2016年高考数学文模拟试卷

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2016年全国统一高考数学试卷文科全国一附带答案解析

2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．33．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．35．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P==．故选：C．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．3【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣）+]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题．7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，+b n+1=nb n．（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1即3b n=b n．+1即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S=×2××2×2=．△PEF【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n=19时，y==（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．则n≥19∴n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用=，求；（Ⅱ）直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程为y=x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH=，∴直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。

2016版《一点一练》高考数学(文科)专题演练：第十章推理与证明、算法与复数(含两年高考一年模拟)

1．y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．302．(2015·广东)若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p <s ≤4，0≤q <s ≤4，0≤r <s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．503．(2015·陕西)观察下列等式1－12＝121－12＋13－14＝13＋14 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n 个等式可为________．4．(2014·陕西)已知f (x )＝x 1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋则f 2 014(x )的表达式为______．5．(2014·北京)顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：6．(2015·江苏)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列？并说明理由．1．(2015·吉林四校调研)设a 、b 、c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于22．(2015·河北保定模拟)定义A B ，B C ，C D ，D B 分别对应下列图形( )那么下列图形中，可以表示A D ，A C 的分别是( )A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(2)(4)D ．(1)(4)3．(2015·宜昌调研)给出下列两种说法：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确4．(2015·淮南模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 0145．(2015·泉州模拟)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c；类比这个结论可知，四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，四面体ABCD 的体积为V ，内切球半径为R ，则R ＝________．6．(2015·黄山模拟)在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．7．(2015·莱芜模拟)如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．8．(2015·北京模拟)若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋…＋f （2 014）f （2 013）＝________．9．(2015·昆明一中检测)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是________．10．(2015·湖北八校一联)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……，由以上等式推测出一个一般性的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________．11．(2015·宝鸡市质检)观察等式：①13×13＋12×12＋16×1＝12，②13×23＋12×22＋16×2＝12＋22，③13×33＋12×32＋16×3＝12＋22＋32，…，以上等式都是成立的，照此写下去，第2 015个成立的等式是________．12．(2015·武汉市调研)平面几何中有如下结论：如图1，设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点，AB＝1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有1AQ＋1AR＝2.类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O是正三棱锥A－BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB＝1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有________．1．(2015·输入x的值为1，则输出y的值为()A．2 B．7 C．8 D．128第1题图第2题图2．(2015·天津)阅读上边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为()A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·北京)执行如图所示的程序框图，输出的k值为() A．3 B．4 C．5 D．64．(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S的值为()A．－32 B.32C．－12 D.12第3题图第4题图第5题图5．(2015·重庆)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( ) A.34 B.56 C.1112 D.25246．(2014·新课标Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )A.203B.165C.72D.158第6题图第7题图 7．(2014·新课标Ⅱ)执行上面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．78．(2015·新课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i9．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i 1＋i＝3＋i ，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．410．(2015·广东)已知i 是虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－211．(2015·山东)若复数z 满足z 1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i12．(2015·安徽)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( )A ．3＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－1＋i13．(2014·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2014·福建)复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i1．(2015·x 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7第1题图第2题图 2．(2015·云南名校统考)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，则输入的S 0的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．103．(2015·湖北八校一联)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 013?B ．i ≤2 015?C ．i ≤2 017?D ．i ≤2 019?第3题图第4题图 4．(2015·宝鸡市质检)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值等于( )A ．1 B.14 C.12 D.185．(2015·四川省统考)某程序框图如图所示，若输出的S ＝57，则判断框内应填( )A ．k >4?B ．k >5?C ．k >6?D ．k >7?第5题图第6题图 6．(2015·晋冀豫三省调研)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．3B ．－6C ．10D ．127．(2015·贵阳市模拟)复数z ＝3－2i ，i 是虚数单位，则z 的虚部是( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－28．(2015·郑州一预)设i 是虚数单位，若复数m ＋103＋i(m ∈R )是纯虚数，则m 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．39．(2015·邯郸市质检)已知i 是虚数单位，则复数z ＝4＋3i 3－4i的虚部是( )A ．0B ．iC ．－iD ．110．(2015·汕头市监测)复数21－i的实部与虚部之和为( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．011．(2015·唐山一期检测)若复数z ＝a ＋3i 1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则z 的值为( )A ．2B ．3C ．3iD ．2i12．(2015·唐山摸底)复数z ＝1－3i 1＋2i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－iD ．z 的共轭复数为－1＋i13．(2015·福州市质检)在复平面内，两共轭复数所对应的点( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x参考答案第十章推理与证明、算法与复数考点33推理与证明【两年高考真题演练】1．C[如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有“”圆点＋所有圆点“”，共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.]2．A[当s＝4时，p，q，r都可取0，1，2，3中的一个，有43＝64种，当s＝3时，p，q，r都可取0，1，2中的一个，有33＝27种，当s＝2时，p，q，r都可取0，1中的一个，有23＝8种，当s＝1时，p，q，r都可取0，有1种，∴card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t＝0时，u可取1，2，3，4中的一个，有4种，当t＝1时，u取2，3，4中的一个，有3种，当t＝2时，u可取3，4中的一个，有2种，当t＝3时，u可取4，有一种，∴t，u取值有1＋2＋3＋4＝10种，同样地，v，w的取值也有10种，则card(F)＝10×10＝100种，∴card(E)＋card(F)＝100＋100＝200种．]3．1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n[等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且有前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .] 4．f 2 014(x )＝x 1＋2 014x [f 1(x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x1＋2x 1＋x 1＋2x＝x 1＋3x ，…，由数学归纳法得f 2 014(x )＝x 1＋2 014x .] 5．42 [为使交货期最短，需徒弟先对原料B 进行粗加工，用时6个工作日，再由工艺师对原料B 进行精加工，用时21个工作日，在此期间徒弟再对原料A 进行粗加工，不会影响工艺师加工完原料B 后直接对原料A 进行精加工，所以最短交货期为6＋21＋15＝42(个)工作日．]6．(1)证明因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列，(2)解令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝d a ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0，化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14. 显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3)解假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列，则a n 1(a 1＋2d )n ＋2k ＝(a 1＋d )2(n ＋k )，且(a 1＋d )n ＋k (a 1＋3d )n ＋3k ＝(a 1＋2d )2(n ＋2k )．分别在两个等式的两边同除以a 2（n ＋k ）1及a 2（n ＋2k ）1，并令t ＝d a 1⎝⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0，则(1＋2t )n ＋2k ＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n ＋3k ＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )，且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )．化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]，且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)．令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )，则g ′(t )＝错误!.令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )，则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]．令φ1(t )＝φ′(t )，则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]．令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0. 由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调．故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列．【一年模拟试题精练】1．D [利用反证法证明．假设三个数都小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＜6，而a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾．故选D.]2．C [由A B ，B C 知，B 是大正方形，A 是|，C 是—，由C D 知，D 是小正方形，∴A D 为小正方形中有竖线，即(2)正确，A C 为＋，即(4)正确．故选C.]3．D [反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①错误；对于②，其假设正确．]4．B [设最小的数为x ，则其它8个数分别为x ＋7，x ＋8，x ＋9，x ＋14，x ＋15，x ＋16，x ＋17，x ＋18，故9个数之和为x ＋3(x ＋8)＋5(x ＋16)＝9x ＋104，当x ＝212时，9x ＋104＝2 012.]5.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4[V ＝13S 1·R ＋13S 2·R ＋13S 3·R ＋13S 4·R ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.] 6．cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2 [设α，β，γ是AC 1分别与面ABCD 1，面ABB 1A 1，面BCC 1B 1所成的角．cos α＝AC AC 1，cos β＝AB 1AC 1，cos γ＝BC 1AC 1，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2（AB 2＋BC 2＋CC 21）AC 21＝2.] 7.332 [f (x )＝sin x ，f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.故sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.]8．2 014 [令a ＝n ，b ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即：f （n ＋1）f （n ）＝f (1)＝2，故：f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋…＋f （2 014）f （2 013）＝2×1 007＝2 014.] 9．甲 [假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．]10．(－1)n ＋1·n （n ＋1）2 [12＝1＝(－1)21×22；12－22＝－3＝(－1)32×32；12－22＋32＝6＝(－1)43×42；12－22＋32－42＝－10＝(－1)54×52，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）2.]11.13×2 0153＋12×2 0152＋16×2 015＝12＋22＋…＋20152 [①：13×13＋12×12＋16×1＝12；②：13×23＋12×22＋16×2＝12＋22；③：13×33＋12×32＋16×3＝12＋22＋32，……；2 015：13×2 0153＋12×2 0152＋16×2 015＝12＋22＋…＋2 0152]12.1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3 [设O 到各个平面的距离为d ，而V R －AQP ＝13S △AQP ·AR ＝13·12·AQ ·AP ·AR ＝16AQ ·AP ·AR ，又∵V R －AQP ＝V O －AQP ＋V O －ARP ＋V O －AQR＝13S △AQP ·d ＋13S △ARP ·d ＋13S △AQR ·d＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d16AQ ·AP ·AR ＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d ，即1AQ ＋1AR ＋1AP ＝d ，而V A －BDC ＝13S △BDC ·h＝13·34·2·33＝16，V O －ABD ＝13V A －BDC ＝118，即13·S △ABD ·d ＝13·12·d ＝118⇒d ＝3， ∴1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3.]考点34 算法与复数【两年高考真题演练】1．C [当x ＝1时，执行y ＝9－1＝8.输出y 的值为8，故选C.]2．C [运行相应的程序．第1次循环：i ＝1，S ＝10－1＝9；第2次循环：i ＝2，S ＝9－2＝7；第3次循环：i ＝3，S ＝7－3＝4；第4次循环：i ＝4，S ＝4－4＝0；满足S ＝0≤1，结束循环，输出i ＝4.故选C.]3．B [第一次循环：a ＝3×12＝32，k ＝1；第二次循环：a ＝32×12＝34，k ＝2；第三次循环：a ＝34×12＝38，k ＝3；第四次循环：a ＝38×12＝316<14，k ＝4.故输出k ＝4.]4．D [每次循环的结果为k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4，∴S ＝sin 5π6＝12.]5．D [s ＝12＋14＋16＋18＝2524，即输出s 的值为2524.]6．D [当n ＝1时，M ＝1＋12＝32，a ＝2，b ＝32；当n ＝2时，M ＝2＋23＝83，a ＝32，b ＝83；当n ＝3时，M ＝32＋38＝158，a ＝83，b ＝158；n ＝4时，终止循环．输出M ＝158.]7．D [k ＝1，M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5；k ＝2，M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7；k ＝3，3>t ，∴输出S ＝7，故选D.]8．C [由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.]9．D [由2＋a i 1＋i＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D.]10．A [(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝1＋2i －1＝2i.]11．A [∵z 1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 12．C [(1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝1＋i ＋2＝3＋i ，故选C.]13．B [实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选B.]14．C [因为复数z ＝(3－2i)i ＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选C. ]【一年模拟试题精练】1．C [x ＝3，y ＝23＝8<10＋3＋3＝33；x ＝3＋1＝4.y ＝24＝16<10×4＋3＝43；x ＝4＋1＝5，y ＝25＝32<10×5＋3＝53；x ＝5＋1＝6，y ＝26＝64>10×6＋3＝63，故输出的x 值为6.]2．D [由题意知S 0应为偶数，排除选项A 、C.当S 0＝8时，i ＝1<4，S ＝8－2＝6；i ＝2<4，S ＝6－22＝2；i ＝3<4，S ＝2－23＝－6；i ＝4＝4，输出S ＝－6，排除B ，故选D.]3．B [i ＝2，S ＝0；S ＝0＋12，i ＝4；S ＝12＋14，i ＝6；…，S ＝12＋14＋…＋12012，i ＝2 014；要计算S ＝12＋14＋…＋12 012＋12 014，应满足i ≤2 015.]4．C [S ＝1＝1，k ＝1<2 015；S ＝18<1，k ＝2<2 015；s ＝2×12＝14<1，k ＝3<2 015；S ＝14×2＝12<1，k ＝4<2015；S ＝12×2＝1，k ＝5<2 015 循环周期为4，2 015＝4×503＋3，S ＝1＝1，k ＝2 013<2 015；S ＝18，k ＝2 014<2 015；S ＝18×2＝14<1，k ＝2 015＝2 015， S ＝14×2＝12<1，k ＝2 016>2 015，输出S ＝12.]5．A [k ＝1，S ＝1；k ＝2，S ＝2×1＋2＝4；k ＝3，S ＝2×4＋3＝11；k ＝4，S ＝2×11＋4＝26；k ＝5，S ＝2×26＋5＝57要输出S ＝57，需k >4.]6．C [当i ＝1时，1<5为奇数，S ＝－1，i ＝2；当i ＝2时，2<5为偶数，S ＝－1＋4＝3，i ＝3；当i ＝3时，3<5为奇数，S ＝3－33＝－5，i ＝4；当i ＝4时，4<5为偶数，S ＝－6＋42＝10，i ＝5；当i ＝5时，5≥5，输出S ＝10.]7．D [z ＝3－2i 的虚部为－2.]8．A [∵m ＋103＋i ＝m ＋3－i 为纯虚数，∴m ＋3＝0，即m ＝－3.]9．D [∵z ＝4＋3i 3－4i ＝i ，∴z 的虚部为1.]10．B[21－i＝1＋i，故其实部与虚部之和为1＋1＝2.]11．C[∵z＝a＋3i1－2i＝a－65＋2a＋35i为纯虚数，∴a－65＝0，即a＝6，∴z＝3i.]12．D[∵z＝1－3i1＋2i＝－1－i，∴|z|＝2，z的实部为－1，虚部为－1，z的共轭复数为－1＋i，故选D.]13．A[∵z＝a＋b i的共轭复数z＝a－b i，∴z和z关于x轴对称．]。

2016年-2017年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷2,参考版解析)

高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

2016年高考新课标Ⅱ卷文数试题参考解析一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =I （A ）{210123}--，，，，，（B ）{21012}--，，，，（C ）{123}，，（D ）{12}，【答案】D【解析】由29x <得，33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，所以{1,2}A B =I ，故选D. 2. 设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C【解析】由3z i i +=-得，32z i =-，故选C. 3. 函数=sin()y A x ωϕ+ 的部分图像如图所示，则（A ）2sin(2)6y x π=-（B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π=（D ）2sin(2+)3y x π=【答案】A4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（A ）12π （B ）323π （C ）8π （D ）4π 【答案】A【解析】因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为233，所以球面的表面积为243)12ππ⋅=，故选A.5. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2【答案】D【解析】(1,0)F ，又因为曲线(0)ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，所以21k =，所以2k =，选D.6. 圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =（A ）−43 （B ）−34（C ）3 （D ）2 【答案】A【解析】圆心为(1,4)，半径2r =，所以2211a =+，解得43a =-，故选A.7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为28S π=，故选C.8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（A ）710 （B ）58 （C ）38 （D ）310【答案】B【解析】至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B. 9. 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34【答案】C【解析】第一次运算，a=2，s=2，n=2，k=1，不满足k>n; 第二次运算，a=2，s=2226⨯+=，k=2，不满足k>n; 第三次运算，a=5，s=62517⨯+=，k=3，满足k>n ，输出s=17，故选C ．10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x（D ）y x=【答案】D 【解析】lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．11. 函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7【答案】B【解析】因为2311()2(sin )22f x x =--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B.12. 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数 y =|x 2-2x -3| 与 y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B【解析】因为2(),y |23|y f x x x ==--都关于1x =对称，所以它们交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22m m ⨯=，当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 二．填空题：共4小题，每小题5分.13. 已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. 【答案】6-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．14. 若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x -2y 的最小值为__________.【答案】5-15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin(C)sin cos cos sin 65B A AC A C =+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==.16. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+= （I ）求{n a }的通项公式；(II)设nb =[na ]，求数列{nb }的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2【试题分析】（I ）先设{}n a 的首项和公差，再利用已知条件可得1a 和d ，进而可得{}n a 的通项公式；（II ）根据{}n b 的通项公式的特点，采用分组求和法，即可得数列{}n b 的前10项和．18． (本小题满分12分)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。

2016年天津高考数学试题(文)(解析版)

2016 年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（文史类）第 I 卷一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.（1）已知会合A{1,2,3} ， B { y | y2x 1, x A}，则AI B=（）（ A ）{1,3}（ B）{1,2}（ C）{ 2,3}（ D）{1,2,3}【答案】 A【分析】试题剖析： B {1,3,5}, A I B {1,3} ,选A.考点：会合运算（2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1，甲获胜的概率是1，则甲不输的概率为（）（A）5（B）2（C）12（D）13 6563【答案】 A考点：概率（3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，获得的几何体的正视图与俯视图以下图，则该几何体的侧（左）视图为（）【答案】 B【分析】试题剖析：由题意得截去的是长方体前右上方极点，应选B 考点：三视图（4）已知双曲线x2y21(a 0,b 0) 的焦距为2 5 ，且双曲线的一条渐近线与直线2x y 0 垂直，a2b2则双曲线的方程为（）x2y21（ B）x2y2（ A ）1 44（C） 3x23y21（D） 3x2 3 y21 205520【答案】 A考点：双曲线渐近线（5）设x 0，y R x y x| y |”的（），则“”是“（A）充要条件（ B）充足而不用要条件（ C）必需而不充足条件（ D）既不充足也不用要条件【答案】 C【分析】试题剖析： 34,3| 4 | ,所以充足性不建立； x | y | y x y ，必需性建立，应选C 考点：充要关系（6）已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 (,0) 上单一递加，若实数 a 知足 f (2|a 1| ) f ( 2 ) ，则 a 的取值范围是（）（A ）( ,1)（B ） (,1) (3, ) （C ）(1,3)（D ） (3,)2222 22【答案】 C【分析】试题剖析：由题意得 f ( 2|a 1|) f (2|a 1|22|a 1|11132)22| a 1| a ，应选 C2 22考点：利用函数性质解不等式（7）已知 △ABC 是边长为 1 的等边三角形，点D, E 分别是边 AB, BC 的中点，连结 DE 并延伸到点 F ，使得 DE 2EF ，则 AF BC 的值为（）（ A ）【答案】 B5 1 1 11（B ）8（ C ）（ D ）848【分析】uuur r uuur ruuur 1 uuur1 rruuur 3 uuur3 r r试题剖析：设 BAa ， BCb ，∴ DEAC(ba) ， DFDE4(ba) ，222uuur uuuruuur1 r 3 rr5r3ruuur uuur5 r r3 r 25 3 1，应选 B.AFADDF2a4(ba) ab ，∴ AFBC 4a bb84 8444考点：向量数目积（8）已知函数 f ( x)sin2x 1sin x 1 ( 0) ，xR .若 f ( x) 在区间 ( ,2 ) 内没有零点，则的222 取值范围是（）（A ） (0, 1]（B ） (0, 1][5,1) （ C ） (0, 5]（ D ） (0, 1] [1,5]84 888 48【答案】 D考点：解简单三角方程第Ⅱ卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或署名笔将答案写在答题卡上.2、本卷共 12 小题，合计110 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分.（9） i 是虚数单位，复数z 知足 (1i ) z 2 ，则z的实部为_______.【答案】 1【分析】试题剖析：(1i )z2z21i，所以 z 的实部为11i考点：复数观点（10）已知函数f (x)(2+1)x ,f( )为 f (x) 的导函数，则 f (0) 的值为__________.x e x【答案】 3【分析】试题剖析： Q f( x)(2 x+3)e x ,f(0) 3.考点：导数（11）阅读右侧的程序框图，运转相应的程序，则输出S 的值为_______.【答案】 4考点：循环构造流程图（12）已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点M (0,5) 在圆C上，且圆心到直线 2x y 0的距离为 4 5，5则圆 C 的方程为 __________.【答案】 ( x 2)2y29.【分析】试题剖析：设 C ( a,0),( a0) ，则| 2a |4 5a2, r225 3 ，故圆C的方程为 ( x2) 2y29.55考点：直线与圆地点关系（13）如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 订交于点 E，BE=2AE =2，BD=ED ，则线段 CE 的长为 __________.【答案】2 33考点：订交弦定理x2(4a3) x3a, x0且a 1)在 R上单调递减，且关于 x的方程(14) 已知函数f ( x)log a ( x1)1,x0(a 0| f ( x) | 2x恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 _________. 31 2 【答案】[ , )3 3 【分析】试题剖析：由函数 f ( x) 在R上单一递减得4a30,013，又方程 | f ( x) | 2x 2a 1,3a 1a恰343有两个不相等的实数解，所以3a2,1 1 62a 1，所以 a 的取值范围是[1,2)a3733考点：函数综合三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分.（15）（本小题满分 13分）在 ABC 中，内角A, B,C所对应的边分别为a,b,c，已知a sin 2B3b sin A .(Ⅰ )求 B；1(Ⅱ )若cosA，求 sinC 的值 .3【答案】（Ⅰ） B261（Ⅱ）66考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理(16)(本小题满分 13 分 )某化肥厂生产甲、乙两种混淆肥料，需要A,B,C 三种主要原料 .生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙中肥料所需三种原料的吨数以下表所示：现有 A 种原料 200 吨， B 种原料 360 吨， C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1 车皮甲种肥料，产生的收益为2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的收益为3 万元 .分别用 x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.(Ⅰ )用 x,y 列出知足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面地区；(Ⅱ )问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，可以产生最大的收益？并求出此最大收益.【答案】（Ⅰ）详看法析（Ⅱ）生产甲种肥料20 车皮，乙种肥料24 车皮时收益最大，且最大收益为112 万元试4x5y2008x5 y360题分析：（Ⅰ）解：由已知x, y 知足的数学关系式为 3x10 y300 ，该二元一次不等式组所表示的地区x 0y 0为图 1 中的暗影部分 .y8x+5y=360 10O104x+5y=200(1)x3x+10y=300y8x+5y=360M10xO102x+3y=z3x+10y=3004x+5y=2002x+3y=0(2)考点：线性规划(17)(本小题满分 13 分 )如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED ⊥平面 ABCD ，EF||AB ，AB=2 ，BC=EF=1 ，AE= 6 ，DE=3 ，∠ BAD=60o ， G 为 BC 的中点 .(Ⅰ )求证： FG||平面 BED ；(Ⅱ )求证：平面BED ⊥平面 AED ；(Ⅲ )求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.5【答案】（Ⅰ）详看法析（Ⅱ）详看法析（Ⅲ）6（Ⅱ）证明：在 ABD 中，AD1, AB2,BAD 600，由余弦定理可 BD 3 ，从而可得ADB900，即BD AD ，又由于平面AED平面 ABCD , BD平面 ABCD ；平面 AED 平面ABCD AD ，所以BD平面 AED .又由于 BD平面 BED ，所以平面 BED平面 AED .（Ⅲ）解：由于 EF // AB，所以直线 EF 与平面 BED 所成角即为直线AB 与平面BED 所成角.过点 A 作AH DE 于点 H ，连结 BH ，又由于平面 BED平面 AED ED ，由（Ⅱ）知AH平面 BED ，所以直线AB 与平面 BED 所成角即为ABH .在 ADE 中，AD1, DE3, AE 6 ，由余弦定理可得cos ADE 2，所以 sin ADE5，所以 AH AD sin ADE5，在 Rt AHB 中，333sin ABH AH5AB 与平面 BED 所成角的正弦值为5 AB，所以直线.66考点：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角(18)(本小题满分 13 分 )已知 a n是等比数列，前n项和为 S n n N，且112,S663 . a1a2a3(Ⅰ )求a n的通项公式；(Ⅱ )若对随意的n N , b n是 log 2 a n和 log 2 a n 1的等差中项，求数列n2的前 2n 项和 .1 b n【答案】（Ⅰ） a n2n 1（Ⅱ） 2n2（Ⅱ）解：由题意得b n 1(log 2a n log 2 a n 1 )1(log 2 2n 1log 2 2n ) n1，即数列 { b n } 是首项222为1，公差为 1的等差数列. 2设数列 {(1) n b n2 } 的前 n 项和为 T n，则T2n ( b12b22 )( b32b42 )(b22n 1 b22n )b1 b2b2 n2n(b1b2 n )2n22考点：等差数列、等比数列及其前n 项和（19）（本小题满分14 分）设椭圆 x2y21（a 3 ）的右焦点为F，右极点为A，已知113e，此中 Oa23|OF | |OA| |FA |为原点， e为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点 A 的直线l与椭圆交于点B （ B 不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点 M ，与 y 轴交于点 H ，若 BF HF ，且MOAMAO ，求直线的 l 斜率.【答案】（Ⅰ）x2y261（Ⅱ）443（ 2）设直线的斜率为 k(k0) ，则直线l的方程为 y k( x2) ，x2y21,设 B( x B , y B ) ，由方程组43消去 y ，y k(x 2),整理得 (4 k23) x216k 2 x16k 2120，解得x2或 x8k 2 6 ，4k23由题意得 x B 8k4k226，从而 yB12k，3234kuuur uuur94k 2,12k) ，由（ 1）知F (1,0)，设H (0, y H)，有FH( 1, y H ) ，BF(234k 24k3考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程（20）（本小题满分14 分）设函数 f x x3ax b， x R ，此中a,b R( )（Ⅰ）求 f (x) 的单一区间；（Ⅱ）若 f (x) 存在极值点x0，且f ( x1) f (x0 ) ，此中 x1x0，求证： x1 2x00 ；1（Ⅲ）设 a0 ，函数g( x)| f ( x) | ，求证： g( x) 在区间 [1,1] 上的最大值不小于.．．．4【答案】（Ⅰ）递减区间为 (3a ,3a) ，递加区间为 ( ,3a) ， (3a, ) .（Ⅱ）详看法析（Ⅲ）3333详看法析【分析】试题剖析：（Ⅰ）先求函数的导数： f ( x) 3x2 a ，再依据导函数零点能否存在状况，分类议论：①当a0时，有 f ( x)3x 2 a 0 恒建立，所以 f (x) 的单一增区间为 (, ) .②当 a 0 时，存在三个单一区间试题分析：（ 1）解：由 f (x)x 3 ax b ，可得 f ( x) 3x 2a ，下边分两种状况议论：①当 a0 时，有 f ( x)3x 2 a 0 恒建立，所以 f (x) 的单一增区间为 (, ) .②当 a 0 时，令 f ( x)0 ，解得 x3a 3a 或 x .33当 x 变化时， f ( x) 、 f ( x) 的变化状况以下表：x( ,3a ) 3a (3a , 3a ) 3a 3a , ) (333333f ( x)单一递加极大值单一递减极小值单一递加f ( x)所以 f ( x) 的单一递减区间为(3a , 3a) ，单一递加区间为 (,3a) ， (3a, ) .3333（ 2）证明：由于 f (x) 存在极值点，所以由（ 1）知 a 0 且 x 00 .由题意得 f (x 0 ) 3x 02 a0 ，即 x 02a ，3从而f ( x 0 ) x 03ax 0 b2ax 0 b ，38a2a又f ( 2x 0 )8x 03 2ax 0 bx 0 2ax 0 b x 0 b f ( x 0 ) ，且 2x 0 x 0 ，3 3由题意及（ 1）知，存在独一实数x 1 知足 f ( x 1 ) f ( x 0 ) ，且 x 1 x 0 ，所以 x 12x 0 ，所以 x1 +2 x0 =0 .（ 3 ）证明：设g( x) 在区间 [ 1,1]上的最大值为M ， max{ x, y} 表示 x ， y 两数的最大值，下边分三种状况议论：②当3a 3 时，23a13a3a123a ，43333由（ 1）和（ 2）知f (1) f ( 2 3a ) f (3a) ， f (1) f (23a ) f (3a )，3333所以 f ( x) 在区间 [1,1]上的取值范围为 [ f (3a), f (3a)] ，33所以 max{| f (3a|,| f (3a) |}max{|2a3a b |,|2a3a b |} 3399max{|2a3a b |,|2a3a2a3a| b |23331 99b |}944.94考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式。

2016年高考-全国二卷-文科数学-原题+解析

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,2,3},B={x|x 2<9},则A ∩B=( ) A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}2.设复数z 满足z+i=3-i,则z =( ) A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i3.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )A.y=2sin (2x -π6) B.y=2sin (2x -π3) C.y=2sin (x +π6)D.y=2sin (x +π3)4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12πB.323π C.8π D.4π5.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )A.12B.1 C.32D.26.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-43B.-34C.√3D.27.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.7B.5C.3D.39.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( )A.7B.12C.17D.3410.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=√x11.函数f(x)=cos 2x+6cos (π2-x)的最大值为( ) A.4B.5C.6D.712.已知函数f(x)(x ∈R )满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x 2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1mx i =( )A.0B.mC.2mD.4m第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.已知向量a =(m,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m= .14.若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x +y -3≥0,x -3≤0,则z=x-2y 的最小值为 .15.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b= . 16.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.18.(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010 (Ⅰ)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(Ⅱ)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(Ⅲ)求续保人本年度平均保费的估计值.19.(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(Ⅰ)证明:AC⊥HD';(Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=2√2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(Ⅰ)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)已知A是椭圆E:x24+y23=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(Ⅰ)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,证明:√3<k<2.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD 中,E,G 分别在边DA,DC 上(不与端点重合),且DE=DG,过D 点作DF ⊥CE,垂足为F.(Ⅰ)证明:B,C,G,F 四点共圆;(Ⅱ)若AB=1,E 为DA 的中点,求四边形BCGF 的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25.(Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(Ⅱ)直线l 的参数方程是{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数),l 与C 交于A,B 两点,|AB|=√10,求l 的斜率.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x -12|+|x +12|,M 为不等式f(x)<2的解集. (Ⅰ)求M;(Ⅱ)证明:当a,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.D 由已知得B={x|-3<x<3},∵A={1,2,3},∴A ∩B={1,2},故选D.2.C z=3-2i,所以z =3+2i,故选C.3.A 由题图可知A=2,T 2=π3-(-π6)=π2,则T=π,所以ω=2,则y=2sin(2x+φ),因为题图经过点(π3,2),所以2sin (2×π3+φ)=2,所以2π3+φ=2kπ+π2,k ∈Z ,即φ=2kπ-π6,k ∈Z ,当k=0时,φ=-π6,所以y=2sin (2x -π6),故选A.4.A 设正方体的棱长为a,则a 3=8,解得a=2.设球的半径为R,则2R=√3a,即R=√3,所以球的表面积S=4πR 2=12π.故选A. 5.D 由题意得点P 的坐标为(1,2).把点P 的坐标代入y=kx (k>0)得k=1×2=2,故选D. 6.A 由圆的方程可知圆心为(1,4).由点到直线的距离公式可得√2=1,解得a=-43,故选A.7.C 由三视图知圆锥的高为2√3,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积为12×4π×4=8π.圆柱的底面积为4π,圆柱的侧面积为4×4π=16π,从而该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π,故选C. 8.B 行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P=2540=58,故选B.9.C 执行程序框图,输入a 为2时,s=0×2+2=2,k=1,此时k>2不成立;再输入a 为2时,s=2×2+2=6,k=2,此时k>2不成立;再输入a 为5,s=6×2+5=17,k=3,此时k>2成立,结束循环,输出s 为17,故选C. 10.D 函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R ,排除A,C;y=lgx 的值域为R ,排除B,故选D.。

2016年高考数学调研卷(第一模拟)文(含解析)

2016年全国卷II高考《考试大纲》调研卷文科数学（第一模拟）一、选择题：共12题1．已知集合A={x|x2+x-2=0},B={x|-x2+x=0},则A∩B=A.{-1,0}B.{0,1}C.{1}D.{0}【答案】C【解析】本题考查一元二次方程的解、集合的交运算.先求出两个集合A,B,再利用集合知识求解即可.因为A={-2,1},B={0,1},所以A∩B={1}.选C.2．已知(a+b i)·(1-2i)=5(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b的值为A.-1B.1C.2D.3【答案】D【解析】本题主要考查复数的乘法运算、复数相等的概念.解题时,先利用复数的乘法运算对已知条件进行运算,然后根据复数相等的概念求出a,b即可求解.因为(a+b i)(1-2i)=a+2b+(b-2a)i=5,故, 解得a=1,b=2,故a+b=3,选D.3．高三某班有学生56人,现将所有同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、33号、47号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号为A.13B.17C.19D.21【答案】C【解析】本题主要考查系统抽样在实际问题中的应用,考查考生对基础知识的掌握情况.因为47-33=14,所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为5+14=19.4．“x>1”是“log2(x-1)<0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题主要考查不等式的知识与充要关系的判断.分清条件和结论,根据充分条件、必要条件的定义判断是解题的关键.由log2(x-1)<0得0<x-1<1,即1<x<2,故“x>1”是“log2(x-1)<0”的必要不充分条件,选B.5．在约束条件下,目标函数z=x+2y的最大值为A.26B.24C.22D.20【答案】A【解析】本题主要考查线性规划的知识,数形结合是解决线性规划题目的常用方法.作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,由z=x+2y得y=-x+,当y=-x+经过点C时,目标函数z=x+2y取得最大值,由得,即C(6,10),故目标函数z=x+2y的最大值为6+2×10=26,选A.6．已知角θ的终边经过点P(-1,-),则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ=A.-B.C.-D.【答案】D【解析】本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式、三角函数的求值等,考查考生的运算求解能力及转化思想.通解因为角θ的终边经过点P(-1,-),故tanθ=,故,由sin2θ+cos2θ=1可得cos2θ=,即cosθ=-,所以sinθ=-,sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ=sin2θ+sinθcosθ-cos2θ=+(-)×(-)-,选D.优解因为角θ的终边经过点P(-1,-),故tanθ=,故sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ=sin2θ+sinθcosθ-cos2θ==,选D.7．执行如图所示的程序框图,若输出的结果为43,则判断框内应填入的条件是A.z≤42?B.z≤20?C.z≤50?D.z≤52?【答案】A【解析】本题考查程序框图的知识,解题时,要注意z的值是否满足输出结果,何时终止循环.运行程序:x=0,y=1,因为z=1不满足输出结果,则x=1,y=1,因为z=2×1+1=3不满足输出结果,则x=1,y=3,因为z=2×1+3=5不满足输出结果,则x=3,y=5,因为z=2×3+5=11不满足输出结果,则x=5,y=11,因为z=2×5+11=21不满足输出结果,则x=11,y=21,因为z=2×11+21=43满足输出结果,此时需终止循环,结合选项可知,选A.8．设各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n,且a4a8=32,则S11的最小值为A.22B.44C.22D.44【答案】B【解析】本题主要考查等差数列的性质、前n项和公式,利用基本不等式求最值等知识.解答的关键是利用好基本不等式.因为数列{a n}为各项均为正数的等差数列,所以a4+a8≥2=8,S11=(a4+a8)≥×8=44,故S11的最小值为44,当且仅当a4=a8=4时取等号.选B.9．已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.6+B.10+C.10+D.6+【答案】B【解析】本题考查三视图、几何体的体积,考查考生的计算能力、空间想象能力.由三视图还原出几何体是解题的关键.由三视图可知该几何体是由一个各棱长均为2的正四棱锥、一个棱长为2的正方体和一个直三棱柱构成的,正方体的体积为2×2×2=8,三棱柱的体积为×2×1×2=2,棱长为2的正四棱锥的高为,故其体积为×2×2×,故该几何体的体积为8+2+=10+,选B.10．将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-≤φ<)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度得到y=sin x的图象,则函数f(x)的单调递增区间为A.[2kπ-,2kπ+],k∈ZB.[2kπ-,2kπ+],k∈ZC.[kπ-,kπ+],k∈ZD.[kπ-,kπ+],k∈Z【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质、三角函数的图象变换等知识.先根据三角函数图象变换求出ω,φ的值,再求其单调区间.通解将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则函数变为y=sin(ωx+φ),再向左平移个单位长度得到的函数为y=sin[ω(x+)+φ]=sin(ωx++φ)=sin x,又ω>0,所以,又-≤φ<,所以ω=2,φ=-,f(x)=sin(2x-),由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.选C.优解将y=sin x的图象向右平移个单位长度得到的函数为y=sin(x-),将函数y=sin(x-)的图象上每一点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),则函数变为y=sin(2x-)=f(x),由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,选C.11．已知变量a,b满足b=-a2+3ln a(a>0),若点Q(m,n)在直线y=2x+上,则(a-m)2+(b-n)2的最小值为A. B. C.9 D.3【答案】A【解析】本题主要考查导数的几何意义、点到直线的距离公式,考查考生构造函数解决问题的意识、数据处理能力等,属于中上等难度题.将问题转化为函数图象上的动点与直线上的动点的距离问题,可用与已知直线平行的切线求解.由题意知,y=2x+表示斜率为2的直线,变量a,b满足b=-a2+3ln a,设函数f(x)=-x2+3ln x,则f'(x)=-x+,设当切线斜率为2时,函数f(x)图象的切点的横坐标为x0,则-x0+=2,∴x0=1,此时切点坐标为(1,-),切点到直线y=2x+的距离d=,∴(a-m)2+(b-n)2的最小值为d2=.12．已知双曲线C:-4y2=1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于,抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点M到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为A.+2B.+1C.-2D.-1【答案】D【解析】本题综合考查双曲线的方程、渐近线,抛物线的定义、性质等,考查考生分析问题、解决问题的能力.-4y2=1的右顶点坐标为(a,0),一条渐近线为x-2ay=0.由点到直线的距离公式得d=,解得a=或a=-(舍去),故双曲线的方程为-4y2=1.因为c==1,故双曲线的右焦点为(1,0),即抛物线的焦点为(1,0),所以p=2,x=-1是抛物线的准线,因为点M到y轴的距离为d1,所以到准线的距离为d1+1,设抛物线的焦点为F,则d1+1=|MF|,所以d1+d2=d1+1+d2-1=|MF|+d2-1,焦点到直线l的距离d3=,而|MF|+d2≥d3=,所以d1+d2=|MF|+d2-1≥-1,选D.二、填空题：共4题13．设向量a,b的夹角为60°,|a|=1,|b|=2,则(-3a+b)·(a+2b)=.【答案】0【解析】本题主要考查向量的模与夹角、向量的数量积等,考查考生的运算能力.因为向量a,b的夹角为60°,|a|=1,|b|=2,所以a·b=|a|·|b|cos 60°=1×2×=1,则(-3a+b)·(a+2b)=-3a2-6a·b+a·b+2b2=-3-5+8=0.14．已知在平面直角坐标系中,O(0,0),A(2,4),B(6,2),则三角形OAB的外接圆的方程是.【答案】x2+y2-6x-2y=0【解析】本题主要考查三角形的外接圆等知识.有两种方法解决,一是待定系数法,设出圆的一般方程,求出D,E,F即可,二是先判断出三角形OAB为直角三角形,再利用直角三角形的性质求出其外接圆的方程.解法一设三角形OAB的外接圆方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意可得,解得,故三角形OAB的外接圆的方程是x2+y2-6x-2y=0.解法二因为直线OA的斜率k OA==2,直线AB的斜率k AB==-,k AB×k OA=2×(-)=-1,所以三角形OAB 是直角三角形,点A为直角顶点,OB为斜边,因为|OB|=,故外接圆的半径r=,又OB的中点坐标为(3,1),故三角形OAB的外接圆的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=10,即x2+y2-6x-2y=0.15．已知棱长均为a的正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为的球面上,则a的值为.【答案】1【解析】本题主要考查球的内接三棱柱等,考查考生的空间想象能力与运算能力.设O是球心,D是等边三角形A1B1C1的中心,则OA1=,因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a,所以A1D=a×a,OD=,故A1D2+OD2=(a)2+()2=()2,得a2=,即a2=1,得a=1.16．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,且S1,S2+2,S3成等差数列,记数列{a n·(2n+1)}的前n项和为T n,则T n=.【答案】2-(1-2n)×2n+1【解析】本题主要考查等比数列的通项公式、错位相减法求和.利用已知条件可以求出{a n}的通项公式,再利用错位相减法求和即可.设数列{a n}的公比为q,由可得4+4q+4=2+2+2q+2q2,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),∴a n=2n(n∈N*),a n·(2n+1)=(2n+1)×2n,故T n=3×2+5×22+…+(2n+1)×2n,则2T n=3×22+5×23+…+(2n+1)×2n+1,故-T n=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1=6+2×-(2n+1)×2n+1=-2+(1-2n)×2n+1,故T n=2-(1-2n)×2n+1.三、解答题：共8题17．已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,.(1)求角A的大小;(2)求△ABC的面积的最大值.【答案】(1)根据正弦定理,由可得,,∴b2-a2=bc-c2,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A=,∵A∈(0,π),∴A=.(2)由a=2及余弦定理可得cos A=,故b2+c2=bc+4.又bc+4=b2+c2≥2bc,∴bc≤4+2,当且仅当b=c=时等号成立.故所求△ABC的面积的最大值为×(4+2)×+1.【解析】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用,基本不等式及三角形的面积公式等,考查了考生的计算能力,属于中档题.(1)利用正弦定理与余弦定理即可得出;(2)先利用余弦定理、基本不等式求出bc的最大值,再利用三角形的面积计算公式即可得出.【备注】解三角形的常见类型和方法:(1)已知两角和一边,首先根据内角和求出第三角,再用正弦定理、余弦定理求解相关问题;(2)已知两边和夹角,先用余弦定理求出第三边,再用正弦定理求另两角,必有一解;(3)已知三边可先应用余弦定理求对应的三个角,再求解相关问题.18．某县共有90个农村淘宝服务网点,随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位:万元)的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数;(2)若网购金额(单位:万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数;(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查,求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.【答案】(1)由题意知,样本数据的平均数=12.(2)样本中优秀服务网点有2个,频率为,由此估计这90个服务网点中有90×=30个优秀服务网点.(3)由于样本中优秀服务网点有2个,分别记为a1,a2,非优秀服务网点有4个,分别记为b1,b2,b3,b4,从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3), (b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共15种,记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M,则事件M包含的可能情况有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),共8种,故所求概率P(M)=.【解析】本题主要考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典概型等知识.(1)先根据茎叶图读出数据,再利用公式求解即可;(2)利用样本估计总体的知识即可得出;(3)先利用列举法将满足条件的情况逐一列出来,再利用古典概型的概率计算公式解答.【备注】概率与统计解答题是近几年新课标高考的热点考题,利用茎叶图解答实际问题是当今命题的热点与亮点.这类题往往借助于熟悉的知识点,结合实际生活中比较新颖的问题进行命题,在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,往往对分层抽样、系统抽样比较偏重,考生只有正确处理茎叶图,读准数据,掌握古典概型的概率的计算,考试时才不会失分.19．在多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,四边形ADEF是正方形,AB∥DC,AB=AD=1,CD=2,AC=EC=.(1)求证:平面EBC⊥平面EBD;(2)设M为线段EC上一点,且3EM=EC,试问在线段BC上是否存在一点T,使得MT∥平面BDE,若存在,试指出点T的位置;若不存在,请说明理由.【答案】(1)因为AD=1,CD=2,AC=,所以AD2+CD2=AC2,所以△ADC为直角三角形,且AD⊥D C.同理,因为ED=1,CD=2,EC=,所以ED2+CD2=EC2,所以△EDC为直角三角形,且ED⊥DC.又四边形ADEF是正方形,所以AD⊥DE,又AD∩DC=D,所以ED⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以ED⊥BC.在梯形ABCD中,过点B作BH⊥CD于点H,故四边形ABHD是正方形,所以∠ADB=45°,BD=.在Rt△BCH中,BH=CH=1,所以BC=,故BD2+BC2=DC2,所以BC⊥BD.因为BD∩ED=D,BD⊂平面EBD,ED⊂平面EBD,所以BC⊥平面EBD,又BC⊂平面EBC,所以平面EBC⊥平面EBD.(2)在线段BC上存在一点T,使得MT∥平面BDE,此时3BT=BC.连接MT,在△EBC中,因为,所以MT∥EB.又MT⊄平面BDE,EB⊂平面BDE,所以MT∥平面BDE.【解析】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系等,考查考生的推理论证能力、空间想象能力及运算求解能力.(1)先利用勾股定理证明△ADC、△EDC 是直角三角形,最后证明平面EBC⊥平面EBD;(2)是探究性问题,先利用分析法找到点T,再进行证明.【备注】与平行、垂直有关的探究性问题是高考常考题型之一,解答的基本思路是先根据条件猜测点的位置,再给出证明.在探究点的存在性问题时,点多为中点、三等分点等特殊点,有时也需结合平面几何知识找点.20．设F1、F2分别是椭圆E:+=1(b>0)的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动点,且·的最大值为1.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=ky-1与椭圆E交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(O为坐标原点),求k的取值范围.【答案】(1)解法一易知a=2,c=,b2<4,所以F1(-,0),F2(,0),设P(x,y),则·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-4+b2=x2+b2--4+b2=(1-)x2+2b2-4.因为x∈[-2,2],故当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时,·有最大值1,即1=(1-)×4+2b2-4,解得b2=1.故所求椭圆E的方程为+y2=1.解法二由题意知a=2,c=,b2<4,所以F1(-,0),F2(,0),设P(x,y),则·=||·||·cos∠F1PF2=||·||·[+y2++y2-16+4b2]=(1-)x2+2b2-4.因为x∈[-2,2],故当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时,·有最大值1,即1=(1-)×4+2b2-4,解得b2=1.故所求椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+4)y2-2ky-3=0,Δ=(-2k)2+12(4+k2)=16k2+48>0,故y1+y2=,y1·y2=.又∠AOB为锐角,故·=x1x2+y1y2>0,又x1x2=(ky1-1)(ky2-1)=k2y1y2-k(y1+y2)+1,所以x1x2+y1y2=(1+k2)y1y2-k(y1+y2)+1=(1+k2)·-+1=>0,所以k2<,解得-<k<,故k的取值范围是(-,).【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.(1)先设P(x,y),表示出F1、F2的坐标,然后求出、,得到·关于x的表达式,利用·的最大值求得b2的值,进而可求出椭圆的方程;(2)将x=ky-1与椭圆方程联立消去x,利用根与系数的关系表示出y1+y2和y1y2,由∠AOB为锐角可得x1x2+y1y2>0,将x1=ky1-1,x2=ky2-1代入求得x1x2+y1y2关于k的表达式,解不等式求出k的取值范围.【备注】每年高考试题都有一道解析几何的解答题,此题难度中等偏上,综合考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质,与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题和直线与圆锥曲线的位置关系等知识.由于解析几何解答题的综合性较强,对考生的能力要求较高,所以解答这类问题时,要注意观察问题的个性特征,熟练运用圆锥曲线的几何性质,以减少解题过程中的运算量.21．已知函数f(x)=ax2-ln x+1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当a=1时,f(x)>x2+在(1,+∞)上恒成立.【答案】(1)由于f(x)=ax2-ln x+1(a∈R),故f'(x)=2ax-(x>0).①当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数.②当a>0时,令f'(x)=0,得x=.当x变化时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(0,)(,+∞)f'(x) -0 +f(x) ↘极小值↗由表可知,f(x)在(0,)上是单调递减函数,在(,+∞)上是单调递增函数.综上所述,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当a>0时,f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞).(2)当a=1时,f(x)=x2-ln x+1,设F(x)=x2-ln x+1-x2-x2-ln x-,则F'(x)=x->0在(1,+∞)上恒成立,∴F(x)在(1,+∞)上为增函数,且F(1)=0,即F(x)>0在(1,+∞)上恒成立,∴当a=1时,f(x)>x2+在(1,+∞)上恒成立.【解析】本题考查运用导数知识求函数的单调区间及不等式的恒成立问题,涉及分类讨论、构造法等思想方法.第(1)问是求函数的单调区间问题,对f(x)求导,分a≤0和a>0进行讨论,进而求出单调区间;第(2)问通过构造函数,利用函数的单调性进行证明.【备注】函数的单调性、极值、最值是高考命题的重点与热点,函数与不等式等结合的题目往往成为考卷的压轴题,因而预计2016年高考对函数的单调性、极值、最值等问题还会继续考查,但已知条件中函数表达式的结构形式不会太复杂,因而本题试图在函数表达式较简单的基础上加大问题设置上的难度,在不增加考生题意理解难度的基础上,力争考查更多的知识.22．如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,延长BA和CD相交于点P,BD为☉O的直径,过点C 作CE⊥BD于点E,BE=,AD=,,.(1)求BC的值;(2)求sin∠BDC的值.【答案】(1)因为四边形ABCD是☉O的内接四边形,所以∠PAD=∠PCB,又∠P=∠P,所以△PAD∽△PC B.设PA=a,PD=b,则有,即,故b=a,所以.又AD=,所以BC=4.(2)由BD为☉O的直径可知,BC⊥CD,又CE⊥BD,所以在Rt△BCD中,由射影定理知,BC2=BE·BD,故42=·BD,解得BD=3.故sin∠BDC=.【解析】本题考查圆内接四边形的性质、三角形相似、射影定理等.对于第(1)问要先得到△PAD 与△PCB相似,再利用已知条件得到比例关系式,即可求出BC的值;对于第(2)问要充分利用射影定理求出BD的值,进而求解sin∠BDC的值.【备注】与圆有关的证明或计算问题是高考考查的重点内容,它主要以圆周角定理、圆内接四边形的对角互补等作为证明角相等的依据,以圆的切割线定理、相交弦定理作为证明线段成比例的依据,以圆内接四边形的有关性质作为证明四点共圆的依据.求解时要依据图形,合理推理,准确转化,必要时需要借助辅助线将问题转化.23．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+k sinθ)=-2(k为实数).(1)判断曲线C1与直线l的位置关系,并说明理由;(2)若曲线C1和直线l相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的斜率.【答案】(1)由曲线C1的参数方程可得其普通方程为(x+1)2+y2=1.由ρ(cosθ+k sinθ)=-2可得直线l的直角坐标方程为x+ky+2=0.因为圆心(-1,0)到直线l的距离d=≤1,所以直线与圆相交或相切,当k=0时,直线l与曲线C1相切;当k≠0时,直线l与曲线C1相交.(2)由于曲线C1和直线l相交于A,B两点,且|AB|=,故圆心到直线l的距离d=,解得k=±1,所以直线l的斜率为±1.【解析】本题考查曲线的参数方程及直线的极坐标方程,考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等.【备注】化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消元法、加减消元法、恒等式(三角的或代数的)消元法;极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是用好公式:.24．设函数f(x)=|x+3|-|x-1|.(1)解不等式f(x)≥0;(2)若f(x)+2|x-1|≥m对任意的实数x均成立,求m的取值范围.【答案】(1)通解f(x)≥0等价于|x+3|≥|x-1|,当x>1时,|x+3|≥|x-1|等价于x+3≥x-1,即3≥-1,不等式恒成立,故x>1;当-3≤x≤1时,|x+3|≥|x-1|等价于x+3≥1-x,解得x≥-1,故-1≤x≤1;当x<-3时,|x+3|≥|x-1|等价于-x-3≥1-x,即-3≥1,无解.综上,原不等式的解集为{x|x≥-1}.优解f(x)≥0等价于|x+3|≥|x-1|,即(x+3)2≥(x-1)2,化简得8x≥-8,解得x≥-1,即原不等式的解集为{x|x≥-1}.(2)f(x)+2|x-1|=|x+3|-|x-1|+2|x-1|=|x+3|+|x-1|≥|x+3-(x-1)|=4,要使f(x)+2|x-1|≥m 对任意的实数x均成立,则[f(x)+2|x-1|]min≥m,所以m≤4.【解析】第(1)问主要考查绝对值不等式的解法,可以利用分类讨论思想进行解答,也可以两边先平方然后化简求解;第(2)问主要考查绝对值不等式的恒成立问题,利用绝对值不等式的意义求出最小值即可解决.。

2016年高考山东文科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年山东，文1，5分】设集合{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,{3,4,5}U A B ===，则()U A B =U ð（）（A ）{}2,6 （B ）{}3,6 （C ）{}1,3,4,5 （D ）{}1,2,4,6 【答案】A【解析】={1,34,5}A B U ，，()={2,6}U A B U ð，故选A ．【点评】考查集合的并集及补集运算，难度较小．（2）【2016年山东，文2，5分】若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z =（）（A ）2i - （B ）2i （C ）2- （D ）2 【答案】B【解析】22(1i)=1i 1i 2z -==+-，1i z =-，故选B ．【点评】复数的运算题目，考察复数的除法及共轭复数，难度较小．（3）【2016年山东，文3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为[)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5，[]27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是（）（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）140 【答案】D【解析】由图可知组距为2．5，每周的自习时间少于22．5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=，所以，每周自习时间不少于22．5小时的人数是()20010.30140⨯-=人，故选D ．【点评】频率分布直方图题目，注意纵坐标为频率/组距，难度较小．（4）【2016年山东，文4，5分】若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值是（）（A ）4（B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--，所以()3,1-是最优解，22x y +的最大值是10，故选C ．（5）【2016年山东，文5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）（A ）1233+π （B ）1233+π （C ）1236+π （D ）216+π【答案】C【解析】由三视图可知，此几何体是一个正三棱锥和半球构成的，体积为3142112111+=+3323ππ⨯⨯⨯⨯（），故选C ．【点评】考察三视图以及几何体的体积公式，题面已知是半球和四棱锥，由三视图可看出是正四棱锥，难度较小．（6）【2016年山东，文6，5分】已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线相交，一定有一个交点，该点一定同时属于两个平面，即两平面相交，所以是充分条件；两平面相交，平面内两条直线关系任意（平行、相交、异面），即充分不必要条件，故选A ．（7）【2016年山东，文7，5分】已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)+(1)=1N x y --的位置关系是（）（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离【答案】B【解析】圆()22:200M x y ay a +-=>化成标准形式222()(0)x y a a a +-=>解法1：圆心(0, )a 到直线0x y +=的距离为2ad =，由勾股定理得2222a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2,0,2a a a =±>∴=Q ，圆M 与圆22:(1)+(1)=1N x y --的圆心距为22(10)(12)2-+-=，圆M 半径12R =，圆N 半径212121,2,R R R R R =-<<+∴Q 圆M 与圆N 相交，故选B ．解法2：直线0x y +=斜率为1-，倾斜角为135︒，可知2,2BM OB OM a ==∴==，B 点坐标为()1,1-，即为圆N 的圆心．圆心在圆M 中，且半径为1，即两圆相交，故选B ．（8）【2016年山东，文8，5分】ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知b c =，222(1sin )a b A =-，则A=（）（A ）34π （B ）3π （C ）4π （D ）6π【答案】C【解析】222222(1sinA),2cos 2(1sinA),a b b c bc A b =-∴+-=-Q 又b c =Q ，2222cos b b A ∴-22(1sin )b A =-，cos sin A A ∴=，在ABC ∆中，(0,),A 4A ππ∈∴=，故选C ．（9）【2016年山东，文9，5分】已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()6f =（）（A ）2- （B ）1- （C ）0 （D ）2 【答案】D【解析】由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知当12x >时，()f x 的周期为1，所以()()61f f =．又当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以()()11f f =--．于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦，故选D ．（10）【2016年山东，文10，5分】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数具有T 性质的是（）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）x y e = （D ）3y x = 【答案】A【解析】因为函数ln y x =，x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T 性质，故选A ．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分．（11）【2016年山东，文11，5分】执行右边的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为．【答案】1【解析】根据题目所给框图，当输入3n =时，依次执行程序为：1,0i S ==，021=21S =+--，13i =≥不成立，12i i =+=，213231S =-+-=-，23i =≥不成立，13i i =+=，3143211S =-+-=-=，33i =≥成立，故输出的S 的值为1．（12）【2016年山东，文12，5分】观察下列等式：2224sin sin 12333ππ--⎛⎫⎛⎫+=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222344sin sin sin sin 2355553ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222364sin sin sin sin 3477773ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222384sin sin sin sin 4599993ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2222232sin sin sin sin 21212121n n n n n ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．【答案】()413n n+【解析】由题干中各等式左端各项分母的特点及等式右端所表现出来的规律经过归纳推理即得．（13）【2016年山东，文13，5分】已知向量()1,1a =-r ，()6,4b =-r ．若()a tab ⊥+r r r，则实数t 的值为．【答案】5-【解析】由已知条件可得()6,4ta b t t +=+--r r，又因()a ta+b ⊥r r r 可得()=a ta+b ⋅r r r 0，即()()()6141642100t t t t t +⨯+--⨯-=+++=+=，即得5t =-．（14）【2016年山东，文14，5分】已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，,AB CD的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率为．【答案】2【解析】由题意BC 2c =，所以2AB 3BC =，于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上，代入方程，得2222914c c a b -=，在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==．（15）【2016年山东，文15，5分】在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是．【答案】()3,+∞【解析】因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =，所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增，只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时，关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根；又()h x x =在x m ≤，0m >时，存在实数b ，使方程()f x b =在x m ≤时有两个根，只需0b m <≤；故只需24m m m -<即可，解之，注意0m >，得3m >，故填()3+∞，．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2016年山东，文16，12分】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x ，y ．奖励规矩如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个；②若8xy ≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此活动．（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：（1）设获得玩具记为事件A ，获得水杯记为事件B ，获得一瓶饮料记为事件C ，转盘转动两次后获得的数据记为(),x y ，则基本事件空间为()()()()()()()()1,11,21,31,42,12,22,32,4、、、、、、、、()()()()()()()()3,13,23,33,44,14,24,34,4、、、、、、、共16种，事件A 为()()()()()1,11,21,32,13,1、、、、，共5种，故小亮获得玩具的概率()516A P =．（2）事件B 为()()()()()()2,43,33,44,24,34,4、、、、、共6种，故小亮获得水杯的概率()63168B P ==，获得饮料的指针2431A概率()()()5116C A B P P P =--=．因为()()B C P P >，所以小亮获得水杯比获得饮料的概率大．（17）【2016年山东，文17，12分】设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求6y g π⎛⎫= ⎪⎝⎭的值．解：（1）()()()2sin sin sin cos 2sin sin cos 2sin cos ()2sin 21f x x x x x x x x x x x x π=---=-+-+-sin 2212sin 2212sin 12213x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（2）经变换()2sin1g x x =，6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（18）【2016年山东，文18，12分】在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，//EF DB ．（1）已知AB BC =，AE EC =．求证：AC FB ⊥；（2）已知G ，H 分别是EC 和FB 的中点．求证：//GH ABC 平面．解：（1）连接ED ，AB BC =Q ，AE EC =．AEC ∴∆和ABC ∆为等腰三角形．又D Q 是AC 的中点，ED AC ∴⊥，BD AC ⊥；AC ∴⊥平面EDB ．又//EF DB Q ， ∴平面EDB 与平面EFBD 为相同平面；AC ∴⊥平面EFBD ．FB ⊆Q 平面EFBD ；AC FB ∴⊥．（2）取ED 中点I ，连接IG 和IH ．在EDC ∆中I 和G 为中点；//IG CD ∴．//EF DB Q ；∴四边形EFBD 为梯形．I Q 和H 分别为ED 和FB 中点；//IH BD ∴．又IH Q 和IG 交与I 点，CD 与BD 交与D 点；∴平面//GIH 平面BDC ．又GH ⊆Q 平面GIH ； //GH ∴平面ABC ．（19）【2016年山东，文19，12分】已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，所以111a =，当2n ≥时，221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，又65n a n =+对1n =也成立，所以65n a n =+．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则12n n n n a b b b d +=+=+．当1n =时，1211b d =-；当2n =时，2217b d =-，解得3d =，所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+．（2）由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++，于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅L ，两边同乘以２，得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅L ，两式相减，得 2341262323232(33)2n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅L 22232(12)32(33)212n n n +⋅-=⋅+-+⋅-2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅．（20）【2016年山东，文20，13分】设2()ln (21)f x x x ax a x =-+-，a R ∈．AA（1）令()'()g x f x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 取值范围．解：（1）定义域()0+∞,，()()ln 1221g x f x x ax a '==+-+-，()12g x a x'=-． ①当0a ≤时，()0g x '>恒成立，()g x 在()0+∞,上单调递增； ②当0a >时，令()0g x '=，得12x a =．()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．综上所述，当0a ≤时，单调递增区间为()0+∞,，当0a >时，单调递增区间为10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）∵()f x 在1x =处取得极大值，∴()10g =，ln112210a a +-+-=在a 取任何值时恒成立．①当0a ≤时，()g x 在()0+∞,上单调递增，即()0,1x ∈时，()0g x <；()1,x ∈+∞时，()0g x >，此时()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意；②当0a >时，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．只需令112a <，即12a >．综上所述，a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（21）【2016年山东，文21，14分】已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的长轴长为4，焦距为（1）求椭圆C 的方程；（2）过动点()()0,0M m m >的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P （P 在第一象限），且M是线段PN 的中点，过点P 做x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B ．（i ）设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，'k ，证明'k k为定值；（ii ）求直线AB 的斜率的最小值．解：（1）由题意得222242a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=．（2）（i ）设(,0),(,),N P P N x P x y 直线:+PA y kx m =，因为点N 为直线PA 与x 轴的交点，所以N mx k=-，因为点()0,M m 为线段PN 的中点，所以00,22N P P x x y m ++==，得,2P P mx y m k==，所以点,2m Q m k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()2=30m m k k m k--=--’，故3k k =-’为定值．（ii ）直线:+PA y kx m =与椭圆方程联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：222(21)4240k x kmx m +++-=，所以222222164(21)(24)328160k m k m k m ∆=-+-=-+>① 12122242,2121kmx mx x y y k k -+=+=++，所以222264,(21)21k m m k m A k k k ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭，直线:3+QM y kx m =-与椭圆方程联立223142y kx mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22218112240k x kmx m +-+-=，所以121222122,181181km mx x y y k k +=+=++，所以()()22224916,181181m k k m m B k k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪++⎝⎭，26131424B A ABB A y y k k k x x k k -+===+-，因为点P 在椭圆上，所以2224142m m k +=，得2224k m =② 将②代入①得()2240k >+1恒成立，所以20k ≥，所以0k ≥，所以3124AB k k k =+≥k =时取“=”），所以当k 时，AB k ．。

2016年河南省高考数学文科适应性试卷(1)含答案解析

2016年河南省普通高中高考数学适应性试卷（文科）（1）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知集合A={0，1，2}，B={0，2，4}，则A∪B中的元素个数为（）A．6 B．5 C．4 D．32．如果复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A．1 B．4 C．2 D．3．函数y=a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．4．某中学对1000名学生的英语拓展水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于80分为优秀，则优秀人数是（）A．250 B．200 C．150 D．1005．已知向量=（1，cosθ），=（sinθ，﹣2），且⊥，则sin2θ+6cos2θ的值为（）A．B．2 C．2D．﹣26．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点（4，0），且其渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．x2﹣=17．给出下列四个结论：①已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是a=﹣3b；②若命题p：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③函数f（x）=sin2x+cos2x的一条对称轴是x=；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．10 B．11 C．12 D．139．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．9 B．C．18 D．2710．已知函数f（x）=ln（2x+）﹣，若f（a）=1，则f（﹣a）=（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣311．已知{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取得最小正值时，n的值为（）A．24 B．23 C．22 D．1112．函数f（x）=的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知P（x，y）在不等式组所确定的平面区域内，则z=2x+y的最大值为______．14．四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA⊥平面ABCD，PA=5，则该球的表面积为______．15．已知正实数x，y满足xy+x+y=17，则x+2y+3的最小值为______．=a n+，a1=，S n为数列{a n}的前n项和，若16．已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+1对于任意的n∈N*，不等式≥1恒成立，则实数k的取值范围为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（cosB，2cos2﹣1），=（c，b﹣2a），且•=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a+b=6，c=2，求△ABC的面积．18．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5=•x+；（Ⅱ）若周六同一时间段车流量200万辆，试根据（Ⅰ）求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？（参考公式：=，=﹣•；参考数据：x i=540，y i=420）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=30°，PD⊥平面ABCD，AD=2，点E为AB上一点，且=m，点F为PD中点．（Ⅰ）若m=，证明：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=a﹣﹣lnx，g（x）=e x﹣ex+1．（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（Ⅲ）若g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标的值．四、请考在第22、23、24三题中任选一题作答：注意：只能做所选定的题目：如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC、CD．（Ⅰ）求证：直线AB是圆O的切线；（Ⅱ）若tan∠CED=，圆O的半径为2，求OA的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+5）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：f（ab+3）＞f（a+b+2）．2016年河南省普通高中高考数学适应性试卷（文科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知集合A={0，1，2}，B={0，2，4}，则A∪B中的元素个数为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】并集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的并集，找出并集中元素个数即可．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={0，2，4}，∴A∪B={0，1，2，4}，则集合A∪B中元素个数为4，故选：C，2．如果复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A．1 B．4 C．2 D．【考点】复数求模．【分析】根据复数模长的定义直接进行计算即可．【解答】解：复数z=（i为虚数单位），则|z|=||===．故选：D．3．函数y=a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象变换．【分析】通过图象经过定点（1，0），排除不符合条件的选项，从而得出结论．【解答】解：由于当x=1时，y=0，即函数y=a x﹣a 的图象过点（1，0），故排除A、B、D．故选C．4．某中学对1000名学生的英语拓展水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于80分为优秀，则优秀人数是（）A．250 B．200 C．150 D．100【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，即可求出优秀学生的人数．【解答】解：由频率分布直方图得，优秀学生的频率为：（0.015+0.010）×10=0.25，∴这1000名学生中优秀人数是：1000×0.25=250．故选：A．5．已知向量=（1，cosθ），=（sinθ，﹣2），且⊥，则sin2θ+6cos2θ的值为（）A．B．2 C．2D．﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得tanθ=2，而sin2θ+6cos2θ=，分子分母同除以cos2θ，代入tanθ=2可得答案．【解答】解：由题意可得向量=（1，cosθ），=（sinθ，﹣2），且⊥，即tanθ=2，所以sin2θ+6cos2θ====2．故选：B．6．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点（4，0），且其渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合．【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点（4，0），可得c=4，a2+b2=16，双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=3的圆心（2，0），半径为．渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，可得：，解得b=2，a=2，所求的双曲线方程为：﹣=1．故选：C．7．给出下列四个结论：①已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是a=﹣3b；②若命题p：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③函数f（x）=sin2x+cos2x的一条对称轴是x=；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据直线垂直的等价条件进行判断．②根据含有量词的命题的否定进行判断．③根据三角函数的对称性进行判断．④根据回归直线的性质进行判断．【解答】解：①当b≠0时，两直线的斜率分别为，，由•（）==﹣1，即a=﹣3b，当b=0时，l2：x+1=0，若l1⊥l2，则a=0，此时满足a=﹣3b，综上l1⊥l2的充要条件是a=﹣3b；故①正确；②若命题p：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈[1，+∞），x2﹣x﹣1≥0；故②错误③函数f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），当x=时，f（）=2sin（2×+）=2sin=﹣2，为函数的最小值，则此时函数关于x=对称，故③正确，④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2.5个单位．故④错误，故正确是①③，故选：B8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】绘制结构图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，S=2，k=2，不满足退出循环的条件，第2次执行循环体后，S=6，k=3，不满足退出循环的条件，第3次执行循环体后，S=14，k=4，不满足退出循环的条件，第4次执行循环体后，S=30，k=5，不满足退出循环的条件，第5次执行循环体后，S=62，k=6，不满足退出循环的条件，第6次执行循环体后，S=126，k=7，不满足退出循环的条件，第7次执行循环体后，S=510，k=8，不满足退出循环的条件，第8次执行循环体后，S=1022，k=9，不满足退出循环的条件，第9次执行循环体后，S=2046，k=10，满足退出循环的条件，故输出的k值为10，故选：A9．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．9 B．C．18 D．27【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图和正方体可得该几何体一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥A﹣BCD，三棱锥的外面是长、宽、高为6、3、3的长方体，∴几何体的体积V==9，故选：A．10．已知函数f（x）=ln（2x+）﹣，若f（a）=1，则f（﹣a）=（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【考点】函数的值．【分析】易知f（a）=ln（2a+）﹣=1，化简f（﹣a）=ln（﹣2a+）﹣=ln（）﹣，从而求得．【解答】解：由题意知，f（a）=ln（2a+）﹣=1，故f（﹣a）=ln（﹣2a+）﹣=ln（）﹣=﹣ln（2a+）﹣2+=﹣（ln（2a+）﹣）﹣2=﹣3，故选：D．11．已知{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取得最小正值时，n的值为（）A．24 B．23 C．22 D．11【考点】数列的函数特性．【分析】由{a n}为等差数列，且它的前n项和S n有最大值，得数列的公差d小于0，再由＜﹣1，得到a13＜0＜a12，由此求得S n取得最小正值时的n的值．【解答】解：∵S n有最大值，∴d＜0则a12＞a13，又＜﹣1，∴a13＜0＜a12，∴a12+a13＜0，S24=12（a1+a24）=12（a12+a13）＜0，S23=23a12＞0，又a1＞a2＞…＞a12＞0＞a13＞a14，S12＞S11＞…＞S2＞S1＞0，S12＞S13＞…＞S23＞0＞S24＞S25，又∵S23﹣S1=a2+a3+…+a23=11（a12+a13）＜0，∴S23为最小正值．故选：B．12．函数f（x）=的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据分段函数分段的标准分别研究函数在每一段上的零点的个数，然后得到整个函数的零点个数．【解答】解：当x≤0时，f（x）=﹣x2+2x+3，令f（x）=0，x＜0，解得x=﹣1．当x＞0时，f（x）=|lnx|﹣2，令f（x）=0解得lnx=±2，解得x=e2或x=e﹣2．故函数f（x）=的零点个数为3，分别为﹣1，e﹣2、e2故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知P（x，y）在不等式组所确定的平面区域内，则z=2x+y的最大值为17．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（9，﹣1），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线=﹣2x+z过A（9，﹣1）时，z最大，z的最大值是17，故答案为：17．14．四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA⊥平面ABCD，PA=5，则该球的表面积为50π．【考点】球的体积和表面积．【分析】把四棱锥补成长方体，根据长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算．【解答】解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球，∵长方体的对角线长等于球的直径，∴2R==5，∴R=，外接球的表面积S=4πR2=50π．故答案为：50π．15．已知正实数x，y满足xy+x+y=17，则x+2y+3的最小值为12．【考点】基本不等式．【分析】由xy+x+y=17，可得x=＞0，解得0＜y＜17．可得x+2y+3=+2y+3=+2（y+1），再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由xy+x+y=17，可得x=＞0，解得0＜y＜17．∴x+2y+3=+2y+3=+2（y+1）≥=12，当且仅当y=2，x=5时取等号．故答案为：12．16．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n +1=a n +，a 1=，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式≥1恒成立，则实数k 的取值范围为．【考点】数列的求和．【分析】由各项均为正数的数列{a n }满足a n +1=a n +，a 1=，变形为：a n +1﹣=（a n ﹣），利用等比数列的通项公式及其前n 项和公式可得：a n ，S n ，不等式≥1化为：，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n }满足a n +1=a n +，a 1=，∴a n +1﹣=（a n ﹣），∴数列成等比数列，首项为3，公比为．∴a n ﹣=，可得：a n =+，S n =+3×=+6，∴12+n ﹣2S n =．∴不等式≥1化为：，∵数列单调递减，∴．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量=（cosB ，2cos 2﹣1），=（c ，b ﹣2a ），且•=0．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若a +b=6，c=2，求△ABC 的面积．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用已知及平面向量数量积运算可得ccosB+（b﹣2a）cosC=0，利用正弦定理可得sinA=2sinAcosC，结合sinA≠0，可求cosC=，又C∈（0，π），从而可求C的值．（Ⅱ）利用余弦定理可得（a+b）2﹣3ab=c2，可解得ab，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）∵=（cosB，2cos2﹣1），=（c，b﹣2a），且•=0．∴ccosB+（b﹣2a）cosC=0，∴sinCcosB+（sinB﹣2sinA）cosC=0，…3分可得：sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC=，又∵C∈（0，π），∴C=…6分（Ⅱ）∵c2=a2+b2﹣2abcosC，∴（a+b）2﹣3ab=c2，可得：36﹣3ab=12，解得：ab=8…10分=absinC=2×8×=2…12分∴S△ABC18．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5=•x+；（Ⅱ）若周六同一时间段车流量200万辆，试根据（Ⅰ）求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？（参考公式：=，=﹣•；参考数据：x i=540，y i=420）【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II）将x=200代入回归方程计算．【解答】解：（Ⅰ）×=108，（78+80+84+88+90）=84．=（﹣8）×（﹣6）+（﹣6）×（﹣4）+0+6×4+8×6=144，=（﹣8）2+（﹣6）2+0+62+82=200．∴=，=84﹣0.72×108=6.24．∴y关于x的线性回归方程为=0.72x+6.24．（II）当x=200时，=0.72×200+6.24=150.24．∴此时PM2.5的浓度为150.24微克/立方米．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=30°，PD⊥平面ABCD，AD=2，点E为AB上一点，且=m，点F为PD中点．（Ⅰ）若m=，证明：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）作FM∥CD，交PC于M，推导出四边形AEMF为平行四边形，由此能证明直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）要使平面PED⊥平面PAB，只需AB⊥DE，求出AE=ADcos30°=，推导出平面PDE⊥平面PAB，由此能求出存在一个常数m==．使得平面PED⊥平面PAB．【解答】证明：（Ⅰ）作FM∥CD，交PC于M，∵点M为PD的中点，∴FM=CD，∵m=，∴AE==FM，又FM∥CD∥AE，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．解：（Ⅱ）存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB，要使平面PED⊥平面PAB，只需AB⊥DE，此时AB=AD=2，∠DAB=30°，∴AE=ADcos30°=，又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥平面PDE，∵AB⊂平面PAB，∴平面PDE⊥平面PAB，∴m==．20．已知函数f（x）=a﹣﹣lnx，g（x）=e x﹣ex+1．（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（Ⅲ）若g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】解：（Ⅰ）代入a=2，根据导数的概念和点斜式求出切线方程即可；（Ⅱ）构造函数m（x）=+lnx，求导函数，根据导函数判断函数的单调性，得出函数的最大值，把零点问题转化为两函数的交点问题求解；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a﹣1，要使恒成立，只需求出g（x）的最小值即可，利用导函数判断函数的单调性，利用极值得出函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，∴f（1）=2﹣1=1，f'（x）=，∴f'（1）=0，∴切线方程为y=1；（Ⅱ）令m（x）=+lnx，∴m'（x）=﹣+，∴当x在（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）递增，当x在（1，+∞）是，m'（x）＜0，m（x）第减，故m（x）的最大值为m（1）=1，f（x）=0恰有一个解，即y=a，与m（x）只有一个交点，∴a=1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a﹣1，g（x）=e x﹣ex+1．g'（x）=e x﹣e，∴当x在（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减，当x在（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，∴函数g（x）的最小值为g（1）=1，g（x）≥f（x）恒成立，∴1≥a﹣1，∴a≤2．21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由圆O的方程为x2+y2=4，设点Q的纵坐标为t，则Q（2，t），当MP⊥x轴时，求出t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设直线OP：y=kx（k＞0，x＞0），则直线OQ：y=﹣，由|OP|•|OQ|=|PQ|•|OM|，能求出点Q的纵坐标的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），∴，解得a2=8，b2=4，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆O的方程为x2+y2=4，①设点Q的纵坐标为t，则Q（2，t），当MP⊥x轴时，∵点P在椭圆C上，且在第一象限内，∴P（2，），∵，解得t=﹣2．②当PM不垂直于x轴时，设直线OP：y=kx（k＞0，x＞0），∴直线OQ：y=﹣，则P（x0，kx0），Q（﹣tx，t），在△OPQ中，|OP|•|OQ|=|PQ|•|OM|，∴=2，即=4[（x0+kt）2+（kx0﹣t）2]，，∴，∴，又由，∴，又由，∴，∴，∴=0，∴t2=8，解得t=．∴点Q的纵坐标的值为．四、请考在第22、23、24三题中任选一题作答：注意：只能做所选定的题目：如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC、CD．（Ⅰ）求证：直线AB是圆O的切线；（Ⅱ）若tan∠CED=，圆O的半径为2，求OA的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（I）利用等腰三角形的性质和切线的定义即可证明；（II）利用圆的性质可得=．再利用切线的性质可得△CBD∽△EBC，于是==．设BD=x，BC=3x，利用切割线定理可得BC2=BD•BE，代入解出即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线．（Ⅱ）解：∵ED是直径，∴∠ECD=90°，在Rt△BCD中，∵tan∠CED=，∴=．∵AB是⊙O的切线，∴∠BCD=∠E．又∵∠CBD=∠EBC，∴△CBD∽△EBC，∴==．设BD=x，BC=3x，又BC2=BD•BE，∴（3x）2=x•（x+4）．解得：x1=0，x2=，∵BD=x＞0，∴BD=．∴OA=OB=BD+OD=．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l方程与圆C的方程联立方程组，求得A、B两点的坐标，可得|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得3x+y﹣3=0．圆C的方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，即x2+=3．（Ⅱ）由求得，或，故可得A（，﹣）、B（﹣， +）．∵点P（1，0），∴|PA|+|PB|=+=（2﹣）+（2+）=4．24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+5）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：f（ab+3）＞f（a+b+2）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的复合函数形式，通过讨论x的范围，求出各个阶段上的x的范围，从而求出不等式的解集；（Ⅱ）问题转化为：|ab+1|＞|a+b|，通过作差法证明即可．【解答】（Ⅰ）解：f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣1≥9，解得：x＜﹣5，当﹣3≤x≤2时，f（x）≥9不成立，当x＞2时，由2x+1≥9，解得：x≥4，∴不等式的解集是{x|x≤﹣5或x≥4}；（Ⅱ）证明：f（ab+3）＞f（a+b+2）即|ab+1|＞|a+b|，∵|a|＜1，|b|＜1，∴（ab+1）2﹣（a+b）2=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，∴|ab+1|＞|a+b|，故所证不等式成立．2016年10月4日。

2016全国卷高考数学试题及答案

2016年高考题全国Ⅰ卷文数题干+解析1.(2016·全国Ⅰ卷,文1)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B等于( B )(A){1,3} (B){3,5} (C){5,7} (D){1,7}解析:集合A与集合B公共元素有3,5,故A∩B={3,5},选B.2.(2016·全国Ⅰ卷,文2)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a等于( A )(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,由已知,得a-2=1+2a,解得a=-3,选A.3.(2016·全国Ⅰ卷,文3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C ) (A)(B)(C)(D)解析:将4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛,有6种种法,其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种,故概率为,选C.4.(2016·全国Ⅰ卷,文4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b等于( D )(A)(B)(C)2 (D)3解析:由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3(b=-舍去),选D.5.(2016·全国Ⅰ卷,文5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( B )(A)(B)(C)(D)解析:设椭圆方程为+=1(a>b>0)(-c,0),B(0,b)F1点O到直线l的距离为OM,则OM=.O中,=sin 30°,=,所以∠OBM=30°,在△BF1所以e=.故选B.6.(2016·全国Ⅰ卷,文6)若将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( D )(A)y=2sin(2x+) (B)y=2sin(2x+)(C)y=2sin(2x-) (D)y=2sin(2x-)解析:因为T==π,=,所以y=2sin(2x+)y=2sin[2(x-)+],所以y=2sin(2x-).故选D.7.(2016·全国Ⅰ卷,文7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是( A )(A)17π(B)18π(C)20π(D)28π解析:因为·πR3=π,所以R=2.S=·4π·R2+3·πR2=17π,故选A.8.(2016·全国Ⅰ卷,文8)若a>b>0,0<c<1,则( B )(A)loga c<logbc (B)logca<logcb(C)a c<b c (D)c a>c b 解析:由题意令a=4,b=2,c=.A选项:loga c=-,logbc=-1,logac>logbc,A错误.B选项:logc a=-2,logcb=-1,logca<logcb,B正确.同理C,D选项错误,故选B.9.(2016·全国Ⅰ卷,文9)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( D )解析:结合图象f(-x)=f(x),函数为偶数,在[0,2]区间内,f(x)=2x2-e x,f′(x)=4x-e x.当0<x<时,f′(x)<0.当<x<2时,f′(x)>0.得出f(x)在(0,)上为减函数,在(,2)上为增函数.故选D.10.(2016·全国Ⅰ卷,文10)执行如图所示的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( C )(A)y=2x (B)y=3x (C)y=4x (D)y=5x 解析:当x=0,y=1,n=1,x=0,y=1,x2+y2=1<36,当n=2时,x=,y=2,x2+y2<36,当n=3时,x=+=,y=2×3=6,x2+y2>36,输出x=,y=6,令y=kx,得k=4,所以y=4x.故选C.11.(2016·全国Ⅰ卷,文11)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( A )(A) (B) (C)(D)解析:在正方体ABCD A1B1C1D1中,由题意,直线m∥BD,直线n∥A1B,则△A1DB为等边三角形,∠DBA1=60°,sin 60°=,所以m,n所成角的正弦值为,故选A.12.(2016·全国Ⅰ卷,文12)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( C )(A)[-1,1] (B)[-1,](C)[-,] (D)[-1,-]解析:排除法:令a=-1,f(x)=x-sin 2x-sin x=x-sin xcos x-sin x,f′(x)=-cos 2x-cos x=-(cos x+)2,当cos x=1时,f′(x)=-<0,因为f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,所以f′(x)>0在(-∞,+∞)上恒成立,所以a=-1不正确,排除A,B,D.故选C.13.(2016·全国Ⅰ卷,文13)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .解析:因为a⊥b,所以a·b=(x,x+1)·(1,2)=x+2x+2=0,x=-.答案:-14.(2016·全国Ⅰ卷,文14)已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ-)= .解析:因为θ+-(θ-)=,所以(θ-)=.因为θ在第四象限,所以sin(θ-)=-,tan(θ-)==-.答案:-15.(2016·全国Ⅰ卷,文15)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.解析:因为x2+y2-2ay-2=0,所以x2+(y-a)2=2+a2,点(0,a)到直线y=x+2a的距离h==.2+a2-=3,所以a2=2,所以r2=2+a2=4,圆面积S=πr2=4π.答案:4π16.(2016·全国Ⅰ卷,文16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.解析:设生产A产品x件,B产品y件,产品A,B的利润之和为z.则z=2 100x+900y.画出可行域.解得所以z=2 100×60+900×100=216 000,所以生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元. 答案:216 00017.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷,文17)已知{an }是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b 1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和.解:(1)由已知a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.所以数列{an }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和an bn+1+bn+1=nbn得bn+1=,因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn,则Sn==-.18.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷,文18)如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明G是AB的中点;(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.解:(1)因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.又由已知可得PA=PB,从而G是AB的中点.(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=CG.由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积V=××2×2×2=.19.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷,文19)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?解:(1)当x≤19时,y=3 800;当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.所以y与x的函数解析式为y=(x∈N).(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000元.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000×90+4 500×10)=4 050元.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.20.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷,文20)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.解:(1)由已知得M(0,t),P(,t).又N为M关于点P的对称点,故N(,t),ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=,因此H(,2t),所以N为OH的中心,即=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下: 直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.21.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷,文21)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解:(1)f′(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).①设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.②设a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).③若a>-,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减.④若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递增. (2)①设a>0,则由(1)知,f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且<ln,则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a(b2-b)>0,所以f(x)有两个零点.②设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.③设a<0,若a≥-,则由(1)知,f(x)在(1,+∞)上单调递增.又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;若a<-,则由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞)上单调递增.又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).22.(本小题满分10分)(2016·全国Ⅰ卷,文22)(选修4-1:几何证明选讲)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以☉O为圆心,OA为半径作圆.(1)证明:直线AB与☉O相切;(2)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.解:(1)设E是AB的中点,连接OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°.在Rt△AOE中,OE=AO,即O到直线AB的距离等于☉O半径,所以直线AB与☉O相切.(2)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O′是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O′在线段AB的垂直平分线上,所以OO′⊥AB. 同理可证,OO′⊥CD,所以AB∥CD.23.(本小题满分10分)(2016·全国Ⅰ卷,文23)(选修44:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2: =4cos .(1)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为=a,其中a满足tan a=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解:(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=1,a=1(舍去).a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C2上,所以a=1.24.(本小题满分10分)(2016·全国Ⅰ卷,文24)(选修45:不等式选讲)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.解:(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5,故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为{x x<或x>5}.所以|f(x)|>1的解集为{x x<或1<x<3或x>5}.2016年普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ文科数学第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2016·全国Ⅱ卷,文1)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B等于( D )(A){-2,-1,0,1,2,3} (B){-2,-1,0,1,2}(C){1,2,3} (D){1,2}解析:B={x|-3<x<3},A∩B={1,2}.故选D.2.(2016·全国Ⅱ卷,文2)设复数z满足z+i=3-i,则等于( C )(A)-1+2i (B)1-2i(C)3+2i (D)3-2i解析:z=3-2i,=3+2i.故选C.3.(2016·全国Ⅱ卷,文3)函数y=Asin(ωx+ϕ)的部分图像如图所示,则( A )(A)y=2sin(2x-)(B)y=2sin(2x-)(C)y=2sin(x+)(D)y=2sin(x+)解析:T=2(+)=π=得ω=2,A=2.当x=时,y=2sin(2x+ϕ)=2,+ϕ=+2kπ,k∈Z,ϕ=-+2kπ,k∈Z.故选A.4.(2016·全国Ⅱ卷,文4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( A )(A)12π(B)π(C)8π(D)4π解析:由题知正方体棱长为2,球的直径为2,半径R=,则球的表面积S=4πR2=12π.故选A.5.(2016·全国Ⅱ卷,文5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x 轴,则k等于( D )(A)(B)1 (C)(D)2解析:由题P(1,2),2=k.故选D.6.(2016·全国Ⅱ卷,文6)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a等于( A )(A)-(B)-(C)(D)2解析:同全国Ⅱ理4解析.7.(2016·全国Ⅱ卷,文7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π解析:几何体的表面积为S=π·2×+2π·2×4+π22=8π+16π+4π=28π.故选C.8.(2016·全国Ⅱ卷,文8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( B )(A)(B)(C)(D)解析:由题至少等15秒遇绿灯的概率为P==.故选B.9.(2016·全国Ⅱ卷,文9)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s等于( C )(A)7 (B)12 (C)17 (D)34解析:由输入x=2,n=2.k=0,S=0,a=2,则S=2,k=1<n,再输入a=2,得S=6,k=2=n,再输入a=5,得S=17,k=3>n,输出S=17.故选C.10.(2016·全国Ⅱ卷,文10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( D )(A)y=x (B)y=lg x(C)y=2x(D)y=解析:由y=10lg x定义域值域均为(0,+∞),与D符合.故选D.11.(2016·全国Ⅱ卷,文11)函数f(x)=cos 2x+6cos(-x)的最大值为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2(sin2x-3sin x)+1=-2[(sin x-)2-]+1=-2(sin x-)2+.当sin x=1时,f(x)max=5.故选B.12.(2016·全国Ⅱ卷,文12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi等于( B )(A)0 (B)m (C)2m (D)4m解析:由题y=f(x)与y=|x2-2x-3|均关于x=1对称.则两函数交点个数m为偶数.=×2=m.故选B.第Ⅱ卷二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.(2016·全国Ⅱ卷,文13)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= .解析:由题-2m+12=0,m=6.答案:614.(2016·全国Ⅱ卷,文14)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为.解析:由线性约束条件得可行域如图则z=x-2y在B(3,4)处取得最小值为3-2×4=-5.答案:-515.(2016·全国Ⅱ卷,文15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=, cos C=,a=1,则b= .解析:解析:由题sin A=,sin C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.则由=得b===.答案:16.(2016·全国Ⅱ卷,文16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3,甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.解析:设三张卡片分别为A(1,2),B(1,3),C(2,3),由丙得数字和不是5,则丙的卡片可能为A或B.若丙为A(1,2),则乙为C(2,3),甲为B(1,3)合题,若丙为B(1,3),则甲、乙为相同数字2,不合题.答案:1,3三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅱ卷,文17)等差数列{an }中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn =[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解:(1)设数列{an }的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.所以{an }的通项公式为an=.(2)由(1)知,bn=[].当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;当n=4,5时,2≤<3,bn=2;当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;当n=9,10时,4≤<5,bn=4.所以数列{b}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.n18.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅱ卷,文18)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出0 1 2 3 4 ≥5险次数保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数0 1 2 3 4 ≥5频数60 50 30 30 20 10(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解:(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2,由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4,由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.19.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅱ卷,文19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD 上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(1)证明:AC⊥HD′;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱锥D′-ABCFE的体积.(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得=,故AC∥EF.由此得EF⊥HD,EF⊥HD′,所以AC⊥HD′.(2)解:由EF∥AC得==.由AB=5,AC=6得DO=BO==4.所以OH=1,D′H=DH=3.于是OD′2+OH2=(2)2+12=9=D′H2,故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H,所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′.又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以OD′⊥平面ABC.又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.所以五棱锥D′-ABCFE的体积V=××2=.20.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅱ卷,文20)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f′(x)=ln x+-3,f′(1)=-2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)>0等价于ln x->0.设g(x)=ln x-,则g′(x)=-=,g(1)=0.(ⅰ)当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,因此g(x)>0。

2016年高考文科数学全国卷2(含详细答案)

数学试卷第1页（共33页）数学试卷第2页（共33页）数学试卷第3页（共33页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)文科数学使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分，共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}123A =，，，{}2|9B x x =<，则A B =（） A. {2,1,0,1,2,3}--B. {2,1,0,1,2}--C. {1,2,3}D. {1,2}2. 设复数z 满足3z i i +=-，则=z （）A. 12i -+B. 12i -C. 32i +D. 32i -3. 函数()sin y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A. 2sin(2)6y x π=-B. 2sin(2)3y x π=-C. 2sin()6y x π=+D. 2sin()3y x π=+4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A. 12πB. 323πC. 8πD. 4π5. 设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，曲线0ky k x =>（）与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则=k（）A.12 B. 1 C. 32D. 26. 圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则=a（）A. 43-B. 34-C.D. 27. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积（）A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A. 710B. 58C. 38D. 3109. 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = （）A. 7B. 12C. 17D. 3410. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（）A. y x =B. lg y x =C. 2x y =D. 1y x=11. 函数() = cos26cos()2f x x x π+-的最大值为（）A. 4B. 5C. 6D. 712. 已知函数()()f x x ∈R 满足()(2)f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图象的交点为11x y （,），22x y （,），…，m m x y （,），则1mi i x =∑=A. 0B. mC. 2mD. 4m姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第4页（共6页）数学试卷第5页（共6页）数学试卷第6页（共6页）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~12题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~24为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 已知向量a ()4m =，，b ()32=-，，且a ∥b ，则m =________.14. 若x ，y 满足约束条件10,30,30,x y x y x -++--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤则2z x y =-的最小值为________.15. ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =________.16. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=.18. （本小题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（Ⅰ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。

【推荐】山东省2016届高三数学(文)优题精练：圆锥曲线 Word版含答案[ 高考]

14、如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正
半轴相交于两点M，N(点M必在点N的右侧），且
已知椭圆D：的焦距等于，且过点
( I )求圆C和椭圆D的方程；
(Ⅱ)若过点M斜率不为零的直线与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．
15、已知椭圆 : 的焦距为 ,离心率为 ,其右焦点为 ,过点作直线交椭圆于另一点 .
山东省2016届高三数学文优题精练
圆锥曲线
一、选择、填空题
1、（2015年高考）过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点 .若点的横坐标为 ,则的离心率为.
2、（2014年高考）已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为。
(1)求椭圆C的方程；
(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设＝t ，求实数t的值．
4、（滨州市2015届高三一模）已知椭圆的左右焦点分别是，且的坐标为，离心率为。
直线与椭圆交于两点，当时，M是椭圆C的上顶点，且的周长为6.
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）点P（2，），Q（2，－）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点。当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
6、（菏泽市2015届高三一模）椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点。
（1）求椭圆的方程；
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点.

2016年辽宁省沈阳二中高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2016年辽宁省沈阳二中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|（x+4）（x﹣2）＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜﹣2}D．{x|x＜﹣4或x＞﹣3}2．（5分）i是虚数单位，复数2i＝z（﹣1+i），则z的共轭复数是（）A．﹣1+i B．﹣i+1C．i+1D．﹣i﹣13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（﹣1，m），若⊥，则m的值为（）A．﹣2B．2C．D．4．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝1，则“a2＝4”是“a3＝16”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3＝0垂直，则cos（﹣2α）的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣6．（5分）已知sinφ＝，且φ∈（，π），函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．7．（5分）下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[，]C．（﹣∞，0）∪[，]D．（﹣∞，﹣1]∪[，]8．（5分）若x，y满足且z＝2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣1B．1C．﹣7D．79．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）一艘轮船从O点正东100海里处的A点处出发，沿直线向O点正北100海里处的B点处航行．若距离O点不超过r海里的区域内都会受到台风的影响，设r是区间[50，100]内的一个随机数，则该轮船在航行途中会遭受台风影响的概率约为（）A．20.7%B．29.3%C．58.6%D．41.4%11．（5分）过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣＝1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，] 12．（5分）x是函数f（x）＝2sin x﹣πlnx（x∈（O，π））的零点，x1＜x2①x0∈（1，e）；②x0∈（e，π）；③f（x1）﹣f（x2）＜0；④f（x1）﹣f（x2）＞0．其中正确的命题为（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）13．（5分）函数y＝log a（x﹣2）一定过的定点是．14．（5分）各项均为正数的等差数列{a n}中，a4a9＝36，则前12项和S12的最小值为．15．（5分）如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为．16．（5分）已知曲线f（x）＝x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c，cos A＝，a sin A+b sin B ﹣c sin C＝a sin B．（1）求B的值；（2）设b＝10，求△ABC的面积S．18．（12分）据统计，2015年“双11”天猫总成交金额突破912亿元．某购物网站为优化营销策略，对在11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）女性消费情况：男性消费情况：（Ⅰ）计算x，y的值；在抽出的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；（Ⅱ）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”附：（k2＝，其中n＝a+b+c+d）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC 的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若P A＝AD，且平面P AD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM⊥平面PCD？（直接给出结论，不需要说明理由）20．（12分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2＝16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．（i）当时，求直线AP的斜率；（ii）是否存在直线AP，使得？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a（a∈R），e为自然对数的底数．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）①若存在实数x，满足f（x）＜0，求实数a的取值范围：②若有且只有唯一整数x0，满足f（x0）＜0，求实数a的取值范围．四.考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AF是圆E切线，F是切点，割线ABC，BM是圆E的直径，EF交AC于D，，∠EBC＝30°，MC＝2．（Ⅰ）求线段AF的长；（Ⅱ）求证：AD＝3ED．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t＝﹣，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ρsinθ＝8+2距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b＝m，求a2+b2的最小值．2016年辽宁省沈阳二中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|（x+4）（x﹣2）＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜﹣2}D．{x|x＜﹣4或x＞﹣3}【解答】解：由B中不等式解得：x＜﹣4或x＞2，即B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，∵A＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}，故选：B．2．（5分）i是虚数单位，复数2i＝z（﹣1+i），则z的共轭复数是（）A．﹣1+i B．﹣i+1C．i+1D．﹣i﹣1【解答】解：由2i＝z（﹣1+i），得，∴z的共轭复数是i+1．故选：C．3．（5分）已知向量＝（1，2），＝（﹣1，m），若⊥，则m的值为（）A．﹣2B．2C．D．【解答】解：∵向量＝（1，2），＝（﹣1，m），⊥，∴＝﹣1+2m＝0，解得m＝．故选：C．4．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝1，则“a2＝4”是“a3＝16”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在等比数列{a n}中，a1＝1，若a2＝4，则公比q＝，则a3＝a2q＝4×4＝16．若a3＝16，则a3＝1×q2＝16，即q＝±4，当q＝﹣4时，a2＝a1q＝﹣4，此时a2＝4不成立，即“a2＝4”是“a3＝16”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3＝0垂直，则cos（﹣2α）的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣【解答】解：直线x+2y﹣3＝0的斜率为，∵倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3＝0垂直，∴tanα＝2．则cos（﹣2α）＝cos（1007π+）＝﹣cos（）＝﹣sin2α＝＝．故选：B．6．（5分）已知sinφ＝，且φ∈（，π），函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：根据函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得＝＝，∴ω＝2．由sinφ＝，且φ∈（，π），可得cosφ＝﹣，∴则f（）＝sin（+φ）＝cosφ＝﹣，故选：B．7．（5分）下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[，]C．（﹣∞，0）∪[，]D．（﹣∞，﹣1]∪[，]【解答】解：由程序框图可知：f（x）＝∵输出的函数值在区间[﹣2，]内，∴必有当x≤0时，；当x＞0时，．解得x≤﹣1或．故答案为．故选：D．8．（5分）若x，y满足且z＝2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣1B．1C．﹣7D．7【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（k，k+3），由z＝2x+y得：y＝﹣2x+z，显然直线y＝﹣2x+z过A（k，k+3）时，z最大，故2k+k+3＝6，解得：k＝1，故选：B．9．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；当x＝﹣2时，f′（x）＝0；当x＜﹣2时，f′（x）＜0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x＝﹣2时，xf′（x）＝0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．故选：A．10．（5分）一艘轮船从O点正东100海里处的A点处出发，沿直线向O点正北100海里处的B点处航行．若距离O点不超过r海里的区域内都会受到台风的影响，设r是区间[50，100]内的一个随机数，则该轮船在航行途中会遭受台风影响的概率约为（）A．20.7%B．29.3%C．58.6%D．41.4%【解答】解：AB＝＝100．∴点O到直线AB的距离d＝＝50．∴轮船会遭受台风影响的概率P＝＝2﹣≈58.6%．故选：C．11．（5分）过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣＝1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]【解答】解：由题意，直线l的方程为y＝x+2b，即bx﹣ay+2ab＝0．∵双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，∴直线l与bx﹣ay＝0的距离恒大于等于b，∴≥b，∴3a2≥b2，∴3a2≥c2﹣a2，∴e≤2，∵e＞1，∴1＜e≤2．故选：A．是函数f（x）＝2sin x﹣πlnx（x∈（O，π））的零点，x1＜x212．（5分）x①x0∈（1，e）；②x0∈（e，π）；③f（x1）﹣f（x2）＜0；④f（x1）﹣f（x2）＞0．其中正确的命题为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：∵f（1）＝2sin1﹣πln1＝2sin1＞0，f（e）＝2sin e﹣π＜0，∵f（x）为连续函数且f（1）•f（e）＜0，根据函数的零点判定定理，在（1，e）内存在零点，又∵f′（x）＝2cos x﹣，当x∈（0，]时，2cos x＜2，＞2，∴f′（x）＜0；当x∈（，π）时，cos x＜0，∴f′（x）＜0，∴函数在（0，π）上是减函数，故①④正确．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）13．（5分）函数y＝log a（x﹣2）一定过的定点是（3，0）．【解答】解：由对数函数的定义，令x﹣2＝1，此时y＝0，解得x＝3，故函数y＝log a（x﹣2）的图象恒过定点（3，0）故答案为（3，0）．14．（5分）各项均为正数的等差数列{a n}中，a4a9＝36，则前12项和S12的最小值为72．【解答】解：设各项均为正数的等差数列{a n}的公差为d＞0，∵a4a9＝36，∴a 1+a12＝a4+a9≥＝2＝12，当且仅当a4＝a9＝6时取等号．则前12项和S12＝≥＝72．故答案为：72．15．（5分）如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为2．【解答】解：根据三视图得到该几何体的直观图如图：其中△ABC是直角三角形，四边形ACDE是直角梯形，侧面BCD，ACDE垂直底面ABC，且AB＝BC＝2，AE＝2，CD＝1，则AC＝2，过B作BF⊥AC，则F是AC的中点，则BF＝，则五棱锥B﹣ACDE的体积V＝＝2，故答案为：2．16．（5分）已知曲线f（x）＝x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（3，）．【解答】解：f（x）＝x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）＝2x2﹣2x+a，由题意可得2x2﹣2x+a＝3，即2x2﹣2x+a﹣3＝0有两个不相等的正根，则△＝4﹣8（a﹣3）＞0，a﹣3＞0，解得3＜a＜．故答案为：（3，）．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c，cos A＝，a sin A+b sin B ﹣c sin C＝a sin B．（1）求B的值；（2）设b＝10，求△ABC的面积S．【解答】解：（1）∵，∴．∴．又∵A、B、C是△ABC的内角，∴．∵，又∵A、B、C是△ABC的内角，∴0＜A+C＜π，∴．∴．（2）∵，∴．∴△ABC的面积．18．（12分）据统计，2015年“双11”天猫总成交金额突破912亿元．某购物网站为优化营销策略，对在11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）女性消费情况：男性消费情况：（Ⅰ）计算x，y的值；在抽出的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；（Ⅱ）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”附：（k2＝，其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（Ⅰ）依题意，女性应抽取80名，男性应抽取20名…（1分）∴x＝80﹣（5+10+15+47）＝3…（2分）y＝20﹣（2+3+10+2）＝3…（3分）抽出的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中有三位女性设为A，B，C；两位男性设为a，b，从5人中任选2人的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）共10件…（4分）设“选出的两名网购者恰好是一男一女”为事件A事件A包含的基本事件有：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b）共6件…（5分）∴p（A）＝＝，（Ⅱ）（Ⅱ）2×2列联表如下表所示则k2＝＝≈9.091…（10分）∵9.091＞6.635且P（k2≥6.635）＝0.010…（11分）答：我们有99%的把握认为“是否为‘网购达人’”与性别有关…（12分）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC 的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若P A＝AD，且平面P AD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM⊥平面PCD？（直接给出结论，不需要说明理由）【解答】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD．又因为AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，所以AB∥EF．…（5分）（Ⅱ）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD．又因为平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面P AD．又AF⊂平面P AD所以CD⊥AF．由（Ⅰ）可知AB∥EF，又因为AB∥CD，所以CD∥EF．由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．在△P AD中，因为P A＝AD，所以AF⊥PD．又因为PD∩CD＝D，所以AF⊥平面PCD．…（11分）（Ⅲ）解：不存在．…（14分）20．（12分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2＝16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．（i）当时，求直线AP的斜率；（ii）是否存在直线AP，使得？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆W的左顶点A在圆O：x2+y2＝16上，∴a＝4．又离心率为，∴，则，∴b2＝a2﹣c2＝4，∴W的方程为；（Ⅱ）法一：（i）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线AP存在斜率，设直线AP的方程为y＝k（x+4），与椭圆方程联立得，化简得到（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣16＝0，∵﹣4为上面方程的一个根，∴，则．由，代入得到，解得k＝±1，∴直线AP的斜率为1，﹣1；（ii）∵圆心到直线AP的距离为，∴．∵，代入得到．显然，∴不存在直线AP，使得．法二：（i）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线AP存在斜率且不为0，设直线AP的方程为x＝my﹣4，与椭圆方程联立得，化简得到（m2+4）y2﹣8my＝0，显然﹣4上面方程的一个根，∴另一个根，即，由，代入得到，解得m＝±1．∴直线AP的斜率为1，﹣1；（ii）∵圆心到直线AP的距离为，∴．∵，代入得到．若，则m＝0，与直线AP存在斜率矛盾，∴不存在直线AP，使得．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a（a∈R），e为自然对数的底数．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）①若存在实数x，满足f（x）＜0，求实数a的取值范围：②若有且只有唯一整数x0，满足f（x0）＜0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝e x（2x﹣1）﹣x+1，导数f′（x）＝e x（2x+1）﹣1，当x＞0时，e x＞1，2x+1＞1，可得f′（x）＞0；当x＜0时，0＜e x＜1，2x+1＜1，可得f′（x）＜0．即有f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）；（2）①由f（x）＜0可得e x（2x﹣1）＜a（x﹣1），当x＝1时，不等式显然不成立；当x＞1时，a＞；当x＜1时，a＜；记g（x）＝，g′（x）＝，可得g（x）在（﹣∞，0），（，+∞）上递增；在（0，1），（1，）递减；可得当a＞1时，a＞g（）＝4e；当x＜1时，a＜g（0）＝1，综上可得，a的取值范围是（﹣∞，1）∪（4e，+∞）；②由①可得0＜a＜1时，x0∈（﹣∞，1），由f（x0）＜0，代入不等式可得得a＞＝g（x0），得g（x0）＜a，又g（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，1）递减，且g（0）＝1＞a，则g（﹣1）≤a，即a≥，故≤a＜1，检验不成立；当a＞4e，x0∈（1，+∞），由f（x0）＜0，得g（x0）＜a．又g（x）在（1，）递减，（，+∞）上递增，且g（）＝4e＜a，在区间[，2]上，存在x0＝2这个唯一的整数，使g（2）＞g（），f（2）＜0，所以a∈[4e，3e2]．四.考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AF是圆E切线，F是切点，割线ABC，BM是圆E的直径，EF交AC于D，，∠EBC＝30°，MC＝2．（Ⅰ）求线段AF的长；（Ⅱ）求证：AD＝3ED．【解答】（本题满分10分）选修4﹣1：几何证明选讲解：（Ⅰ）∵BM是圆E直径，∴∠BCM＝90°，…（1分）又MC＝2，∠EBC＝30°，∴BC＝2，…（2分）又AB＝AC，∴AB＝，∴AC＝3，…（3分）根据切割线定理得：＝9，…（4分）解得AF＝3．…（5分）证明：（Ⅱ）过E作EH⊥BC于H，…（6分）则△EDH∽△ADF，…（7分）从而有，…（8分）又由题意知CH＝BC＝，EB＝2，∴EH＝1，…（9分）∴，即AD＝3ED．…（10分）[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t＝﹣，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ρsinθ＝8+2距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：（t为参数），∴曲线C1的普通方程为：（x﹣4）2+（y+3）2＝1，…（1分）∵曲线C2：（θ为参数），∴曲线C2的普通方程为：，…（2分）曲线C1为圆心是（4，﹣3），半径是1的圆．…（3分）曲线C2为中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆．…（4分）（Ⅱ）当t＝时，P（4，﹣4），…（5分）设Q（6cosθ，2sinθ），则M（2+3cosθ，﹣2+sinθ），…（6分）∵直线C3：ρcosθ﹣，∴直线C3的直角坐标方程为：﹣（8+2）＝0，…（7分）M到C3的距离d＝…（8分）＝＝＝3﹣．…（9分）从而当cos（）＝1时，d取得最小值3﹣．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b＝m，求a2+b2的最小值．【解答】解：（Ⅰ）不等式m﹣|x﹣2|≥1可化为|x﹣2|≤m﹣1，…（1分）∴1﹣m≤x﹣2≤m﹣1，即3﹣m≤x≤m+1，…（2分）∵其解集为[0，4]，∴，∴m＝3．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b＝3，∵（a2+b2）（12+12）≥（a×1+b×1）2＝（a+b）2＝9，∴a2+b2≥，∴a2+b2的最小值为．…（10分）。

2016年高考文科数学试卷及答案解析(新课标全国1卷)【WORD版】

绝密★启封并使用完毕前2016年普通高等学校招生全国统一考试 1文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致.2。

第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3。

考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x｜x=3n+2，n ∈N},B=｛6,8，12,14}，则集合A ⋂B中元素的个数为(A）5 （B）4 （C）3 （D)2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=(—4，-3)，则向量BC=（A）（—7，-4）（B)（7，4） (C）（-1,4） (D）(1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2—I (B)-2+I （C）2—I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4,5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110(D）120（5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12,E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个焦点，则|AB｜= （A)3 （B）6 （C）9 (D)12（6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1。

湖南省高考数学模拟试卷(四)文(含解析)-人教版高三全册数学试题

2016年某某省高考数学模拟试卷（文科）（四）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足1+z=（1﹣z）i，则|z|=（）A．B．1 C．D．22．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）3．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6 C．14 D．185．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，86．已知等差数列{a n}前四项中第二项为606，前四项和S n为3834，则该数列第4项为（）A．2004 B．3005 C．2424 D．20167．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．88．已知向量满足，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（）A．B．C．D．10．将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．11．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（）A．B．2πC．D．12．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．曲线y=e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积为．14．已知等比数列{a n}中，a3+a5=8，a1a5=4，则=．15．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为．16．已知函数，若|f（x）|≥ax，则a的取值X围是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求三棱锥A﹣MCD的体积．20．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k （x﹣1）．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．2016年某某省高考数学模拟试卷（文科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足1+z=（1﹣z）i，则|z|=（）A．B．1 C．D．2【考点】复数求模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】由1+z=（1﹣z）i，可得z=，再利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵1+z=（1﹣z）i，∴z====i，则|z|=1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与技能数列，属于基础题．2．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据补集的定义求得∁R B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁R B={x|x≤﹣1，或 x＞5}，则A∩（∁R B）={x|﹣3＜x≤﹣1}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数的运算求出a的X围，根据对数的运算性质得到b，c的X围，比较即可．【解答】解： ==＞2，＜0，0＜＜1，即a＞2，b＜0，0＜c＜1，即a＞c＞b，故选：A．【点评】本题考查了指数以及对数的运算性质，是一道基础题．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6 C．14 D．18【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．5．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．6．已知等差数列{a n}前四项中第二项为606，前四项和S n为3834，则该数列第4项为（）A．2004 B．3005 C．2424 D．2016【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列前n项和公式和通项公式之间的关系进行推导即可．【解答】解：已知a2=606，S4=3834，则S3=a1+a2+a3=3a2=1818即a4=S4﹣S3=3834﹣1818=2016，故选：D【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式和通项公式的应用，比较基础．7．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．8．已知向量满足，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，由数量积的定义代入已知可得cosθ，进而可得θ【解答】解：设与的夹角为θ，∵，，，∴=||||cosθ=1×2×cosθ=，∴cosθ=﹣，∴θ=故选：D【点评】本题考查数量积与向量的夹角，属基础题．9．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；直线与圆．【分析】根据条件令x=0，求出AB的长度，结合三角形的勾股定理求出三角形ACB是直角三角形即可得到结论．【解答】解：当y=0时，得x2﹣4x=0，解得x=0或x=4，则AB=4﹣0=4，半径R=2，∵CA2+CB2=（2）2+（2）2=8+8=16=（AB）2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°，即弦AB所对的圆心角的大小为90°，故选：C．【点评】本题主要考查圆心角的求解，根据条件求出先AB的长度是解决本题的关键．10．将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴．【解答】解：将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2x+）的图象；再把所得图象象左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）+]=sin（2x+），令2x+=kπ+，求得 x=﹣，k∈z，故所得函数的图象的对称轴方程为 x=﹣，k∈z．结合所给的选项，故选：A．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（）A．B．2πC．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴V P﹣ABC==，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．12．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意， =，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．曲线y=e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积为 2 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；方程思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，利用导数求出函数的切线方程，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣e﹣x，则f′（0）=﹣1，则切线方程为y﹣2=﹣x，即y=﹣x+2，切线与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，2），∴切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积S=，故答案为：2【点评】本题主要考查三角形面积的计算，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程是解决本题的关键．14．已知等比数列{a n}中，a3+a5=8，a1a5=4，则= 9 ．【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得a1a5=a32=4，解出a3，分别可得q2，而=q4，代入可得答案．【解答】解：由等比数列的性质可得a1a5=a32=4，解得a3=2，或a3=﹣2，当a3=2时，可得a5=8﹣a3=6，q2==3当a3=﹣2，可得a5=8﹣a3=10，q2==﹣5，（舍去）∴=q4=32=9故答案为：9【点评】本题考查等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属基础题．15．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为 1 ．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即A（2，0），则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，即2+2m＞0，则m＞﹣1，则A（2，0），D（﹣2m，0），由，解得，即B（1﹣m，1+m），由，解得，即C（，）．则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC=|AD||y B﹣y C|=（2+2m）（1+m﹣）=（1+m）（1+m﹣）=，即（1+m）×=，即（1+m）2=4解得m=1或m=﹣3（舍）．【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．16．已知函数，若|f（x）|≥ax，则a的取值X围是[﹣2，0]．【考点】绝对值不等式的解法；指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得，当x＞0时，log2（x+1）＞0恒成立，则此时应有a≤0．当x≤0时，|f（x）|=x2﹣2x≥ax，再分x=0、x＜0两种情况，分别求得a的X围，综合可得结论．【解答】解：由于函数，且|f（x）|≥ax，①当x＞0时，log2（x+1）＞0恒成立，不等式即log2（x+1）≥ax，则此时应有a≤0．②当x≤0时，由于﹣x2+2x 的取值为（﹣∞，0]，故不等式即|f（x）|=x2﹣2x≥ax．若x=0时，|f（x）|=ax，a取任意值．若x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合X围可求B，由sinB=cosA及A的X围可求A，由三角形内角和定理可求C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征．【专题】计算题；数形结合；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求三棱锥A﹣MCD的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出AO⊥平面BCD，由此能证明平面ABD⊥平面CBD．（Ⅱ）分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，利用向量法能求出三棱锥A﹣MCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，记AC，BD交点为O，AD=5，∴OA=4，OD=3，翻折后变成三棱椎A﹣BCD，在△ACD中，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC=25+25﹣2×，在△AOC中，OA2+OC2=32=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，∴AO⊥平面BCD，又AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，则A （0，0，4），B（0，﹣3，0），C（4，0，0），D（0，3，0），M（0，﹣，2），=（4，，﹣2），=（4，0，﹣4），=（4，﹣3，0），设平面ACD的一个法向量=（x，y，z），则由，得，令y=4，得=（3，4，3），∵=（），∴A到平面ACD的距离d===．∵在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，∴S△ACD==12，∴三棱锥A﹣MCD的体积V===．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），∴，又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且|AC|=|BD|，∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x2﹣4kx﹣4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，即直线l的斜率为±．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k （x﹣1）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；开放型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），证明F（x）在[1，+∞）上单调递减，可得结论；（Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k 的所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=＞0（x＞0），∴0＜x＜，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=当x＞1时，F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x0＞1满足题意；当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），从而不存在x0＞1满足题意；当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则G′（x）==0，可得x1=＜0，x2=＞1，当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），综上，k的取值X围为（﹣∞，1）．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12【点评】此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．【分析】（1）利用点在直线上，代入方程求出a，利用极坐标与直角坐标的互化，求出直线的直角坐标方程．（2）化简圆的参数方程与直角坐标方程，求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径比较即可得到直线与圆的位置关系．【解答】解：（1）点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．可得： cos（﹣）=a，解得a=．直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=，即：ρcosθ+ρsinθ=2，直线l的直角坐标方程为：x+y﹣2=0．（2）圆C的参数方程为（α为参数），可得圆的直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1．圆心（1，0），半径为：1．因为圆心到直线的距离d==＜1，所以直线与圆相交．【点评】本题考查参数方程与极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）化简函数f（x）的解析式，画出函数的f（x）的图象，数形结合求得不等式f（x）＜4的解集．（2）由条件利用绝对值的意义求得g（a）的最小值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2|x﹣1|+|x﹣3|=，由图可得，不等式f（x）＜4的解集为（，3）．（2）函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到a、1、3对应点的距离之和，可得f（x）的最小值为g（a）=，故g（a）的最小值为2．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2016年高考全国Ⅰ文科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅰ，文1，5分】设集合{}1,3,5,7A =，{}25B x x =≤≤，则A B = （）（A ）{}1,3 （B ）{}3,5 （C ）{}5,7 （D ）{}1,7【答案】B【解析】集合A 和集合B 公共元素有3，5，所以{}3,5A B = ，所以A B 中有2个元素，故选B ．【点评】集合是每年高考中的必考题，一般以基础题形式出现，属得分题．解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，常借助数轴进行运算．（2）【2016年全国Ⅰ，文2，5分】设()()12i i a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（）（A ）3- （B ）2- （C ）2 （D ）3【答案】A【解析】()()()12i i 212i a a a ++=-++，由已知，得212a a -=+，解得3a =-，故选A ．【点评】复数题也是每年高考必考内容，一般以客观题形式出现，属得分题．高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等，复数的几何意义，共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误，特别是2i 1=-中的负号易忽略，所以做复数题要注意运算的准确性．（3）【2016年全国Ⅰ，文3，5分】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）56 【答案】A【解析】将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种，故概率为23，故选A ．【点评】作为客观题形式出现的古典概型试题，一般难度不大，解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏，避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举．（4）【2016年全国Ⅰ，文4，5分】ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（）（A （B （C ）2 （D ）3【答案】D 【解析】由余弦定理得2254223b b =+-⨯⨯⨯，解得3b =（13b =-舍去），故选D ．【点评】本题属于基础题，考查内容单一，根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程，再通过解方程求b ．运算失误是基础题失分的主要原因，请考生切记！（5）【2016年全国Ⅰ，文5，5分】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34 【答案】B【解析】如图，由题意得在椭圆中，OF c =，OB b =，11242OD b b =⨯=，在Rt OFB ∆中，OF OB BF OD ⨯=⨯，且222a b c =+，代入解得22a 4c =，所以椭圆得离心率得1e 2=，故选B ．【点评】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题，求解此类问题的一般步骤是先列出等式，再转化为关于a ，c的齐次方程，方程两边同时除以a 的最高次幂，转化为关于e 的方程，解方程求e ．（6）【2016年全国Ⅰ，文6，5分】若将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（）（A ）2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （B ）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （C ）2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】函数=2sin(2+)6y x π的周期为π，将函数=2sin(2+)6y x π的图像向右平移14个周期即4π个单位，所得函数为=2sin 2()+2sin 2463y x x πππ⎡⎤⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故选D ．【点评】函数图像的平移问题易错点有两个，一是平移方向，注意“左加右减“，二是平移多少个单位是对x 而言的，不用忘记乘以系数．（7）【2016年全国Ⅰ，文7，5分】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（）（A ）17π（B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A 【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的18（如右图所示），故34728383r ππ=，解得2r =， 2271431784S r r πππ∴=⋅+⋅=，故选A ．【点评】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力，所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容，高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇．由三视图还原出原几何体，是解决此类问题的关键．（8）【2016年全国Ⅰ，文8，5分】若0a b >>，01c <<，则（）（A ）log log a b c c < （B ）log log c c a b < （C ）c c a b < （D ）a b c c >【答案】B【解析】由01c <<可知log c y x =是减函数，又0a b >>，所以log log c c a b <．故选B ．本题也可以用特殊值代入验证，故选B ．【点评】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较．（9）【2016年全国Ⅰ，文9，5分】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】解法一（排除法）：2()2x f x x e =- 为偶函数，且2(2)887.40.6f e =-≈-=，故选D ．解法二：2()2xf x x e =- 为偶函数，当0x >时，'()4x f x x e =-，作4y x =与x y e =（如图），故存在实数0(0,1)x ∈，使得'0()0f x =，且0(0,)x x ∈时，'0()0f x <，0(,2)x x ∈时，'0()0f x >，()f x ∴在0(0,)x 上递减，在0(,2)x 上递增，故选D ．【点评】函数中的识图题多次出现在高考试题中，也可以说是高考的热点问题，这类题目一般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的方法一般是利用间接法，即由函数性质排除不符合条件的选项．（10）【2016年全国Ⅰ，文10，5分】执行右面的程序框图，如果输入的0,1,1x y n ===，则输出,x y 的值满足（）（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =【答案】C【解析】第一次循环：0,1,2x y n ===，第二次循环：1,2,32x y n ===，第三次循环： 3,6,32x y n ===，此时满足条件2236x y +≥，循环结束，3,62x y ==，满足 4y x =，故选C ．【点评】程序框图基本是高考每年必考知识点，一般以客观题形式出现，难度不大，求解此类问题一般是把人看作计算机，按照程序逐步列出运行结果．（11）【2016年全国Ⅰ，文11，5分】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，11//CB D α平面，ABCD m α= 平面，11ABB A n α= 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（）（A （B （C （D ）13 【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD m '=，平面11CB D 11ABB A n '=，因为α∥平面11CB D ，所以m m '∥，n n '∥，则,m n 所成的角．延长AD ，过1D 作11D E B C ∥，连接CE ，11B D ，则CE 为m '，同理11B F 为n '，而BD CE ∥，111B F A B ∥，则,m n ''所成的角即为1A B ，BD所成的角即为60︒，故,m n 故选A ．【点评】求解本题的关键是作出异面直线所成角，求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形，解形求角、得钝求补．（12）【2016年全国Ⅰ，文12，5分】若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（）（A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【解析】()21cos2cos 03f x x a x '=-+≥对x ∈R 恒成立，故()2212cos 1cos 03x a x --+≥，245cos cos 033a x x -+≥恒成立，即245033at t -+≥对[]1,1t ∈-恒成立，构造()24533f t at t =-+，开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()11031103f t f t ⎧-=-≥⎪⎪⎨⎪-=+≥⎪⎩，解得1133t -≤≤，故选C ．【点评】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查，有所创新，求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立，再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题，注意与三角函数值域或最值有关的问题，要注意弦函数的有界性．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2016年全国Ⅰ，文13，5分】设向量(),1x x =+a ，()1,2=b ，且⊥a b ，则x = ．【答案】23-【解析】由题意，20,2(1)0,3x x x ⋅=++=∴=-a b ．【点评】全国卷中向量大多以客观题形式出现，属于基础题．解决此类问题既要准确记忆公式，又要注意运算的准确性．本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ，则1122x y x y ⋅=+a b ．（14）【2016年全国Ⅰ，文14，5分】已知θ是第四象限角，且3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．【答案】43- 【解析】由题意sin sin 442θθπ⎡ππ⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ，所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z ，从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-．【点评】三角函数求值，若涉及到开方运算，要注意根式前正负号的取舍，同时要注意角的灵活变换．（15）【2016年全国Ⅰ，文15，5分】设直线2y x a =+与圆22220C x y ay +--=：相交于A ，B 两点，若AB =，则圆C 的面积为．【答案】4π【解析】有题意直线即为20x y a -+=，圆的标准方程为()2222x y a a +-=+，所以圆心到直线的距离d =，所以AB ==2224a r +==，所以244S r ππ==．【点评】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质，如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在求圆的方程时常常用到．（16）【2016年全国Ⅰ，文16，5分】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．【答案】216000【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，那么 1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩①目标函数2100900z x y =+．①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域将2100900z x y =+变形得73900z y x =-+，平行直线73y x =-，当直线73900z y x =-+经过点M 时，z取得最大值．解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，得M 的坐标()60,100．所以当60x =，100y =时，max 210060900100216000z =⨯+⨯=．故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元．【点评】线性规划也是高考中常考的知识点，一般以客观题形式出现，基本题型是给出约束条件求目标函数的最值，常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离，解决此类问题常利用数形结合．本题运算量较大，失分的一个主要原因是运算失误．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2016年全国Ⅰ，文17，12分】已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和．解：（1）由已知1221a b b b +=，11b =，213b =，得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-．（2）由（1）和11n n n n a b b nb +++= ，得13n n b b +=，因此{}n b 是首项为1，公比为13的等比数列．记{}n b 的前n 项和为n S ，则111()313122313nn n S --==-⨯-．【点评】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组），因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法．（18）【2016年全国Ⅰ，文18，12分】如图，在已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G ．（1）证明G 是AB 的中点；（2）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．解：（1）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得， PA PB =，从而G 是AB 的中点．（2）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影．理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又//EF PB ，所以EF PC ⊥，因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影．连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心．由（1）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3CD CG =由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以//DE PC ，因此21,.33PE PG DE PC ==由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,DE PE == 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.EF PF ==所以四面体PDEF 的体积114222323V =⨯⨯⨯⨯=．【点评】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主．（19）【2016年全国Ⅰ，文19，12分】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数．（1）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（2）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求的n 的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买PA B D C GE19个还是20个易损零件？解：（1）当19x ≤时，3800y =；当19x >时，()3800500195005700y x x =+-=-，所以y 与x 的函数解析式为()3800,195005700,19x y x x x ≤⎧=∈⎨->⎩Ν．（2）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7，故n 的最小值为19．（3）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(400090450010)4050100⨯+⨯=．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．【点评】本题把统计与函数结合在一起进行考查，有综合性但难度不大，求解关键是读懂题意，所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题．（20）【2016年全国Ⅰ，文20，12分】在直角坐标系xOy 中，直线():0l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OH ON；（2）除H 以外，直线M H 与C 是否有其它公共点？说明理由．解：（1）由已知得()0,M t ，2,2t P t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭．又N 为M 关于点P 的对称点，故2,t N t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，ON 的方程为2y px =，整理得2220px t x -=，解得10x =，222t x p =，因此22,2t H t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以N 为OH 的中点，即2OH ON =．（2）直线M H 与C 除H 以外没有其它公共点．理由如下：直线M H 的方程为2p y t x t-=，即2()t x y t p =-．代入22y px =得22440y ty t -+=，解得122y y t ==，即直线M H 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线M H 与C 没有其它公共点．【点评】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容，主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题．其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用．（21）【2016年全国Ⅰ，文21，12分】已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．解：（1）()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+．(i) 设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >．所以在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增．(ii) 设0a <，由()'0f x =得1x =或()ln 2x a =-． ①若2e a =-，则()()()'1xf x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增． ②若2e a >-，则()ln 21a -<，故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞ 时，()'0f x >；当()()ln 2,1x a ∈-时， ()'0f x <，所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln 2,1a -单调递减． ③若2e a <-，则()ln 21a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞ 时，()'0f x >，当()()1,ln 2x a ∈-时， ()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减．（2）(i) 设0a >，则由（1）知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增．又()1f e =-，()2f a =，取b 满足0b <且ln 22b a <，则()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=-> ⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点． (ii)设0a =，则()()2x f x x e =-，所以()f x 有一个零点．(iii)设0a <，若2e a ≥-，则由（1）知，()f x 在()1,+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，故()f x 不存在两个零点；若2e a <-，则由（1）知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递增，在()()ln 2,a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，故()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为()0,+∞．【点评】本题第一问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围，由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2016年全国Ⅰ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，OAB ∆是等腰三角形，120AOB ∠=︒．以O 为圆心，12OA 为半径作圆．（1）证明：直线AB 与O 相切；（2）点C ，D 在⊙O 上，且A B C D ，，，四点共圆，证明：//AB CD ．解：（1）设E 是AB 的中点，连接OE ，因为OA OB =，120AOB ∠=︒，所以OE AB ⊥，60AOE ∠=︒．在Rt AOE ∆中，12OE AO =，即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径，所以直线AB 与O e 相切．（2）因为2OA OD =，所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又'O 在线段AB 的垂直平分线上，所以'OO AB ⊥．同理可证，'OO CD ⊥．所以//AB CD ．【点评】近几年几何证明题多以圆为载体命制，在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”，熟悉相关定理与性质．该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理．（23）【2016年全国Ⅰ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=．（1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．解：（1）cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数），∴()2221x y a +-= ① ∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为 222210x y y a +-+-=∵222sin x y y ρρθ+==，，∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程．（2）24cos C ρθ=：，两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+= ，，224x y x ∴+=，即()2224x y -+= ② 3C ：化为普通方程为2y x =，由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①-②得：24210x y a -+-=，即为3C ，∴210a -=，∴1a =．【点评】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想，解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用．（24）【2016年全国Ⅰ，文24】（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数()123f x x x =+--．（1）在答题卡题图中画出()y f x =的图像；O D C B A E O'D C O BA（2）求不等式()1f x >的解集．解：（1）4,13()12332,1234,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=--≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，如图所示：（2）①当1x <-时，()41f x x =->，解得3x <或5x >，1x ∴<-； ②当312x -≤<时，()321f x x =->，解得13x <或1x >， 113x ∴-≤<或312x <<； ③当32x ≥时，()41f x x =-+>，解得3x <或5x >，332x ∴≤<或5x >．综上可知，不等式()1f x >的解集为()()1,1,35,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ．【点评】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题，主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等．解决此类问题通常转换为分段函数求解，注意不等式的解集一定要写出集合形式．。

2016届东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(文科)解析版

2016年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知集合A={x∈R|1≤x≤5}，B={x∈R|x＜2}，则A∩B 为（）A．{x∈R|1≤x＜2}B．{x∈R|x＜1}C．{x∈R|2＜x≤5}D．{x∈R|2≤x≤5} 2．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知i是虚数单位，若1+i=z（1﹣i），则z=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i3．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知数列{a n}为等差数列，a2+a3=1，a10+a11=9，则a5+a6=（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）（2016•辽宁校级二模）一个算法的流程图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣36．（5分）（2016•辽宁校级二模）函数f（x）=Acos（ωx+φ）在区间[0，π]上的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=2cos（2x+）B．f（x）=﹣cos（x﹣）C．f（x）=﹣cos（2x﹣）D．f（x）=cos（2x﹣）7．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的个数是（）①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥n，n⊥α，则m∥α；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知命题p：若奇函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f （x），则f（6）=0；命题q：不等式log2x﹣1＞﹣1的解集为{x|x＜2}，则下列结论错误的是（）A．p∧q真B．p∨q真C．（￢p）∧q为假D．（￢p）∧（￢q）为真9．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4+B．4+3π C．4+πD．4++10．（5分）（2016•辽宁校级二模）若向量=（1，﹣1），|=||，•=﹣1，则向量与﹣夹角为（）A．B．C． D．11．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知圆心为C1的圆（x+2）2+y2=1，圆心为C2的圆（x ﹣4）2+y2=4，过动点P向圆C1和圆C2引切线，切点分别为M，N，若|PM|=2|PN|，则△PC1C2面积最大值为（）A．3B．3C．3D．1512．（5分）（2016•辽宁校级二模）设函数f′（x）是函数f（x）（x≠0）的导函数f′（x）＜，函数y=f（x）（x≠0）的零点为1和﹣2，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）（2016•辽宁校级二模）函数f（x）=的定义域是．14．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知实数x，y满足，则目标函数z=的最大值为．15．（5分）（2016•辽宁校级二模）设正三角形ABC的外接圆内随机取一点，则此点落在正三角形ABC内的概率为．16．（5分）（2016•辽宁校级二模）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，若S n+1=S n，则数列{}的前2016项和为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2016•辽宁校级二模）已知向量=（sin，1），=（cos，），f（x）=•．（I）求f（x）的最大值，并求此时x的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足f（B）=，a=2，c=3，求sinA的值．18．（12分）（2016•辽宁校级二模）在甲、乙两个训练队的体能测试中，按照运动员的测试关系；（Ⅱ）采用分层抽样的方法在两个训练队成绩优秀的120名运动员中抽取名运动员组成集训队．现从这6名运动员中任取2名运动员参加比赛，求这2名运动员分别来自于甲、乙两个不同训练队的概率．（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）（2016•辽宁校级二模）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，各棱长均为2，D，E，F，G分别是棱AC，AA1，CC1，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FG∥平面BDE；（Ⅱ）求三棱锥B1﹣BDE的体积．20．（12分）（2016•辽宁校级二模）已知抛物线C：y=x2，直线l：y=x﹣1，设P为直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B（Ⅰ）当点P在y轴上时，求线段AB的长；（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点．21．（12分）（2016•辽宁校级二模）已知函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x）（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•辽宁校级二模）如图，AB为⊙O的直径，∠ABD=90°，线段AD交半圆于点C，过点C作半圆切线与线段BD交于点M，与线段BA延长线交于点F．（Ⅰ）求证：M为BD的中点；（Ⅱ）已知AB=4，AC=，求AF的长．五、[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•辽宁校级二模）直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程ρ=﹣4cosθ，圆C的圆心到直线l的距离为．（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）已知P（1，0），若直线l于圆C交于A、B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]．24．（2016•辽宁校级二模）已知a，b，c为正数，且a+b+c=1（Ⅰ）求++的最小值；（Ⅱ）求证：++≥++．2016年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2016年上海市高考数学试卷（文科）（含解析版）

2016年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.1.（4分）设xGR,则不等式x-3<1的解集为.2.（4分）设z=」+Ni,其中i为虚数单位，则z的虚部等于.i3.（4分）已知平行直线li：2x+y-1=0,l2：2x+y+l=0,则I”E的距离.4.（4分）某次体检，5位同学的身高（单位:米）分别为1.72, 1.78, 1.80, 1.69,1.76.则这组数据的中位数是（米）.5.（4分）若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5,则常数a=.6.（4分）已知点（3,9）在函数f（x）=l+a x的图象上，贝J f（x）的反函数厂】（X）=.7.（4分）若x,y满足<y》0,则x-2y的最大值为・、y》x+l8.（4分）方程3sinx=l+cos2x在区间[0,2n]±的解为.9.（4分）在（扳-Z）口的二项式中，所有的二项式系数之和为256,则常数项等于•10.（4分）已知AABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.11.（4分）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.12.（4分）如图，已知点O（0,0）,A（1,0）,B（0,-1）,P是曲线y=^1_x2上一个动点，则&•商的取值范围是13.（4分）设a>0,b>0.若关于x,y的方程组ax+y=lx+by=l无解，则a+b的取值范围是14.(4分)无穷数列｛an｝由k个不同的数组成，Sn为｛an｝的前n项和，若对任意nGN*,S n e｛2,3),则k的最大值为.二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一脸得零分).15.(5分)设aGR,则"3>1"是“a?〉]”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C,充要条件 D.既非充分也非必要条件16.(5分)如图，在正方体ABCD-AiBiCiDi中，E、F分别为BC、BBi的中点,则下列直线中与直线EF相交的是()B,直线AiBi C,直线Ad D,直线BiCi17.(5分)设ac R,be[0,2n),若对任意实数x都有sin(3x-―)=sin(ax+b),3则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为()A.1B.2C.3D.418.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)+g(X)、f(x)+h(X)、g(x)+h(x)均是增函数，则f(X)、g(X)、h(x)均是增函数；②若f(x)+g(x)、f(x)+h(X)、g(x)+h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是()A.①和②均为真命题C.①为真命题，②为假命题B.①和②均为假命题D.①为假命题，②为真命题三、简答题：本大题共5题，满分74分19.（12分）将边长为1的正方形AAiOiO（及其内部）绕001旋转一周形成圆柱，如图，亦长为匹，云史长为2L,其中Bi与C在平面AA10Q的同侧.6113（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线0出1与0C所成的角的大小.20.（14分）有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分别为两个区域&和S2,其中&中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内&和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点。