数学分析课件

2）任取点 (ξ i ,ηi ) ∈ ∆σ i , ）
n n
z
∆vi ≈ f (ξ i ,ηi ) ∆σ i (i = 1,2,L, n )
i =1 i =1
3）作和 v = ∑ ∆vi ≈ ∑ f (ξ i ,ηi ) ∆σ i ） 4）取极限 令 λ = max {∆ σ i的直径 } ） 1≤ i ≤ n 则
二重积分的概念与性质 二重积分的计算 二重积分的应用 三重积分的概念及其计算
∫
b
∫∫ f ( x, y )dσ
f ( x )dx
D
a
∫∫∫ f ( x, y, z )dv
Ω
1
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念 引例1 引例 曲顶柱体的体积 ∆ 1）将区域D任意分割 任意分割成n个小区域： σ 1 , ∆σ 2 ,L, ∆σ n . ） 任意分割 ∆σ i 也表第i块小区域的面积 z = f ( x, y )
∆σ i 也表第i块小区域的面积. 任取点 (ξi ,ηi ) ∈ ∆σ i (i = 1,2,L, n )
作
∑ f (ξ ,η )∆σ ,
i =1 i i i
n
令 λ = max{∆σ i的直径}
1≤i ≤ n
若极限 lim
λ →o
存在， ∑ f (ξ ,η ) 存在
i =1 i i
n
则称此极限值为 记作： 即
∫∫ f ( x, y )dσ ≤ ∫∫ g ( x, y )dσ
D
D
5.估值定理 设 M 和 m 是 f ( x, y ) 在闭区域 D 上的最大值和最小值， 估值定理
σ 为 D 的面积，则 mσ
≤
∫∫ f ( x, y )dσ ≤ Mσ
D
σ 6.中值定理 设函数 f ( x, y ) 在闭区域 D上连续， 为 D 的面积， 中值定理
ln( x + y ) > [ln( x + y )]
2
o
x+ y=2 D x 1
2
ln( x + y )dσ > ∫∫ [ln( x + y )]2 dσ 所以， ∫∫
D D
x + y =1
8
D
f ( x, y ) 在区域 上的二重积分 在区域D上的二重积分 上的二重积分.
n
∫∫ f ( x, y )dσ
∫∫ f ( x, y )dσ = lim ∑ f (ξ ,η )∆σ λ
D
→0
i =1
i
i
i
P2
4
可积条件： 可积条件：若 f ( x, y ) 在闭区域D上连续, 则 几何意义: 几何意义 1) 若 f ( x, y ) ≥ 0 ,
则至少存在一点(ξ ,η ) ∈ D 使得
∫∫ f ( x, y )dσ =
D
f (ξ , η )σ
7
x
例1 比较积分大小： ln( x + y )dσ 与
∫∫
D
[ln( x + y )]2 dσ ∫∫
D
其中D 是顶点为(1,0), (1,1), ( 2,0) 的三角形区域. y 解 在D上， < x + y < 2 1 (1,1)
1≤ i ≤ n
m = lim ∑ ρ (ξi ,ηi )∆σ i = ∫∫ ρ ( x, y )dσ
λ →o
i =1
n
D
3
定义： 定义： f ( x, y ) 是定义在有界闭区域 设 有界闭区域D上的有界 函数 有界闭区域 有界 函数，
∆ 将D任意分割 任意分割成n个小区域： σ 1 , ∆σ 2 ,L, ∆σ n 任意分割
D
z
z = f ( x, y )
o
x
5
二、二重积分的性质
1.线性性质 线性性质
∫∫ [kf ( x, y ) + mg ( x, y )]dσ = k ∫∫ f ( x, y )dσ
D
&于积分区域的可加性 若 D = D1 + D2 关于积分区域的可加性: 关于积分区域的可加性 则
ρ ( x, y )
(ξi ,ηi )
2）任取点 (ξ i ,ηi ) ∈ ∆σ i , ）
n n
∆mi ≈ ρ (ξ i ,ηi ) ∆σ i (i = 1,2,L, n )
i =1 i =1
x
3）作和 m = ∑ ∆mi ≈ ∑ ρ (ξ i ,ηi ) ∆σ i ） 4）取极限 令 λ = max {∆ σ i的直径 } ）
o
v = lim∑ f (ξi ,ηi )∆σ i = ∫∫ f ( x, y )dσ
λ→0
i =1
D
n
x
(ξi ,ηi )
2
y 引例2 引例 非均匀平面薄片的质量 1）将区域D任意分割 ） 任意分割成n个小区域： 任意分割 ∆σ 1 , ∆σ 2 ,L, ∆σ n . ∆σ i 也表第i块小区域的面积
∫∫ f ( x, y )dσ
D
必存在.
∫∫ f ( x, y )dσ 表曲顶柱体的体积.
D
2) 若 f ( x, y ) ≤ 0 , ∫∫ f ( x, y )dσ 表曲顶柱体体积的相反值.
D
3) 若 f ( x, y ) 在D的部分区域上大于0,在部分区域上小于0,
∫∫ f ( x, y )dσ 表体积的代数和,上方取正,下方取负.
∫∫ f ( x, y )dσ = ∫∫ f ( x, y )dσ + ∫∫ f ( x, y )dσ
D
D1
D2
3.若在 上, f ( x, y ) = 1, 则, 若在D上 若在
σ = ∫∫ dσ ,σ 为区域D的面积.
D
6
4.不等性 若在 D上,恒有 f ( x, y ) ≤ g ( x, y ), 不等性 则有