第六章多目标及离散变量优化方法
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中心距:
P0=(0.02424dd1-1.112879)(kW)
min f 2 ( X) a a1 a a 2 KL=0.20639Ld0.211806 1.1 K AP 拟合幂函数方程 带的根数: min f 3 ( X ) z ( P0 P0 )K K L
★协调曲线法
机械优化设计
1．主要目标法
抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作为主 要目标，将其他目标转化成约束条件）
2．统一目标法
又称为综合目标法，它是将原多目标优化问题，通过 一定方法转化为统一目标函数或综合目标函数作为该多目 标优化问题的评价函数，然后用前述的单目标函数优化方 法求解。
（1）线性加权和法（线性组合法） （2）极大极小法
100 80 2 2 2 10 2 400 320 40 2 2 1.5 2 2 41 2
机械优化设计
(3)编制优化设计的M文件
%V带传动多目标优化设计的目标函数文件 function f=VDCD_3mb_MB(x) P=4;i=3;KA=1.1; %已知条件：功率，传动比，工况系数 f(1)=x(1); %f1-小带轮基准直径:目标函数1 a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8; a2=x(1)^2*(i-1)^2/8; a=a1+sqrt(a1^2-a2); f(2)=a; %f2,中心距：目标函数2 P0=0.02424*x(1)-1.1128789; %单根带额定功率 DP0=0.17; %功率增量 alpha=180-180*x(1)*(i-1)/pi/a; %小带轮包角 Kalp=alpha/(0.549636*alpha+80.396114); %包角系数 KL=0.20639*x(2)^0.211806; %长度系数 f(3)=KA*P/(P0+DP0)/Kalp/KL; %f3-V带根数：目标函数3
机械优化设计
3．多目标优化问题解得可能情况
（1）最优解 （2）劣解 （3）非劣解 （4）弱非劣解或称弱有效解。
0
●
f2
4
● ●
6
●
5
1
●
3
●
2
f1
对于f1(x)，1最好，其次为3，2，4，5，6； 对于f2(x)，2最好，其次为3，1，5，4，6。
综合考虑，1，2，3为非劣解，4，5，6为劣解。
机械优化设计
一、多目标优化问题数学模型
标量变量 分目标函数的权重 各分目标函数的目标值 min v s.t. fi(X)-wiv ≤goali i=1,2,…,t AX≤b （线性不等式约束） AeqX=beq （线性等式约束） C(X)≤0 （非线性不等式约束条件） Ceq(X)=0 （非线性等式约束） Lb ≤X ≤Ub （边界约束条件）
机械优化设计
一、多目标优化问题
1、概念 同时要求实现： 成本、重量、体积 利润、产量、承载能力 兼顾多方面的要求，则称为多目标优化问题。
机械优化设计
一般地说，若有 l 个目标函数，则多目标优化 问题的表达式可写成：
V min F n X min f X n 1
xR xR
（3）理想点法与平方和加权法
（4）分目标乘除法 （5）功效系数法——几何平均法
机械优化设计
（1）线性加权和法（线性组合法）
根据多目标优化问题各个目标函数 f X
1
f 2 X
f l 1 X
fl X
的重要程度，对应的选择一组权系数 w1 , w2 , , wl ，并有
二、多目标优化方法 主要有两大类： ※一类直接求出非劣解，然后从中选择较好解；
※另一类是将多目标优化问题求解时作适当的处理
。 ★重新构造一个函数（即评价函数），将多目标（ 向量）优化问题转变为评价函数的单目标（标量）优 化问题——主要目标法、统一目标法。
★将多目标（向量）优化问题转化为一系列单目标
（标量）优化问题来求解——分层序列法
fl X
T
称为向量目标函数。V min 表示向量极小化， 即向量目标函数中各个目标函数被同等的极小化的 意思。
机械优化设计
在多目标的优化模型中，还有一类模型是在约束条件 下，各个目标函数不是同等的被最优化，而是按不同的优 先层次先后地进行优化----分层多目标优化问题。
2．多目标优化问题的特点
X D
1）可反映各个单目标对整个多目标问题的重要程度； 2）对各个分目标函数作统一量纲处理。
机械优化设计
多目标优化问题的MATLAB函数有
需知各分目标的单个的最优值
fgoalattain
需确定各分目标的加权系数
fminimax
目标函数的最大值逐次减小
机械优化设计
6.1 函数fgoalattain
任意两个设计方案的优劣一般是难以判别的，在多目 ， 标优化问题中得到的是非劣解。
例：求 V min F x f1 x
f 2 x
T
f1 x x 2 2 x, f 2 x x
D x 0 x 2
对于两个单目标函数显然很容易分别求的其最优解，但 是却无法求得两者共同的最优解。
解:(1)建立优化设计的数学模型 ①设计变量： V带传动的独立设计变量是小带轮直径dd1和带的基准长度Ld L d (i 1) X=[dd1,Ld]T=[x1,x2]T a1 d d1 4 8 ②目标函数： 2 2 d d 1 ( i 1) a2 小带轮直径： minf1(X)=dd1=x1
[x,fval,exitflag,output, grad,hessian]= fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2 …)
机械优化设计
(3)编制优化设计的M文件
%V带传动多目标优化设计的调用命令 P=4;i=3;n1=1440;KA=1.1; %已知条件：功率，传动比，转速，工况系数 x0=[100;1250]; %初始点（小带轮直径，V带基准长度） goal=[75,280,2]; %分目标 w=[10^(-2),40^(-2),1.5^(-2)]; %分目标加权系数 lb=[80,630]; %最小带轮直径和A型V带的基准长度 ub=[100;4000]; %最大带轮直径和A型V带基准长度 [xopt,fopt]=fgoalattain(@VDCD_3mb_MB,x0,goal,w,[],[],[],[],lb,ub,@VDC D_3mb_YS)
带传动的中心距要求 小带轮基准直径的下限和上限
g 7 ( X) 630 x 2 0 g 8 ( X) x 2 4000 0
边 界 约 束 带基准长度的下限和上限
机械优化设计
解:(1)建立优化设计的数学模型 ①设计变量： X=[dd1,Ld]T=[x1,x2]T ②目标函数： 小带轮直径： minf1(X)=dd1=x1 2 中心距: min f 2 ( X) a a1 a1 a2
性能约 束
最大带速<25m/s
2x1 dd1(i 1) g 3 ( X) min 1 min 180 1 120 180 1 0 小带轮包角>120°
g 4 ( X) 0.7d d1 (i 1) a 2.8x1 a 0 g 5 ( X) 80 x1 0 g 6 ( X) x1 100 0
2 1
8
0.17kW
拟合 双曲 线方K 程 0.549636 80.395144
机械优化设计
三、例题
③约束条件:含性能约束和边界约束
小带轮直径>=推荐的A型带轮最小直径
g 1 ( X) d d min d d1 100 x1 0
g 2 ( X)
d d1n1 d n v max d1 1 25 0 60000 60000
带的根数: min f 3 ( X) z
80~100mm 320~400mm 1~4
T
③约束条件:
(2)确定分目标和它们的权重
按容限值确定权重 ，以使目标函数值 在数量级上统一
K AP ( P0 P0 )K K L
w1 w w 2 w 3
T
目标函数文件名 初始点 附加参数 设置优化选项参数
各分目标期望值
各分目标权重
无定义时以空矩阵 符号“[ ]”代替
非线性约束条件的函数名 设计变量的下界和上界 线性等式约束的常数向量 线性等式约束的系数矩阵
线性不等式约束的常数向量
线性不等式约束的系数矩阵
机械优化设计
三、例题
设计带式输送机传动装置上的普通V带传动。已知电机额定功率P=4kW，转 速n1=1440r/min，传动比i=3，采用A型V带，每天工作不超过10小时。要求 传动结构紧凑（带的根数尽量少，带轮直径和中心距尽量小）。
各分目标函数
机械优化设计
返回目标函数的最优解
返回目标函数的最优值
二、优化函数使用格式
返回算法的终止标志 优化算法信息的一个数据结构
返回目标函数在最优解的梯度
目标函数在最优解的海色矩阵 [x,fval,exitflag,output, grad,hessian]= fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)
[x,fval,exitflag,output, grad,hessian]= fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2… [ [ [ ], [ ], ) ], ],
i min F X min wi f i X 的最优解， X D X D i 1 它就是原多目标优化问题的解。
机械优化设计
难点：如何找到合理的权系数 解决方法：将各单目标最优化值的倒数取作权系数
1 wi (i 1, 2, , l ) fi fi min f i X (i 1, 2, , l )
w 1, w 0(i 1, 2, , l )
i 1 i i
i
用 f i X 与wi (i 1, 2, , l ) 的线性组合构成一个评价函数
F X wi f i X min
i 1
i
将多目标优化问题转化为单目标优化问题，即求评价函数
[x,fval,exitflag,output, grad,hessian]= fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2… )
机械优化设计
(3)编制优化设计的ຫໍສະໝຸດ Baidu文件
%V带传动多目标优化设计的约束函数文件 function[g,ceq]=VDCD_3mb_YS(x) i=3;n1=1440; %已知条件：传动比，转速 g(1)=100-x(1); %小带轮直径>=Ddmin g(2)=pi*x(1)*n1/6e4-25 %带速范围V<=Vmax a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8; a2=x(1)^2*(i-1)^2/8; a=a1+sqrt(a1^2-a2); g(3)=120-180*(1-x(1)*(i-1)/a/pi); %小带轮包角>=alpmin g(4)=0.7*x(1)*(i+1)-a; %中心距范围a>=amin ceq=[];
f 2 X
f l 1 X
fl X
T
s.t.
g j X 0 j 1, 2 , p
F X min f1 X
hk X 0 k 1, 2 , q
f 2 X
f l 1 X
P0=(0.02424dd1-1.112879)(kW)
min f 2 ( X) a a1 a a 2 KL=0.20639Ld0.211806 1.1 K AP 拟合幂函数方程 带的根数: min f 3 ( X ) z ( P0 P0 )K K L
★协调曲线法
机械优化设计
1．主要目标法
抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作为主 要目标，将其他目标转化成约束条件）
2．统一目标法
又称为综合目标法，它是将原多目标优化问题，通过 一定方法转化为统一目标函数或综合目标函数作为该多目 标优化问题的评价函数，然后用前述的单目标函数优化方 法求解。
（1）线性加权和法（线性组合法） （2）极大极小法
100 80 2 2 2 10 2 400 320 40 2 2 1.5 2 2 41 2
机械优化设计
(3)编制优化设计的M文件
%V带传动多目标优化设计的目标函数文件 function f=VDCD_3mb_MB(x) P=4;i=3;KA=1.1; %已知条件：功率，传动比，工况系数 f(1)=x(1); %f1-小带轮基准直径:目标函数1 a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8; a2=x(1)^2*(i-1)^2/8; a=a1+sqrt(a1^2-a2); f(2)=a; %f2,中心距：目标函数2 P0=0.02424*x(1)-1.1128789; %单根带额定功率 DP0=0.17; %功率增量 alpha=180-180*x(1)*(i-1)/pi/a; %小带轮包角 Kalp=alpha/(0.549636*alpha+80.396114); %包角系数 KL=0.20639*x(2)^0.211806; %长度系数 f(3)=KA*P/(P0+DP0)/Kalp/KL; %f3-V带根数：目标函数3
机械优化设计
3．多目标优化问题解得可能情况
（1）最优解 （2）劣解 （3）非劣解 （4）弱非劣解或称弱有效解。
0
●
f2
4
● ●
6
●
5
1
●
3
●
2
f1
对于f1(x)，1最好，其次为3，2，4，5，6； 对于f2(x)，2最好，其次为3，1，5，4，6。
综合考虑，1，2，3为非劣解，4，5，6为劣解。
机械优化设计
一、多目标优化问题数学模型
标量变量 分目标函数的权重 各分目标函数的目标值 min v s.t. fi(X)-wiv ≤goali i=1,2,…,t AX≤b （线性不等式约束） AeqX=beq （线性等式约束） C(X)≤0 （非线性不等式约束条件） Ceq(X)=0 （非线性等式约束） Lb ≤X ≤Ub （边界约束条件）
机械优化设计
一、多目标优化问题
1、概念 同时要求实现： 成本、重量、体积 利润、产量、承载能力 兼顾多方面的要求，则称为多目标优化问题。
机械优化设计
一般地说，若有 l 个目标函数，则多目标优化 问题的表达式可写成：
V min F n X min f X n 1
xR xR
（3）理想点法与平方和加权法
（4）分目标乘除法 （5）功效系数法——几何平均法
机械优化设计
（1）线性加权和法（线性组合法）
根据多目标优化问题各个目标函数 f X
1
f 2 X
f l 1 X
fl X
的重要程度，对应的选择一组权系数 w1 , w2 , , wl ，并有
二、多目标优化方法 主要有两大类： ※一类直接求出非劣解，然后从中选择较好解；
※另一类是将多目标优化问题求解时作适当的处理
。 ★重新构造一个函数（即评价函数），将多目标（ 向量）优化问题转变为评价函数的单目标（标量）优 化问题——主要目标法、统一目标法。
★将多目标（向量）优化问题转化为一系列单目标
（标量）优化问题来求解——分层序列法
fl X
T
称为向量目标函数。V min 表示向量极小化， 即向量目标函数中各个目标函数被同等的极小化的 意思。
机械优化设计
在多目标的优化模型中，还有一类模型是在约束条件 下，各个目标函数不是同等的被最优化，而是按不同的优 先层次先后地进行优化----分层多目标优化问题。
2．多目标优化问题的特点
X D
1）可反映各个单目标对整个多目标问题的重要程度； 2）对各个分目标函数作统一量纲处理。
机械优化设计
多目标优化问题的MATLAB函数有
需知各分目标的单个的最优值
fgoalattain
需确定各分目标的加权系数
fminimax
目标函数的最大值逐次减小
机械优化设计
6.1 函数fgoalattain
任意两个设计方案的优劣一般是难以判别的，在多目 ， 标优化问题中得到的是非劣解。
例：求 V min F x f1 x
f 2 x
T
f1 x x 2 2 x, f 2 x x
D x 0 x 2
对于两个单目标函数显然很容易分别求的其最优解，但 是却无法求得两者共同的最优解。
解:(1)建立优化设计的数学模型 ①设计变量： V带传动的独立设计变量是小带轮直径dd1和带的基准长度Ld L d (i 1) X=[dd1,Ld]T=[x1,x2]T a1 d d1 4 8 ②目标函数： 2 2 d d 1 ( i 1) a2 小带轮直径： minf1(X)=dd1=x1
[x,fval,exitflag,output, grad,hessian]= fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2 …)
机械优化设计
(3)编制优化设计的M文件
%V带传动多目标优化设计的调用命令 P=4;i=3;n1=1440;KA=1.1; %已知条件：功率，传动比，转速，工况系数 x0=[100;1250]; %初始点（小带轮直径，V带基准长度） goal=[75,280,2]; %分目标 w=[10^(-2),40^(-2),1.5^(-2)]; %分目标加权系数 lb=[80,630]; %最小带轮直径和A型V带的基准长度 ub=[100;4000]; %最大带轮直径和A型V带基准长度 [xopt,fopt]=fgoalattain(@VDCD_3mb_MB,x0,goal,w,[],[],[],[],lb,ub,@VDC D_3mb_YS)
带传动的中心距要求 小带轮基准直径的下限和上限
g 7 ( X) 630 x 2 0 g 8 ( X) x 2 4000 0
边 界 约 束 带基准长度的下限和上限
机械优化设计
解:(1)建立优化设计的数学模型 ①设计变量： X=[dd1,Ld]T=[x1,x2]T ②目标函数： 小带轮直径： minf1(X)=dd1=x1 2 中心距: min f 2 ( X) a a1 a1 a2
性能约 束
最大带速<25m/s
2x1 dd1(i 1) g 3 ( X) min 1 min 180 1 120 180 1 0 小带轮包角>120°
g 4 ( X) 0.7d d1 (i 1) a 2.8x1 a 0 g 5 ( X) 80 x1 0 g 6 ( X) x1 100 0
2 1
8
0.17kW
拟合 双曲 线方K 程 0.549636 80.395144
机械优化设计
三、例题
③约束条件:含性能约束和边界约束
小带轮直径>=推荐的A型带轮最小直径
g 1 ( X) d d min d d1 100 x1 0
g 2 ( X)
d d1n1 d n v max d1 1 25 0 60000 60000
带的根数: min f 3 ( X) z
80~100mm 320~400mm 1~4
T
③约束条件:
(2)确定分目标和它们的权重
按容限值确定权重 ，以使目标函数值 在数量级上统一
K AP ( P0 P0 )K K L
w1 w w 2 w 3
T
目标函数文件名 初始点 附加参数 设置优化选项参数
各分目标期望值
各分目标权重
无定义时以空矩阵 符号“[ ]”代替
非线性约束条件的函数名 设计变量的下界和上界 线性等式约束的常数向量 线性等式约束的系数矩阵
线性不等式约束的常数向量
线性不等式约束的系数矩阵
机械优化设计
三、例题
设计带式输送机传动装置上的普通V带传动。已知电机额定功率P=4kW，转 速n1=1440r/min，传动比i=3，采用A型V带，每天工作不超过10小时。要求 传动结构紧凑（带的根数尽量少，带轮直径和中心距尽量小）。
各分目标函数
机械优化设计
返回目标函数的最优解
返回目标函数的最优值
二、优化函数使用格式
返回算法的终止标志 优化算法信息的一个数据结构
返回目标函数在最优解的梯度
目标函数在最优解的海色矩阵 [x,fval,exitflag,output, grad,hessian]= fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)
[x,fval,exitflag,output, grad,hessian]= fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2… [ [ [ ], [ ], ) ], ],
i min F X min wi f i X 的最优解， X D X D i 1 它就是原多目标优化问题的解。
机械优化设计
难点：如何找到合理的权系数 解决方法：将各单目标最优化值的倒数取作权系数
1 wi (i 1, 2, , l ) fi fi min f i X (i 1, 2, , l )
w 1, w 0(i 1, 2, , l )
i 1 i i
i
用 f i X 与wi (i 1, 2, , l ) 的线性组合构成一个评价函数
F X wi f i X min
i 1
i
将多目标优化问题转化为单目标优化问题，即求评价函数
[x,fval,exitflag,output, grad,hessian]= fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2… )
机械优化设计
(3)编制优化设计的ຫໍສະໝຸດ Baidu文件
%V带传动多目标优化设计的约束函数文件 function[g,ceq]=VDCD_3mb_YS(x) i=3;n1=1440; %已知条件：传动比，转速 g(1)=100-x(1); %小带轮直径>=Ddmin g(2)=pi*x(1)*n1/6e4-25 %带速范围V<=Vmax a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8; a2=x(1)^2*(i-1)^2/8; a=a1+sqrt(a1^2-a2); g(3)=120-180*(1-x(1)*(i-1)/a/pi); %小带轮包角>=alpmin g(4)=0.7*x(1)*(i+1)-a; %中心距范围a>=amin ceq=[];
f 2 X
f l 1 X
fl X
T
s.t.
g j X 0 j 1, 2 , p
F X min f1 X
hk X 0 k 1, 2 , q
f 2 X
f l 1 X