人教版高中数学必修四 1.1.2弧度制教案

1.1.2弧度制

【学习目标】

1. 理解并掌握弧度制定义. 熟练进行角度制与弧度制地互化换算.

2．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用.

【新知自学】

知识回顾：

1．角的概念

一条射线OA由原来的位置，绕着它的________按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。

按__________方向旋转所形成的角叫正角；

按_______方向旋转所形成的角叫负角；

如果一条射线_______________，我们称它形成了一个零角.

2．象限角

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的________________重合,那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合________________________,

新知梳理：

1. 角度制规定

将一个圆周分成360份，每一份叫做_____度，故周角等于_____度，平角等于______度，

直角等于90度.

2. 弧度制的定义

长度等于__________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写).

思考：在大小不同的圆中，等长的弧所对的圆心角相等吗？

3．弧度数的求法

一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么角α的弧度数的绝对值是：α________.α的正负由__决定.

=

正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .

4．角度与弧度的换算

（1）3600=________rad ；

（2）________=πrad ； 度数0

180π⨯=弧度数； 弧度数π

0180⨯=度数. 【感悟】在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.

对点练习1：

填写下表 12

5. 扇形的公式:

(1)l R α=; (2)212

S R α=; (3)12

S lR =

.

对点练习2：

若扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 c m ，求扇形圆心角的弧度数．

【合作探究】

典例精析：

一、角度与弧度的换算

例1.将下列各角度与弧度互化:

（1）-210º；(2)1200º；（3）3

5

；(4) -3.5.

变式1. 将下列各角度与弧度互化:

(1)22 º30′；(2)-1125°；(3) -

3

4π；（4）103π.

二、用弧度制表示角的集合

例2. 如下图，用弧度制表示终边落在阴影部分的角的集合．

变式2.用弧度制表示终边在第四象限的角的集合.

三、弧长、扇形面积的有关计算

例3.若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm，求这个圆心角所在的扇形面积．变式3.已知扇形的周长为8cm，圆心角为2，，求该扇形的面积.

【课堂小结】

【当堂达标】

1．将下列弧度转化为角度：

(1)π12

＝________°； (2)-7π8

＝________°； (3)13π6

＝________°.

2．将下列角度转化为弧度：

(1)36°＝______(rad)；

(2)-105°＝_______(rad)；

(3)37°30′＝_______(rad)．

3．把-1035°化成α＋2k π (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是___________________．

4．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．

5、如下图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．

【课时作业】

1．下列叙述中正确的是()

A．1弧度是1度的圆心角所对的弧

B．1弧度是长度为半径的弧

C．1弧度是1度的弧与1度的角之和

D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位

2.3π

5弧度化为角度是() A．110°B．160°C．108°D．218°

3．若α＝5 rad，则角α的终边所在的象限为() A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

*4．集合{|,}25

k M k Z ππαα==-∈， {|}N βπβπ=-<<，则M N =（ ） A.3{ , }510ππ-

B.74{ , }105ππ-

C.734{ , , , }105105ππππ-

- D.73{ , }1010

ππ- 5.把下列角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )形式，写出终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．

(1)-463

π； (2) 1 690°； (3)-20.

6．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求其圆心角的弧度数．

7．若角α，β终边关于原点对称，且α＝-π3

，写出β角的集合．

8．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R ，若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积．