10级微积分期中试卷答案

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经济数学微积分课程期中模拟考试卷及答案

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《经济数学-微积分》课程期中模拟考试卷（A ）答案202 ——202 学年第一学期姓名学号班级题号一二三四五六总分得分一、单选题(每小题2分，共计10分)1.1=x 是函数xx f -=11arctan)(的（ C ） A .连续点. B .可去间断点. C .跳跃间断点. D .无穷间断点.2.若1)0(='f ，则=--→hh f f h 3)()0(lim0（ B ） A . 0. B . 31. C . 3. D . 31-.3.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=.1,2;1,1|1|)(2x x x x x f 则在1=x 处函数)(x f （ A ）A . 不连续.B . 连续，但不可导.C . 可导，但导函数不连续.D . 可导，且导函数连续.4.设)(x f y =是由方程0ln =+y xy 确定的函数，则=dxdy（ C ） A . xy ln -. B . 2y -. C . 12+-xy y . D . xy y 12+-.5.设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，若0)(0='x f ，则)(0x f （ D ）A . 是极大值.B .是极小值.C . 是拐点的纵坐标.D .可能是极值也可能不是极值.得分二、填空题(每小题2分，共计10分)1. =+∞→)sin 1sin(lim xx x x x 1 .2. 设xx f 2)(=，则='-'→x f x f x )0()(lim0 2ln 2 . 3. 设xx f 211)(-=，则=)1()10(f !10210⋅- . 4. 设曲线2x y =的切线与曲线3x y =的切线相互垂直，则曲线2x y =上的点的横坐标=x 361- . 5. 函数x y cos =在23,2[ππ上符合罗尔定理结论中的=ξ π .三、计算题(每小题9分，共计54分)1. ])12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n .解: )12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n211211[21lim ]1211215131311[21lim =+-⋅=+--++-+-⋅=∞→∞→n n n n n .得分得分2. 已知213)tan )(1ln(lim=-+→x x x x f ，求20)(lim x x f x →.解:由于3ln )(lim 3ln )(lim 3ln tan )(lim 13)tan )(1ln(lim220000x x f x x x f x x x f x x f x x x x x →→→→===-+=,所以3ln 2)(lim2=→x x f x 。

《微积分》各章习题及详细答案

第一章函数极限与持续【2 】一.填空题1.已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f .2.=-+→∞)1()34(lim22x x x x . 3.0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无限小. 4.01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为. 5.=-∞→x e xx arctan lim .6.⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处持续,则=b .7.=+→xx x 6)13ln(lim0.8.设)(x f 的界说域是]1,0[,则)(ln x f 的界说域是__________. 9.函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________. 10.设a 长短零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x . 11.已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无限小,则常数________=a . 12.函数xxx f +=13arcsin )(的界说域是__________.13.lim ____________x →+∞=.14.设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________. 15.)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________.二.选择题1.设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数. （Ａ）)()(x g x f +;（Ｂ）)()(x h x f +;（C ）)]()()[(x h x g x f +;（D ）)()()(x h x g x f .2.xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有. （Ａ）α是比β高阶的无限小; （Ｂ）α是比β低阶的无限小;（C ）α与β是同阶无限小; （D ）βα~.3.函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处持续,则=k .（Ａ）23; （Ｂ）32; （C ）1; （D ）0. 4.数列极限=--∞→]ln )1[ln(lim n n n n .（Ａ）1; （Ｂ）1-; （C ）∞;（D ）不消失但非∞.5.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=01cos 000sin )(x x x x x x x x x f ,则0=x 是)(x f 的.（Ａ）持续点;（Ｂ）可去间断点;（C ）跳跃间断点;（D ）振荡间断点. 6.以下各项中)(x f 和)(x g 雷同的是（）（Ａ）2lg )(x x f =,x x g lg 2)(=; （Ｂ）x x f =)(,2)(x x g =;（C ）334)(x x x f -=,31)(-=x x x g ;（D ）1)(=x f ,x x x g 22tan sec )(-=.7.||sin lim0x xx →= （）（Ａ）1; （Ｂ）-1; （C ）0; （D ）不消失. 8.=-→xx x 10)1(lim （）（Ａ）1; （Ｂ）-1; （Ｃ）e ; （Ｄ）1-e .9.)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →消失的（）（Ａ）充分必要前提;（Ｂ）充分前提;（C ）必要前提;（D ）既不充分也不必要前提. 10.=-+∞→)1(lim 2x x x x （）（Ａ）1; （Ｂ）2; （C ）21; （D ）0. 11.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且∞===∞→∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ,则必有（）（A ）n n b a <对随意率性n 成立; （B ）n n c b <对随意率性n 成立;（C ）极限n n n c a ∞→lim 不消失 ; （D ）极限n n n c b ∞→lim 不消失.12.当1→x 时,函数11211---x e x x 的极限（）（Ａ）等于２; （Ｂ）等于０;（Ｃ）为∞;（Ｄ）不消失但不为∞. 三.盘算解答 1.盘算下列极限（1）12sin2lim -∞→n nn x ;（2）xxx x cot csc lim0-→ ;（3）)1(lim 1-→∞xx e x ; （4）xx x x 31212lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→;（5）1cos cos 21cos 2cos 8lim 223-+--→x x x x x π; （6）x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→;（7）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n ; （8）32324arctan )21ln(lim x x x --+→. ３.试肯定b a ,之值,使2111lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x . ４.运用极限消失准则求极限(1)nn n n 13121111131211lim++++++++++∞→ .（2）设01>>a x ,且),2,1(1 ==+n ax x n n ,证实n n x →∞lim 消失,并求此极限值.5.评论辩论函数xx xx n n n n n x f --∞→+-=lim )(的持续性,如有间断点,指出其类型.6.设)(x f 在],[b a 上持续,且b x f a <<)(,证实在),(b a 内至少有一点ξ,使ξξ=)(f .第一单元函数极限与持续习题解答一.填空题1.x 2sin 2.2sin 22)2sin21(1)2(sin 22x x x f -=-+=, 222)(x x f -=∴x x x f 22sin 2cos 22)(cos =-=∴.2.0 .016249lim )1()34(lim3222=+-++=-+∞→∞→xx x x x x x x x .3.高阶.0)cos 1(lim )cos 1(tan lim sin tan lim000=-=-=-→→→x xx x x x x x x x ,x x sin tan -∴是x 的高阶无限小.4.0>k .x 1sin为有界函数,所以要使01sin lim 0=→xx kx ,只要0lim 0=→k x x ,即0>k .5.0.0arctan lim =-∞→x e xx ))2,2(arctan ,0lim (ππ-∈=-∞→x e xx .6.2=b .b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0,2)1(lim )(lim 0=+=++→→xx x e x f ,,)0(b f =2=∴b .7.212163lim 6)13ln(lim 00==+→→x x x x x x .8.e x ≤≤1依据题意请求1ln 0≤≤x ,所以 e x ≤≤1. 9.21-=-x ey )2ln()1(),2ln(1+=-∴++=x y x y ,12-=+y e x ,21-=∴-y e x ,)2ln(1++=∴x y 的反函数为21-=-x e y .10.ae 2原式=a aa x xa ax x e ax a 222)21(lim =-+⋅-⋅-∞→. 11.23-=a 由231231~1)1(ax ax -+（运用教材P58(1)1ax ax +-）与221~1cos x x --,以及1322131lim 1cos 1)1(lim 2203120=-=-=--+→→a x axx ax x x , 可得 23-=a . 12.2141≤≤-x 由反三角函数的界说域请求可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤+≤-011131x x x 解不等式组可得 ⎪⎩⎪⎨⎧-≠≤≤-12141x x ,⇒)(x f 的界说域为2141≤≤-x . 13.0limlimx x =22lim0x ==.14.2ln 23lim()lim(1)x x x x x a a x a x a →∞→∞+=+--,令t=3x aa-,所以x=3at a + 即：3211lim()lim[(1)](1)x t a a x t x a x a t t→∞→∞+=++-=38a e =2ln 32ln 8ln 318ln 33===⇒=a a .15.2)2(2)1(lim)2)(1(lim n n n n n n n n n n ++⨯++=-++++∞→+∞→2121)111(2lim =++++=+∞→nn n .二.选择题1.选（Ｄ）令)()()()(x h x g x f x F =,由)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,)()()()()()()()(x F x h x g x f x h x g x f x F -=-=---=-∴.2.选（Ｃ）])1(11)[1(1lim )1)(1(1lim )()(lim31311x x xx x x x x x x x ---+-=-+-=→→→βα23)1(31)1(1lim1=-⋅+-=→x x x x （运用教材P58(1)1a x ax +-）3.选（A ） 233121lim 1111lim )(lim 0300==-+-+=→→→x xx x x f x x x （运用教材P58(1)1a x ax +-） 4.选（Ｂ）1lim [ln(1)ln ]lim ln(1)1nn n n n n n-→∞→∞--=--=-5.选（Ｃ）1)0(=-f , 0)0(=+f , 0)0(=f 6.选（Ｃ）在（A ）中2ln )(xx f = 的界说域为0≠x ,而x x g ln 2)(=的界说域为0>x ,)()(x g x f ≠∴故不准确在（B ）x x f =)( 的值域为),(+∞-∞,2)(x x g =的值域为0>x ,故错在（D ）中1)(=x f 的界说域为R,x x x g tan sec )(2-=的界说域为}2,{ππ+≠∈k x R x ,)()(x g x f ≠∴,故错7.选（Ｄ） 1sin lim ||sin lim 00==++→→x x x x x x ,1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→xxx x x x ||sin lim0x xx →∴不消失8.选（Ｄ） 1)1(110)](1[lim )1(lim --⋅-→→=-+=-e x x xx xx ,9.选（Ｃ）由函数极限的局部有界性定理知,)(lim 0x f x x →消失,则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界,而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不必定有)(lim 0x f x x →消失,例如x x 1sinlim 0→,函数11sin 1≤≤-x有界,但在0=x 点极限不消失10.选（Ｃ）（lim ()lim x x x x x x →∞→∞==211111lim2=++=∞→xx 11.选（D ）（A ）.（Ｂ）显然不对,因为稀有列极限的不等式性质只能得出数列“当n 充分大时”的情形,不可能得出“对随意率性n 成立”的性质.（Ｃ）也显著不对,因为“无限小·无限大”是不决型,极限可能消失也可能不消失.12.选（D ）002)1(lim 11lim 1111121=⋅=+=---→-→--x x x x e x e x x ∞=+=---→-→++1111121)1(lim 11lim x x x x e x e x x 当1→x 时函数没有极限,也不是∞.三.盘算解答 1.盘算下列极限：（1）解：x x x n n n n n n 222lim 2sin2lim 11=⋅=-∞→-∞→.（2）解：2200001cos csc cot 1cos 1sin sin 2lim lim lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====.（3）解：11lim )1(lim 1=⋅=-∞→∞→xx e x x xx . （4）解：3212133])2111[(lim )1221(lim )1212(lim +-∞→∞→∞→-+=-+=-+x x x x x x x x x x . 113332211[lim(1)][lim(1)]1122x x x e x x -→∞→∞=+⋅+=--（5）解：)1)(cos 1cos 2()1cos 4)(1cos 2(lim 1cos cos 21cos 2cos 8lim 3223+-+-=-+--→→x x x x x x x x x x ππ212112141cos 1cos 4lim 3=++⨯=++=→x x x π.（6）解：)cos sin 1(tan cos sin 1limtan cos sin 1lim00x x x x x xx x x x x x x x x ++-+=-+→→ 2020202cos 1lim 2sin lim 2cos 1sin limx x x x x x x x x x x x -+=-+=→→→434121=+=. 0lim(12x →+=（7）解：])1(1321211[lim +++⨯+⨯∞→n n x )]111()3121()211[(lim +-++-+-=∞→n n x 1)111(lim =+-=∞→n x . （8）解：33123232323241)21(lim 42lim 4arctan )21ln(lim =+=--=--+→→→x xxx x x x x . ３.解：1)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b x b a ax x b ax x x x x211)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-∴21)(01b a a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==231b a４.（1） 1111211111312111++<+++++++++<n nn n而 1111lim=+++∞→n x 113121111131211lim=++++++++++∴+∞→nn n x .（2）先证有界（数学归纳法）1=n 时,a a a ax x =⋅>=12设k n =时,a x k >, 则a a ax x k k =>=+21数列}{n x 有下界, 再证}{n x 单调减,11<==+nnn n n x ax ax x x 且0>n x n n x x <∴+1即}{n x 单调减,n n x ∞→∴lim 消失,设A x n n =∞→lim ,则有 aA A =⇒0=A （舍）或a A =,a x n n =∴∞→lim５.解：先求极限得 00010111lim )(22<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=∞→x x x n n x f xxn 而 1)(lim 0=+→x f x 1)(lim 0-=-→x f x 0)0(=f)(x f ∴的持续区间为),0()0,(+∞-∞0=x 为跳跃间断点..６.解：令x x f x F -=)()(, 则 )(x F 在],[b a 上持续而0)()(>-=a a f a F0)()(<-=b b f b F由零点定理,),(b a ∈∃ξ使0)(=ξF即 0)(=-ξξf ,亦即 ξξ=)(f .第二章导数与微分一.填空题1.已知2)3(='f ,则hf h f h 2)3()3(lim--→=.2.)0(f '消失,有0)0(=f ,则xx f x )(lim→=.3.πππ1arctan++=x y x ,则1='x y =.4.)(x f 二阶可导,)sin 1(x f y +=,则y '=;y ''=.5.曲线xe y =在点处切线与衔接曲线上两点),1(),1,0(e 的弦平行. 6.)]1ln[arctan(x y -=,则dy =. 7.42sin x y =,则dx dy =,2dx dy=. 8.若txx xt t f 2)11(lim )(+=∞→,则)(t f '=.9.曲线12+=x y 于点_________处的切线斜率为2. 10.设xxe y =,则_______)0(=''y . 11.设函数)(x y y =由方程0)cos(=++xy eyx 肯定,则________=dxdy. 12.设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12则________22=dx yd . 二.单项选择 1.设曲线xy 1=和2x y =在它们交点处两切线的夹角为ϕ,则ϕtan =（）. （Ａ）1-;（Ｂ）1; （C ）2-;（Ｄ）3. 3.函数x ke xf tan )(=,且e f =')4(π,则=k （）.（Ａ）1;（Ｂ）1-; （C ）21;（Ｄ）2. 4.已知)(x f 为可导的偶函数,且22)1()1(lim-=-+→xf x f x ,则曲线)(x f y =在)2,1(-处切线的方程是.（Ａ）64+=x y ;（Ｂ）24--=x y ;（C ）3+=x y ;（Ｄ）1+-=x y .5.设)(x f 可导,则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 220=.（Ａ）0;（Ｂ）)(2x f ; （C ）)(2x f ';（Ｄ）)()(2x f x f '⋅.6.函数)(x f 有随意率性阶导数,且2)]([)(x f x f =',则)()(x fn =.（Ａ）1)]([+n x f n ;（Ｂ）1)]([!+n x f n ;（C ）1)]()[1(++n x f n ;（Ｄ）2)]([)!1(x f n +.7.若2)(x x f =,则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()2(lim000=（）（Ａ）02x ; （Ｂ）0x ; （C ）04x ; （Ｄ）x 4.8.设函数)(x f 在点0x 处消失)(0x f -'和)(0x f +',则)()(00x f x f +-'='是导数)(0x f '消失的（）（Ａ）必要非充分前提;（Ｂ）充分非必要前提; （C ）充分必要前提;（Ｄ）既非充分又非必要前提. 9.设)99()2)(1()(---=x x x x x f 则=')0(f （）（Ａ）99;（Ｂ）99- ; （C ）!99;（Ｄ）!99-. 10.若)(u f 可导,且)(2x f y -=,则有=dy （）（Ａ）dx x f x )(2-';（Ｂ）dx x f x )(22-'-;（C ）dx x f )(22-';（Ｄ）dx x f x )(22-'. 11.设函数)(x f 持续,且0)0('>f ,则消失0>δ,使得（）（A ）)(x f 在),0(δ内单调增长; （B ）)(x f 在)0,(δ-内单调削减;（C ）对随意率性的),0(δ∈x 有)0()(f x f >;（D ）对随意率性的)0,(δ-∈x 有)0()(f x f >.12.设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=001sin)(2x bax x xx x f 在0=x 处可导,则（）（A ）0,1==b a ; （B ）b a ,0=为随意率性常数; （C ）0,0==b a ; （C ）b a ,1=为随意率性常数. 三.盘算解答 1.盘算下列各题（1）xey 1sin 2=,求dy ; （2）⎩⎨⎧==3ln t y t x ,求122=t dx yd ;（3）y y x =+arctan ,22dxy d ; （4）x x y cos sin =,求)50(y ;（5）xxx y )1(+=,求y '; （6）)2005()2)(1()(+++=x x x x x f ,求)0(f ';（7）)()()(x a x x f ϕ-=,)(x ϕ在a x =处有持续的一阶导数,求)()(a f a f '''、; （8）设)(x f 在1=x 处有持续的一阶导数,且2)1(='f ,求)1(cos lim 1-+→x f dxdx .2.试肯定常数b a ,之值,使函数⎩⎨⎧<-≥+++=0102)sin 1()(x e x a x b x f ax处处可导. 3.证实曲线a y x =-22与b xy =（b a ,为常数）在交点处切线互相垂直.4.一气球从距离不雅察员500米处离地匀速铅直上升,其速度为140米/分,当此气球上升到500米空中时,问不雅察员视角的倾角增长率为若干.5.若函数)(x f 对随意率性实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f =+,且1)0(='f ,证实)()(x f x f ='.6.求曲线5323-+=x x y 上过点)3,1(--处的切线方程和法线方程.第二章导数与微分习题解答一.填空题 1.1-1)3(21)21()3()3(lim 2)3()3(lim00-='-=-⋅---=--→→f h f h f h f h f h h 2.)0(f ')0(0)0()(lim )(lim00f x f x f x x f x x '=--=→→ 3.ππ+x ln 1ln -+='ππππxy xππ+='∴=x y x ln |14.x x f cos )sin 1(⋅+',x x f x x f sin )sin 1(cos )sin 1(2⋅+'-⋅+''x x f y cos )sin 1(⋅+'=',x x f x x f y sin )sin 1(cos )sin 1(2⋅+'-⋅+''=''5.)1),1(ln(--e e 弦的斜率1011-=--=e e k 1)(-==='∴e e e y x x ⇒)1ln(-=e x ,当)1ln(-=e x 时,1-=e y .6.])1(1[)1arctan(2x x dx-+⋅--)1()1(11)1arctan(1)]1[arctan()1arctan(12x d x x x d x dy --+⋅-=--=])1(1[)1arctan(2x x dx-+⋅--=7.432sin 4x x ,422sin 2xx 433442sin 44cos sin 2x x x x x dxdy =⋅⋅= 4222sin 22x x xdxdy dx dy == 8.t t te e 222+ttx x te xt t f 22)11(lim )(=+=∞→t t te e t f 222)(+='∴9.)2,1(x y 2=' ,由220=x ⇒10=x ,21120=+=y12+=∴x y 在点)2,1(处的切线斜率为210. 2x x xe e y +=' ,xx x xe e e y ++=''2)0(00=+=''∴e e y11.)sin()sin(xy x e xy y e y x y x ---++ 方程双方对x 求导得 0)')(sin()'1(=+-++xy y xy y e yx解得 )sin()sin('xy x e xy y e y y x y x ---=++.12.34cos sin t tt t - 由参数式求导公式得t t x y dx dy tt 2sin ''-==, 再对x 求导,由复合函数求导法得32224cos sin 21sin cos 21'')'()'(ttt t t t t t t x y y dx d dx y d t t x x -=⋅--===. 二.选择题1.选（Ｄ）由⎪⎩⎪⎨⎧==21xy x y ⇒交点为)1,1(,1|)1(11-='==x x k ,2|)(122='=x x k3|1||)tan(|tan 211212=+-=-=∴k k k k ϕϕϕ3.选（Ｃ） x x k e x f k xk21tansec tan )(⋅⋅='-由e f =')4(π得 e k e =⋅⋅2⇒21=k 4.选（A ）由xf x f x f x f x x 2)1()1(lim2)1()1(lim00----=-+→→ 2)21()1()21()1()1(lim0-=-⋅-'=-⋅-----=→f x f x f x ⇒4)1(=-'f∴切线方程为：)1(42+=-x y 即 64+=x y 5.选（Ｄ） )()(2])([)()(lim2220x f x f x f xx f x x f x '⋅='=∆-∆+→∆ 6.选（Ｂ） )(2)()(2})]({[)(32x f x f x f x f x f ='⋅='='')(32)()(32])(2[)(423x f x f x f x f x f ⨯='⋅⨯='=''' 设)(!)(1)(x f n x f n n +=,则)()()!1()()1(x f x f n x fn n '⋅+=+)()!1(2x f n n ++= )(!)(1)(x f n x f n n +=∴7.选（Ｃ） )(22)()2(2lim )()2(lim 0000000x f xx f x x f x x f x x f x x '=∆-∆+⋅=∆-∆+→∆→∆又x x x f 2)()(2='=' ,004)(2x x f ='∴8.选（Ｃ） )(x f 在0x 处可导的充分必要前提是)(x f 在0x 点的左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都消失且相等. 9.选（Ｄ）)99()3)(1()99()2()99()2)(1()(---+--+---='x x x x x x x x x x x f )98()2)(1(---++x x x x!99!99)1()990()20)(10()0(99-=⋅-=---='∴ f另解：由界说,)99()2)(1(lim 0)0()(lim )0(00---=--='→→x x x x f x f f x x!99!99)1(99-=⋅-= 10.选（Ｂ） )(2)()(])([2222x f x x f x f -'-='-⋅-'='-dx x f x dy )(22-'-=∴11.由导数界说知0)0()(lim)0('0>-=→xf x f f x ,再由极限的保号性知 ,0>∃δ当),(δδ-∈x 时0)0()(>-xf x f ,从而当)),0()(0,(δδ∈-∈x x 时,)0(0)0()(><-f x f ,是以C 成立,应选C. 12.由函数)(x f 在0=x 处可导,知函数在0=x 处持续b b ax x f xx x f x x x x =+===--++→→→→)(lim )(lim ,01sinlim )(lim 0020,所以0=b .又a xax x f x f f x x x x f x f f x x x ==--===--=-++→-→→+0)0()(lim )0(,01sinlim 0)0()(lim )0(0200,所以0=a .应选C. 三.盘算解答 1.盘算下列各题（1）dx x x x e x d edy xx)1(1cos 1sin 2)1(sin 21sin 21sin 22-⋅⋅==dx e xx x1sin 222sin 1-=（2）32313t tt dxdy ==,3222919t t t dx y d ==,9|122=∴=t dx y d （3）双方对x 求导：y y y'='⋅++2111⇒12+='-y y)11(2)1(2223233+-=+⋅-='⋅-=''---y y y y y y y （4）x x x y 2sin 21cos sin == )22sin(2cos π+=='∴x x y )222sin(2)22cos(2ππ⋅+=+=''x x y 设)22sin(21)(π⋅+=-n x yn n则)2)1(2sin(2)22cos(2)1(ππ++=⋅+=+n x n x yn n nx x y 2sin 2)2502sin(24949)50(-=⋅+=∴π（5）双方取对数：)]1ln([ln ln x x x y +-=双方求导：xx x x y y +-++-='⋅11)1ln(ln 1 ]11)1ln([ln )1(xxx x x x y x +-++-+='∴（6）运用界说：!2005)2005()3)(2)(1(lim )0()(lim)0(00=++++=-='→→x x x x xf x f f x x（7）)()()()(x a x x x f ϕϕ'-+=' )()(a a f ϕ='∴又ax a x a x x a x a f x f a f a x ax --'-+=-'-'=''→→)()()()(lim)()(lim)(ϕϕϕ )]()()([lim x ax a x ax ϕϕϕ'+--=→)(2)()(a a a ϕϕϕ'='+'=[注：因)(x ϕ在a x =处是否二阶可导不知,故只能用界说求.]（8）]121)1sin ()1(cos [lim )1(cos lim 11-⋅--⋅-'=-++→→x x x f x f dx d x x121sin lim )1(cos lim 11---⋅-'=++→→x x x f x x 1)21()1(-=-⋅'=f2.易知当0≠x 时,)(x f 均可导,要使)(x f 在0=x 处可导则 )0()0(-+'='f f , 且)(x f 在0=x 处持续.即)0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==+-→→而020)(lim 2)(lim 00=++⇒⎪⎭⎪⎬⎫=++=+-→→b a x f a b x f x x 又 b xa b a x x f x f f x x =---+++=--='++→→+22)sin 1(lim 0)0()(lim )0(00a x axx e x a b e f x ax x ax x ==-=----='---→→→-000lim 1lim 21lim )0(由⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=-=⇒=++=1102b a b a b a 3.证实：设交点坐标为),(00y x ,则a y x =-2020b y x =00对a y x =-22双方求导：yx y y y x ='⇒='⋅-022 ∴曲线a y x =-22在),(00y x 处切线斜率010|y x y k x x ='== 又由2xb y x b y b y x -='⇒=⇒= ∴曲线b xy =在),(00y x 处切线斜率2020|x by k x x -='== 又 1)(00200021-=-=-⋅=y x b x b y x k k ∴两切线互相垂直.4.设t 分钟后气球上升了x 米,则500tan x=α 双方对t 求导：2575001405001sec 2==⋅=⋅dt dx dt d αα αα2cos 257⋅=∴dt d 当500=x m 时, 4πα=∴当500=x m 时,50721257=⋅=dt d α（弧度/分） 5.证实：hx f h f x f h x f h x f x f h h )0()()(lim )()(lim)(00+-⋅=-+='→→ h f h f x f h f x f h f x f h h )0()()(lim )0()()()(lim00-=⋅-⋅=→→)()0()(x f f x f ='⋅=6.解：因为x x y 632+=',于是所求切线斜率为3|63121-=+=-=x x x k ,从而所求切线方程为)1(33+-=+x y , 即063=++y x又法线斜率为31112=-=k k 所以所求法线方程为)1(313+=+x y ,即 083=+-x y 第三章中值定理与导数运用一.填空题1.=→x x x ln lim 0__________.2.函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增.3.函数()43384x x x f -+=的极大值是____________.4.曲线x x x y 3624+-=在区间__________是凸的.5.函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式是_________.6.曲线xxey 3-=的拐点坐标是_________.7.若()x f 在含0x 的()b a ,（个中b a <）内恒有二阶负的导数,且_______,则()0x f 是()x f 在()b a ,上的最大值.8.123++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点.9.________)1sin 1(cot lim 0=-→xx x x . 10._________)tan 11(lim 20=-→xx x x . 11.曲线2x e y -=的上凸区间是___________. 12.函数1--=x e y x的单调增区间是___________. 二.单项选择1.函数)(x f 有持续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→2)(lim x xx f x （）（Ａ）不消失 ;（Ｂ）0 ;（Ｃ）-1 ;（Ｄ）-2.2.设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,21(内曲线)(x f （）（Ａ）单调增凹的; （Ｂ）单调减凹的; （Ｃ）单调增凸的;（Ｄ）单调减凸的.3.)(x f 在),(b a 内持续,0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ,则)(x f 在0x x =处（）（Ａ）取得极大值; （Ｂ）取得微小值;（Ｃ）必定有拐点))(,(00x f x ;（Ｄ）可能取得极值,也可能有拐点.4.设)(x f 在[]b a ,上持续,在),(b a 内可导,则Ⅰ：在),(b a 内0)(≡'x f 与Ⅱ：在),(b a 上)()(a f x f ≡之间关系是（）（Ａ）Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要前提; （Ｂ）Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分前提; （Ｃ）Ⅰ是Ⅱ的充分必要前提;（Ｄ）Ⅰ不是Ⅱ的充分前提,也不是必要前提.5.设)(x f .)(x g 在[]b a ,持续可导,0)()(≠x g x f ,且)()()()(x g x f x g x f '<',则当b x a <<时,则有（）（Ａ）)()()()(a g a f x g x f <;（Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <; （Ｃ）)()()()(a g a f x g x f <; （Ｄ）)()()()(a f a g x f x g >. 6.方程0133=+-x x 在区间),(+∞-∞内（）（Ａ）无实根; （Ｂ）有独一实根; （Ｃ）有两个实根; （Ｄ）有三个实根.7.已知)(x f 在0=x 的某个邻域内持续,且0)0(=f ,2cos 1)(lim 0=-→xx f x ,则在点0=x 处)(x f （）（Ａ）不可导; （Ｂ）可导,且0)0('≠f ; （C ）取得极大值; （Ｄ）取得微小值. ８.设)(x f 有二阶持续导数,且0)0('=f ,1||)("lim=→x x f x ,则（）（Ａ）)0(f 是)(x f 的极大值; （Ｂ）)0(f 是)(x f 的微小值; （Ｃ）))0(,0(f 曲直线)(x f y =的拐点; （Ｄ）)0(f 不是)(x f 的极值点.9.设b a ,为方程0)(=x f 的二根,)(x f 在],[b a 上持续,在),(b a 内可导,则)('x f 在),(b a 内（）（A ）只有一实根; （B ）至少有一实根; （C ）没有实根; （D ）至少有2个实根. 10.在区间]1,1[-上知足罗尔定理前提的函数是（）（A ）21)(x x f =; （B ）||)(x x f =; （C ）21)(x x f -=; （D ）12)(2--=x x x f .11.函数)(x f 在区间),(b a 内可导,则在),(b a 内0)('>x f 是函数)(x f 在),(b a 内单调增长的（）（A ）必要但非充分前提; （B ）充分但非必要前提;（C ）充分必要前提; （C ）无关前提. 12.设)(x f y =是知足微分方程0'"sin =-+xey y 的解,且0)('0=x f ,则)(x f 在（）（A ）0x 的某个邻域单调增长; （B ）0x 的某个邻域单调削减; （Ｃ）0x 处取得微小值; （Ｄ）0x 处取得极大值. 三.盘算解答 1.盘算下列极限 (1)1arccos lim 1+-+-→x xx π;(2)xxx ln cot ln lim 0+→; (3) )1ln(lim 2sin 0x x e e x x x +-→; (4) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+→)1ln(11lim 20x x x x ;(5)30arctan limxxx x -→ ; (6))tan(ln )tan(ln lim 0bx ax x +→. 2.证实以下不等式(1).设e a b >>,证实ab b a >. (2).当20π<<x 时,有不等式x x x 3sin 2tan >+.3.已知x x y sin 3=,运用泰勒公式求)0()6(y .4.试肯定常数a 与n 的一组数,使得当0→x 时,nax 与33)1ln(x x +-为等价无限小.5.设)(x f 在[]b a ,上可导,试证消失)(b a <<ξξ,使[])()(3)()(1233ξξξξf f b f a f a b a b '+=-.6.作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积V 最小,并求出该体积最小值.7.若)(x f 在]1,0[上有三阶导数,且0)1()0(==f f ,设)()(3x f x x F =,试证：在)1,0( 内至少消失一个ξ,使0)('"=ξF .第三章中值定理与导数运用习题解答一.填空题1.00)(lim 11lim 1ln lim ln lim 02000=-=-==→→→→x xx x xx x x x x x2.),(+∞-∞0sin 2)(>+='x x f )(x f ∴在),(+∞-∞上单调增3.20)2(121224)(232--=-='x x x x x f令2,00)(21==⇒='x x x f当2<x 时,0)(>'x f ;当2>x 时,0)(<'x f∴极大值为 20)2(=f4.)1,1(-31243+-='x x y ,)1)(1(1212122-+=-=''x x x y当1-<x 时,0>''y .当)1,1(-∈x 时,0<''y ;当),1(+∞∈x 时,0>''y∴曲线在)1,1(-上是凸的5.m m x m x x 242)!2(1)1(!41!211-+++-（赐教材P13页,泰勒公式） 6.)32,32(2-e )31(3333x e xe ey x x x-=-='--- ,)32(9)69(3)31(33333-=-=---=''----x e x e e x e y x x x x令320=⇒=''x y ,当32<x 时,0<''y ;当32>x 时0>''y而当32=x 时,232-=e y ∴拐点为)32,32(2-e7.0)(0='x f ,0)(lim )()(lim)("000000<-'=-'-'=→→x x x f x x x f x f x f x x x x 0)(0<-'⇒x x x f 当0x x <时,)(,0)(0x f x f >'单调增长;当0x x >时,)(,0)(x f x f <'单调削减 8.10232>+='x y ,y ∴在),(+∞-∞上单调增长又-∞=-∞→y x lim +∞=+∞→y x lim .∴在),(+∞-∞内有1个零点.9.61 原式613cos 1lim sin lim cos lim sin )sin (cos lim 2030020=-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 10.31 原式=31tan lim 3131sec lim tan lim tan tan lim 2202203020==-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 11.)22,22(-22])2(2[",2'2x x e x y xe y -----=-=令220"±=⇒=x y ,当)22,22(-∈x 时,0"<y ,上凸,其它区间0">y ,上凹,故应填入)22,22(-. 12.),0(+∞ 函数1--=x e y x的界说区间为),(+∞-∞,在界说区间内持续.可导,且1'-=xe y ,因为在),0(+∞内0'>y ,所以函数1--=x e y x 在),0(+∞上单调增长.二.选择题 1.选（Ｃ） 12)(lim 21)(lim )(lim0020-=''=-'=-→→→x f x x f x x x f x x x 2.选（Ｂ）当)1,21(∈x 时,0)(<'x f ,又0)41(414)(>-=-=''x x x f )1,21(∈x)(x f ∴在)1,21(上单调减且为凹的.3.选（Ｄ） 3)(x x f =,则0)0(")0('==f f ,0=x 是3)(x x f =的拐点;设4)(xx f =,则0)0(")0('==f f ,而0=x 是4)(x x f =的极值点.4.选（Ｃ）由)(x f 在),(b a 内0)(≡'x f 的充分必要前提是在),(b a 内C x f ≡')(（C 为常数）,又因为)(x f 在],[b a 内持续,所以)(a f C =,即在),(b a 上)()(a f x f ≡.5.选（Ｃ）由0)()()()()()()()(<'-'⇒'<'x g x f x g x f x g x f x g x f)()(0])()([x g x f x g x f ⇒<'⇒单调削减,),(b a x ∈ )()()()(b f a f x g x f <∴. 6.选（Ｄ）令13)(3+-=x x x f ,则)1)(1(333)(2+-=-='x x x x f ;当1-<x 时,0)(>'x f ,)(x f 单调增长, 当)1,1(-∈x 时,0)(<'x f ,)(x f 单调削减当),1(+∞∈x 时,0)(>'x f ,)(x f 单调增长. 而3)1(=-f ,1)1(-=f-∞=-∞→)(lim x f x ,+∞=+∞→)(lim x f x)(x f ∴在)1,(--∞上有一实根,在]1,1[-上有一实根,在),1(+∞上有一实根.７.选（Ｄ）运用极限的保号性可以剖断)(x f 的正负号：0cos 1)(02cos 1)(lim0>-⇒>=-→xx f x x f x （在0=x 的某空心邻域）;由0cos 1>-x ,有)0(0)(f x f =>,即)(x f 在0=x 取微小值. 8.选（Ｂ）由极限的保号性：0||)("01||)("lim 0>⇒>=→x x f x x f x （在0=x 的某空心邻域）;由此0)(">x f （在0=x 的某空心邻域）,)('x f 单调增,又由0)0('=f ,)('x f 在0=x 由负变正,由极值第一充分前提,0=x 是)(x f 的微小点.9.选（B ）由罗尔定理保证至少消失一点),(b a ∈ξ使0)('=ξf .10.选（C ）,A 选项)(x f 在0=x 不持续,B 选项)(x f 在0=x 处不可导,D 选项)1()1(-≠f f .11.选（B ）,如3x y =在),(+∞-∞单增,但0)0('=f ,故非必要前提.12.选（Ｃ）,由0)('0=x f 有0)(')("00sin 0sin 0>=-=x x e x y ex y ,所以)(x f 在0x 处取得微小值. 三.盘算解答1.盘算极限（1）解： 1arccos lim 1+-+-→x x x π12111arccos 21lim 21+-⋅=+-→x x x x π2111arccos 1lim 1=-⋅=+-→x x x (2)解： 1sin cos sin lim 1)csc (cot 1lim ln cot ln lim 20200-=⋅⋅-=-⋅=+++→→→xx x x xx x x x x x x . (3)解： 613cos 1lim sin lim )1(lim )1ln(lim 20303sin sin 02sin 0=-=-=-=+-→→-→→x x x x x x e e x x e e x x x x x x x x x (4)解：21])1(21[lim 2111lim )1ln(lim )]1ln(11[lim 002020-=--=--=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x (5)解： 31)1(3lim 3111lim arctan lim 222022030=+=+-=-→→→x x x x x x x x x x x . (6)解： b bx ax a ax bx b bx bx a ax ax bx ax x x x ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+++→→→)(sec )tan()(sec )tan(lim )(sec )tan(1)(sec )tan(1lim )tan(ln )tan(ln lim 2202200 220cos ()lim 1cos ()x bx bx a ax ax b+→⋅⋅==⋅⋅ 2.(1)证实：b a a b b a ab ln ln >⇔>令 x a a x x f ln ln )(-=,则)(x f 在],[b a 上持续0ln )(>-='xa a x f ],[b a x ∈ )(x f ∴在],[b a 上单调增长,)()(a f b f >∴得 0ln ln ln ln =->-a a a a b a a b , 即ab b a > (2)令x x x x f 3sin 2tan )(-+=在)2,0(π∈x 时03cos cos cos 133cos cos cos 13cos 2sec )(3222=-⋅⋅≥-++=-+='x x xx x x x x x f 0)(>'∴x f ,)(x f ∴在(0,)2π上单调增,又00lim ()lim(tan 2sin 3)0x x f x x x x ++→→=+-= 0(0,),()lim ()02x x f x f x π+→∴∀∈>=, 即x x x 3sin 2tan >+ 3.解：麦克劳林公式)(!)0(!2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= 而)()!12()1(!5!3sin 212153m m m x o m x x x x x +--+-+-=-- ++-==∴!5!3sin 8643x x x x x y 比较 6x 的系数有：120!3!6)0(!31!6)0()6()6(-=-=⇒-=f f 4.解： 1)]1(3[lim 313lim )1ln(lim 36023210330=--=+--=+--→-→→x x an x x x anx x x ax n x n x n x 6=∴n ,2113-=⇒=-a an 5.即证：332()()[3()()]b f b a f a f f b aξξξξ-'=+- 令)()(3x f x x F =,则)(x F 在],[b a 上知足拉格朗日定理的前提 ),(b a ∈∃∴ξ,使)()()(ξF ab a F b F '=-- 即3323()()3()()b f b a f a f f b aξξξξ-'=+- 即 )]()(3[)()(1233ξξξξf f b f a f a b a b '+=-6.解：设圆锥的高为h,底面圆半径为R,则有比例关系222r hrRR h r=⇒=-rhrhhRV23131222-⋅==∴ππ)2(rh>222222)2()42(31)2()2(231rhhrhhrrhrhrhhrdhdV---=---=ππ令⇒=0dhdV独一驻点rh4=所以,当rh4=时,体积最小,此时32238241631rrrrrVππ=-⋅⋅=7.解：由题设可知)('"),("),('),(xFxFxFxF在]1,0[上消失,又)1()0(FF=,由罗尔定理,)1,0(1∈∃ξ使0)('1=ξF,又0|)](')(3[)0('32=+==xxfxxfxF,可知)('xF在],0[1ξ上知足罗尔定理,于是),0(12ξξ∈∃,使0)("2=ξF,又0|)](")('6)(6[)0("32=++==xxfxxfxxxfF,对)(''xF在],0[2ξ上再次运用罗尔定理,故有)1,0(),0(),0(12⊂⊂∈ξξξ,使得0)('"=ξF.第四章不定积分一.填空题1.⎰dx xx=___________.2.⎰xxdx2=_____________.3.⎰+-dxxx)23(2=_____________.4.⎰-dxxxxsincos2cos=___________.5.⎰+xdx2cos1=____________.6.dttt⎰sin=___________.7.⎰xdxx sin=___________.8.⎰xdxarctan=__________.9.=+⎰dxxx2sin12sin____________.10.⎰=''dx x f x )(____________. 11.⎰=++dx x x 1)3(1________________. 12.⎰=++__________522x x dx .二.单项选择1.对于不定积分()dx x f ⎰,下列等式中（）是准确的.（A ）()()x f dx x f d =⎰;（B ）()()x f dx x f ='⎰;（C ）()()x f x df =⎰;（D ）()()x f dx x f dx d =⎰. 2.函数()x f 在()+∞∞-,上持续,则()[]dx x f d ⎰等于（）（A ）()x f ;（B ）()dx x f ;（C ）()C x f +;（D ）()dx x f '.3.若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数,则（）（A ）()()0=-x G x F ;（B ）()()0=+x G x F ;（C ）()()C x G x F =-(常数);（D ）()()C x G x F =＋(常数).4.若⎰+='c xdx x f 33)(,则=)(x f （）（A ）c x +3556;（B ）c x +3559;（C ）c x +3;（D ）c x +. 5.设)(x f 的一个原函数为x x ln ,则=⎰dx x xf )(（）（A ）c x x ++)ln 4121(2;（B ）c x x ++)ln 2141(2; （C ）c x x +-)ln 2141(2;（D ）c x x +-)ln 4121(2. 6.设c x dx x f +=⎰2)(,则=-⎰dx x xf )1(2（）（A ）c x +--22)1(2;（B ）c x +-22)1(2;（C ）c x +--22)1(21;（D ）c x +-22)1(21. ７.=+-⎰dx e e x x 11（）。

第一学期微积分(B)I期中考试试卷解答

第一学期微积分(B)I 期中考试试卷解答1. (6分)求n nn n 3)2(332lim -⋅+⋅∞→ 解：原式=2。

2. (6分) 求xx x 3tan ln 2tan ln lim 0+→ 解：原式=133cos 13tan 122cos 12tan 1lim 220=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+→x x x x x . 评分:做到第1、2个等号后，给到4、6分。

3. (7分)求)0,0(,11lim 10>>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→b a xb xa x x x x 解：原式=21][101111lim x x x x xb xa ⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-→→x b a b x xb xb xa x x x x x x x 0020lim 011exp 11lim exp =()b a b a b b a a x x x =-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→ln ln exp 1ln ln lim exp 0. 评分:做到第1、2、3、4、5个等号后，给到1、3、5、6、7分。

4. (6分)求)0(,sin lim sin 0>--→a xx a a xx x 解：原式=a xx a x x a x x a a x x x x x x ln sin ln )sin (lim sin 1lim sin 0sin sin 0=--=--→-→.评分:做到第1、2、3个等号后，给到2、4、6分。

5. (8分)求函数x xe y --=111的间断点，并判别类型。

解：定义域 0101011≠≠⇔≠-≠--x x ex x x 且且,间断点 x =0,x =1 是第二类无穷间断点0,lim 0=∴∞=→x y x .是第一类跳跃间断点1),111(1lim ),111(0lim 11=∴-∞=-=+∞=-=++→--→+-x y y x x 评分:做到第2、3、4行后，给到2、4、8分（x=0,3分;x=1,5分）.6. (6分) hh a f h a f a f h )()2(lim,2)(0+-+='→计算设解：原式=)()()(2])()(22)()2([lim 0a f a f a f h a f h a f h a f h a f h '='-'=-+--+→ 评分:做到第1、2个等号后，给到4、6分（用罗必达扣3分）。

微积分试题及答案【精选】

一、选择题(每题2分)1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2）B 、（0，lg2]C 、（10,100）D 、（1,2）2、x=-1是函数x ƒ()=()221x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求0x →A 、-14B 、0C 、1D 、∞ 4、若1y xx y+=，求y '等于（） A 、22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y-- D 、22x yx y +-5、曲线221xy x =-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（）A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+C 、2y x = D 、ln y x = (0)x >二、填空题（每题2分） 1、__________2、、2(1))l i m ()1x n xf x f x nx →∞-=+设（，则的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线是的切线，则 __________5、ln 2111x y y x +-=求曲线，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）1、221x y x =+函数是有界函数 ( )2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( )3、limββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin xy x=求函数的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x xx x→-求 5、计算6、21lim (cos )x x x +→计算五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x=++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21y x x=+的图形（12分）六、证明题（每题6分）1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x+→+∞→==则 2、证明方程10,1xxe =在区间（）内有且仅有一个实数一、选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )xxx xx xy x ee x x x x x x x x x x x'='='⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+（（2、22()112(arctan )121arctan dy f x dxxx x dx x xxdx='=+-++= 3、解：2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y xy y y x yy x y y x y x y yy y x y--'+'=-∴'=--'----'∴''=-4、解：2223000tan sin ,1cos 21tan (1cos )12lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x x →→→--∴==当时，原式=5、解：65232222261)61116116(1)166arctan 6arctanx t dx t tt t t t t tt t C C===+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰令原式（6、解：201ln cos 01limln cos 20200012lim 1lim ln cos ln cos lim 1(sin )cos lim 2tan 1lim 22x xx x xx x x x x e ex xxx x x xx x e++→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：原式五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x aaL x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-='=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值2、解：()()2300,01202201D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-'==''=+''==-，间断点为令则令则渐进线：32lim lim 001lim x x x y y y x y y x y x x→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题 1、证明：lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x M M M x f A x f A x εεξε→∞→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<= 当时，有取=，则当0时，有即。

微积分I(第一层次)期中试题参考答案

……………………
1 n 1 n 1
1 1 1 把上述不等式相加，得 1 2 3 n ln n 1 2 1 而 an 1 1 2 3 1 n 1
ln n 1 n 0 ，所以 {an } 下方有界. 故 lim an 存在.
n
1 1 e
x x 1
，试确定 f ( x ) 的间断点及其类型.
解： x 0, x 1 为间断点. 因为 f (1 ) 0, f (1 ) 1 ，所以 1 为跳跃间断点.

又因为 f (0 ) , f (0 ) ，所以 0 为无穷型间断点.
1 1 八、（8 分）（1）对任意正整数 n ，证明： n1 1 ln(1 n ) n ; 1 1 （2）令 an 1 1 2 3 n ln n ，证明： lim an 存在. n
当 0 | x 2 | ，有
n 4
2. 求极限： lim n 4 .
n
解： 4
n
lim 4 =4. 所以由夹逼定理，得原式= 4 . n 4 4 n 4 n 2 ( n 5). 而 lim 4 n 2 =4 ，
n n 2/ x x 0
3. 求极限： lim(1 2 x) 解：原式= exp(lim
f (0) lim
a (sin x x cos x) sin x a lim ( cos x ) 2a. x 0 x 0 x x
由题意，当 a 2 时， f (0) f (0), 所以 f (0) 4. 七、（8 分）设 f ( x )

1
x

1
I lim

微积分期中考试试题答案

一,求下列极限: （20分） 1, dtte dt e x t x t x ⎰⎰→0220022)(lim 2, 求极限：dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim ，其中)(x f 连续二，求定积分（30分）1．21⎰ 2．0x xdx e e +∞-+⎰ 3．⎰+20cos sin cos πdx xx x 4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x 三，求由方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0所确定的函数y=y(x)的微分dy 。

（10分）四，求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。

（10分）五，（30分）1）设()f x 在[0,2]a 上连续，证明200()[()(2)]a af x dx f x f a x dx =+-⎰⎰ 2）若f(x)在[0,1]上连续，证明⎰π0)(sin dx x xf =πdx x f ⎰20)(cos π3）计算20sin 1cos x x dx xπ+⎰1． ()dxte dt e x t x t x ⎰⎰→0220202lim 2220202lim x x x t x xe e dt e ⋅=⎰→20202lim x x t x xe dt e ⎰→= 2222022lim x x xx ex e e +=→2212lim 20=+=→x x 2．dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim)(1)()(lim a af dt t f x xf x a a x =+=⎰→二．1。

210⎰tdt t t t x cos 2cos 2sin 4sin 602⎰=π ⎰=602sin 4πtdt ⎰-=60)2cos 1(2πdt t 602sin 3ππt -=233-=π 2．0x x dx e e +∞-+⎰=dx e e x x 120+=⎰∞+1)(20+=⎰∞+x x e de 0)arctan(∞+=x e 42ππ-=4π= 3．⎰+20cos sin cos πdx x x x ⎰+++-=2cos sin )cos (sin )sin (cos 21πdx x x x x x x ⎰++=20cos sin )cos (sin 21πx x x x d dx ⎰+20121π 4cos sin ln 2120ππ++=x x 4π=4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x ⎰-+222cos 1ππdx x x +⎰-+222cos 1cos ππdx x x ⎰+=202cos 1sin 2πxx d ⎰-=202sin 2sin 2πx x d x d xx sin )sin 21sin 21(2120-++=⎰π 20sin 2sin 2ln 21πxx -+= 1212ln 21-+=)12ln(2+= 三，解：对原方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0两边求微分，得0)(1)2()2(22=+++xy d dx x x d x 有01822=++++xdy ydx dx x dx x 所以所求微分dx xy x x dy +++-=2218四．求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。

微积分试卷及标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，与是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

10微积分下期中试卷B

浙江财经学院2010~~~2011学年第二学期《微积分下》课程期中考试试卷（（周一卷）年级、专业：考试日期：2011年 4 月日（共大题）一．填空题（8⨯3分）1．若11(2)n nu ∞=+∑收敛(0)n u ≠，则lim n n u →∞= -1/2 。

2．当α满足 0 <α <1 时，111(1)n n n α-∞=-∑绝对收敛。

3． 22cos x x x t dt →＝0cos 4lim 2/2cos lim cos lim42/302/1400202==⋅=→-→→⎰x x x xx xdt t x x x x 。

4. 22sin()x d x t dt dx -=⎰2202022)2sin(sin )(sin t du u dxd t x u duu dxd t t -=-=-=⎰⎰--。

5.2222x xdx x -+=+⎰3ln )]2[ln(222||202202222=+=+=+⎰⎰-x dx x x dx x x 6．6620sin cos sin cos 8x xdx x x π-=++⎰ 0 （令x=π/2-u ，则I=-I ）。

7．当p 满足 1/3<p<2/3 时，广义积分1311p dx x-⎰收敛。

8. 3123ln 1xdx x =+⎰ 0 )(,t a nln arctan ln 1ln 233/133/12πβαβα=+===+⎰⎰⎰I du u x d x dx x xI dz z dz z z d z I -=-==--=⎰⎰⎰βαβααβππtan ln cot ln )2()2tan(ln二．解答题1..判别下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛（4⨯6分）1arctan (1) (ln10)nn nx ∞=∑ 111(2)(1)ln(1)n n n n ∞-=--+∑ n n nn v nx u 2)10(ln 12)10(ln arctan ||ππ=⋅≤=设)1ln()(+-=n n n f∑∑=nn v )10(ln 1是几何级数， )1(01111)(≥>+=+-='n n nn n f 公比1||,10ln 1<=q q ，∑∴n v 收敛 )(n f 单调递增，)(1||n f u n =递减由比较判别法知：||∑nu收敛且)1ln(1lim ||lim +-=∞→∞→n n u n n n 所以，∑∑=nn nxu )10(ln arctan 绝对收敛。

实用文档之《微积分》各章习题及详细答案

实用文档之"第一章函数极限与连续"一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

微积分部分习题及答案 (1)

(2) 1(x2 4x 4) dx 0
解：原式 ( x3 2x2 4x) 1 1 2 4 19
3
03
3
(3)
0
3
a2
1
x2
dx
(a为常数)
解：原式 1
a
0
3
1
1 x a
2
d
x a
1 arctan x 3
a
a0
1 arctan 3
a
a
20
11.用牛顿莱布尼茨公式计算下列定积分
5
(2) ln xdx 1
解
原式 x ln x 5
5
xd ln x
1
1
5 ln 5
5 x 1 dx 1x
5 ln 5 4
35
14.用分部积分法计算下列定积分
(5) 4 ln xdx
1x
解
原式 2
4
ln xd
1
x 2 ln x
4
x 2
4
1
1
xd ln x
8 ln 2 2 4 1
解
原式 1 5
1 2
(11
1 5
x
)3
d
(5
x
11)
1 5
1 2
11
5x 2
1 2
= 51 512
33
14.用分部积分法计算下列定积分
(1) 1 xexdx 0
解原式 1 xdex 0
xex 1 1 exdx 00
( xe x
ex
)
1 0
1
34
14.用分部积分法计算下列定积分
6
22
11.用牛顿莱布尼茨公式计算下列定积分

微积分试卷及答案4套

微积分试卷及答案4套微积分试题(A卷)一.填空题(每空2分,共20分)1.已知$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=A$，则对于$\forall\epsilon>0$，总存在$\delta>0$，使得当$x\to1^+$时，恒有$|f(x)-A|<\epsilon$。

2.已知$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n^2+bn+5}{n^2+3n-2}=2$，则$a=1$，$b=3$。

3.若当$x\to x_0$时，$\alpha$与$\beta$是等价无穷小量，则$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\alpha-\beta}{\beta}=0$。

4.若$f(x)$在点$x=a$处连续，则$\lim\limits_{x\toa}f(x)=f(a)$。

5.函数$f(x)=\ln(\arcsin x)$的连续区间是$(0,1]$。

6.设函数$y=f(x)$在$x$点可导，则$\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+3h)-f(x)}{h}=3f'(x)$。

7.曲线$y=x^2+2x-5$上点$M$处的切线斜率为6，则点$M$的坐标为$(-1,2)$。

8.$\dfrac{d(xf'(x))}{dx}=xf''(x)+2f'(x)$。

9.设总收益函数和总成本函数分别为$R=24Q-2Q^2$，$C=Q+5$，则当利润最大时产量$Q=6$。

二.单项选择题(每小题2分,共18分)1.若数列$\{x_n\}$在$a$的$\epsilon$邻域$(a-\epsilon,a+\epsilon)$内有无穷多个点，则（B）数列$\{x_n\}$极限存在，且一定等于$a$。

2.设$f(x)=\arctan\dfrac{2}{x-1}$，则$x=1$为函数$f(x)$的（A）可去间断点。

微积分试卷及答案

2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟命题人 2010 年 6 月10日使用班级教研室主任年月日教学院长年月日姓名班级学号一、填充题（共5小题，每题3分,共计15分）1。

2ln()d x x x =⎰ . 2.cos d d xx =⎰ 。

3. 312d x x --=⎰ .4.函数22x y z e+=的全微分d z = 。

5。

微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为。

二、选择题（共5小题,每题3分，共计15分)1.设()1x f e x '=+,则()f x = ( ）。

（A ） 1ln x C ++ (B) ln x x C +（C ） 22x x C++ (D ） ln x x x C -+2.设2d 11xk x +∞=+⎰，则k = （ ).(A ） 2π(B ） 22π(C) (D ） 24π3。

设()z f ax by =+,其中f 可导，则（）。

(A ） z z ab x y ∂∂=∂∂ （B)z zx y ∂∂=∂∂ (C ） z z ba xy ∂∂=∂∂ (D ） z z x y ∂∂=-∂∂ 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0y f x y '=成立,则（）(A ） 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B ） 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点（C ） 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点（D ） 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5。

下列各级数绝对收敛的是（）．（A ） 211(1)nn n ∞=-∑ （B ）1(1)n n ∞=-∑ (C ） 13(1)2n nn n ∞=-∑ （D ） 11(1)n n n ∞=-∑三、计算（共2小题,每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ⎰2.4⎰四、计算(共3小题，每题6分，共计18分）1。

微积分期中考试试卷答案

北京交通大学2007 -2008 学年第一学期《微积分》期中考试试卷（考试时间120分钟）班级姓名学号一、填空题（每空3分，共30分）1．设()()1,1,0,1,,0,1.1,1.x x f x g x x x ⎧<⎧≤⎪⎪==⎨⎨≥>⎪⎪⎩⎩，则()g f x =⎡⎤⎣⎦ 0 。

2．已知()lim20071abb n n n n →∞=--，则常数a =20062007-，b =12007。

3．当0x →时，sin cos x e x x -+-与n x 是同阶无穷小，则n = 2 。

4．函数()21lim1nn xf x x →∞-=+的间断点为x = -1 。

5．设函数()221,0,cos ,0.x e x f x xa x x x ⎧-<⎪=⎨⎪+≥⎩在(),-∞+∞上连续，则a = 2。

6．设()'0f x 存在，则()()000limx x xf x x f x x x →-=-()()'000f x x f x -。

7．设函数()y y x =由方程()sin 0x y e e xy --=确定，则0x dy ==dx 。

8．已知函数()f x 具有任意阶导数，且()()2'f x f x =⎡⎤⎣⎦，则当2n >时，()()n f x =()1!n n f x +⎡⎤⎣⎦。

9．曲线sin ,cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在对应于4t π=的点处的切线方程为20y +-=。

二、计算下列各题 (每题6分，共12分 )1.)()()121cos 211limln 1xx xx-→++解：原式()()2222201221cos 20121cos 0lim 21cos 12lim 21lim 14211.622x xxx x x x x x x x x x x x e e →-→-→-+==+==分分分2．设()11,0,1,0.x x f x x e a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩，求常数a 使()f x 在0x =处连续；并讨论此时()f x 在0x =处是否可导。

10级本科《微积分B上》期终试卷(A)及答案

10 级本科《微积分 B 上》期终试卷(A).doc 第 2 页共 3 页
1 x 1 ln | x 2 4 x 5 | ln C 6 x5 x3 1 2 ９． dx ( x 2) x 2 1 C 2 3 x 1
sec 3 t 解：原式 sec t tan t dt tan t dx sec t tan t dt 2 (1 tan t ) d tan t
而 lim
n
n n
n ( n 1) 2 2
lim
n ( n 1) 2 n 2
n 1

1 ，由夹逼定理知，原 2
式
cos x 在其定义域上是（）。Ｃ x
1 2
x a
２． lim
Ａ．有界奇函数Ｂ．有界偶函数Ｃ．无界奇函数Ｄ．无界偶函数２．函数 f ( x ) 在点 x0 处有定义是 f ( x) 在点 x0 处极限存解：原式在的（）。ＤＡ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．无关条件
x 0 x 0
x 0
lim f ( x) lim cos x 1 ， f (0) 1 ， b 1
二．填空题（每题２分，共１０分）１．要使函数 f ( x) 充定义 f (0) 。
２．设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且
f (a) f (b) 0 。试证明：存在 (a, b) ，使得 f ( ) f ( ) 0 。
四．分析题（每题８分，共１６分）
x0 ，试求 a 、b 的值， x0 使 f ( x) 在点 x 0 处可导。 a 0 , b 1 解：可导一定连续，应有 lim f ( x) lim f ( x) f (0)

大学高等数学统考卷下10届期中考试附加答案

大学高等数学统考卷下（10届）期中考试附加答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则下列结论正确的是（）A. f'(0)存在B. f'(0)不存在C. f(x)在x=0处连续D. f(x)在x=0处不可导2. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）A. f(x)在区间(a, b)内至少存在一个极值点B. f(x)在区间(a, b)内至少存在一个拐点C. f(x)在区间(a, b)内恒为常数D. f(x)在区间(a, b)内单调递增3. 下列级数收敛的是（）A. ∑(n=1 to +∞) n^2B. ∑(n=1 to +∞) (1)^n / nC. ∑(n=1 to +∞) 1 / nD. ∑(n=1 to +∞) n / 2^n4. 设函数f(x)在区间(0, +∞)上可导，且f'(x) > 0，则下列结论正确的是（）A. f(x)在区间(0, +∞)上单调递增B. f(x)在区间(0, +∞)上单调递减C. f(x)在区间(0, +∞)上存在极值点D. f(x)在区间(0, +∞)上恒为常数5. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，下列积分中正确的是（）A. ∫(a to b) f(x) dx = 0B. ∫(a to b) f(x) dx = f(a) + f(b)C. ∫(a to b) f(x) dx = f(a) f(b)D. ∫(a to b) f(x) dx = (b a) f(a)二、填空题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x) = x^3 3x，求f'(x) = ______。

2. 设函数f(x) = e^x，求f''(x) = ______。

3. 设函数f(x) = ln(x + 1)，求f'(x) = ______。

第一学期第二次微积分期中考试参考答案

北京交通大学2011-2012学年第一学期《微积分》第二次期中考试试卷学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、()()ln 101.arcsin x x x+<<<证明：设()()ln 1f x x x =-+，则()00f =。

又因为()()'11001f x x xx x =+=<<<所以01x <<时，()()ln 10,f x x x =-+<()ln 1.arcsin x x+< 二、设0x >时方程211kx x +=有且仅有一个解，求k 的范围。

解：设()()2110f x kx x x =+->，则()'32.f x k x=-（1）0k <时，()()()'0,,0,f f f x +=+∞+∞=-∞<所以0x >时方程211kx x +=有且仅有一个解；（2）0k =时，显然0x >时方程211kx x+=有且仅有一个解；（3）0k >时，()()0,,f f +=+∞+∞=+∞当x ⎛∈ ⎝时，()'0,f x <当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0,f x >所以1f =为其最小值，只有当其为零时方程211kx x +=有且仅有一个解；此时得k = 总之，k 的范围为(]23,0.⎧⎫⎪⎪-∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 三、设函数32,1x y x =-求（1）y 的定义域；（2）y 的单调区间和极值，图形的凹凸区间及拐点；（3）y 图形的渐近线方程。

解：（1）y 的定义域为 1.x ≠± （2）()()()()222'"2322323,.11x x xx y y xx-+==--所以(,-∞为单增区间，()1-为单减区间，()1,1-为单减区间，(为单减区间，)+∞为单增区间。

2010级高等数学(下)期中试卷参考解答

2010级《高等数学》（下）期中试卷（考试时间 120分钟）班级姓名学号成绩一（10分）设(,,)u f x y z =有连续偏导数，()()和y y x z z x ==分别由方程0xye y -=和0z e xz -=所确定，求du dx。

二（10分）设函数()x,y f 在点(1,1)处可微，且()(,)(,),11111112,3,f f f ,x y∂∂===∂∂()()(x)f x,f x,x ϕ=，求()1d d 3=x x xϕ。

三（10分）求曲面22z x y =+垂直于直线2122x z y z +=⎧⎨+=⎩的切平面方程。

四（10分）求曲面224y x z --=和)(3122y x z +=所围闭区域Ω的体积.五（10分）求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域.六（10分）求面密度为常数μ的锥面22y x z +=（)10≤≤z ）对z 轴的转动惯量。

七（10分）求函数22222),(y x y x y x f -+=在闭区域}0,4),({22≥≤+=y y x y x D 上的最大值和最小值。

八（10分）计算积分224L xdy ydx x y -+⎰Ñ，其中L 为圆周222(1)(1)x y R R -+=≠（按逆时针方向）．九（10分）计算曲面积分⎰⎰∑++=xydxdy zydzdx xzdydz I 32，其中∑为有向曲面)10(4122≤≤--=z y x z 方向取上侧。

十（10分）设函数),(||),(y x y x y x f ϕ-=，其中),(y x ϕ连续，问：（1）),(y x ϕ应满足什么条件，才能使偏导数)0,0(x f ，)0,0(y f 存在。

（2）在上述条件下，),(y x f 在点)0,0(处是否可微？中国矿业大学2010级《高等数学》（下）期中试卷参考解答（考试时间 120分钟）一（10分）设(,,)u f x y z =有连续偏导数，()()和y y x z z x ==分别由方程0xye y -=和0z e xz -=所确定，求dudx。

(10)微积分A(2)练习题答案B

2010——2011 学年第 2 学期课程名称：_微积分A (Ⅱ)__ 使用班级：_2010级理工本科（非数学类）命题系别：_数学学院____ 命题人：___王凤琼_____________一、（每小题8分，共16分）１．yxz arctan -=，求dz222111yx yy y x xu +-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂，222211y x xy x y x y u +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂，6分 =dz 22yx xdyydx +--2分２．设222z y x u ++=，)2,2,1(-A ，求u 在)2,2,1(-A 点的方向导数的最大值。

222zy x x x u ++=∂∂，222zy x y yu ++=∂∂，222zy x z zu ++=∂∂31-=∂∂Axu ，32=∂∂Ayu ，32=∂∂Az u ３分 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=32,32,31A u grad 3分方向导数的最大值为梯度的模即1)(=A u grad ２分二、（8分）设023=+-y xz z ，求22yz∂∂解：方程两边同时对y 求偏导，得01232=+-y y xz z z 4分解之得，xz z y 2312--= ２分∴2222)23()6x z zz y zy -=∂∂=32)23(6x z z -- 2分三、（8分）设),(),,(bz cy az cx F z y x f --=，在曲面上任取一点),,(0000z y x M1cF f x =，2cF f y =，21aF aF f z --= ２分则在0M 点处的法向量{}02121,,M aF aF cF cF n --=２分而已知直线的方向向量为 {}c b a s ,,=1分 0)(2121=--+⋅+⋅=⋅aF aF c cF a cF a s n２分所以曲面0),(=--bz cy az cx F 在任意一点处的切平面都平行于已知直线。

2010级微积分(上)重修试卷及其参考答案

2001级《微积分（上）》重修试卷共8页21题考试时间：2小时考试方式：闭卷一、计算下列歌题（每小题5分，六个小题共30分）1．xx xx x sin sin 3lim0+-→解：x x x x x sin sin 3lim 0+-→.11113sin 1sin 3lim 0=+-=+-=→xx x xx 2．1221lim -∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x解：1221lim -∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x 121221lim -+---∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=e x xx x 。

3．()11lim --+∞→n n nn 解：()11lim --+∞→n n nn 11lim2-++=∞→n n n n.111111lim2=-++=∞→nn n4．()xx x x 10sin cos lim +→解：()xx x x 10sin cos lim +→ ()[]=+=→xx x x 220sin cos lim ().2sin 1lim 44.22sin 2sin 10e x xxxx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→5. 若31lim21=-++→x bax x x ，求b a ,的值. 解：由于()01lim 1=-→x x ，故()b a b ax x x ++=++=→1lim 021，即1--=a b ① 所以()=--+-=→11l i m321x a ax x x ()()a x a x x x +=-++-→2111lim 1 解得 .2,1-==b a6．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ()11lim 0---=→x x x e x x e （等价）201lim x x e x x --=→（洛必达） x e x x 21lim 0-=→（等价）.212lim 0==→x x x 二、导数与微分（每小题5分，五个小题共25分） 1．设()0sin >=x x y x ，求()x f '.解： x x y ln .sin ln = ①①关于x 求导，得x xx x y y sin 1ln .cos 1+=' ② ⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x x x x y x sin 1ln .cos .sin 。

微积分2021试题答案

微积分2021试题答案一、选择题1. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在x=1处的导数为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A2. 定积分∫(0,2) x^2 dx的值为：A. 2/3B. 4/3C. 8/3D. 8答案：B3. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x 的值为：A. 0B. 1C. eD. ∞答案：C4. 微分方程dy/dx = x^2 - y^2, y(0) = 1的解为：A. y = x^2B. y = 1/xC. y = x^2 - 1D. y = 1 - x^2答案：D5. 以下级数收敛的是：A. ∑(n=1 to ∞) (1/n^2)B. ∑(n=1 to ∞) (1/n^1.5)C. ∑(n=1 to ∞) (1/n)D. ∑(n=1 to ∞) (1/n^0.5)答案：A二、填空题1. 函数f(x) = 2x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 4x + 1在x=0处的泰勒展开式的前三项为：2x^4 - ______ - 2x + 1。

答案：5x^32. 定积分∫(1,2) (3x^2 - 2x + 1) dx = ______ - 2。

答案：(2/3)3. 极限lim(x→0) (sinx)/x = ______ 。

答案：14. 微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0的通解为：y = (C1 +C2x)e^(-x)，其中C1和C2为任意常数，该方程的特征方程为：______ + 2λ + 1 = 0。

答案：λ^25. 级数∑(n=1 to ∞) (n^2)/(n^2 + 1)的和为：ln(2) + ______ -ln(3)。

答案：1/3三、解答题1. 求函数f(x) = e^(2x) * sin(x)在区间[0, π/2]上的最大值和最小值。

解答：首先求导数f'(x) = e^(2x) * (2cos(x) + sin(x))。