线性代数练习册习题及答案本

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第四章 线性方程组

§4-1 克拉默法则

一、选择题

1.下列说法正确的是( C )

A.n 元齐次线性方程组必有n 组解;

B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解;

C.n 元齐次线性方程组至少有一组解,即零解;

D.n 元齐次线性方程组除了零解外,再也没有其他解. 2.下列说法错误的是( B )

A.当0D ≠时,非齐次线性方程组只有唯一解;

B.当0D ≠时,非齐次线性方程组有无穷多解;

C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解,则0D =;

D.若非齐次线性方程组有无解,则0D =. 二、填空题

1.已知齐次线性方程组1231231

230020

x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩有非零解,

则λ= 1 ,μ= 0 .

2.由克拉默法则可知,如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =

i

D D

. 三、用克拉默法则求解下列方程组

1.832623x y x y +=⎧⎨+=⎩

解:

8320

62

D =

=-≠

1235

32

D =

=-,

28212

63

D =

=-

所以,125,62D D

x y D D

=

===-

2.123123123

222310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪

+-=⎨⎪-+-=⎩

解:

2131

12112122

130

3550111

01

r r D r r ---=--=-≠+---

11222

10051

1321135

011011D r r ---=-+-=---,

2121215

052

1322

1310

10

1

101

D r r --=-+-=-----, 3121225

002

1122

115

1

1

110

D r r --=+=---

所以, 3121231,2,1D D D

x x x D D D =

=====

3.21

241832x z x y z x y z -=⎧⎪

+-=⎨⎪-++=⎩

解:

13201

0012

412041200

183

583

D c c --=-+-=≠-

13110110014114020

283285D c c -=-+=,

2322

11

2

102

112100

123

125

D c c -=-+=--, 313201

01

2

4120

4120

182

582

D c c =-=--

所以, 3121,0,1D D D

x y z D D D

=

=====

4.12341234123412345242235232110

x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩

解:

21

31

41

21

31

1111

11111214012322315

05373312110218

123123

55370138142

22180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---

32

14212

32

5111

5111022214225182315235281101211

0100

5110010

5251827332142

10252823522c c D c c c c c c --------=

----------+=-----=----

21

231

4

1

13

23

1511

15111214072322215

0123733021101518

72323013

2123733031284

315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12

34221311151

21510312245221823251111322831011

0100

2510200

251

52185297426

52

11228115127

c c D c c c c c c -------=

---------+=-----=----

12

43232

21

1115

2115312125252223121135231200100

215215

5525027142

51152604

c c D c c r r r r --------=

----------+=----=---

所以, 312412341,2,3,1D D D D

x x x x D D D D

=

=======-

§4-2 齐次线性方程组

一、选择题

1.已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -,12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解,k 为任意常数,则方程组0AX =的通解为( D ). A.1k α; B.2k α; C.12()k αα+; D.12()k αα-.

解:因为m n ⨯矩阵A 的秩为1n -,所以方程组0AX =的基础解系 含1个向量。而12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解, 所以120αα-≠为0AX =的解,则方程组0AX =的通解为12()k αα-。

2.设线性方程组123123123

0020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪

++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解,则正确的是( C )

A.k 必定为0;

B. k 必定为1;

C. k 为0或1;

D.这样的k 值不存在.

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