第 3 章 数学模型及其转换

改变复域变量
set(G, 'Variable', 'p') 参数提取 单变量[num,den]=tfdata(G, 'v') Num=G.num{1};den=G.den{1} 多变量Num=G.num{ i, j}; den=G.den{ i, j}

3.3 利用MATLAB实现数学模型的转换
sys4=tf(num,den,0.2)
零极点增益模型MIMO
1 z 0.3 H (z) 2 z 0.5 z 0.1 j z 0.1 j
z={0;-0.5}; p={0.3;[0.1-j,0.1+j]}; k=[1;2]; sys=zpk(z,p,k,[])
外部模型：着眼于建立系统输入输出关系的数学模型 内部模型：着眼于建立系统输入、输出与内部状态变量之间关 系 的数学模型，
主要内容


3.2 控制系统的常用数学模型及其matlab表示 3.3 系统模型的相互转换 3.4 系统模型的连接 本章要点简介
3.2 控制系统的常用数学模型及其 matlab表示

3.2.3 离散状态方程模型

数学形式


注意兼容性 MATLAB表示方法
离散延迟系统的状态方程

数学模型

MATLAB表示方法 H=ss(F,G,C,D,’Ts’,T,’ioDelay’,m)
多变量系统(MIMO)传递函数矩阵模型

传递函数矩阵

为第 i 输出对第 j 输入的传递函数
连续MIMO系统
传递函数 tf
tf2ss ss2tf ss2zp 状态空间 ss zp2ss zp2tf
tf2zp
零极点 zpk
一. 化传递函数为零极点增益形式tf2zp
传递函数
G (s) bm s m bm 1 s m 1 L b1 s1 b0 s n an 1 s n 1 L a1 s1 a0
6 4 u 2 0
带时间延迟的状态方程

数学模型

MATLAB输入语句

G=ss(A,B,C,D,'InputDelay',2,'output Delay',4)
3.2 线性离散时间系统的数学模型

单变量系统：差分方程取代微分方程

主要内容


3.2.1 离散传递函数 3.2.2 离散零极点模型 3.2.3 离散状态方程
第3章 控制系统的数学模型及其转换
系统的数学模型

系统数学模型的重要性

系统仿真分析必须已知数学模型 系统设计必须已知数学模型 建模方法：从已知的物理规律出发，用数学 推导的方式建立起系统的数学模型 辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型

系统数学模型的获取


系统数学模型的分类
非线性 系统 模型 线性 连续


举例：
系统为一个两输入两输出系统 1
10 4 3 12 6 8 2 A=[1 6 9 10; 3 12 6 8; x 4 7 9 11; 5 12 13 14]; x 4 7 9 11 2 B=[4 6; 2 4; 2 2; 1 0]; 5 12 13 14 1 C=[0 0 2 1; 8 0 2 2]; D=zeros(2,2); 0 0 2 1 y x G=ss(A,B,C,D) 8 0 2 2 6 9
离散型
状态 空间 模型
连续型
离散型
Sys=ss(a，b，c，d)
H=ss(F,G,C,D,’Ts’,T,)
其他参数的修改

延迟
单变量 G ( s ) e 3 s set(G,'ioDelay',3) 多变量状态空间 G=ss(A,B,C,D,'InputDelay',2,'outputDelay',4) H=ss(F,G,C,D,’Ts’,T,’ioDelay’,m)
1 s 1 G s 2 1 s2 s 1 s 2
MATLAB命令： num={1 1;2 [1 1] }; %分子多项式 den={[1 1],[1 2];1,[1 2]}; %分母多项式 sys3=tf(num,den)
离散MIMO系统
传递函数参数提取

由于使用单元数组，直接用G.num不行 有两种方法可以提取参数 [num,den]=tfdata(G, 'v') Num=G.num{1};den=G.den{1} 这样定义的优点：可以直接描述多变量系统 Num=G.num{ i, j}; den=G.den{ i, j}

1 线性连续系统的数学模型与MATLAB表示 2 线性离散系统的数学模型与MATLAB表示 3 多变量系统的描述 4 总结



3.1 连续线性系统的数学模型与 MATLAB表示



3.1.1 传递函数模型 3.1.2 零极点模型 3.1.3 状态方程模型
3.1.1 线性连续系统数学模型及 MATLAB 表示
K
增益
例 零极点模型

MATLAB输入方法 P=[-1;-2;-3;-4];Z=[-5;-2+2i;-2-2i]; G=zpk(Z,P,6) 另一种输入方法 s=zpk(‘s’); G=6*(s+5)*(s+2+2i)*… (s+2-2i)/((s+1)*(s+2)*(s+3)*(s+4))

3.1.3 状态空间描述
定常
时变
离散 混合
系统数学模型的分类
——根据系统输入、输出与内部状态变量之间关系
时域：N 阶微分方程 频域：S 传递函数
外部模型 连续系统 控 制 系 统
内部模型： 状态空间方程（ N 个一阶微分方程） 时域：N 阶差分方程 频域：Z 传递函数
外部模型 离散系统
内部模型：状态空间方程（N 个一阶差分方程）
若一采样周期为0.2s的离散MIMO传递函数为
z 1 z2 2z 1 H z 1 2z 1 z2 2 2 z 1 z
num={[1 1],[1 0];1,2}; %分子多项式
den={[1 2 1],[1 0 2];[2 1],[1 1]}; %分母多项式
s=tf(‘s’); G=3*(s^2+3)/(s+2)^3… /(s^2+2*s+1)/(s^2+5) 用于生成拉普拉斯变量s的有理传递函数
传递函数属性修改

例 延迟传递函数G ( s ) e
3 s
，即
set(G,'ioDelay',3)

若假设复域变量为 ，则
s
set(G, 'Variable', 'p')


另一种输入方法 z=tf(‘z’,0.1);H=(6*z^2-0.6*z-0.12)… /(z^4-z^3+0.25*z^2+0.25*z-0.125);
离散延迟系统与输入

数学模型


延迟为采样周期的整数倍 MATLAB输入方法 set(H,'ioDelay',3)
3.2.2 线性系统的零极点模型
在不同的场合需要不同的模型，因此系统 的数学模型有多种表示方式，这些数学模型需 要相互转换。
3.3.1 三种模型之间的转换 3.3.2 连续和离散系统模型之间的转换 3.3.3 传递函数与部分分式之间的转换
3.3.1 三种数学模型之间的转换
MATLAB实现模型转换有两种不同的方式。 方式1：简单的模型转换 首先生成指定的模型对象(tf，ss，zpk)，然后将该模型对 象类作为输入，调用欲转换的模型函数即可。 例如：欲将传递函数转换为状态空间模型
传递函数表示

数学方式

MATLAB输入语句
传递函数输入举例

例 给定单输入单输出SISO系统传递函 数为

MATLAB输入语句 num=[12 24 12 20] den=[2 4 6 2 2] G=tf(num,den)
另外一种传递函数输入方法

如何处理如下的传递函数？

定义算子
，再输入传递函数
例 零极点模型

MATLAB输入方法 P=[-1;-2;-3;-4];Z=[-5;-2+2i;-2-2i]; G=zpk(Z,P,6,0.1) 另一种输入方法 s=zpk(‘s’.0.1); G=6*(s+5)*(s+2+2i)*… (s+2-2i)/((s+1)*(s+2)*(s+3)*(s+4))

零极点模型是因式型传递函数模型
H (Z ) K ( Z z1 )( Z z 2 ) ( Z z m ) ( Z p1 )( Z p2 ) ( Z i 和 K 增益 零极点模型的MATLAB表示
z [ z1 , z 2 ,..., z m ]; p [ p1 , p 2 ,..., p n ]; G zpk ( z , p , k );

第 i 输出对第 j 输入的传递函数
3.1.2 线性系统的零极点模型

零极点模型是因式型传递函数模型
( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) G (s) K ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )