线性代数练习册习题及答案本
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第四章 线性方程组
§4-1 克拉默法则
一、选择题
1.下列说法正确的是( C )
A.n 元齐次线性方程组必有n 组解;
B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解;
C.n 元齐次线性方程组至少有一组解,即零解;
D.n 元齐次线性方程组除了零解外,再也没有其他解. 2.下列说法错误的是( B )
A.当0D ≠时,非齐次线性方程组只有唯一解;
B.当0D ≠时,非齐次线性方程组有无穷多解;
C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解,则0D =;
D.若非齐次线性方程组有无解,则0D =. 二、填空题
1.已知齐次线性方程组1231231
230020
x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有非零解,
则λ= 1 ,μ= 0 .
2.由克拉默法则可知,如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =
i
D D
. 三、用克拉默法则求解下列方程组
1.832623x y x y +=⎧⎨+=⎩
解:
8320
62
D =
=-≠
1235
32
D =
=-,
28212
63
D =
=-
所以,125,62D D
x y D D
=
===-
2.123123123
222310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪
+-=⎨⎪-+-=⎩
解:
2131
12112122
130
3550111
01
r r D r r ---=--=-≠+---
11222
10051
1321135
011011D r r ---=-+-=---,
2121215
052
1322
1310
10
1
101
D r r --=-+-=-----, 3121225
002
1122
115
1
1
110
D r r --=+=---
所以, 3121231,2,1D D D
x x x D D D =
=====
3.21
241832x z x y z x y z -=⎧⎪
+-=⎨⎪-++=⎩
解:
13201
0012
412041200
183
583
D c c --=-+-=≠-
13110110014114020
283285D c c -=-+=,
2322
11
2
102
112100
123
125
D c c -=-+=--, 313201
01
2
4120
4120
182
582
D c c =-=--
所以, 3121,0,1D D D
x y z D D D
=
=====
4.12341234123412345242235232110
x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩
解:
21
31
41
21
31
1111
11111214012322315
05373312110218
123123
55370138142
22180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---
32
14212
32
5111
5111022214225182315235281101211
0100
5110010
5251827332142
10252823522c c D c c c c c c --------=
----------+=-----=----
21
231
4
1
13
23
1511
15111214072322215
0123733021101518
72323013
2123733031284
315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12
34221311151
21510312245221823251111322831011
0100
2510200
251
52185297426
52
11228115127
c c D c c c c c c -------=
---------+=-----=----
12
43232
21
1115
2115312125252223121135231200100
215215
5525027142
51152604
c c D c c r r r r --------=
----------+=----=---
所以, 312412341,2,3,1D D D D
x x x x D D D D
=
=======-
§4-2 齐次线性方程组
一、选择题
1.已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -,12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解,k 为任意常数,则方程组0AX =的通解为( D ). A.1k α; B.2k α; C.12()k αα+; D.12()k αα-.
解:因为m n ⨯矩阵A 的秩为1n -,所以方程组0AX =的基础解系 含1个向量。而12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解, 所以120αα-≠为0AX =的解,则方程组0AX =的通解为12()k αα-。
2.设线性方程组123123123
0020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解,则正确的是( C )
A.k 必定为0;
B. k 必定为1;
C. k 为0或1;
D.这样的k 值不存在.