线性代数习题及解答

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线性代数习题一

说明:本卷中,A -1表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩,||α||表示向量α的长度,αT 表示向量α的转置,E

表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式.

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设行列式11

121321

222331

3233a a a a a a a a a =2,则1112

13

31323321312232

2333

333a a a a a a a a a a a a ------=( ) A .-6 B .-3 C .3

D .6

2.设矩阵A ,X 为同阶方阵,且A 可逆,若A (X -E )=E ,则矩阵X =( ) A .E +A -1

B .E -A

C .E +A

D .

E -A -1

3.设矩阵A ,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是( )

A .⎛⎫

⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1

⎛⎫

⎪⎝⎭A B B .⎛⎫

⎪⎝⎭

A B 不可逆 C .⎛⎫

⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭

B A

D .⎛⎫

⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫

⎪⎝

A B 4.设α1,α2,…,αk 是n 维列向量,则α1,α2,…,αk 线性无关的充分必要条件是

( )

A .向量组α1,α2,…,αk 中任意两个向量线性无关

B .存在一组不全为0的数l 1,l 2,…,l k ,使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0

C .向量组α1,α2,…,αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示

D .向量组α1,α2,…,αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

5.已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T

+=---+=--αβαβ则+αβ=( ) A .(0,-2,-1,1)T

B .(-2,0,-1,1)T

C .(1,-1,-2,0)T

D .(2,-6,-5,-1)T

6.实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是( )

A .1

B .2

C .3

D .4

7.设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解,β是其导出组Ax =0的解,则以下结论正确的是

( )

A .α+β是Ax =0的解

B .α+β是Ax =b 的解

C .β-α是Ax =b 的解

D .α-β是Ax =0的解

8.设三阶方阵A 的特征值分别为11

,,324

,则A -1的特征值为( ) A .12,4,3 B .

111,,243

C .

11,,324

D .2,4,3

9.设矩阵A =1

21

-,则与矩阵A 相似的矩阵是( )

A .1112

3

--

B .0110

2

C .

2

11

- D .

1

2

1

-

10.以下关于正定矩阵叙述正确的是( ) A .正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B .正定矩阵的行列式一定小于零 C .正定矩阵的行列式一定大于零

D .正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题(本大题共10小题,每空2分,共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分。

11.设det (A )=-1,det (B )=2,且A ,B 为同阶方阵,则det ((AB )3

)=__________.

12.设3阶矩阵A =122

43311

t

--,B 为3阶非零矩阵,且AB =0,则t =__________. 13.设方阵A 满足A k

=E ,这里k 为正整数,则矩阵A 的逆A -1

=__________. 14.实向量空间R n

的维数是__________.

15.设A 是m ×n 矩阵,r (A )=r ,则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________. 16.非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________.

17.设α是齐次线性方程组Ax =0的解,而β是非齐次线性方程组Ax =b 的解,则(32)+A αβ=__________.

18.设方阵A 有一个特征值为8,则det (-8E +A )=__________.

19.设P 为n 阶正交矩阵,x 是n 维单位长的列向量,则||Px ||=__________.

20.二次型2

2

2

123123121323(,,)56422f x x x x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数是__________. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)

21.计算行列式

1112114

12461124

2

-----. 22.设矩阵A =

2

35

,且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1

,求矩阵B .

23.设向量组1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),===-=αααα求其一个极大线性无关组,并将其

余向量通过极大线性无关组表示出来.

24.设三阶矩阵A =143

253242

----,求矩阵A 的特征值和特征向量.

25.求下列齐次线性方程组的通解.

26.求矩阵A =

2242030

611

0300111210

----的秩.

四、证明题(本大题共1小题,6分)

27.设三阶矩阵A =11

1213

21

2223313233

a a a a a a a a a 的行列式不等于0,证明: 131112121222323313233,,a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

ααα线性无关.

线性代数习题二

说明:在本卷中,A T

表示矩阵A 的转置矩阵,A *

表示矩阵A 的伴随矩阵,E 表示单位矩阵。

A 表示方阵A 的行

列式,r(A )表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选

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