人教版高中数学必修四 1.1.2弧度制教案

1.1.2弧度制
【学习目标】
1. 理解并掌握弧度制定义. 熟练进行角度制与弧度制地互化换算.
2．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用.
【新知自学】
知识回顾：
1．角的概念
一条射线OA由原来的位置，绕着它的________按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。

按__________方向旋转所形成的角叫正角；
按_______方向旋转所形成的角叫负角；
如果一条射线_______________，我们称它形成了一个零角.
2．象限角
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的________________重合,那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合________________________,
新知梳理：
1. 角度制规定
将一个圆周分成360份，每一份叫做_____度，故周角等于_____度，平角等于______度，
直角等于90度.
2. 弧度制的定义
长度等于__________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
思考：在大小不同的圆中，等长的弧所对的圆心角相等吗？
3．弧度数的求法
一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么角α的弧度数的绝对值是：α________.α的正负由__决定.
=
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .
4．角度与弧度的换算
（1）3600=________rad ；
（2）________=πrad ； 度数0
180π⨯=弧度数； 弧度数π
0180⨯=度数. 【感悟】在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
对点练习1：
填写下表 12
5. 扇形的公式:
(1)l R α=; (2)212
S R α=; (3)12
S lR =
.
对点练习2：
若扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 c m ，求扇形圆心角的弧度数．
【合作探究】
典例精析：
一、角度与弧度的换算
例1.将下列各角度与弧度互化:
（1）-210º；(2)1200º；（3）3
5
；(4) -3.5.
变式1. 将下列各角度与弧度互化:
(1)22 º30′；(2)-1125°；(3) -
3
4π；（4）103π.
二、用弧度制表示角的集合
例2. 如下图，用弧度制表示终边落在阴影部分的角的集合．
变式2.用弧度制表示终边在第四象限的角的集合.
三、弧长、扇形面积的有关计算
例3.若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm，求这个圆心角所在的扇形面积．变式3.已知扇形的周长为8cm，圆心角为2，，求该扇形的面积.
【课堂小结】
【当堂达标】
1．将下列弧度转化为角度：
(1)π12
＝________°； (2)-7π8
＝________°； (3)13π6
＝________°.
2．将下列角度转化为弧度：
(1)36°＝______(rad)；
(2)-105°＝_______(rad)；
(3)37°30′＝_______(rad)．
3．把-1035°化成α＋2k π (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是___________________．
4．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
5、如下图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
【课时作业】
1．下列叙述中正确的是()
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
2.3π
5弧度化为角度是() A．110°B．160°C．108°D．218°
3．若α＝5 rad，则角α的终边所在的象限为() A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
*4．集合{|,}25
k M k Z ππαα==-∈， {|}N βπβπ=-<<，则M N =（ ） A.3{ , }510ππ-
B.74{ , }105ππ-
C.734{ , , , }105105ππππ-
- D.73{ , }1010
ππ- 5.把下列角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )形式，写出终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．
(1)-463
π； (2) 1 690°； (3)-20.
6．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求其圆心角的弧度数．
7．若角α，β终边关于原点对称，且α＝-π3
，写出β角的集合．
8．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R ，若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积．
【延伸探究】
已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？。