多服务台模型
排队论方法讲解
排
队 论 方 法
1. 基本概念
1.排队过程的一般模型 顾客服务过程分为四个步骤：
进入排队系统（输入） 等候服务 接受服务 离开系统（输出）
顾客接受服务后立即离开系统，因此输出 过程可以不用考虑，则
讲
解
输入过程 排队系统排队规则 服务机构
排
队 论
①输入过程： I.顾客总体 （顾客源）
排
队 论
1.5.2 指数分布
当顾客流为泊松流时,用T表示两顾客相 继到达的时间间隔,则T是一个随机变量, 其分布函数为
FT (t ) P{T t} 1 P(T t ) 1 P0 (t )
t t 又P ( t ) e , 则 F ( t ) 1 e , 0 T
k 0 n
讲
解
(全概公式、独立性 ) Pn k (t ) Pk (t , t t )
k 0 n
Pn (t )(1 t ) Pn 1 (t )t o(t )
排 队 论
Pn (t , t t ) Pn (t ) o(t ) Pn (t ) Pn 1 (t ) t t
讲
解
排
队 论
(1) 无后效性：在不相交的时间区 间内,顾客到达数相互独立，即在 [t,t+△t]时段内到达的顾客数，与 时刻t之前到达的顾客数无关； (2)平稳性：对于充分小的△t，在 [t,t+△t]内有１个顾客到达的概率， 只与△t有关，而与ｔ无关，且 P1 (t , t t ) t o(t ),
t
实际中，多数问题都属于稳态情 况，且通常在经过某一时段后即可 到达稳态，而不需要t→∞
排
队 论
排队论
f ( w n 1)
n！
e w
w0
f ( w ) Pn f ( w n 1) n0 ( w ) n w (1 ) n e ( )e ( ) w n0 n！
熊燕华
6.
忙期和闲期
系统忙的概率为ρ ，则闲的概率为1-ρ 。可以 认为在一段时间内，忙期和闲期的长度比为 ρ :(1-ρ ) 由于顾客到达间隔服从无记忆性的负指数分布， 且与服务时间无关。闲期I（系统从空闲开始到新 的顾客到达时刻）服从参数为λ 的负指数分布，则 E[I]=1/λ E[B]= ρ/(1-ρ) E[I]=1/(μ-λ )=Ws
熊燕华
L S n Pn
n0
1
Little公式
Ls=Lq+λ/μ Ws=Wq+1/μ
L q (n 1) Pn n 1
Ws=E(W)=1/(μ-λ) Wq=Ws－1/μ=ρ/(μ-λ)
Ws=Ls/λ
Wq=Lq/λ
熊燕华
定理： 对于存在平稳分布的任何排队系统，下列 关系成立：
熊燕华
七、随机过程知识准备
系统的状态
系统中的顾客数，即如果系统中有n个顾客即说系统 状态为n。在平稳过程中，在时刻t、系统状态为n的概率 Pn(t)是不变的，即Pn(t) ＝Pn是不随时间变化的统计平衡 状态解。
注：本章研究的均为平稳过程，即输入、输出过程 的概率分布、参数均不随时间变化，与所选取的时
第八章 排队论
基本概念 单服务台泊松到达负指数服务时间排队模型 多服务台泊松到达负指数服务时间排队模型 其他排队模型 经济分析
熊燕华
运筹学排队论2
换为 t ,得到
pn
(t)
(t)n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
数学建模之排队论模型
Pn (t + ∆t ) = Pn (t )(1 − λ∆t − µ∆t ) + Pn+1 (t ) µ∆t + Pn−1 (t )λ∆t + ο (∆t ) .
移项整理，两边同除以△t，得
3
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Pn (t + ∆t ) − Pn (t ) ο (∆t ) = λPn−1 (t ) + µPn+1 (t ) − (λ + µ ) Pn (t ) + . ∆t ∆t
所以有
dP0 (t ) = −λP0 (t ) + µP1 (t ) . dt
对于稳态情形，与 t 无关，其导数为零。因此，得到
λPn −1 + µPn +1 − (λ + µ ) Pn = 0, n > 1 − λP0 + µP1 = 0
这是关于 Pn 的差分方程，也反映出了系统状态的转移关系，即每一状态都是平衡的，求解 得 P1 = (λ / µ )P0 ，递推可得 Pn = (λ / µ ) P0 ( n ≥ 1) .
本讲主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 排队论的基本概念 单服务台的排队模型 多服务台的排队模型 排队系统的最优化问题 数学建模实例：校园网的设计和调节收费问题
5.1 排队论的基本概念
5.1.1 什么是排队系统
排队论也称随机服务系统理论，它是 20 世纪初由丹麦数学家 Erlang 应用数学方法在研 究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科， 在实际中有广泛的应用。 它涉及的是建立一 些数学模型， 藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。 现实世界中排队的现象比 比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。排队的内容虽然不同， 但有如下共同特征： （1）有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为 “顾客” 。 （2）有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员” 。由顾 客和服务员就组成服务系统。 （3）顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间 不一定是确定的， 服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队， 而某些时候服务员又空 闲无事。 为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分： 1.输入过程 即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到 达的规律、 作出经验分布， 然后按照统计学的方法 （如卡方检验法） 确定服从哪种理论分布， 并估计它的参数值。 我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布， 且顾客的达到 是相互独立的、平稳的输入过程。所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的 影响。 2.排队规则 即顾客排队和等待的规则。排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即 时制就是服务台被占用时顾客便随即离去； 等待制就是服务台被占用时， 顾客便排队等候服 务。等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论 先到先服务的系统。 3.服务机构 服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单
物流建模与仿真 期末复习PPT第三章-排队论模型与储存模型及应用
▪ 系统分析： ➢ 到来的顾客按照自己的目的（存取款或提取工资）
选择银行窗口：提取工资的顾客只能选择1、2号窗 口，存取款的顾客1－5窗口。在能提供服务的窗口 中，如果有空闲窗口，则可直接进入空闲窗口接受 服务，否则选择最短的队列，依照次序接受服务， 服务结束后离开本系统。
3.4 应用库存模型进行库存规模决策
▪ （1）需求情况分析-①需求统计
每日需求量 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频率/天 1 2 2 3 4 5 3 3 2 2 1
统计量： 观察个数N：样本规模； 平均日需求量Q：总需求量/观 察个数；
Excel统计公式： 求和公式：SUM(B3:B13) 平均值公式：AVERAGE(A3:A13)
▪ 排队系统的常用模型 ▪ 1.单服务台模型---仿真实例
▪ 有一工厂仓库，工人按需到仓库仓管员领取物资， 工人到来的间隔时间服从负指数分布，间隔时间期 望为５分钟，仓管员的领货时间服从三角分布，平 均时间为4分钟，最快2分，最慢5分钟，领取急需 物资的工人具有优先领取的权利，但不能中断正在 领取工人的服务，急需物资工人占总工人数的30％ 。仿真运行半个工作日（4小时），从排队长的角 度分析这个领料排队系统。
3.4 应用库存模型进行库存规模决策
▪ 1. 需求的不确定性分析 ➢ 需求变动的来源：每个用户需求会受到环境、
物资供应、运输等各种因素的影响，所以在一 定时间内表现一种随机性。 ➢ 影响：导致需要保证一定的库存，以应对需求 的变动。 ➢ 效益背反( Trade off )：库存水平越高，其服务 可靠性越高，而库存费用也就越大。
3.2 基于排队系统的建模与仿真
多服务台排队系统的仿真
实验3---多服务台排队系统的仿真姓名：学号：一、目标任务已知一个系统有N个服务员，能力相等，服务时间服从指数分布。
顾客的到达时间间隔服从指数分布。
用Monte-Carlo仿真，分别求按下列方案的总体平均排队时间：① M|M|N。
② N个单通道系统并列，按1/N概率分裂到达流。
③ N个单通道并列，挑选最短的队。
要求：①给出程序设计的过程。
②如果采用固定的N，则要求N>2。
③至少取ρ=0.3和ρ=0.7两种强度运行程序。
④对结果进行分析。
二、编程语言Matlab三、关键代码方案一：N = 3; % 服务员人数r = 6; % 顾客到达流强度u = 20; % 服务员服务强度T = 1000000; % 仿真运行时间avg_wait_time = []; % 平均等待时间for i=1:100% 模拟排队函数server_time = [0.0, 0.0, 0.0]; % 用来保存服务员下一空闲时间time = 0; % 绝对时钟，初始为0client_num = 0; % 顾客总数，初始为0CRTime = 0; % 顾客到达时间间隔ServeTime = 0; % 顾客服务时间server_id = 0; % 当前进入排队窗口的服务员编号total_wait_time = 0;% 系统中到达顾客的总等待时间while 1CRTime = exprnd(1/r); % 按指数分布产生顾客到达时间间隔time = time + CRTime; % 更新系统的绝对时钟if time > Tbreak;endclient_num = client_num + 1; % 顾客数加1ServeTime = exprnd(1/u); % 按指数分布产生顾客服务间隔server_id = mod(client_num, N); % 按1..N的顺序循环排入服务员窗口if server_id ==0server_id = N;endif server_time(1, server_id) <= time % 如果当前server_id号服务员空闲，则直接接收服务server_time(1, server_id) = time + ServeTime; % 服务员下一空闲时间为当前绝对时钟加上当前服务时间else % 否则所有服务员都在忙碌，顾客要排队等候total_wait_time = total_wait_time + server_time(1, server_id) - time; % 顾客排队等候时间为当前服务员下一空闲时间减去绝对时钟server_time(1, server_id) = server_time(1, server_id) + ServeTime;endendavg_wait_time = [avg_wait_time, total_wait_time/client_num];end% 计算平均等待时间mean_avg_wait_time = mean(avg_wait_time);fprintf('ρ=%2.1f平均等待时间%6.5f\n', r/u, mean_avg_wait_time); % 打印平均等待时间% 绘制每次仿真的平均等待时间和总体平均等待时间线状图x = 1:100;%plot(x, avg_wait_time, x, mean_avg_wait_time);scatter(x, avg_wait_time, '.');方案二：N = 3; % 服务员人数r = 6; % 顾客到达流强度u = 20; % 服务员服务强度T = 1000; % 仿真运行时间avg_wait_time = []; % 平均等待时间for i=1:100% 模拟排队函数server_time = [0.0, 0.0, 0.0]; % 用来保存服务员下一空闲时间time = 0; % 绝对时钟，初始为0client_num = 0; % 顾客总数，初始为0CRTime = 0; % 顾客到达时间间隔ServeTime = 0; % 顾客服务时间server_id = 0; % 当前进入排队窗口的服务员编号total_wait_time = 0;% 系统中到达顾客的总等待时间while 1CRTime = exprnd(1/r); % 按指数分布产生顾客到达时间间隔time = time + CRTime; % 更新系统的绝对时钟if time > Tbreak;endclient_num = client_num + 1; % 顾客数加1ServeTime = exprnd(1/u); % 按指数分布产生顾客服务时间间隔server_id = randi([1 N]); % 按1/N的概率排入服务员窗口if server_time(1, server_id) <= time % 如果当前server_id号服务员空闲，则直接接收服务server_time(1, server_id) = time + ServeTime; % 服务员下一空闲时间为当前绝对时钟加上当前服务时间else % 否则所有服务员都在忙碌，顾客要排队等候total_wait_time = total_wait_time + server_time(1, server_id) - time; % 顾客排队等候时间为当前服务员下一空闲时间减去绝对时钟server_time(1, server_id) = server_time(1, server_id) + ServeTime;endendavg_wait_time = [avg_wait_time, total_wait_time/client_num];end% 计算平均等待时间mean_avg_wait_time = mean(avg_wait_time);fprintf('ρ=%2.1f平均等待时间%6.5f\n', r/u, mean_avg_wait_time); % 打印平均等待时间% 绘制每次仿真的平均等待时间散点图x = 1:100;scatter(x, avg_wait_time, '.');方案三：N = 3; % 服务员人数r = 6; % 顾客到达流强度u = 20; % 服务员服务强度T = 1000; % 仿真运行时间avg_wait_time = []; % 平均等待时间for i=1:100% 模拟排队函数server_time = [0.0, 0.0, 0.0]; % 用来保存服务员下一空闲时间time = 0; % 绝对时钟，初始为0client_num = 0; % 顾客总数，初始为0CRTime = 0; % 顾客到达时间间隔ServeTime = 0; % 顾客服务时间server_id = 0; % 当前进入排队窗口的服务员编号total_wait_time = 0;% 系统中到达顾客的总等待时间while 1CRTime = exprnd(1/r); % 按指数分布产生顾客到达时间间隔time = time + CRTime; % 更新系统的绝对时钟if time > Tbreak;endclient_num = client_num + 1; % 顾客数加1ServeTime = exprnd(1/u); % 按指数分布产生顾客服务时间间隔temp = min(server_time); % 寻找排队时间最短的服务员窗口[x, y] = find(temp == min(min(server_time)));server_id = y; % 按队伍最短排入服务员窗口if server_time(1, server_id) <= time % 如果当前server_id号服务员空闲，则直接接收服务server_time(1, server_id) = time + ServeTime; % 服务员下一空闲时间为当前绝对时钟加上当前服务时间else % 否则所有服务员都在忙碌，顾客要排队等候total_wait_time = total_wait_time + server_time(1, server_id) - time; % 顾客排队等候时间为当前服务员下一空闲时间减去绝对时钟server_time(1, server_id) = server_time(1, server_id) + ServeTime;endendavg_wait_time = [avg_wait_time, total_wait_time/client_num];end% 计算平均等待时间mean_avg_wait_time = mean(avg_wait_time);fprintf('ρ=%2.1f平均等待时间%6.5f\n', r/u, mean_avg_wait_time); % 打印平均等待时间% 绘制每次仿真的平均等待时间散点图x = 1:100;scatter(x, avg_wait_time, '.');四、实验结果与分析方案一：图1 方案一仿真的平均等待时间散点图图2 方案一平均等待时间M|M|N1. 输入参数：服务员人数N，顾客到达流强度r，服务员服务强度u，仿真运行时间T；2. 各变量初始值置0：绝对时钟time，服务员下一空闲时刻数组server_time[]（其中按顺序保存每一个服务员的下一空闲时刻），顾客总数client_num，顾客到达时间间隔CRTime，顾客服务时间ServeTime，当前进入排队窗口的服务员编号server_id，系统中顾客总等待时间total_wait_time；3. 按照指数分布产生下一顾客到达的时间间隔CRTime，time+=CRTime。
MMs排队模型答案解析
§3 M/M/s 排队模型一、单服务台模型(即M/M/1/∞/∞ 或 M/M/1) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布; 服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: 1; 系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS. 1. 队长的分布设{}n p P N n == 0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 则由(1) 12011......n n n n n C λλλμμμ---=, 1,2,...n =(累积服务率)(2) 011(1)nn p C ∞==+∑ (无客的概率)(3) 0n n p C p =, 1,2,...n = (有n 客的概率)及n λλ=,0,1,2,...n =和n μμ=,1,2,...n =, 并记λρμ=(服务强度, 一般1ρ<) 可得nn n C λρμ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 1,2,...n =故有 0nn p p ρ=, 1,2,...n =其中 011(1)nn p C ∞==+∑11(1)n n ρ∞==+∑110111n n ρρρ--∞=⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑.因此 (1)nn p ρρ=-,0,1,2,...n =.无客的概率: 01p ρ=-,至少有一客的概率ρ 服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率 如单位时间,2λ=,5μ=,则,即40%在忙.2. 几个主要指标(1) 系统中平均顾客数=平均队长*- (2) 系统中等待的平均顾客数=平均排队长.可以证明(见第二版P328的注释)在M/M/1中, 顾客在系统中逗留时间服从参数为的负指数分布, 即密度分布函数:()()(),0.tf t et μλμλ--=-≥分布函数: ()()()1,0.tF t P T t e t μλ--=≤=-≥于是得(3) 在系统中顾客平均逗留时间1[]W E T μλ==-; (4) 在队列中顾客平均等待时间因为 逗留时间=等待时间q T +服务时间V , 即q T T V =+故1()()q q W E T E V W μ=+=+, 从而得1q W W W ρρμμλ=-==-另外还可得到(时间与空间关系):L W λ=和q q L W λ=这两个常称为Little 公式.各公式可记忆如下:由λ和μ→服务效率λρμ=, 从逗留时间1W μλ=-→等待时间q W W ρ= 队长L W λ=→排队队长q L L ρ=或q q L W λ=还可导出关系1q W W μ=+和1q L L λμ=+3. 服务机构的忙期B 和闲期I 分析(1) 因为忙期=至少一客的概率ρ, 闲期=无客的概率1ρ- 忙期时间长度/闲期时间长度=1ρρ- (2) 因为忙闲交替,次数平均→平均忙期时间长度/平均闲期时间长度=1ρρ-→1BIρρ=-.(3) 又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性→任闲时刻起,下一客到达间隔仍为λ负指数分布→平均闲期=下一客到达间隔1λ→1Iλ=→平均忙期=111B Wρρλμλ=⋅==--即顾客平均逗留时间, 实际意义是明显的.例1一个铁路列车编组站, 设待编列车到达时间间隔负指数分布, 平均到达率2列/h; 编组时间服从负指数分布, 平均20min 可编一组. 已知编组站上共有2股道, 当均被占用时, 不能接车, 再来的列车只能停在站外或前方站. 求(1) 在平稳状态下系统中列车的平均数;(2) 每一列车的平均停留时间;(3) 等待编组的列车的平均数.如果列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时, 每列车的费用为a 元/h, 求每天由于列车在站外等待而造成的损失.解 这里 2λ=,3μ=,213λρμ==< (1) 列车的平均数21L ρρ==-(小时)(2) 列车的平均逗留时间212LW λ===(小时) (3) 等待编组的列车平均数 24233q L L ρ=-=-=(列) (4) 等待编组时间 23q W W ρ==(小时) (5) 记列车平均延误(2道满,不能进站)时间为0W ,则0012{2}(1)W W P N W p p p =⋅>=⋅---3320.2963ρ⎛⎫=== ⎪⎝⎭(小时) 故每天列车由于等待而支出的平均费用 0242420.29614.2E W a a a λ==⨯⨯⨯=(元).例2 某修理店只有一个修理工, 来修理的顾客到达过程为Poisson 流, 平均4人/h; 修理时间服从负指数分布, 平均需要6 min. 试求:(2) 店内恰有3个顾客的概率;(3) 店内至少有1个顾客的概率;(4) 在店内的平均顾客数;(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间;(6) 等待服务的平均顾客数;(7) 每位顾客平均等待服务时间;(8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率. 解这里 4λ=,1/0.110μ==,215λρμ==<0112/50.6p ρ=-=-=(2) 店内恰有3个顾客的概率33332(1)10.03855p ρρ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3) 店内至少有1个顾客的概率0{1}12/50.4P N p ρ≥=-===(4) 在店内的平均顾客数2/50.67112/5L ρρ===--(人) (5) 每位顾客在店内的平均逗留时间 0.6710(min)4LW λ==≈ (6) 等待服务的平均顾客数 0.40.670.268q L L ρ==⨯=(人)(7) 每位顾客平均等待服务时间0.2684(min)4qq L W λ==≈ (8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率.11101615{10}0.3679P T ee ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭>===.二、多服务台模型(即M/M/s/∞/∞ 或 M/M/s) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布;单台服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: s; 12s μμμμ====L系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS.数据分析设{}n p P N n == 0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 则,0,1,2,...n n λλ==和系统的服务率服务台队列⋅⋅⋅⋅⋅⋅u u u u u r u u u u u rμ1μ2sμs 个,1,2,3,...,,,1,...n n n ss n s s μμμ=⎧=⎨=+⎩记s ss ρλρμ==, 则当1s ρ<时, 不至越排越长, 称s ρ为系统的服务强度或服务机构的平均利用率. 由前面的(1),(2)和(3)公式得(/),1,2,3,...,!(/)(/),!!nn s n s nn s n s n C n ss s s s λμλμλλμμ--⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪=≥ ⎪⎪⎝⎭⎩故,1,2,3,...,!,!nn nn sp n s n p p n ss s ρρ-⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 其中1100!!(1)n s s n s p n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑.当n s ≥时, 顾客要等待. 记这个等待的概率为0(,)!(1)sn n ss c s p p s ρρρ∞===-∑称为Erlang 等待公式. (1) 平均排队长011()()!sn sq n sn s n s p L n s p n s s ρρ∞∞-=+=+=-=-∑∑0021d !d !(1)s s n s ss n s s p p s s ρρρρρρρ∞=⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑ 或(,)1s q sc s L ρρρ=-.(2) 正在接受服务的顾客的平均数1s n n n n ss np s p -∞===+∑∑1000!!(1)n ss n sn p s p n s ρρρ-==+-∑11101(1)!(1)!(1)n s s n s p n s ρρρρρ---=⎡⎤=+=⎢⎥---⎣⎦∑s 与s 无关. 奇!(3) 平均队长L =平均排队长+平均接受服务的顾客数q L ρ=+.对多台服务系统, 仍有Little 公式:LW λ=, 1qq L W W λμ==-例3 考虑一个医院医院急诊的管理问题. 根据统计资料, 急论据病人相继到达的时间间隔服从负指数分布, 平均每0.5h 来一个; 医生处理一个病人的时间也服从负指数分布, 平均需要20min. 该急诊室已有一个医生, 管理人员现考虑是否需要再增加一个医生.解 这是一个M/M/s/∞模型, 有2λ=,3μ=,23λρμ==, 1,2s = 由前面的公式, 结果列表如下指标模型s=1 s=2 空闲的概率p00.333 05有1个病人的概率p1有2个病人的概率p20.2220.1480.3330.111平均病人数L平均等待病人数L q 21.3330.750.083病人平均逗留时间W 病人平均等待时间W q 10.6670.3750.042病人需要等待的概率P{T q>0} 0.667(=1-p0) 0.167(=1-p0 -p1)等待时间超过0.5小时的概率P{T q>0.5} 等待时间超过1小时的概率P{T q>1} 0.4040.2450.0220.003如果是一个医生值班, 则病人等待时间明显长. 结论是两个医生较合适.例4 某售票处有三个窗口,顾客的到达服从泊松过程,平均到达率每分钟0.9λ=人/min. 服务(售票)时间服从负指数分布, 平均服务率0.4μ=人/min. 现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购票,这是M/M/s 模型, 其中2.2533,2.25,134s s s λλρμμ=====< 由公式可得:(1) 整个售票处空闲概率1100!!(1)n ss n s P n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑ 0012310.07482.25 2.25 2.25 2.2510!1!2!3!1 2.25/3p ==+++-(2) 平均排队长02!(1)s sq s p L s ρρρ=-320.0748 2.253/4 1.703!(1/4)q L ⨯⋅==(人)平均队长:/ 1.7 2.25 3.95q L L λμ=+=+=(人)(3) 平均等待时间1.701.890.9qq L W λ===(min) 平均逗留时间1/ 1.891/0.4 4.39q W W μ=+=+=(分钟)(4) 顾客到达后必须等(即系统中顾客数已有3)的概率30 2.250.0748(3,2.25)0.57!(1)3!1/4s s p c s ρρ⋅⋅===-⋅.在上例中, 若顾客到达后在每个窗口前各排一队,且中途不换队, 则M/M/3/∞ 3个M/M/1/∞ 如下图所示(b).10.4μ=窗口0.3λ=(b)0.4μ=窗口20.4μ=窗口310.4μ=窗口0.9λ=0.4μ=窗口20.4μ=窗口3(a)0.9λ=0.3λ=0.3λ=每个队的平均到达率为1230.9/30.3λλλ====(人/分钟)结果比较如下指标模型M/M/3 M/M/1服务台空闲的概率P00.0748 0.25(每个子系统) 顾客必须等待的概率P(n≥3)=0.57 0.75平均排队长Lq 1.70 2.25(每个子系统) 平均队长L 3.95 9.00(整个系统) 平均逗留时间W 4.39(分钟) 10(分钟)平均等待时间Wq 1.89(分钟) 7.5(分钟)单队比三队优越.百度知道编组站是铁路网上集中办理大量货物列车到达、解体、编组出发、直通和其它列车作业，并为此设有比较完善的调车作业的车站。
银行排队
银行服务柜台数量分析和设计摘要：本文以银行服务系统为研究对象，引入排队论和排队系统最优化问题的理论，借助高等数学的相关公式和模型求解，根据顾客进入间隔和服务时间的分布求出最优柜台服务人员数。
关键字：银行系统，排队论，最优解一、问题的描述银行是一个非常重要的金融服务机构。
随着国家经济发展水平的不断提高，人们对金融服务的种类和数量的要求在不断地增加。
这就要求金融机构能够提高自身的服务水平和服务能力。
为了适应银行业务量的增加，很多银行都积极开设了自动服务设备、网络银行等，其目的是通过用户的自助服务，分流银行业务总量，从而减少对银行柜台的服务压力。
但是，需要银行柜台进行办理的业务总量仍然是非常大的，人们可以经常看到银行中排起的长龙。
假设我们目前讨论的问题是在自由竞争的市场经济环境下进行的。
对银行方面来讲，为了减少等待队伍的人数，提高银行业务服务满意度，可以通过增加柜台服务人数来实现；但是，增加柜台服务人数必然增加银行的运营成本；可是如果不提高服务的满意度，则银行业务办理的数量也会减少，从而造成银行总利润的减少。
那么，我们怎样设计银行柜台服务人员数量能使银行利润最大呢？二、排队服务系统的基怎本概念就银行服务系统而言到底怎样才能既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾，这是研究随机系统理论——排队论所要研究解决的问题。
2.1排队系统现实生活中的排队现象是多种多样的，一般排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。
2.1.1输入过程输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。
它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述。
顾客总体组成可能是有限的，也可能是无限的；相继到达的顾客时间间隔可以是确定的，也可以是随机型的；顾客到达情况可能是一个一个的，也可能是成批的。
2.1.2排队规则顾客到达时如果所有服务台都被占用，则顾客离开，即损失制；有的顾客数有一定的限制；在多服务台时，队列可以是单列，也可以是多列；在等待服务的次序，可以是先到先服务，或是带优先权服务。
批量到达的多服务台排队模型求解
）ｃ ‘
（） ２
【 （＋ ｃ＝ 岛 口 户 ｌ ｃ ｐ １ ‘ ‘— ‘ ）善 ＋ ＋
将方 程两边 同乘Leabharlann 以 ， 然 后取 和 ， ２ ７ 得
ｍ
善户 １ ） ＋ （＋ ｉ 妻 － ＋ ｚ １ ｃ ＝ Ｉ（ Ｘ
ｅｐ ）同一批到达的顾客按随机顺序接受服务 ， ｘ（ ； 到达顾客若遇系统忙则排队等候 ， 系统 中只有一个 队列 ， 等待 位 置无 限 ， 到达过 程 与服 务过 程是 相互 独立 的 。 ． 顾 客到 达若 遇服 务 台空 闲则 可 以立 即接 受服 务 ， 服务 时间 ｓ服从参 数 为 的指 数分 布 。 下 面是 求解 模 型 设 ｔ时刻 系统 内 的顾 客 数 为 Ｎ（ ）包括 正 在 接 受服 务 的和排 队等 待 的顾 客 ） ｛ （ ） ￡ ０ 的状 态 空 间 为 ｔ（ ，Ｎ ｔ ， ｝
２ 模 型 描 述
设系统 有 ｍ 个 并行 的服务 台 ， 客成 批 到达 ， 批 到 达 的 人 数 是 一 个 随机 变 量 ， 的 分 布 为 Ｐ｛ ｉ ＝ 顾 每 ＝ ｝ ａ ，＝１２ … ， ， Ｅ（ ＝ａ＜∞ ， ） ＜∞ 。批 与 批 之 间 的到 达 间 隔 服从 参 数 为 的指 数 分 布 ｉ ，， ∑ａ ＝１且 ） Ｄ（ ＝
文 章 编 号 ：１ ７—７ ２ ２ ０ ） ．０ ８０ ６ １１４ （０ ７ 叭 ０ ９ —３
批 量 到 达 的 多 服 务 台 排 队 模 型 求 解
丛 国超 ， 朱 翼隽
（ 苏大 学 ， 苏 镇 江 ２ ２ １ ） 江 江 １ ０ ３
摘要 ： 用概率母 函数的方法求解 了批量到达 ， 多服务 台排 队模 型 队长 的稳 态分布 、 均值 、 客到达不 用等 候的 顾
多服务台指数分布排队系统
• 引言 • 引言 • 引言 • 多服务台指数分布排队系统概述 • 多服务台指数分布排队系统的性能指
标
• 多服务台指数分布排队系统的优化设 计
• 多服务台指数分布排队系统的应用实 例
• 结论与展望
01
引言
平均等待时间
• 平均等待时间表示顾客在进入系统后等待接受服务的平均 时间。
系统参数的优化调整
等待时间
过长可能导致客户不满，过短可能造成资源浪 费。
忙期持续时间
过长可能导致服务台超负荷运行，过短可能造 成资源闲置。
优化建议
通过实时监控和数据分析，调整系统参数，以实现服务质量和经济效益的平衡。
05
多服务台指数分布排队系统的应用实
例
银行服务排队系统
总结词
适用于银行服务的多服务台指数分布排队系统能够有效地解决客户等待时间过长的问题， 提高服务效率。
详细描述
在机场安检过程中，乘客需要经过多个环节的检查才能进入候机区。为了提高安检效率，机场通常会设置多个安 检通道，并采用多服务台指数分布排队系统来分配乘客到各个通道。该系统能够根据乘客到达时间和安检流程的 复杂程度，动态调整每个通道的服务速率，使得乘客能够快速、有序地完成安检。
医院挂号排队系统
要点一
04
本文还探讨了系统在不同负载情况下的性能表现，发 现系统在高负载下容易出现性能瓶颈，因此需要合理 设计系统以应对高负载情况。
研究展望
未来研究可以进一步探讨多服务台指 数分布排队系统在不同类型任务和复 杂环境下的性能表现，以更好地适应 实际应用需求。
此外，可以考虑将多服务台指数分布 排队系统与其他排队模型进行比较研 究，以进一步了解其优势和局限性。
排队论讲解
排队论是一种研究排队系统的数学理论，它主要用于研究系统在不同的服务策略下的性能指标，如平均等待时间、平均服务时间、系统吞吐量等。
排队系统是指由顾客和服务台组成的系统，顾客按照先来先服务的原则依次到达服务台，并在服务台得到服务。
排队论的基本模型包括M/M/s、M/M/c、M/G/s、M/G/c等模型，其中M表示顾客到达的随机变量是泊松分布，G表示服务时间的随机变量是几何分布，c表示服务台的容量限制，s表示系统的服务速度。
M/M/s模型是指服务台的服务速度s是固定的，即服务台的服务速度不受顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的平均等待时间和平均服务时间。
M/M/c模型是指服务台的容量限制c是固定的，即服务台的服务速度受到顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的排队长度和服务率。
排队论的应用非常广泛，包括电话系统、银行系统、航空系统、医疗系统等。
在实际应用中，排队论可以帮助企业优化服务流程，提高服务质量，减少顾客等待时间，提高顾客满意度，从而提高企业的竞争力和经济效益。
排队论的应用还在不断地拓展和深化，例如近年来出现的排队论模型包括多服务台排队模型、排队网络模型、排队论与动态优化模型等。
这些模型可以更好地模拟实际系统中的复杂排队情况，提高系统的服务质量和效率。
排队论讲义-2
5⎤−1
[M/M/c]:[∞/m/FCFS
由(63)可以计算得到（算式略）： P1=0.394，P2=0.197，P3=0.074，P4=0.018，P5=0.002 由此，计算系统的各项运行指标如下：
(1) Lq =
n=c+1
. ∑ (n − c)Pn = P3 + 2P4 + 3P5 = 0118
]
(58)
(59) (60)
Wq =
Lq λ (1 − P N )
q
(61) 特别，当N=c时，系统的队列最大长度为0，即顾客到达时，如果服务台有空闲 ，则进入服务台接受服务，如果服务台没有空，顾客则当即离去。这样的系统 成为“即时制”。许多服务设施，如旅馆、停车场等都具有这样的性质。
W = W
+
[M/M/c]:[N/∞/FCFS
[M/M/c]:[∞/∞/FCFS]
这个系统的特点是，系统的服务速率与系统中的顾客数有关。当系统 中的顾客数k不大于服务台个数，即1≤k≤c时，系统中的顾客全部在服 务台中，这时系统的服务速率为kμ；当系统中的顾客数k＞c时，服务 台中正在接受服务的顾客数仍为c个，其余顾客在队列中等待服务，这 时系统的服务速率为cμ。为了求得系统的状态概率，先作出系统的状 态转移图。 P0 P1 P2 Pc-1 Pc Pc+1
正在修理的机器 修理速率μ
顾客到达
修理速率μ 发生故障等待修理的机器 修理速率μ
到达速率 (m-n)λ 运行的机器数 m-n
修理速率cμ
[M/M/c]:[∞/m/FCFS
用状态转移图可以得到状态概率与运行指标(推导过程从略)： 1 7.6.3.1 状态概率 P = 1 ⋅
第四章多服务窗排队模型MMn….ppt
p
k 0
k
1
n 1 1k 1n 1－ m n 1 1 ] [ 1 k 0 k ! n ! p0 k n n 1 n 1 [ ( m n 1)] k 0 k ! n !
1 1
3 多服务窗混合制排队模型M/M/n/m
0 1 2
n-1
n n
n+1 n
n+2 n
2
3
(n-1)
n
服务窗还有空闲
n个服务窗全忙
2 多服务窗等待制排队模型M/M/n
求平稳分布
令1 , ， 1 n
1k nk k p0 p0 k! k! pk k n n 1 p k p 0 0 n! n !n k n
(n 1)!(n 1 )
1n p0
2
n n!(1 )2
1n p0
平均系统内逗留时间
Ws Ls
Ws Wq W服 Wq
1
2 多服务窗等待制排队模型M/M/n
来到系统的顾客必须排队等待的概率
nn k C (n, ) C (n, 1 ) pk p0 k n k n n !
p
k 0
m
k
1
n 1
k C k! k p0 [ Cm 1k m k n 1k ]1 k 0 k n n !n
4 多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m
目标参量
Lq (k n) pk
k n m m
Ls kpk
k 0
§3MMs排队模型
§3 M/M/s 排队模型一、单服务台模型(即M/M/1/∞/∞ 或 M/M/1) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布; 服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: 1;系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限;服务规则: FCFS.1. 队长的分布设{}n p P N n == 0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 则由 (1) 12011......n n n n n C λλλμμμ---=, 1,2,...n =(累积服务率) (2) 011(1)nn p C ∞==+∑ (无客的概率) (3) 0n n p C p =, 1,2,...n = (有n 客的概率)及n λλ=,0,1,2,...n =和n μμ=,1,2,...n =, 并记λρμ=(服务强度, 一般1ρ<) 可得n n n C λρμ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 1,2,...n = 故有 0n n p p ρ=, 1,2,...n =其中 011(1)nn p C ∞==+∑11(1)n n ρ∞==+∑110111n n ρρρ--∞=⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑. 因此 (1)n n p ρρ=-,0,1,2,...n =. 无客的概率: 01p ρ=-,至少有一客的概率ρ 服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率如单位时间,2λ=,5μ=,则,即40%在忙.2. 几个主要指标(1) 系统中平均顾客数=平均队长(2) 系统中等待的平均顾客数=平均排队长.可以证明(见第二版P328的注释)在M/M/1中, 顾客在系统中逗留时间服从参数为的负指数分布, 即密度分布函数:()()(),0.t f t e t μλμλ--=-≥分布函数: ()()()1,0.tF t P T t et μλ--=≤=-≥ 于是得(3) 在系统中顾客平均逗留时间1[]W E T μλ==-; (4) 在队列中顾客平均等待时间 因为 逗留时间=等待时间q T +服务时间V , 即q T T V =+ 故1()()q q W E T E V W μ=+=+, 从而得1q W W W ρρμμλ=-==-另外还可得到(时间与空间关系):L W λ=和q q L W λ=这两个常称为Little 公式.各公式可记忆如下:由λ和μ→服务效率λρμ=, 从逗留时间1W μλ=-→等待时间q W W ρ= 队长L W λ=→排队队长q L L ρ=或q q L W λ=还可导出关系1q W W μ=+和1q L L λμ=+3. 服务机构的忙期B 和闲期I 分析(1) 因为忙期=至少一客的概率ρ, 闲期=无客的概率1ρ- 忙期时间长度/闲期时间长度=1ρρ-(2) 因为忙闲交替,次数平均→平均忙期时间长度/平均闲期时间长度=1ρρ-→1BIρρ=-.(3) 又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性→任闲时刻起,下一客到达间隔仍为λ负指数分布→平均闲期=下一客到达间隔1λ→1Iλ=平均忙期=111B Wρρλμλ=⋅==--即顾客平均逗留时间, 实际意义是明显的.例1一个铁路列车编组站, 设待编列车到达时间间隔负指数分布, 平均到达率2列/h; 编组时间服从负指数分布, 平均20min 可编一组. 已知编组站上共有2股道, 当均被占用时, 不能接车, 再来的列车只能停在站外或前方站. 求(1) 在平稳状态下系统中列车的平均数;(2) 每一列车的平均停留时间;(3) 等待编组的列车的平均数.如果列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时, 每列车的费用为a 元/h, 求每天由于列车在站外等待而造成的损失.解 这里 2λ=,3μ=,213λρμ==< (1) 列车的平均数21L ρρ==-(小时)(2) 列车的平均逗留时间212LW λ===(小时) (3) 等待编组的列车平均数 24233q L L ρ=-=-=(列) (4) 等待编组时间23q W W ρ==(小时) (5) 记列车平均延误(2道满,不能进站)时间为0W ,则 0012{2}(1)W W P N W p p p =⋅>=⋅---3320.2963ρ⎛⎫=== ⎪⎝⎭(小时) 故每天列车由于等待而支出的平均费用 0242420.29614.2E W a a a λ==⨯⨯⨯=(元).例2某修理店只有一个修理工, 来修理的顾客到达过程为Poisson流, 平均4人/h; 修理时间服从负指数分布, 平均需要6 min. 试求:(1) 修理店空闲的概率;(2) 店恰有3个顾客的概率;(3) 店至少有1个顾客的概率;(4) 在店的平均顾客数;(5) 每位顾客在店的平均逗留时间;(6) 等待服务的平均顾客数;(7) 每位顾客平均等待服务时间;(8) 顾客在店等待时间超过10min 的概率.解这里 4λ=,1/0.110μ==,215λρμ==< (1) 修理店空闲的概率0112/50.6p ρ=-=-=(2) 店恰有3个顾客的概率33332(1)10.03855p ρρ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3) 店至少有1个顾客的概率0{1}12/50.4P N p ρ≥=-===(4) 在店的平均顾客数2/50.67112/5L ρρ===--(人) (5) 每位顾客在店的平均逗留时间0.6710(min)4LW λ==≈ (6) 等待服务的平均顾客数0.40.670.268q L L ρ==⨯=(人)(7) 每位顾客平均等待服务时间0.2684(min)4qq L W λ==≈ (8) 顾客在店等待时间超过10min 的概率.11101615{10}0.3679P T ee ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭>===.二、多服务台模型(即M/M/s/∞/∞ 或 M/M/s)到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布;单台服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: s; 12s μμμμ====L 系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS.数据分析设{}n p P N n == 0,1,2,...n =为系统平稳后队长服务台队列⋅⋅⋅⋅⋅⋅u u u u u r u u u u u rμ1μ2sμs 个N 的概率分布, 则,0,1,2,...n n λλ==和系统的服务率,1,2,3,...,,,1,...n n n ss n s s μμμ=⎧=⎨=+⎩记s ss ρλρμ==, 则当1s ρ<时, 不至越排越长, 称s ρ为系统的服务强度或服务机构的平均利用率. 由前面的(1),(2)和(3)公式得(/),1,2,3,...,!(/)(/),!!nn s n sn n s n s n C n ss s s s λμλμλλμμ--⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪=≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 故00,1,2,3,...,!,!nn nn sp n s n p p n ss s ρρ-⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩其中1100!!(1)n s s n s p n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑.当n s ≥时, 顾客要等待. 记这个等待的概率为0(,)!(1)sn n ss c s p p s ρρρ∞===-∑称为Erlang 等待公式. (1) 平均排队长011()()!sn sq n sn s n s p L n s p n s s ρρ∞∞-=+=+=-=-∑∑0021d !d !(1)s s n s ss n s sp p s s ρρρρρρρ∞=⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑ 或(,)1s q sc s L ρρρ=-.(2) 正在接受服务的顾客的平均数1s n n n n ss np s p -∞===+∑∑1000!!(1)n ss n s n p s p n s ρρρ-==+-∑11101(1)!(1)!(1)n s s n s p n s ρρρρρ---=⎡⎤=+=⎢⎥---⎣⎦∑s 与s 无关. 奇!(3) 平均队长L =平均排队长+平均接受服务的顾客数q L ρ=+.对多台服务系统, 仍有Little 公式:LW λ=, 1qq L W W λμ==-例3 考虑一个医院医院急诊的管理问题. 根据统计资料, 急论据病人相继到达的时间间隔服从负指数分布, 平均每0.5h 来一个; 医生处理一个病人的时间也服从负指数分布, 平均需要20min. 该急诊室已有一个医生, 管理人员现考虑是否需要再增加一个医生.解 这是一个M/M/s/∞模型, 有2λ=,3μ=,23λρμ==, 1,2s =由前面的公式, 结果列表如下指标模型s=1 s=2 空闲的概率p00.333 05有1个病人的概率p1有2个病人的概率p20.2220.1480.3330.111平均病人数L平均等待病人数L q 21.3330.750.病人平均逗留时间W 病人平均等待时间W q 10.6670.3750.病人需要等待的概率P{T q>0} 0.667(=1-p0) 0.167(=1-p0 -p1)等待时间超过0.5小时的概率P{T q>0.5} 等待时间超过1小时的概率P{T q>1} 0.4040.2450.0.003如果是一个医生值班, 则病人等待时间明显长. 结论是两个医生较合适.例4 某售票处有三个窗口,顾客的到达服从泊松过程,平均到达率每分钟0.9λ=人/min. 服务(售票)时间服从负指数分布, 平均服务率0.4μ=人/min. 现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购票,这是M/M/s 模型, 其中2.2533,2.25,134s s s λλρμμ=====<由公式可得:(1) 整个售票处空闲概率1100!!(1)n ss n s P n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑0012310.07482.25 2.25 2.25 2.2510!1!2!3!1 2.25/3p ==+++-(2) 平均排队长02!(1)s sq s p L s ρρρ=-320.0748 2.253/4 1.703!(1/4)q L ⨯⋅==(人)平均队长:/ 1.7 2.25 3.95q L L λμ=+=+=(人)(3) 平均等待时间1.701.890.9qq L W λ===(min) 平均逗留时间1/ 1.891/0.4 4.39q W W μ=+=+=(分钟)(4) 顾客到达后必须等(即系统中顾客数已有3)的概率30 2.250.0748(3,2.25)0.57!(1)3!1/4s s p c s ρρ⋅⋅===-⋅.在上例中, 若顾客到达后在每个窗口前各排一队,且中途不换队, 则M/M/3/∞ 3个M/M/1/∞ 如下图所示(b).10.4μ=窗口0.3λ=(b)0.4μ=窗口20.4μ=窗口310.4μ=窗口0.9λ=0.4μ=窗口20.4μ=窗口3(a)0.9λ=0.3λ=0.3λ=每个队的平均到达率为1230.9/30.3λλλ====(人/分钟)结果比较如下指标模型M/M/3 M/M/1服务台空闲的概率P00.0748 0.25(每个子系统) 顾客必须等待的概率P(n≥3)=0.57 0.75平均排队长Lq 1.70 2.25(每个子系统) 平均队长L 3.95 9.00(整个系统) 平均逗留时间W 4.39(分钟) 10(分钟)平均等待时间Wq 1.89(分钟) 7.5(分钟)单队比三队优越.百度知道编组站是铁路网上集中办理大量货物列车到达、解体、编组出发、直通和其它列车作业，并为此设有比较完善的调车作业的车站。
多服务台模型
L qn s 1(ns)pnp0 s!sn s 1(ns)sns
（s） 注意：这里的L公q式和书S上!(的1公式s不)P2一0 致？？？？？？
顾客在系统中的平均排队时间Wq
有Little公式：
W L
Wq（s）s P0
S!(1 )2
• 顾客在系统中逗留的时间Ws
WsWq1 （ S!s(1） s)2P0 1
s
s+1
2 n (S1) S S
生灭过程p161
系统状态转移图
...... s+k
S
Pi ii1ii12ii23......10 P0 1iK
n1!
n
P0
P n
S
n
1
s
S
!
n
P0
nS
nS
其中
K
Pi 1
i0
S11
1 s1
P0n0n!S!1
• 系统中等待的平均顾客数Lq(排队长期望)
系统中的平均顾客数Ls 有Little公式:
LsWs（Ss!(1） s)P20
某售票处有三个窗口,顾客的到达服从泊松过
程,平均到达率 0.9人/min. 服务(售票)时间 服从负指数分布, 平均服务率 0.4 人/min.
现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购 票,这是M/M/s模型, 其中
多服务台模型
多服务台模型(即M/M/s/ /或
M/M/s)
到达间隔: 泊松(参数为:到达率)分布; 单台服务时间: 负指数(参数为:服务率)分布; 服务台数: s; 系统容量: 无限; 排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS.
（M/M/S）数据分析（系统稳态条件）
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1
Hale Waihona Puke • 系统中等待的平均顾客数Lq(排队长期望)
p0 Lq (n s ) pn s! n s 1
s
n s 1
0
(n s)
ns s
注意：这里的公式和书上的公式不一致？？？？？？ s
P （ s ） Lq
S!(1 )
2
顾客在系统中的平均排队时间Wq s 有Little公式： P 0 L Wq W 2
.
单队比三队优越
.
谢谢！ 期待老师批评指正。
1 P0 n ! Pn n 1 P 0 ns S S !
n
nS
nS
s
其中
P 1
i 0 i
K
S 1 1 1 P0 n ! S ! 1 n 0
（s）
S!(1 )
• 顾客在系统中逗留的时间Ws
Ws Wq
1
P （ s ）
s 2
0
S!(1 )
1
系统中的平均顾客数Ls 有Little公式:
P （ s ） Ls Ws
s
0
S!(1 )
2
某售票处有三个窗口,顾客的到达服从泊松过 程,平均到达率 0.9 人/min. 服务(售票)时间 服从负指数分布, 平均服务率 0.4 人/min. 现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购 票,这是M/M/s模型, 其中
多服务台服务系统：
• 生活中的例子：
多服务台模型(即M/M/s/ / 或 M/M/s)
到达间隔: 泊松(参数为:到达率)分布; 单台服务时间: 负指数(参数为:服务率)分布; 服务台数: s; 系统容量: 无限; 排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS.
（M/M/S）数据分析（系统稳态条件）
2.25 3 s 3, 2.25, s 1 s 3 4
由公式可得: (1) 整个售票处空闲概率
1 p0 0.0748 0 1 2 3 2.25 2.25 2.25 2.25 1 0! 1! 2! 3! 1 2.25 / 3
(2) 平均排队长
窗口1 0.4
窗口2 0.4
窗口3 0.4
窗口1 0.4
0.9
(a)
窗口3 0.4 0.3 0.3 0.3
窗口2 0.4
(b)
0.9
每个队的平均到达率为
1 2 3 0.9 / 3 0.3
结果比较如下
（s）
s3
S!(1 )
平均队列长
L Lq / 1.7 2.25 3.95
平均等待时间
1.70 Wq 1.89 0.9
Lq
平均逗留时间
W Wq 1/ 1.89 1/ 0.4 4.39
在上例中, 若顾客到达后在每个窗口前各排一队,且 中途不换队, 则M/M/3/∞ 3个M/M/1/∞ 如下图所示(b).
S 1 1 1 P0 n ! S ! 1 n 0
s
1
0.0748 2.25 P 30/ 4 Lq 1.70 2 Lq 3!(1 / 4) 2
n 0,1, 2,...
S
系统才能达到稳态而 不出现排成无限的队 列
0
1
...
......
n ... s-1 2 n ( S 1) S
s
s+1
s+k
S
S
生灭过程p161
系统状态转移图
i 1i 2i 3 ...0 Pi P0 1 i K i i 1i 2 ...1
1.顾客的平均到达率 n , 2.系统的服务率（重点）：
当系统中只有一个顾客时，则有S-1个服务台空闲 n , n 1, 2,3,..., s 着，仅有一个服务台在服务，这时的服务率为 μ； n 当系统中有 2个顾客时，就有2个服务台工作，其 s...... , ；当系统中有 n s, s S 1,... 服务率为2μ ； 个顾客时，则服 为系统的服务强度或服务 务率达到最大值 。当系统中顾客数超过S时， 所以记Sμ 由于S个服务台都无空闲，其余顾客必须排队，这 机构的平均利用率. 时的服务率仍为Sμ 1