直线与圆中蕴涵的数学思想
“直线与圆的方程”中体现的数学思想方法
《直线与圆的位置关系》教学设计
《直线与圆的位置关系》教学设计一、教学内容解析《直线与圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要内容，它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用坐标法进一步研究直线与圆的位置关系，体会数形结合思想，初步形成代数法解决几何问题的能力，并逐渐内化为学生的习惯和基本素质，为以后学习直线与圆锥曲线的知识打下基础．本节课内容共一个课时．教学过程中，让学生利用已有的知识，自主探索用坐标法去研究直线与圆的位置关系的方法，体验有关的数学思想，培养学生“用数学”以及合作学习的意识．二、教学目标设置由于本节课在初中已有涉及，教师准备“学案”先让学生提前思考，归纳出直线与圆的三种位置关系以及代数与几何的两种判定方法．通过学生的观察、分析、概括，促使学生把解析几何中用方程研究曲线的思想与初中已掌握的圆的几何性质相结合，从而把传授知识和培养能力融为一体，完成本节课的教学目标．三、学生学情分析在经历直线、圆的方程学习后，学生已经具备了一定的用方程研究几何对象的能力，因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐．高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯．根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识与技能目标：（1）理解直线与圆三种位置关系．（2）掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法．过程与方法目标：（1）通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式．（2）强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．情感、态度与价值观目标：通过对本节课知识的探究活动，加深学生对坐标法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神．四、教学策略分析本节课以问题为载体，学生活动为主线，让学生利用已有的知识，自主探究，培养学生主动学习的习惯．通过建立数学模型、数形结合，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生的数学素质；通过对直线与圆的位置关系判断方法的探究，进一步提高学生的思维能力和归纳能力．在教学方法的选择上，采用教师组织引导，学生自主探究、动手实践、小组合作交流的学习方式，力求体现教师的设计者、组织者、引导者、合作者的作用，突出学生的主体地位．五、课前准备：直线与圆的位置关系学案（附后）例如图，已知直线直线与圆已知过点，求直线的方程．（课件）六、教学评价设计新课程强调学习过程的评价，因此，在对学生学习结果评价的同时，更应高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、合作意识、独立思考的能力及学习的兴趣等．根据本节课的特点，我从以下几个方面进行教学评价：通过问题情境，激发学生的学习兴趣，使学生找到要学的与以学知识之间的联系；问题串的设置可让学生主动参与到学习中来；在判断方法的形成与应用的探究中，师生的相互沟通调动学生的积极性，培养团队精神；知识的生成和问题的解决，培养学生独立思考的能力，激发学生的创新思维；通过练习检测学生对知识的掌握情况；根据学生在课堂小结中的表现和课后作业情况，查缺补漏，以便调控教学．。
九年级数学直线和圆的位置关系
高档题型解析及思路拓展
例题3
解析
思路拓展
已知直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，直线$l_{2}$过点$P$且与圆 $O_{1}$相交于另一点$Q$，求直线 $l_{2}$的方程。
由于直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，因此点$P$是切点，且直线 $l_{1}$在点$P$处的切线斜率与直线 $l_{2}$的斜率相等。我们可以通过求 出点$P$的坐标和切线斜率，再利用点 斜式求出直线$l_{2}$的方程。
若直线与圆相切，则直线到圆心的距 离等于半径，由此可求出切线方程。
直线与圆的交点坐标
联立直线方程和圆方程求解，可得交 点坐标。若有两个交点，则它们关于 圆心对称。
02
直线与圆的位置关系分类
相离关系
定义
直线与圆没有公共点，称为相离。
判定方法
通过比较圆心到直线的距离与圆的 半径大小来判断。若圆心到直线的 距离大于圆的半径，则直线与圆相 离。
直线与圆的交点个数
通过观察图形或计算，确定直线与圆的交点个数。若有两个交点，则直线与圆 相交；若有一个交点，则直线与圆相切；若没有交点，则直线与圆相离。
综合应用举例
解法一
联立直线l和圆C的方程，消去一 个未知数得到一个一元二次方程 。根据判别式的值判断位置关系 。
解法二
计算圆心(a,b)到直线l的距离d，根 据d与半径r的大小关系判断位置关 系。
圆的性质
圆上任意一点到圆心的距 离等于半径；圆的任意弦 所对的圆周角等于弦所对 圆心角的一半。
圆的切线
与圆有且仅有一个交点的 直线称为圆的切线，切线 与半径垂直。
直线与圆的交点问题
直线与圆的位置关系
直线与圆的切线问题
直线和圆的位置关系说课稿
人教版数学九年级上册第二十四章第二节直线和圆的位置关系说课稿《24.2.2直线和圆的位置关系》说课稿沽源县小厂中学宋丽娟各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的内容是《直线和圆的位置关系》，这是人教版九年级第二十四章《圆》第二节的内容。
这节课分两个课时，我说的是第一课时。
我将从教材分析、教法学法分析、教学过程分析、教学评价分析这四个方面对本节课进行阐述。
一、教材分析（一）教材的地位和作用“直线和圆的位置关系”是在学习了点和圆的位置关系后学习的内容之一，直线和圆的位置关系及其性质是研究直线型与圆的有关性质的基础，是圆这一章的中心内容。
从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的性质和判定、圆和圆的位置关系的基础。
从数学思想方法的层面上看，它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比等数学思想方法，有助于提高学生的数学思维品质。
因此，直线和圆的位置关系在圆一章中起着承上启下的作用。
在直线和圆的位置关系中，相切关系是特殊的位置关系，被广泛地应用于工农业生产、交通运输等方面。
（二）学情分析九年级学生好奇心强，活泼好动、注意力易分散、爱发表见解，希望得到老师的表扬，对亲身体验的事物容易激发求知的渴望。
在教学中应抓住这一心理特征，一方面要创造条件和机会适时提问，让更多的学生敢于发表见解；另一方面要想方设法，引导学生深入思考、主动探究、主动获取新知识。
我根据教材的地位和作用，以及学生特点，制定了如下的教学目标。
（三）教学目标（1）知识目标：1、知道直线和圆相交、相切、相离的定义。
2、能根据定义来判断直线和圆的位置关系3、能根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置。
（2）能力目标：体验数学活动中的探索与创造，培养学生的观察、归纳能力，以及分析问题，解决问题的能力。
（3）情感目标：1、体会事物间的相互渗透，初步掌握转化的思想；2、感受数学思维的严谨性，并在合作学习中获得成功的体验。
直线与圆的位置关系
教师引导：如果把圆的半径记为r,圆心到直线的距离记为d,当直线与圆相交、相切、相离时，d与r有怎样的数量关系呢？
学生活动：4人小组合作交流画出直线与圆的三种位置关系的图形，并做出圆心到直线L的距离d，再与半径r进行比拟。
前后照应，进一步体会数学知识与实际生活的密切联系
课
堂
小
结
板书设计
位置关系大小关系交点个数
直线与圆相交⇄d<r 2
直线与圆相切⇄d=r 1
直线与圆相离⇄d>r 0
位置关系 数量关系
运用的数学思想：数形结合
〔1〕r=2cm；〔2〕r=2.4cm；〔3〕r=3cm。
4.: ⊙O半径为4cm，假设直线上一点P与圆心O距离为6cm，那么直线与圆的位置关系是〔〕
A.相离B.相切
C.相交D.无法确定
5. ⊙O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与⊙O的位置关系是〔〕
A.相交或相切B.相交或相离
总结归纳：
直线和圆相交→d < r
直线和圆相切→d = r
直线和圆相离→d > r
反过来，d与r的数量关系同样可以得到直线与圆的位置关系，它们是互逆的。
提问学生：判定直线和圆的位置关系的方法有几种？
学生总结：2种。①根据定义，由公共点的个数来判断
②由圆心到直线的距离d与r的大小判断
<三>稳固练习
1、圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d：
(2)直线和圆有一个公共点,做直线和圆相切，直线叫做切线，公共点叫做切点。
(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
数学思想在直线和圆的方程中的应用
Ｃ１， Ｃ２， 则 ＯＣ１ ＝ ＯＣ２ ＝! ２ ， 可 见 当 动 圆 的 圆 心 在 线 段 Ｃ１Ｃ２ 上 时 ， 圆 与 两 直 线 有 公 共 点 ， 所 以 ａ 的 取 值范围是：｛ ａ│－ ! ２ ≤ａ≤ ! ２ ｝ ．
（ ２） 由图可知： 当 ａ＝ ! ２ 时 ， 圆 与 两 直 线 相 切 ，
数学思想
名师点金
数学思想在直线 和 圆的
河南 胡银伟
方程中的应用
数学思想作为一条主线始终贯穿于数学的学 习之中， 且各个知识板块的内容都有数学思想的指 导， 直线和圆的方程自然也不例外．本文结合几个 例题浅析几种数学思想在直线和圆的方程中的应 用．
一、函数与方程的思想
函数的思想， 是建立函数关系或构造函数， 运 用 函 数 的 图 象 和 性 质 去 分 析 问 题 、转 化 问 题 ， 从 而 使得问题解决； 方程的思想， 是建立方程或方程组， 通过解方程或方程组， 或运用方程的性质去分析问 题， 从而使得问题解决．
次 方 等 于 １３０３２１， ２１ 的 四 次 方 等 于 １９４４８１， 都 不 合 题 意．最 后 只 剩 下 一 个 １８， 是 不 是 正 确 答 案 呢 ？
验算一下， １８ 的立方等于 ５８３２， 四次方等于 １０４９７６， 恰好“不重不漏”地用完了 十 个 阿 拉 伯 数 字 ， 多
么完美的组合！
方已经是五位数了， 所以维纳的年龄最多是 ２１ 岁； 同样道理， １８ 的四次方是六位数， 而 １７ 的四次方
则是五位数了， 所以维纳的年龄至少是 １８ 岁．这样， 维纳的年龄只 可 能 是 １８、１９、２０、２１ 这 四 个 数 中
的一个．
剩下的工作就是“ 一 一 筛 选 ”了．２０ 的 立 方 是 ８０００， 有 ３ 个 重 复 数 字 ０， 不 合 题 意．同 理 ， １９ 的 四
直线与圆的方程中的数学思想方法.doc
直线与的方程中的数学思想方法数学思想和方法是数学的灵魂，是知识转化能力的桥梁，信息社会越来越多的要求人们自觉地运用数学思想來提出问题和解决问题。
近几年的高考数学试题，越来越注重对数学思想和数学方法的考査，这已成为高考的风景线。
为此，特为同学们总结直线与圆的方程中几种常用的数学思想方法。
一、数形结合思想有利子生成解题思路数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，也就是对题目屮的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上找出解题思想。
解析几何是代数方法来研究问题的一门学科。
因此，宥些问题利用直线的几何图形来处理会起到意想不到的效果。
（1）“曲线”与“方程”是同一对象（即点的轨迹）的两种表现形式，曲线是轨迹的几何形式，方程是轨迹的代数形式，它们在表现和研究轨迹的性质时，各有所长、几何形式具有直观形象的优点，代数形式具有便于运算的优点，因而具有操作程序化的长处，具体解题时最好将二者结合起来，这就是“数形结合”思想。
（2）运用数形结合的思想，解决直线与直线、直线与圆的交点问题，其实质是讨论方程的实数解的个数，或讨论曲线的位置关系，是高考中经常出现的问题，其处理方法有：一是转化为方程根的分布来讨论；二是转化为曲线与直线(曲线)的位置关系来讨论。
(3)在分析问题和解决问题时，要注意解析语言的意义及运用，要掌握图形语言、符号语言及文字语言的互化，g觉地由“形”到“数”与由“形”变“数”地运用数形结合的思维方法。
(4)求动点轨迹方程的基木思想方法的实质是形数对应、形数结合与转化的思想方法的一个具体的应用。
二、待定系数法是直线与圆的方程屮最常用的思想方法待定系数法，它适合用于根据题目条件可以直接判断轨迹是什么曲线，而且知道它的方程的形式的情形。
因此，应用待定系数法解题的必要前提是正确判断所求问题的形式结合、直线与圆的方程正好是结构固定，所以，在直线与圆的方程屮，待定系数法是应用最多的数学思想方法。
《直线和圆的位置关系》教案
课题：《直线和圆的位置关系》授课教师：韶关市田家炳中学 梁彩媚教材：人教版九年级第二十四章《圆》第二节一、教材分析1、教材的地位和作用“直线和圆的位置关系”是《圆》这章的重点内容之一。
从知识体系上看，它既是点和圆位置关系的延续与提高，又是学习切线性质和判定定理、圆和圆位置关系的基础。
从思想方法上看，它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。
因此，直线和圆的位置关系在圆一章中起着承上启下的作用。
2、教学内容：本节课内容是直线和圆位置关系第一课时：学习直线和圆的位置关系及判定方法。
3、教学目标： 知识目标:从具体的事例中认识和理解直线和圆的三种位置关系并能概括其定义；会用定义来判断直线和圆的位置关系；通过观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系与对应数量关系及其运用。
能力目标：培养学生的观察、分析、归纳能力，加深对类比、数形结合、化归等思想方法的认识。
情感目标：感受数学思维的严谨性，并在合作学习中获得成功的体验。
4、教学重、难点重点：探索并掌握直线和圆的位置关系。
难点：掌握直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和圆半径的数量关系。
二、教法和学法分析本节课采用“导学—展示—反馈”教学方法。
在教师的引导下，学生通过自主学习、小组交流、全班展示活动获取新知，并由练习反馈学习情况，构建积极参与、多向互动的教学模式。
教学准备：多媒体课件、导学案。
三、教学过程 1、教学流程：2、教学过程：知识积累 复习导入 自主学习探索新知 自学反馈巩固新知 小结收获反思提升 布置作业复习巩固直线与圆的 位置关系 图 形公共点个数 公共点名称 直线名称环节 活动 活动知识积累 复习导入 围绕前节课内容进行知识积累： 1、知识点：2、错解、正解、分析3、出题：学生代表组织学习、展示、讲解。
学生自主构建知识体系，并为本节课学习做准备。
高中数学圆与方程直线、圆的位置关系直线与圆的位置关系教材梳理素材
4。
2.1 直线与圆的位置关系疱丁巧解牛知识·巧学一、直线与圆的位置关系的判断方法一：代数法(或Δ法）将直线的方程与圆C 的方程联立，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程。
（1）当Δ＞0时,方程有两解，此时方程组也有两组实数解，说明直线l 与圆C 相交;(2)当Δ=0时,方程有唯一解,此时方程组也有唯一一组解,说明直线l 与圆C 相切；（3)当Δ＜0时，方程无实数解，从而方程组也无解，说明直线l 与圆C 相离.方法二：几何法判断圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系。
（1）如果d 〈r,直线l 与圆C 相交;(2）如果d=r ，直线l 与圆C 相切；（3）如果d>r ，直线l 与圆C 相离.方法点拨 以上两种方法都是针对直线与整个圆的位置而言的,研究直线与部分圆的关系时，除利用以上两种方法外,一般都用数形结合求出字母的取值范围。
二、直线与圆的位置关系中的三个基本问题1.判定直线与圆的位置关系问题,常规方法是比较d 与r 的大小.2。
求圆的切线方程问题,求切线有三种情况:（1)从圆上的已知点为切点求切线；（2)已知切线的斜率求切线；（3）已知圆外一点求切线.求切线的方法：（1)利用圆心到直线的距离等于圆的半径；(2）判别式法，一般地，过圆上一点的切线只有一条，过圆外一点的切线有两条；(3）切点坐标代换法，即如果圆的方程为x 2+y 2=r 2，则过圆上一点（x 0，y 0）的切线方程为x 0x+y 0y=r 2.3。
关于弦长问题,一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁.误区警示 在求与圆相切的直线方程时，首先要判断点与圆的位置关系。
当点在圆上时，切线只有一条，若点在圆外,则切线有两条,可以设出直线方程,用待定系数法求解，在设方程时一定要注意到直线斜率不存在的情况,避免漏解。
问题·探究问题1 旋转滴有雨水的伞，雨水将会沿着伞的各自什么位置飞出？探究：沿着一条直线的方向飞出，此直线是以伞的边缘点为切点的切线.问题2 给出一个已知圆C ：(x —2)2+(y —3)2=4，直线l:（m+2）x+(2m+1）y=7m+8,当m∈R 时，你能确定这条直线与圆的位置关系吗？与参数m 有关吗？探究：由已知直线l 的方程(m+2）x+（2m+1)y=7m+8变形可得（2x+y —8)+m （x+2y-7)=0，由直线系方程知识可知，此直线必过两直线2x+y —8=0和x+2y —7=0的交点，解之可得交点为(3,2），即无论m 为何值，直线l 恒过定点(3,2).而容易判断点（3,2）在已知圆内,所以直线与圆总相交,与参数m 无关.典题·热题例1 求经过点(1，-7）且与圆x 2+y 2=25相切的切线方程.思路解析：将点(1，—7）代入圆方程，有12+(-7)2=50〉25，可知点（1，-7）是圆外一点，故所求切线有两条,要求切线方程,只需求切线的斜率或再求切线上另一点.解：法一：设切线的斜率为k ，由点斜式有y+7=k(x —1)，即y=k （x —1）-7。
直线与圆的位置关系说课稿
直线与圆的位置关系说课稿高三数学组魏剑今天我为大家说课的题目是《直线与圆的位置关系》。
下面，我将分别从背景分析、教学目标设计、教法学法分析、课堂结构设计、教学过程设计及教学评价设计六个方面对本课进行说明。
一、背景分析1．教材地位分析从知识结构来看，直线与圆的位置关系是对圆的方程应用的延续和拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置关系等内容的基础。
因此，这节课的内容起着承前启后的作用。
同时，在直线与圆的位置关系的判断方法的建立过程中蕴涵着诸多的数学思想方法，这对于进一步探索、研究后续内容有很强的启发与示范作用。
2．学生情况分析对于直线和圆，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交。
从直线与圆的直观感受上，学生懂得从圆心到直线的距离与圆的半径相比较和交点个数情况来研究直线与圆的位置关系。
本节课，学生将进一步挖掘直线与圆的位置关系中的“数”的关系，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。
另外，通过学生参与问题的解决，让学生体验有关的数学思想，培养“数形结合”的意识。
二、教学目标设计新课程标准的要求是能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离），体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”与“数”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用。
根据课标要求，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，本节课教学应实现如下教学目标：知识与技能：能根据给定直线、圆的方程，熟练求出交点坐标，掌握判断直线和圆的位置关系的方法，并解决一些简单问题。
过程与方法：理解直线和圆的三种位置关系，感受直线和圆的位置与它们的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系；体验通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小及通过方程组的解的个数判断直线与圆的位置关系，能用直线和圆的方程解决一些条件下圆的弦长问题和切线问题；领会数形结合的数学思想方法，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。
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这 样 的 数 是 顺 利 解 题 的 关 键 。本 文 就 如 何 构 造 出 均 值不等式 的 条件进行 归纳 ， 同学们 参考． 供
高中数学《直线与圆的位置关系》说课
《直线与圆的位置关系》说课稿一、说教材《直线与圆的位置关系》是高中人教版必修2第四章第二节的内容，直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。
从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆与圆的位置关系的基础。
从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。
二、说学情学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定;且在上节的学习过程中掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式;掌握利用方程组的方法来求直线的交点;具有用坐标法研究点与圆的位置关系的基础;具有一定的数形结合解题思想的基础。
三、说教学目标(一)知识与技能目标:能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系;可以利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法简单判断出直线与圆的关系。
(二)过程与方法目标:经历操作、观察、探索、总结直线与圆的位置关系的判断方法，从而锻炼观察、比较、概括的逻辑思维能力。
(三)情感态度价值观目标:激发求知欲和学习兴趣，锻炼积极探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯。
四、说教学重难点(一)重点:用解析法研究直线与圆的位置关系。
(二)难点:体会用解析法解决问题的数学思想。
五、说教学方法根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持.在教学中采用小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动。
六、说教学过程(一)导入新课教师借助多媒体创设泰坦尼克号的情景，并从中抽象出数学模型：已知冰山的分布是一个半径为r的圆形区域，圆心位于轮船正西的l处，问，轮船如何航行能够避免撞到冰山呢?如何行驶便又会撞到冰山呢?教师引导学生回顾初中已经学习的直线与圆的位置关系，将所想到的航行路线转化成数学简图，即相交、相切、相离。
直线与圆的方程中的六种数学思想方法(学生版)
直线与圆的方程中的六种数学思想方法
1.数形结合的思想
例1 设k ，a 是实数，要使关于x 的方程 |2x-1|=k(x-a)+a 对于k 的一切值都有 解，求实数a 的取值范围．
变式： 方程3)2(42+-=-x k x 有两个不等实根，则k 的取值范围是
2.分类讨论的思想
例3 求与点P(4，3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程．
例4 讨论直线l：3x+4y+m=0与圆C：x2+y2-2x=O的位置关系．
3.参数思想
例5 已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求证无论a为何值，直线总过第一象限．(2)为使这直线不过第二象限，求a的范围．
例6 过点P(2，1)作直线l，与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，| PA|·| PB|的最小值及此时l的方程．
4.待定系数法的思想：根据给定条件求直线和圆方程时，待定系数法和代点法是常用的方法．
例7 已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过一定点P(6，-2)，求直线的方程．
例8 已知△ABC中，A点坐标为(1，2)， AB边和AC边上的中线方程分别为5x-3y-3=O和7x-3y-5=O，求BC边所在直线方程．
5.化归的思想. 利用转化的思想可把较繁的问题简单化．
例9 求函数y=12+x +842+-x x 的最小值．
6.函数、方程、不等式思想
例10 两条平行直线分别过点P(-2，-2)，Q(1，3)，它们之间的距离为d ，如果这条直线各自绕点P 、Q 旋转并互相保持平行．
(1)求d 的变化范围．
(2)用d 表示这两条直线的斜率．
(3)当d 取最大值时，求这两条直线的方程．。
第七章《直线和圆的方程》教材分析及教学建议
y2 ⅳ. 对于 z= x 1 ，z 可看作是点(x,y)与点(1,2)连
线的斜率.
（5）在讲解“曲线和方程”的概念时， 要让学生深刻认识和理解定义：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解：
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点.
四、 内容分析: §7.1直线的倾斜角和斜率 重点：直线倾斜角和斜率概念。 难点：斜率概念的学习和过两点直线的斜率公式 的建立。直线方程和方程的直线的概念；
倾斜角分两种情况： a. 当直线和 x 轴平行或重合，规定为 ； b. 当直线与 x 轴相交时，规定把 x 轴绕交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角。 斜率与斜率公式： a. 倾斜角不为 的正切值叫做直线的斜率； b. 倾斜角为 的直线斜率不存在； c. 斜率公式的推导，直线的方向向量。
问题四：已知直线过点（2，3）且在两坐标 上的截距相等，求直线的方程.
问题五：过圆（x-1）2+y2=1外一点（2，4） 作圆的切线，求所作切线的方程.
（4）在进行线性规划内容的教学时，要注意数形 结合思想方法的渗透，通过对目标函数的几何意义 的提炼，找到合理、简捷的解题方法。
问题六 已知 x、y 满足条件 x+2y-2≤0, x≥0,y≥0.
求 x 2 y 2 的最小值. 问题二：已知实数 x,y 满足 x2+y2=1，求
x
y
2
的取值范围.
y=kx,
问题三：已知方程组 y= . x2 1 试讨
论 k 的取值范围，使得该方程组分别有一解、
二解和无解.
（3） 重视分类思想在教学中的渗透。例如： 直线倾斜角的定义、直线斜率的定义、如何用 直线的点斜式和斜截式设直线方程、过圆外一 点求圆的切线方程时要注意什么、设直线的截 距式方程时又要注意什么等。
例析求解直线与圆的方程问题的思想方法
x=
57
专题指导 数学 ·
% 2 姨 2 -sinθ 圯sinθ± % 5 d%cosθ= % 2 ， 所以 姨1+5d · 姨 姨 % 姨 5 |cosθ|
%
（θ±φ ） （θ±φ ） sin = 姨 2 .由sin =
%
%
姨
%
得d≥ 姨 ≤1， 2 5 1+5d
2
%
5
.
5 当 d 达到最小值 姨 时， sin （θ ± φ） =1 ，从而 5 π π 3π 并由此解得θ= 或θ= φ=± ， . 4 4 4 即a=b=1或a=b=-1.以下同解法一. 转化三： 判别式法求最值 由d= bd+5d2， ① 将a2=2b2-1代入 ①式， 整理得2b2±4 姨 5 bd +5d2+ 1=0. ② 把它看作b的一元二次方程， 由于方程有实根， 故判别 式非负， 即Δ=8 （5d2-1 ） 得5d2≥1， 所以d≥ 姨 5 . ≥0， 5 将d= 姨 5 代入②， 得2b2±4b+2=0， 解得b=±1. 5 从而r2=2b2=2， 由|a-2b|=1， 知a与b同号. a=±1，
b ， 在② k1
% % 1 当且仅当 （姨 2 -1 ） ， 即|t|= 姨 2 +1 |t|= % （姨 2 -1 ） |t| 时， d达到最小值.此时可求得a=b=1或a=b=-1. 2 由于r2=2b2， 故r= 姨 2 .于是所求圆的方程是： （ ） x-1 + %
2 2 2 （y-1 ） （x+1 ） （y+1 ） =2或 + =2. a b ， 2 2k1 转化二： 三角代换求最值 设 MN 中点的坐标为 （x， ） ， 则有 y 圯 b a % |a-2b| y= + 令 姨 2 b=secθ， 则 d= a=tanθ， 0≤ θ＜2π， = % 2 2k1 姨5
直线与圆问题中的数学思想和方法
三 个 点 ； 当 ｒ＞６ 时 ， 有 四 个 点．抓 住 变 化 过 程 中 的 临
界值作答．
五 、数 形 结 合 思 想
例 ６ 已 知 曲 线 ｙ＝１ ＋
!４－ ｘ２ 与 直 线 ｙ＝ｋｘ ＋４ － ２ｋ
有两个交点， 则实数 ｋ 的取
值范围是
．
ｙ ４ ｌ１
１ Ａ（ － ２， １）
－２ Ｏ
Ｐ（ ２， ４）
ｙ
高 径 为 ａ， 圆 心 为（ ｂ， ｃ） ， 则 直 线
二 ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ 与直线 ｘ－ ｙ＋１＝０ 的
交点在
（
）
Ｏｘ
Ａ．第 一 象 限
Ｂ．第 二 象 限
Ｃ．第 三 象 限
Ｄ．第 四 象 限
解析 半径 ａ＞０， 圆心为（ ｂ， ｃ） ．
由图知： ｂ＜０， ｃ＞０， ｂ ＞ａ， ａ＞ｃ，
所以 ａ＋ｂ＜０， － ｂ＞ａ＞０， ０＜－
Ｃ．存 在 一 条 定 直 线 与 所 有 的 圆 均 不 相 交
Ｄ．所 有 的 圆 均 不 经 过 原 点
其中真命题的代号是
（． 写出所有真
命 题 的 代 号）
解析 由已知得动圆的圆心坐 标 为（ ｋ－ １， ３ｋ） ，
半径是 ｒｋ＝! ２ ｋ２．
对于 Ａ， 若 Ａ 正确， 显然该直线的斜率存在， 设
求 ｌ 的倾斜角；
（ ３） 求弦 ＡＢ 中点 Ｍ 的轨迹方程；
（ ４） 若 定 点 Ｐ（ １， １） 分 弦 ＡＢ 为 ＡＰ ＝ １ ， 求 此 ＰＢ ２
时直线 ｌ 的方程．
（ １） 证明 由已知直线 ｌ 为 ｙ－ １＝ｍ（ ｘ－ １） ，
所以直线 ｌ 恒过定点 Ｐ（ １， １） ．
因为 １２＋（ １－ １） ２＝１＜５， 所以点 Ｐ （ １， １） 在圆 Ｃ
直线与圆的位置关系教学设计
《数学》基础模块下册8.4.4《直线与圆的位置关系》教学设计教材分析：从知识结构来看，直线与圆的位置关系是对圆的方程应用的延续和拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置关系等内容的基础。
在直线与圆的位置关系的判断方法的建立过程中蕴涵着诸多的数学思想方法，这对于进一步探索、研究后续内容有很强的启发与示范作用。
学生分析：对于直线和圆，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交。
从直线与圆的直观感受上，学生懂得从圆心到直线的距离与圆的半径相比较来研究直线与圆的位置关系。
本节课，学生将进一步挖掘直线与圆的位置关系中的“数”的关系，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。
教学目标：(一)知识目标1．理解直线与圆的位置关系．2．掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数来判断直线与圆的位置关系的方法.(二)能力目标1．通过两种方法的判断直线与圆位置关系，进一步培养学生用解析法解决问题的能力．2．通过两种方法的比较，进一步培养学生分析问题和灵活应用所学知识解决问题的能力．(三)情感目标通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，使学生在学习活动中获得成功的体验．锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点：直线与圆的位置关系的理解和掌握．教学难点：直线与圆的位置关系的判定．设计思想：根据《中职数学教学大纲》的要求，在课堂教学中，必须以学生为主体，为中心进行教学，教师在教学中起主导作用。
丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中教学课程追求的理念。
学生的数学学习不应只限于概念，结论和方法的记忆，模仿和接受。
本节课主要是如何判断直线与圆的位置关系，学习过程中，要使学生理解判断方法，并会灵活应用，要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流。
因此，本设计主要采用的教学方法是引导发现法，结合本课的教学内容与学生实际，整体思路是：创设情境→自主探究→合作交流→得出结论→理解应用→提高能力。
第七章《直线和圆的方程》教材分析及教学建议
难点：如何把实际问题转化到线性规划问 题，并给出解答。
线性规划问题就是求目标函数在线性约束 条件下的最值。所谓目标函数就是表示所 求问题的解析式，满足线性约束条件的解 (x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集 合叫做可行域。解决实际线性规划问题， 需从题意中建立起目标函数和相应的约束 条件，即建立数学模型。
第七章《 直线和圆的方程》 教材分析及教学建议
丁建伟
如果代数与几何各自分开发展，那么 它的进步将十分缓慢，而且应用范围也很 有限。但若两者互相结合而共同发展，则 就会相互加强，并以快速的步伐向着完美 化的方向猛进。
拉格朗日
本章内容总述
本章是在学习了平面向量的基础上，以向量为 主要工具之一，利用坐标法来研究直线和圆有关的 几何问题。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程 等联系起来，达到了形和数的结合，蕴含了对应思 想、数形结合思想。本章在一定程度上综合地运用 了一些三角知识、平面几何知识、平面向量知识等。 直线和圆的方程是最基本的曲线方程，是后继学习 圆锥曲线及其它曲线方程的基础，也是学习导数、 微分、积分等知识的基础。直线方程的简单运用— —简单线性规划，通过学习，使学生能了解实际问 题中线性规划的应用，能培养学生解决实际问题的 能力。
四、 内容分析: §7.1直线的倾斜角和斜率 重点：直线倾斜角和斜率概念。 难点：斜率概念的学习和过两点直线的斜率公式 的建立。直线方程和方程的直线的概念；
倾斜角分两种情况： a. 当直线和 x 轴平行或重合，规定为 ； b. 当直线与 x 轴相交时，规定把 x 轴绕交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角。 斜率与斜率公式： a. 倾斜角不为 的正切值叫做直线的斜率； b. 倾斜角为 的直线斜率不存在； c. 斜率公式的推导，直线的方向向量。
解析几何中的数学思想
教学实践2014-03解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，解几知识中，蕴含着深刻的数学思想，对解几本质的考查往往通过对其思想应用的考查得以体现。
首先是由解几本质特征所决定的函数与方程思想，数形结合思想，其次是研究几何问题常用到的化归与转化的思想方法，分类与整合的思想方法，一般与特殊的思想方法等。
一、数形结合思想解析几何的基本思想就是数形结合，因为数与形是数学中最古老、最基本的研究对象，在解题中要善于将数形结合的数学思想运用于对圆锥曲线和平面几何性质以及相互关系的研究，即通过“以形辅数”“以数解形”“数形结合”将抽象的数学问题与直观的几何图形相结合，从而达到优化解题的途径。
例1（2012年福建理19题）如图椭圆E ∶x2a2+y2b2（a >b >0）的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e =12，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8。
（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线l ∶y =kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x =4相交于点Q ，试探究在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。
评析：本题是一道循规蹈矩的解析几何题，对于问题（2）在探求“数”与“形”之间的联系时，若发现只需判断∠PMQ 为直角即证明MP ，MQ 即可将问题化繁为简.然而，在平时如果能注意结合探究教学，不难得出如下结论：已知F 1（-c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆C ∶x2a2+y 2b2=1（a >b >0）的左右焦点，点P （x 0，y 0）为椭圆上的一个动点，过点P 作椭圆的切线e 1与过右焦点F 2作与焦半径PF 2垂直的直线l 2交于点Q ，则点Q 的轨迹即为椭圆的左准线x =a2c，那么，由此进行必要的合情推理，是可以猜想出所求的点M 应该是右焦点，设为M （x 0，0），这样就大大减少了计算量。