2.1.1 整式
2.1.1 整式
思考
先填空,再请说出你所列式子的运算含义。 先填空 再请说出你所列式子的运算含义。 再请说出你所列式子的运算含义 4x 1、边长为 的正方形的周长是 、边长为x的正方形的周长是 。 2、一辆汽车的速度是 千米 小时，行驶 小时所走过 千米/小时 、一辆汽车的速度是v千米 小时，行驶t小时所走过 vt 千米。 的路程为 千米。 6a2 ，体积为 a3 。 3、如图正方体的表面积为 3、 -n 4、设n表示一个数，则它的相反数是 表示一个数， . 、 表示一个数
− 2x y A.单项式 的系数是 − 2, 次数是3 3 B.单项式a的系数是0, 次数是0
2
C. − 3x y + 4x − 1是三次三项式, 常数项是1
2
3 ab 9 D.单项式 − 的次数是 2, 系数为 − 2 2
2
7、判断题： 、判断题： 的系数是5（ ） （1）-5ab2的系数是 （× ） （2）xy2的系数是 （ × ） 的系数是0（ ）
2 3 2 2
说出下列单项式的系数和次数 （1） 20﹪m, ） ﹪ （2）3×105x²y ） ×
写出一个单项式，使它的系数是 ，次数是3 写出一个单项式，使它的系数是2，次数是 写出一个多项式，使它的项数是3，次数是4 写出一个多项式，使它的项数是 ，次数是
你和你的同桌一齐回答
下列关于2 的次数说法正确的是( 下列关于 4的次数说法正确的是 c )
判断. 下列代数式哪些是多项式? 判断. 下列代数式哪些是多项式?
我思,我进步 我思 我进步2
解剖多项式
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 叫做多项式的 不含字母的项叫做 的项叫做常数项 不含字母的项叫做常数项 多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数 多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数
人教版七年级数学上册2.1《整式》教案
人教版七年级数学上册2.1《整式》教案一. 教材分析人教版七年级数学上册2.1《整式》是学生在学习了有理数、四则运算、及数轴等知识的基础上，进一步学习代数知识的重要章节。
整式是代数表达式的基础，对于学生理解和掌握代数知识体系具有重要意义。
本节课的主要内容有整式的定义、分类和基本运算，通过学习，使学生能理解和运用整式进行简单的数学问题求解。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于有理数、四则运算等概念有一定的了解。
但是，对于整式这一概念，学生可能较为抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，需要借助具体的例子，帮助学生理解和掌握整式的概念和运算规律。
三. 教学目标1.理解整式的定义，能正确识别各种整式。
2.掌握整式的基本运算规律，能进行整式的加减乘除运算。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.整式的定义和分类。
2.整式的基本运算规律。
五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，通过设置一系列问题，引导学生思考和探索，从而达到理解和掌握整式的目的。
同时，结合具体例子，进行讲解和操作，使学生能直观地理解和运用整式。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括整式的定义、分类和运算规律等内容。
2.准备一些实际的数学问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的数学问题，引入整式的概念。
例如：已知两个一次函数的图像分别为y=2x+1和y=3x-2，求这两个函数的交点坐标。
2.呈现（10分钟）介绍整式的定义、分类和基本运算规律。
通过PPT展示相关的例子，使学生能直观地理解和掌握整式。
3.操练（10分钟）让学生进行一些整式的运算练习，巩固所学知识。
可以设置一些填空题、选择题等，检验学生对整式的理解和掌握程度。
4.巩固（10分钟）通过一些具体的例子，让学生运用整式解决实际问题。
例如：计算一道购物优惠的问题，需要学生运用整式进行计算。
5.拓展（10分钟）引导学生思考和探索整式的应用领域，例如物理中的运动方程、化学中的反应方程等。
2011中考数学代数式、整式、分式、二次根式知识点
2. 代数式（分类）2.1. 整式（包含题目总数：15）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.1.1. 整式的有关概念用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．单项式和多项式统称整式．用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入．(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入．2.1.2. 同类项、合并同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．注意：(1)同类项与系数大小没有关系；(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．2.1.3. 去括号法则去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．2.1.4. 整式的运算法则整式的加减法：整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．整式的乘法：同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：n m n m a a a +=⋅(n m ,都是正整数)．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．如：()mn nm a a =(n m ,都是正整数)． 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘．如：()n n n b a ab =(n 为正整数)．单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：单项式乘以单项式的结果仍然是单项式．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．如：()mc mb ma c b a m ++=++(c b a m ,,,都是单项式)．注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同． ②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．乘法公式：①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-；③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+；④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．整式的除法：同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a aa p p ,0(1≠=-为正整数)． 单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的．2.2. 因式分解（包含题目总数：14）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.2.1. 因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式．例如：23248a ab b a ⨯=； ()111+=+a aa a 等，都不是因式分解． (2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．例如：()cb ac b a ++=++222，不是因式分解．(3)因式分解和整式乘法是互逆变形．(4)因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止．如：4425b a -在有理数范围内应分解为：()()222255b a b a -+；而在实数范围内则应分解为：()()()b a b a b a 55522-++． 2.2.2. 因式分解的常用方法1、提公因式法：如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式法的关键在于准确的找到公因式，而公因式并不都是单项式；公因式的系数应取多项式整数系数的最大公约数；字母取多项式各项相同的字母；各字母指数取次数最低的．2、运用公式法：把乘法公式反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．平方差公式：()()b a b a b a -+=-22．完全平方公式：()2222b a b ab a +=++；()2222b a b ab a -=+-．立方和公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+．立方差公式：()()2233b ab a b a b a ++-=-．注意：运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数，次数，系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数，字母，单项式或多项式．3、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．2.2.3. 因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．2.3. 分式（包含题目总数：16）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.3.1. 分式及其相关概念分式的概念：一般的，用B A ,表示两个整式，B A 就可以表示成B A 的形式．如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式． 注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．分式的相关概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分． 一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．2.3.2. 分式的性质分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)．分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如： BA B A B A B A --=--=--=． 2.3.3. 分式的系数化整问题分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数．当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是n 10，其中n 等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小．(1)b a b a 41313121-+；(2)22226.0411034.0y x y x -+． 分析：第(1)题中的分子、分母的各项的系数都是分数，应先求出这些分数所有分母的最小公倍数，然后把原式的分子、分母都乘以这个最小公倍数，即可把系数化为整数；第(2)题的系数有分数，也有小数，应把它们统一成分数或小数，再确定这个适当的数，一般情况下优先考虑转化成分数．解：(1)b a b a b a b a b a b a 344612413112312141313121-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+；(2)()()()2222222222222222125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.0411034.0y x y x y x y x y x y x y x y x -+=-+=⨯-⨯+=-+ 222212568y x y x -+=． 2.3.4. 分式的运算法则1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcad c d b a d c b a =⨯=÷． 2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛(n 为整数)． 3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cb ac b c a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：bdbc ad d c b a ±=±． 分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的． 例、计算78563412+++++-++-++x x x x x x x x ．分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” ． 解：原式7175********+++++++-+++-+++=x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=711511311111x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=71513111x x x x ()()()()752312++-++=x x x x()()()()()()()()7531312752++++++-++=x x x x x x x x ()()()()75316416+++++=x x x x x ． 点评：本题考查在分式运算中的技巧问题，要认真分析题目特点，找出简便的解题方法，此类型的题在解分式方程中也常见到． 2.4. 二次根式（包含题目总数：15）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.4.1. 二次根式及其相关概念2.4.1.1. 二次根式的概念式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：①含有二次根号“” ；②被开方数a 必须是非负数．如5，2)(b a -，)3(3≥-a a 都是二次根式．2.4.1.2. 最简二次根式若二次根式满足:①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，如a 5，223y x +，22b a +是最简二次根式，而b a ，()2b a +，248ab ，x1就不是最简二次根式． 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来． 2.4.1.3. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和243一定是同类二次根式．合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．2.4.1.4. 分母有理化把分母中的根号化去，叫分母有理化．如=+131 )13)(13(13-+-2131313-=--=． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如1313-+和；2323-+和；a 和a ；a b a a b a -+和都是互为有理化因式．注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如22133)7(32133)73)(73()73(3733)73(322+=-+=+-+=-=-÷． 2.4.2. 二次根式的性质(1))0()(2≥=a a a ． (2)⎩⎨⎧<-≥==．，)0()0(2a a a a a a (3))0,0(≥≥⋅=b a b a ab ．(4))0,0(>≥=b a b ab a．2.4.3. 二次根式的运算法则二次根式的运算法则：二次根式的加减法法则：(1)先把各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)再把同类二次根式分别合并．二次根式的乘法法则： 两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．即：ab b a =⋅(0,≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的除法法则： 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即：ba b a=(0,0>≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．例1、计算：6321263212--+++--． 分析：此题一般的做法是先分母有理化，再计算，但由于6321+--分母有理化比较麻烦，我们应注意到6321+--()()1312--=；()()13126321-+-=--+，这样做起来就比较简便． 解：6321263212--+++-- ()()()()1312213122-+---= ()()()()213122213122+--++=()()131212++-+= ()132+= 232+=．例2、计算：()()()()751755337533225++++-+++-． 分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“aba b b a ±=±11”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简． 解：()233525+-+=- ；()355737+-+=-，∴原式751751531531321+++-+++-+=321+=23-=．例3、已知273-=x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求b a b a +-的值． 分析：先将x 分母有理化，求出b a ,的值，再求代数式的值．解： 27273+=-=x ， 又372<< ，54<<∴x ．27427,4-=-+==∴b a ．()()()()()()272727762776274274-+--=+-=-+--=+-∴b a b a 31978-=．。
人教版七年级数学上册 《整式》PPT教育课件(第一课时单项式)
a²h cm³
思考
在含有字母的式子中如果出现×，通常将
×写成” • ”或省略不写。
5.一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水时的速度是v km/h，用式子表示船在这条河中
顺水和逆水行驶时的速度；
分析：
1.顺水行驶时船速=船速+静水速度
2.逆水行驶时船速=船速- 静水速度
顺水速为（ v + 2.5）km/h
单项式次数
单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数。
说明：1.是所有的字母，不是部分字母。
2.是指数的和，不是指数的乘积。
3.单独的一个非零数,它的次数为0 。
单项式
单项式次数
100t
1
a²h
3
0.8pnx
3
-n
1
第八页，共十四ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
课堂测试
1.判断下列各式是否为单项式.
a b 2 xy 3
注意：单独的一个数或一个字母也是单项式.
第六页，共十四页。
单项式系数
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
注意：1.数与字母相乘时，通常把数字写在前面。
2.字母前面是1或-1时，通常将其省略。
单项式
单项式系数
100t
100
a²h（1a²h）
1
0.8p
0.8
-n
-1
第七页，共十四页。
（4）一台电视机原价a元，现按原价的75折出售，这台电视机现在的售价为＿___元
0.75a
（5）一个长方形的长是0.75，宽是a ，这个长方形的面积是＿ .
0.75a
用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的含义。
人教版七年级数学上册2.1整式(教案)
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“整式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“你们还能想到哪些生活中用到整式的例子？”
（3）实际问题应用：例如，已知两个整式A和B，求解A+B的值。
2.教学难点
-理解并区分单项式与多项式的概念；
-正确识别同类项，并掌握合并同类项的方法；
-在实际问题中运用整式的加减法则。
举例解释：
（1）区分单项式与多项式：讲解单项式是只含有一个项的代数式，而多项式是含有两个或更多项的代数式。例如，3x^2y是单项式，而2x^3 + 4xy - 5是多项式。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的概念、加减法则以及在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对整式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调整式的加减法则和合并同类项这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的数学例题来帮助大家理解如何识别同类项并进行合并。
2.1.1整式3
n+1 3
• 3、已知 − x y 是关于 x 、y 的三次单 、 项式， 值是多少？ 项式，那么 a 值是多少？
a
x− • 4、已知 x − 3 a b 是关于 、 次单项式， 的值。 次单项式，试求 的值。
-2x +2x1
2
2、运用加法的交换律，任意交换以下 、运用加法的交换律， 多项式中各项的位置，可以得到几种不同的排列， 多项式中各项的位置，可以得到几种不同的排列， 你认为哪种比较整齐？ 你认为哪种比较整齐？
-2x +2x1 多项式的升幂排列与降幂排列
把多项式x +x+1按x的指数从大到小的顺序 的指数从大到小的顺序 把多项式 按 的指数 2 排列， 按字母x的 排列，即x +x+1，叫做这个多项式按字母 的降 ，叫做这个多项式按字母 幂排列。 幂排列。 2 把多项式x 的指数从小到大的顺序 把多项式 +x+1按x的指数从小到大的顺序 按 的指数 2 排列，即1 + x+x ，叫做这个多项式按字母 的 排列， 叫做这个多项式按字母x的 按字母 升幂排列。 升幂排列。
结束寄语
下课了!
悟性的高低取决于有无悟“ 悟性的高低取决于有无悟“心”,其实,人 其实, 与人的差别就在于你是否去思考 你是否去思考, 与人的差别就在于你是否去思考,去发现
1、数或字母的积, 叫做单项式. 、数或字母的积, 叫做单项式 单项式. 字母的积 单独的一个数或一个字母也是单项式.) (单独的一个数或一个字母也是单项式.) 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 2、单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
2.1.1 整式
【知识链接】
1、列代数式
(1)若正方形的边长为a，则正方形的面积是；
(2)若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为；
(3)若x表示正方形棱长，则正方形的体积是；
(4)若m表示一个有理数，则它的相反数是；
(5)小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款元。
【学习过程】或【学习内容】
一、预习导学（独学或自学）
一、复习引入：
二．小组合作交流，展示探究（群学）
2、请学生说出所列代数式的意义。
3、请学生观察所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征。
由小组讨论后，经小组推荐人员回答，教师适当点拨。
讲授新课：
1．单项式：
通过特征的描述，引导学生概括单项式的概念，从而引入课题：单项式，并板书归纳得出的单项式的概念，即由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。然后教师补充，单独一个数或一个字母也是单项式，如a，5。
【学案整理】
知识导图
整式（单项式）
1、列代数式
2、请学生说出所列代数式的意义。
3、请学生观察所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征
【达标检测】
教与学反思
a2h，2πr，abc，－m单项式系数和次数
培养学生观察、归纳、概括及运算能力
单项式概念的建立。
掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
让学生说出它们的数字因数是什么，从而引入单项式系数的概念并板书，接着让学生说出以上几个单项式的字母因数是什么，各字母指数分别是多少，从而引入单项式次数的概念并板书。
理解单项式及单项式系数、次数的概念。会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。．初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。
2.1.1整式第一课时
（四）：反思评价，自我完善。
在这节课中： 你感受最深的是什么？ 你感到最困难的是什么？ 你都学会了什么？
课堂小结：
（1）用字母表示数，字母和数一样
可以参与运算，可以用式子把数量关系 简明地表示出来.
（2）列式时应注意：
（4）数的相反数是-n.
（4）用式子表示数n的相反数.
问：你注意这些式子的书写特点了吗？
（1）数字与字母、字母与字母的积可省略 “×”或写成“· ”,并按照字母顺序书写. （2）表示数字与字母的积时，数字写在字母 的前面. （3）相同字母的积写成乘方的形式.
例2 （1）一条河的水流速度是2.5km/h，船在静
（六）：板书设计
例1：答案 （1） （2） （3） （4）
例2：答案 （1） （2） （3景提出问题，让学生小组交流， 直至归纳得出结论，整个过程学生经历 了知识的形成过程，体会了一种分析问 题的方法，积累了数学活动经验，这将 有利于学生更好的理解数学，应用数学。 2、在此课教学中我也总结出了许多经验教 训，以此来改进我以后的教学方法与思 路，找到今后需要努力的方向。
（3）回顾以前所学的知识，你还能举出用字母表示
数或数量关系的例子吗？
问：那么字母表示数有什么意义呢？
我们用字母表示数后，可以用含有字 母的式子把数量关系简明地表达出来， 更适合一般规律的表达。 同学们试着帮助老师解决一下下面 的问题，可以吗？
例1
（1）苹果原价是每千克p元，按8折优惠出 解：（1）现价是每千克0.8p元.
①数与字母、字母与字母相乘省略 乘号； ②数与字母相乘时数字在前；
13
2.1.1整式的概念[上课1]
![2.1.1整式的概念[上课1]](https://img.taocdn.com/s3/m/58ee4ee0aeaad1f346933f4e.png)
4x,
4 ·x
vt,
1· V· t
1 a 2·
1 ah 2
-n,
-1 · n
π
2 r
·h
r· r π·
它们有什么共同的特点？
他们都是数与字母的积
单项式
• 与字母相乘的数字叫做这个单项式的 系数。
• 一个单项式中的所有字母的指数的和叫做 这个单项式的次数。
单项式
π是常数
单独的一个数或一个字母也是单项式.
1+X+
x2
重新排列时带着符号移动位置.
例
按x的降幂排列
- 2x3 5x2 3x 1
5x2 3x 2 x 3 1
按x的升幂排列
- 2x3 5x2 3x 1
一起来练习
系数：单项式中的数字因数。 单项式 次数:所有字母的指数的和。 整 式
（其中不含字母的项叫做常数项） 多项式 次数：多项式中次数最高的项的次数。
2
；3x 5xy y 4x 6 y 9
我思,我进步2
解剖多项式
说出下列多项式是几次几项式，最高次项和常数项
- 3x 11
3m3 - 2m - 5 m 2
5x 2 x 7
2
x 2 xy y 3x 1
2 2
单项式和多项式统称为整式.
说出下列单项式的系数和次数 （1） 20﹪m, （2）3×105x² y
说出3个你认为最简单的单项式。
真金,火炼
活动探究
X+1
＋ x2
1+X+ 1+
x2＋x＋1
X+1 X
＋ x2
x2
2.1.1整式的概念[上课1]1
![2.1.1整式的概念[上课1]1](https://img.taocdn.com/s3/m/c5665cfa4afe04a1b071de44.png)
成长的足迹
6.下列说法中 , 正确的是 ( 2
2x y A.单项式 的系数是 2, 次数是3 3 B.单项式a的系数是0, 次数是0
x 1是三次三项式, 常数项是1 3 ab 9 D.单项式 的次数是2, 系数为 2 2
7、判断题： 2 （1）-5ab 的系数是5（×） 2 （2）xy 的系数是0（ × ）
次数为2
o o 1、温度由t c下降5 c后
是 t-5 2、买一个篮球需要x元， 买一个排球需要y 元买一 个足球需要z元，买3个篮 球、5个排球、2个足球共 需要 3x+5y+2z 元。
再挑战“记忆”
oc。
3、如图三角尺的面积 1 2 为 ab r ；
2
再挑战“记忆”
4、如图是一所住宅区的 建筑平面图，这所住宅的 2 x 建筑面积是+2x+18 ㎡。
xy 3 2 , 5a, xy z, a, x y , 3 4 1 , 0, 3.14, m 1 x
10.多项式
3a b 5a b 4ab 2
2 3 2 2
共有几项，多项式的次数是多 少？ 第三项是什么，它的系数和次 数分别是多少？
系数：单项式中的数字因数。 单项式 次数:所有字母的指数的和。 整 式
再挑战“记忆”
我思,我进步2
知识的升华
t-5 3x+5y+2z x2+2x+18 1 ab r 2
2
单项式 ＋ 单项式 几个单项式的和叫做多项式
我思,我进步2
知识的升华
判断. 下列代数式哪些是多项式?
1 2 ①a, ② x y, ③ 2 x 1, 3 2 2 ④x xy y .
初中数学_2.1整式教学设计学情分析教材分析课后反思
人教版七年级上册《第二章整式》——《2．1整式》教学设计我的教学过程设计分成六个部分：一：【问题情境:】创设情境，启迪思维，（视频展示）；二：【学习目标展示】明确学习目标（学生朗读）三：【深入研究，获得新知】题组训练，自主探究体验知识生成过程。
四：【应用举例，巩固提高】结合实例，自主探究，强化知识的理解五：【例题训练，形成方法】例题展示，合作讨论，形成思维方法六：【小结反思，拓展引申】归纳总结，形成知识体系七：【作业布置，分层落实】分成落实，层层发展一：【问题情境:】视频展示，创设问题情境，引入新课（设计目的：学生带着兴奋与新奇的情感进入本节课的学习，同时培养学生的爱国情操。
）青藏铁路上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段。
列车在冻土地段的行驶速度是100千米／小时，在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米小时。
请根据资料回答下面的问题：（1）列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多少千米？2小时呢？（2）t小时呢？注意：100×t可以写成100•t或100t.出示：用字母表示数二：【学习目标展示】（设计目的：让学生明确本节课的学习内容及重难点，从而有针对性的探究新知）1.体会用字母表示数2.用含字母的式子表示数量关系3.理解单项式的概念，包含单项式的的系数次数4.会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数.5.情感目标：体会祖国强大的自豪感和追求学习的自信心。
三：【深入研究，获得新知】（设计目的：针对本节课的内容和学生的认知水平，思维发展的过程设计如下教学流程）显显身手探究一：用字母表示数【题组展示，自主体验探究新知生成过程】1.数n的相反数是。
半径为r的圆的面积，边长为a的正方体体积 .2.某产品前年的产量为n件，去年的产量是前年产量的m倍，去年的产量为千米。
3.一台电视机原价a元，现按原价的９折出售，这台电视机现在的售价为元。
4.一个长方形的长是0.9，宽是a,这个长方形的面积是。
思考：这里出现了两个相同的式子0.9a，它们的意义相同吗？5. 一条河的水流速度是 2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，则船在这条河中顺水速度是 km/h。
2.1.1整式(单项式)(儿歌)
三次
单项式
通过本题，你觉得找单项式系数应注意什么？次数呢？ 注意：1.单项式的系数要包括其前面的符号； 2.次数与数字指数无关.
练习三
1.填表：
单项式 系数
课本P57练习
-1.2h -1. 2 1 xy ² 1 3 -t ² -1
2vt 3
2a ² 2 2
次数
2. 填空：
2vt 3 2 3
2
2
（1）全校学生总数是 x ,其中女生占总数 4 8 %，则女生 人数是 48%x ，男生人数是 52%x ； （2）一辆长途汽车从杨柳村出发, 3小时后到达相距S千米 的溪河镇,这辆长途汽车的平均速度是 s/3千米/ 时 ；
（3）产品由m千克增长10 %，就达到 1.1m 千克.
勇敢闯关
⑴
1.填空
2
a
2x x 6 ×
2
ab × 2
3x y √ 7
2 3
注意：1.凡是分母中含有字母的都不是 单项式！ 2. π 是一个数字而不是字母！
解剖单项式
5 2 x yz 4 2 3
1
＋
系数：单项式中的数字因数.
（注意要带上它前面的符号 . ）
（对于单独一个 非零的数，规定 3 它的次数为0） 如：5的次数是0; 0 0 是没意义的.
①－7xy2的系数是7；（ × ）
②－x2y3与x3都没有系数；（ × ）
③－ab3c2的次数是0＋3＋2；（ × ） ④－a3的系数是－1； （ √ ） ⑤－32x2y3的次数是7；（ × ） 1 1 2 ⑥ πr h的系数是 。（ × ）
3 3
火眼金睛
3.下列说法或书写是否正确：
① 1x
2.1.1 整式
第二章整式的加减2.1整式第1课时单项式能力提升1.下列结论中正确的是()A.a是单项式,它的次数是0,系数为1B.π不是单项式C.是一次单项式D.-是6次单项式,它的系数是-2.已知是8次单项式,则m的值是()A.4B.3C.2D.13.3×105xy的系数是,次数是.4.下列式子:①ab;②3xy2;③;④-a2+a;⑤-1;⑥a-.其中单项式是.(填序号)5.写出一个含有字母x,y的五次单项式.6.关于单项式-23x2y2z,系数是,次数是.7.某学校到文体商店买篮球,篮球单价为a元,买10个以上(包括10个)按8折优惠.用单项式填空:(1)购买9个篮球应付款元;(2)购买m(m>10)个篮球应付款元.8.若-mx n y是关于x,y的一个单项式,且系数是3,次数是4,则m+n=.9.观察下列各数,用含n的单项式表示第n个数.-2,-4,-6,-8,-10,…,.★10.若(m+2)x2m-2n2是关于x的四次单项式,求m,n的值,并写出这个单项式.创新应用★11.有一系列单项式:-a,2a2,-3a3,4a4,…,-19a19,20a20,….(1)你能说出它们的规律是什么吗?(2)写出第101个、第2 016个单项式.(3)写出第2n个、第(2n+1)个单项式.参考答案能力提升1.D a是单项式,次数、系数均为1,所以A错;因为π是单独的一个数,所以π是单项式,所以B错;的分母中含有字母,无法写成数字与字母的积,所以不是单项式,所以C错;对于D项,它的系数为-,次数为2+3+1=6,所以正确.2.C由单项式的次数的定义,得2m+3+1=8,将A,B,C,D四选项分别代入验证知C为正确答案.3.3×105 24.①②⑤5.-x4y(答案不唯一)6.-23 57.(1)9a (2)0.8ma 8.09.-2n -2,-4,-6,-8,-10,首先,这些数都是负数,另外都是偶数,所以第n个数为-2n.10.解:由题意知n=0,2m=4,则m=2,n=0.故这个单项式为4x4.创新应用11.解:(1)第n个单项式是(-1)n na n.(2)-101a101,2016a2016.(3)2na2n,-(2n+1)a2n+1.。
七年级上册数学第二章整式全章课件
（3）回顾以前所学的知识，你还能举出用字母表示
数或数量关系的例子吗？
【问题2】
怎样分析数量关系并用含有字母的式子表示数
量关系呢？
例1 （1）苹果原价是每千克p元，按8折优惠出售，用 式子表示现价； （2）某产品前年的产量是n件，去年的产量是前 年产量的m倍，用式子表示去年的产量； （3）一个长方体包装盒的长和宽都是a cm，高是 h cm，用式子表示它的体积； （4）用式子表示数n的相反数.
（2）
1 ，它的系数是 ah 2
，次数是2；
1 2
（3）
3 ，它的系数是 1，次数是3；
a
（4）0.9 ，它的系数是0.9，次数是１； （5）0.9 ，它的系数是0.9，次数是１．
a a
【问题5】
你能赋予0.9a一个含义吗？
用字母表示数后，同一个式子可以 表示不同的含义．
活动：“人人来当老师”
以小组为单位，每个小组学生说出一个 单项式，然后请另一个小组的学生回答出所 说单项式的系数和次数，看哪一组题目出得 正确，看哪一组回答得快而准.
答案：（1） a mn；（3） 0.8 p ；（2）
2
n h ；（4）
.
例2
（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中 的速度是 v km/h，用式子表示船在这条河中顺水行 驶和逆水行驶时的速度；
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元， 买一个足球需要 z 元，用式子表示买 3个篮球、5个 排球、2个足球共需要的钱数；
拓展提高
若
(m 2) x y
2 x， n y 的一个 是关于
四次单项式，求m，n应满足的条件？
答案：
m 2, n 2
人教版数学七年级上册2.1《整式》教学设计3
人教版数学七年级上册2.1《整式》教学设计3一. 教材分析《整式》是人教版数学七年级上册第二单元的第一节内容，主要介绍了整式的概念、性质和运算。
本节课的内容是学生学习代数的基础，对于培养学生的逻辑思维和抽象思维能力具有重要意义。
本节课的内容主要包括整式的定义、分类、运算规则等，通过学习，使学生能够理解整式的概念，掌握整式的运算方法，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一些基本的数学概念和运算规则有所了解。
但是，对于整式这一较为抽象的概念，学生可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解整式的本质，通过具体的例子，让学生感受整式的实际应用，提高学生的学习兴趣和积极性。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解整式的概念，掌握整式的运算方法，能够正确地进行整式的运算。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和交流能力。
四. 教学重难点1.重点：整式的概念、性质和运算方法。
2.难点：整式的运算规则的理解和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的例子，让学生感受整式的实际应用，提高学生的学习兴趣。
2.问题教学法：通过提问引导学生思考，激发学生的学习积极性。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示整式的相关概念和例子。
2.练习题：准备一些整式的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一些生活中的实际问题，引导学生思考整式的实际应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍整式的定义、性质和运算规则，通过具体的例子，让学生理解整式的概念。
3.操练（10分钟）让学生进行一些整式的运算练习，巩固所学知识。
4.巩固（5分钟）对所学知识进行总结，让学生明确整式的运算规则。
2.1.1 整式
单项式 4x
6a2
a3
-n vt
2πR
17 3 22
2 x xy2yz z
5 0
系数
4
6
1 -1 1 2π
7 2
在研究单项式的系数问题时，要注意以下几点：
1.当单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。 2.圆周率π是常数。 3.当单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。 4.单项式的系数应包括它前面的性质符号。 5.单独一个数的次数记为0。
解（2）abc； (3) b2； (4)－5ab2；
x 1 2 ；
(6)－xy2； (7) －5 这些都是单项式
字母指数的和称单项式次数
2 3 －3x y
单项式中的数字因数称系数
-3 ，-ab的系数是_____ -1 如-3x的系数是_____
1 ，ab的次数是_____ 2 如-3x的次数是_____
×）
⑦ 单项式a没有系数,也没有次数 ( ×) ⑧ 单项式5×104x的系数是5 ( × ) ⑨ -2008是单项式 (√ ) 2 2x ⑩ 单项式 的系数是2,次数是3 ( × )
π
3.下列说法中,正确的是(
)
2x2 y A.单项式 的系数是 2, 次数是3 3 B.单项式a的系数是0, 次数是0 C. 3 x 2的系数是3 3 ab 9 D.单项式 的次数是2, 系数为 2 2
1.苹果原价是每千克p元，按8折优惠出售，则现 0.8p元； 价可以用式子表示为______ 2.某产品前年的产量是n件，去年的产量是前年产 mn件 ； 量的m倍，用式子表示去年的产量______ 3.一个正方体包装盒的边长是a cm,用式子表示它 2 6a 的表面积______体积______ ； a3 -n 4.设n表示一个数，则它的相反数______.
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a
r
x 2
b
图1
x
图2
3
课堂练习1
• 练习1：书P56 1—4题
练习2
:
m （1）5箱苹果重m kg，每箱重 5
用式子表示
kg ；
（2）一个数比a的2倍小5，则这个数为
2a 5 ；
（3）全校学生总数是x，其中女生占总数52%，则女生 人数是 0.52 x ，男生人数是 0.48 x ；
.解：它2小时行驶的路程是
100×2=200（千米） 3小时行驶的路程是 100×3=300（千米） t小时行驶的路程是 100×t=100t（千米）
注意：1、在含有字母 的式子中若出现乘号， 通常将乘号写作“•”或 省略不写。如：100×a 可以写成100•a或100a; 2、数字写在字母前。
典例分析
例1. （1）苹果原价是每千克p元，按8折优惠出售， 用式子表示现价； 现价是每千克0.8p元 （2）某产品前年的产量是n件，去年的产量是前 年产量的m倍，用式子表示去年的产量； 去年的产量是mn件
（3）一个长方体包装盒的长和宽都是a cm，高 是h cm，用式子表示它的体积；
长方体包装盒的体积是a2h cm3 （4）用式子表示数n的相反数。 数n的相反数是-n
归纳：
列式时：
①数与字母、字母与字母相乘省略乘号；
②数与字母相乘时数字在前；
③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写； ④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数； ⑤带单位时，适当加括号.
课后作业
全效P53
（4）某校前年购买计算机 x 台，去年购买数量是前年的 2倍，今年购买数量又是去年的2倍，则学校三年共购买计算 机 ( x 2 x 4 x ) 台； （5）某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读， 如果每人分4本，还缺25本，则这批图书共 (4a 25) 本； （6）一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字为b， 则这个两位数为 10a b .
典例分析
例2 （1）一条河的水流速度是2.5km/h，船在静水中
的速度是v km/h，用式子表示船源自这条河中顺水行 驶和逆水行驶的速度；
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买 一个足球需要z元，用式子表示买3个篮球、5个排 球、2个足球共需要的钱数；
典型例题
（3）如图1，（图中长度单位：cm），用式子表 示三角尺的面积； （4）图2是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位： m），用式子表示这所住宅的建筑面积。
情景问题
举世瞩目的青藏铁路于2006年7月1日建成通车, 实现了几代中国人梦寐以求的愿望,青藏铁路是 世界上海拔最高、线路最长的高原铁路。
情景问题
• 青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段 很长的冻土地段，列车在冻土地段的行驶速 度是100千米/时，请根据速度、时间、路程 的关系回答下列问题： 列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多 少千米？3小时呢？t小时呢？