线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲
线性代数课后习题答案
线性代数课后题详解
第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
相信自己加油
（1）
3811411
02
---； （2）b a c a c b c
b a
（3）
2
2
2
111
c b a c b a ； （4）
y
x
y x x y x y y x y x +++.
解 注意看过程解答（1）
=---3
81141
1
2811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯
)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++- =4-
（2）=b
a c a c b
c
b a cc
c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=
（3）
=2
2
2
1
11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=
（4）
y
x
y
x x y x y y x y x
+++
yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业
（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 …
)12(-n 2 4 …)2(n ；
（6）1 3 …
)12(-n )2(n )22(-n … 2.
解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为
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第一章
3.如果排列n x x x 21是奇排列,则排列11x x x n n -的奇偶性如何？
解：排列11x x x n n -可以通过对排列n x x x 21经过(1)
(1)(2)212
n n n n --+-+++=
次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当2
)
1(-n n 为偶数时，排列11x x x n n -为奇排列，当
2
)
1(-n n 为奇数时，排列11x x x n n -为偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13a 且带负号的项.
解：含元素13a 的乘积项共有13223144(1)t a a a a -，13223441(1)t a a a a -，13213244(1)t a a a a -，
13213442(1)t a a a a -，13243241(1)t a a a a -，13243142(1)t a a a a -六项，各项列标排列的逆序数分别
为(3214)3t τ==，
(3241)4t τ==，(3124)2t τ==，(3142)3t τ==，(3421)5t τ==，(3412)4t τ==， 故所求为132231441a a a a -，132134421a a a a -，132432411a a a a -。
5.按照行列式的定义,求行列式n
n 0
00010020
0100
-的值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有1,12,21,1(1)t
n n n nn a a a a ----，
其中(1)(2)
[(1)(2)
21]2
n n t n n n τ--=--=
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第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y
y
x y x +++. 解 （1）=---3
811411
02811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-
=416824-++-=4-
（2）=b
a c a c
b c
b a cc
c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=
（3）=2
221
11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=
（4）y
x y x x y x y y
x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为
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第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411
02−−−;
解 3
811411
02−−−
=2×(−4)×3+0×(−1)×(−1)+1×1×8 −0×1×3−2×(−1)×8−1×(−4)×(−1) =−24+8+16−4=−4. (2)b a c a c b c
b a ;
解 b
a c a c
b c
b a
=acb +bac +cba −bbb −aaa −ccc =3abc −a 3−b 3−c 3
. (3)2221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2−ac 2−ba 2−cb =(a −b )(b −c )(c −a ). 2
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y
x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx −y 3−(x +y )3−x =3xy (x +y )−y 3 3−3x 2 y −x 3−y 3−x =−2(x 3 3+y 3 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
).
(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );
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第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411
02−−−;
解 3
811411
02−−−
=2×(−4)×3+0×(−1)×(−1)+1×1×8 −0×1×3−2×(−1)×8−1×(−4)×(−1) =−24+8+16−4=−4. (2)b a c a c b c
b a ;
解 b
a c a c
b c
b a
=acb +bac +cba −bbb −aaa −ccc =3abc −a 3−b 3−c 3
. (3)2221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2−ac 2−ba 2−cb =(a −b )(b −c )(c −a ). 2
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y
x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx −y 3−(x +y )3−x =3xy (x +y )−y 3 3−3x 2 y −x 3−y 3−x =−2(x 3 3+y 3 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
).
(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );
《线性代数》课后习题答案
第一章 行列式
习题1.1
1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有
3
)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以
)
3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以
)3(33)
(3)3()
3)(3()3)(3(3
32
2
22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=
-+-+=
++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。 （反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒
线性代数(含全部课后题详细答案)7-2
定义 设U、V是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间U 与 V 同构.
例如 n维线性空间
Vn x11 x22 xnn x1, x2,, xn R
与n维数组向量空间 Rn同构.
则由泰勒公式知 f ( x) f (a) f '(a)(x a) f ''(a) ( x a)2 2!
f (n1)(a) ( x a)n1 (n 1)!
因此 f ( x)在基 1 , 2 , 3 ,, n 下的坐标是
(
f (a),
f '(a),
f ''(a),,
思考题解答
解令
k1 f 1(x) k2 f 2(x) k3 f 3(x) k4 f 4(x) 0 则得
(k1 2 k 2 k 3 2 k 4) x3 (2 k1 3 k 2 5 k 4) x2
(4 k1 9 k 2 6 k 3 7 k 4)x (k1 k 2 5 k 3 5 k 4) 0.
0 0
1 0
2 0
1 0
0 0 0 0
因此, f 1( x), f 2 ( x)线性无关,是 f 1( x), f 2 ( x), f 3 ( x),
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第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411
02−−−;
解 3
811411
02−−−
=2×(−4)×3+0×(−1)×(−1)+1×1×8 −0×1×3−2×(−1)×8−1×(−4)×(−1) =−24+8+16−4=−4. (2)b a c a c b c
b a ;
解 b
a c a c
b c
b a
=acb +bac +cba −bbb −aaa −ccc =3abc −a 3−b 3−c 3
. (3)2221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2−ac 2−ba 2−cb =(a −b )(b −c )(c −a ). 2
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y
x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx −y 3−(x +y )3−x =3xy (x +y )−y 3 3−3x 2 y −x 3−y 3−x =−2(x 3 3+y 3 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
).
(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );
线性代数课后习题答案全习题详解
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第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y
y
x y x +++. 解 （1）=---3
811411
02811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++-=4-
（2）=b
a c a c
b c
b a cc
c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=
（3）=2
221
11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=
（4）y
x y x x y x y y
x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；
（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
线性代数习题答案详解__复旦大学出版社
线性代数课后习题答案
习题一
1、2、3(答案略)
4、 (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数
故所求为127485639
(2) ∵(397281564)25119τ=+++= (奇数) ∴所求为397281564
5、(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数)
∴项前的符号位()6
11-=+ (正号)
(2)∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+=
∴ 项前的符号位5(1)1-=- (负号) 6、 (1) (2341)(1)12n n τ-⋅L L 原式=(1)(1)!n n -=- (2)()((1)(2)21)
1(1)(2)21n n n n n n τ--⋅⋅---⋅⋅L L 原式=(1)(2)
2
(1)
!n n n --=-
(3)原式=((1)21)
12(1)1(1)
n n n n n a a a τ-⋅--L L (1)
2
12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L
7、8(答案略)
9、 ∵162019(42)0D x =⨯-⨯+⨯--⨯=
∴7x =
10、 (1)从第2列开始,以后各列加到第一列的对应元素之上,得
[]11(1)1110
01(1)1110
(1)1
1
(1)1
1
1
x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L
L L L L L L L L L L L L L L L L L
《线性代数》课后习题答案
第一章 行列式
习题1.1
1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有
3
)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以
)
3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以
)3(33)
(3)3()
3)(3()3)(3(3
32
2
22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=
-+-+=
++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。 （反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒
熊维玲版线性代数第二章习题解答.Doc1
第二章 矩阵
1（本题为类似题）．设111111111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， 123124,051B ⎛⎫
⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭
求32.T
AB A A B -及
解:32AB A -1111233111124111051⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1112111111⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 0583056290⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1112111111⎛⎫
⎪--
⎪ ⎪
-⎝
⎭
21322217204292-⎛⎫
⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
111123111124111051T A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭058056290⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪⎝⎭
2（部分原题，部分类似题）．计算下列乘积：
(1)431712325701⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)()31,2,321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (3)()211,23⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪
⎝⎭；(4)13121400121134131402⎛⎫
⎪
-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪
-⎝⎭
； (5)111213112312222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
.
解:(1)431712325701⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭47321117(2)231577201⨯+⨯+⨯⎛⎫ ⎪=⨯+-⨯+⨯
⎪ ⎪⨯+⨯+⨯⎝
⎭35649⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
(2) ()31,2,321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(132231)(10)=⨯+⨯+⨯= (3) ()211,23⎛⎫ ⎪- ⎪
线性代数习题答案第三章
所以当1时 方程组有无穷多解此时，增广矩阵为
B~ 方程组的解为
或 (k1 k2为任意常数) 18 证明R(A)1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT
使AabT 证明 必要性 由R(A)1知A的标准形为
因此2时 方程组无解 (3)要使方程组有有无穷多个解 必须R(A)R(B)3 故 (1)(2)0 (1)(1)20
因此当1时 方程组有无穷多个解.
16 非齐次线性方程组 当取何值时有解？并求出它的解
解 ~ 要使方程组有解 必须(1)(2)0 即1 2
当1时 ~
方程组解为 或
即 (k为任意常数) 当2时 ~
即存在可逆矩阵P和Q 使 或
令 bT(1 0 0)Q1 则a是非零列向量 bT是非零行向量 且AabT 充分性 因为a与bT是都是非零向量 所以A是非零矩阵 从而R(A)1 因为
1R(A)R(abT)min{R(a) R(bT)}min{1 1}1 所以R(A)1
19 设A为mn矩阵 证明 (1)方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)m 证明 由定理7 方程AXEm有解的充分必要条件是
方程组解为 或
即 (k为任意常数)
17 设 问为何值时 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时 求解
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第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411
02−−−;
解 3
811411
02−−−
=2×(−4)×3+0×(−1)×(−1)+1×1×8 −0×1×3−2×(−1)×8−1×(−4)×(−1) =−24+8+16−4=−4. (2)b a c a c b c
b a ;
解 b
a c a c
b c
b a
=acb +bac +cba −bbb −aaa −ccc =3abc −a 3−b 3−c 3
. (3)2221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2−ac 2−ba 2−cb =(a −b )(b −c )(c −a ). 2
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y
x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx −y 3−(x +y )3−x =3xy (x +y )−y 3 3−3x 2 y −x 3−y 3−x =−2(x 3 3+y 3 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
).
(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );
线性代数课后习题答案全习题详解
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第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y
y
x y x +++. 解 （1）=---3
811411
02811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++-=4-
（2）=b
a c a c
b c
b a cc
c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=
（3）=2
221
11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=
（4）y
x y x x y x y y
x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；
（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
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线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲
第一章
3.如果排列n
x x x 2
1是奇排列,则排列1
1
x x
x n n
的奇偶
性如何？
解：排列
1
1x x x n n 可以通过对排列
n
x x x 21经过
(1)(1)(2)212
n n n n
L 次邻换得到，每一次邻换都
改变排列的奇偶性，故当2)1( n n 为偶数时，排列
1
1x x x n n 为奇排列，当2)1( n n 为奇数时，排列1
1
x x
x n n
为
偶排列。
4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13
a 且带负
号的项.
解：含元素13a 的乘积项共有13223144
(1)t
a
a a a
，13223441
(1)t
a
a a a
，
13213244
(1)t a a a a ，13213442
(1)t
a
a a a
，13243241
(1)t
a
a a a
，13243142
(1)t
a
a a a
六项，
各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t ，
(3241)4t ，
(3124)2
t ，
(3142)3
t ，
(3421)5t ，(3412)4
t ， 故所求为13223144
1a
a a a
，
132134421a a a a
，
13243241
1a a a a
。
5.按照行列式的定义,求行列式
n
n 0
000100200100
的
值.
解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有
1,12,21,1(1)t n n n nn
a a a a L ，
其中(1)(2)
[(1)(2)21]2
n n t n n n L ，故行列式的值等于：
(1)(2)
2
(1)
!
n n n
6. 根据行列式定义,分别写出行列式x
x x x x
1
11
1231112
1
2 的
展开式中含4
x 的项和含3
x 的项.
解：展开式含4
x 的乘积项为
4
11223344
(1)(1)22t
a a a a x x x x x
含3
x 的乘积项为13
12213344
(1)(1)1t
a
a a a x x x x
8. 利用行列式的性质计算下列行列式： 解
：
(1) 41
131123421
1234
1111
1
1
1
1
410234123410121
10310
()341234120121
2412341230321
r r r r r r r r r r r
424332
11
111111
301210121
10
101011(4)(4)160
0040004100
4
4
00
4
r r r r r r (2)
2605232112131
41
2 12
3121
1
241
1
2
4
1
13210562
20
21320350
05620562
c c r r r r （第二行与第四行相同） (3)
22231
13222
22
21
111111
222202221110a ab b r a r a a b b r r a a b b b a
b a r ar a ab b ab a b a
23
3211
1111()()01
2()01
2
()000b a b a r ar b a a b a b a b a
(4)
3421211
1
1
1
1
011111111111
1111100001
1
1
1
111
11111
11x x
x
r r x x x x r r x x x x x x
41224432111
1
1
001
1011
001
1001
1
110
0r r x x x r r x x r r x x
9.若5
4003
0087654321x =0,求.x 解：
12341500
567826001544(512)
00337426350045
4835
x x x x 转置
即有：124(512)05
x x