chapter9_v11

② 选择 iL 作为状态变量
i R = i L = iC
di L 1 t Ri L + L + ∫ i L (ξ )dξ = 0 dt C −∞ d 2 i L R di L 1 + + iL = 0 2 dt L dt LC
2 并联 RLC 电路的零输入响应
由 KCL
i R + i L + iC = 0
（3）C＝1F，L＝1H，R＝2 ） ＝ ， ＝ ， ＝ 特征方程
2
，uC(0＋)＝1V，iL(0＋)＝1A。 ＝ ， ＝ 。
R 1 s + s+ =0 L LC
iL
R
L
+
s 2 + 2 s + 1 = 0 ⇒ s1 = s2 = −1
uC
_
C
特征根为两个相等的实根，故属于临界阻尼（ 特征根为两个相等的实根，故属于临界阻尼（Critically dumped）， ）， 解的形式为
K 1 = 1.5 ⇒ K 2 = −1.5
故得
uC ( t ) = (1.5e − t − 1.5e −3 t )V
t ≥0
duC = ( −0.5e − t + 1.5e −3 t ) A t ≥ 0 i L ( t ) = iC ( t ) = C dt
（2）C＝1F，L＝1H，R＝1 ） ＝ ， ＝ ， ＝ 特征方程
s 2 + bs + c = 0
− b ± b 2 − 4c s1 , s2 = 2
① b2 — 4c >0 两个不相等的实根 解的形式
x ( t ) = K 1e s1t + K 2 e s2t 过阻尼响应（overdamped response） 过阻尼响应（ ）
= K1 + K 2
常数 K1、K2 根据初始条件求解
undamped response
③ b2 — 4c =0 两个相等的实根 解的形式
x ( t ) = ( K 1 + K 2 t )e s1t
临界阻尼响应 Critically damped response
常数 K1、K2 根据初始条件求解
x(0+ ) = K 1 x′(0+ ) = s1 K 1 + K 2
特征根为两个不相等的负实根，故属于过阻尼（ 特征根为两个不相等的负实根，故属于过阻尼（overdumped）， ）， 解的形式为 s1 t s2 t
uC ( t ) = K 1e + K 2 e
（1）C＝1/3 F，L＝1H，R＝4 ） ＝ ， ＝ ， ＝
，uC(0＋)＝0V，iL(0＋)＝1A； ＝ ， ＝ ；
t = 0+
=A
x ′(0+ ) = {−σ e −σ t [ A cos(ω d t ) + B sin(ω d t )] + e −σ t [−ω d A sin cos(ω d t ) + ω d B cos(ω d t )]} = −σ A + ω d B
若σ
t = 0+
= 0 , 解的形式 x ( t ) = A cos(ωd t ) + B sin(ωd t ) 无阻尼响应
解的形式
σ = b/2
ω d = b 2 − 4c / 2
underdamped response
x ( t ) = e −σ t [ A cos(ωd t ) + B sin(ωd t )] 欠阻尼响应
常数 A、B 根据初始条件求解 、
x (0+ ) = {e −σ t [ A cos(ω d t ) + B sin(ω d t )]}
，uC(0＋)＝1V，iL(0＋)＝1A。 ＝ ， ＝ 。
s2 +
R 1 s+ =0 L LC
iL
R
L
+
1 3 2 s + s + 1 = 0 ⇒ s1 , s2 = − ± j 2 2
uC
_
C
特征根为共轭复数，故属于欠阻尼（ ），解的形式为 特征根为共轭复数，故属于欠阻尼（underdumped），解的形式为 ），
（4）欠阻尼（无阻尼） ）欠阻尼（无阻尼）
uC ( t ) = A cos(2t ) + B sin电路如图所示，分别求以下两种参数条件下的 uC（t）和 iL（t）， 。 ） ）， （1） C＝1/3 F，L＝1H，R＝4 ，uC(0＋)＝0V，iL(0＋)＝1A； ） ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ； （2）C＝1F，L＝1H，R＝1 ，uC(0＋)＝1V，iL(0＋)＝1A。 ） ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ 。 （3）C＝1F，L＝1H，R＝2 ，uC(0＋)＝1V，iL(0＋)＝1A。 ） ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ 。
x(0+ ) = K 1e s1t + K 2 e s2 t
t =0
+
x′(0+ ) = K 1e s1t + K 2 e s2 t ′
t = 0+
= s1 K 1 + s2 K 2
② b2 — 4c <0 两个共轭复根
− b ± b 2 − 4c s1 , s2 = = −σ ± jω d 2
电路理论
Circuit Theory
湖北工业大学 电气与电子工程学院
Chapter 9 二阶电路
Second Order Circuit • 零输入响应 • 零状态响应 • 全响应
重点 二阶微分方程的求解方法。 二阶微分方程的求解方法。
9.1 二阶电路（Second Order Circuit）的基本概念 二阶电路（ ）
uC ( t ) = ( K 1 + K 2 t )e s1t
uC (0+ ) = 1V 由初始条件 du ′ uC (0+ ) = C dt
0
i L (0+ ) = = 1V C
uC (0+ ) = K 1 = 1 ⇒ uC (0+ ) = s1 K 1 + K 2 = 1 ′
串联 RLC 电路
R
L
C
并联 RLC 电路
d2x dx + b + cx = 0 dt 2 dt
R 1 1 c= 串联 RLC电路 b = = 电路 L GL LC 1 1 c= 并联 RLC 电路 b = RC LC
二阶微分方程解的形式
d2x dx + b + cx = 0 dt 2 dt
特征方程 特征根
包含两个动态元件的线性、时不变电路称为二阶电路。 包含两个动态元件的线性、时不变电路称为二阶电路。 两个动态元件的线性 二阶电路通常由线性、常系数二阶微分方程来描述。 二阶电路通常由线性、常系数二阶微分方程来描述。
典型的二阶电路 R
+
L
US
_
C
IS
R
L
C
串联 RLC 电路
并联 RLC 电路
R
L
L
R L C
C
C
零状态响应或全响应
+
R
L
零输入响应
US
C IS
R
L
C
_
+
L
R1
US
_
R2 C
+
L1
R
US
L2
_
IS
C1
R
C2
9.2 二阶电路的零输入响应
1 串联 RLC 电路的零输入响应
由 KVL
R
L
+
uR + uL + uC = 0
C
① 选择 uC 作为状态变量
uC
_
diC + uC = 0 RiC + L dt d 2 uC R duC 1 + + uC = 0 2 dt L dt LC
uC ( t ) = e −σ t [ A cos(ωd t ) + B sin(ωd t )]
uC (0+ ) = 1V 由初始条件 du ′ uC (0+ ) = C dt i L (0+ ) = = 1V C
A = 1 ⇒ B = 3
0
uC (0+ ) = A = 1 ⇒ uC (0+ ) = −σ A + ωd B = 1 ′
解： 电路的二阶微分方程
iL
R
L
+
d 2 uC R duC 1 + + uC = 0 2 dt L dt LC
特征方程
uC
_
C
s2 +
R 1 s+ =0 L LC
（1）C＝1/3 F，L＝1H，R＝4 ） ＝ ， ＝ ， ＝
，uC(0＋)＝0V，iL(0＋)＝1A； ＝ ， ＝ ；
s 2 + 4 s + 3 = 0 ⇒ s1 = −1, s2 = −3
故得
uC ( t ) = e
1 − t 2
3 3 t ) + 3 sin( t ) V cos( 2 2
t ≥0
1 − t duC 3 3 2 = e cos( i L ( t ) = iC ( t ) = C t ) − 3 sin( t ) A t ≥ 0 dt 2 2
−σ t b2 — 4c <0 x ( t ) = e [ A cos(ωd t ) + B sin(ωd t )]
b2 — 4c =0 x ( t ) = ( K 1 + K 2 t )e s1t