机械能守恒定律知识点复习

解法一：用牛顿定律和匀变速运动规律，对撤去F推力前、后物体运动的 加速度分别为
F f F μ mg 9 0.2 ×3×10 m / s2 1m / s2 a1 3 m m
0 f 0 0.2 ×3×10 a2 m / s 2 2 m / s 2 m 3
2.物体系的动能定理:物体系所有外力与内力的 总功等于物体系动能的增量.
W
外
W内 Ek Ek 0
考虑到内力又分为保守力与非保守力 ,物体系的动能 定理又可以表达为
W 外 W 内非保 W 重 E E
3.物体系的功能原理:除重力(或弹力)之外的其它 力所做的功等于系统机械能的增量。
（四）动能定理
1、内容 外力对物体所做功的代数和等于物体动能的增量， 也可表述为：合外力对物体所做的功等于物体动能的增 量． 2、表达式
Σ W = △E k = E k2 - E k1 1 1 2 = mv 2 mv12 2 2
（五）势能:由相互作用的物体的相对位置或由物体内部各部 分之间的相对位置所决定的能，叫做势能． 1、重力势能 地球上的物体均受到重力的作用，物体具有的与它 的高度有关的能，叫重力势能．重力势能是物体与地球 所共有的． E p = mgh （1）定义式； 式中h物体离零势面的高度，零势面以上h为正，以 下为负．可见，物体所具有的重力势能与零势面的选选 择有关，在计算重力势能时须首先确定零势能面．一般 取地面或初末位置为零势能参考面．物体在零势面之上 重力势能为正；物体在零势面之下重力势能为负． （2）重力势能的变化
Σ W = △E k
WF + Wf = E kt - E k0
2 Fx1 +（-f）· （x1 +x 2） 2 /2-mv0 /2 =mv t
Fx1 -f（x1 +x 2） =0-0
Fx1 fx1 x2 = =4m f
5、变力做功 对于均匀变化的力F，可先求平均力F 平均 ,再利用 W=F平均x cosα求功; 若力是非均匀变化的，则一般用能量变化的多少来 间接地求功．
（二）功率: 功与完成这些功所用时间的比叫做功率，它是描述力 做功快慢的物理量．在国际单位制中，功率的单位是焦耳 /秒（瓦特）．功率有平均功率和即时功率之分． 1、平均功率:P平均=W/t , 由W=FScosα可知，平均功率可表示为P平均=Fv平均cosα,其 中v平均为时间t内的平均速度,α则为力与平均速度之间的 夹角。 2、即时功率P=Fv cosα， 其中v为即时速度，α则为力与即时速度方向的夹角． 当力与速度方向一致时，α=0°，cos 0°=1, P=Fv 由P=Fv可知，当P一定时，F与v成反比，据此可解释机动车 的行驶速度与牵引力之间的关系．
（三）动能:物体由于运动而具有的能叫做动能．物体的 动能在数值上等于它的质量与它的速度平方的乘积的一 半．动能的国际单位为焦耳． 1、定义式
1 E k mv 2 2
动能是标量，也是一个状态量，且恒为正值．
1 Eki mi vi2 2、物体系的动能 2
3、动能的变化 △E k = E k2 - E k1
说明：许多动力学问题可以有多种解题方法，对比上述 两种解法可以看出运用动能定理的解法比用牛顿定律（以及 运动学规律）的解法要简捷一些．凡是题目中给出了（或是 要求）物体的位移x，这一类题运用动能定理求解总是比较 方便的；除非题目中给出了（或是要求）加速度a，才“不 得不”运用牛顿定律解题，尤其是对于“从静止开始”运动 到“最后停住”这一类的题，运用动能定理特别简单，例如 本题就属于这种情况．对全程运用动能定理，则有
= （4×103 + 2×103 ×2）N = 8×103 N
设汽车发动机刚到达额定功率时，车速为v′ 汽车匀加速直线运 max 动的时间为t′，则有
P额 = F v′ ，v′ = · max max P额 F = 10m/s
v′ max
v′ = a t′，t′ max = 5s · = a
（3）汽车第3秒末仍在做匀加速直线运动，则
分析：当汽车起动后做匀加速直线运动时，发动机牵引力F为恒力， 随着运动速度v的增大，汽车发动机的即时功率P=F·v正比增大，直
到增大到额定功率P额为止．此后，汽车速度继续增大，发动机牵引力F
就要减小（以保持汽车在额定功率下运行），因此汽车将做加速度 越来越小的加速运动，直到发动机牵引力F减小到与汽车运动阻力f 相等时， 汽车加速度降到零，运动速度达到最大值v max．此后，汽车就在额定功
E = mgh + 2 mv 2 ，
机械能的大小由物体的状态决定，即由物体的 位置（高度）和速度决定．
（七）功能关系
若系统内除重力和弹力做功外，还有其他力做功， 则物体的机械能不守恒．其他力做了多少功，将有多 少其他形式的能转化为机械能，不同形式的能之间相 互转化中，能的总量保持不变．做功的过程就是能量 从一种形式转化为另一种形式的过程，做了多少功就 有多少能量发生转化；反之，转化了多少能量就说明 做了多少功．做功是能量转化的量度．
例2．质量为m=3kg的物体与水平地面之间的动摩擦因数 μ=0.2，在水平恒力F=9N作用下起动，如图所示。当m位 移s1=8m时撤去推力F，试问：还能滑多远？(g取10m/s2) 分析：物体m所受重力G、支持力N、推力F、滑动摩擦 力f均为恒力，因此物体做匀加速直线运动；撤去F后， 物体做匀减速直线运动．因此，可用牛顿定律和匀变 速直线运动规律求解． 物体在动力F和阻力f作用下运动时，G和N不做功，F 做正功，f做负功，因此，也可以用动能定理求解．
W外+W内非保=0
E
)E E
所以
E E
E
E
【典型例题】 例1．额定功率为80kW的汽车，在水平长直公路上行驶时 最大速度可达20m/s,汽车质量为2〓103kg 。如果汽车从 静止开始做匀加速直线运动，加速度可达2m/s2 。设运动 过程中阻力大小不变，试求： （1）汽车运动时所受阻力f； （2）汽车匀加速运动过程可持续的时间t′； （3）汽车启动后，发电机在第三秒末的即时功率P3； （4）汽车在做匀加速直线运动过程中，发动机所做的功 W′．
m在匀加速运动阶段的末速度为
v1 2a1 x1 2× 1 8m / s 2 4m / s ×
撤去F后，滑行s2 而停住，v t = 0，则
vt2 v12 0 16 x2 m 4m 2a2 2× 2
解法二：对物体运动的前后两段分别用动能定理Σ W = △E k ，则有
证明:因为
W 外 W 内非保 W 重 E E
W重 E
所以
E
W 外 W 内非保 ( E E ) ( E
E
)E E
4.机械能守恒定律:如果系统中只有重力做功 (即没有除重力之外的其它力做功)，那么系 统的机械能守恒.
证明:因为
W 外 W 内非保 ( E E ) ( E
W 外 W 内非保 ( E E ) ( E
E
)E E
【疑难讲解】物体系中的功和能的问题
1.物体系 : 研究对象是两个或多个物体简称为物体系. (1)系统的内力与外力
(2)保守力与非保守力 保守力作功与路径无关,只与始末位置有关.如重力,弹力. 非保守力作功与路径有关.如摩擦力,发动机提供的力. (3)一对内力的功 W=〒fx相 以子弹打木块为例W=-fmxm+fMxM=-fd
v 3 = at 3 = 2 ×3m / s = 6m / s
P3 = F·v 3 = 8×10 3 ×6W = 4.8×10 4 W
（4）根据匀变速运动规律，则有
1 1 2 s′ = at′ = ×2 ×52 m = 25m 2 2
W′ = F·S′ = 8×103 ×25J = 2×105 J
答：汽车运动阻力为4×103 N；汽车起动后做匀加速运动的时间为
（六）机械能守恒定律 动能和势能统称为机械能． l、内容 在只有重力或弹力做功的物体系内，动能和势能 可以相互转化，但总的机械能保持不变． 2、数学表达式
1 2 1 2 mv1 mgh1 mv2 mgh2 2 2
或E1 = E 2或△E = 0
说明：机械能守恒的对象是系统，不是单个物 体．系统内各物体间的相互作用力叫内力；系统外 的物体对系统内的物体的作用力叫外力．对于地球 和物体组成的系统，重力是内力．若以地球为参照 系，可以将物体和地球系统的机械能简略称为物体 具有的机械能，即 1
（ 3）重力势能的变化△E p 与重力做功的关系：
W = - △E p
即重力对物体做功等于物体重力势能增量的负值．重 力对物体做正功，物体的重力势能减少；重力对物体 做负功，物体的重力势能增加． 注意，重力对物体做功与物体运动的路径无关， 只跟始、末位置有关。
2、弹性势能 物体发生弹性形变而具有的能，叫弹性势能．弹性 形变越大，弹性势能越大． 同样，即弹力对物体做功等于弹簧弹性势能增量的 负值．弹力对物体做功也与路径无关，只跟始、末位置 有关． E p 弹=kx2/2
4、总功的计算 总功的计算有两种方法： （1）先求几个力的合力F的大小和方向，再求合力F所做 的功，即为总功． W＝Fxcosα （2）先求作用在物体上的各个力所做的功，再求其代数 和． W1＝F1xcosα1 W2＝F2xcosα2 W＝ W1+ W2 （一般情况下采用第二种方法计算总功）


率下以v max 做匀速运动．整个过程的v - t图像可用图表示．
解： 当F = f时，a = 0，v = v max，因为P = Fv = fv max，所以 (1)
f P额 v max 80 ×10 3 N 4×10 3 N 20
（2）根据牛顿定律有 ΣF=ma，F-f=ma F=f+ma
1 2 Fx1 -fx1 = mv1 -0 ① 21 2Βιβλιοθήκη -fx 2 =0- mv1 ② 2