1.2.2函数的和、差、积、商的导数
函数的求导法则
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
导数的基本公式和四则运算法则
导数的基本公式和四则运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的基本公式和四则运算法则是学习导数的基础，也是解决导数相关问题的重要工具。
首先，我们来看导数的基本公式。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.这个公式描述了函数在点x处的变化率，也就是函数曲线在该点的切线斜率。
通过这个公式，我们可以求得函数在任意点的导数值，从而描绘出函数的变化规律。
接下来，我们来看四则运算法则在导数中的应用。
四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
在导数的计算中，我们可以利用这些法则简化复杂函数的导数计算。
对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积和商的导数计算规则如下：1. 和的导数，(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
2. 差的导数，(f-g)'(x) = f'(x) g'(x)。
3. 积的导数，(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
4. 商的导数，(f/g)'(x) = (f'(x)g(x) f(x)g'(x)) / g(x)^2。
利用四则运算法则，我们可以将复杂函数的导数计算转化为简单函数的导数计算，从而更方便地求得函数的导数值。
在实际问题中，导数的基本公式和四则运算法则是非常有用的工具。
它们可以帮助我们分析函数的变化规律，解决最优化问题，以及研究曲线的性质。
因此，掌握导数的基本公式和四则运算法则对于理解微积分的重要性不言而喻。
希望通过本文的介绍，读者对导数的基本概念有了更清晰的认识，也能够更加灵活地运用导数的基本公式和四则运算法则解决实际问题。
高二数学苏教版2019选择性必修第一册教案：函数的和、差、积、商的导数
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数教学目标：1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数；3．能够综合运用各种法则求函数的导数．教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则的应用．教学难点：函数的和、差、积、商的求导法则的推导．教学过程：一、情景设置1．常见函数的导数公式：2．求下列函数的导数：23x y ＝； x y 2＝； x y 2log ＝．3．由定义求导数的基本步骤．二、学生活动1．探究1：求x x y ＋＝2的导数．2．探究2：已知)()(x g x f ''，，怎样求[]')()(x g x f ＋呢？三、数学建构1．函数的和差积商的导数求导法则：)()(])()([x g x f x g x f '±''±＝；)(])([x f C x Cf ''＝（C 为常数）；)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '''＋＝；)()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f '''－＝（g (x )≠0）．说明：有了函数的和、差、积、商的求导法则，我们就可以直接运用基本初等函数的求导公式求出较为复杂的函数的导数．四、数学运用例1 求下列函数的导数：（1）x x x f sin )(2＋＝； （2）2623)(23＋－－＝x x x x g ． 解：（1）x x x x x x x f cos 2)(sin )()sin ()(22＋＝＋＝＋＝''''．（2）633)2623()(223－－＝＋－－＝x x x x x x g ''． 例2 求下列函数的导数：（1）x x x h sin )(＝； （2）x e x x f 2)(＝；（3）tt t S 1)(2＋＝； （4）x x f tan )(＝． 解：（1）x x x x x x x x x x h cos sin )(sin sin )sin ()(＋＝＋＝＝''''．（2）x x x x x e x xe e x e x e x x f 22222)()()()(＋＝＋＝＝''''．（3）222222222112)1()1()1()(tt t t t t t t t t t t t S －＝－－＝＋－＋＝＋＝''''． （4）xx x x x x x x x f 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin (n ta )('''''－＝＝＝ xx x x x x x x x 22222cos 1cos sin cos cos )sin (sin cos cos ＝＋＝－－＝． 五、小结函数的和差积商的导数求导法则：)()(])()([x g x f x g x f '±''±＝；)(])([x f C x Cf ''＝（C 为常数）；)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '''＋＝；)()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f '''－＝（g (x )≠0）．。
2 函数的求导法则
2 x cos x
例5 求 y tan x 的导数 .
解
sin x y (tan x ) ( ) cos x
(sin x ) cos x sin x(cos x ) cos 2 x
1 cos 2 x sin 2 x sec 2 x cos 2 x cos 2 x
u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) lim lim v ( x x ) u( x ) lim x 0 x 0 x 0 x x
u' ( x)v( x) u( x)v ' ( x)
lim v ( x x ) v ( x ) 是因为 v ' ( x ) 其中， x 0
1 (ar c c ot x ) ; 2 1 x
例9 求反正切函数 y arctan x 的导数。 解 x tan y 时y arctan x 的反函数，而 x tan y 在 I y (
, ) 内单调增加、可导，且 2 2
(tan y)' sec2 y 0
dx
例13 设y ln cos(e x ), 求 dy 解
y ln cos(e x )可以看作由y ln u, u cos , e x复合而成的，因为
dy dy du d 1 ( sin ).e x e x tan(e x ) dx du d dx u
n i 1
f1 ( x ) f 2 ( x ) f n( x ) f i( x ) f k ( x );
i 1 k 1 k i n n
例1 解
求 y 2x 5x 3x 7 的导数.
高中数学同步教学课件 函数的和差积商求导法则
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
∵f(x)＝14x2＋sinπ2＋x＝14x2＋cos x， ∴f′(x)＝12x－sin x. 易知 f′(x)＝12x－sin x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B，D. 由 f′π6＝1π2－12<0，排除 C，故选 A.
A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C
项中，sixn2
x′＝sin
x′x2－sin x22
xx2′ ，故错误；
D项中，(cos xsin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x·(sin x)′，故正确.
四
随堂演练
1.已知 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值为
19
16
A. 3
B. 3
13 C. 3
√D.130
∵f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝4， ∴a＝130.
1234
2.设函数y＝－2exsin x，则y′等于
A.－2excos x
B.－2exsin x
推广式：(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ ＝f′1 (x)±f′2 (x)±…±f′n (x). 注意点：
对
于
(logax)′
＝
1 xln
a
，
我
们可
以
先
换
底
再
求
导：
(logax)′
＝
ln ln
ax ′
＝
1 ln a·(ln
x)′＝xln1
二节基本的导数公式与运算法则-精选
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1 .
x
例1
假设某国家在20年期间的年通货膨胀 率为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单
位：年）有函数关系 pt p0 1 5%t ，其
中 p0 为t=0时的物价.假定某商品的 p0 1
那么在第10个年头，这种商品的价格上涨 的速度的大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数的导数公式表，有
3. 若 fx sin x,则 f ' x cos x; 4. 若 fx cos x,则f ' x sin x; 5. 若 fx ax,则f ' x ax lna;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若fx loga x,则f ' x
1 ;
x ln a
8.
若fx ln x,则f 'x
名词解释
一般地，对于两个函数y=f(u)和 u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做 y=f(g(x)).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
yx′= yu′ ux′.
即y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积.
关于t的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)= 1.05t
乘积得到导数.下面的“导数运算法则”
可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑
除的求导问题.
根据导数的定义，可以推出可导 函数四则运算的求导法则
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
1.和(或差)的导数
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两 个函数的导数的和(或差),即
第二节函数的求导法则-精品
x
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x
2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 u u( x), v v( x)都可导，则
则复合 yf函 {[(数 x)]的 } 导数为
dydydu dv. dx du dv dx
例8 求函y数 lnsix n的导 . 数
解 yln u,usix n .
dy dy du
1 cos
x
cos
x
dx du dx u
sin x
coxt
例9
2x
y
s
in 1
lim [
]
x 0
v( x x )v( x )x
[u ( x x ) u ( x )]v ( x ) u ( x )[ v ( x x ) v ( x )]
lim
x 0
v( x x )v( x )x
u(x x) u(x) v(x) u(x) v(x x) v(x)
lim[u(x x) u(x) v(x x) u(x) v(x x) v(x)]
x0
x
x
lim u(x x) u(x) lim v(x x)
x0
x
x0
v(x x) v(x)
u(x) lim
]
x0
x
u(x)v(x) u(x)v(x)
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) ax ,则f '(x) ax ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex;
公式7.若f
(2)求 y＝1x＋x22＋x33的导数．
[解析] (1)①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′ ＝2x(x2－1)＋x2·2x＝4x3－2x. (2)y′＝1x＋x22＋x33′＝1x＋2x－2＋3x－3′ ＝－x12－4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两
个函数的导数的和(差),即:
[f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
应用1: 求下列函数的导数
(1)y=yx'3+s3inxx2 cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x2 2
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函
练一练：
（1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos(为常数）
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
A.(log
x a
)'
1 x
B.(log
1.2.2导数公式及其运算法则5
佳木斯十一中高二下学期理科学案第一章导数及其应用 编号：1-5 制作人：王贵春 审核人：康慧凤 班级： 姓名：——————————————————————————————————————— §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 学习目标：1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数.3.复合函数的分解，求复合函数的导数.学习重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则学习难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 一、预习与反馈（预习教材P 14~ P 19，找出疑惑之处）复习1：常见函数的导数公式：(1)'____C =(C 为常数)；(2)()'________n x =,n ∈N +；(3)(sin )'_______x =； (4)(cos )'_______x =; (5)()'________x e =;(6)()'_________x a =;(7)(ln )'______x =;(8) e xx a a log 1)'(log = 复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数（1）6y x =（2）y =（3）21y x =（4）y =新知1:1.可导函数的四则运算法则法则1 '[()()]____________.u x v x ±=(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2 [()()]____________u x v x '=. (口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号)法则3()[]_______________(()0)()u x v x v x '=≠(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于： ） 例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数3123y x x x=-++导数.例2：（1）2log y x =；（2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-；（4）3cos 4sin y x x =-例3求下列函数的导数：（1）32log y x x =+；（2）n x y x e =（3）y=2e -x新知2.复合函数：1.定义：一般地，对于两个函数y =f (u )和()u g x =，如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数，那么这个函数为函数和的复合函数，记住2.复合函数的求导法则复合函数(())y f g x =的导数和函数y =f (u )，()u g x =的导数间的关系式为，即y 对x 的导数等于的乘积。
第一章1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标] 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.知识点一 导数运算法则思考 (1)函数g (x )＝c ·f (x )(c 为常数)的导数是什么？(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)可导吗？反之如何？(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？答案 (1)g ′(x )＝cf ′(x ).(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)必可导.若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x)＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导.(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况，即[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n (x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x ).知识点二 复合函数的导数思考 设函数y ＝f (u )，u ＝g (v )，v ＝φ(x )，如何求函数y ＝f (g (φ(x )))的导数？ 答案 y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x .题型一 导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋23x 3；(2)y ＝lg x －e x ；(3)y ＝1x·cos x ；(4)y ＝x －sin x 2·cos x 2. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋23x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫23x 3′ ＝x 4＋2x 2.(2)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (3)方法一 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′cos x ＋1x (cos x )′ ＝12()x -'cos x －1x sin x ＝－1232x -cos x －1xsin x ＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x 2x x －1xsin x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x. 方法二 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′x －cos x (x )′(x )2＝121sin cos 2x x x x--⋅＝－x sin x ＋cos x2x x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x . (4)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝1－12cos x . 反思与感悟 在对较复杂函数求导时，应利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化简变形，如：把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂等，化简后再求导，这样可以减少计算量.跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1. 解 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin xcos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2 x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2 xcos 2 x＝sin x cos x ＋xcos 2 x .(3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11.方法二 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法一 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 方法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′ ＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 题型二 复合函数求导法则的应用例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋cos 2x )3；(2)y ＝sin 2 1x； (3)y ＝11－2x2；(4)y ＝(2x 2－3)1＋x 2. 解 (1)y ＝(1＋cos 2x )3＝(2cos 2x )3＝8cos 6xy ′＝48cos 5x ·(cos x )′＝48cos 5x ·(－sin x )，＝－48sin x cos 5x .(2)令y ＝u 2，u ＝sin 1x ，再令u ＝sin v ，v ＝1x， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝(u 2)′·(sin v )′·⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝2u ·cos v ·0－1x 2＝2sin 1x ·cos 1x ·－1x 2＝－1x 2·sin 2x. (3)设y ＝12u -，u ＝1－2x 2，则y ′＝12()u -' (1－2x 2)′＝321()2u --·(－4x )＝3221(12)2x --- (－4x ) ＝3222(12)x x --.(4)令y ＝u v ，u ＝2x 2－3，v ＝1＋x 2， 令v ＝w ，w ＝1＋x 2.v ′x ＝v ′w ·w ′x ＝(w )′(1＋x 2)′＝12122x -⋅w＝2x21＋x 2＝x 1＋x 2，∴y ′＝(u v )′＝u ′v ＋u v ′＝(2x 2－3)′·1＋x 2＋(2x 2－3)·x 1＋x 2 ＝4x 1＋x 2＋2x 3－3x1＋x 2＝6x 3＋x 1＋x 2.反思与感悟 求复合函数的导数的步骤跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)5；(2)y ＝1(1－3x )4； (3)y ＝31－3x ；(4)y ＝x ·2x －1；(5)y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)；(6)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解 (1)设u ＝2x ＋1，则y ＝u 5，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′·(2x ＋1)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x ＋1)4.(2)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5. (3)设u ＝1－3x ，则y ＝13u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝13·23u -·(1－3x )′＝13·13(1－3x )2·(－3)＝－13(1－3x )2. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.设t ＝2x －1，u ＝2x －1，则t ＝12u ，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·12u -·(2x －1)′ ＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1.(5)设u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ＝lg u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ln 10×(2x 2＋3x ＋1)′ ＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln 10. (6)设u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，v ＝2x ＋π3， 则y ＝u 2，u ＝sin v ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. 题型三 导数几何意义的应用例3 (1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程是 .(2)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 .答案 (1)4x －y －3＝0 (2)1解析 (1)利用求导法则与求导公式可得y ′＝(3ln x ＋1)＋x ×3x＝3ln x ＋4. ∴k 切＝y ′|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.(2)由f (x )＝ln x ＋k e x， 得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞). 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.反思与感悟 涉及导数几何意义的问题，可根据导数公式和运算法则，快速求得函数的导数，代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率，这样比利用导数定义要快捷得多. 跟踪训练3 (1)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0,0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为 .(2)若函数f (x )＝e x x在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，则a 的值为 . 答案 (1)2 (2)12解析 (1)曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a ，又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0，∴3×02＋a ＝2，故a ＝2.(2)∵f (x )＝e x x ，∴f (a )＝e a a. 又∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝e x ·x －e x x 2，∴f ′(a )＝e a ·a －e a a 2.由题意知f (a )＋f ′(a )＝0，∴e a a ＋e a ·a －e a a 2＝0，∴2a －1＝0，∴a ＝12.因对复合函数的层次划分不清导致求导时出现错误例4 求函数y ＝sin n x cos nx 的导数.错解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )＝n sin n －1x ·cos nx －sin n x sin nx .错因分析 在第二步中，忽略了对中间变量sin x 和nx 进行求导.正解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·(sin x )′·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )·(nx )′＝n sin n －1x ·cos x ·cos nx －sin n x ·(sin nx )·n＝n sin n －1x (cos x cos nx －sin x sin nx )＝n sin n －1 x cos [(n ＋1)x ].防范措施 在求解复合函数的导数时，不能机械地套用公式，应理清层次，逐层正确使用求导法则求解.1.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )A.193B.103C.133D.163答案 B解析 因f ′(x )＝3ax 2＋6x ，且f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103，故选B. 2.函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C.e x －e －x D.e x ＋e －x 答案 A解析 y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )，故选A. 3.f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋xB.－11＋xC.1(1＋x )2D.－1(1＋x )2答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ＝11x＋1，得f (x )＝1x ＋1， 从而f ′(x )＝－1(1＋x )2，故选D. 4.已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)的值为 .答案 8解析 f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，∴f ′(－x )＝a cos (－x )＋3b (－x )2＝f ′(x ).∴f ′(x )为偶函数.∴f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝0.f (2 014)＋f (－2 014)＝a sin 2 014＋b ·2 0143＋4＋a sin(－2 014)＋b ·(－2 014)3＋4＝8. ∴f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝8.5.已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ . 答案 8解析 因y ＝x ＋ln x ，故y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时，曲线变为直线y ＝2x ＋1，与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式，对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、选择题1.曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A.2e B.eC.2D.1答案 C 解析 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.2.当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0等于( ) A.aB.±aC.－aD.a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3.设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A.2B.12C.－12D.－2 答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4.已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A.2B.－2C.94D.－94答案 D解析 ∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x. 令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，即2f ′(2)＝－92，∴f ′(2)＝－94，故选D. 5.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.[0，π4) B.[π4，π2) C.(π2，3π4] D.[3π4，π) 答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π). 6.设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，则a ＋b 的值为( )A.－1B.1C.0D.2答案 A解析 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1， ∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32， ∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32， ∴a ＝0，故a ＋b ＝－1，选A.二、填空题7.下列各函数的导数：①(x )′＝12x －12；②(a x )′＝a x ln x ；③(sin 2x )′＝cos 2x ；④(x x ＋1)′＝1(x ＋1)2.其中正确的有 . 答案 ①④解析 (x )′＝12()x '＝1212x -，①正确；(a x )′＝a x ln a ，②错误；(sin 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＝2cos 2x ，③错误；(xx ＋1)′＝x ′·(x ＋1)－x ·(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－x (x ＋1)2＝1(x ＋1)2，④正确. 8.若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是 . 答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ，∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2，∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2).9.曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为 .答案 5x ＋y －3＝0解析 因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.10.已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝ . 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.三、解答题11.求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝12(12)x --可看作y ＝12u-，u ＝1－2x 的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)32u -·(－2)＝32(12)x --＝1(1－2x )1－2x. (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3) ＝－2cos(2x －π3). (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.12.已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程.解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.13.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x2，∴f ′(2)＝74，② 由①②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0). 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
函数的求导法则
类似可得 ( c s c x ) c s c x c o t x
§2.2
函数的求导法则
s i n x c o sx ) 例5 求 f(x 在x 处的导数. s i n x c o sx 4 s i nc x o s x 2 c o s x 解 f ( x ) 1 s i nc x o s x s i nc x o s x o sx c f(x ) 2 s i n x c o s x ( c o s x ) ( s i nc x o s x )c o s x ( s i nc x o s x ) 2 2 ( s i nc x o s x ) s i n x ( s i nc x o s x )c o s x ( c o s x s i n x ) 2 2 ( s i nc x o s x ) 2 f ( ) 1. x 2 代入得 将 (sinx cos x) 4 4
推论
( 1 )[ C u () x ] Cu( x) ( C为常数 )
( 2 ) ( u u u ) u u u u u u u u u 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 ln x ( 3 )( l o g x ) a l n a x ln a .
u x ) v ( x ) ] 证 [( [( u x h ) v ( x h ) ] [( u x ) v ( x ) ] l i m h 0 h [ u ( x hu ) () x ][ v ( x hv ) () x ] l i m h 0 h h u ( x h ) u ( x ) v ( x h ) v ( x ) l i m l i m h 0 h 0 h h u () x vx () .
倒数的运算法则
例8 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 . 解 令 y u10 , u x 2 1,
第 二 章 导 数 与 微 分
dy dy du 10u9 ( 2 x ) 10( x 2 1)9 2 x dx du dx 20 x( x 2 1) 9 .
例2 解
i 1
求 y x 3e x 的导数 .
3 x 3 x y ( x ) e x (e )
3x e x e
2 x
3 x
-3-
第二节
导数的运算法则
例3 求 y tan x 的导数 . 解
第 二 章 导 数 与 微 分
sin x (sin x ) cos x sin x(cos x ) y (tan x ) ( ) cos x cos 2 x cos 2 x sin2 x 1 sec2 x cos 2 x cos 2 x
1 (thx ) 2 ch x
- 13 -
例14 求幂函数 y x ( x 0, 为任意常数) 的导数 y.
第 二 章 导 数 与 微 分
ln x y x e 解 ln x ( ln x ) x (ln x ) x 1 x 1 y e x 可以推出, 对所有的 x 只要 x 可导, 都有
-1-
第二节
导数的运算法则
证 (1)、(2)略,仅对(3)进行证明
u( x ) 设 f ( x) , (v ( x ) 0), v( x )
u( x h) u( x ) f ( x h) f ( x ) v ( x h) v ( x ) f ( x ) lim lim h 0 h 0 h h u( x h)v ( x ) u( x )v ( x h) lim h 0 v ( x h)v ( x )h [u( x h) u( x )]v ( x ) u( x )[v ( x h) v ( x )] lim h 0 v ( x h)v ( x )h u( x h) u( x ) v ( x h) v ( x ) v ( x ) u( x ) h h lim h 0 v ( x h)v ( x )
2.2导数的运算法则
注
x 1 2 1 法二 y x 1 x 1 2 1 2 y (1) ( ) 2 2 x 1 (1 x ) ( x 1) 2
在进行求导运算中, 尽量先化简再求导, 这样使求导过程简单, 且也能提高结果的准 确性.
8
函数的求导法则
二、复合函数的求导法则
例 求 y x 3 2 x 2 sin x 的导数 . 解
y 3 x 2 4 x cos x.
4
函数的求导法则
例 求 y tan x 的导数 .
sin x 解 y (tan x ) cos x
uv uv u 2 v v
9
函数的求导法则
推广 设 y f (u), u (v ), v ( x ),
则复合函数y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv × × . dx du dv dx 例 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y lnu, u sin x .
1
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函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 并且
如果函数u( x ), v( x )在点 x处可导,
在点 x处也可导,
则它们的和、差、积、商
(1) [ u( x ) v( x )] u( x ) v( x ); , R.
即 (sec x ) sec x tan x 同理可得 (csc x ) csc x cot x
7
函数的求导法则
x 1 求 y 的导数 . x 1
v ( x ) 1 2 v( x ) v ( x)
高中数学第三章导数及其应用3.2.2函数的和、差、积、商的导数2111数学
探究 活动 (tànjiū)
第五页，共二十一页。
思考
(sīkǎo)
已知f (x)，g(x)，怎样求
f (x)g(x)呢？
猜想
(cāixiǎng)
f(x ) g (x )f(x ) g (x )
第六页，共二十一页。
证明(zhèngmíng)
f (x) g (x) f (x) g(x).
第二十页，共二十一页。
内容(nèiróng)总结
1.2.2 函数的和、差、积、商的导数。1.2.2 函数的和、差、积、商的导数。（1）C ＝0（C为常数
(chángshù)）。（2）(xa) ＝axa－1（a为常数(chángshù)）。（3）(ax) ＝αxlna（a＞0，且a≠1）。（4）
No (logax) ＝ logae＝ （a＞0，且a≠1）。2．求下列函数的导数．。法则3
问题3 已知f (x) f ( ) sin x cos x，
2
求f
(
).
4
第十八页，共二十一页。
回顾(huígù) 小结 函数(hánshù)的和差积商的导数求导法则．
第十九页，共二十一页。
课外作业
1.课本(kèběn)习题
2.补充：已知点P(1， 1)，点Q(2， 4) 是曲线yx2上两点，求与直线PQ 平行的曲线yx2的切线方程.
练习
(liànxí)
课本(kèběn)P22练习1～5．
小结(xiǎojié)：函数的四则运算的求导法则．
第十五页，共二十一页。
拓展(tuò zhǎn) 研究
问题 1 (wèntí)
求下列函数的导数：
(1) y x 1； x 1
(2) y sin 4 x cos4 x ；
导数的运算公式和法则_OK
(1) y sin 2x
解 10 逐层分解） 令y sinu, u 2x, 则
20 链式求导） dy dy du cos u 2 dx du dx
30 回代）
dy 2cos 2x dx
完了吗？
20
(2) y (2x 1)3 解 令y u3, u 2x＋1, 则 dy dy du 3u2 2 6（2x 1)2
层次（包括四则,复合）, 再按照相应法则求解
23
练习
求下列函数的导数
sin 1
1) y e x 2) y arcsin
x 3) y arctan 1 4) y e2x tan 3 x
x
5) y x2 a2 arccos a（其中x 0,a 0） x
答案：
1) y
sin 1
ex
(sin 1 )
例2 求函数y x sin x sin 的导数
2
解
y
x
sin
x
sin
2
1 sin x x cos x 2x
6
例3 求函数y sin 2x的导数 cos 2x ? 解 y' (2sin xcos x)'
2[(sin x)'cos x sin x(cos x)']
2(cos2 x sin2 x) 2cos 2x
sin 1
ex
cos 1 ( 1 )
sin 1
ex
cos 1
(
1
)
x
xx
x x2
2) y
1 ( 1 ( x)2
x)
1
sin 1
ex
cos
1
x2
x
1 1
高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.1 常见函数的导数 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数优
1.2 导数的运算常见函数的导数 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.f(x)=0的导数是（ ）A.0B.1C.不存在D.不确定答案：A解析：f(x)=0是常数,常数的导数是0.2.函数y=sinx 的导数为（ ）A.sinxB.cosxC.-cosxD.-sinx答案：B解析：由常用函数的导数公式可知(sinx)′=cosx.3.函数y=3x-4的导数是（ ）A.3B.-4C.-1D.12答案：A解析：由函数导数的运算法则知y′=3.4.函数y=x-(2x-1)2的导数是_____________.解析：y=x-4x 2+4x-1=-4x 2+5x-1.∴y′=-8x+5.答案：5-8x10分钟训练 （强化类训练，可用于课中） 1.y=32x 的导数是（ ）A.3x 2B.13x 2C.3131--x D.3132-x 答案：D解析：∵y=32x =32x ， ∴y′=(32x )′=23132-x =2331-x . 2.y=cosx 在x=6π处切线的斜率为（ ） A.23B.23- C.-12D.12 答案：C解析：y′6|π=x =-sin 6π=21-. 3.函数y=sinxcosx 的导数是（ ）A.sin 2xB.cos 2xC.sin2xD.cos2x答案：D解析：y′=(sinxcosx)′=(sinx)′cosx+sinx(cosx)′=cos 2x-sin 2x=cos2x.4.函数y=x 2·cosx 的导数为___________.解析：y′=(x 2·cosx)′=(x 2)′·cosx+x 2·（cosx ）′=2x·cosx -x 2·sinx.答案：2x·cosx -x 2·sinx5.过原点作曲线y=e x 的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为___________.解析：将e x 求导知(e x )′=e x .设切点坐标为(x 0,0x e ),则过该切点的直线的斜率为0x e .∴直线方程为y-0x e =0x e (x-x 0).∴y -0x e =0x e ·x -x 0·0x e .∵直线过原点,∴(0,0)符合上述方程.∴x 0·0x e =0x e .∴x 0=1.∴切点为(1,e),斜率为e.答案:(1,e) e6.求下列函数的导数.(1)y=x 4-3x 2-5x+6;(2)y=x·tanx; (3)y=11+-x x ; (4)y=(x+1)(x+2)(x+3).解：(1)y′=(x 4-3x 2-5x+6)′=(x 4)′-3(x 2)′-5x′+6′=4x 3-6x-5. (2)y′=(x·tanx)′=(xx x cos sin •)′ =x x x x x x x 2cos )'(cos sin cos )'sin (-• =xx x x x x x 22cos sin cos )cos (sin +•+ =xx x x x x x 222cos sin cos cos sin ++• =xxx x x x 222cos sin cos 2sin 21++ =xx x 2cos 222sin +. (3)解法一：y′=(11+-x x )′ =2)1()'1)(1()1()'1(++--+-x x x x x=2)1()1()1(+--+x x x =)1(2+x .解法二：y=112+-x , y′=(112+-x )′=(12+-x )′ =2)1()'1(2)1()'2(++-+-x x x =2)1(2+x .(4)解法一：y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′=［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x 2+12x+11.解法二：y=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）1.若y=sint,则y′|t=6π等于（ ）A.1B.-1C.0D.cost答案：A解析：y′|t=6π=cos6π=1.2.曲线y=2x 3-6x 上切线平行于x 轴的点的坐标是…（ ）A.（-1，4）B.（1，-4）C.（-1，-4）或（1，4）D.（-1，4）或（1，-4）答案：D解析：y′=(2x 3-6x)′=6x 2-6,由y′=0,得x=1或x=-1.代入y=2x 3-6x,得y=-4或y=4.即所求点的坐标为(1,-4)或(-1,4).3.曲线f(x)=x 3+x-2在P 0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(-1,-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)答案：A4.设y=-2e x sinx,则y′等于( )A.-2e x cosxB.-2e x sinxC.2e x sinxD.-2e x (sinx+cosx)答案：D解析：y′=-2(e x sinx+e x cosx)=-2e x (sinx+cosx).5.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f′(0)等于…( )A.100B.0C.100×99×98×…×3×2×1D.1答案：C解析：∵f(x)=x(x -1)(x-2)…(x-100),∴f′(x)=(x -1)(x-2)…(x-100)+x·［(x-1)·(x -2)…(x-100)］′.∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)=100×99×98×…×3×2×1.6.曲线y=x 3在点(a,a 3)(a≠0)处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为61,则a=_______________.解析：∵y=x 3,∴y′=3x 2.∴y=x 3在(a,a 3)点的切线斜率k 为3a 2.∴切线方程为y-a 3=3a 2(x-a),y=3a 2x-2a 3.令3a 2x-2a 3=0,得x=32a,即y=3a 2x-2a 3与x 轴交点横坐标为32a. 令x=a,得y=3a 2×a -2a 3=a 3,即y=3a 2x-2a 3与x=a 交点纵坐标为a 3.∴S △=21×(a 32-a)×a 3=61.∴a=±1. 答案：±1 7.已知直线l 是曲线y=31x 3+x 的切线中倾斜角最小的切线，则l 的方程是_______________. 解析：∵y′=x 2+1≥1，∴过点（0，0）且斜率为1的切线倾斜角最小.∴直线l 的方程是y=x.答案：y=x8.已知f(x)=x 2+ax+b,g(x)=x 2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4).解：由f(2x+1)=4g(x),得4x 2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x 2+4cx+4d.于是有⎩⎨⎧=++=+)2(,41)1(,22d b a c a由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c.③由f(5)=30,得25+5a+b=30.④∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=21-. ∴g(x)=x 2+2x 21-. 故g(4)=16+821-=247. 9.设直线l 1与曲线y=x 相切于P,直线l 2过P 且垂直于l 1,若l 2交x 轴于Q 点,又作PK 垂直于x 轴于K,求KQ 的长.解：先确定l 2的斜率,再写出方程,设P(x 0,y 0),则1l k =y′| x=x0=021x . 由l 2和l 1垂直,故2l k =-20x ,于是l 2:y-y 0=-20x (x-x 0),令y=0,则-y 0=-20x (x Q -x 0),即-0x =-20x (x Q -x 0).解得x Q =21+x 0.易得x K =x 0. ∴|KQ|=|x Q -x K |=21. 10.已知抛物线C 1:y=x 2+2x 和C 2:y=-x 2+a.如果直线l 同时是C 1和C 2的切线,称l 是C 1和C 2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.(1)a 取什么值时,C 1和C 2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程.(2)若C 1和C 2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.答案：(1)解:函数y=x 2+2x 的导数y′=2x+2,曲线C 1在点P(x 1,x 12+2x 1)的切线方程是y-(x 12+2x 1)=(2x 1+2)(x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12.①函数y=-x 2+a 的导数y′=-2x,曲线C 2在点Q(x 2,-x 22+a)的切线方程是y-(-x 22+a)=-2x 2(x-x 2),即y=-2x 2x+x 22+a.② 如果直线l 是过P 和Q 的公切线,则①式和②式都是l 的方程，⎩⎨⎧+=--=+,,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).由Δ=0,得a=21-,解得x 1=21-,此时P 与Q 重合,即当a=21-时,C 1和C 2有且仅有一条公切线. 由①得公切线方程为y=x-41. (2)证明:由(1)可知当a<21-时,C 1和C 2有两条公切线,设一条公切线上切点为P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),其中P 在C 1上,Q 在C 2上,则有x 1+x 2=-1,y 1+y 2=x 12+2x 1+(-x 22+a)=x 12+2x 1-(x 1+1)2+a=-1+a,线段PQ 的中点为(21-,21a +-). 同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是(21-,21a +-),所以公切线段PQ 和P′Q′互相平分.。
商的求导法则
例10 设 f ( x) =
x,
x<0
ln(1 + x), x ≥ 0
, 求f ′( x).
解 当x < 0时, f ′( x ) = 1, 时
当x > 0时, 时
1 1 ′ = f ′( x ) = 1 + x (1 + x ) 1 + x ,
当x = 0时,
(0 + h) ln(1 + 0) f ′ (0) = lim =1 h→ 0 h
(sec x )′ = sec x tan x ; ( 8 )
( a x )′ = a x ln a ; 1 (11 ) (log a x )′ = ; x ln a 1 (13 ) (arcsin x )′ = 1 x2 1 (15 ) (arctan x )′ = ; 2 1+ x
(10 ) ( e x )′ = e x ; 1 (12 ) (ln x )′ = ; x ; (14 ) (arccos x )′ =
h→ 0
f +′ (0) = lim+ ∴ f ′( 0 ) = 1 .
ln[1 + (0 + h)] ln(1 + 0) 1, = h
1, ∴ f ′( x ) = 1 1 + x , x≤0 x>0 .
例11
求函数 y = e
e
ex
的导数 .
例12 求函数 y = ln(ln(ln x )) 的导数 .
i =1 i =1
n
n
(2) [Cf ( x)]′ = Cf ′( x);
′ = f1′ ( x) f2( x) fn( x) + f1( x) f2( x) fn( x) ′ (3) [∏ fi ( x)]
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18 x 8 x 9
2
法二： y ( 2 x 3 )( 3 x 2 ) 6 x 4 x 9 x 6
2 3 2
∴
y 18 x 8 x 9 .
2
3. 求y
解：y
'
x
2
2
的导数
2 '
sin x
( x ) sin x x (sin x)
x
x
5、对数函数： (ln x) _________
(sin 6、三角函数： x) _____;
(cos x) _______
巩固练习:
若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线, 试求a的值.
解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有: y0=3x0+1 ①, y0=ax03 ②, 3ax02=3. ③
由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得: 3x0+1=x0,x0=-1/2.
所以a•(-1/2)2=1,a=4.
口答： (1 ) 求曲线 y sinx 在点 P （
(2)求曲线 y 1
3
3
8
，
3 2
）处的切线斜率
x 在点P(2, ) 处的切线的斜率 3 3
（3）曲线y=x3在哪些点的切线与直线y=3x+1 平行。求出这些点来。
函数的 和、差、积、商的导数
1.常见函数的导数
1、常函数： C
______
_______
( 2、一次函数： kx b) _____ x
1 3、幂函数： x n ) _______ ( 特别：( ) ______
4、指数函数：
(e ) ____________
2．回顾导数的定义．
f ( x ) lim
y
x 0
x
lim
f ( x x) f ( x)
x 0
x
利用导数定义求 f ( x ) x x 的导数．
2
规律：
即： x x ) ( x ) ( x ) . (
2 2
猜想一般函数的结论
u ( x )
2
练习 求函数g ( x) x .
3
3 2
x 6 x 2的导数.
2
函数的积的导数
法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二 个函数的导数，即：
( uv ) u v u v .
推论：若C为常数， (Cu )
Cu.
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数
2
24 144
1 6
课堂小结
1、和、差、积、商的导数运算法则；
( u v ) u v .
( uv ) uv uv .
(Cu) Cu.
( ) v u uv uv v
2
(v 0).
２、多项式函数的导数的求法。
三、作业：
求下列函数的导数
'
2 x sin x x cos x
2
sin x
2
sin x
2
4. 求 y
解：y
'
x3 x 3
2
2
在点x 3处的导数
x 6x 3
2
1 ( x 3) ( x 3) 2 x ( x 3)
2 2
( x 3)
2
2
y | x 3
'
9 18 3 (9 3)
v ( x )
u ( x ) v ( x )
u ( x ) v ( x )
u ( x ) v ( x )
函数的和、差的导数
法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：
( u v ) u v .
例 . 求函数f ( x) x sin x 5的导数. 1
例 2：求函数
h ( x ) x sin x 的导数 .
函数的商的导数
法则3 两个函数的商的导数，等于分 子的导数与分母的积，减去分母的导数与 分子的积，再除以分母的平方,即：
u ' v uv ' u 2 v v
例 3：求函数 s (t ) t 1
2
'
(v 0)
S (t ) t 1
2
t ( 5 ) y ( 2 x 1)( x 3 )
t
2
y 4 x 5
(6) y tan x
的导数 .
t
练习
1. 求 y 2 x 8 x 5 x 4的导数
3 2
2. 求 y ( 2 x 3)( 3 x 2) 的导数
2
解：
y ( 2 x 3 ) ( 3 x 2 ) ( 2 x 3 )( 3 x 2 )
2 2
4 x(3 x 2) (2 x 3) 3
(1) f ( x ) x sin x 3 2 3 (2) g ( x) x x 6 x 2 2 2 g ( x) 3x 3x 6 ( 3 ) h ( x ) x cos x
2
f ( x) 2 x cos x
( 4 ) S (t )
t 1
2
h( x) cos x x sin x