2016数学建模专题之遗传算法(25页)
遗传算法遗传算法
（5）遗传算法在解空间进行高效启发式搜索，而非盲 目地穷举或完全随机搜索；
（6）遗传算法对于待寻优的函数基本无限制，它既不 要求函数连续，也不要求函数可微，既可以是数学解 析式所表示的显函数，又可以是映射矩阵甚至是神经 网络的隐函数，因而应用范围较广；
（7）遗传算法具有并行计算的特点，因而可通过大规 模并行计算来提高计算速度，适合大规模复杂问题的 优化。
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（4）基本遗传算法的运行参数 有下述4个运行参数需要提前设定：
M：群体大小，即群体中所含个体的数量，一般取为 20~100； G：遗传算法的终止进化代数，一般取为100~500； Pc：交叉概率，一般取为0.4~0.99；
Pm：变异概率，一般取为0.0001~0.1。
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10.4.2 遗传算法的应用步骤
遗传算法简称GA（Genetic Algorithms）是1962年 由美国Michigan大学的Holland教授提出的模拟自然 界遗传机制和生物进化论而成的一种并行随机搜索最 优化方法。
遗传算法是以达尔文的自然选择学说为基础发展起 来的。自然选择学说包括以下三个方面：
1
（1）遗传：这是生物的普遍特征，亲代把生物信息交 给子代，子代总是和亲代具有相同或相似的性状。生 物有了这个特征，物种才能稳定存在。
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（3）生产调度问题 在很多情况下，采用建立数学模型的方法难以对生
产调度问题进行精确求解。在现实生产中多采用一些 经验进行调度。遗传算法是解决复杂调度问题的有效 工具，在单件生产车间调度、流水线生产车间调度、 生产规划、任务分配等方面遗传算法都得到了有效的 应用。
19
（4）自动控制。 在自动控制领域中有很多与优化相关的问题需要求
10
数学建模之遗传算法
OX交叉
①随机选取两个基因座确定两个个体的交叉区域，并将交
叉区域记忆到 Wx 和Wy ；
②在个体
Tx中找到所有
t
x q
t
y p
主要内容
求最优解或近似最优解的种类 遗传算法简介 遗传算法的发展 遗传算法的应用 遗传算法的特点 遗传算法TSP问题如何实现 分享程序
求最优解或近似最优解的种类
枚举法
枚举出所有可行解，以求出精确最优解。
启发式算法
寻求一种能产生可行解的启发式规则，以找到 一个最优解或近似最优解。
搜索算法
在可行解集合的一个子集内进行搜索，找到一 个最优解或近似最优解。
遗传算法简介
遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗 传和进化过程，形成的一种自适应全局 最优化概率搜索算法。简单的说，遗传 算法是模拟生物界中适者生存不适者淘 汰的过程。
遗传算法的发展（1）
本世纪40年代，就有学者开始研究如何利用计算机进 行生物模拟的技术，他们从生物学的角度进行了生物 的进化过程模拟、遗传过程模拟等研究工作。
的基因座
q
，并置它们为空
位；同理在个体 Ty
中找到所有
t
y r
t
x p
的基因座
r ，也
设为空位。
③对个体 Tx 、Ty 进行循环左移，直到编码串中有一个空位
移动到了交叉区域的左端；然后将所有空位集中到交叉区域，源自将交叉区域内原有的基因值依次向后移动。
④将 Wx 和Wy 的内容分别放入 Ty 和 Tx 中得到 Tx’Ty’
数学建模的遗传算法
数学建模的遗传算法遗传算法是一种模拟自然遗传和进化过程的数学建模方法，它广泛应用于数学建模问题的求解。
下面将从什么是遗传算法、遗传算法的基本原理、遗传算法的步骤以及遗传算法在数学建模中的应用四个方面进行详细阐述。
首先，什么是遗传算法？遗传算法（Genetic Algorithm, GA）是一种基于进化论和遗传学原理的搜索算法，通过模拟生物进化的过程来寻找最优解。
它通过对问题中的候选解进行编码、选择合适的父代解进行交叉和变异等操作，并根据适应度函数对解进行评估和选择，不断迭代优化，直至找到一个近似最优解。
遗传算法的基本原理是模拟生物进化的过程。
它的设计思想源于达尔文的进化论：个体的适应度越高，越有可能在繁殖中生存下来，并向下一代传递优良基因。
类似地，在遗传算法中，优秀解（个体）被选出参与繁殖（交叉和变异），进而产生更多优秀解的下一代，从而逐渐接近最优解。
遗传算法的步骤主要包括：初始化种群、评估适应度、选择父代、交叉和变异、生成子代、替换和终止条件。
首先，需要根据问题的特点和需要设置种群的初始解，即生成一组随机初始化的个体。
然后，通过适应度函数对每个个体进行评估并计算适应度值，以确定每个个体相对于其他个体的优劣程度。
接下来，选择父代个体用于交叉和变异操作。
选择可以采用各种选择策略，如轮盘赌选择、竞争选择等。
交叉和变异是为了产生新的个体，增加解的多样性和探索空间。
其中，交叉是将两个个体的染色体进行交换和融合，而变异是对个体的染色体进行一定的随机改变。
生成的子代将替换原有的父代，经过多次迭代优化，直到满足某个终止条件（如达到最大代数或找到满意解）为止。
最后，遗传算法在数学建模中有广泛的应用。
它能够解决许多实际问题，如旅行商问题、工厂布局问题、路径规划问题等。
在这些问题中，遗传算法能够通过对候选解的编码和优化过程，找到全局或局部最优解，并通过不断优化迭代过程提高解的质量。
综上所述，遗传算法是一种模拟自然遗传和进化过程的搜索算法。
遗传算法实例参考
05 遗传算法实例：其他问题
问题描述
旅行商问题
给定一系列城市和每对城市之间 的距离，要求找出一条旅行路线， 使得每个城市恰好经过一次并最 终回到起始城市，且总距离最短。
背包问题
给定一组物品和它们的价值、重 量，要求在不超过背包承重限制 的情况下，选择一些物品放入背 包，使得背包中物品的总价值最 大。
2
在调度问题中，常用的编码方式包括二进制编码、 整数编码和实数编码等。
3
二进制编码将每个任务表示为一个二进制串，串 中的每个比特代表一个时间点，1表示任务在该 时间点执行，0表示不执行。
适应度函数
01
适应度函数用于评估解的优劣程度。
02
在调度问题中，适应度函数通常根据总成本计算得出，总成 本越低，适应度越高。
旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）是一个经典的组合优化问题， 旨在寻找一条旅行路线，使得一个销售代表能够访问所有指定的城市，并最后返回 出发城市，且所走的总距离最短。
问题可以描述为：给定一个包含n个城市的集合，以及每对城市之间的距离，求 一条总距离最短的旅行路线。
函数优化
用于求解多峰函数、离散函数等复杂函数的 最大值或最小值问题。
机器学习
用于支持向量机、神经网络等机器学习模型 的参数优化。
组合优化
用于求解如旅行商问题、背包问题、图着色 问题等组合优化问题。
调度与分配问题
用于求解生产调度、车辆路径规划、任务分 配等问题。
02 遗传算法实例：旅行商问 题
问题描述
交叉操作
• 交叉操作是将两个个体的部分基因进行交换，以 产生新的个体。常用的交叉方法有单点交叉、多 点交叉等。在背包问题中，可以采用单点交叉方 法，随机选择一个交叉点，将两个个体的基因进 行交换。
数学建模遗传算法详解
数学建模遗传算法详解数学建模是指运用数学的方法和理论，对实际问题进行描述、分析、求解和预测的一种科学方法。
在数学建模的过程中，遗传算法是一种常用的优化算法，在解决复杂问题时具有较高的效果和准确性。
遗传算法是一种模拟生物进化思想的优化算法，通过模拟生物进化的过程，通过自然选择、交叉和变异等操作，逐步优化群体中的个体，并最终找到全局最优解。
遗传算法的基本思想是将问题转化为遗传编码和遗传操作的过程，以求解问题的最优解。
遗传算法的具体步骤如下：1. 初始化种群：根据问题的特点和要求，确定初始种群的规模和编码方式。
2. 评估适应度：根据问题的优化目标，对每个个体进行适应度评估，以确定每个个体在种群中的适应程度。
3. 选择操作：采用适应度选择策略，根据适应度值选择个体，优秀的个体被选择的概率更高，从而保留更好的基因。
4. 交叉操作：在选择的个体中进行交叉操作，通过基因的交换和组合，产生新的个体，以增加种群的多样性。
5. 变异操作：对交叉产生的个体进行变异操作，通过基因的随机变化，引入新的基因信息，以增加搜索空间。
6. 更新种群：根据选择、交叉和变异操作的结果，更新种群，进入下一代。
7. 终止条件：设置终止条件，如达到最大迭代次数、满足精度要求等，终止算法。
通过上述步骤的迭代，遗传算法能够逐步优化种群，并最终获得问题的最优解。
在实际应用中，遗传算法在优化问题、路径规划、机器学习等领域有着广泛的应用。
总而言之，数学建模中的遗传算法是一种有效的优化算法，通过模拟生物进化的过程，寻找问题的最优解。
它具有较高的准确性和效果，在实际问题的求解中有着重要的应用价值。
在使用遗传算法时，需要根据具体问题确定算法的参数和操作方法，以获得更好的优化效果。
遗传算法简述
解 (1) 设定种群规模,编码染色体，产生初始
种群。
将种群规模设定为4；用5位二进制数编码 染色体；取下列个体组成初始种群S1:
s1= 13 (01101), s2= 24 (11000) s3= 8 (01000), s4= 19 (10011) (2) 定义适应度函数, 取适应度函数：f (x)=x2
染色体 适应度 选择概率 积累概率 选中次数
s1=01101 169
0.14
0.14
1
s2=11000 576
0.49
0.63
2
s3=01000
64
0.06
0.69
0
s4=10011 361
0.31
1.00
1
于是，经复制得群体：
s1’ =11000（24）, s2’ =01101（13） s3’ =11000（24）, s4’ =10011（19）
例如： 个体
染色体
9 ---- 1001 （2，5，6）---- 010 101 110
4. 遗传操作
亦称遗传算子(genetic operator)，就是关 于染色体的运算。遗传算法中有三种遗传操作:
● 选择-复制(selection-reproduction) ● 交叉(crossover，亦称交换、交配或杂交) ● 变异(mutation，亦称突变)
1.2 基本遗传算法
遗传算法基本流程框图
生成初始种群 计算适应度
终止 ? 选择-复制
交叉 变异 生成新一代种群
结束
算法中的一些控制参数：
■ 种群规模 ■ 最大换代数 ■ 交叉率(crossover rate)就是参加交叉运算的 染色体个数占全体染色体总数的比例，记为Pc, 取值范围一般为0.4～0.99。 ■ 变异率(mutation rate)是指发生变异的基因位 数所占全体染色体的基因总位数的比例，记为 Pm，取值范围一般为0.0001～0.1。
遗传算法-1
1 遗传算法简介
1.1 生物进化理论和遗传学的基本知识
遗传学基本概念与术语 ➢ 基因型（genotype）：遗传因子组合的模型，染
色体的内部表现； ➢ 表现型（phenotype）：由染色体决定性状的外
部表现，基因型形成的个体；
1111111
1.1 生物进化理论和遗传学的基本知识
交换部分基因产生一组新解的过程 编码的某一分量发生变化
例1 用遗传算法求解优化问题
max f (x) x2 ,0 x 31
其中 x 为整数。
产生群体:
p(
xi
)
fitness( xi )
fitness( x j
)
j
x1 (00000 ) x2 (11001)
x3 (01111) x4 (01000 )
1 遗传算法简介
1.1 生物进化理论和遗传学的基本知识
遗传学基本概念与术语 ➢ 变异（mutation）：在细胞进行复制时可能以很
小的概率产生某些复制差错，从而使DNA发生 某种变异，产生出新的染色体，这些新的染色体 表现出新的性状; ➢ 编码（coding）：表现型到基因型的映射； ➢ 解码（decoding）：从基因型到表现型的映射。
司同时完成
生物遗传学基础
群体
变异
子群
竞争
淘汰的 群体
婚配 种群
群体
淘汰
遗传基因重组过程
变异
选择
淘汰的 个体
新种群
交配
种群
父代染色体1
父代染色体2
生物进化过程
子代染色体1
子代染色体2
1 遗传算法简介
1.1 生物进化理论和遗传学的基本知识 遗传学基本概念与术语 ➢ 染色体（chromosome）：遗传物质的载体； ➢ 脱氧核糖核酸（DNA）：大分子有机聚合物，
(完整版)遗传算法简介及代码详解
遗传算法简述及代码详解声明：本文内容整理自网络，认为原作者同意转载，如有冒犯请联系我。
遗传算法基本内容遗传算法为群体优化算法，也就是从多个初始解开始进行优化，每个解称为一个染色体，各染色体之间通过竞争、合作、单独变异，不断进化。
遗传学与遗传算法中的基础术语比较染色体：又可以叫做基因型个体(individuals)群体/种群(population)：一定数量的个体组成，及一定数量的染色体组成，群体中个体的数量叫做群体大小。
初始群体：若干染色体的集合，即解的规模，如30，50等，认为是随机选取的数据集合。
适应度(fitness)：各个个体对环境的适应程度优化时先要将实际问题转换到遗传空间，就是把实际问题的解用染色体表示，称为编码，反过程为解码/译码，因为优化后要进行评价（此时得到的解是否较之前解优越），所以要返回问题空间，故要进行解码。
SGA采用二进制编码，染色体就是二进制位串，每一位可称为一个基因；如果直接生成二进制初始种群，则不必有编码过程，但要求解码时将染色体解码到问题可行域内。
遗传算法的准备工作:1) 数据转换操作，包括表现型到基因型的转换和基因型到表现型的转换。
前者是把求解空间中的参数转化成遗传空间中的染色体或者个体(encoding)，后者是它的逆操作(decoding)2) 确定适应度计算函数，可以将个体值经过该函数转换为该个体的适应度，该适应度的高低要能充分反映该个体对于解得优秀程度。
非常重要的过程。
遗传算法基本过程为:1) 编码，创建初始群体2) 群体中个体适应度计算3) 评估适应度4) 根据适应度选择个体5) 被选择个体进行交叉繁殖6) 在繁殖的过程中引入变异机制7) 繁殖出新的群体，回到第二步实例一：（建议先看实例二）求 []30,0∈x 范围内的()210-=x y 的最小值1) 编码算法选择为"将x 转化为2进制的串"，串的长度为5位（串的长度根据解的精度设 定，串长度越长解得精度越高）。
数学建模方法-遗传算法（理论篇）
数学建模⽅法-遗传算法（理论篇）⼀、引⾔ 哈喽⼤家好，今天要给⼤家讲的是“遗传算法”。
跟粒⼦群算法、蚁群算法⼀样，遗传算法也是属于启发式算法，它基于达尔⽂的进化论，模拟进化论中的“⾃然选择，物竞天择、适者⽣存”，通过N代的遗传、变异、交叉、复制，进化出问题的最优解。
⼆、浅谈⽣物学2.1 达尔⽂教你进化论 学过初中⽣物的应该都知道达尔⽂的进化论。
总结起来其实就是“物竞天择、适者⽣存”。
这是什么意思呢？通俗讲，就是在弱⾁强⾷的时代，唯有强者才能⽣存下来。
记住这句话，这是遗传算法的核⼼。
2.2 遗传学所告诉我们的 好，达尔⽂告诉我们要⽣存下去就要适应环境，但是如何它没告诉我们存活下来的⽣物是如何不被淘汰的。
遗传学告诉了我们答案。
我们知道，细胞是所有⽣物的基⽯。
对于每个细胞，都有⼀套相同的染⾊体，⽽染⾊体，则是由DNA所聚合⽽成，其中DNA⼜是由基因组成的。
每个基因都编码了⼀个独特的性状，⽐如头发或眼⽪的颜⾊。
如下图： 我们假设在某个地区O，⽣活着两类⽣物，其中携带基因a的⽣物种群P能够适应当前的⾃然环境，携带基因b的⽣物种群Q不能够适应当前的⾃然环境。
因此，随着岁⽉的流逝，那些不能适应当前⾃然环境的⽣物⼀个个死去，⽽能够适应当前⾃然环境的⽣物不断的繁衍。
很多年很多年过去后，这个地区O留下来的都是携带基因a的⽣物种群P。
好了，⽣物学知识暂且讲到这⾥，⾜够我们接下来解释我们的遗传算法了。
三、遗传算法3.1 遗传算法的定义 我们把种群P当成问题的最优解，把除P外的种群当成普通解。
那么进化就是普通解不断被淘汰⽽最后留下的只有最优解的过程。
这就是遗传算法的思想。
我们先给出遗传算法的流程如下，具体在后⾯解释： 1. 种群初始化 2. 计算每个种群的适应度值 3. 选择(Selection) 4. 交叉(Crossover) 5. 变异(Mutation) 6. 重复2-5步直⾄达到进化次数 现在，我们来逐步理解⼀下整个流程。
算法】超详细的遗传算法（GeneticAlgorithm）解析
算法】超详细的遗传算法（GeneticAlgorithm）解析01 什么是遗传算法？1.1 遗传算法的科学定义遗传算法（Genetic Algorithm, GA）是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型，是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法。
其主要特点是直接对结构对象进行操作，不存在求导和函数连续性的限定；具有内在的隐并行性和更好的全局寻优能力；采用概率化的寻优方法，不需要确定的规则就能自动获取和指导优化的搜索空间，自适应地调整搜索方向。
遗传算法以一种群体中的所有个体为对象，并利用随机化技术指导对一个被编码的参数空间进行高效搜索。
其中，选择、交叉和变异构成了遗传算法的遗传操作；参数编码、初始群体的设定、适应度函数的设计、遗传操作设计、控制参数设定五个要素组成了遗传算法的核心内容。
1.2 遗传算法的执行过程(参照百度百科)遗传算法是从代表问题可能潜在的解集的一个种群（population）开始的，而一个种群则由经过基因（gene）编码的一定数目的个体(individual)组成。
每个个体实际上是染色体(chromosome)带有特征的实体。
染色体作为遗传物质的主要载体，即多个基因的集合，其内部表现（即基因型）是某种基因组合，它决定了个体的形状的外部表现，如黑头发的特征是由染色体中控制这一特征的某种基因组合决定的。
因此，在一开始需要实现从表现型到基因型的映射即编码工作。
由于仿照基因编码的工作很复杂，我们往往进行简化，如二进制编码。
初代种群产生之后，按照适者生存和优胜劣汰的原理，逐代（generation）演化产生出越来越好的近似解，在每一代，根据问题域中个体的适应度（fitness）大小选择（selection）个体，并借助于自然遗传学的遗传算子（genetic operators）进行组合交叉（crossover）和变异（mutation），产生出代表新的解集的种群。
遗传算法pptPPT课件
轮盘赌选择又称比例选择算子，它的基本思想是： 各个个体被选中的概率与其适应度函数值大小成 正比。
P(xi )
f (xi )
N
f (xj)
j 1
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上述按概率选择的方法可用一种称为赌轮的原理来实现。 即做一个单位圆, 然后按各个染色体的选择概率将圆面划分 为相应的扇形区域(如图1所示)。这样, 每次选择时先转动轮 盘, 当轮盘静止时,上方的指针所正对着的扇区即为选中的扇 区,从而相应的染色体即为所选定的染色体。 例如, 假设种群 S中有4个染色体: s1,s2, s3, s4,其选择概率依次为: 0.11, 0.45, 0.29, 0.15, 则它们在轮盘上所占的份额如图1中的各扇形区域 所示。
i
qi P(xj ) j 1
第20页/共66页
一个染色体xi被选中的次数, 可以用下面的期望值 e(xi)来确定：
e(xi ) P(xi ) N
f (xi )
N
N
f (xj)
N
f (xi ) f (xj)/ N
f (xi ) f
j 1
j 1
其中f 为种群S中全体染色体的平均适应度值。
图1 赌轮选择示例
第19页/共66页
在算法中赌轮选择法可用下面的过程来模拟:
① 在［0, 1］区间内产生一个均匀分布的伪随机数r。 ② 若r≤q1,则染色体x1被选中。 ③ 若qk-1<r≤qk(2≤k≤N), 则染色体xk被选中。 其中的qi称为染色体xi(i=1, 2, …, n)的积累概率, 其计算公式 为：
步2 随机产生U中的N个染色体s1, s2, …, sN，组成初始 种群S={s1, s2, …, sN}，置代数计数器t=1；
遗传算法（GeneticAlgorithms）
遗传算法（GeneticAlgorithms）遗传算法前引：1、TSP问题1.1 TSP问题定义旅⾏商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）称之为货担郎问题，TSP问题是⼀个经典组合优化的NP完全问题，组合优化问题是对存在组合排序或者搭配优化问题的⼀个概括，也是现实诸多领域相似问题的简化形式。
1.2 TSP问题解法传统精确算法：穷举法，动态规划近似处理算法：贪⼼算法，改良圈算法，双⽣成树算法智能算法：模拟退⽕，粒⼦群算法，蚁群算法，遗传算法等遗传算法：性质：全局优化的⾃适应概率算法2.1 遗传算法简介遗传算法的实质是通过群体搜索技术，根据适者⽣存的原则逐代进化，最终得到最优解或准最优解。
它必须做以下操作：初始群体的产⽣、求每⼀个体的适应度、根据适者⽣存的原则选择优良个体、被选出的优良个体两两配对，通过随机交叉其染⾊体的基因并随机变异某些染⾊体的基因⽣成下⼀代群体，按此⽅法使群体逐代进化，直到满⾜进化终⽌条件。
2.2 实现⽅法根据具体问题确定可⾏解域，确定⼀种编码⽅法，能⽤数值串或字符串表⽰可⾏解域的每⼀解。
对每⼀解应有⼀个度量好坏的依据，它⽤⼀函数表⽰，叫做适应度函数，⼀般由⽬标函数构成。
确定进化参数群体规模、交叉概率、变异概率、进化终⽌条件。
案例实操我⽅有⼀个基地，经度和纬度为（70，40）。
假设我⽅飞机的速度为1000km/h。
我⽅派⼀架飞机从基地出发，侦察完所有⽬标，再返回原来的基地。
在每⼀⽬标点的侦察时间不计，求该架飞机所花费的时间（假设我⽅飞机巡航时间可以充分长）。
已知100个⽬标的经度、纬度如下表所列:3.2 模型及算法求解的遗传算法的参数设定如下：种群⼤⼩M=50；最⼤代数G=100;交叉率pc=1，交叉概率为1能保证种群的充分进化；变异概率pm=0.1，⼀般⽽⾔，变异发⽣的可能性较⼩。
编码策略:初始种群：⽬标函数：交叉操作：变异操作：选择：算法图：代码实现：clc,clear, close allsj0=load('data12_1.txt');x=sj0(:,1:2:8); x=x(:);y=sj0(:,2:2:8); y=y(:);sj=[x y]; d1=[70,40];xy=[d1;sj;d1]; sj=xy*pi/180; %单位化成弧度d=zeros(102); %距离矩阵d的初始值for i=1:101for j=i+1:102d(i,j)=6370*acos(cos(sj(i,1)-sj(j,1))*cos(sj(i,2))*...cos(sj(j,2))+sin(sj(i,2))*sin(sj(j,2)));endendd=d+d'; w=50; g=100; %w为种群的个数，g为进化的代数for k=1:w %通过改良圈算法选取初始种群c=randperm(100); %产⽣1，...，100的⼀个全排列c1=[1,c+1,102]; %⽣成初始解for t=1:102 %该层循环是修改圈flag=0; %修改圈退出标志for m=1:100for n=m+2:101if d(c1(m),c1(n))+d(c1(m+1),c1(n+1))<...d(c1(m),c1(m+1))+d(c1(n),c1(n+1))c1(m+1:n)=c1(n:-1:m+1); flag=1; %修改圈endendendif flag==0J(k,c1)=1:102; break %记录下较好的解并退出当前层循环endendendJ(:,1)=0; J=J/102; %把整数序列转换成[0,1]区间上实数即染⾊体编码for k=1:g %该层循环进⾏遗传算法的操作for k=1:g %该层循环进⾏遗传算法的操作A=J; %交配产⽣⼦代A的初始染⾊体c=randperm(w); %产⽣下⾯交叉操作的染⾊体对for i=1:2:wF=2+floor(100*rand(1)); %产⽣交叉操作的地址temp=A(c(i),[F:102]); %中间变量的保存值A(c(i),[F:102])=A(c(i+1),[F:102]); %交叉操作A(c(i+1),F:102)=temp;endby=[]; %为了防⽌下⾯产⽣空地址，这⾥先初始化while ~length(by)by=find(rand(1,w)<0.1); %产⽣变异操作的地址endB=A(by,:); %产⽣变异操作的初始染⾊体for j=1:length(by)bw=sort(2+floor(100*rand(1,3))); %产⽣变异操作的3个地址%交换位置B(j,:)=B(j,[1:bw(1)-1,bw(2)+1:bw(3),bw(1):bw(2),bw(3)+1:102]);endG=[J;A;B]; %⽗代和⼦代种群合在⼀起[SG,ind1]=sort(G,2); %把染⾊体翻译成1，...,102的序列ind1num=size(G,1); long=zeros(1,num); %路径长度的初始值for j=1:numfor i=1:101long(j)=long(j)+d(ind1(j,i),ind1(j,i+1)); %计算每条路径长度endend[slong,ind2]=sort(long); %对路径长度按照从⼩到⼤排序J=G(ind2(1:w),:); %精选前w个较短的路径对应的染⾊体endpath=ind1(ind2(1),:), flong=slong(1) %解的路径及路径长度xx=xy(path,1);yy=xy(path,2);plot(xx,yy,'-o') %画出路径以上整个代码中没有调⽤GA⼯具箱。
数学建模-现代优化算法(遗传算法)
遗传算法流程图如下：
编码和初始集团生成集团来自个体适应度的检测评估选择
交叉
变异
图1 遗传算法的基本流程
一、编码 遗传算法主要是通过遗传操作对群体中具 有某种结构形式的个体施加结重组处理， 从而不断地搜索出群体中个体间结构相似 性，由此可见，遗传算法不能直接处理问 题空间参数，必须把它们转换成遗传空间 的由基因按一定结构组成的染色体或个体。 这一转换操作就叫做编码。编码方法主要 有：二进制编码，Gray编码，动态编码， 实数编码，有序串编码，多参数编码，可 变长编码等。
1．基本变异算子 基本变异算子是指对群体中的个体码串随机挑选 一个或者多个基因座，并对这些基因座的基因值 做变动（以变异率 P 做变动），{0，1}二进制码串 中的基本变异操作如下：
(5) 若目标函数为最小问题: 1 Fit( f (x)) = c ≥ 0,c + f (x) ≥ 0 1+ c + f (x) (6) 若目标函数为最大问题： 1 c≥0,c− f (x) ≥0 Fit( f (x)) = 1+ c − f (x)
四、遗传操作 遗传操作是模拟生物基因遗传的操作。在遗传算法 中，通过编码组成初始群体后，遗传操作的任务 就是对群体的个体按照他们对环境适应的程度 （适应度评估）施加一定的操作，从而实现优胜 劣汰的进化过程，从优化搜索的角度而言，遗传 操作可以使问题的解，一代又一代地优化，并逼 近最优解。遗传算法的基本操作包括以下三个基 本算子：选择，交叉,变异。
当求解问题的目标函数采用利润函数形式时，为 了保证其非负性，可用如下变换式： u(x)＋Cmin ,当u(x)+Cmin > 0 （4） f ( x) = 0, 其他情况 式中系数 Cmin 可以式适合的输入值，或是当前一代 或者前面几代中的g（x）的最小值，也可以是群 体的方差。 第三、四两种方法是对第一、二两种方法的改进， 但有时存在界限值预先估计困难，不可能精确的 问题，为此有下面两种改进的方法： ：
数学建模-遗传算法(GA)
实战演练
我方有一个基地，经度和纬度为（70,40）。 假设我方飞机的速度为1000 公里/小时。 我方派一架飞机从基地出发，侦察完敌方所 有目标，再返回原来的基地。在敌方每一目 标点的侦察时间不计，求该架飞机所花费的 时间（假设我方飞机巡航时间可以充分长）。
目的：使遗传算法具有局部的随机搜索能力 还可以可维持群体多样性
GA框图
产生初始群体
是
输出结果并结束
是否满足停止准则
否
计算个体适应度值
比例选择运算
单点交叉运算
基本位突变运算
产生新一代群体
遗传算法的特点
（1）群体搜索，易于并行化处理； （2）不是盲目穷举，而是启发式搜索； （3）适应度函数不受连续、可微等条件的约
遗传算法（GA）
GA简介：
它是一类借鉴生物界自然选 择和自然遗传机制的随机化 搜索算法，是一种具有全局 优化性能、通用性强、且适 合于并行处理的算法。
遗传算法的搜索机制
遗传算法模拟自然选择和自然遗传过程中发生 的繁殖、交叉和基因突变现象，在每次迭代中 都保留一组候选解，并按某种指标从解群中选 取较优的个体，利用遗传算子(选择、交叉和突 变)对这些个体进行组合，产生新一代的候选解 群，重复此过程，直到满足某种收敛指标为止。
束，适用范围很广。
遗传算法的本质
遗传算法本质上是对染色体模式所进行 的一系列运算，即通过选择算子将当前 种群中的优良模式遗传到下一代种群中， 利用交叉算子进行模式重组，利用突变 算子进行模式突变。通过这些遗传操作， 模式逐步向较好的方向进化，最终得到 问题的最优解。
算法的改进
遗传算法改进，首先将变异操作从交叉操作 中分离出来，使其成为独立的并列于交叉的 寻优操作，在具体遗传操作中பைடு நூலகம்混沌与遗传 操作联系在一起，在交叉操作中，以“门当 户对”原则进行个体的配对，利用混沌序列 确定交叉点，实行强度最弱的单点交叉，以 确保算法收敛精度，削弱和避免寻优抖振问 题；在变异操作中，利用混沌序列对染色体 中多个基因进行变异，以避免算法早熟。
数学建模中的遗传算法设计
数学建模中的遗传算法设计数学建模是现代科学的重要组成部分，它的发展推动了现代自然科学和工程科学的进步。
而在数学建模中，遗传算法是一种非常有效的优化算法，在实际应用中具有广泛的应用前景。
一、遗传算法的基本原理遗传算法是一种通过模拟自然进化过程获取最优解的方法。
其基本原理是对于一个需要求解的问题，根据问题特性设计出适应度函数，该函数能够衡量个体的适应程度。
在进化过程中，将该适应度函数作为选择个体的依据，而后产生随机变异，不断迭代，最终找到全局最优解。
具体来说，遗传算法包含以下几个基本操作：1、初始化种群：生成一个随机种群，其中个体遵守问题特定的限制条件，如初始解范围、数量、精度等。
2、选择操作：根据适应度函数选择每一代群体的优良解。
3、交叉操作：在群体中选择两个个体进行交叉，产生下一代。
4、变异操作：对产生的下一代个体进行变异，从而增加群体的多样性。
5、重复执行选择、交叉、变异操作：重复执行直到达到终止条件，如迭代次数、达到一定精度等。
遗传算法的主要优点是能够在大量的组合、问题结构较复杂、目标函数具有非线性、多峰等特点的优化问题中获得较好的全局最优解。
但同时也存在一些缺陷，如易陷入局部最优解，多次运行结果不一致等问题。
二、遗传算法在数学建模中的应用1、函数优化问题如求解无约束非线性函数的最小值、最大值等，通过适应度函数来评估群体中个体的适应程度，根据遗传算法的原则不断迭代更新，最终得到全局最优解。
例如，已知函数$f(x)=-x^2+2x+5$，求其最大值。
遗传算法可编程求得该函数最大值$x=1$。
2、组合优化问题如旅行商问题、背包问题、调度问题等，这些经典问题通常不依赖于外部条件，可以通过组合优化的方式求解。
遗传算法在解决这些问题时，可以通过选择合适的遗传操作和适应度函数得到非常好的优化结果。
例如，求解背包问题，遗传算法可通过交叉、变异等操作不断优化方案，达到最优背包填充方案。
3、物理建模问题如固体力学中弹性力学问题、电磁场问题等，这些问题通常涉及到大量的物理变量和参数，其求解难度较高。
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Goldberg, 借助分享函数的小生境和物种归纳法 20世纪80年代（蓬勃发展期） Richardson Goldberg, Segrest Goldberg, Smith 复制和交叉的有限马尔科夫链 双倍染色体遗传算法应用于非稳定函数优化 排列重组算子的模拟和分析 串编码自适应交叉试验 子孙测试应用于遗传算法的选择操作
数学建模专题之遗传算法
遗传算法的特点
遗传算法的发展历程 遗传算法的研究和应用领域
1 遗传算法概述
一种仿生全局优化算法
数学建模专题之遗传算法
1.1 遗传算法（Genetic Algorithm, GA） 模仿生物的遗传进化原理（Darwin’s theory of evolution & Mendel’s law of inheritance)，通过选择（Selection）、 交叉（Crossover）与变异（Mutation） 等操作机制，使种群中个体的适应性 （Fitness）不断提高 核心思想：物竞天择，适者生存
（“天”——适应度函数，Fitness Function)
1 遗传算法概述
1.2 遗传算法的特点
数学建模专题之遗传算法
四大优点： 良好的并行性（操作对象是一组可行解；搜索轨 道有多条） 强大的通用性（只需利用目标的取值信息，无需 梯度等高价值信息） 良好的全局优化性和鲁棒性 良好的可操作性 两个缺点： 未成熟收敛问题 收敛速度较慢，算法实时性欠佳
2L 1
k ai 2i
i 0
X
r
l
(2 1)
L
Xl
L——参数编码长度； k——二进制串对应的实数值。
2 标准遗传算法
2.4 遗传算法的应用步骤
数学建模专题之遗传算法
（5）确定个体适应度的量化评价方法，就是确定出由目标函数值到个 体适应度的转换规则。标准遗传算法的适应度函数常用一下三种：
具有交配和选择规则的二维函数优化
第一阶段： Bosworth 20世纪提出具有复杂变异、类似于遗传算法的基因操作 60年代至70年代中期 Foo, Zeigler （萌芽期）
Frantz 位置非线性和倒位操作研究 Holland Martin De Jong Holland 遗传算法中试验的最优配置和双臂强盗问题 类似遗传算法的概率算法理论 用于5个测试函数的研究基本遗传短发基准参数 出版开创性著作《Adaptation in Natural and Artificial Systems》
1 遗传算法概述
1.3 遗传算法的发展历史
数学建模专题之遗传算法
表1.1 遗传算法理论的经典研究成果
年份 1962 贡献者 Holland 内容 程序漫游元胞计算机自适应系统框架
1968
1971 1972 1972 1973 1973 1975 1975
Holland
Hollstein
模式定理的建立
, N ) S ，N称为种群规模。
2 标准遗传算法
2.3 遗传算法的若干概念
数学建模专题之遗传算法
适应度（Fitness） 在研究自然界中生物的遗传和进化 现象时，生物学家使用适应度这个术语来度量某个物种对 于生存环境的适应程度。对生存环境适应程度较高的物种 将获得更多的繁殖机会，而对生存环境适应程度较低的物 种，其繁殖机会就会相对较少，甚至逐渐灭绝。在遗传算 法中，一般通过适应度函数（Fitness function）来衡量某 一个体的适应度高低。
1 遗传算法概述
续表1.1
年份 1981 1981 1983 贡献者 Bethke Brindle Pettit, Swigger
数学建模专题之遗传算法
内容 应用Walsh函数分析模式 研究遗传算法中的选择和支配问题 遗传算法应用于非稳定问题的粗略研究
1983
1984 1985
Wetzel
Mauldin Baker
l
数学建模专题之遗传算法
个体(Individual) 素 a a 0 a1 a l 1 S 称为个体，它是染色体带有特征的实 体。分量 a j 0,1 称为基因，正整数 l 称为个体的基因长 度。
称 S 0,1 为个体空间，个体空间的元
种群(Population) 称个体空间S中N个个体组成的一个子 集（个体允许重复）称为一个种群，记为： A ( A1 , A2 , , AN ) 其中 A j ( j 1, 2,
对环境的适应性
2 标准遗传算法
2.1 遗传算法的生物学基础数学建模专题 Nhomakorabea遗传算法
适应度 （Fitness） High 生存（Survival） 进化 （Evolution） 种群 （Population） 灭绝 （Extinction） Low
个体 （Individual）
“物竞天择，适者生存”
死亡 （Death）
Ⅰ直接以待求解的目标函数为适应度函数 若目标函数为最大值问题，则Fit(f(X))=f(X) 若目标函数为最小值问题，则Fit(f(X))=－f(X)
优点：简单直观； 缺点：其一，可能不满足非负的要求；其二，某些代求解的函数值分布相差很 大，由此得到的平均适应度可能不利于体现种群的平均性能。
2 标准遗传算法
2.2 标准遗传算法的基本流程
实际问题参数集
参数编码成为染色体 初始化群体 计算每一个体的 适应度 群体←新群体 P(t)←P(t+1) 进行遗传操作
数学建模专题之遗传算法
对染色体进行解 码 得到问题最优解
1、选择 2、交叉
满足终止 条件？
3、变异
2 标准遗传算法
2.3 遗传算法的若干概念
数学建模专题之遗传算法
“种瓜得瓜， 种豆得豆”
脱氧核糖核酸 （Deoxyribonucleic Acid，DNA）
基因（Gene）、 等位基因（Allele） 基因型 （Genotype） 表现型 （Phenotype）
复制（Reproduction）
交叉（Crossover）
变异（Mutation）
log 2 500000 18.93
向上取整，可得到L=19。即可用19位二进制串a18a17…a0 来表示。 （4）确定解码方法，即确定出由个体基因型X*，到个体表现型X的对应关 系和转换方法。 例如：对于二进制编码，其解码过程如下：若X*的取值范围为[Xl,Xr]， 参数的二进制编码码长为L，码串对应的十进制整数为k，则解码公式为: L 1 式中， [Xl,Xr]——参数最小、最大值； (X X ) k
2 标准遗传算法
2.3 遗传算法的若干概念
数学建模专题之遗传算法
选择操作（Selection） 根据各个个体的适应度，按照一 定的规则，从第t代群体P(t)中选择出一些优良的个体遗传 到下一代群体P(t+1)中。一般地，选择操作通过选择算子
（Selection Operator）进行。
交叉操作（Crossover） 将群体P(t)内的各个个体随机搭 配成对，对每一对个体，以某个概率（称为交叉概率， Crossover Rate）遵循某一种规则交换它们之间的部分染 色体。
1 遗传算法概述
续表1.1
年份 1986 1986 1987 1987 1987 1987 1987 1987 1987 1987 贡献者 Goldberg Grefenstette Baker Goldberg 最优种群大小估计
数学建模专题之遗传算法
内容
元级遗传算法控制的遗传算法 选择中随机误差的较少方法 复制和交叉时最小欺骗问题（MDP）
卡盟排行榜 卡盟
2 标准遗传算法
2.3 遗传算法的若干概念
数学建模专题之遗传算法
编码（Coding） 将一个待求解的问题的实际可行解从其 解空间转换到遗传算法所能处理的搜索空间（即个体空间） 的过程，就称为编码。 解码（Decoding） 解码是将遗传算法所搜索到的最优个 体的染色体转换成待求解问题的实际最优解的过程，即编码 的逆过程。
第二阶段：
Oliver, Smith, Holland
Schaffer, Morishima Whitley
1 遗传算法概述
1.4 遗传算法的应用领域
数学建模专题之遗传算法
（1）函数优化（经典应用） （2）组合优化（旅行商问题——已成为衡量算法优劣的标准、背包问 题、装箱问题等） （3）生产调度问题 （4）自动控制（如航空控制系统的优化设计、模糊控制器优化设计和 在线修改隶属度函数、人工神经网络结构优化设计和调整人工神 经网络的连接权等优化问题） （5）机器人智能控制（如移动机器人路径规划、关节机器人运动轨迹 规划、机器人逆运动学求解等） （6）图像处理和模式识别（如图像恢复、图像边缘特征提取、几何形 Hotspot 状识别等） （7）机器学习（将GA用于知识获取，构建基于GA的机器学习系统） 此外，遗传算法在人工生命、遗传程序设计、社会和经济领域等 方面的应用尽管不是很成熟，但还是取得了一定的成功。在日后，必 定有更深入的发展。
Microsoft Office PowerPoint，是微软 公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或 者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打 印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的 领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不 仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召 开面对面会议、远程会议或在网上给观众展 示演示文稿。 Microsoft Office PowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格 式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为： pdf、图片格式等
Contents of Section 2
2.1 2.2 遗传算法的生物学基础 遗传算法的基本流程
数学建模专题之遗传算法
2.3