹错位相减法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法【专题精讲】计算下列各题⑴ 32333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-⑵ 12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-计算：1234567891011122005200620072008--++--++--+++--+计算：⑴111111261220309900++++++ ⑵111113355799101++++⨯⨯⨯⨯ 反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。
①111(1)1n n n n =-++ ② 1111()()n n k k n n k =-++③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ④ 1111()(1)(1)211n n n n =--+-+计算：11112481024++++11212312341235859()()()()23344455556060606060++++++++++++++++11111111111111(1)()(1)()23200923420102320092010232009--+-+++---+--+++【请你从下表归纳出333331234n +++++ 的公式并计算出：33333123450+++++ 的值。
【课后练习】1、 用简便方法计算：999998998999998999999998⨯-⨯=2、 11111(1)(1)(1)(1)(1)20042003100210011000-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-=3、已知199919991999200020002000200120012001,,199819981998199919991999200020002000a b b ⨯-⨯-⨯-=-=-=-⨯+⨯+⨯+则abc =4、计算：111111315131517293133+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯5、212424824()139261839n n n n n n⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅=⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅ 6、11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 提示：22(1)21n n n +=++ 7、48121640133557791921-+-+-=⨯⨯⨯⨯⨯8、计算：23201012222S =+++++123452468103691215481216205101520259、计算111112123123100+++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅+的值.10、计算：111132010241111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) 223234232010 +++++++++++++11.11(23++…11)(120102+⨯++…11)(120092+-++…111)(201023+⨯++…1).2009+。
有理数的巧算
有理数的巧算摘要：有理数的运算是初中生计算能力培养的关键时期，如何计算，需要方法与一定技巧的，要观察题目的结构，明确运算的顺序，平时要积累一定的经验，合理运用方法会给运算带来简便。
关键词：换元法；1.运用字母换代数式例1 计算：【思路分析】这是一道有理数混合运算的题目，涉及多个异分母的分数相加、相减、相乘的运算，常规法（通分）计算量大。
观察上述式子的结构，不难发现每个括号里都有，我们不妨用字母来表示这个代数式。
解法一：设，则原式＝＝＝解法二：设，，则原式＝＝＝【经验分享】本题根据算式的结构，巧妙用字母代替部分算式，把有理数的运算转化为整式运算，从而化繁为简。
2.巧用运算律例2计算：【思路分析】运算涉及加减乘三种运算，不按运算顺序来计算时，工作量却很大。
观察结构发现可以用运算律（分配律）解法：原式＝＝＝154000【经验分享】观察算式结构，当出现相同数据或可以凑成成百或成千时，尝试用乘法的分配律。
也可以通过提取或，同学们自己去试一试。
3.分解相约法例3计算【思路分析】观察算式的结构，发现19与76两位数不断重复，我们可以利用分解法让数据简化表示。
解法：原式＝＝＝＝【经验分享】解题的关键在于进行分解为：，再进行约分即可解决问题。
4.拆项相消法例4计算：【思路分析】试题呈现的是两个连续的正整数的积，直接算显然是不好算的，我们可以采用拆项相消法来进行。
如解法：原式＝＝【经验分享】此题看似简单，但实质不易解，虽然是相邻正整数乘积和，要解决这类问题要“欲擒故纵”，先让算式扩张，再相消后得出结论。
其核心原理如下：5.错位相减法例5计算.【思路分析】观察算式都是以2底数的幂，中间是用减号连接，首尾用加连接的，用错位相减法来计算，或者降次来计算。
解法1：设①②②-①得原式===解法2：原式=====【经验分享】通过错位相消的方法，来解决相同底数与指数连续为正整数的和，或者通过来降次的目的。
练习参考文献【1】黄东坡.数学培优新方法7年级[m].37-45.【2】赵漫莉.用待定系数求二次函数的解析式[J].数学天地，2022（4）：2-3。
有理数简便运算技巧(十五法)
有理数烦琐运算本领（十五法）之阳早格格创做有理数是代数的初教，又是易面，是中教数教中十足运算的前提.举止有理数的运算时，若能根据题手段个性，注意采与运算本领，没有单能化繁为简，而且会妙趣横死，新颖新颖.现举例介绍有理数运算中的几个时常使用本领.一、归类将共类数（如正数或者背数）归类估计. 例1 估计：()()()231324-+++-++-. 解：本式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦()69=+-3=-.二、凑整将战为整数的数分离估计.例2 估计：36.54228263.46+-+. 解：本式()36.5463.462282=++-1002282=+- 12282=- 40=.三、对付消将相加得整的数分离估计. 例3估计：()()()5464332+-++++-+-. 本式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦009=++ 9=.四、拉拢 将分母相共或者易于通分的数分离.例4 估计：. 解：本式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=-13524=-.五、领会将一个数领会成二个或者几个数之战的形式，或者领会为它的果数相乘的形式.例5 估计：111125434236-+-+. 本式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+= 六、转移将小数与分数或者乘法与除法相互转移. 例6：估计：例8 估计：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：本式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-.11221212=+= 七、变序使用运算律改变运算程序.例8 估计：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：本式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭. .13131=-⨯=-八、约简将互为倒数的数或者有倍数闭系的数约简. 解：本式8881559158⎛⎫=---⨯⎪⎝⎭ 8158158155898158⎛⎫=-⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭5313⎛⎫=--- ⎪⎝⎭13=-.九、顺用正易则反，顺用运算律改变序次. 例11 估计：2283210.2555214⎛⎫⎛⎫÷--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解：本式258715122144⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2181134344=-⨯+⨯-1281433⎛⎫=⨯-+- ⎪⎝⎭ 14=.十、瞅察根据0、1、1-正在运算中的个性，瞅察算式个性觅找运算截止为0、1或者1-的部分劣先估计. 例12 估计：()()20091312009 3.753164⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解：33.75304-=，()200911-=-. ∴本式()011=+-=-. 十一、变量替换通过引进新变量转移命题结构，那样没有单不妨缩小运算历程，另有好处觅找交题思路，其中的新变量正在解题历程中起到桥梁效率．例6 估计512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋323417512769+-)． 解：设a =323417+，b = 0.125，c =512769-，则512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋323417512769+-) =cab a+×(b ＋a c )=cab a+×a c ab += 1．评析：此题横瞅纵瞅皆隐得比较搀纯，但是若小心瞅察，所有式子可分为三个部分：323417+，0.125，512769-，果此，采与变量替换便大大缩小了估计量．十二、倒序相加正在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所供式结构，采与倒序相加减的要领把问题简化．例8 估计21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．① 解：把①式括号内倒序后，得：21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601)， ②①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770，∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)=21(1770) = 885． 评析：隐然，此类问题是没有克没有及“硬算”的，倒序相加可普及运算速度，落矮搀纯程度．十三、加数配对付例9 估计11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：加上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对付相加，得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999． = 20＋200＋2×103＋2×104＋…＋2×109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1) = 2222222220－45 = 2222222175．评析：加数配对付真量上也是一种凑整运算． 十四、完全换元对付于较搀纯的算式曲交运算很艰易，若能抓住其个性，使用完全运算的思维，创制性天加以办理，便能支到事半功倍的效验．例10 估计1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561．解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561= x ，①则①×(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－21x ， ②① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256171，故1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256171．十五、分组拆配瞅察所供算式个性，巧妙使用分组拆配处理，不妨简化运算． 例7 估计：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)= 0＋0＋0＋…＋0= 0．评析：那种分组运算的历程，真量上是巧妙天加括号或者来括号问题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有理数运算中的几个技巧
有理数的运算是初中数学中的基础运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证．下面介绍一些运算技巧．
一、 归类运算
进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．
例1 计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)． 解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) = (－0.5 + 2.75) + (341－721) = 2.25－44
1=－2 ． 解法二：－(0.5)－(－3
41) + 2.75－(721) =－0.5 + 341+ 2.75－721= (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21=－2． 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．
二、 凑整求和
将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率． 例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-
1002282=+-
12282=-
40=。
在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、整百、整千等数，这样便于迅速得到答案．
三、
裂项相消法:凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法
例：
解：应用关系式
来进行“拆项”。
原式
四、 逆用运算律
在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．
例4 计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．
解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88 =17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44
=17.48×37＋17.48×19＋17.48×44
= 17.48×(37＋19＋44)
= 1748．
评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率．
五、 巧拆项
将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236
-+-+。
解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-
+-+ ⎪⎝⎭ 3642212121212⎛⎫=+-
+-+ ⎪⎝⎭ 11221212
=+=。
例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯
0=。
评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．
六、 分组搭配
观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．
例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．
解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69
= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)
= 0＋0＋0＋…＋0
= 0．
评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．
七、 倒序相加
在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．
例8 计算21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．① 解：把①式括号内倒序后，得：
21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋60
1)， ② ①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770， ∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059) =2
1(1770) = 885． 评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度．
111 ( 1.5)4 2.75(5)42-+++-、 12411
2 ()()()23523+-++-+-、
3、4824583
41
32
⨯⎪⎭⎫
⎝⎛+-- 4、()()()3914512---+--
5. 计算：20034005
(2003320032)
20031
++++
6、计算：1111113117111113117119+++⎛⎝ ⎫⎭⎪⨯+++⎛⎝ ⎫
⎭⎪-11
111
131
171191
111
13117++++⎛⎝ ⎫
⎭⎪⨯++⎛⎝ ⎫⎭
⎪
7、计算：)200520041
200420031
431
321
211
(2005⨯+⨯++⨯+⨯+⨯⨯
8. 计算：
-
-
+
+
-
-
+
+
+
-
+
-
+
-
+
-
1+
1997
12
11
1998
1999
2001
2000 2
10
4
3
9
5
6
8
7
9. 计算：
16.48×37＋164.8×1.9＋8.24×88。