2021年高考数学一轮复习讲练测：专题2.9 函数模型及其应用(练习)(原卷版)

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高考数学一轮复习讲练测专题2.9 函数模型及其应用(讲)文(含解析)-人教版高三全册数学试题

专题2.9 函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识点一指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同知识点二种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0)【特别提醒】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值X 围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.考点一利用函数模型解决实际问题【典例1】【2019年高考文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130；②15【解析】①10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，当120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求；当120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8y y x y x -≥≤，因为min158y ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以x 的最大值为15. 综上，①130；②15. 【方法技巧】(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．【变式1】（2019·某某某某中学调研）为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值. 【解析】(1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)，∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).(2)由(1)得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10.令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]，则y ＝2t ＋800t－10≥22t ·800t －10＝70(当且仅当2t ＝800t，即t ＝20时等号成立)，此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 考点二构建一、二次函数模型解决实际问题【典例2】（2019·某某康杰中学模拟）某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原料价格决定，预计m ∈[6,8]，另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 1，x 2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．【解析】(1)由题意得y1＝10x1－(20＋mx1)＝(10－m)x1－20(0≤x1≤200且x1∈N)，y2＝18x2－(40＋8x2)－0.05x22＝－0.05x22＋10x2－40＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120且x2∈N)．(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，∴y1＝(10－m)x1－20为增函数．又0≤x1≤200，x1∈N，∴当x1＝200时，生产A产品的最大利润为(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美元)．∵y2＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120，且x2∈N)，∴当x2＝100时，生产B产品的最大利润为460万美元．(y1)max－(y2)max＝(1 980－200m)－460＝1 520－200m.易知当6≤m＜7.6时，(y1)max＞(y2)max.即当6≤m＜7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；当m＝7.6时，投资生产A产品200件或投资生产B产品100件，均可获得最大年利润；当7.6＜m≤8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润．【方法突破】(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．【变式2】（2019·某某某某一中模拟）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.【解析】(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2，当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)，显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52.故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意，由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20.当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 考点三构建指数函数、对数函数模型解决实际问题【典例3】（2019·某某外国语学校模拟）某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时【答案】 C【解析】由已知得192＝e b，① 48＝e22k ＋b＝e 22k ·e b，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k＝12，当x ＝33时，y ＝e33k ＋b＝e 33k ·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.【方法技巧】(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．【变式3】（2019·某某省丹阳高级中学模拟）一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110. 故每年砍伐面积的百分比为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m＝22a ，把x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110代入，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年. 考点四构建分段函数模型解决实际问题【典例4】（2019·某某市第一中学模拟）某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解析】(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z.当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －1153≤x ≤6，x ∈Z ，－3x 2＋68x －1156＜x ≤20，x ∈Z .(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z)，显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z)，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．【方法突破】(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏； (3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.【变式4】（2019·某某第三中学模拟）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将放在机器人上，机器人将送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480， m ＞30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【解析】(1)由总成本p (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元，可得每台机器人的平均成本y ＝p x x ＝1600x 2＋x ＋150x ＝1600x ＋150x＋1≥21600x ·150x ＋1＝2.当且仅当1600x ＝150x，即x ＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量 q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480， m ＞30当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )＝－160m 2＋9 600m ，∴当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．当m ＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件，则需要人数为144 0001 200＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120－30120×100%＝75%.。

高考数学一轮复习第二章函数 2.9 函数模型及其应用学案(文,含解析)新人教A版

学习资料2。

9 函数模型及其应用必备知识预案自诊知识梳理1。

常见的函数模型(1）一次函数模型:f (x ）=kx+b (k ，b 为常数，k ≠0);(2）二次函数模型:f (x ）=ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0);（3）反比例函数模型:f (x ）=k x （k 为常数，k ≠0）；（4）指数型函数模型：f （x )=ab x +c （a ,b ,c 为常数,a ≠0，b 〉0,b ≠1）;（5）对数型函数模型：f (x ）=m log a x+n （m ，n ，a 为常数,m ≠0，a 〉0,a ≠1)；（6）幂型函数模型:f (x )=ax n +b (a ，b ，n 为常数,a ≠0）；（7）分段函数模型:y={f 1(x ),x ∈D 1,f 2(x ),x ∈D 2,f 3(x ),x ∈D 3;(8）对勾函数模型:y=x+a x （a 为常数,a>0）。

2。

指数、对数、幂函数模型的性质比较考点自诊1。

判断下列结论是否正确,正确的画“√",错误的画“×"。

（1)幂函数增长比一次函数增长更快。

（ )(2)在（0，+∞）内,随着x 的增大，y=ax （a>1)的增长速度会超过并远远大于y=x α（α>0）的增长速度. ( ）（3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题。

（）(4)f （x )=x 2，g (x ）=2x ，h （x )=log 2x ，当x ∈（4,+∞）时,恒有h （x ）<f (x )<g (x ）。

( ）（5）“指数爆炸"是指数型函数y=a ·b x +c (a>0,b 〉1）增长速度越来越快的形象比喻. ( ）2。

（2020山东潍坊临朐模拟二，3)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( ）A.6升B.8升C.10升 D 。

21高考数学课标理数一轮复习讲义+提能作业：第九节函数模型及其应用含解析

第九节函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a、b为常数,且a≠0)反比例函数模型f(x)=ax+b(a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c (a,b,c为常数,且a≠0)指数函数模型f(x)=ba x+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)对数函数模型f(x)=blog a x+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)幂函数模型f(x)=ax n+b(a,b,n为常数,且a≠0)2.三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y=a x(a>1)y=log a x(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的增减性①增函数②增函数③增函数增长速度④越来越快⑤越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与⑥y轴平行随x增大逐渐表现为与⑦x轴平行随α值变化而不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有log a x<xα<a x3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:形如f(x)=x+ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:(1)该函数在(-∞,-√a)和(√a,+∞)上单调递增,在[-√a,0)和(0,√a]上单调递减.(2)当x>0时,在x=√a处取最小值2√a,当x<0时,在x=-√a处取最大值-2√a.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.()(2)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a>0,b>1)增长速度越来越快的形象比喻.()(3)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,三个函数的增长速度大小为g(x)>f(x)>h(x).()(4)函数y=2x的函数值在(0,+∞)上一定比y=x2的函数值大.()(5)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.()答案(1)✕(2)√(3)√(4)✕(5)√2.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:x0.500.992.013.98y -0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x答案D3.前两年某商品的价格每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是()A.减少7.84%B.增加7.84%C.减少9.5%D.不增不减答案A4.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为.答案35.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元;销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为万元.答案10246.某城市客运公司确定客票价格的方法:如果行程不超过100km,那么票价是0.5元/km,如果超过100km,那么超过100km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是.答案y={0.5x,0<x≤100 0.4x+10,x>100二次函数、分段函数模型典例1某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120√6t吨(0≤t≤24).(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)当蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,则在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?解析(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,则y=400+60t-120√6t,令√6t=x,则x2=6t,即y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,所以当x=6, 即t=6时,y min =40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,只有40吨. (2)由(1)及题意有400+10x 2-120x<80, 得x 2-12x+32<0,解得4<x<8, 即4<√6t <8,83<t<323,由323-83=8小时,得每天约有8小时供水紧张.典例2 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)={10.8-130x 2,0<x ≤10,108x-1 0003x ,x >10.(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)解析 (1)当0<x ≤10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x-x 330-10;当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98-1 0003x-2.7x.∴W={8.1x -x 330-10,0<x ≤10,98-1 0003x -2.7x,x >10.(2)①当0<x ≤10时,令W'=8.1-x 210=0,得x=9,可知当x ∈(0,9)时,W'>0,当x ∈(9,10]时,W'<0, ∴当x=9时,W 取极大值,即最大值, 且W max =8.1×9-130×93-10=38.6. ②当x>10时,W=98-(1 0003x+2.7x)≤98-2√1 0003x·2.7x =38,当且仅当1 0003x=2.7x,即x=1009时,W=38,故当x=1009时,W 取最大值38(当1 000x 取整数时,W 一定小于38).综合①②知,当x=9时,W 取最大值,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.1-1 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x 2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元.则该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,那么国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?解析设该单位每月获利为S 元,则 S=100x-y=100x-(12x 2-200x +80 000) =-12x 2+300x-80 000 =-12(x-300)2-35 000,因为400≤x ≤600,所以当x=400时,S 有最大值-40 000.故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40 000元,才能不亏损.指数函数模型典例3 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式;(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.解析 (1)由题图,设y=kt,0≤t ≤1, 当t=1时,由y=4,得k=4,则y=4t. 由(12)1-a=4,得a=3.所以y={4t,0≤t ≤1,(12)t -3,t >1.(2)由y ≥0.25得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12)t -3≥0.25,解得116≤t ≤5,故服药一次后治疗疾病有效的时间是5-116=7916(小时). 对数函数模型典例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v=a+blog 3Q10(其中a,b 是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.(1)求出a,b 的值;(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位? 解析 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,则a+blog 33010=0,即a+b=0;当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,则a+blog 39010=1,整理得a+2b=1. 解方程组{a +b =0,a +2b =1,得{a =-1,b =1.(2)由(1)知,v=a+blog 3Q10=-1+log 3Q10. 所以要使飞行速度不低于2 m/s,则v ≥2,所以-1+log 3Q10≥2,即log 3Q10≥3,解得Q10≥27,即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位. 规律方法构建数学模型解决实际问题时,要正确理解题意,分清条件和结论,理清数量关系,将文字语言转化为数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.3-1 (1)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b (e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 ( ) A.16小时 B.20小时C.24小时D.28小时(2)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年答案 (1)C (2)D解析 (1)由已知得192=e b ,① 48=e 22k+b =e 22k ·e b ,②将①代入②得e 22k =14,则e 11k =12,当x=33时,y=e 33k+b=e 33k ·e b=(12)3×192=24,所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时.故选C.(2)设第n(n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元. 根据题意得130(1+12%)n-1>200, 则lg[130(1+12%)n-1]>lg 200, ∴lg 130+(n-1)lg 1.12>lg 2+2, ∴2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12>lg 2+2, ∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,解得n>245, 又∵n ∈N *,∴n ≥5,∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2021年.故选D.A组基础题组1.下列函数中,随x的增大,y的增大速度最快的是()A.y=0.001e xB.y=1000ln xC.y=x1000D.y=1000·2x答案A2.用长度为24米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3米B.4米C.6米D.12米答案A设隔墙的长为x(0<x<6)米,矩形的面积为y平方米,则y=x×24-4x2=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,y取得最大值.故选A.3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()x 1.99234 5.15 6.126y 1.5174.04187.51218.01A.y=2x-2B.y=12(x2-1)C.y=log2xD.y=lo g12x答案B4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10m3的,按m元/m3收费;用水超过10m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为()A.13m3B.14m3C.18m3D.26m3答案A5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两邻边长x,y应为()A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=14答案 A 如图,由三角形相似得24-y24-8=x20,得x=54(24-y),所以S=xy=-54(y-12)2+180, 所以当y=12时,S 有最大值,此时x=15.检验符合题意.6.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,至少应过滤次才能达到市场要求. (参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 答案 8解析设过滤n 次,则2%(1-13)n≤0.1%, 即(23)n≤120, 所以nlg 23≤-1-lg 2, 所以n ≥7.39,所以n=8.7.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速率v 的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,当这艘轮船的速度为海里/小时时,总费用最小. 答案 40解析设每小时的总费用为y 元, 则y=kv 2+96,又当v=10时,k×102=6, 解得k=0.06,所以每小时的总费用y=0.06v 2+96,匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时,故总费用W=10v y=10v (0.06v 2+96)=0.6v+960v≥2√0.6v ×960v=48,当且仅当0.6v=960v,即v=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时.8.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿千克.答案1909解析前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b(k ≠0),将点(1,10)和(10,30)代入函数解析式得{10=k +b,30=10k +b,解得k=209,b=709,所以y=209x+709,则当x=6时,y=1909.9.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律可用表达式y=e kt (其中k 为常数,t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数)表示,则经过5小时,1个病毒能繁殖为个. 答案 1 024解析当t=0.5时,y=2,所以2=e 12k ,所以k=2ln 2,所以y=e 2tln 2,当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024. 10.某产品原来的成本为1 000元/件,售价为1 200元/件,年销售量为1万件,由于市场饱和,顾客要求提高,公司计划投入资金进行产品升级.据市场调查,若投入x 万元,每件产品的成本将降低34x 元,在售价不变的情况下,年销售量将减少2x万件,按上述方式进行产品升级和销售,扣除产品升级资金后的纯利润记为f(x)(单位:万元). (1)求f(x)的函数解析式;(2)求f(x)的最大值,以及f(x)取得最大值时x 的值. 解析 (1)依题意,产品升级后,每件的成本为(1 000-3x4)元,利润为(200+3x 4)元,年销售量为(1-2x )万件,则纯利润f(x)=(200+3x4)(1-2x )-x=198.5-400x-x 4.(2)f(x)=198.5-400x-x 4≤198.5-2×√400x×x 4=178.5,当且仅当400x=x 4,即x=40时等号成立.所以f(x)取最大值时的x 的值为40.11.如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM,使点P 在边DE 上. (1)设MP=x 米,PN=y 米,将y 表示成x 的函数,并求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形BNPM 面积的最大值.解析 (1)如图,作PQ ⊥AF 于Q,所以PQ=8-y,EQ=x-4,在△EDF 中,EQ PQ =EFFD ,所以x -48-y =42, 所以y=-12x+10,定义域为{x|4≤x ≤8}. (2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米, 则S(x)=xy=x (10-x2) =-12(x-10)2+50,所以S(x)是关于x 的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为直线x=10, 所以当x ∈[4,8]时,S(x)单调递增,所以当x=8时,矩形BNPM 的面积取得最大值,最大值为48平方米.B 组提升题组1.我们定义函数y=[x]([x]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”;定义y={x}({x}表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”;例如[4.3]=4,[5]=5;{4.3}=5,{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推.若李刚停车时间为x 小时,则李刚应付费为(单位:元)( ) A.2[x+1]B.2([x]+1)C.2{x}D.{2x}答案 C 如x=1时,应付费2元,而2[x+1]=4,2([x]+1)=4,排除A 、B;当x=0.5时,付费为2元,此时{2x}=1,排除D,故选C.2.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A.8 B.9 C.10D.11答案 C 设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n(n ∈N *)个“半衰期”后的含量为(12)n,由(12)n<11 000得n ≥10.所以,若探测不到碳14含量,则至少经过了10个“半衰期”.故选C. 3.某厂为巴西奥运会生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80千件时,C(x)=13x 2+10x;当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10 000x-1 450.每件商品售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解析 (1)由题意可得,当0<x<80时,L(x)=0.05×1 000x-(13x 2+10x +250),当x ≥80时, L(x)=0.05×1 000x-(51x +10 000x-1 450+250),即L(x)={-13x 2+40x -250,0<x <80,1 200-(x +10 000x ),x ≥80.(2)当0<x<80时,L(x)=-13(x-60)2+950, ∴当x=60时,L(x)取得最大值950. 当x ≥80时,L(x)=1 200-(x +10 000x)≤1 200-2√x ·10 000x=1 200-200=1 000,∴当且仅当x=10 000x,即x=100时,L(x)取得最大值1 000.综上所述,当x=100时,L(x)取得最大值1 000,即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.4.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a(单位:万元)满足P=80+4√2a ,Q=14a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大? 解析 (1)由题意知甲大棚投入50万元, 则乙大棚投入150万元,故f(50)=80+4√2×50+14×150+120=277.5(万元). (2)f(x)=80+4√2x +14(200-x)+120=-14x+4√2x +250, 依题意得{x ≥20,200-x ≥20,解得20≤x ≤180,故f(x)=-14x+4√2x +250(20≤x ≤180). 令t=√x , 则t ∈[2√5,6√5],y=-14t 2+4√2t+250=-14(t-8√2)2+282,当t=8√2,即x=128时, f(x)取得最大值,f(x)max =282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.。

2021年高考数学大一轮复习 2.9函数模型及其应用课时作业理

2021年高考数学大一轮复习 2.9函数模型及其应用课时作业理一、选择题1．下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )A.C ．指数函数模型D ．对数函数模型解析：由表中数据知x ，y 满足关系y ＝13＋2(x －3)．故为一次函数模型．答案：A2．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( )A ．不能确定B ．①②同样省钱C ．②省钱D ．①省钱解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元) 方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元) 因为210<211.6，故方法①省钱．答案：D3．一个人以6 m/s 的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m 时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s 2的加速度匀加速开走，那么( )A ．人可在7 s 内追上汽车B ．人可在10 s 内追上汽车C ．人追不上汽车，其间距最少为5 mD ．人追不上汽车，其间距最少为7 m解析：设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值为7. 答案：D4．(xx·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.p ＋1q ＋1－12C.pqD.p ＋1q ＋1－1解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝p ＋1q ＋1－1，故选D.答案：D5．如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止．在这个过程中，△APD 的面积S 随时间t 的变化关系用图象表示正确的是( )解析：根据动点的移动知，P 点在AB 上移动时，△APD 的面积S 是在增加，排除选项C ，P 点在BC 上移动时，△APD 的面积S 是不变化的，排除选项A ，因为CD >AB ，点P 是匀速前进，所以在CD 上移动的时间比在AB 上移动所用的时间多，所以排除选项D ，选B.答案：B6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率．．．是－10ln2 (太贝克/年)，则M (60)＝( ) A ．5太贝克 B ．75ln 2太贝克 C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克解析：由题意M ′(t )＝M 02－t30 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln2，M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln2＝－10ln2，∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150.故选D.答案：D 二、填空题7．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．解析：设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108. 答案：1088．已知某驾驶员喝了m 升酒后，血液中酒精的含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x >1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过0.02毫克/毫升．则此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(精确到1小时)解析：驾驶员醉酒1小时血液中酒精含量为5－1＝0.2，要使酒精含量≤0.02毫克/毫升，则35⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤0.02，∴x ≥log 330＝1＋log 310>1＋log 39＝3，故至少要4个小时后才能开车．答案：49．汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用＝年均成本费用＋年均维修费)，设某种汽车的购车的总费用为50 000元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6 000元；前x 年的总维修费y 满足y ＝ax 2＋bx ，已知第一年的总维修费为1 000元，前两年的总维修费为3 000元，则这种汽车的最佳使用年限为________年．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1 000＝a ＋b3 000＝4a ＋2b ，解得：a ＝500，b ＝500，∴y ＝500x 2＋500x . 设年均消耗费用为S ，则 S ＝50 000＋500x 2＋500xx＋6 000＝50 000x＋500x ＋500＋6 000≥2×5 000＋500＋6 000＝16 500(元)，当且仅当50 000x＝500x ，即x ＝10时取“＝”．答案：10 三、解答题10．某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：p ＝2(1－kt )(x －b )2，其中k ，b 均为常数．当关税税率t ＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定k ，b 的值．(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：q ＝2－x，当p ＝q 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．解：(1)由已知，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1－0.75k 5－b 2＝0，1－0.75k7－b2＝1.解得b ＝5，k ＝1.(2)当p ＝q 时，2(1－t )(x －5)2＝2－x，所以(1－t )(x －5)2＝－x ⇒t ＝1＋x x －52＝1＋1x ＋25x－10. 而f (x )＝x ＋25x在(0,4]上单调递减，所以当x ＝4时，f (x )有最小值414，故当x ＝4时，关税税率的最大值为500%.11．某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：(1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，∴当x ∈[200,300]时，S <0，因此该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，当x ＝200时，S 取得最小值－20 000. ∴国家每月补偿数额的范围是[5 000,20 000]． (2)由题意可知，二氧化碳的每吨处理成本为 y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144，12x ＋80 000x －200，x ∈[144，500，①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，y x取得最小值240；②当x ∈[144,500)时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时，yx取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．1．如图，正方形ABCD 的顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，顶点C ，D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是( )解析：f (t )增长的速度先快后慢，故选C. 答案：C2．(xx·陕西卷)如上图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15x 解析：根据函数图象的特点，过点(0,0)，关于原点对称，故可设函数y ＝ax 3＋cx ，又函数在(－5,2)处的切线平行于x 轴，∴y ′＝3ax 2＋c ，即3a ×25＋c ＝0，∴c ＝－75a ，观察选项中的系数关系，可知选A. 答案：A3．某商场xx 年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x )＝p ·q x(q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )＝________.解析：因为①②中函数要么单调递增，要么单调递减，不满足题意，③为二次函数且开口向上，即f (x )先减后增，满足题意，所以选③.由f (1)＝10，f (3)＝2，得1＋p ＋q ＝10,9＋3p ＋q ＝2，解得p ＝－8，q ＝17. 所以f (x )＝x 2－8x ＋17. 答案：③ x 2－8x ＋174．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x (吨)与支付费用y (元)的函数关系； (2)该地一家庭记录了过去12个月的月用水量(x ∈N *)如下表：(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：解：(1)y 关于x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，4x －8，4<x ≤6，6x －20，x >6.(2)由(1)知：当x ＝3时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝8；当x ＝5时，y ＝12；当x＝6时，y＝16；当x＝7时，y＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为112(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)．(3)由(1)和题意知：当y≤12时，x≤5，所以“节约用水家庭”的频率为77100＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.a20500 5014 倔g23179 5A8B 媋33448 82A8 芨32471 7ED7 绗22370 5762 坢21924 55A4 喤38806 9796 鞖JY%A。

2021高考数学一轮复习统考第2章函数第9讲函数模型及其应用学案(含解析)北师大版(1)

第9讲函数模型及其应用基础知识整合1．常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数型f(x)＝ax＋b(a，b为常数,a≠0）二次函数型f（x）＝ax2＋bx＋c(a，b,c为常数，a≠0）指数函数型f（x）＝ba x＋c(a，b，c为常数,a>0且a≠1,b≠0)对数函数型f（x)＝b log a x＋c（a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数型f(x)＝ax n＋b(a,b为常数，a≠0）2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质错误!错误!y＝a x（a>1）y＝log a x（a>1)y＝x n（n〉0）在(0，＋∞）上的增减性错误!单调递增错误!单调递增错误!单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与错误!y轴平行随x的增大逐渐表现为与错误!x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x形如f(x）＝x＋错误!（a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型:(1)该函数在(－∞，－错误!］和［错误!，＋∞）上单调递增，在[－错误!，0)和（0，错误!］上单调递减．（2)当x＞0时，x＝错误!时取最小值2错误!，当x＜0时,x＝－a时取最大值－2错误!.1．(2019·嘉兴模拟)为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private－Key Cryptosystem），其加密、解密原理为:发送方由明文→密文(加密），接收方由密文→明文(解密）．现在加密密钥为y＝kx3,若明文“4"通过加密后得到密文“2"，则接收方接到密文“错误!”，解密后得到的明文是( )A．错误!B．错误!C．2 D．错误!答案A解析由已知，可得当x＝4时,y＝2，所以2＝k·43，解得k＝错误!＝错误!，故y＝错误!x3.令y＝错误!x3＝错误!,即x3＝错误!，解得x＝错误!。

高考数学一轮复习练习数学建模——函数模型及其应用

数学建模——函数模型及其应用基础巩固组1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10 L汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台3.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=1t2米,那么,此人()2A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了(1.2x)%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.186.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质,至少应过滤次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)含量减少137.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=a e-bt cm3,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效,求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组9.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12).不考虑树的粗细,现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位:m2)的图像大致是()10.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年11.如图,直角边长为2 cm的等腰直角三角形ABC,以2 cm/s 的速度沿直线l向右运动,则该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(单位:cm2)与时间t(单位:s)的函数关系(设0≤t≤3)为,y的最大值为.12.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);(3)在(2)的条件下预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.创新应用组13.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg I给出,其中I为声强(单位:W/m2).10-12(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7 W/m 2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?参考答案课时规范练13 数学建模——函数模型及其应用1.D 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L,故乙车消耗1 L 汽油的行驶路程可大于5 km,所以选项A 错误;由图可知以相同速度行驶相同路程甲车消耗汽油最少,所以选项B 错误;甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L,故行驶1小时的路程为80 km,消耗8 L 汽油,所以选项C 错误;当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以选项D 正确.2.C 设利润为f (x )万元,则f (x )=25x-(3 000+20x-0.1x 2)=0.1x 2+5x-3 000(0<x<240,x ∈N *).令f (x )≥0,得x ≥150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.故选C .3.B 由题意,设利润为y 元,租金定为(3 000+50x )元(0≤x ≤70,x ∈N ),则y=(3 000+50x )(70-x )-100(70-x )=(2 900+50x )(70-x )=50(58+x )(70-x )≤5058+x+70-x 22=204 800,当且仅当58+x=70-x ,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B .4.D 已知s=12t 2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t 2-6t+25=12(t-6)2+7.当t=6时,d 取得最小值7.所以不能追上汽车,但期间最近距离为7米,故选D .5.B 由题意,分流前每年创造的产值为100t 万元,分流x 人后,每年创造的产值为(100-x )[1+(1.2x )%]t ,则{0<x <100,x ∈N *,(100-x )[1+(1.2x )%]t ≥100t , 解得0<x ≤503.因为x ∈N *,所以x 的最大值为16,故选B . 6.8 设至少过滤n 次才能达到市场要求,则2%1-13n ≤0.1%,即23n ≤120, 所以n lg 23≤-1-lg 2,解得n ≥7.39,所以n=8.7.16 当t=0时,y=a ,当t=8时,y=a e -8b =12a ,所以e -8b =12,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=a e -bt =18a ,e -bt =18=(e -8b )3=e -24b ,则t=24,所以再经过24-8=16(min),容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.解 (1)根据所给的曲线,可设y={kt ,0≤t ≤1,(12) t -a ,t >1.当t=1时,由y=4,得k=4,由121-a =4,得a=3.则y={4t ,0≤t ≤1,(12) t -3,t >1.(2)由y ≥0.25,得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12) t -3≥0.25,解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-116=7916(h).9.B 设AD 的长为x m,则CD 的长为(16-x ) m,则矩形ABCD 的面积为x (16-x ) m 2.因为要将点P 围在矩形ABCD 内,所以a ≤x ≤12.当0<a ≤8时,当且仅当x=8时,u=64;当8<a<12时,u=a (16-a ).画出函数图像可得其形状与B 选项接近,故选B .10.C 若2019年是第1年,则第n 年全年投入的科研经费为1 300×1.12n 万元,由1 300×1.12n >2 000,可得lg 1.3+n lg 1.12>lg 2,所以n ×0.05>0.19,得n>3.8,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元,故选C .11.y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,2-12(2t -4)2,2<t ≤32 如题图,当0≤t<1时,重叠部分面积y=12×2t ×2t=2t 2;当1≤t ≤2时,重叠部分为直角三角形ABC ,重叠部分面积y=12×2×2=2(cm 2); 当2<t ≤3时,重叠部分为梯形,重叠部分面积y=S △ABC -12(2t-4)2=2-12(2t-4)2=-2t 2+8t-6. 综上,y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,-2t 2+8t -6,2<t ≤3,故可得y 的最大值为2.12.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )=x (x-q )2+p.(2)对于f (x )=x (x-q )2+p ,由f (0)=4,f (2)=6,可得p=4,(2-q )2=1,又q>1,所以q=3,所以f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5).(3)因为f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5),所以f'(x )=3x 2-12x+9, 令f'(x )<0,得1<x<3.所以函数f (x )在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月,10月两个月内价格下跌. 13.解 (1)当声强为10-6 W/m 2时,由公式Y=10lgI 10-12,得Y=10lg 10-610-12=10lg 106=60(分贝).(2)当Y=0时,由公式Y=10lg I 10-12,得10lgI 10-12=0.所以I10-12=1,即I=10-12 W/m 2,则最低声强为10-12 W/m 2.(3)当声强为5×10-7 W/m 2时,声强级为Y=10lg 5×10-710-12=10lg(5×105)=50+10lg 5(分贝),因为50+10lg 5>50,故这两位同学会影响其他同学休息.。

山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.9函数模型及应用学案含解析.doc

第九节函数模型及应用课标要求考情分析1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点．2．常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力．3．选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.知识点一指数、对数、幂函数模型性质比较知识点二几种常见的函数模型(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × ) (3)不存在x 0，使ax 0<x n 0<log a x 0.( × )(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >0)的增长速度．( √ )解析：(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×910＝99元．∴每件赔1元，(1)错．(2)中，当x ＝2时，2x ＝x 2＝4.不正确．(3)中，如a ＝x 0＝12，n ＝14，不等式成立，因此(3)错．2．小题热身(1)函数模型y 1＝0.25x ，y 2＝log 2x ＋1，y 3＝1.002x ，随着x 的增大，增长速度的大小关系是y 3>y 1>y 2.(2)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S 表示为x 的函数是S ＝800x ＋x8(x ∈N *)．(3)某物体一天中的温度T 是关于时间t 的函数，且T ＝t 3－3t ＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，当t ＝0时表示中午12：00，其后t 值为正，则上午8时该物体的温度是8_℃.(4)已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到200只．(5)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (米/秒)关于燃料的质量M (千克)、火箭(除燃料外)的质量m (千克)的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm .当燃料质量是火箭质量的e 6－1倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：(1)根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得． (2)由题意知，每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是⎝⎛⎭⎫x 8×1元，所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S ＝800x ＋x8.(3)由题意知，上午8时即t ＝－4，因此所求温度T ＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8(℃)． (4)由题意知100＝a log 3(2＋1)， ∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.(5)由题意可得12 000＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ，则ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，解得1＋M m ＝e 6，所以Mm ＝e 6－1，故填e 6－1.考点一一次函数、二次函数模型的应用【例1】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不能获利，那么国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000.因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时， S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能使该单位不亏损．方法技巧在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．1．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量/件400360320280240200160)应为( C )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．10解析：由题意可设定价为x 元/件，利润为y 元，则y ＝(x －3)[400－40(x －4)]＝40(－x 2＋17x －42)，故当x ＝8.5时，y 有最大值，故选C.2．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大( B )A ．8元/件B ．10元/件C ．12元/件D ．14元/件解析：设单价为(6＋x )元，日均销售量为100－10x ，则日利润y ＝(6＋x －4)(100－10x )－20＝－10x 2＋80x ＋180＝－10(x －4)2＋340(0<x <10)．∴当x ＝4时，y max ＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.考点二分段函数模型的应用【例2】已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【解】 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40 000x－16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104(万美元)； ②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104万美元．方法技巧(1)分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，分段函数模型的最值问题，应先求出每一段上的最值，然后比较大小.(2)构造分段函数时，要力求准确，简洁，做到分段合理，保证不重不漏.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎨⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：(1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S 元，则S ＝200x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损．(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 yx ＝⎩⎨⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144)，12x ＋80 000x －200，x ∈[144，500]，当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，yx 取得最小值240.当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ×80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x. 即x ＝400时，yx 取得最小值200，所以该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．考点三指数函数、对数函数模型的应用【例3】已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t (t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．【解】 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，即m ·2t ＋22t ≥2恒成立．亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0<y ≤1， ∴m ≥2(y －y 2)恒成立，由于y －y 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 方法技巧(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决；(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型；(3)y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解.1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)( D )A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年解析：设经过x 年后全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得130(1＋0.12)x＝200，则x ＝log 1.122013，即x ＝lg20－lg13lg1.12＝1＋lg2－1－lg1.3lg1.12≈0.30－0.110.05≈4，2 016＋4＝2 020，故选D.2．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg II 0(其中I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的( C )A.76倍 B ．1076倍C ．10倍D ．ln 76倍解析：由η＝10lg I I 0得I ＝I 010η10，所以I 1＝I 0107，I 2＝I 0106，所以I 1I 2＝10，所以70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的10倍，故选C.。

湖南省长沙市长郡中学2021届高考数学(理)一轮复习：2.9 函数模型及其应用同步练习

2.9函数模型及其应用同步练习1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：则对x，yA．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x答案 D解析根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；啊根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )答案 A解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A．118元B．105元C．106元D．108元答案 D解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a ＝108.4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3 B ．14 m 3 C ．18 m 3 D ．26 m 3答案 A解析设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 0<x ≤10，10m ＋x －10·2mx >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.5．(2020·北京朝阳区统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18答案 B解析由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *，100－x1＋1.2x %t ≥100t ，解得0<x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.6．(2020·武汉检测)某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元 D ．43.025万元答案 C解析设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0,16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．7．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x (x >0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．答案 4解析由题意得L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ＝432－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －4x 2(x >0)．当x －4x ＝0，即x ＝4时，L 取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．8．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．答案 2ln 2 1 024解析当t ＝0.5时，y ＝2，122e k ∴＝， ∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.9．(2020·宝鸡模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案 20解析设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)，当x ＝20时，S max ＝400.*10.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．答案5－12解析依题意得x ＝c －ab －a，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，∵b －c ＝(b －a )－(c －a )，∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )，两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12. 11．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．12．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200 (1≤t ≤50，t∈N )．前30天价格为g (t )＝12t ＋30 (1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45 (31≤t ≤50，t ∈N )．(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值．解 (1)依题意得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋200⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋301≤t ≤30，t ∈N，45－2t ＋20031≤t ≤50，t ∈N ，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 0001≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 00031≤t ≤50，t ∈N .(2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， ∴当t ＝20时，S 取得最大值为6 400. ②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为递减函数，∴当t ＝31时，S 取得最大值为6 210.综合知，当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.*13.(2020·太原模拟)某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15－0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋105＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0，解得0<x <150.依题意，单套丛书利润P ＝x －(30＋1015－0.1x)＝x －100150－x－30，所以P ＝－[(150－x )＋100150－x ]＋120.因为0<x <150，所以150－x >0，则(150－x )＋100150－x ≥2150－x ·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x ，即x ＝140时等号成立，此时，P max ＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．。

2021新高考版大一轮复习用书数学第二章 2.9

[ ) 1
答案，＋∞ 2
解析由题意得，m·2t＋21－t≥2 恒成立(t≥0，且 m>0)， 1
又 m·2t＋21－t≥2 2m，∴2 2m≥2，∴m≥ . 2
题组三易错自纠
5．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过 0.1%，而这种溶液最初的杂质
1 含量为 2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次
答案 A
( )5
解析根据题意，要使附加税不少于 128 万元，需 30－ R ×160×R%≥128， 2
整理得 R2－12R＋32≤0，解得 4≤R≤8，即 R∈[4,8]．
命题点 2 构造指数函数、对数函数模型例 2 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐
( ) ( 1
1
由 y＝
t－a 过点(0.1,1)，得 1＝
16
16
(1(t>0.1)．
)0.1－a，
( )1
②由 16
1 t－0.1≤0.25＝，得 t≥0.6.
4
故至少需经过 0.6 小时学生才能回到教室．
思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关键点
( )1 t－a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： 16
①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式为
________________________________________________________________________．
命题点 1 构造二次函数模型
例 1 某城市对一种售价为每件 160 元的商品征收附加税，税率为 R%(即每销售 100 元征税

2021年高三数学一轮复习 2.9函数模型及其应用精品试题

2021年高三数学一轮复习 2.9函数模型及其应用精品试题一、选择题(每小题5分,共40分)1.(xx·宁波模拟)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y=ae nt,假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟后甲桶中的水只有升,则m 的值为( )A.8B.10C.12D.15【解析】选B.由已知条件可得ae5n=,e5n=.由ae nt=,得e nt=,所以t=15,m=15-5=10.2.(xx·南昌模拟)如图,正方形ABCD的顶点A,B,顶点C,D位于第一象限,直线l:x=t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分,记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t),则函数S=f(t)的图象大致是( )【解析】选C.f(t)增长的速度先快后慢,故选C.3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为( )A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=14【思路点拨】利用三角形相似列出x与y的关系式,用y表示x.从而矩形面积可表示为关于y的函数. 【解析】选A.由三角形相似得=,得x=(24-y),由0<x≤20得,8≤y<24,所以S=xy=-(y-12)2+180,所以当y=12时,S有最大值,此时x=15.4.(xx·温州模拟)某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠,商场规定:①如一次性购物不超过200元,不予以折扣;②如一次性购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;③如一次性购物超过500元,其中500元给予九折优惠,超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去购物,分别付款176元和432元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款( )A.608元B.574.1元C.582.6元D.456.8元【解析】选 C.设一次性购物总标价为x元,根据题意,应付款y=付款176元时没有折扣.付款432元时标价为432÷0.9=480(元).故两次购物的标价为176+480=656(元).500×0.9+(656-500)×0.85=582.6(元).5.(xx·北京模拟)在半径为R的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是( )A.πR3B.πR3C.πR3D.πR3【解析】选A.设圆柱的高为h,则圆柱的底面半径为,圆柱的体积为V=π(R2-h2)h=-πh3+πR2h(0<h<R),V′=-3πh2+πR2=0,h=时V有最大值为V=πR3.6.(xx·杭州模拟)一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案,如图所示,设小矩形的长、宽分别为x,y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,记y=f(x),则y=f(x)的图象是( )【思路点拨】先根据已知构建函数y=f(x)解析式,再结合图象作出选择.【解析】选A.由题意知,xy=10,即y=,且2≤x≤10.【加固训练】一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水也不出水.则一定正确的是( )A.①B.①②C.①③D.①②③【解析】选A.由丙图知0点到3点蓄水量为6,故应两个进水口进水,不出水,故①正确.由丙图知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位,故1个进水1个出水,故②错误.由丙图知4点到6点蓄水量不变,故可能不进水也不出水或两个进水一个出水,故③错误.7.(xx·郑州模拟)某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为( )A.上午10:00B.中午12:00C.下午4:00D.下午6:00【解析】选C.当x∈[0,4]时,设y=k1x,把(4,320)代入,得k1=80,所以y=80x.当x∈[4,20]时,设y=k2x+b.把(4,320),(20,0)代入得解得所以y=400-20x.所以y=f(x)=由y≥240,得或解得3≤x≤4或4<x≤8,所以3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4:00.【方法技巧】求解由图象给出函数模型解决实际问题的技巧对于函数模型由函数图象给出的实际问题,求解时应根据图象的形状,找到相应的函数模型,用待定系数法求得解析式,再运用该解析式解决实际问题.8.(能力挑战题)如图,A,B,C,D是某煤矿的四个采煤点,m是公路,图中所标线段为道路,ABQP,BCRQ,CDSR近似于正方形.已知A,B,C,D四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的质量都成正比.现要从P,Q,R,S中选出一处设立一个运煤中转站,使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少,则地点应选在( )A.P点B.Q点C.R点D.S点【思路点拨】分别求出地点选在P,Q,R,S时,四个采煤点的煤运到中转站的费用,然后比较即可.【解析】选 B.根据题意设A,B,C,D四个采煤点每天所运煤的质量分别为5x,x,2x,3x,正方形的边长为l(l>0).运煤的费用与运煤的路程、所运煤的质量都成正比,比例系数为k,k>0,则地点选在点P,其运到中转站的费用为k(5x l+2x l+6x l+12x l)=25kx l;地点选在点Q,其运到中转站的费用为k(10x l+x l+4x l+9x l)=24kx l;地点选在点R,其运到中转站的费用为k(15x l+2x l+2x l+6x l)=25kx l;地点选在点S,其运到中转站的费用为k(20x l+3x l+4x l+3x l)=30kx l.综上可知地点应选在Q,煤运到中转站的费用最少.【误区警示】本题易因不能准确确定采煤点和中转站的路程关系而导致错误.二、填空题(每小题5分,共20分)9.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=e kt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k= ,经过5小时,1个病毒能繁殖为个.【解析】由已知得2=,所以=ln2,即k=2ln2,当t=5时,y=e(2ln2)×5==210=1024.答案:2ln2 102410.(xx·衢州模拟)一高为H,满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为V1,则函数V1=f(h)的大致图象可能是图中的.【解析】当h=0时,V1=0可排除①③;由于鱼缸中间粗两头细,所以当h在附近时,体积变化较快;h小于时,体积增加越来越快;h大于时,体积增加越来越慢.答案:②11.如图,书的一页的面积为600cm2,设计要求书面上方空出2cm的边,下、左、右方都空出1cm的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、宽应分别为.【思路点拨】设这页书的长为xcm,根据面积为600cm2将宽用x表示,再将中间文字部分的面积S用x表示,进而求函数最值.【解析】设这页书的长为xcm,宽为ycm,则xy=600,所以y=,则中间文字部分的长为:x-2-1=(x-3)cm,宽为:y-2=cm,所以其面积S=(x-3)=606-2.又解得3<x<300,所以S≤606-2×2=486,当且仅当=x,即x=30时,S max=486,此时y=20.答案:30cm,20cm12.(能力挑战题)某医院为了提高服务质量,对挂号处的排队人数进行了调查,发现:当还未开始挂号时,有N个人已经在排队等候挂号;开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人.假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人,当开放一个窗口时,40分钟后恰好不会出现排队现象;若同时开放两个窗口时,则15分钟后恰好不会出现排队现象.根据以上信息,若要求8分钟后不出现排队现象,则需要同时开放的窗口至少应有个.【解析】设要同时开放x个窗口才能满足要求,则由①②,得代入③,得60M+8M≤8×2.5Mx,解得x≥3.4.故至少同时开放4个窗口才能满足要求.答案:4【加固训练】(xx·福建高考)某地区规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,点表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小.例如,在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的线路图如图1,则最优设计方案如图2,此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3,则铺设道路的最小总费用为.【解析】根据题目中图3给出的信息及题意,要求的是铺设道路的最小总费用,且从任一城市都能到达其余各城市,可将图3调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用).此时铺设道路的总费用为2+3+1+2+3+5=16.答案:16三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=,其中k,b均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.(1)试确定k,b的值.(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.【解析】(1)由已知⇒解得b=5,k=1.(2)当p=q时,=2-x,所以(1-t)(x-5)2=-x⇒t=1+=1+.而f(x)=x+在(0,4]上单调递减,所以当x=4时,f(x)有最小值,故当x=4时,关税税率的最大值为500%.【误区警示】本题在对f(x)=x+求最小值时,易误为f(x)≥2=10,原因是忽视了该函数的定义域(0,4],而用基本不等式求最小值.14.(xx·湖州模拟)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈[14,40]时,曲线是函数y=log a(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式.(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.【解析】(1)t∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),将(14,81)代入得c=-,t∈(0,14]时,p=f(t)=-(t-12)2+82;t∈[14,40]时,将(14,81)代入y=log a(t-5)+83,得a=,所以p=f(t)=(2)t∈(0,14]时,由-(t-12)2+82≥80,解得12-2≤t≤12+2,所以t∈[12-2,14],t∈(14,40]时,由lo(t-5)+83≥80,解得5<t≤32,所以t∈(14,32],所以t∈[12-2,32],即老师在t∈[12-2,32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳.15.(能力挑战题)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间.(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.【解析】(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为T1(x),T2(x),T3(x),由题设有T1(x)==,T2(x)=,T3(x)=.其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.(2)完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为.易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数.注意到T2(x)=T1(x),于是①当k=2时,T1(x)=T2(x),此时f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max.由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当=时f(x)取得最小值,解得x=.由于44<<45,而f(44)=T1(44)=,f(45)=T3(45)=,f(44)<f(45),故当x=44时完成订单任务的时间最短,且最短时间为f(44)=.②当k>2时,T1(x)>T2(x),由于k为正整数,故k≥3,此时≥=.记T(x)=,φ(x)=max{T1(x),T(x)},易知T(x)是增函数,则f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=φ(x)=max.由函数T1(x),T(x)的单调性知,当=时φ(x)取最小值,解得x=.由于36<<37,而φ(36)=T1(36)=>, φ(37)=T(37)=>,此时完成订单任务的最短时间大于.③当k<2时,T1(x)<T2(x),由于k为正整数,故k=1,此时f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max.由函数T2(x),T3(x)的单调性知,当=时f(x)取最小值,解得x=,类似①的讨论,此时完成订单任务的最短时间为,大于.综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68. 30717 77FD 矽32056 7D38 紸S$q,28038 6D86 涆*40371 9DB3 鶳32865 8061 聡 26698 684A 桊精品文档实用文档。

高考数学一轮复习专题2.9函数模型及其应用(练)(2021年整理)

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专题2。

9 函数模型及其应用基础巩固题组一、填空题1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为________元/件时，利润最大．【答案】102．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a错误!(a为常数),广告效应为D＝R－A。

那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．(用常数a表示)【答案】1 4 a2【解析】D＝R－A＝a错误!－A，令t＝错误!（t＞0），则A＝t2，所以D＝at－t2＝－错误!2＋错误! a2.所以当t＝错误!a，即A＝错误!a2时，D取得最大值．3．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2。

15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2。

85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22。

6元，则此次出租车行驶了________km。

【答案】9【解析】设出租车行驶x km时，付费y元，则y＝错误!由y＝22。

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