《用向量计算空间角》导学案

导.学. .固 思
问题1 空间角的分类和概念 (1)两异面直线所成的角:在空间内任取一点 O,过 O 分别作两异 面直线的 平行线 ,这两条平行线所成的 锐角 或 直角 叫作 异面直线所成的角. (2)直线与平面所成的角:平面的一条斜线与斜线在平面内的 摄影 所成的 锐角 叫作斜线与平面所成的角,特别地,如果直线 与平面平行或在平面内,直线与平面所成的角为 0 ,当直线与 平 (3面 )二垂面直角时:,从所一成条的直角线为出发π2 的两个 . 半平面 组成的图形叫作二面 角,以二面角棱上任意一点为端点,在两个平面内分别 垂直于棱 的两条射线所成的角叫作二面角的平面角,平面角是直 角的二面角叫作 直二面角 .
=(-1,0,-1),∴EF·B1C=0,得 EF⊥B1C,即 EF 与 B1C 所成角为 90°.
(2)C1
G=(0,-1,-1),
4
∵|C1G|=
17,|EF|=
4
23,EF·C1G=38,
3
∴cos
θ=
8
17 4
×
3 2
=
51,即
17
EF
与
C1G
所成角的余弦值为
51.
17
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向量法计算直线与平面所成的角 如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中 ,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3. (1)证明:AC⊥B1D; (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
2 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),则角
A 的余弦值为( B ).
A. 10
10
B.- 10
10
C. 5
5
D.- 5
5
【解析】∵A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),
∴AB=(1,1,0),AC=(-1,0,2), ∴cos A= AB ·AC =-1+0+0=- 10,
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问题4 用向量法计算二面角的大小 二面角 α—l—β 的大小记为 θ,平面 α 的法向量 m 与平面 β 的法向量 n 所成的角记为<m,n>. (1)θ 与<m,n>的关系是 相等 或 互补 .
|m·n|
(2)计算公式:|cos θ|=|cos<m,n>|= |m|·|n| ,根据 θ 的 象限确定 cos θ 的符号.
|AB ||AC | 2× 5 10
∴角 A 的余弦值为- 10.
10
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3 如图,在空间直角坐标系中,空间四边形 OABC 的
四个顶点坐标分别是
O(0,0,0),A(1,0,0),B(2,2,0),C(0,1,2),则直
线 OC 与平面 OAB 所成角的正弦值
为
25 5
.
【解析】平面 OAB 是 xOy 坐标平面,所以 n=(0,0,1)是平面 OAB 的 一个法向量,OC=(0,1,2),cos<n,OC>= 2 =2 5,即直线 OC 与平面 OAB
【解析】 (法一)(1)如图,因为 BB1⊥平面 ABCD,AC⊂平面 ABCD,所 以 AC⊥BB1. 又 AC⊥BD,所以 AC⊥平面 BB1D,而 B1D⊂平面 BB1D,所以 AC⊥B1D.
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(2)因为 B1C1∥AD,所以直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角等于直线 AD 与 平面 ACD1 所成的角(记为 θ). 如图,连接 A1D.因为棱柱 ABCD-A1B1C1D1 是直棱柱,且 ∠B1A1D1=∠BAD=90°, 所以 A1B1⊥平面 ADD1A1,从而 A1B1⊥AD1,又 AD=AA1=3,所以四边形 ADD1A 是正方形,于是 A1D⊥AD1.故 AD1⊥平面 A1B1D,于是 AD1⊥B1D. 由(1)知,AC⊥B1D,所以 B1D⊥平面 ACD1.故∠ADB1=90°-θ, 在直角梯形 ABCD 中,因为 AC⊥BD,所以∠BAC=∠ADB.
第5课时 用向量计算空间角
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1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的 概念. 2.会用向量方法求两条直线所成的角、线面角和二面角. 3.体会向量方法在研究几何问题中的作用.
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回顾一下二面角的定义,两个半平面形成的二面角与这
两个半平面的法向量的夹角的关系.
AD1=(-2,0,1),DC1=(0,2,1), 故异面直线 AD1 和 C1D 所成角余弦值为
|cos<AD1
,DC1
>|=|AD
|AD
1 1
·D C ||DC
1 1
|=1.
|5
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用向量法计算异面直线所成的角
在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 D1D,BD 的中
55
所成角的正弦值为2 5.
5
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4 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 1,求异面直线 AD1 和 C1D 所成 角的余弦值.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系. 则 A(2,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),
点,G 为
在 CD
90。
上;E,F且与CGC=1G14C所D,成H角为的C1余G 的弦中值点为.则157E1F
与 B1C .
所成角
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【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,
由已知有 E(0,0,12)、F(12,12,0)、C(0,1,0)、B1(1,1,1)、G(0,34,0),C1(0,1,1). (1)∵EF=(12,12,-12),B1C
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1 已知二面角α—l—β的大小为60°,且m⊥α,n⊥β,则 m、n的夹角为( D ). A.30° B.60° C.120° D.60°或120°
【解析】注意法向量的夹角可能与二面角的大小相等或互补,
不能错选B.利用法向量求二面角的大小时,要结合具体题目选 择相等或互补的角.
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问题3 用向量法求直线与平面所成的角
直线 l 与平面 α 所成的角记为 θ,这条直线的方向量 a 与这个
平面的法向量 n 所成的角记为<a,n>.
(1)θ 与<a,n>的关系:若<a,n>∈[0,π],则 θ=
<a,n>∈(π,π),则 θ=
2
<a,n>-π
2
2
. |a·n|
π-<a,n>
2
;若
(2)计算公式:sin θ=|cos<a,n>|= |a|·|n| .
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问题2 用向量法求两异面直线所成的角
两异面直线所成的角记为 θ,他们的方向向量 a,b 所成的角记
为<a,b>.
(1)θ 与<a,b>的关系:若<a,b>∈(0,π],则 θ= <a,b> ;若
2
<a,b>∈(π,π),则 θ= π-<a,b> .
2
|a·b|
(2)计算公式:cos θ=|cos<a,b>|= |a|·|b| .