《用向量计算空间角》导学案

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《利用向量法求空间角》教案

《利用向量法求空间角》教案一、教学目标1. 让学生理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本运算。

2. 引导学生掌握利用向量法求空间角的方法，培养空间想象能力。

3. 通过对空间角的学习，提高学生解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 空间向量的概念及基本运算2. 空间向量夹角的定义及计算方法3. 空间向量垂直的判定与性质4. 利用向量法求空间角的大小5. 应用实例解析三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念及基本运算（2）空间向量夹角的计算方法（3）利用向量法求空间角的大小2. 教学难点：（1）空间向量垂直的判定与性质（2）应用实例的解析四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解空间向量及空间角的相关概念、性质和计算方法。

2. 利用多媒体课件，展示空间向量的几何形象，增强学生的空间想象力。

3. 结合具体实例，引导学生运用向量法求解空间角的大小，提高解决实际问题的能力。

4. 组织课堂讨论，鼓励学生提问、发表见解，提高学生的参与意识。

五、教学安排1. 第一课时：介绍空间向量的概念及基本运算2. 第二课时：讲解空间向量夹角的定义及计算方法3. 第三课时：讲解空间向量垂直的判定与性质4. 第四课时：讲解利用向量法求空间角的大小5. 第五课时：应用实例解析，巩固所学知识六、教学过程1. 导入：回顾上一节课的内容，通过提问方式检查学生对空间向量的理解和掌握情况。

2. 新课导入：介绍空间向量夹角的定义，解释其在几何中的意义。

3. 课堂讲解：详细讲解空间向量夹角的计算方法，包括夹角余弦值的求法。

4. 例题讲解：挑选典型例题，演示利用向量法求空间向量夹角的过程。

5. 课堂练习：学生独立完成练习题，巩固向量夹角的知识。

六、教学内容1. 空间向量夹角的定义2. 空间向量夹角的计算方法3. 空间向量夹角的应用实例七、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量夹角的定义及其计算方法（2）利用向量夹角解决实际问题2. 教学难点：（1）空间向量夹角的计算方法（2）空间向量夹角在实际问题中的应用八、教学方法1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解空间向量夹角的含义和应用。

利用向量法求空间角》教案

利用向量法求空间角一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念和运算法则。

2. 培养学生利用向量法求空间角的能力。

3. 提高学生解决空间几何问题的综合素质。

二、教学内容1. 空间向量的概念及其表示方法。

2. 空间向量的线性运算：加法、减法、数乘、数量积（点积）、叉积。

3. 空间向量的坐标表示与运算。

4. 空间角的概念及求法。

5. 利用向量法求空间角的方法与步骤。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念及其表示方法。

（2）空间向量的线性运算及坐标表示。

（3）空间角的概念及求法。

（4）利用向量法求空间角的方法与步骤。

2. 教学难点：（1）空间向量的坐标表示与运算。

（2）利用向量法求空间角的具体步骤。

四、教学方法与手段1. 采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等教学方法。

2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段。

五、教学过程1. 导入新课：介绍空间向量的概念，引导学生回顾初中阶段所学的一维向量和二维向量，引出三维空间向量的概念。

2. 知识讲解：讲解空间向量的表示方法、线性运算（加法、减法、数乘）、数量积（点积）和叉积。

3. 实例演示：利用多媒体课件演示空间向量的坐标表示与运算，让学生直观地感受空间向量的运算过程。

4. 练习巩固：布置一些有关空间向量的练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的理解和掌握程度。

5. 讲解空间角的概念及求法：讲解空间角的概念，引导学生理解空间角的大小与两个向量的夹角有关。

6. 方法讲解：讲解利用向量法求空间角的方法与步骤，让学生了解如何运用向量知识求解空间角。

7. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调空间向量运算和空间角求解的方法。

8. 课后作业：布置一些有关利用向量法求空间角的练习题，让学生巩固所学知识。

六、教学拓展1. 引导学生思考空间向量在实际问题中的应用，例如物理学中的力、速度等问题。

2. 探讨空间向量与其他数学领域的联系，如代数、微积分等。

七、课堂练习1. 布置一些有关空间向量运算和空间角求解的练习题，让学生独立完成。

高中数学《利用空间向量求空间角》导学案(课前部分)

§3.2.3《利用空间向量求空间角》导学案（课前部分）编制：审核：高二数学组【学习目标】1、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3、使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 【重点、难点】1、重点：求解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法。

2、难点：二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系。

一、【★ 旧知链接】向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：（2）两向量夹角公式：（3）平面的法向量：二、【★ 学习探究】知识点1、异面直线所成的角（范围：）设两异面直线a 、b 的方向向量分别为m 和 n ，思考1 当m 与n 的夹角不大于90°时，异面直线a 、b 所成的角与m 和n 的夹角的关系？θcos 与><n m ,cos 有什么关系？（如图1）（1）（2）思考 2 当m 与n 的夹角大于90°时，异面直线a 、b 所成的角与m 和n 的夹角的关系？θcos 与><n m ,cos 有什么关系？（如图2）结论：设两异面直线a 、b 的方向向量分别为m 和n ，所以，异面直线a 、b 所成的角的余弦值为:=θcos典例1：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1、A 1C 1的中点．求：异面直线AE 与CF 所成角的余弦值．'ab ´oθbβnαmbβnaαm'ab ´o θ•θθ知识点2、直线与平面所成的角（范围：）（1）（2）思考1：如图（1）的余角与><n AB ,的关系？与的关系？思考2：如图（2）的余角与><n AB ,的关系？与的关系？结论：直线与平面所成的角的正弦值为=θsin典例2：如图所示，已知直角梯形ABCD ，其中AB ＝BC ＝2AD ，AS ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且AS ＝AB.求直线SC 与底面ABCD 的夹角θ的正弦．知识点3、二面角（范围：）θαβn 2θαβn 1n 2（1）（2）思考1：如图（1），θ与><21,n n 的关系？思考2：如图（2），θ与><21,n n 的关系？结论：二面角的余弦值θcos 与><21,cos n n 的关系？典例3：如图，四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3.点E 在棱PA 上，且PE ＝2EA.求二面角A －BE －D 的余弦值．αBA θOnαθBAOn θ)2cos(θπ-n AB θ)2cos(θπ-nAB cos典例4：如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和b ,CD的长为c , AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.A BCDαβ由此题你能总结求解二面角的另外一种方法吗？三、【★巩固练习】1.如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，直线SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：（1）异面直线SA和OB所成的角的余弦值；（2）直线OS与平面SAB所成角α的正弦值；（3）二面角B－AS－O的余弦值.OA B CS2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E、F 分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1，(1)求二面角C—DE—C1的余弦值；(2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值．四、【★质疑汇总】1.我的疑惑？2.小组合作探究后的疑惑？五、【★自学总结】本节课我的收获：3．个人评价反思：§3.2.3《利用空间向量求空间角》导学案（课上部分）【★展示交流问题】1．课上要解决的问题：2．展示交流记录：§3.2.3《利用空间向量求空间角》导学案达标检测（课上部分）（限时独立完成）1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均错2．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．以上均错3．若两个平面α，β的法向量分别是n ＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的二面角的度数是________．4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22（ 4题图）（5题图）5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，M ，N 分别是DD 1，B 1C 1的中点，P 是棱AB 上的动点，则A 1M 与PN 所成的角是________．ADCA 1D 1C 1BEB 1§3.2.3《利用空间向量求空间角》导学案（课后部分）【★课后作业：】教材112页6、8、111.已知正四棱锥S—ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E是SA的中点，求异面直线BE和SC所成的角．2．正三棱锥O—ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知OA1＝32.(1)求证：B1C1⊥平面OAH；(2)求二面角O—A1B1—C1的余弦值．。

高中数学_利用空间向量求空间角教学设计学情分析教材分析课后反思

利用空间向量求空间角一、高考考纲要求：能用向量方法解决异面直线夹角、线面角、面面角问题。

体会向量法在立体几何中的应用。

二、命题趋势：在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多。

三、教学目标知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力。

四、教学重难点重点：复习向量法求空间角的方法与步骤。

(重点)难点：强化向量法求空间角公式的理解。

(难点)五、教学过程板书设计：课题思维导图例题例题板演利用空间向量求空间角人教B版选修2-1学情分析学生虽已学完立体几何，也对立体几何有了一定认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作，证，算”三部分组成，学生对做出空间角的方法即如何化空间角为平面角，并在可解三角形中求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立体几何问题难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生更好的掌握。

学生已经分节对每一个空间角进行了学习，有些混淆，需要通过思维导图形成知识框架，讨论解决模糊知识，清除知识障碍，并准确迅速求空间角。

利用空间向量求空间角人教B版选修2-1效果分析新课程提倡自主、合作、探究的学习方式，课堂教学效率是学生学习成绩提高的关键。

教师应着力构建自主的课堂，让学生在生动、活泼的状态中高效率地学习。

如何才能提高课堂教学的有效性，我在本节课中的教学中主要运用了以下几种方法。

一、创设数学学习情境，激发学生的学习兴趣“兴趣是最好的老师,有兴趣不是负担”,这句话饱含深刻的道理。

利用向量法求空间角教案

利用向量法求空间角-经典教案教案章节一：向量基础教学目标：1. 理解向量的概念及其表示方法。

2. 掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘。

教学内容：1. 向量的定义及表示方法。

2. 向量的运算规则：a) 向量加法：三角形法则和平行四边形法则。

b) 向量减法：向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。

c) 数乘：一个实数乘以一个向量，得到一个新的向量，其实数乘以原向量的模，新向量的方向与原向量相同。

d) 点乘：两个向量的点乘，得到一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值。

教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解向量的概念和表示方法。

2. 通过例题，让学生掌握向量的运算规则。

教案章节二：空间向量教学目标：1. 理解空间向量的概念及其表示方法。

2. 掌握空间向量的运算规则，包括空间向量的加法、减法、数乘和点乘。

教学内容：1. 空间向量的定义及表示方法。

2. 空间向量的运算规则：a) 空间向量加法：三角形法则和平行四边形法则。

b) 空间向量减法：空间向量减去另一个空间向量等于加上这个空间向量的相反空间向量。

c) 空间向量的数乘：一个实数乘以一个空间向量，得到一个新的空间向量，其实数乘以原空间向量的模，新空间向量的方向与原空间向量相同。

d) 空间向量的点乘：两个空间向量的点乘，得到一个实数，表示两个空间向量的夹角的余弦值。

教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解空间向量的概念和表示方法。

2. 通过例题，让学生掌握空间向量的运算规则。

教案章节三：向量的投影教学目标：1. 理解向量的投影的概念及其计算方法。

2. 掌握向量的正交投影和斜投影的计算方法。

教学内容：1. 向量的投影的定义及计算方法。

2. 向量的正交投影和斜投影的计算方法：a) 向量的正交投影：将向量投影到垂直于某一平面的向量上，得到的投影向量与投影平面垂直。

b) 向量的斜投影：将向量投影到某一平面上，得到的投影向量与投影平面不垂直。

高中数学《利用空间向量求空间角、空间距离问题》导学案

3.2.3利用空间向量求空间角、空间距离问题1．空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝□01|cos〈a，b〉|＝□02|a·b||a||b|□03⎝⎛⎦⎥⎤0，π2直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝□04|cos〈a，n〉|＝□05|a·n||a||n|□06⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2二面角设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝□07|cos〈n1，n2〉|＝□08|n1·n2||n1||n2|□09[0，π]2．空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A，B为空间中任意两点，则d＝□10|AB→|点面距设平面α的法向量为n，B∉α，A∈α，则B点到平面α的距离d＝□11|BA→·n||n|1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．()(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．()(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________．(2)(教材改编P 111A 组T 11)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是C 1C 的中点，O 是底面ABCD 的中点，P 是A 1B 1上的任意点，则直线BM 与OP 所成的角为________．(3)已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为________．答案 (1)45°或135° (2)π2 (3)103解析 (2)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2 ，则O (1,1,0)，P (2，x,2)，B (2,2,0)，M (0,2,1)，则OP →＝(1，x －1,2)，BM →＝(－2,0,1)．所以OP →·BM →＝0，所以直线BM 与OP 所成角为π2.探究1 利用空间向量求线线角例1 如图1，已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高分别为1和2，AB ＝4.求异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值．[解] 由题设知，ABCD 是正方形，连接AC ，BD ，交于点O ，则AC ⊥BD .连接PQ ，则PQ 过点O .由正四棱锥的性质知PQ ⊥平面ABCD ，故以O 为坐标原点，以直线CA ，DB ，QP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图2)，则P (0,0,1)，A (22，0,0)，Q (0,0，－2)，B (0,22，0)，∴AQ →＝(－22，0，－2)，PB →＝(0,22，－1)．于是cos 〈AQ →，PB →〉＝AQ →·PB →|AQ →||PB →|＝39，∴异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值为39. 拓展提升两异面直线所成角的求法(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．(2)取定基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在由公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |求向量a 、b 的夹角时，关键是求出a ·b 及|a |与|b |，一般是把a 、b 用一组基底表示出来，再求有关的量．(3)用坐标法求异面直线的夹角的方法①建立恰当的空间直角坐标系；②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式； ③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角； ④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角．【跟踪训练1】如图，在三棱锥V －ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝θ.当θ＝π3时，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值．解由于AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,1,0)．当θ＝π3时，在Rt △VCD 中，CD ＝2，故有V (0,0，6)．所以AC →＝(－2,0,0)，VD →＝(1,1，－6)．所以cos 〈AC →，VD →〉＝AC →·VD →|AC →||VD →|＝－22×22＝－24.所以异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24. 探究2 利用空间向量求线面角例2 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．[解] 建立如下图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0, 2a )，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a2， 2a ，取A 1B 1的中点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，2a ，连接AM ，MC 1，有MC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，0，0， AB →＝(0，a,0)，AA 1→＝(0,0，2a )．∴MC 1→·AB →＝0，MC 1→·AA 1→＝0， ∴MC 1→⊥AB →，MC 1→⊥AA 1→，即MC 1⊥AB ，MC 1⊥AA 1，又AB ∩AA 1＝A ， ∴MC 1⊥平面ABB 1A 1 .∴∠C 1AM 是AC 1与侧面A 1ABB 1所成的角．由于AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a 2，2a ，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，2a ， ∴AC 1→·AM →＝0＋a 24＋2a 2＝9a 24，|AC1→|＝3a 24＋a 24＋2a 2＝3a ， |AM →|＝a 24＋2a 2＝32a ，∴cos〈AC1→，AM→〉＝9a2 4 3a×3a2＝32.∴〈AC1→，AM→〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.[解法探究] 此题有没有其他解法？解与原解建立相同的空间直角坐标系，则AB→＝(0，a,0)，AA1→＝(0,0，2a)，AC1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－32a，a2，2a.设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，∴n·AB→＝0且n·AA1→＝0.∴ax＝0且2ay＝0.∴x＝y＝0.故n＝(λ，0,0)．∵AC1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－32a，a2，2a，∴cos〈AC1→，n〉＝n·AC1→|n||AC1→|＝－λ2|λ|.∴|cos〈AC1→，n〉|＝12.∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.[条件探究] 此题中增加条件“E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点”，求B1F与平面GEF所成角的正弦值．解建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，a，2a)，E⎝⎛⎭⎪⎫0，a2，0，F⎝⎛⎭⎪⎫0，0，22a，G⎝⎛⎭⎪⎫－34a，a4，2a，于是B1F→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－a，－22a，EF→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－a2，22a，EG→＝⎝⎛⎭⎪⎫－34a，－a4，2a.设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 2y ＋22az ＝0，－34ax －a 4y ＋2az ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2z ，x ＝6z ，令z ＝1，得x ＝6，y ＝2，所以平面GEF 的一个法向量为n ＝(6，2，1)，所以|cos 〈B 1F →，n 〉|＝|n ·B 1F →||n ||B 1F →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2a －22a 9×a 2＋a 22＝33.所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为33. 拓展提升求直线与平面的夹角的方法与步骤思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：(1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量AB →； (3)求平面的法向量n ；(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|n ·AB→||n ||AB →|.【跟踪训练2】如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．解 (1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2. 取BP 的中点T ，连接AT ，TN .由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .由题意知，P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (5，2,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2，PM →＝(0,2，－4)，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎨⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎨⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0,2,1)．于是|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||AN →|＝8525，则直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525.探究3 利用空间向量求二面角例3 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D －AF －E 与二面角C －BE －F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；(2)求二面角E －BC －A 的余弦值．[解] (1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz .由(1)知∠DFE 为二面角D －AF －E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知，AB ∥EF ，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ，所以AB ∥平面EFDC . 又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C －BE －F 的平面角，∠CEF ＝60°.从而可得C (－2,0，3)．连接AC ，则EC →＝(1,0，3)，EB →＝(0,4,0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则 ⎩⎨⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎨⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0，同理可取m ＝(0，3，4)．则 cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.故二面角E－BC－A的余弦值为－21919.拓展提升二面角的向量求法(1)若AB，CD分别是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB→与CD→的夹角(如图①)．(2)利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图②.用坐标法的解题步骤如下：①建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．②求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.③计算：求n1与n2所成锐角θ，cosθ＝|n1·n2||n1||n2|.④定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.【跟踪训练3】若P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝1，BC＝2，求二面角A－PB－C的余弦值．解解法一：如下图所示，取PB 的中点D ，连接CD .∵PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB .∴作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A －PB －C 的大小就等于异面直线DC 与EA 所成的角θ的大小．∵PD ＝1，PE ＝P A 2PB ＝12，∴DE ＝PD －PE ＝12，又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1， AC →＝AE →＋ED →＋DC →，且AE →⊥ED →，ED →⊥DC →， ∴|AC →|2＝|AE →|2＋|ED →|2＋|DC →|2＋2|AE →|·|DC →|·cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2×32×1×cos θ，解得cos θ＝33. 故二面角A －PB －C 的余弦值为33.解法二：由解法一可知，向量DC →与EA →的夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A (1,0,0)，B (0，2，0)，C (0,0,0)，P (1,0,1)，D 为PB 的中点，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，12.∵PE EB ＝AP 2AB 2＝13，即E 分PB →的比为13， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，24，34，EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－24，－34，DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，－12，|EA →|＝32，|DC →|＝1，EA →·DC →＝14×⎝⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12. ∴cos 〈EA →，DC →〉＝EA →·DC →|EA →||DC →|＝33.故二面角A －PB －C 的余弦值为33. 解法三：如右图所示，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，AP →＝(0,0,1)，AB →＝(2，1,0)，CB →＝(2，0,0)，CP →＝(0，－1,1)，设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP→＝0，m ·AB →＝0⇒⎩⎨⎧ (x ，y ，z )·(0，0，1)＝0，(x ，y ，z )·(2，1，0)＝0⇒⎩⎨⎧y ＝－2x ，z ＝0，令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)，设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·CP →＝0⇒⎩⎨⎧ (x ′，y ′，z ′)·(2，0，0)＝0，(x ′，y ′，z ′)·(0，－1，1)＝0⇒⎩⎨⎧x ′＝0，y ′＝z ′.令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33. ∴二面角A －PB －C 的余弦值为33. 探究4 利用空间向量求距离例4 已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．[解] 解法一：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0，0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0.设DH ⊥平面PEF ，垂足为H ，则DH →＝x DE →＋y DF →＋z DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y ，12x ＋y ，z ·(x ＋y ＋z ＝1)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－1.∴DH →·PE →＝x ＋12y ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋y －z ＝54x ＋y －z ＝0. 同理，DH →·PF →＝x ＋54y －z ＝0，又x ＋y ＋z ＝1，∴可解得x ＝y ＝417，z ＝917. ∴DH →＝317(2,2,3)．∴|DH →|＝31717.因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)设AH ′⊥平面PEF ，垂足为H ′，则AH ′→∥DH →，设AH ′→＝λ(2,2,3)＝(2λ，2λ，3λ)(λ≠0)，则EH ′→＝EA →＋AH ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0＋(2λ，2λ，3λ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ，2λ－12，3λ. ∴AH ′→·EH ′→＝4λ2＋4λ2－λ＋9λ2＝0，即λ＝117. ∴AH ′→＝117(2,2,3)，|AH ′→|＝1717，又AC ∥平面PEF ，∴AC 到平面PEF 的距离为1717.解法二：(1)由解法一建立的空间直角坐标系知EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，设平面PEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝x ，z ＝32x ，令x ＝2，则n ＝(2,2,3)， ∴点D 到平面PEF 的距离 d ＝|DE →·n ||n |＝|2＋1|4＋4＋9＝31717.(2)∵AC ∥EF ，∴直线AC 到平面PEF 的距离也即是点A 到平面PEF 的距离．又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， ∴点A 到平面PEF 的距离为 d ＝|AE →·n ||n |＝117＝1717.拓展提升1.向量法求点到直线的距离的两种思路(1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题，即利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向量的模，这是求各种距离的通法．(2)直接套用点线距公式求解，其步骤为直线的方向向量a →所求点到直线上一点的向量PP ′→及其在直线的方向向量a 上的投影→代入公式．注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．2．点面距、线面距、面面距的求解方法线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．点面距的求解步骤：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．【跟踪训练4】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．解如图，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)， ∴EF →＝(1，－2,1)，EG →＝(2，－1，－1)，GA →＝(0，－1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，则⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋z ＝0，2x －y －z ＝0，∴x ＝y ＝z ，可取n ＝(1,1,1)， ∴d ＝|GA →·n ||n |＝13＝33，即点A 到平面EFG 的距离为33. 探究5 与空间有关的探索性问题例5 如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所成的平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF ＝∠CEF ＝90°，AD ＝3，EF ＝2.(1)求证：AE ∥平面DCF ；(2)当AB 的长为何值时，二面角A －EF －C 的大小为60°？[解] 如图，以点C 为坐标原点，以CB ，CF 和CD 所在直线分别作为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz .设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c ，则C (0,0,0)，A (3，0，a )，B (3，0,0)，E (3，b,0)，F (0，c,0)． (1)证明：AE →＝(0，b ，－a )，CB →＝(3，0,0)， BE →＝(0，b,0)， ∴CB →·AE →＝0，CB →·BE →＝0，从而CB ⊥AE ，CB ⊥BE . 又AE ∩BE ＝E ， ∴CB ⊥平面ABE . ∵CB ⊥平面DCF ，∴平面ABE ∥平面DCF .又AE ⊂平面ABE ，故AE ∥平面DCF .(2)∵EF →＝(－3，c －b,0)，CE →＝(3，b,0)，且EF →·CE →＝0，|EF →|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＋b (c －b )＝0，3＋(c －b )2＝2，解得b ＝3，c ＝4.∴E (3，3,0)，F (0,4,0)．设n ＝(1，y ，z )与平面AEF 垂直，则n ·AE →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(1，y ，z )·(0，3，－a )＝0，(1，y ，z )·(－3，1，0)＝0，解得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，3，33a . 又∵BA ⊥平面BEFC ，BA →＝(0,0，a )， ∴|cos 〈n ，BA →〉|＝|n ·BA →||n ||BA →|＝334a 2＋27＝12，解得a ＝92或a ＝－92(舍去)．∴当AB ＝92时，二面角A －EF －C 的大小为60°. 拓展提升利用向量解决存在性问题的方法策略求解存在性问题的基本策略是：首先，假定题中的数学对象存在；其次，构建空间直角坐标系；再次，利用空间向量法把存在性问题转化为求参数是否有解问题；最后，解方程，下结论．利用上述思维策略，可使此类存在性难题变为常规问题．【跟踪训练5】在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点，且AEEB ＝λ.(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)是否存在λ，使得二面角D 1－EC －D 的平面角为π4？并说明理由．解 (1)证明：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,2,1)，C 1(0,2,1)，D 1(0,0,1)．因为AE EB ＝λ，所以E ⎝⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，0，于是D 1E →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，－1，A 1D →＝(－1,0，－1)，所以D 1E →·A 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，－1·(－1,0，－1)＝－1＋0＋1＝0，故D 1E ⊥A 1D . (2)因为DD 1⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，设平面D 1EC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，又CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ－2，0，CD 1→＝(0，－2,1)，则⎩⎨⎧n 1·CE →＝0，n 1·CD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ－2，0＝0，n 1·(0，－2，1)＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ·21＋λ＝0，－2y ＋z ＝0，取y ＝1，则n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，1，2.因为二面角D 1－EC －D 的平面角为π4，所以22＝|n ·n 1||n ||n 1|，即22＝21＋4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ2，解得λ＝233－1. 故存在λ＝233－1，使得二面角D 1－EC －D 的平面角为π4.1.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线，把立体几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及相应的距离和夹角等问题.(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. 2.利用法向量求直线AB 与平面α所成的角θ的步骤 (1)求平面α的法向量n .(2)利用公式sin θ＝|cos 〈AB →，n 〉|＝|AB →·n ||AB →||n |，注意直线和平面所成角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 3.利用法向量求二面角的余弦值的步骤 (1)求两平面的法向量. (2)求两法向量的夹角的余弦值.(3)由图判断所求的二面角是锐角、直角，还是钝角，从而下结论. 在用法向量求二面角的大小时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.4.点面距的求解步骤 (1)求出该平面的一个法向量.(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量.(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.1．若两异面直线l 1与l 2的方向向量分别为a ＝(0,4，－3)，b ＝(1,2,0)，则直线l 1与l 2的夹角的余弦值为( )A.32B.8525C.4315D.33 答案 B解析设l 1，l 2的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝0×1＋4×2＋(－3)×05×5＝8525.2．直角△ABC 的两条直角边BC ＝3，AC ＝4，PC ⊥平面ABC ，PC ＝95，则点P 到斜边AB 的距离是( )A ．5B ．3C ．3 2 D.125 答案 B解析以C 为坐标原点，CA ，CB ，CP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (4,0,0)，B (0,3,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，95，所以AB →＝(－4,3,0)，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，0，95，所以AP →在AB →上的投影长为|AP →·AB →||AB →|＝165，所以点P 到AB 的距离为d ＝|AP→|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝16＋8125－25625＝3.故选B.3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，O 是正方形中心，则折起后，∠EOF 的大小为( )A ．(0°，90°)B ．90°C ．120°D ．(60°，120°)答案 C解析 OE →＝12(OA →＋OD →)，OF →＝12(OB →＋OC →)，∴OE →·OF →＝14(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OD →·OB →＋OD →·OC →)＝－14|OA →|2.又|OE →|＝|OF →|＝22|OA →|，∴cos 〈OE →，OF →〉＝－14|OA →|212|OA →|2＝－12.∴∠EOF ＝120°.故选C.4．平面α的法向量n 1＝(1,0，－1)，平面β的法向量n 2＝(0，－1,1)，则平面α与β所成二面角的大小为________．答案 π3或2π3解析设二面角的大小为θ，则cos 〈n 1，n 2〉＝1×0＋0×(－1)＋(－1)×12·2＝－12，所以cos θ＝12或－12，∴θ＝π3或2π3.5．如图，在长方体AC 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，点E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1、平面BCC 1B 1的中心．以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题：(1)求异面直线AF 和BE 所成的角；(2)求直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值．解 (1)由题意得A (2,0,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2，22，B (2,2,0)，E (1，1，2)，C (0,2,0)．∴AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2，22，BE →＝(－1，－1，2)，∴AF →·BE →＝1－2＋1＝0.∴直线AF 和BE 所成的角为90°.(2)设平面BEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又BC →＝(－2,0,0)，BE →＝(－1，－1，2)，则n ·BC →＝－2x ＝0，n ·BE →＝－x －y ＋2z ＝0，∴x ＝0，取z ＝1，则y ＝2，∴平面BEC 的一个法向量为n ＝(0，2，1)．∴cos 〈AF →，n 〉＝AF →·n |AF→||n |＝522222×3＝53333.设直线AF 和平面BEC 所成的角为θ，则sin θ＝53333，即直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值为53333.A 级：基础巩固练一、选择题1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35 答案 A解析不妨设CB ＝1，则B (0,0,1)，A (2,0,0)，C 1(0,2,0)，B 1(0,2,1)．∴BC 1→＝(0,2，－1)，AB1→＝(－2,2,1)．cos〈BC1→，AB1→〉＝BC1→·AB1→|BC1→||AB1→|＝0＋4－15×3＝55，故选A.2. 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为()A.27 B.2357C.357D．1答案B解析过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，A1C→＝(1,2，－3)，A1E→＝(x，y，z－3)，BE→＝(x－1，y，z)．因为⎩⎨⎧A1E→∥A1C→，BE→·A1C→＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x1＝y2＝z－3－3，x－1＋2y－3z＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝57，y＝107，z＝67，所以BE→＝⎝⎛⎭⎪⎫－27，107，67，所以点B到直线A1C的距离|BE→|＝2357，故选B.3．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1，3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为()A ．10B ．3 C.83 D.103 答案 D解析点P 到平面α的距离d ＝|P A →·n ||n |＝|－2－4－4|4＋4＋1＝103.4．如图，过边长为1的正方形ABCD 的顶点A 作线段EA ⊥平面ABCD ，若EA ＝1，则平面ADE 与平面BCE 所成的二面角的大小是( )A ．120°B ．45°C ．135°D ．60° 答案 B解析以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，EB →＝(1,0，－1)，EC →＝(1,1，－1)．设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·EB →＝0，n ·EC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，x ＋y －z ＝0，可取n ＝(1,0,1)．又平面EAD 的法向量为AB →＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AB →〉＝12×1＝22，故平面ADE 与平面BCE 所成的二面角为45°.5．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13 答案 A解析设AB ＝1，则AA 1＝2，以D 1为坐标原点，D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则D (0,0,2)，C 1(0,1,0)，B (1,1,2)，C (0,1,2)， ∴DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1，－2)，DC →＝(0,1,0)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的法向量，则 ⎩⎨⎧n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y －2z ＝0，取n ＝(－2,2,1)，设CD 与平面BDC 1所成角为θ，则sin θ＝|n ·DC →||n ||DC→|＝29×1＝23.6．已知矩形ABCD 与ABEF 全等，D －AB －E 为直二面角，M 为AB 中点，FM 与BD 所成角为θ，且cos θ＝39.则AB 与BC 的边长之比为( )A ．1∶1 B.2∶1 C.2∶2 D ．1∶2 答案 C解析设AB ＝a ，BC ＝b ，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则相关各点坐标为F (b,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，0，B (0，a,0)，D (0,0，b )． FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ，a 2，0， BD →＝(0，－a ，b )，所以|FM →|＝b 2＋a 24，|BD →|＝a 2＋b 2，FM →·BD →＝－a 22， |cos 〈FM →，BD →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 22b 2＋a24·a 2＋b 2＝39，整理得4×b 4a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2－26＝0，解得b 2a 2＝2或b 2a 2＝－134(舍去)，所以AB BC ＝a b ＝22. 二、填空题7．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________．答案 64解析设BA →＝b ，BC →＝a ，BD →＝c .由条件知a ·b ＝12，a ·c ＝0，b ·c ＝0，又AD →＝BD →－BA →＝c －b ，平面AA 1C 1C 的法向量BM →＝12(a ＋b )．设直线AD 与平面AA 1C 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AD →，BM →〉|＝|AD →·BM →||AD →||BM →|.∴AD →·BM →＝(c －b )·12(a ＋b )＝12a ·c －12a ·b ＋12b ·c －12|b |2＝－34， |AD →|2＝(c －b )2＝|c |2＋|b |2－2b ·c ＝2.∴|AD →|＝2，又|BM →|2＝14(a ＋b )2＝14(|a |2＋|b |2＋2a ·b )＝34， ∴|BM →|＝32，∴sin θ＝64.8.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为________．答案 33a解析由正方体的性质易得平面AB 1D 1∥平面BDC 1，则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离．显然A 1C ⊥平面AB 1D 1，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(1，－1,1)．又A (a,0,0)，B (a ，a,0)，BA →＝(0，－a,0)，则两平面间的距离d ＝|BA →·n ||n |＝a 3＝33a .三、解答题9．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ＝2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．解 (1)证明：如图，取AB 的中点O ，连接CO ，A 1O ，A 1B . ∵CA ＝CB ，∴CO ⊥AB ，又∵AA 1＝AB ，∠BAA 1＝60°，∴△BAA 1为正三角形， ∴AB ⊥A 1O ，又A 1O ∩OC ＝O ，∴AB ⊥平面A 1OC . ∵A 1C ⊂平面A 1OC ， ∴AB ⊥A 1C .(2)以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OA 1所在直线为y 轴，OC 所在直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，B (－1,0,0)，C (0,0，3)，B 1(－2，3，0)，则BC →＝(1,0，3)，BB →1＝(－1，3，0)， A 1C →＝(0，－3，3)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BB 1C 1C 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·BB →1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0，令z ＝－1，则x ＝3，y ＝1，所以n ＝(3，1，－1)为平面BB 1C 1C 的一个法向量，所以直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值 sin θ＝|cos 〈A 1C →，n 〉|＝|A 1C →·n ||A 1C →||n |＝105.10．(2017·天津高考)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.(1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)求二面角C －EM －N 的正弦值；(3)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长．解如图，以A 为原点，分别以AB →，AC →，AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得A (0,0,0)，B (2，0,0)，C (0，4,0)，P (0,0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0,0，1)，N (1,2,0)．(1)证明：DE →＝(0,2,0)，DB →＝(2,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·DE →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．又MN →＝(1,2，－1)，可得MN →·n ＝0.因为MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE .(2)易知n 1＝(1,0,0)为平面CEM 的一个法向量．设n 2＝(x 1，y 1，z 1)为平面EMN 的一个法向量，则⎩⎨⎧n 2·EM →＝0，n 2·MN →＝0.因为EM →＝(0，－2，－1)，MN →＝(1,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2y 1－z 1＝0，x 1＋2y 1－z 1＝0.不妨设y 1＝1，可得n 2＝(－4,1，－2)．因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－421，于是sin 〈n 1，n 2〉＝10521.所以二面角C －EM －N 的正弦值为10521.(3)依题意，设AH ＝h (0≤h ≤4)，则H (0,0，h )，进而可得NH →＝(－1，－2，h )，BE →＝(－2,2,2)．由已知，得|cos 〈NH →，BE →〉|＝|NH →·BE →||NH →||BE →|＝|2h －2|h 2＋5×23＝721，整理得10h 2－21h ＋8＝0，解得h ＝85或h ＝12.所以线段AH 的长为85或12.B 级：能力提升练1．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M ，N 分别为AB ，SB 的中点．(1)证明：AC ⊥SB ；(2)求二面角N －CM －B 的余弦值； (3)求点B 到平面CMN 的距离．解 (1)证明：取AC 的中点O ，连接OS ，OB . ∵SA ＝SC ，AB ＝BC ， ∴AC ⊥SO 且AC ⊥BO .∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴SO ⊥平面ABC ，∴SO ⊥BO . 如图所示建立空间直角坐标系Oxyz .则点A (2,0,0)，B (0,23，0)，C (－2,0,0)，S (0,0，22)，M (1，3，0)，N (0，3，2)．∴AC →＝(－4,0,0)，SB →＝(0,23，－22)． ∵AC →·SB →＝(－4,0,0)·(0,23，－22)＝0， ∴AC ⊥SB .(2)由(1)得CM →＝(3，3，0)，MN →＝(－1,0，2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎨⎧CM→·n ＝3x ＋3y ＝0，MN→·n ＝－x ＋2z ＝0，取z ＝1，则x ＝2，y ＝－ 6. ∴n ＝(2，－6，1)．又OS →＝(0,0,22)为平面ABC 的一个法向量， ∴cos 〈n ，OS →〉＝n ·OS →|n ||OS →|＝13.∴二面角N －CM －B 的余弦值为13.(3)由(1)(2)得MB →＝(－1，3，0)，n ＝(2，－6，1)为平面CMN 的一个法向量，∴点B 到平面CMN 的距离d ＝|n ·MB→||n |＝423.2．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B －D ′A －C 的正弦值．解 (1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF . 因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H . 由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD .(2)如图，以H 为坐标原点，HF →的方向为x 轴正方向，HD →的方向为y 轴正方向，HD ′→的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz .则H (0,0,0)，A (－3，－1，0)，B (0，－5,0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)，AB →＝(3，－4,0)，AC →＝(6,0,0)，AD ′→＝(3,1,3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，则 ⎩⎨⎧m ·AB →＝0，m ·AD ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4,3，－5)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，则 y ⎩⎨⎧n ·AC →＝0，n ·AD ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－1450×10＝－7525，sin 〈m ，n 〉＝29525.因此二面角B －D ′A －C 的正弦值是29525.。

利用向量法求空间角》教案

利用向量法求空间角一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念和性质。

2. 让学生学会使用向量法求解空间角。

3. 培养学生解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 空间向量的基本概念和性质。

2. 向量法求解空间角的基本步骤。

3. 实际问题中的应用案例。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的基本概念和性质。

2. 采用演示法，展示向量法求解空间角的步骤。

3. 采用案例教学法，分析实际问题中的应用。

四、教学步骤1. 引入空间向量的概念，讲解其基本性质。

2. 讲解向量法求解空间角的基本步骤。

3. 分析实际问题中的应用案例，引导学生运用向量法解决问题。

五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 选择一个实际问题，尝试运用向量法解决。

六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生对空间向量概念和性质的理解程度。

2. 课后作业：检查学生对向量法求解空间角的掌握情况。

3. 实际问题解决：评估学生在实际问题中的应用能力。

七、教学资源1. 教案、PPT、教材等相关教学资料。

2. 计算机、投影仪等教学设备。

3. 实际问题案例库。

八、教学时间1课时（45分钟）九、教学重点与难点1. 空间向量的基本概念和性质。

2. 向量法求解空间角的基本步骤。

3. 实际问题中的应用案例。

十、教学PPT内容1. 空间向量的基本概念和性质。

2. 向量法求解空间角的基本步骤。

3. 实际问题中的应用案例。

十一、教学案例案例一：求解空间直角坐标系中两向量的夹角。

案例二：求解空间四边形的对角线夹角。

案例三：求解空间旋转体的主轴与旋转轴的夹角。

十二、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对空间向量法的理解和应用能力。

十三、教学拓展1. 研究空间向量在几何中的应用。

2. 探索向量法在物理学、工程学等领域的应用。

十四、教学建议1. 注重学生空间想象能力的培养。

2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高课堂氛围。

利用向量法求空间角教案

利用向量法求空间角-经典教案教案章节：一、向量法求空间角的概念教学目标：1. 了解向量法求空间角的概念。

2. 掌握向量法求空间角的基本方法。

教学内容：1. 向量法求空间角的概念介绍。

2. 向量法求空间角的计算方法。

教学步骤：1. 引入向量法求空间角的概念，解释空间角的概念。

2. 讲解向量法求空间角的计算方法，通过示例进行演示。

3. 进行练习，让学生巩固向量法求空间角的方法。

教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量法求空间角概念的理解。

2. 通过练习题，检查学生对向量法求空间角计算方法的掌握。

二、向量法求空间角的计算方法教学目标：1. 掌握向量法求空间角的计算方法。

2. 能够应用向量法求解空间角的问题。

教学内容：1. 向量法求空间角的计算方法介绍。

2. 向量法求空间角的计算实例。

教学步骤：1. 复习向量法求空间角的概念，引入计算方法。

2. 讲解向量法求空间角的计算步骤，通过示例进行演示。

3. 进行练习，让学生巩固向量法求空间角的计算方法。

教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量法求空间角计算方法的理解。

2. 通过练习题，检查学生对向量法求解空间角问题的能力。

三、向量法求空间角的练习题教学目标：1. 巩固向量法求空间角的计算方法。

2. 提高学生应用向量法求解空间角问题的能力。

教学内容：1. 向量法求空间角的练习题。

教学步骤：1. 给出向量法求空间角的练习题，让学生独立完成。

2. 对学生的答案进行讲解和指导，解决学生在解题过程中遇到的问题。

3. 进行练习，让学生进一步巩固向量法求空间角的计算方法。

教学评估：1. 通过练习题，检查学生对向量法求解空间角问题的能力。

2. 通过学生的解题过程，了解学生对向量法求空间角计算方法的掌握情况。

四、向量法求空间角的拓展与应用教学目标：1. 了解向量法求空间角的拓展与应用。

2. 能够应用向量法解决实际问题中的空间角问题。

教学内容：1. 向量法求空间角的拓展与应用介绍。

人教A版选修2-1空间向量求空间角学案

课题：空间向量求空间角班级使用人姓名编号 48 主编教师：杨留杰课型：新授课审核人签名：【自研课导学】预习课（晚自习40分钟）自读自研选修2-1课本第107到109页的所有内容，并在 20分钟内完成自研环节任务：达成目标1.通过图形进一步理解线线角、线面角、二面角的概念；2.回顾并掌握立体几何中求线线角、线面角、二面角的方法；3.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题；4.体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲。

【展示课导学】自研自探环节合作探究展示提升环节，质疑提升环节自学指导内容，学法，时间互动策略内容展示方案内容，方式，时间回归教材，夯实基础问题一：通过几何法和向量法，试着比较这两种方法求线线角的区别及各自需要注意的地方?几何法：向量法：问题二：通过线面角的定义及范围，体会向量法的求解过程，并总结求解步骤.几何法：向量法：想一想：当一条直线l与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？问题三：通过课本109页例题4进一步体会向量法证明平行、垂直的好处，并由向量法求二面角的特点总结向量法求二面角的步骤。

几何法：向量法：试一试：若二面角αlβ的两个半平面的法向量分别为n1，n2，试判断二面角的平面角与两法向量夹角〈n1，n2〉的关系．两人小对子1.重点讨论：向量法求异面直线夹角。

对子间相互检查自研成果，解决自学时的疑难问题。

并用红笔评定等级。

（5分钟）六人互助组重点讨论：2.线面角的范围及求法（向量法）。

小组长统计本组在第一次互动后仍存在的疑难问题，组织组员针对疑难展开讨论（5分钟）3.小组内重点讨论：向量法求二面角教师给出分组抽签。

拿到抽签顺序后，组长主持本组成员参照展示方案，分配各成员的展示任务，完成展示准备。

（8分钟）方案一：线线角：1. 设直线l,m的方向向量分别为,a b，平面,αβ的法向量分别为,u v，则例1：正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．方案二：线面角：2.例2：方案三：面面角：3.设直线l,m的方向向量分别为,a b，平面,αβ的法向量分别为,u v，则例3如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值．(1) ,l mθ的夹角为，cos cos,a bθ=<>设直线l,m的方向向量分别为,a b，平面,αβ的法向量分别为,u v，则(2) ,lαθ的夹角为，sin cos,a uθ=<>正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．(3) ,αβθ的夹角为，u v±cosθ=cos<,>【训练课导学】 “日清过关”巩固提升三级达标训练题书写等级达成等级批阅日期基础题1．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )．A ．cos θ＝μ·v |μ||v | B ．cos θ＝|μ·v ||μ||υ| C ．sin θ＝μ·v |μ||v | D ．sin θ＝|μ·v ||μ||v |2．设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝2π3，则l 与α所成的角为( )．A.2π3 B.π3 C.π6 D.5π63．三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A - BD - C 的大小为( )．A.π3 B.2π3 C.π3或2π3 D.π6或π34.如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P是A 1B 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角为 ( )． A.π6 B.π4 C.π3 D.π25．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．已知点A (1，0，0)，B (0，2，0)，C (0，0，3)则平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为________ 提高题：1.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC, E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F. (1)求证：PA//平面EDB (2)求证：PB 平面EFD (3)求二面角C-PB-D 的大小。

《利用向量法求空间角》教案

《利用向量法求空间角》教案一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念及其运算法则。

2. 培养学生利用向量法求空间角的能力。

3. 提高学生对空间几何图形直观感知和分析解决问题的能力。

二、教学内容1. 空间向量的概念及其表示方法。

2. 空间向量的运算法则。

3. 空间向量与空间角的关系。

4. 利用向量法求空间角的方法步骤。

5. 实际应用举例。

三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的基本概念、运算法则、利用向量法求空间角的方法。

2. 教学难点：空间向量与空间角的关系，利用向量法求空间角的步骤。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的基本概念、运算法则和求空间角的方法。

2. 运用案例分析法，分析实际应用问题。

3. 引导学生运用小组合作、讨论交流等方式，提高分析解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入新课：简要回顾二维向量的基本概念及其运算法则，引出空间向量的概念。

2. 讲解空间向量的基本概念及其表示方法，让学生掌握空间向量的定义和表示方法。

3. 讲解空间向量的运算法则，引导学生运用运算法则进行向量运算。

4. 讲解空间向量与空间角的关系，引导学生理解向量法求空间角的依据。

5. 讲解利用向量法求空间角的方法步骤，并通过示例演示求解过程。

6. 开展课堂练习，让学生运用向量法求解空间角的问题。

7. 分析实际应用举例，让学生体会向量法在解决空间几何问题中的应用价值。

9. 布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课后作业：布置有关空间向量运算和空间角求解的习题，检验学生对课堂内容的掌握程度。

2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。

3. 小组讨论：评估学生在小组合作、讨论交流中的表现，检验学生对知识的理解和应用能力。

七、教学反思1. 教师应根据学生的实际水平，适当调整教学内容和难度，确保学生能够跟上教学进度。

2. 在教学过程中，注意引导学生运用数学符号和语言进行表达，培养学生的数学思维能力。

《利用向量法求空间角》教案

《利用向量法求空间角》教案一、教学目标：1. 让学生掌握空间向量的基本概念和性质。

2. 培养学生利用向量法求空间角的能力。

3. 提高学生解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 空间向量的基本概念和性质。

2. 空间向量的加法、减法、数乘和数量积。

3. 空间向量的坐标表示和运算。

4. 利用向量法求空间角的方法和步骤。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间向量的基本概念和性质，向量的加法、减法、数乘和数量积，空间向量的坐标表示和运算，利用向量法求空间角的方法和步骤。

2. 教学难点：空间向量的坐标表示和运算，利用向量法求空间角的方法和步骤。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解空间向量的基本概念和性质，向量的加法、减法、数乘和数量积，空间向量的坐标表示和运算，利用向量法求空间角的方法和步骤。

2. 采用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用向量法求解空间角。

3. 采用互动教学法，鼓励学生提问、讨论，提高学生的参与度和积极性。

五、教学安排：1. 第一课时：讲解空间向量的基本概念和性质。

2. 第二课时：讲解向量的加法、减法、数乘和数量积。

3. 第三课时：讲解空间向量的坐标表示和运算。

4. 第四课时：讲解利用向量法求空间角的方法和步骤，案例分析。

5. 第五课时：课堂练习，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 课后作业：布置有关空间向量运算和求空间角的练习题，检验学生对知识的掌握程度。

2. 课堂练习：在课堂上进行实时练习，及时发现并纠正学生的错误。

3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的互动和学习。

4. 期末考试：设置有关空间向量和空间角的题目，全面评估学生对课程内容的掌握情况。

七、教学资源：1. 教材：选用权威、实用的教材，如《高等数学》、《线性代数》等。

2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助讲解和展示。

3. 教学视频：寻找相关的教学视频，为学生提供多角度、直观的学习资源。

4. 练习题库：整理和筛选一批空间向量和空间角的练习题，供学生课后练习使用。

利用向量法求空间角经典教案 (2)

利用空间向量求空间角目标：会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；一、复习回首向量的相关知识：（ 1 ）两向量数目积的定义： a b | a ||b | cos a,b （ 2）两向量夹角公式：cosa b a,b| a || b |二、知识解说与典例剖析a知识点 1 ：两直线所成的角（范围：(0, ] ）O2 b（ 1）定义：过空间随意一点o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a′与 b′，那么直线 a′与 b′所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所成的角 .（ 2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、 b 的方向向量分别为a和b，问题 1 ：当a与b的夹角不大于 90 °时，异面直线 a、b 所成Oa的角与a 和b 的夹角的关系？a, b b问题 2：a与b的夹角大于90°时，异面直线 a、 b 所成的角ba与 a 和 b 的夹角的关系？O a, b结论：异面直线a、 b 所成的角的余弦值为cos | cos m, n | | m n | | m || n |例 1 如图，正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为 a ,侧棱长为2a ，求 AC1和 CB1所成的角. 解法步骤： 1.写出异面直线的方向向量的坐标。

2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。

解：如图成立空间直角坐标系 A xyz ，则 A(0,0,0), C1 ( 3a,1a, 2a), C (3a,1a,0), B1 (0, a, 2a) 2 2 2 2AC1 ( 3a,1a, 2a) ， CB1 (3a,1a, 2a) C1 2 2 2 2 1 B1A3 a2Z AC1 CB1 1即 cos AC1 , CB12AC1 和 CB1 所成的角为 C| AC1 || CB1 | 3a2 2 3yA总结 : （ 1）cos DF1 , BE1 与 cos DF1 , E1 B 相等吗？x DB yx （ 2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么差别？知识点 2 、直线与平面所成的角（范围：[ 0, ] ）2思虑：设平面的法向量为 n ，则n, BA 与的关系？AnA AO（图 1）OB B O B （图 2）n, BA nn , BA2 2据图剖析可得：结论：sin | cos n, AB | | n AB || n || AB |例 2 、如图，正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a ,侧棱长为2a ，求 AC1和面 AA1 B1 B 所成角的正弦值. 剖析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量 3. 求以上两个向量的夹角， (锐角 )其他角为所求角解：如图成立空间直角坐标系 A xyz ，则AA1 (0,0, 2a), AB (0, a,0),C1 A1B13 a, 1a, 2a) 设平面 AA1 B1 B 的法向量为n (x, y, z)ZAC1 (2 2由nAA1 0 2az 0 y取 x 1，n (1,0,0)CA y n AB 0 ay 0 z 0x D B y设 AC1和面AA1B1 B 所成角为x| AC1 n | | 3 a 2 |sin |cos AC1 , n 2 1|3a2 2| AC1 || N |AC1和面 AA1B1B所成角的正弦值 1 .2知识点 3 ：二面角（范围：[ 0, ] ）①方向向量法：将二面角转变为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。

利用向量法求空间角教案

利用向量法求空间角-经典教案第一章：向量基础知识回顾1.1 向量的定义1.2 向量的表示方法1.3 向量的运算规则1.4 向量的长度和方向第二章：空间向量基本概念2.1 空间向量的定义2.2 空间向量的表示方法2.3 空间向量的运算规则2.4 空间向量的坐标表示第三章：向量点积的性质与应用3.1 向量点积的定义与性质3.2 向量点积的坐标表示3.3 向量点积的应用3.4 向量点积与空间角度的关系第四章：向量叉积的性质与应用4.1 向量叉积的定义与性质4.2 向量叉积的坐标表示4.3 向量叉积的应用4.4 向量叉积与空间角度的关系第五章：空间角度的计算方法5.1 空间角度的定义5.2 空间角度的计算方法5.3 空间角度的坐标表示5.4 利用向量法求空间角度的实例分析第六章：空间向量投影6.1 向量投影的概念6.2 向量在坐标轴上的投影6.3 向量的直角坐标投影6.4 向量投影在空间角度求解中的应用第七章：空间向量的分解7.1 向量分解的概念7.2 向量的线性组合7.3 向量的正交分解7.4 向量分解在空间角度求解中的应用第八章：空间向量夹角8.1 向量夹角的定义8.2 向量夹角的计算公式8.3 向量夹角的余弦值8.4 向量夹角在空间角度求解中的应用第九章：空间向量长度的求解9.1 向量长度的定义9.2 向量长度的计算公式9.3 向量长度的坐标表示9.4 向量长度在空间角度求解中的应用第十章：空间向量垂直与平行的判断10.1 向量垂直的判断10.2 向量平行的判断10.3 向量垂直和平行的坐标表示10.4 向量垂直和平行在空间角度求解中的应用第十一章：空间向量组的线性相关性11.1 线性相关的定义11.2 线性相关的判定条件11.3 线性相关的坐标表示11.4 线性相关性在空间角度求解中的应用第十二章：空间向量组的基底12.1 基底的概念12.2 基底的性质12.3 基底的选取方法12.4 基底在空间角度求解中的应用第十三章：空间坐标变换13.1 坐标变换的概念13.2 坐标变换的公式13.3 坐标变换的性质13.4 坐标变换在空间角度求解中的应用第十四章：空间向量方程14.1 空间向量方程的概念14.2 空间向量方程的求解方法14.3 空间向量方程的解的应用14.4 空间向量方程在空间角度求解中的应用第十五章：空间角度的应用案例分析15.1 空间角度在几何中的应用15.2 空间角度在物理学中的应用15.3 空间角度在工程学中的应用15.4 空间角度在其他领域的应用案例分析重点和难点解析本文主要讲解了利用向量法求空间角的相关知识，重点包括向量基础知识、空间向量基本概念、向量点积与叉积的性质与应用、空间角度的计算方法、空间向量投影与分解、空间向量夹角与长度的求解，以及空间向量垂直与平行的判断等。

《利用向量法求空间角》教案

《利用向量法求空间角》教案一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的概念及其表示方法。

2. 培养学生运用向量法求空间角的能力。

3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养其空间想象能力。

二、教学内容1. 空间向量的概念及其表示方法。

2. 空间向量的坐标运算。

3. 向量法求空间角。

三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念及其表示方法，空间向量的坐标运算，向量法求空间角。

2. 教学难点：空间向量的坐标运算，向量法求空间角。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的概念、表示方法及坐标运算。

2. 采用案例分析法，分析并解决实际问题。

3. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高其空间想象力。

五、教学过程1. 导入：通过简单的实例，引导学生思考空间向量的概念及其表示方法。

2. 新课：讲解空间向量的概念、表示方法及坐标运算。

3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用向量法求空间角。

4. 互动环节：引导学生积极参与讨论，解决实际问题。

5. 总结：回顾本节课所学内容，强调重点，解答学生疑问。

6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学目标1. 让学生掌握空间向量的数量积及其运算规则。

2. 培养学生运用数量积求空间角的方法。

3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养其空间想象能力。

七、教学内容1. 空间向量的数量积及其运算规则。

2. 数量积在求空间角中的应用。

八、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的数量积及其运算规则，数量积在求空间角中的应用。

2. 教学难点：数量积的运算规则，运用数量积求空间角。

九、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的数量积及其运算规则。

2. 采用案例分析法，分析并解决实际问题。

3. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高其空间想象力。

十、教学过程1. 导入：通过简单的实例，引导学生思考空间向量的数量积及其运算规则。

2. 新课：讲解空间向量的数量积及其运算规则。

3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用数量积求空间角。

空间向量与空间角导学案教学设计

空间向量与空间角导学案教学设计教学目标：利用向量法求解空间中直线与平面所成的角以及二面角。

教学难点：二面角的求法一、复习回顾异面直线所成角的定义、直线与平面所成角定义、二面角的定义。

二、讲授新课1、两个向量的夹角如图,已知两个非零向量b a ,,向量a 与b 的夹角,记作⑴范围:π≤≤0=⑶2π=,则称与垂直,记为⊥ 已知空间两个非零向量b a ,,叫做b a ,的夹角.即.=2.求直线与平面所成的角利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量AB →；(3)求平面的法向量n ；(4)计算：设线面角为θ，则θsin＝=例1、正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求1AC 与侧面11A ABB 所成的角．3、求二面角的平面角利用向量法求二面角的步骤：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求出两个法向量的夹角；(4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定出二面角的平面角的大小．例4、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱1,CC BC 上的点，4:2:1::,21===AA AD AB CE AB CF(1)求异面直线EF 与D A1所成角的余弦值；(2)证明ED A AF 1平面⊥(3)求二面角F ED A --1的正弦值．4、课后训练4.1、求异面直线所成的角四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°.在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．4.2、求直线与平面所成的角如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．(1)求证：PB⊥DM；(2)求BD与平面ADMN所成的角．4.3、求二面角如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD ． (1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1-BD -C 1的大小．。

2020年2月高中数学导学案全国版人教版精品课件选修2-1第三章第5课时用向量计算空间角

余弦值为( B ).
A. 1
20
B. 10
10
C.- 10
10
D.- 1
20
【解析】设正方体的棱长为 1,如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系.
则点 D(0,0,0),E 0, 1 ,1 ,A(1,0,0),C(0,1,0),
2
所以��= 0, 1 ,1 ,��=(-1,1,0),
体会向量方法在研究 3
几何问题中的作用
学法建议
能力素养
通过学习异面直线所成的角、直线与平面所阅读教材,示例分析,小
成的角、二面角的概念,培养学生的直观想组间举例研讨
象素养
通过学习利用向量方法解决线线、线面及面
对比练习,小组内批改面的夹角的计算问题,培养学生的运算求解
能力和直观想象素养
体会利用向量方法解决线线、线面及面面的
2020
导学案教学用课件
选修2-1
第三章空间向量与立体几何
第5课时1用向量计算空间角
1 课前预学
目
2 课堂导学
录
3 课上固学
4 课后思学
课前预学课堂导学课上固学课后思学
序号
知识目标
理解异面直线所成的
1 角、直线与平面所成
的角、二面角的概念
会用向量方法求两条
2 直线所成的角、线面
角和二面角
��
,
��,
��
,[0,π]
.
课前预学课堂导学课上固学课后思学
预学 2:用向量法求两条异面直线所成的角
两条异面直线所成的角记为 θ,它们的方向向量 a,b 所成的角记为<a,b>.

高中数学新人教版A版精品教案《空间向量与空间角导学案教学设计》

空间向量与空间角导学案教学设计
教学目标：利用向量法求解空间中直线与平面所成的角以及二面角。

教学难点：二面角的求法
一、复习回顾异面直线所成角的定义、直线与平面所成角定义、二面角的定义。

二、讲授新课
1、两个向量的夹角
如图,已知两个非零向量b a ,,向量a 与b 的夹角,记作b a
⑴范围: π≤≤b a 0 a b b a =
⑶2π
=b a ,则称a 与b 垂直,记为b a ⊥ 已知空间两个非零向量b a ,,则b a ,叫做b a ,的夹角即b a b
a b a ..,cos =
2求直线与平面所成的角
利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为：
1建立空间直角坐标系；
2求直线的方向向量错误!θsin AB
n AB
n AB n .cos =111C B A ABC -a a 1AC 11A ABB 1111D C B A ABCD -F E ,1,CC BC 4:2:1::,21===AA AD AB CE AB CF EF D A 1ED A AF 1平面⊥F ED A --1，N 分别为；
2求BD 与平面 ADMN 所成的角．
、求二面角
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝错误!AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．1证明：DC1⊥BC；
2求二面角A1-BD-C1的大小．。

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