概率论第四章 习题解答
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第四章 随机变量的数字特征
I 教学基本要求
1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；
2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差；
3、了解切比雪夫不等式及应用；
4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念；
5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理；
6、了解林德伯格－列维中心极限定理、棣莫弗―拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用.
II 习题解答
A 组
1、离散型随机变量X 的概率分布为
求()E X 、(35)E X +、2()E X ？
解：()(2)0.4000.3020.300.2E X =-⨯+⨯+⨯=-；
(35)3()5 4.4E X E X +=+=；
2222()(2)0.4000.3020.30 1.8E X =-⨯+⨯+⨯=.
2、某产品表面瑕疵点数服从参数0.8λ=的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元.求产品的平均价值？
解：设X 为产品价格，则0X =、8、10.通过查泊松分布表可知其相应概率分布为
则()80.1898100.80889.61E X =⨯+⨯≈(元).
3、设随机变量X 的分布函数为0
0()/40414x F x x x x ≤⎧⎪
=<≤⎨⎪>⎩
.求()E X ？
解：由分布函数知X 的密度函数为
1/404
()0
x f x <≤⎧=⎨
⎩其它 则4
()()24
x
E X xf x dx dx +∞
-∞
=
==⎰
⎰
. 4、设随机变量X 服从几何分布，即1()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k = ，其中
01p <<是常数.求()E X ？
解：1
11
1
()(1)
(1)k k k k E X kp p p k p +∞
+∞
--===
-=-∑∑
由级数
21
2
1123(1)
k x x kx x -=+++++- (||1)x <，知 211
()[1(1)]E X p p p
=⨯
=--.
5、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，即
()!
k
p X k e k λλ-==
(0,1,2,)k =
求()E X 、2
()E X ？
解：1
00
()!(1)!k
k k k E X k e
e
e e k k λ
λ
λλλλλλλ-+∞
+∞
---
===
===-∑∑；
12
2
010
(1)()[]!
(1)!!k
k k k k k k k E X k
e
e e k k k λ
λ
λ
λλλλλ-+∞
+∞
+∞
---===+===-∑∑∑
1
21
[]()(1)!
!
k k
k k e e e e k k λ
λλλλλλλλλλλ-+∞
+∞
--===+=+=+-∑
∑
.
6、某工程队完成某项工程的时间X (单位:月)服从下述分布
(1) 求该工程队完成此项工程的平均时间；
(2) 设该工程队获利50(13)Y X =-(万元).求平均利润？ 解：(1) ()100.4110.3120.2130.111E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(月)；
(2) ()[50(13)]65050()100E Y E X E X =-=-⨯=(万元). 7、若随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，即
1()a x b
f x b a
⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它
求()E X 、2()E X ？
解：()()2
b
a
x a b
E X xf x dx dx b a +∞
-∞
+=
==-⎰
⎰
； 222
2
2
()()3
b
a
x a ab b E X x f x dx dx b a +∞
-∞
++===-⎰
⎰
. 8、若随机变量X 服从参数为λ的指数分布，即
0()0
x
e x
f x x λλ-⎧>=⎨
≤⎩０
求()E X 、2()E X ？
解：0
()()x
x E X xf x dx x e
dx xde λλλ+∞
+∞
+∞
---∞
=
==-⎰
⎰
⎰
1
x
x xe e dx λλλ
+∞
+∞--=-+=
⎰；
2
2
222
2
()()2x
x x E X x f x dx x e
dx x e
xe dx λλλλλ+∞
+∞+∞
+∞
----∞
===-+=
⎰
⎰
⎰
.
9、离散型随机变量X 的概率分布为
求()E X 、[ln(2)]E X +？
解：34519()0261212126
E X =⨯
+⨯+⨯=； 34513
[ln(2)]ln(02)ln(22)ln(62)ln 21212126
E X +=+⨯+
+⨯++⨯=.
10、设2
~(,)X N μσ，求(||)E X μ-？
解：22
()2(||)||x E X x e
dx μσμμ--
+∞
-∞
-=-⎰
令x t μ
σ
-=
，由偶函数性质有