流体力学膨胀波和激波讲解
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流体力学第八章讲解
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设p2- p1是一个有限的压强量。为了分析方便起见，假定把
这个有限的压强增量看作是无数个无限小压强增量dp的总
和。于是，可认为在活塞右侧形成的压缩波是一系列微弱
扰动波连接而成的。每一个微弱扰动波压强增加dp。当活
塞开始运动时，第一个微弱扰动波以声速c1传到未被扰动的 静止气体中去，紧跟着第二个微弱扰动波以声速c2传到已被 第一个微弱扰动波扰动过的气体中去。
连续性方程： V A V A
11
22
即
1VS 2 (Vs Vg )
动量方程：(P P ) A V 2 A V 2 A
1
2
22
11
P1 P2 1V 1 V 2 V 1
1V12
(
1 2
1)
(P P)
V V
2
2
1
S
1
d
M 2 1 dM
1
1
M2
M
2
凸壁面, dθ>0,dM>0,即马赫数增大，气流加速。 凹壁面，dθ<0,dM<0,即马赫数减小，气流减速。
如果气流连续折过几个微小角 度，则会产生几个马赫波。
如果超音速气流折过一个有限 角△θ，则会产生无数个汇交于O 点的马赫波，这些发散的马赫波称 为膨胀波。
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以此类推，第三个微弱扰动波又以比第二个略快一些的声 速向右传播，…。经过一段时间后，后面的微弱扰动波一个一 个追赶上前面的波，波形变得愈来愈陡，最后叠加成一个垂直 于流动方向的具有压强不连续面的压缩波，这就是正激波。
激波的性质和原来的各个小压力波有很大的不同。气流通 过激波除压强突跃地升高外，密度和温度也同样突跃地增加， 而速度则下降。激波是以大于其前方气体的声速来传播的。
激波与膨胀波
激波
一、波阻 二、经过斜激波的气流折转角及激波曲线 三、锥面激波及乘波体飞行器 四、一些具体的超声速流动问题中的波系分析
2
一、波阻
物体受到一个与来流方向一致的力的作用，对物体来说，这个力是一个 阻力，它是由于激波存在而引起的，所以为波阻。 m（V2-V1）=Fe=-Dsh
3
二、经过斜激波的气流折转角及激波曲线
8
3.乘波体飞行器
所谓乘波体 (Waverider)，是指一种外形是流线形， 其所有的前缘 都具有附体激波的超音速或高超音速的飞行器。
乘波体构型的特点： 1）乘波体的上表面通常与自由流怕平行，使得乘波体的压差阻力较小。 2）来流经激波压缩后，沿着压缩面的流动被限制在前缘激波内，形成较 均匀的下表面高压流场，可以消除发动机进口的横向流动，利于提高吸 气式发动机的进气效率。 3）由于飞行器上、下表面间没有压力沟通，也就不存在流动的互相干扰 问题，因此上下表面可以分开处理，大大简化了飞行器的初步设计和计 算过程。
7
2.超声速气ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ绕锥形体的流动特点：
1）锥面激波波后流场不均匀。 2）锥面激波下游流场中的气流参数是不均匀的，锥形体表面压力不等于 激波后流场中的静压。 3）在已知来流马赫数和锥形体半顶角的条件下，也不能像平面激波那样 直接利用半顶角来确定激波角。 4）在相同来流马赫数下，锥面激波开始脱体时的半顶角比平面激波大， 即其更不容易脱体，在半顶角相同的条件下，锥形体产生脱体激波的最 小马赫数小于楔形体的。
9
四、一些具体的超声速流动问题中的波系分析
进气道的作用是把迎面来流的速度降低、压强提高、使气流均匀、总压 损失尽可能小地进入压气机，以满足发动机在不同来流条件下所需要的 空气流量。 按照气流的压缩形式，超声速进气道可以分为皮托式、外压式、内压式 和混压式。 外压式进气道是在进气道外，通过激波将气流从超声速滞止为亚声速气 流。
一、波阻 二、经过斜激波的气流折转角及激波曲线 三、锥面激波及乘波体飞行器 四、一些具体的超声速流动问题中的波系分析
2
一、波阻
物体受到一个与来流方向一致的力的作用，对物体来说，这个力是一个 阻力，它是由于激波存在而引起的，所以为波阻。 m（V2-V1）=Fe=-Dsh
3
二、经过斜激波的气流折转角及激波曲线
8
3.乘波体飞行器
所谓乘波体 (Waverider)，是指一种外形是流线形， 其所有的前缘 都具有附体激波的超音速或高超音速的飞行器。
乘波体构型的特点： 1）乘波体的上表面通常与自由流怕平行，使得乘波体的压差阻力较小。 2）来流经激波压缩后，沿着压缩面的流动被限制在前缘激波内，形成较 均匀的下表面高压流场，可以消除发动机进口的横向流动，利于提高吸 气式发动机的进气效率。 3）由于飞行器上、下表面间没有压力沟通，也就不存在流动的互相干扰 问题，因此上下表面可以分开处理，大大简化了飞行器的初步设计和计 算过程。
7
2.超声速气ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ绕锥形体的流动特点：
1）锥面激波波后流场不均匀。 2）锥面激波下游流场中的气流参数是不均匀的，锥形体表面压力不等于 激波后流场中的静压。 3）在已知来流马赫数和锥形体半顶角的条件下，也不能像平面激波那样 直接利用半顶角来确定激波角。 4）在相同来流马赫数下，锥面激波开始脱体时的半顶角比平面激波大， 即其更不容易脱体，在半顶角相同的条件下，锥形体产生脱体激波的最 小马赫数小于楔形体的。
9
四、一些具体的超声速流动问题中的波系分析
进气道的作用是把迎面来流的速度降低、压强提高、使气流均匀、总压 损失尽可能小地进入压气机，以满足发动机在不同来流条件下所需要的 空气流量。 按照气流的压缩形式，超声速进气道可以分为皮托式、外压式、内压式 和混压式。 外压式进气道是在进气道外，通过激波将气流从超声速滞止为亚声速气 流。
《膨胀波与激波》课件
数学模型
膨胀波的数学模型通常使用偏微分方程来描述，这些方程描述了流体的 压力、密度、速度等物理量的变化规律。
激波的理论模型
概述
激波是另一种物理现象，通常出现在流体动力学中。它描述了流体在某个区域内的压力和 密度突然跃升的过程。
形成机制
激波的形成与流体的压缩性和速度变化有关。当流体的速度增加时，流体的压力和密度会 相应地减小。当流体的速度减小时，流体的压力和密度会相应地增加。
膨胀波的形成
当流体流经一个障碍物时 ，流速减缓，压力升高， 形成一个压力波向下游传 播。
膨胀波的特点
压力波向下游传播，流速 逐点
当流体流速增加到超过声速时，会产 生一个突然的、强烈的压力和速度的 跳跃，形成一个向前传播的冲击波。
冲击波向前传播，流体压力和速度发 生突然变化。
膨胀波与激波的不同之处
膨胀波是压力波，流速逐渐恢复；激波是冲 击波，流速和压力发生突然变化。
02
膨胀波与激波的形成机制
膨胀波的形成过程
总结词
描述膨胀波的形成过程
详细描述
当气体在高压下迅速扩张时，会形成膨胀波。在形成过程中，气体的压力和密 度迅速降低，而速度增加。这种波在传播过程中会对周围气体产生压缩效应， 使气体温度升高。
在某些条件下，膨胀波和激波可以相互转化。当膨胀波传播到障碍物时，可能会转化为激波；反之，当激波遇到 合适的条件时，也可能转化为膨胀波。这种相互转化过程取决于多种因素，如气体的性质、障碍物的形状和位置 等。
03
膨胀波与激波的应用
膨胀波在燃烧学中的应用
燃烧学中，膨胀波的应用主要在于提高燃烧效率和控制污染物排放。通过利用膨胀波的特性，可以促进燃料与 空气的混合，提高燃烧速度，降低不完全燃烧的可能性，从而减少有害物质的产生。
膨胀波的数学模型通常使用偏微分方程来描述，这些方程描述了流体的 压力、密度、速度等物理量的变化规律。
激波的理论模型
概述
激波是另一种物理现象，通常出现在流体动力学中。它描述了流体在某个区域内的压力和 密度突然跃升的过程。
形成机制
激波的形成与流体的压缩性和速度变化有关。当流体的速度增加时，流体的压力和密度会 相应地减小。当流体的速度减小时，流体的压力和密度会相应地增加。
膨胀波的形成
当流体流经一个障碍物时 ，流速减缓，压力升高， 形成一个压力波向下游传 播。
膨胀波的特点
压力波向下游传播，流速 逐点
当流体流速增加到超过声速时，会产 生一个突然的、强烈的压力和速度的 跳跃，形成一个向前传播的冲击波。
冲击波向前传播，流体压力和速度发 生突然变化。
膨胀波与激波的不同之处
膨胀波是压力波，流速逐渐恢复；激波是冲 击波，流速和压力发生突然变化。
02
膨胀波与激波的形成机制
膨胀波的形成过程
总结词
描述膨胀波的形成过程
详细描述
当气体在高压下迅速扩张时，会形成膨胀波。在形成过程中，气体的压力和密 度迅速降低，而速度增加。这种波在传播过程中会对周围气体产生压缩效应， 使气体温度升高。
在某些条件下，膨胀波和激波可以相互转化。当膨胀波传播到障碍物时，可能会转化为激波；反之，当激波遇到 合适的条件时，也可能转化为膨胀波。这种相互转化过程取决于多种因素，如气体的性质、障碍物的形状和位置 等。
03
膨胀波与激波的应用
膨胀波在燃烧学中的应用
燃烧学中，膨胀波的应用主要在于提高燃烧效率和控制污染物排放。通过利用膨胀波的特性，可以促进燃料与 空气的混合，提高燃烧速度，降低不完全燃烧的可能性，从而减少有害物质的产生。
第九章膨胀波和激波
－称为普朗特－迈耶角。
物理意义：初始为声速的
C
流动膨胀到马赫数Ma时所
必须偏转的角度，如右图 所示。
马赫线 (均匀流)
Ma*=1
膨胀扇形区
1=90°
D 马赫线 <90° O δ= Ma> 1 p< p* B
任何流动都可以假想是由
声速流经过偏转而来的， 所以普朗特－迈耶角与马
A
δ*=0 p= p *
v2
初始超声速流的膨胀 对逆时针偏转，只需改变流动偏转角符号。综合两种情况
1 1 1 tan Ma2 1 tan 1 Ma 2 1 1 1
“＋”逆时针偏转 “－”顺时针偏转
9.1.9 普朗特—迈耶角的最大值
马赫数↑→普朗特－迈耶角↑ 当Ma→∞，即从初始声速流绕尖凸角膨胀到马赫数无穷大时，普朗特－ 迈耶角达到其最大值
• 这种波称为普朗特—迈耶波，它是马赫线或叫马赫波。
9.1.3 微小凸角和凸面上的膨胀波
• 如果超声速流在光滑无摩擦表面上遇到多个微小的尖凸角， 则每一个微小尖凸角都会产生膨胀波； • 对于光滑凸面，可以将其看成连续的多个微小尖凸角，于 是每一个微小尖凸角产生一道膨胀波；
9.1.4 有限大小凸角上的膨胀波
9.2.4 激波的传播速度
• 激波相对于波前流动永远是超声速的； 以等截面直管中活塞加速产生 的激波为例，推导激波传播速 度； 基本假设： ①初始时管中充满静止气体； ②一维流动，激波垂直于流线， 即正激波； ③流动绝热、无外功，忽略摩擦 和质量力；
流动模型
p2
v2=vs-v2R
v2R vs v1R=0
(a)运动正激波
p1 p2
v1=vs
第十章膨胀波和激波剖析
㈢如果只是一条马赫线，不足以使气流产生很 大的转角，只能是一个微小偏转。这是小扰 动的特点。
因此在经过
一个有限转角
处，势必会发
出一系列
膨胀波。
㈣膨胀波束是由一系列马赫线所组成。气流经过 每道马赫线，速度上升一点，压力温度下降一 点，这个过程近似是等熵的过程。所以经过膨 胀波后，气流的总温总压是不变的。
[例2]拉瓦尔喷管的出口处，Me=1.2 ，气流出 口处的总压为3个大气压，问：
①出口处气流是膨胀还是压缩？
②膨胀或者压缩的气流偏转角多大？绝热指数 取1.4。
[解] ①根据拉瓦尔喷管的出口总压和马赫数， 可求得出口气流的静压为：
pe
p
1.237 (大气压)
1
1 2
M
2 e
1
因为这个压力比环境压力高，所以气流必须
d
1
M2 1
1 M 2
2
dM M
这是最后的用M数表示的气流转角公式。
假设第一道马赫线处的气流马赫数为M1，
经过第一道马赫线后气流转折角为δ1；在最
后一道马赫线处的气流马赫数为M2，马赫线
后气流转折角为δ2；则积分上式得到：
2 1
1arctg 1
1 1
M
2 2
1
arctg
㈤如果来流均匀，马赫线就是直线，膨胀波束就 是一个扇形。这样的膨胀波扇称为普郎特-梅耶 膨胀波(Prandtl-Mayer expansion wave)。
㈥除了物体形状变化处会产生膨胀波，由于压 力的不同也会产生膨胀波。
2、普郎特-梅耶膨胀波的计算
如图，O点的转折角为δ，超音速气流将发 生连续膨胀。
角为这样2 ，8.9从87音 速20的 来2流8.9膨87胀 到M2的总偏转 再查表或计算得到M2=2.096。
因此在经过
一个有限转角
处，势必会发
出一系列
膨胀波。
㈣膨胀波束是由一系列马赫线所组成。气流经过 每道马赫线，速度上升一点，压力温度下降一 点，这个过程近似是等熵的过程。所以经过膨 胀波后，气流的总温总压是不变的。
[例2]拉瓦尔喷管的出口处，Me=1.2 ，气流出 口处的总压为3个大气压，问：
①出口处气流是膨胀还是压缩？
②膨胀或者压缩的气流偏转角多大？绝热指数 取1.4。
[解] ①根据拉瓦尔喷管的出口总压和马赫数， 可求得出口气流的静压为：
pe
p
1.237 (大气压)
1
1 2
M
2 e
1
因为这个压力比环境压力高，所以气流必须
d
1
M2 1
1 M 2
2
dM M
这是最后的用M数表示的气流转角公式。
假设第一道马赫线处的气流马赫数为M1，
经过第一道马赫线后气流转折角为δ1；在最
后一道马赫线处的气流马赫数为M2，马赫线
后气流转折角为δ2；则积分上式得到：
2 1
1arctg 1
1 1
M
2 2
1
arctg
㈤如果来流均匀，马赫线就是直线，膨胀波束就 是一个扇形。这样的膨胀波扇称为普郎特-梅耶 膨胀波(Prandtl-Mayer expansion wave)。
㈥除了物体形状变化处会产生膨胀波，由于压 力的不同也会产生膨胀波。
2、普郎特-梅耶膨胀波的计算
如图，O点的转折角为δ，超音速气流将发 生连续膨胀。
角为这样2 ，8.9从87音 速20的 来2流8.9膨87胀 到M2的总偏转 再查表或计算得到M2=2.096。
9_膨胀波和激波
流动。
v2=vs-v
v1=vs
非
p2 2
v
vs
T2
运动正激波
v =0
p11 T1
vs
定p
常
流v
x
动
x
压强和速度分布
p2 2
v2
T2
v1
p1 1
T1
静止的正激波
定
p常
流
x
v动
x
压强和速度分布
§9-2 激 波
正激波的传播速度
取控制体，应用连续方程和动量方程。
连续方程 A1vs A2 vs v
§9-1 膨胀波
普朗特-迈耶关系式
超声速气流穿过膨胀波束时参数的变化关系可 由普朗特-迈耶关系式表示。
1 tan 1 1 Ma2 1 tan 1 Ma2 1 C
1
1
Ma C
对于已知的壁面折转角δ，可以求出超音速气 流穿过膨胀波束前后的马赫数的关系。
工程流体力学基础
第九章 膨胀波和激波
主要内容
膨胀波 激波 正激波前后的参数关系 斜激波 激波的反射与相交 拉瓦尔喷管与激波
膨胀波和激波
超声速流与亚声速流有很大不同。超声速流中 通常会出现膨胀波和激波，这是其基本特征。
膨胀波：流体发生膨胀，通过膨胀波后，流 体的压强、温度和密度降低，流速增大。
激波：气体流动状态的突然改变。
1v1 2v2 p2 p1 1v12 2v22
v12 p1 v22 p2 2 1 1 2 1 2
v12 c12 v22 c22 1 ccr2 2 1 2 1 1 2
p1 p2 1T1 2T2
第十章 膨胀波和激波
h1 +
状态方程：p1 = ρ1RT1 , p2 = ρ 2 RT2 借助于上面这个一维流的气体动力学方 程组，可以得到关于激波参数计算的四组公 式。 它们分别是：Prandtl激波关系式；波前 波后气流参数关系；Ranking-Hugioniut关系； 总压损失关系式(或称熵增关系式)。
2
= h2 +
δ = ν (M 2 ) − ν (M 1 )
㈣如果壁面转折是朝上的，膨胀波将沿逆时 针方向，此时普郎特-梅耶角是正数。否则为 负数。 ㈤当最终马赫数为∞，达到普郎特-梅耶角的 最大可能值
ν max π ⎛ γ +1 ⎞ ⎟ = ⎜ ⎜ γ − 1 − 1⎟ 2⎝ ⎠
但这只是一个理论值，因为早在达到这个速 度前，气流就会冷凝了。
可以当作气流从音速来流经过膨胀波后，转 折角与波后气流的马赫数的关系。把这个角 度称为普郎特-梅耶角。
从这个角度出发，令
ν (M ) = γ +1 γ −1 2 (M − 1) − arctg M 2 − 1 arctg γ −1 γ +1
称为Prandtl-Mayer函数，或称为Prandtl-Mayer 角。它表示对于来流马赫数为1时，经过膨胀 后气流速度达到M时，所能偏转的角度。这个 式子已经制成表格，在知道M数和 ν (M )后，从 这个表格中可以查到另一个值。 (三)对于来流马赫数为M1而最后速度为M2，气 流总偏转角为：
假设第一道马赫线处的气流马赫数为M1， 经过第一道马赫线后气流转折角为δ1；在最 后一道马赫线处的气流马赫数为M2，马赫线 后气流转折角为δ2；则积分上式得到：
γ +1 γ −1 2 (M 2 − 1) + arctg M 22 − 1 δ 2 − δ1 = − arctg γ −1 γ +1
状态方程：p1 = ρ1RT1 , p2 = ρ 2 RT2 借助于上面这个一维流的气体动力学方 程组，可以得到关于激波参数计算的四组公 式。 它们分别是：Prandtl激波关系式；波前 波后气流参数关系；Ranking-Hugioniut关系； 总压损失关系式(或称熵增关系式)。
2
= h2 +
δ = ν (M 2 ) − ν (M 1 )
㈣如果壁面转折是朝上的，膨胀波将沿逆时 针方向，此时普郎特-梅耶角是正数。否则为 负数。 ㈤当最终马赫数为∞，达到普郎特-梅耶角的 最大可能值
ν max π ⎛ γ +1 ⎞ ⎟ = ⎜ ⎜ γ − 1 − 1⎟ 2⎝ ⎠
但这只是一个理论值，因为早在达到这个速 度前，气流就会冷凝了。
可以当作气流从音速来流经过膨胀波后，转 折角与波后气流的马赫数的关系。把这个角 度称为普郎特-梅耶角。
从这个角度出发，令
ν (M ) = γ +1 γ −1 2 (M − 1) − arctg M 2 − 1 arctg γ −1 γ +1
称为Prandtl-Mayer函数，或称为Prandtl-Mayer 角。它表示对于来流马赫数为1时，经过膨胀 后气流速度达到M时，所能偏转的角度。这个 式子已经制成表格，在知道M数和 ν (M )后，从 这个表格中可以查到另一个值。 (三)对于来流马赫数为M1而最后速度为M2，气 流总偏转角为：
假设第一道马赫线处的气流马赫数为M1， 经过第一道马赫线后气流转折角为δ1；在最 后一道马赫线处的气流马赫数为M2，马赫线 后气流转折角为δ2；则积分上式得到：
γ +1 γ −1 2 (M 2 − 1) + arctg M 22 − 1 δ 2 − δ1 = − arctg γ −1 γ +1
第八章膨胀波和激波
1,2 ,L L
而且
M1 M2 M3 L L
M1 1
L1
1
o1d1
M2
2
o2
d2
L2
M3
由马赫角表达式: arcsin c arcsin 1
V
M
而M1 M2 M3 故 1 2 3 L
后面的波赶不上前面的波， 故膨胀波不会相交
当气流折转一个有限角度Δθ，在 o点发出无数道膨胀波，这些膨胀波一 定是发散波区，马赫数连续从 M1变到M2， 这个变化过程是等墒的，这种流动称普 朗特－迈耶流动。
M1>1
o
三.膨胀波的计算
(气流折转角θ与 M的关系)
M1 1
V1
θ
o
在膨胀波族中任取一道波，设波前速度为 V1波后速度为 V2分别平行于壁面，在波面 上取控制体 a b c d，将速度分别垂直和 平行波面分解，并垂直与波面写连续性方 程。
1V1n 2V2n
沿波面 OL 写动量方程，由于在同 一条波上，压力相等，故沿波面的合 力为零。
在波面上取控制体，分别写出质量 守恒、动量方程、能量方程、气体 状态方程,利用这组方程，可求出波 前波后参数关系。
V1
V2
x
1V1 2V2
L L L (1)
p1 p2 2V22 1V12 L L (2)
V12 p1 V22 p2L L (3) 2 1 1 2 1 2
p1 p2
由此式可知：当 p2 p1
时，2 1
＋1 －1
不会趋于无穷，是一个有限值
当 ＝1.4， 2 6 1
而等墒压缩
2
＝(
p2
1
)
1
p1
当 p2 时， 2
而且
M1 M2 M3 L L
M1 1
L1
1
o1d1
M2
2
o2
d2
L2
M3
由马赫角表达式: arcsin c arcsin 1
V
M
而M1 M2 M3 故 1 2 3 L
后面的波赶不上前面的波， 故膨胀波不会相交
当气流折转一个有限角度Δθ，在 o点发出无数道膨胀波，这些膨胀波一 定是发散波区，马赫数连续从 M1变到M2， 这个变化过程是等墒的，这种流动称普 朗特－迈耶流动。
M1>1
o
三.膨胀波的计算
(气流折转角θ与 M的关系)
M1 1
V1
θ
o
在膨胀波族中任取一道波，设波前速度为 V1波后速度为 V2分别平行于壁面，在波面 上取控制体 a b c d，将速度分别垂直和 平行波面分解，并垂直与波面写连续性方 程。
1V1n 2V2n
沿波面 OL 写动量方程，由于在同 一条波上，压力相等，故沿波面的合 力为零。
在波面上取控制体，分别写出质量 守恒、动量方程、能量方程、气体 状态方程,利用这组方程，可求出波 前波后参数关系。
V1
V2
x
1V1 2V2
L L L (1)
p1 p2 2V22 1V12 L L (2)
V12 p1 V22 p2L L (3) 2 1 1 2 1 2
p1 p2
由此式可知：当 p2 p1
时，2 1
＋1 －1
不会趋于无穷，是一个有限值
当 ＝1.4， 2 6 1
而等墒压缩
2
＝(
p2
1
)
1
p1
当 p2 时， 2
第九章膨胀波和激波..
第九章 膨胀波和激波
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 膨胀波 激 波 正激波前后的参数关系 斜激波 激波的反射与相交 拉瓦尔喷管内的正激波
1
第一节
当超声速流流过凸 曲面或凸折面时，通道 面积加大，气流发生膨 胀，而在膨胀伊始因受 扰动而产生马赫波。这 种气流受扰后压强将下 降，速度将增大情况下 的马赫波称为膨胀波。 （ 图9-1、9-2)
2 1
12
第三节
正激波前后的参数关系
气体在绝热的管内流动产生正激波。激波上游 （波后）和下游（波前）的参数分别以下脚标“1”、 “2” 表示。设激波等速移动，并将坐标系固连在激波 上，这样无论激波运动与否，均可将激波视为静止 的。通常把这种激波叫做定常运动的正激波或驻址 正激波。若激波面的面积为A（垂直于纸面），并设 正激波前后的气流参数分别为 p1 1 T1 v1 p2 2 T2 v2 ， ， ，和 ， ， ， ， 则可以根据以下四个方程—连续性方程、动量方 程、能量方程和状态方程来建立正激波前后各参数 13 之间的关系式。
vs v p2 p1
A －为圆管横截面的面积
应用连续性方程：
1
(a)
A1vs A2 (vs v)
2 1 v vs 2
(b )
联立( a )和(b )
得正激波的传播速度
：
vs
p2 p1 2 2 1 1
1 1 1 2
p1
p2 1 p1
21
c2 2kMa12 sin 2 (k 1) 2 (k 1) Ma12 sin 2 0.5 {[ ][ ]} 音速比： 2 2 c1 k 1 (k 1) Ma1 sin
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 膨胀波 激 波 正激波前后的参数关系 斜激波 激波的反射与相交 拉瓦尔喷管内的正激波
1
第一节
当超声速流流过凸 曲面或凸折面时，通道 面积加大，气流发生膨 胀，而在膨胀伊始因受 扰动而产生马赫波。这 种气流受扰后压强将下 降，速度将增大情况下 的马赫波称为膨胀波。 （ 图9-1、9-2)
2 1
12
第三节
正激波前后的参数关系
气体在绝热的管内流动产生正激波。激波上游 （波后）和下游（波前）的参数分别以下脚标“1”、 “2” 表示。设激波等速移动，并将坐标系固连在激波 上，这样无论激波运动与否，均可将激波视为静止 的。通常把这种激波叫做定常运动的正激波或驻址 正激波。若激波面的面积为A（垂直于纸面），并设 正激波前后的气流参数分别为 p1 1 T1 v1 p2 2 T2 v2 ， ， ，和 ， ， ， ， 则可以根据以下四个方程—连续性方程、动量方 程、能量方程和状态方程来建立正激波前后各参数 13 之间的关系式。
vs v p2 p1
A －为圆管横截面的面积
应用连续性方程：
1
(a)
A1vs A2 (vs v)
2 1 v vs 2
(b )
联立( a )和(b )
得正激波的传播速度
：
vs
p2 p1 2 2 1 1
1 1 1 2
p1
p2 1 p1
21
c2 2kMa12 sin 2 (k 1) 2 (k 1) Ma12 sin 2 0.5 {[ ][ ]} 音速比： 2 2 c1 k 1 (k 1) Ma1 sin
膨胀波和激波一
一道压缩波，同理，在以后活塞各次小的脉冲加 速所产生的压缩波之间，也都存在类似的关系， 即后面的压缩波总比前面的压缩波运动速度大， 故后面的波与胶面波的间距， • 随着时间的推移将越来越小，直到后面的波赶上 前面的波为止。对于图2—4—10中AA与BB之间 的无穷多道微弱压缩波来说，皆存在与上述情况 相同的规律。
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• 超音速气流流经每道压缩波时，气流速度减
慢．即气流M数减小，而且越往后气流M数
越小。根据扰动波角可知，波角 则越sin往1 1
后越大(参见图2—4—7 a中，
)，2 所1 M
以后面的波和前面的波就会互相重叠(各波
重叠点并不相同)，在离壁面一定的地方，
这些弱压缩波最后集中形成一条曲线激波
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• 由此可推知当超音速气流的压力 低p于1 外界环
境 流压 的力自喷时管，流p也出a 会时产，生若斜外激界波气压。例如超音速大气
于 体p气 对a 流气本流身产在生出一口 个截 压面 缩上 扰的 动压 ，力 这个，扰则动外与界气p2流气
逐一内折直壁相似，于是在管口处形成一道汇 交在一起的强压缩波——激波如图2-4-9所示。 气流通过该波时，减速增压，以至波后气流压 力等于外界压力 并向内转折角δ 。气流转折角
知
dA(M2 1)dC
A
C
此式具体推导过程见第五章。将(2—4—1)式代入上
式，得：
dC d
C M 2 1
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• 从而得膨胀波后速度增量关系式为,
dC C d
M2 1
• 根据动量方程,将 dpCd式C代入，得膨胀波
后压力增量关系式为，
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• 超音速气流流经每道压缩波时，气流速度减
慢．即气流M数减小，而且越往后气流M数
越小。根据扰动波角可知，波角 则越sin往1 1
后越大(参见图2—4—7 a中，
)，2 所1 M
以后面的波和前面的波就会互相重叠(各波
重叠点并不相同)，在离壁面一定的地方，
这些弱压缩波最后集中形成一条曲线激波
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• 由此可推知当超音速气流的压力 低p于1 外界环
境 流压 的力自喷时管，流p也出a 会时产，生若斜外激界波气压。例如超音速大气
于 体p气 对a 流气本流身产在生出一口 个截 压面 缩上 扰的 动压 ，力 这个，扰则动外与界气p2流气
逐一内折直壁相似，于是在管口处形成一道汇 交在一起的强压缩波——激波如图2-4-9所示。 气流通过该波时，减速增压，以至波后气流压 力等于外界压力 并向内转折角δ 。气流转折角
知
dA(M2 1)dC
A
C
此式具体推导过程见第五章。将(2—4—1)式代入上
式，得：
dC d
C M 2 1
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• 从而得膨胀波后速度增量关系式为,
dC C d
M2 1
• 根据动量方程,将 dpCd式C代入，得膨胀波
后压力增量关系式为，
(完整版)9_膨胀波和激波
按参照系分
静止激波； 运动激波。
§9-2 激 波
正激波的传播速度
以等截面直管中活塞加速产生的激波为例，推 导正激波的传播速度公式。 基本假设
初始时管中充满静止气体； 一维流动，激波垂直于流线，为正激波； 流动绝热、无外功，忽略摩擦和质量力。
§9-2 激 波
正激波的传播速度
以激波面为参照系，将非定常流动转化为定常
激波的图像
§9-2 激 波
激波的图像
§9-2 激 波
激波的图像
§9-2 激 波
激波的性质
激波是突跃压缩波，气流经过激波后，流动 参数发生突变
p↑ ρ↑ T↑ v↓ Ma↓ 激波非常薄，在数学上认为激波厚度为0。 激波的能量耗散很大，超音速飞行体受到极 大的激波阻力。 激波是瞬态压缩，是绝热但不可逆过程，波 后熵增大，作功能力降低。
§9-1 膨胀波
绕外凸曲壁面的普朗特-迈耶流动
若超声速气流沿外凸曲壁面流动，则产生类似 的膨胀波束。
Ma1 1
1
2 Ma2
§9-1 膨胀波
第九章 膨胀波和激波
第二节 激波
激波的定义
激波：超声速气流中出现的流动参数的强间断 面。超声速气流穿过激波时，速度突跃下降， 压强、密度、温度突跃上升。
§9-2 激 波
流动。
v2=vs-v
v1=vs
非
p2 2
v
vs
T2
运动正激波
v =0
p11 T1
vs
定p
常
流v
x
动
x
压强和速度分布
p2 2
v2
T2
v1
p1 1
T1
静止的正激波
定
静止激波； 运动激波。
§9-2 激 波
正激波的传播速度
以等截面直管中活塞加速产生的激波为例，推 导正激波的传播速度公式。 基本假设
初始时管中充满静止气体； 一维流动，激波垂直于流线，为正激波； 流动绝热、无外功，忽略摩擦和质量力。
§9-2 激 波
正激波的传播速度
以激波面为参照系，将非定常流动转化为定常
激波的图像
§9-2 激 波
激波的图像
§9-2 激 波
激波的图像
§9-2 激 波
激波的性质
激波是突跃压缩波，气流经过激波后，流动 参数发生突变
p↑ ρ↑ T↑ v↓ Ma↓ 激波非常薄，在数学上认为激波厚度为0。 激波的能量耗散很大，超音速飞行体受到极 大的激波阻力。 激波是瞬态压缩，是绝热但不可逆过程，波 后熵增大，作功能力降低。
§9-1 膨胀波
绕外凸曲壁面的普朗特-迈耶流动
若超声速气流沿外凸曲壁面流动，则产生类似 的膨胀波束。
Ma1 1
1
2 Ma2
§9-1 膨胀波
第九章 膨胀波和激波
第二节 激波
激波的定义
激波：超声速气流中出现的流动参数的强间断 面。超声速气流穿过激波时，速度突跃下降， 压强、密度、温度突跃上升。
§9-2 激 波
流动。
v2=vs-v
v1=vs
非
p2 2
v
vs
T2
运动正激波
v =0
p11 T1
vs
定p
常
流v
x
动
x
压强和速度分布
p2 2
v2
T2
v1
p1 1
T1
静止的正激波
定
《膨胀波与激波》课件
参考文献
• 相空航天、炸药爆破、声音传播 等方面有重要的应用价值。
膨胀波与激波的比较
• 膨胀波和激波在形成机制、类型和应用场景上存在区别，但也有相似点。 • 膨胀波主要应用于气体动力学领域，而激波则在航空航天以及炸药爆
破中得到广泛应用。 • 典型案例分析将探讨两种波的应用实例。
结论
通过本课件，您对膨胀波与激波的基本概念、形成机制、类型和应用场景有 了全面了解。同时，您也对它们的应用前景有了展望。
《膨胀波与激波》PPT课 件
膨胀波与激波的课程将带您深入了解这两种波的基本概念、形成机制、类型 以及应用场景。通过本课件，您将掌握对膨胀波与激波的理解与认识，以及 对它们应用前景的展望。
膨胀波与激波介绍
膨胀波
膨胀波是一种波动的能量传播形式，通过物质 排斥延伸自身，并向外扩散。
激波
激波是一种波动的能量传播形式，通过物质的 振动传播，并引起物质中的高压区域。
膨胀波
形成机制
当物体的速度大于声速时，会产 生膨胀波。
类型
膨胀波可以分为激进膨胀波、激 进缓慢膨胀波和迟滞膨胀波。
应用
膨胀波在气体动力学、激波引爆、 声速测量等领域具有广泛应用。
激波
1
形成机制
激波产生于物体受到超音速流体的影响，
类型
2
使流动速度剧烈变化。
激波可以分为正激波、负激波和射流与
球面激波。
第三章+膨胀波与激波 气体动力学,流体力学,航空飞行原理气体动力学
3.2.2 普朗特-迈耶流动 普朗特-迈耶流动定义：超音速气流外绕钝
角的流动。
气流每经过一道膨胀波，都折转一个微小的角度，且 马赫角越来越小
z连续外折壁缩为一个点时，由曲壁发出的一系列膨胀波变 成了从折转点发出的扇形膨胀波束
z气流参数的变化只取决于波前的气流参数和总的外折角， 与气流折转方式无关
同一个气流折转角δ, 有两个 不同的激波角β的值与之对应, 其中一个β角较大, 另一个β 角较小。对应于β角较大的斜
激波, 称为强斜激波; 对应于
β角较小的斜激波, 称为弱斜
激波。
超音速气流绕物体流动, 所产 生的附体斜激波总是弱斜激 波。
第3.3节 激波
② 不同的变化趋势
在确定的来流马赫数下, 气流通过弱斜激波时,
斜激波的计算公式 普朗特关系式
压力比
密度比
第3.3节 激波
温度比
总压比
第3.3节 激波
斜激波前后马赫数之间的关系
气体流过斜激波时的折转角
第3.3节 激波
斜激波的图线
激波角与来流马赫数和壁 面折转角之间的关系
① 强斜激波与弱斜激波
在相同的来流马赫数下, 对于
第3.2节 膨胀波
在压缩波未相交之 前，气流穿过微弱压 缩波系的流动是定熵 压缩过程。但是许多 微弱压缩波聚集而成 一道波时，成为强压 缩波，是熵增过程。
第3.2节 膨胀波
3.2.4 波的相交与反射 在直固体壁面上的反射
膨胀波（压缩波）在直固体壁面上反射为膨胀波Leabharlann （压缩波）第3.2节 膨胀波
第3.3节 激波
3.3.2 正激波的形成
第3.3节 激波
完全气体中的正激波 正激波的基本方程
角的流动。
气流每经过一道膨胀波，都折转一个微小的角度，且 马赫角越来越小
z连续外折壁缩为一个点时，由曲壁发出的一系列膨胀波变 成了从折转点发出的扇形膨胀波束
z气流参数的变化只取决于波前的气流参数和总的外折角， 与气流折转方式无关
同一个气流折转角δ, 有两个 不同的激波角β的值与之对应, 其中一个β角较大, 另一个β 角较小。对应于β角较大的斜
激波, 称为强斜激波; 对应于
β角较小的斜激波, 称为弱斜
激波。
超音速气流绕物体流动, 所产 生的附体斜激波总是弱斜激 波。
第3.3节 激波
② 不同的变化趋势
在确定的来流马赫数下, 气流通过弱斜激波时,
斜激波的计算公式 普朗特关系式
压力比
密度比
第3.3节 激波
温度比
总压比
第3.3节 激波
斜激波前后马赫数之间的关系
气体流过斜激波时的折转角
第3.3节 激波
斜激波的图线
激波角与来流马赫数和壁 面折转角之间的关系
① 强斜激波与弱斜激波
在相同的来流马赫数下, 对于
第3.2节 膨胀波
在压缩波未相交之 前，气流穿过微弱压 缩波系的流动是定熵 压缩过程。但是许多 微弱压缩波聚集而成 一道波时，成为强压 缩波，是熵增过程。
第3.2节 膨胀波
3.2.4 波的相交与反射 在直固体壁面上的反射
膨胀波（压缩波）在直固体壁面上反射为膨胀波Leabharlann （压缩波）第3.2节 膨胀波
第3.3节 激波
3.3.2 正激波的形成
第3.3节 激波
完全气体中的正激波 正激波的基本方程
第十章膨胀波和激波
第十章膨胀波和激波第十章膨胀波和激波§10.1 膨胀波1、膨胀波的形成㈠定常二维平面超音速流绕外钝角的流动壁面转折点对超音速来流是一个扰动源。
在此扰动源产生的扰动向下游传播，是按马赫锥传播的，马赫锥是以马赫线为标志的。
马赫线与均匀来流的夹角是马赫角。
㈡气流经过马赫线后，要偏转一定的角度。
偏转后，气流流通截面扩大，因此气流加速（因为这是超音速流动），压力、温度等下降。
因此称为膨胀波。
㈢如果只是一条马赫线，不足以使气流产生很大的转角，只能是一个微小偏转。
这是小扰动的特点。
因此在经过一个有限转角处，势必会发出一系列膨胀波。
㈣膨胀波束是由一系列马赫线所组成。
气流经过每道马赫线，速度上升一点，压力温度下降一点，这个过程近似是等熵的过程。
所以经过膨胀波后，气流的总温总压是不变的。
㈤如果来流均匀，马赫线就是直线，膨胀波束就是一个扇形。
这样的膨胀波扇称为普郎特-梅耶膨胀波(Prandtl-Mayer expansionwave)。
㈥除了物体形状变化处会产生膨胀波，由于压力的不同也会产生膨胀波。
2、普郎特-梅耶膨胀波的计算如图，O点的转折角为δ，超音速气流将发生连续膨胀。
从马赫线OD开始连续变到马赫线OE为止。
中间存在无穷多条马赫线，组成一膨胀波组。
压力由p1下降到p2，速度由V1上升到V2，其变化可看成无穷多个微小变化dp和dV的合成。
在膨胀区DOE中的流线是弯曲的，各马赫线与流线之间的角度沿着气流方向逐渐变小。
先来建立经过一条马赫线的偏转计算。
按照顺时针转角为负的原则，向下的转角为 -$ 。
把来流速度V沿着与马赫线垂直与相切的方向进行分解。
因为气流沿切线方向的速度是不会改变的，这是从沿切向的动量定理知道的。
这样波前波后切向速度相等：因为这就是经过一条马赫线后，气流的偏转角。
注意，此式中的负号是对于向下偏转的，如果是向上偏转的，则变为正号。
为了得出经过膨胀波扇的总偏转角，需要把上式积分。
但是首先需要把速度和马赫数联系起来。
流体力学第八章教材
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设p2- p1是一个有限的压强量。为了分析方便起见，假定把 这个有限的压强增量看作是无数个无限小压强增量dp的总 和。于是，可认为在活塞右侧形成的压缩波是一系列微弱 扰动波连接而成的。每一个微弱扰动波压强增加dp。当活 塞开始运动时，第一个微弱扰动波以声速c1传到未被扰动的 静止气体中去，紧跟着第二个微弱扰动波以声速c2传到已被 第一个微弱扰动波扰动过的气体中去。 在t=0～△t时段，活塞速度增至△V，气体被扰动产生音波 ：
激波的厚度非常小，激波不连续变化是在与气体分子平均 自由行程同一数量级（在空气中约3×10-4mm左右）内完成的。 例如，在标准大气压、M=2的超音速气流中的激波厚度约为 2.5×10-5cm。在这个非常小的厚度内，气体的压强﹑密度﹑温 度等发生急剧变化，内部结构很复杂，人们通常忽略其厚度， 认为波面是一个间断面，激波前后的参数发生突跃性的变化。
当出口压强Pb小于入口压强P0时，管内产生流动： 1）设计工况，压强和马赫数沿曲线4变化，出口为超音速； 2）如果气流在喉部到达临界状态后又减速，压强和马赫数沿曲 线3变化，出口为亚音速； 3）Pb的值不是太小时，压强和马赫数沿曲线2变化，整个管内 都是亚声速流动，这时缩放管实际上是文丘里管； 4）非设计工况，如果出口压强大于P4而小于P3，则管内某一截 面产生激波，压强和马赫数沿曲线5变化，气流经过激波后变 成亚音速，在扩张管内进一步减速。
1
1 p0 2 RT0 1 0 1
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§ 8.1 膨胀波
当超音速气流中出现微弱压力 扰动时，这个微弱扰动可以传播到 流场的一部分区域，扰动区和未扰 动区的分界面是马赫线（马赫波）。 如果扰动源是一个低压源，则气流受扰动后压强将下降， 速度将增大，这种马赫波称为膨胀波—降压增速波；反之， 如果扰动源是一个高压源，则气流受扰动后压强将增加，速 度将减小，这种马赫波称为压缩波—增压减速波。 由于通过马赫波时气流参数值变化不大，因此气流通过 马赫波的流动仍可作为等熵流动过程。
膨胀波和激波一最全PPT
• 此外，超音速气流流向低压区时，也会形成膨胀波束。如 图2—4—4所示。超音速气流自管道流出时，由于出口处 气体的压力 高于外界环境 压力，气体流出后势必膨
胀，从而出口p的1 边缘变成为扰动源．形成以出口边缘为顶p a
点的扇形膨胀波束。超音速气流 经过膨胀波束，逐渐向 外转折，流速逐渐增大，压力逐渐减小，直至与外界压力 相等为止。
A
C
此式具体推导过程见第五章。将(2—4—1)式 代入上式，得：
dC d
C M2 1
• 从而得膨胀波后速度增量关系式为,
dC C d
M2 1
• 根据动量方程,将 dpCd式C代入，得膨胀波
后压力增量关系式为，
d C2 d
M2 1
•
根据音速公式和a 2 dp
系式
d
式又可得波后密度增量关
d M2 d
壁面在O点有一微小的外凸角 d,沿壁面流动的气 流也随着向外转折一个d角度,继续沿壁面OB流
动。样气流在O点处将受到扰动作用，由于弱扰 动在超音速气流中不能前传。所以在O点外将产 生一道弱扰动波OL，即膨胀波，弱扰动波与波前 气流的夹角为，并有
sin 1
M
• 气流外折时，气流的通道将发生变化。其流管切 利用关系式
§ 4—2 激 波（一）
cd o 1 ,s sd i n d ,所以有 图2—4—3 超音速气流流经大外凸角时产生膨胀波束
此外，超音速气流流向低压区时，也会形成膨胀波束。
d A A 'c o d s A C d A t g M 1 d 超飞音机速 作气超流音绕速物飞体行流时动，时也，会往形往成因激受波到，阻其滞形被成压过缩程而和出原现理突与跃活的塞压在缩直波管。内运动形成激波的情况相似。2
胀，从而出口p的1 边缘变成为扰动源．形成以出口边缘为顶p a
点的扇形膨胀波束。超音速气流 经过膨胀波束，逐渐向 外转折，流速逐渐增大，压力逐渐减小，直至与外界压力 相等为止。
A
C
此式具体推导过程见第五章。将(2—4—1)式 代入上式，得：
dC d
C M2 1
• 从而得膨胀波后速度增量关系式为,
dC C d
M2 1
• 根据动量方程,将 dpCd式C代入，得膨胀波
后压力增量关系式为，
d C2 d
M2 1
•
根据音速公式和a 2 dp
系式
d
式又可得波后密度增量关
d M2 d
壁面在O点有一微小的外凸角 d,沿壁面流动的气 流也随着向外转折一个d角度,继续沿壁面OB流
动。样气流在O点处将受到扰动作用，由于弱扰 动在超音速气流中不能前传。所以在O点外将产 生一道弱扰动波OL，即膨胀波，弱扰动波与波前 气流的夹角为，并有
sin 1
M
• 气流外折时，气流的通道将发生变化。其流管切 利用关系式
§ 4—2 激 波（一）
cd o 1 ,s sd i n d ,所以有 图2—4—3 超音速气流流经大外凸角时产生膨胀波束
此外，超音速气流流向低压区时，也会形成膨胀波束。
d A A 'c o d s A C d A t g M 1 d 超飞音机速 作气超流音绕速物飞体行流时动，时也，会往形往成因激受波到，阻其滞形被成压过缩程而和出原现理突与跃活的塞压在缩直波管。内运动形成激波的情况相似。2
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c2 {[2kMa12 (k 1)][2 (k 1)Ma12 ]}0.5
c1
k 1
(k 1)Ma12
6.马赫数比
Ma2 Ma12 (k 1) / 2 Ma1 kMa12 (k 1) / 2
第四节 斜激波
第三节 正激波前后的参数关系
气体在绝热的管内流动产生正激波。激波上游 （波后）和下游（波前）的参数分别以下脚标“1”、
“2” 表示。设激波等速移动，并将坐标系固连在激波 上，这样无论激波运动与否，均可将激波视为静止 的。通常把这种激波叫做定常运动的正激波或驻址 正激波。若激波面的面积为A（垂直于纸面），并设
vsv
p2 p1
1
(a)
A －为圆管横截面的面积
应用连续性方程：A1vs A2 (vs v)
v
2 1 2
vs
(b)
联立 (a) 和(b) 得正激波的传播速度 ：
vs
p2 p1 2 2 1 1
p2 1 p1 p1
1 1 1 2
（9－1）
二、正激波
由式（9－1）可见，随着激波强度的增大（p2 / p1 ，2 / 1 增大），激波 的传播速度也增大。若激波强度很弱，即 p2 / p1 1 ，2 / 1 1 。 此时激波已成为微弱压缩波，则式（9－1）可写成：
vs
p2 p1
2 1
dp c
d
上式表示微弱压缩波是以声速传播的.
正激波的形成过程：见图9－7直圆管在活塞右 侧是无限延伸的，开始时管道中充满静止气体 如(a)所示，活塞向右突然作加速运动，在一 段时间内速度逐步加大到v，然后以等速v运动. 活塞表面靠近的气体依次引起微弱的扰动， 这些扰动波一个个向右传播。 如(b)所示，当活塞不断向右加速时，一道接 一道的扰动波向右传播，而且后续波的波速总 是大于现行波的波速，所以后面的波一定能追 上前面的波。 如(c)所示，无数个小扰动弱波叠加在一起形 成一个垂直面的压缩波，这就是正激波。
第二节 激 波
气流通过凹面时从B开始通道面逐 渐减小，在超声速流情况下,速度就会 逐渐减小，压强就会逐渐增大。与此同 时,气流的方向也逐渐转向，产生一系 列的微弱扰动，从而产生一系列的马赫波,这种马赫波称
为压缩波。气流沿整个凹曲面的流动，实际上是由这 一系列的马赫波汇成一个突跃面(图9－4)。气流经过 这个突跃面后，流动参数要发生突跃变化：速度会突 跃减小；而压强和密度会突跃增大。这个突跃面是个 强间断面，即是激波面。
2 v2
p1
1v1
c22 k v2
c12 k v1
而
c12
k
2
1
c
2
k
2
1
v12
c22
k
2
1
c
2
k
2
1
v22
由上面三式可得
普朗特（Prandtl）关系式 ：
M a,1M a,2 1
三、正激波前、后参数的关系式
1.速度比 2.压强比
v2
1
v12 k p1 v22 k p2
2 k 1 1 2 k 1 2
v12 c12 v22 c12 k 1 c2 2 k 1 2 k 1 k 1 2
状态方程 ：
p1 p 2
1T1
2T2
二、普朗特关系式
由能量方程和动量方程可得：
v1 v2
p2
二、正激波
激波的传播速度：
（1）vs －激波向右的传播速度，激波
后气体的运动速度则为活塞向右移动的
速度v ,见图9－8(a)
（2）当把坐标系建立在激波面上时，
激波前的气体以速度v1 vs 向左流向 激波，经过激波后气体速度为 vs v ,
见图9－8(b).
二、正激波
应用动量方程:
A( p1 p2 ) A1vs[(vs v) vs ]
正激波前p后1 ，的气1 ，流T1参，v数1和分p别2 ，为 2 ，T2 ，v2 ，
则可以根据以下四个方程—连续性方程、动量方 程、能量方程和状态方程来建立正激波前后各参数 之间的关系式。
一、激波的基本控制方程
连续性方程： 动量方程： 能量方程：
或
1v1 2v2
p2 p1 1v12 2v22
1 k Ma12
(
p2 p1
1)v1
p2 p1
2k k
1
Ma12
k 1 k 1
3.密度比 4.温度比
2
k k
1 1
M
a12
1
k
2 1
M a12
T2
[2kMa12
(k
1) 2 (k ][
1)Ma12 ]
T1
k 1
(k 1)Ma12
5.声速比
一、激波的分类
1. 斜激波（超声速气流 经过激波流动方向变化）
2.正激波 （超声速气流 经过激波流动方向不变化）
一、激波的分类
3.脱体激波（超声速气流 流过钝头物体产生的激波）
激波实例： 美军超音速飞机
激波的流动不能作为 等熵流动处理。但是， 气流经过激波可以看作是绝热过程。
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二、正激波
工程流体力学
第九章 膨胀波和激波
第一节 膨胀波
当超声速流流过凸 曲面或凸折ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时，通道 面积加大，气流发生膨 胀，而在膨胀伊始因受 扰动而产生马赫波。这 种气流受扰后压强将下 降，速度将增大情况下 的马赫波称为膨胀波。
（ 图9-1、9-2)
◆膨胀波产生的特点：
1.超声速来流为定常二维流动,在壁面折转处必
定产生一扇型膨胀波组，此扇型膨胀波是有无 限多的马赫波所组成
2.经过膨胀波组时，气流参数是连续变化的， 其速度增大，压强、密度和温度相应减小,流动过程为绝热等熵的膨
胀过程. 3.气流通过膨胀波组后，将平行于壁面OB流动. 4.沿膨胀波束的任一条马赫线，气流参数不变，固每条马赫线也是
等压线。而且马赫线是一条直线 . 5. 膨胀波束中的任一点的速度大小仅与 该点的气流方向有关.
将式（9－1）代入式（b）得波面后得气流速度
v
( p2 p1)(2 1) 1 2
p1 ( p2 1)(1 1 )
1 p1
2
（9－2）
由此式可见，激波的强度越弱，气体的流速越低。如果是微弱的扰动
波，波面后的气体是没有运动的，即 p2 / p1 1 ，2 / 1 1 ， v 0 。