三次函数研究

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探讨三次函数及其图像

探讨三次函数及其图像三次函数是高中数学中一个重要的内容，它的图像特点和性质经常被用于解决实际问题。

本文将探讨三次函数及其图像的相关知识。

一、三次函数的定义和形式三次函数是指函数的最高次幂为3的多项式函数，通常表示为y=ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c、d为常数且a≠0。

三次函数的定义域为全体实数。

二、三次函数的图像特点1. 定义域和值域：三次函数的定义域为全体实数，值域的范围是整个实数空间。

2. 对称性：三次函数的图像可以有对称的特点。

当a为正数时，图像关于y轴对称；当a为负数时，图像关于x轴对称。

3. 零点和极值点：三次函数的零点是使得函数取值为0的横坐标点，也就是方程ax³+bx²+cx+d=0的解。

根据高中代数学的知识可知，三次函数至多有三个零点。

而极值点是函数的最高点或最低点，求解极值点的方法是求导。

4. 拐点：拐点是三次函数图像由凹变凸或由凸变凹的转折点。

根据高中微积分的知识可知，三次函数有至多两个拐点。

三、三次函数的图像三次函数的图像形态丰富多样，可以通过分析函数的系数来判断图像的具体形状。

1. 当a>0时，函数的图像是开口向上的，并且在拐点附近是向下凹的。

2. 当a0时，函数的图像是开口向下的，并且在拐点附近是向上凸的。

3. 当a=0时，函数的图像是二次函数的图像。

此时，三次函数变成了二次函数。

四、三次函数的应用三次函数的图像特点和性质经常被用于解决实际问题。

1. 利用图像特点解方程：由于三次函数的零点对应图像的横坐标，因此可以通过观察图像来解三次函数的方程。

2. 利用极值点求解最优问题：三次函数的极值点对应图像的最高点或最低点，在解决最优问题时可以通过求解极值点来得到最优解。

3. 利用拐点解决变化问题：三次函数的拐点对应图像的转折点，可以用来解决某个变量随另一个变量变化而产生转折的问题。

综上所述，三次函数是高中数学中的重要内容。

三次函数

第28关：三次函数专题—全解全析一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

证明：设函数的对称中心为（m，n）。

按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。

所以，函数的对称中心是（）。

可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。

此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。

③若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。

4、极值点问题若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x)≥f(x) (或f(x)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x为极大值点（或极小值点）。

当时，三次函数在上的极值点要么有两个。

当时，三次函数在上不存在极值点。

5、最值问题函数若，且，则：；三、三次函数与导数专题：1. 三次函数与导数例题例1. 函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.解：（Ⅰ），的判别式△=36（1-a）.（ⅰ）当a≥1时，△≤0，则恒成立，且当且仅当，故此时在R上是增函数.来自QQ群3（ⅱ）当且，时，有两个根：，若，则, 当或时，，故在上是增函数；当时，，故在上是减函数；若，则当或时，，故在和上是减函数；当时，，故在上是增函数；（Ⅱ）当且时,,所以当时，在区间（1，2）是增函数.当时，在区间（1,2）是增函数，当且仅当且，解得.综上，的取值范围是.例 2. 设函数，其中。

三次函数的性质研究

三次函数的性质研究导数是中学数学的重要内容，它和向量和复数一样都是解决其它问题的工具，唯一不同的是它主要解决的是数学中抽象而又尤为重要的函数问题，特别是三次以上函数以及非常规的函数问题。

利用导数将三次函数问题转化为二次函数进行研究的思想实际上就是化归思想的具体体现，也就是说，熟练把握导数的相关性质和二次函数的性质是研究三次函数图像与性质的重要保证。

系列探究1：从最简单的三次函数3x y =开始反思1：三次函数31y x =+的相关性质呢？反思2：三次函数31y x =-+的相关性质呢？反思3：三次函数()311y x =-+的相关性质呢？系列探究2：探究一般三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的性质：先求导2()32(0)f x ax bx c a '=++>，令2()320f x ax bx c '=++=的判别式222124(4)b ac b ac =-=-△()。

1．函数的定义域与值域均为R 。

2．单调性：（1）若22120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在R 上是增函数；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，则()f x 在12(,),()x x -∞+∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减。

3．极值：（1）若0≤△，此时函数无极值；（2）若0△>，且2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，此时函数()f x 在1x x =处取极大值)(1x f ，在2x x =处取极小值)(2x f 。

4．奇偶性：函数当且仅当0==d b 时是奇函数。

5．对称性：函数图象关于点))3(,3(ab f a b --中心对称（了解）（1）证明：三次函数d cx bx ax x f +++=23)(关于点（m ，n ）对称的充要条件是n x m f x m f 2)()(=++-，即])()()([23d x m c x m b x m a +-+-+-+n d x m c x m b x m a 2])()()([23=++++++，整理得，n d mc bm am x b ma 2)2222()26(232=+++++据多项式恒等对应系数相等,可得a bm 3-=且d mc bm am n +++=23=)3()(a bf m f -=，从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是))3(,3(a bf a b--；系列探究3：一般三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的图像：（1）若22120b ac =-≤△()时，…（2）若22120b ac =->△()时，…反思4：由图像能够探究出在区间],[n m 的最大值与最小值吗？（1）若22120b ac =-≤△()，函数有最大值)(n f ，最小值)(m f ；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <， ①21x m x n ><或时，函数有最大值)(n f ，最小值)(m f ，②21x n m x ≤<<时，函数有最大值)(m f ，最小值)(n f ，③n x x m ≤<≤21时，函数有最大值)(1x f ，最小值)(2x f ，④21x n x m ≤<≤时，函数有最大值)(1x f ，最小值)}(),(min{n f m f ，⑤n x m x ≤<<21时，函数有最大值)}(),(max{n f m f ，最小值)(2x f 。

用导数研究三次函数样本

用导数研究三次函数一、知识点解析1、定义:定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数, 称为”三次函数”。

定义2、三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ,我们把)3412422ac b ac b -=-=∆（,叫做三次函数导函数的判别式。

2、三次函数图象与性质的探究:1、单调性一般地, 当032≤-ac b 时, 三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数; 当032>-ac b 时, 三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。

2、对称中心三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称, 且对称中心为点))3(,3(ab f a b --, 此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上, 且又是两个极值点的中点, 同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题( 1) 当032≤-=∆ac b 时, 由于不等式0)(≥'x f 恒成立, 函数是单调递增的, 因此原方程仅有一个实根。

( 2) 当△=032>-ac b 时, 由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x , 不妨设21x x <, 可知, ))(,(11x f x 为函数的极大值点, ))(,(22x f x 为极小值点, 且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增, 在[]21,x x 上单调递减。

此时:①若0)()(21>⋅x f x f , 即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧, 图象均与x 轴只有一个交点, 因此原方程有且只有一个实根。

②若0)()(21<⋅x f x f , 即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异侧, 图象与x 轴必有三个交点, 因此原方程有三个不等实根。

三次函数变化规律

三次函数的变化规律主要取决于函数的系数和自变量的值。

以下是一些可能影响三次函数变化规律的常见因素：
1.函数的系数：三次函数的系数决定了函数的开口方向、对称轴和顶点等基本性质。

例如，如果二次项系数为正，则函数图像开口向上；如果二次项系数为负，则函数图像开口向下。

2.自变量的值：自变量取不同的值时，函数值也会发生变化。

例如，当自变量取对称轴的值时，函数取得最值。

3.函数的导数：导数可以反映函数的变化速度和方向。

通过求导可以找到函数的极值点、拐点等关键点，从而更好地了解函数的变化规律。

4.函数的奇偶性：奇函数和偶函数的性质不同，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

这些对称性质也会影响函数的变化规律。

综上所述，三次函数的变化规律是一个复杂的问题，需要考虑多个因素的综合影响。

要了解更多关于三次函数的变化规律，建议查阅数学专业书籍或咨询数学专业人士。

三次函数性质的研究及应用举例

，
（一∞ ，）和（：＋∞）。，上（）＜０ｙ＝（是减，厂）函数；Ｘ，），）＞０Ｙ＝在（．上＿（厂，）是增函数；三次函数）＝，）的图象如图６所示：
Ｊｌ
）和（＋ｏ）Ｘ，。上（）＞０ｙ＝．）增函，厂是（
个极值点；
增函数；当Ｅ（。），Ｘ，时Ｙ＝－）厂是减函数．且，（而
当＝时。
个极值点；
）有极大值。；）当＝时
）有
② 当ｂ一３ｃ＝０时，ａ该方程有两个等根：。＝
：Ｘ）＝３ｘ＋ｂｃｆ（ａ２ｘ＋的图象如下图７所示：在
三次函数性质的研究及应用举例
河北省吴桥县吴桥中学近几年，高考和一些重大考试中频繁出现与三在
次函数有关的题目，在很多省市的高考试卷中都出现了这个函数的单独命题，甚至以压轴题的形式出现，这足以说明，三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，本文试图用初等数学方法较全面地探讨一下它的图象、性质及简单应用．
数；，：上，在（）厂（）＜０Ｙ＝，函数Ｙ＝，）的图象如图２所示：（
）是减函数；三次
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图５
图６
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图１图２
不难得到：６若一３ｃ＞０当 ∈ （，ｉ时，ａ，一ｘ）Ｙ＝）减函数；是当（：＋），＝，时Ｙ）是

与三次函数相关的结论及其证明

解题宝典三次函数是高中数学中常见的一类函数，很多高次函数问题都可以转化成三次函数问题,这就要求我们熟练掌握三次函数的图象和性质,深入研究三次函数的解析式、单调性、对称中心、极值、最值、切线等知识，总结一些与三次函数相关的结论.结论1.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是中心对称曲线，对称中心仍在该曲线上，且其坐标为(-b3a,f(-b3a))，此点的横坐标是其导函数的极值点.证法一：假设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d()a≠0关于点()m,n对称，其充要条件是对曲线上任意一点x∈R，都有f(m-x)+f(m+x)=2n，即[a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n，整理得(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2mc+2d)=2n,对应系数可得m=-b3a且n=am3+bm2+cm+d=d-bc3a+2b327a2，由n=f(m)知其对称中心(-b3a,f(-b3a))仍然在曲线上，所以三次函数是中心对称曲线，且对称中心为(-b3a,f(-b3a)).证法二：f(x)=ax3+bx2+cx+d=aæèöøx+b3a3+b23aæèöøx+b3a+2b327a2-bc3a+d，令函数h(x)=ax3+æèçöø÷c-b23a x，则函数h(x)是奇函数，其图象的对称中心为()0,0，故函数f(x)图象的对称中心为(-b3a,2b327a2-bc3a+d)，且该点(-b3a,f(-b3a))在三次函数曲线上.证法三：设∃m,n∈R使y=f(x+m)-n是奇函数，则f(-x+m)-n=-[]f(x+m)-n，化简得()3ma+b x2+am3+bm2+cm+d=0,则3ma+b=0,n=am3+bm2+cm+d，即m=-b3a,n=f(-b3a).故函数f(x)图象的对称中心为(-b3a,f(-b3a))，且在三次函数曲线上.证法四：f'(x)=3ax2+2bx+c图象的对称轴为x=-b3a，所以f'(x)=f'(-2b3a-x)，故∃C∈R，f(x)=-f(-2b3a-x)+C，则当x=-b3a时，有2f(-2b3a)=C，所以f(x)+f(-2b3a-x)=2f(-2b3a)，所以函数f(x)图象的对称中心为(-b3a,f(-b3a))，且在三次函数曲线上.证法五：f'(x)=3ax2+2bx+c=3aæèöøx+b3a2所以y=f(x)图象上切线斜率的最小值为k0=3ac-b23a≤f'(x)，不妨设3a>0，二次函数f'(x)在区间æèöø-∞,-b3a上单调递减，函数f(x)的图象在æèöø-∞,-b3a上是上凸的；二次函数f'(x)在区间æèöø-b3a,+∞上单调递减，函数f(x)的图象在æèöø-b3a,+∞上是下凸的.故导数的最小值点(-b3a,f(-b3a))是函数f(x)的拐点（横坐标为f'(x)=0的根且随着函数图象的凹凸性改变），即为函数f(x)的对称中心.该性质还可以运用待定系数法、配方法、构造法、积分法、微分法等来证明，同理可证明三次函数不是轴对称曲线.结论2.当b2-3ac≤0时，三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在x∈R上是单调函数；当b2-3ac>0时，三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在x∈R上有三个单调区间.证明:对函数求导可得f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),该导函数为二次函数,则Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac),当b2-3ac≤0时，△≤0,此时f'(x)≤0,三次函数高斌+3ac-b23a,c-42解题宝典y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)在x ∈R 上是单调函数；当b 2-3ac >0时，△>0，方程f '(x )=0有两个实根，三次函数y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)在x ∈R 上有三个单调区间.运用该结论，我们可以直接判断出三次函数的单调性和单调区间.结论3.当b 2-3ac ≤0时，三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)在x ∈R 上不存在极值点；当b 2-3ac >0时，三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)在x ∈R 上有两个极值点.证明：（1）当b 2-3ac ≤0时，由于不等式f ′(x )≥0恒成立，三次函数在x ∈R 上是单调函数，所以原方程仅有一个实根；（2）当b 2-3ac >0时，由于方程f ′(x )=0有两个不同的实根x 1,x 2，不妨设x 1<x 2，由a >0可知，(x 1，f (x 1))为函数的极大值点，(x 2,f (x 2))为极小值点，且函数y =f (x )在(-∞,x 1)和(x 2,+∞)上单调递增，在()x 1,x 2上单调递减.①若f (x 1)∙f (x 2)>0，则函数y =f (x )极大值点和极小值点在x 轴的同侧，图象与x 轴只有一个交点，所以原方程f ′(x )=0有且只有一个实根；②若f (x 1)∙f (x 2)<0，则函数y =f (x )极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与x 轴必有三个交点，所以原方程f ′(x )=0有三个不相等的实根；③若f (x 1)∙f (x 2)=0，则f (x 1)与f (x 2)中有且只有一个值为0，所以原方程有三个实根，其中两个相等（即有两个不相等的实根）.我们可以绘制出如下的表格.a >0图象f (x )=0根的个数与x 轴交点单调性极值b 2-3ac >0f (x 1)∙f (x 2)<0三个实根三个交点在(-∞,x 1)和(x 2,+∞)上为增函数，在(x 1,x 2)上为减函数有两个极值，f (x 1)为极大值，f (x 2)为极小值f (x 1)∙f (x 2)=0两个实根两个交点f (x 1)∙f (x 2)>0一个实根一个交点b 2-3ac ≤0一个实根一个交点在R 上为增函数无极值结论4.若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d ()a ≠0,x ∈[m ,]n ,x 0∈[]m ,n ,当f ′(x 0)=0时，f m a x ()x =max {f ()m ,f ()x 0,f ()n },f m i n ()x =min {f ()m ,f ()x 0,}f ()n .例1.已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d ，下列结论中错误的是（）.A.∃x α∈R ，f (x α)=0B.函数y =f (x )的图象是中心对称图形C.若x α是f (x )的极小值点，则f (x )在(-∞,x α)上单调递减D.若x 0是f (x )的极值点，则f '()x 0=0解析：由三次函数的图象和性质知，A 、B 正确；若f (x )有极小值点，则f ′(x )=0有两个不相等的实数根x 1,x 2(x 1<x 2)，可得f ′(x )=3x 2+2bx +c =3(x -x 1)(x -x 2)，则f (x )在(-∞,x 1)上为增函数，在(x 1,x 2)上为减函数，在(x 2,+∞)上为增函数，故C 错，D 正确；本题应选C 答案.我们直接利用了结论1、3,便能快速得出正确答案.例2.已知函数f ()x =x 3-3x -1，若直线y=m 与y =f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.解析：由已知得f '()x =3x 2-3，由f '(x )=0解得x 1=-1,x 2=1.由f (x )的单调性可知，f (x )在x =-1处取得极大值1，在x =1处取得极小值-3.因为直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是(-3,1).要画出该三次函数的图象比较困难，我们可利用结论3求出函数的极大值和极小值，进而求得m 的取值范围.结论5.（1）设点P 为三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)图象上任意一点，则过点P 有且只有一条直线与y =f (x )的图象相切；（2）若点P 为三次函数曲线的对称中心，则过点43解题宝典。

三次函数的性质及应用

三次函数的性质及应用
三次函数：性质及应用
三次函数是在数学领域中常用的函数之一，表达式常写为y=ax³+bx²+cx+d.
它是含有一个三次项的多项式函数，可以通过三次函数的性质可以得出曲线的性质。

三次函数的性质
首先，是函数的解析法则，例如，y=ax³+bx²+cx+d，其中a不等于0。

可以使
用贝塞尔公式将它补充完整，这样可以求出图形函数的所有有限点。

从图像上看，三次函数是一条弯曲的曲线，有一个极点。

极点可以通过使用微分计算法则求出，即可以使用f'(x)=0来求解出极点。

三次函数的应用
三次函数在日常生活中被很多人所使用，从制造汽车和飞机，到设计微型机器人，无不是这一函数的付出。

比如说道路的建造，一般采用的是“S形”的三次函数，它提高了由起点向终点的安全性和舒适性，同时可以增加隧道的速度、减少改变方向时的磨擦，从而节省能源和改善和加快交通流量。

此外，三次函数还广泛应用于无损检测与机器视觉技术，利用这种技术可以实
现精确检测及定位，应用广泛。

三次函数是一种高级函数形式，它不仅可以用来解决各种数学问题，而且在实
践中也有着广阔的用途，它在帮助社会有所作为的过程中也发挥了重要的作用。

三次函数揭秘三次函数的定义和性质

三次函数揭秘三次函数的定义和性质三次函数是由幂次为3的多项式所表示的函数。

它是一种非线性函数，具有许多特殊的性质和表现形式。

在本文中，我们将深入探讨三次函数的定义和性质，并分析其在数学和实际应用中的重要性。

一、定义三次函数的一般形式可表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d为实数，且a不等于零。

这个函数拥有四个系数，分别对应着三次、二次、一次和常数。

二、特殊形式1. 单位三次函数当a=1，b=0，c=0，d=0时，三次函数的特殊形式为f(x) = x^3。

这称为单位三次函数，它的图像关于原点对称，过原点，斜率逐渐增大，具有一个拐点。

2. 正三次函数当a大于零时，三次函数的图像呈现出从左下方向右上方的上凸弧形。

这种形式的三次函数被称为正三次函数。

3. 负三次函数当a小于零时，三次函数的图像呈现出从左上方向右下方的下凸弧形。

这种形式的三次函数被称为负三次函数。

三、性质1. 奇函数偶函数性质三次函数的奇偶性取决于其各项系数的奇偶性。

当a、c为奇数次幂系数，且b为偶数次幂系数时，三次函数为奇函数；当a、c为偶数次幂系数，且b为奇数次幂系数时，三次函数为偶函数。

2. 零点、极值和拐点三次函数可能具有1至3个零点。

其中，零点是函数与x轴交点的横坐标，可以通过化简方程组或者使用数学软件进行求解。

三次函数的极值点可能有2至3个。

它们分别对应函数的最大值、最小值和可能存在的一个拐点。

极值点可以通过求导数等方法进行计算。

3. 对称性三次函数的图像可能具有关于y轴对称、关于x轴对称或者关于原点对称的特点。

对称性可以通过函数的系数来确定。

四、应用三次函数在数学和实际应用中发挥着重要作用。

它们常常用于建模和问题求解，如物理学和经济学中的曲线拟合、数据分析和趋势预测等。

在物理学中，三次函数可以用于描述物体的运动和变化规律。

例如，弹簧的伸长长度与加载力之间的关系可以使用三次函数来表示。

三次函数性质总结

三次函数性质总结三次函数是指函数的最高次项是3次的函数，一般的三次函数的函数表达式可以写成y=ax^3+bx^2+cx+d。

以下是关于三次函数的性质的总结：1.对称性：三次函数一般具有对称性，即关于y轴对称。

这是因为三次函数中只有偶次次项，所以具有对称性。

这可以通过函数图像来观察，如果一条曲线对称于y轴，则表示这个函数是一个三次函数。

2.零点：三次函数可能有一个或多个零点。

如果函数的零点为x=a，那么乘以(x-a)后，函数会变为二次函数，这是因为函数中的三次项会被消去，变成了二次项。

因此，三次函数的零点可以用来快速确定函数的根的个数。

3.单调性：三次函数的单调性与系数a有关。

当a>0时，三次函数是上凹的，即函数的曲线开口向上，为增函数；当a<0时，三次函数是下凹的，即函数的曲线开口向下，为减函数。

4.驻点：三次函数的导数是二次函数，因此导数为零的点称为驻点。

三次函数的驻点有最大值或最小值，可以通过求导数来求得驻点的位置。

5. 渐近线：三次函数可能有水平渐近线、垂直渐近线或斜渐近线。

水平渐近线是指当x趋于正无穷或负无穷时，函数值趋于一些常数；垂直渐近线是指当x等于一些常数时，函数值趋于正无穷或负无穷；斜渐近线是指当x趋于正无穷或负无穷时，函数值趋于ax^2+bx+c。

6.奇偶性：三次函数的奇偶性与系数b有关。

当b为奇数时，三次函数是奇函数，对称于原点，函数图像关于原点对称；当b为偶数时，三次函数是偶函数，对称于y轴，函数图像关于y轴对称。

7.映射性：三次函数的图像可以映射到整个坐标平面上，因为三次函数没有任何限制，所以可以取得任意的y值。

8.随着函数系数的变化，函数图象会发生相应的形变。

例如，当a的绝对值变大时，函数的曲线会变得更陡峭；当b的绝对值变大时，函数的曲线会向原点靠拢；当c的绝对值变大时，函数的曲线会上下平移；当d 的绝对值变大时，函数的曲线会上下平移。

总之，三次函数具有丰富的性质和特点，可以通过系数的变化来改变函数的图像和性质。

2.8数学探究活动(二)探究三次函数性质课件高二下学期数学北师大版选择性

北师大版数学选择性
必修第二册
三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是高中阶段一种重要的函数,同时又是高考
的重点内容.三次函数的性质存在一定的规律性,下面用导数工具探求其图
象及性质.
一、三次函数图象和性质
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),导数f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),
数知识的关系,使学生既学到了新知识,又巩固了旧知识,为更有效解决三
次函数的极值、某一区间的单调性、证明不等式等问题找到较好的解决
办法.
3.上述例题均以三次函数为背景,主要考查导数在研究函数的单调性、极
值、最值中的应用,意在考查考生运用数形结合思想、分类讨论思想解决
问题的能力.
∴m的取值范围是[-22,+∞).
规律方法
1.要学会用导数方法解决三次函数单调性与极值问题中四类
题型:(1)已知函数解析式求单调性问题;(2)已知函数解析式求极值问题;(3)
已知含参数的函数解析式的极值问题求参数;(4)已知含参数的函数解析式
的单调性问题求参数.
2.通过上述例题研究了三次(高次)函数的性质,同时验证了高ax2-(a2-4),
∵当x=1时,函数f(x)有极大值,∴f'(1)=3a-(a2-4)=0,解得a=4,或a=-1.
若a=4,f'(x)=12x2-12=12(x+1)(x-1),
可得当-1<x<1时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,此时函数
2
-∞,- 3
2

三次函数存在性问题总结

三次函数存在性问题总结
三次函数是一类常见且重要的函数形式。

在本文档中，我们将总结三次函数的存在性问题，包括其定义域、值域以及奇偶性。

一、三次函数的定义域
三次函数的定义域是使函数有意义的输入值的集合。

对于一般的三次函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，它的定义域是整个实数集 $R$。

二、三次函数的值域
三次函数的值域是函数在定义域内可以取得的所有输出值的集合。

值域的确定需要考虑函数的特性以及相关参数的取值范围。

对于一般的三次函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，如果参数$a>0$，那么函数的值域是整个实数集 $R$；如果参数 $a<0$，那么函数的值域是一个有上界但无下界的区间。

三、三次函数的奇偶性
三次函数的奇偶性决定了函数图像关于原点对称的特点。

对于一般的三次函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，如果该函数满足对任意的 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$，即关于原点对称，那么该函数为奇函数；如果该函数关于原点对称，则该函数为偶函数；否则，该函数既不是奇函数也不是偶函数。

综上所述，三次函数存在性问题主要涉及定义域、值域以及奇偶性的确定。

正确理解和分析这些问题，有助于我们更好地理解和应用三次函数。

三次函数-

三次函数三次函数是一种椭圆形状的曲线，它是二次函数的一种升级版，因为它比二次函数更加复杂和灵活。

三次函数的表达式为y = ax³ + bx² + cx + d，其中a、b、c、d是常数，x为自变量，y为因变量。

在这篇文章中，我将探讨三次函数的定义、特点、应用和解法，让读者更好地理解和应用三次函数。

一、三次函数的定义三次函数是指一个以三次幂为最高次方的多项式函数。

一般的三次函数的表达式为y = ax³ + bx² + cx + d，其中a、b、c、d是常数，x为自变量，y为因变量。

三次函数的图像是一条平滑的曲线，通常呈现出椭圆形状。

它的导数是一个二次函数，它的图像呈现出一条抛物线。

二、三次函数的特点1. 对称性三次函数的对称轴为一条直线，该直线平分曲线的两侧，并且与曲线的最高点和最低点相交。

对称轴的方程式为x = -b / 3a。

2. 零点三次函数通常有三个零点，但是有时候会有一个或两个重根。

这些零点可以通过求解所给方程的根来获得，其中方程的系数a、b、c和d是已知的。

当三次函数与x轴相交时，y等于0，因此方程式可以写成ax³ + bx² + cx + d = 0。

3. 最值三次函数有局部最高点和局部最低点。

可以通过求导数来获得最高点和最低点的位置。

三、三次函数的应用下面是一些三次函数的应用领域：1. 经济学三次函数通常用于经济学中的成本和利润分析。

基于不同的成本和利润相关的方程，可以得出三次函数的表达式。

这对分析和管理公司的经济活动非常有用。

2. 物理学三次函数也常用于物理学中的运动方程。

例如，弹道学家可以使用三次函数来描述抛物线的运动，而声学专家则可以使用三次函数来描述声波等物理量的传播。

3. 生物学在生物统计学中，三次函数通常用于研究生长曲线。

这些曲线可以描述有机体个体生长的趋势，并对某些遗传因素的作用进行分析。

四、三次函数的解法三次函数的解法与二次函数有很大的不同。

3次函数曲线-概念解析以及定义

3次函数曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学中，三次函数是一种常见的多项式函数，其最高次项的指数为3。

三次函数的一般形式可以表示为y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d都是实数，并且a不等于0。

三次函数曲线通常呈现出一种典型的"弓形"形状，有时可能具有一个局部极值点或者一个拐点。

它们在图像上的走势和特点在多个领域中都有重要的应用，例如物理学、经济学和计算机图形学等。

理解和掌握三次函数曲线的特点对于解决实际问题和进行进一步的数学研究都是非常重要的。

本文将围绕三次函数曲线展开讨论，首先介绍三次函数的基本定义和性质，然后探讨三次函数曲线的图像特点以及如何进行函数图像的变换和分析。

接下来，我们将进一步研究三次函数曲线的局部极值点和拐点的性质，并举例说明在实际问题中的应用。

最后，我们将总结所讨论的内容，并展望一些可能的研究方向。

通过研究和理解三次函数曲线的性质和特点，我们可以更好地应用它们解决实际问题，并且有助于我们对数学的深入理解和进一步研究。

接下来，我们将详细介绍本文的组织结构和目的。

1.2 文章结构2. 正文在本文中，我们将着重研究3次函数曲线。

通过对这种特殊类型的函数曲线进行深入的分析和研究，我们可以更好地理解它们的数学性质和应用。

本文的正文部分将分为三个要点来探讨3次函数曲线所涉及的关键概念和性质。

2.1 第一要点在第一要点中，我们将首先介绍3次函数曲线的基本定义和表达形式。

我们将学习如何根据给定的系数，利用函数表达式来绘制3次函数曲线的图像。

此外，我们还将讨论3次函数曲线的对称性和奇偶性，并探索其在数学和科学领域中的实际应用。

2.2 第二要点在第二要点中，我们将进一步研究3次函数曲线的性质和特征。

我们将通过对曲线的导数和导数变化率的分析，探讨曲线的增减性和凸凹性。

此外，我们还将介绍曲线的转折点和拐点，并讨论这些特殊点对曲线整体形状的影响。

三次函数的性质及导函数研究函数的应用

专题一：三次函数的中心、单调性、极值、零点和恒成立问题前言：研究三次函数的性质，实质上是研究导函数对应的二次函数的性质。

一、三次多项式函数的中心理论：①若))(,(00x f x 是三次函数的中心，则0)(0//=x f 且0212x x x =+时，有)(2)()(021x f x f x f =+。

②若三次函数)(),(x f x g 的中心分别是))(,()),(,(0000x f x x g x ，则)()(x f x g y +=的中心为))()(,(000x g x f x +。

例1：（1）若()323f x x x =-，则1220122012f f ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4022...2012f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭40232012f ⎛⎫+=⎪⎝⎭A -8046B -4023C -2013D -2012（2）若321151()3132122g x x x x x =-+-+-，则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g +++++= （A ）2010 （B ）2011 （C ）2012 （D ）2013 二、三次函数的极值理论：函数有极值⇔函数不单调⇔导函数二次函数的0>∆；函数无极值⇔函数单调⇔导函数二次函数的0≤∆。

例2：（1）若a ＞0，b ＞0，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于【】 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9（2）已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为【】A ．c ＜14B ． c ≤14C ．c ≥14D ．c ＞14（3）133)(23++-=x ax x x f 。

（i ）2=a 时，求)(x f 的单调区间；（ii ）若)(x f 在)3,2(中至少有一个极值点，求a 的范围。

三次函数的性质及应用

三次函数的性质及应用
1. 三次函数的定义
三次函数是指函数的最高次幂为3的代数函数，它的一般形式
为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为常数。

2. 三次函数的性质
- 零点：三次函数的零点是使得f(x) = 0的x值。

由于三次函数
是三次方程，理论上有三个实根或复根。

零点可以通过求解方程
f(x) = 0得到。

- 极值点：三次函数的极值点是函数达到最大值或最小值的点。

三次函数的极值点可能在实数轴上存在，也可能不存在。

可以通过
求解f'(x) = 0找到极值点。

- 函数图像：三次函数的图像通常呈现出一条平滑的曲线，称
为三次曲线。

根据三次函数的系数的取值范围不同，可以得到不同
形状的曲线，如上升曲线、下降曲线、拐点等。

3. 三次函数的应用
三次函数的性质在数学和实际问题中都有广泛应用，以下是一
些常见的应用领域：
- 物理学：三次函数可以用来描述物体的运动轨迹，如抛体运动、自由落体、弹性碰撞等。

- 经济学：三次函数可以用来描述经济模型中的供需曲线、成
本曲线等。

- 工程学：三次函数可以用来描述工程中的曲线形状，如桥梁
设计、道路设计等。

- 生物学：三次函数可以用来描述生物学中的生长曲线、代谢
曲线等。

三次函数的性质和应用对于理解和解决实际问题具有重要意义。

深入研究三次函数的数学特性和实际应用可以帮助我们更好地理解
和应用这一数学工具。

三次函数的图像和性质(用)

三次函数的图像和性质
目录
• 引言 • 三次函数的图像 • 三次函数的性质 • 三次函数的应用 • 结论
01
引言
主题介绍
三次函数是数学中一类重要的函数，其一般形式为 $y=ax^3+bx^2+cx+d$。
三次函数的图像和性质在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
研究目的
研究三次函数的图像和性质，旨在深入理解其数学特性，并探索其在解决实际问题中的应用。
通过研究三次函数的图像和性质，可以更好地理解其导数、极值、拐点等概念，为解决实际问题提供数学工具。
研究意义
研究三次函数的图像和性质有助于推动数学理论的发展，丰
富数学学科的知识体系。
三次函数在实际问题中的应用广泛，研究其图像和性质有助于解决工程、物理、经
济等领域的问题。
通过研究三次函数的图像和性质，可以培养数学思维和解决实际问题的能力，提高数学素
单调递减
如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在某区间内单调递减。
单调性判断
可以通过求导数并判断导数的正负来判断函数的单调性。
极值点
1 2
极大值点
函数在该点左侧单调递增，右侧单调递减的点。
极小值点
函数在该点左侧单调递减，右侧单调递增的点。
3
极值点判断
通过求函数的导数并令其为0，然后判断函数在极值点左右两侧的增减性来判定极值点的类型。
在物理领域的应用
振动分析
三次函数可以描述物体振动的规律，如弹簧振荡、电磁振荡等。
弹性力学
在弹性力学中，三次函数可以用来描述物体的形变和应力分布。
流体力学
在流体力学中，三次函数可以用来描述流体运动的规律。

用导数研究三次函数

用导数研究三次函数一、知识点解析 1、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++¹的函数，称为“三次函数”。

定义2、三次函数的导函数为二次函数、三次函数的导函数为二次函数::)0(23)(2/¹++=a c bx ax x f ，我们把)3412422ac b ac b -=-=D （,叫做三次函数导函数的判别式。

叫做三次函数导函数的判别式。

2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性、单调性一般地，当032£-ac b 时，三次函数)0(23¹+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032>-ac b 时，三次函数)0(23¹+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。

上有三个单调区间。

2、对称中心、对称中心三次函数)0()(23¹+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(a b f a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

y ＝f(x)f(x)图象的对称中心在导函数图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题、三次方程根的问题（1）当032£-=D ac b 时，由于不等式0)(³¢x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

程仅有一个实根。

（2）当△=032>-ac b 时，由于方程0)(=¢x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -¥和),(2+¥x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。