2.8 有理数的乘法运算律

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七年级数学2.8有理数的混合运算有理数乘除乘方运算技巧多

有理数乘除、乘方运算技巧多有理数乘除、乘方运算是七年级数学的重点内容之一，是学习其它知识必不可少的基础，也是同学们难以掌握时常出错的难点，在进行有理数乘除、乘方运算时，若能根据算式的结构特征，选择适当的方法，灵活应用运算律和运算法则，可使问题化繁为简，化难为易，运算过程迅捷简便，收到事半功倍的奇效。

现略举几例说明如下，供同学们参考：一、应用乘法交换律、结合律例1、计算：431)8()74()25.0(⨯-⨯-⨯- 解析：根据算式的数值之间的关系：2)8()25.0(=-⨯-，14774431)74(-=⨯-=⨯-应用乘法交换律、结合律，可使问题化繁为简，迅捷可解。

431)8()74()25.0(⨯-⨯-⨯-=2)1(2]47)74)][(8()25.0[(-=-⨯=⨯--⨯-二、应用乘法分配律例2、计算：)32143612851()48(-+-⨯- 解析：同样，若按运算顺序，先算小括号里面的，复杂繁琐，而根据算式的数值之间的关系，应用乘法分配律，则可使运算过程迅捷简便，迎刃而解。

)32143612851()48(-+-⨯-=354843486134881348⨯+⨯-⨯+⨯-=70803610478=+-+-三、逆用乘法分配律例3、计算：58.074)13(417358.04313⨯--⨯+⨯-⨯- 解析：此题逆用乘法分配律，可使问题化繁为简，迅捷获解58.074)13(417358.04313⨯--⨯+⨯-⨯-=)7473(58.0)4143()13(+⨯-+⨯- =58.1358.013-=-- 四、正逆巧用乘法分配律例4、计算：)322492249524()836532125(⨯+⨯-⨯⨯+-+-解析：通过细心观察算式的数值之间的关系，可先对第2个括号逆用乘法分配律，简便运算后，再对第1个括号正用乘法分配律，再次进行简便运算，使问题巧妙获解。

)322492249524()836532125(⨯+⨯-⨯⨯+-+-=124)836532125()]329295(24[)836532125(⨯⨯+-+-=+-⨯+-+-=5920161024832465243224125-=+-+-=⨯+⨯-⨯+⨯- 五、巧用乘法运算律例5、计算：2111237)317713(723÷⨯-⨯ 解析：若按有理数混合运算的顺序进行计算，相当麻烦，而根据算式结构特点，先用乘法交换律、结合律，再用乘法分配律，可使运算简便快捷2111237)317713(723÷⨯-⨯=2122237)322722(723÷⨯-⨯ =473222132222217222221)322722(237723-=-=⨯-⨯=⨯-⨯⨯ 六、逆用幂的运算法则例6、计算：20072006)8()125.0(-⋅-解析：算式的数值之间的关系是1)8()125.0(=-⨯-，因此逆用幂的运算法则 n m n m a a a ⋅=+及n n n ab b a )(=，可使问题化难为易，巧妙获解。

有理数乘法法则

有理数乘法法则有理数乘法法则是指在有理数范围内，两个有理数相乘的规则。

有理数是整数和分数的统称，包括正整数、负整数、零以及正分数、负分数。

有理数乘法法则是数学中的基本概念之一，对于学习和理解有理数运算至关重要。

有理数乘法法则的具体内容包括正数乘法、负数乘法、零的乘法等多个方面。

下面将逐一介绍这些内容，以便更好地理解有理数乘法法则。

1. 正数乘法两个正数相乘，结果仍为正数。

例如，2乘以3等于6，即2*3=6。

这符合有理数乘法法则中的正数乘法规则。

2. 负数乘法两个负数相乘，结果为正数。

例如，-2乘以-3等于6，即-2*(-3)=6。

这也符合有理数乘法法则中的负数乘法规则。

3. 正数与负数相乘一个正数与一个负数相乘，结果为负数。

例如，2乘以-3等于-6，即2*(-3)=-6。

这同样符合有理数乘法法则中的正数与负数相乘的规则。

4. 零的乘法任何数与零相乘，结果都为零。

例如，5乘以0等于0，即5*0=0。

这也是有理数乘法法则中的零的乘法规则。

有理数乘法法则还包括了分数乘法的规则。

分数乘法是有理数乘法中的一个重要内容，也是学习有理数运算的重点之一。

分数乘法的规则是，两个分数相乘时，先将分子相乘得到新的分子，再将分母相乘得到新的分母，最后将新的分子与新的分母组成的分数即为所求结果。

例如，1/2乘以3/4，先将分子相乘得到1*3=3，再将分母相乘得到2*4=8，最后得到3/8。

这就是分数乘法的具体计算过程。

有理数乘法法则的应用范围非常广泛，不仅在数学中有重要作用，也在日常生活中有着实际的应用。

比如在商业活动中，计算商品的价格、折扣和利润等都需要用到有理数乘法法则。

又如在科学实验中，测量数据的计算和分析也需要用到有理数乘法法则。

因此，掌握有理数乘法法则对于学生学习数学、科学以及日常生活都是至关重要的。

总之，有理数乘法法则是数学中的基本概念之一，包括了正数乘法、负数乘法、零的乘法以及分数乘法等多个方面。

掌握有理数乘法法则对于学习和理解有理数运算至关重要，也是日常生活中不可或缺的技能。

有理数的乘法运算律1

1. 先确定积的符号。
2.计算积的绝对值。
2. 有理数乘法的运算律
（1）乘法交换律和乘法结合律在小学里，我们都知道：数的乘法满足交换律和结合律；例如： 3× 5 = 5 × 3 （ 3 × 5 ） × 2 = 3 × （ 5× 2 ）
引入负数后，这两种运算律是否还成立呢？如果上面的3、5、2换成任意的有理数是否仍成立呢？
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是有这么一个孙女就好喽。”耿英和老妇人一起进屋做饭去了。耿正说：“俺去挑担水哇！”耿老爹说：“俺去挑哇，你拉一段好听的二胡曲儿给爷爷听，让爷爷乐呵乐呵！”老爷子一听这话，立刻就高兴得眉开眼笑，说：“哎呀，这娃儿还会拉二胡哇，快拉给爷爷听听！唉，爷爷奶奶老嘞，走不了远路，俺们有好几年没有去镇上赶庙会了呢。常年儿呆在家里，自然就没有机会听这些个热闹了哇。每日里能够听到的，除了鸡鸣狗叫什么的，再就是狂风暴雨后那怪吓人的波涛声儿了。今儿个正好用好听的曲儿给爷爷洗洗耳朵！”耿正笑了，说：“爷爷，俺拉得没有多好，但总归还是可以给您换个声儿听的！您请坐，俺这就拉给您听！”说着话，耿正去车上取来二胡，又看看周围，先请老爷子坐在屋门旁檐台上那个松松软软的厚草垫子上。然后，自己搬把高脚凳子坐在老爷子的对面亲切地问：“爷爷，您爱听哪一段儿？”老爷子想也没有想就说：“你就将最顺手的拉哇，爷爷什么曲儿都爱听！”自来熟耿直也很想表现表现，于是就高兴地跳到老爷子的背后，声音甜甜地说：“那俺给爷爷捶捶背哇。俺爹说啦，经常锤捶背身子骨儿好！”在优美的二胡曲儿声中，耿直不轻不重地为老人家捶着背。老爷子眯缝着眼睛幸福惬意地享受着在屋里做饭的老妇人听着美妙的二胡曲儿，高兴地对耿英说：“哎哟哟，这莫不是老天爷给俺们俩老东西送来了仙人儿嘛！”热汤热菜的舒舒服服吃完晚饭之后，耿正又为两位老人家拉了好一会儿。次日早饭后，耿老爹将毛驴重新拴在滩枣树上，给它喂上草料，饮上水。然后对老夫妇说，想带娃娃们到黄河边上玩玩儿去。两位老人家相视而笑了。老爷子摇着头说：“唉，没有见过黄河的人，都觉得这条大河新奇呢。其实哇，这黄河可不见得是一个好东西！你让娃娃们离远点儿瞧瞧就是了。你们打北面过来的人，肯定不会水的，千万别失足落进去哇！”老妇人也说：“是啊，这黄河自古以来就经常祸害人呢。说不定什么时候不高兴了，就冲破堤坝，好像脱缰的野马一样。你们可一定小心啊，离远点儿瞧！对啦，不要走太远了，中午还回来吃饭，俺给咱们做打卤刀削面。”耿老爹感激地说：“好的，俺们一定小心，也不会走太远了。中午还回来吃饭，您做简单点儿！”当耿家父子四人辞别两位老人家再次上了堤岸来到黄河边儿上的时候，他们对眼前的这条仍然还是波浪滔滔的大河，已经远没有昨天下午第一次看到时那样感兴趣了。毫无疑问，两位善良老人家对这条大河的那一番不乍欣赏的评价，已经深深地感染了他们。沿岸走了一会儿后，耿直甚至说：“听这声音，这黄河真得很像脱缰的野马呢！”耿正说：“不，这黄河水现在还只是被圈在堤坝里边的野马，还没

有理数的乘除

有理数的乘除有理数是数学中的一类数，包括整数、分数和整数倍的乘法和除法运算。

在数学中，有理数的乘除运算是非常重要的基础知识。

本文将介绍有理数的乘法和除法，并且探讨一些与有理数乘除相关的性质。

一、有理数的乘法有理数的乘法是指两个有理数相乘的运算。

两个有理数相乘的结果仍然是一个有理数。

1.1 有理数的乘法规则有理数的乘法遵循以下规则：- 两个正数相乘，结果为正数；- 两个负数相乘，结果为正数；- 一个正数和一个负数相乘，结果为负数。

例如，2乘以3等于6，负3乘以负2等于6，负4乘以5等于负20。

1.2 有理数的乘法性质有理数的乘法具有以下性质：- 乘法交换律：a乘以b等于b乘以a，即ab=ba。

- 乘法结合律：a乘以(b乘以c)等于(a乘以b)乘以c，即a(bc)=(ab)c。

- 乘法分配律：a乘以(b加上c)等于ab加上ac，即a(b+c)=ab+ac。

这些性质使得有理数的乘法运算更加简单和灵活。

二、有理数的除法有理数的除法是指一个有理数除以另一个有理数的运算。

两个有理数的除法结果也是一个有理数，除非除数为0，此时除法运算无意义。

2.1 有理数的除法规则有理数的除法遵循以下规则：- 两个正数相除，结果为正数；- 两个负数相除，结果为正数；- 一个正数除以一个负数，结果为负数。

例如，8除以4等于2，负12除以负3等于4，6除以负2等于负3。

2.2 有理数的除法性质有理数的除法具有以下性质：- 除法结合律：a除以(b除以c)等于(a乘以c)除以b，即a/(b/c)=(a*c)/b。

- 除法分配律：a除以(b加上c)等于a除以b加上a除以c，即a/(b+c)=a/b+a/c。

这些性质使得有理数的除法运算更加简便和灵活。

三、有理数乘除的习题为了更好地理解有理数的乘除运算，接下来我们解决一些习题。

3.1 习题一计算下列乘法：- 2乘以(-3)等于多少？- 4乘以(-2/3)等于多少？- (-5/6)乘以(-2/3)等于多少？3.2 习题二计算下列除法：- 8除以(-4)等于多少？- (-15)除以(-3)等于多少？- (-9/10)除以(3/5)等于多少？解答这些习题有助于加深理解有理数的乘除运算规则和性质。

有理数的乘法运算律课件

小数乘法规则
小数乘法法则
小数乘法与整数乘法类似，按照整数乘法的法则进行计算，只是在小数点的位置上有所变化。
小数乘法运算性质
小数乘法具有分配律、结合律和交换律等性质，与整数乘法类似。
分数乘法规则
分数乘法法则
分数乘法与整数乘法类似，分子与分子相乘，分母与分母相乘。
分数乘法运算性质
分数乘法具有分配律、结合律和交换律等性质，与整数乘法类似。
设计各种形式的练习题，包括整数、小数和分数的乘法运算，让学生反复练习，加强结合律的掌握。
及时反馈学生的练习结果，指出错误和不足，并给予正确的指导和纠正，确保学生能够准确掌握结合律。
交换律的练习与巩固
总结词
掌握交换律的运用
练习题
设计各种形式的练习题，包括整数、小数和分数的乘法运算，让学生反复练习，加
02
学生已经掌握有理数的基本概念和加、减、乘、除运算规则，需要进一步学习有理数的乘法运算律。
课程目标
理解有理数的乘法运算律的概念和意义。
培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
掌握有理数的乘法运算律的应用方法。
课程计划
学习有理数的乘法运算律的概念和意义。
进行课堂互动和讨论，加深学生对有理数的乘法运算律的理解和应用能力。
有理数的加法运算
有理数的加法运算规则
同号相加，异号相减，并把绝对值相加。
加法交换律
交换两个有理数的位置，和不变。
加法结合律
先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
有理数的减法运算
有理数的减法运算规则
01
同号相减，异号相加，并把绝对值相减。
减法交换律
02
交换两个有理数的位置，差不变。

初二数学：2.8有理数的混合运算有理数乘除乘方运算技巧多

现略举几例说明如下，供同学们参考：一、应用乘法交换律、结合律例1、计算：431)8()74()25.0(⨯-⨯-⨯-解析：根据算式的数值之间的关系：2)8()25.0(=-⨯-，14774431)74(-=⨯-=⨯-应用乘法交换律、结合律，可使问题化繁为简，迅捷可解。

431)8()74()25.0(⨯-⨯-⨯-=2)1(2]47)74)][(8()25.0[(-=-⨯=⨯--⨯- 二、应用乘法分配律例2、计算：)32143612851()48(-+-⨯- 解析：同样，若按运算顺序，先算小括号里面的，复杂繁琐，而根据算式的数值之间的关系，应用乘法分配律，则可使运算过程迅捷简便，迎刃而解。

)32143612851()48(-+-⨯-=354843486134881348⨯+⨯-⨯+⨯- =70803610478=+-+-三、逆用乘法分配律例3、计算：58.074)13(417358.04313⨯--⨯+⨯-⨯- 解析：此题逆用乘法分配律，可使问题化繁为简，迅捷获解58.074)13(417358.04313⨯--⨯+⨯-⨯-=)7473(58.0)4143()13(+⨯-+⨯- =58.1358.013-=-- 四、正逆巧用乘法分配律例4、计算：)322492249524()836532125(⨯+⨯-⨯⨯+-+- 解析：通过细心观察算式的数值之间的关系，可先对第2个括号逆用乘法分配律，简便运算后，再对第1个括号正用乘法分配律，再次进行简便运算，使问题巧妙获解。

)322492249524()836532125(⨯+⨯-⨯⨯+-+-=124)836532125()]329295(24[)836532125(⨯⨯+-+-=+-⨯+-+- =5920161024832465243224125-=+-+-=⨯+⨯-⨯+⨯- 五、巧用乘法运算律例5、计算：2111237)317713(723÷⨯-⨯ 解析：若按有理数混合运算的顺序进行计算，相当麻烦，而根据算式结构特点，先用乘法交换律、结合律，再用乘法分配律，可使运算简便快捷2111237)317713(723÷⨯-⨯=2122237)322722(723÷⨯-⨯ =473222132222217222221)322722(237723-=-=⨯-⨯=⨯-⨯⨯ 六、逆用幂的运算法则例6、计算：20072006)8()125.0(-⋅-解析：算式的数值之间的关系是1)8()125.0(=-⨯-，因此逆用幂的运算法则n m n m a a a ⋅=+及n n n ab b a )(=，可使问题化难为易，巧妙获解。

有理数的乘除法法则

有理数的乘除法法则有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。

有理数的乘除法法则是数学中的基本概念之一，它描述了有理数相乘和相除的规则和性质。

在本文中，我们将详细介绍有理数的乘除法法则，包括有理数的乘法和除法的定义、性质和运算规则。

有理数的乘法有理数的乘法是指两个有理数相乘的运算。

如果两个有理数的乘积为正数，则它们的符号相同；如果两个有理数的乘积为负数，则它们的符号相反。

具体来说，有理数的乘法满足以下性质：1. 任何有理数乘以0的结果都是0，即0乘以任何有理数都等于0。

2. 两个正数相乘的结果是正数。

3. 两个负数相乘的结果是正数。

4. 一个正数和一个负数相乘的结果是负数。

例如，2乘以3等于6，-2乘以3等于-6，-2乘以-3等于6，2乘以-3等于-6。

有理数的除法有理数的除法是指一个有理数除以另一个有理数的运算。

有理数的除法满足以下性质：1. 任何非零有理数除以1的结果都是它本身。

2. 任何有理数除以0的结果是未定义的，因为在数学中，任何数除以0都是没有意义的。

3. 两个正数相除的结果是正数。

4. 两个负数相除的结果是正数。

5. 一个正数和一个负数相除的结果是负数。

例如，6除以3等于2，-6除以3等于-2，-6除以-3等于2，6除以-3等于-2。

有理数的乘除混合运算有理数的乘除混合运算是指包括乘法和除法的复合运算。

在进行有理数的乘除混合运算时，应该遵循以下规则：1. 先进行乘法，再进行除法。

2. 先计算括号内的乘除法，再计算括号外的乘除法。

例如，计算表达式2乘以3再除以4，应该先计算2乘以3得到6，再将6除以4得到1.5。

有理数的乘除法法则在数学中有着广泛的应用，特别是在代数中。

通过掌握有理数的乘除法法则，可以更好地理解和解决代数中的问题。

总结有理数的乘法和除法是数学中的基本概念，它们有着明确的定义、性质和运算规则。

通过学习和掌握有理数的乘除法法则，可以更好地理解和运用有理数，为进一步学习代数和数学建立坚实的基础。

有理数的乘法运算律

有理数的乘法运算律有理数的乘法运算律是数学中的基本概念之一，它规定了如何进行有理数的乘法运算。

本文将详细介绍有理数的乘法运算律，并通过实例加深理解。

一、有理数的乘法运算律有理数的乘法运算律分为两个部分：乘法结合律和乘法分配律。

1. 乘法结合律乘法结合律规定，当有三个有理数a、b、c相乘时，无论运算顺序如何，最终的结果都是一样的。

即：(a * b) * c = a * (b * c)例如，我们取有理数a=2，b=3，c=4，根据乘法结合律，可以得到(2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)。

两边都等于24，因此乘法结合律成立。

2. 乘法分配律乘法分配律规定，当有三个有理数a、b、c相乘时，先将前两个数相乘，然后再将结果与第三个数相乘，或者先将后两个数相乘，再将结果与第一个数相乘，最终的结果都是一样的。

即：a * (b + c) = a * b + a * c例如，我们取有理数a=2，b=3，c=4，根据乘法分配律，可以得到2 * (3 + 4) = 2 * 3 + 2 * 4。

左边等于14，右边也等于14，因此乘法分配律成立。

二、乘法运算律的应用有理数的乘法运算律在实际问题中有广泛的应用。

下面以两个实际问题为例，说明乘法运算律的应用。

1. 长方形面积计算假设有一个长方形，它的长为a，宽为b。

根据乘法运算律，长方形的面积可以表示为a * b。

这个公式可以简化计算，只需要将长和宽相乘即可得到面积。

例如，有一个长方形，长为5米，宽为3米，根据乘法运算律，可以计算出面积为5米* 3米= 15平方米。

因此，乘法运算律在计算长方形面积时非常有用。

2. 购物计算假设某个商品的价格为p，购买数量为n。

根据乘法运算律，购买该商品的总价格可以表示为p * n。

这个公式可以简化计算，只需要将商品的价格和购买数量相乘即可得到总价格。

例如，某商品的价格为10元，购买数量为3个，根据乘法运算律，可以计算出总价格为10元 * 3个 = 30元。

有理数的乘除运算

有理数的乘除运算有理数是数学中的一个重要概念，其乘除运算是学习有理数的基础知识。

在本文中，将详细介绍有理数的乘法和除法运算，并给出相关的例题和解析。

1. 有理数的乘法运算有理数的乘法运算是指对两个有理数进行相乘的操作。

有理数的乘法规则如下：规则1：两个正数相乘的结果仍为正数。

规则2：两个负数相乘的结果为正数。

规则3：一个正数和一个负数相乘的结果为负数。

规则4：任何数和0相乘的结果都是0。

例如，计算(-3/4) × (2/5) 的结果：首先，将分数的乘法转化为分子与分母的乘法，得到 (-3) × 2 / (4 ×5)。

然后，进行实际的乘法运算，得到 -6 / 20。

最后，将结果进行约分，得到最简形式 -3 / 10。

因此，(-3/4) × (2/5) 的结果为 -3/10。

2. 有理数的除法运算有理数的除法运算是指将一个有理数除以另一个有理数得到的运算。

有理数的除法规则如下：规则1：正数除以正数的结果为正数。

规则2：负数除以负数的结果为正数。

规则3：正数除以负数的结果为负数。

规则4：任何数除以0都是没有意义的，为无定义。

例如，计算(-3/4) ÷ (2/5) 的结果：首先，将除法运算转化为乘法运算，即 (-3/4) × (5/2)。

然后，进行实际的乘法运算，得到 -15 / 8。

最后，将结果进行约分，得到最简形式 -1 7/8。

因此，(-3/4) ÷ (2/5) 的结果为 -1 7/8。

3. 有理数乘除运算的习题练习练习1：计算 (2/3) × (-4/5)。

解：转化为分子与分母的乘法，得到 2 × (-4) / (3 × 5) = -8/15。

练习2：计算 (-3/8) ÷ (2/3)。

解：将除法转化为乘法，得到 (-3/8) × (3/2) = -9/16。

练习3：计算 (5/6) × (3/4) ÷ (2/5)。

有理数的乘法运算律1

(1) (-10) × 1/3 ×0.1 ×6
=-2
(2) (-10) × ( -1/3) ×0.1 ×6 = 2
(3)(-10) × ( -1/3) ×( - 0.1) ×6 = - 2
(4) (-10) ×( - 1) ×( - 0.1 ) × ( - 6 ) = 2
算完后,你能发觉几个不为0的有理数相乘:
(1) 8 + ( - 0.5 ) × ( -8 ) × 3/4 = 8+ ½×8×¾ = 8 + 3 =11 (2) ( - 3 ) × 5/6 × ( -4/5 ) × (-1/4) = - ( 3 × 5/6 × 4/5 × ¼ ) = -½ (3) ( -3/4) × 5 × 0 ×7/8 = 0 .
乘法交换律: 两数相乘,交换因数的位置,积不变. 用式子表示为: 乘法结合律: 三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,积不变. 用式子表示为: (a b) c = a (b c)
ab= ba
例2 计算: (1) (-10) × 1/3 ×0.1 ×6 (2) (-6) ×(+3.7) ×( - 1/3) × ( -5/74) 解: (1) (-10) × 1/3 ×0.1 ×6 = [(-10) × 0.1]×( 1/3 × 6) = ( -1 ) × 2 =-2 (2) (-6) ×(+3.7) ×( - 1/3) × ( -5/74) = [ ( -6 ) × ( - 1/3)] × 37/10 ×( - 5/74) = 2 × [ 37/10 × ( - 5/74)] = 2 ×( - ¼) = - 1/2
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事，绝不会出错的。”“你要把它送到哪里？！”青翘又紧张的叫了起来。明柯已经把黑纸放进扬琴那层暗格里：“我要把这张纸放回琴里、把这张琴送到它的主人那里，这还不够明白吗？”他笑意更浓了，“我又不是真的负担得起这张琴，不快点把它送回去，难道等着破产吗？”青翘嘟起嘴：“你就真的替你四姐和唐公子拉起纤来？”“不然如何？四姐滑不留手，拿出来的这东西，完全不给人指证的余地。我留着这个威胁她？真正开玩笑！还不如快点送出去，免得得罪她。”顿了顿，“这世上，我最不愿意开罪的人，就是四姐。”青翘托腮：“这么一来，你手里完全没有她的小辫子，问她借钱的话，她也不肯借的咯？”“四姐是个明白人，”明柯安然道，“总会给我几样宝器应应急的。大哥好赖也帮衬了我几个子儿。等唐公子正式提亲，四姐一定会更多的送我一笔。”“那我盼着唐公子早点来提亲。”青翘叹道，“不然高利贷，利滚利，老爷知道了得揍死你。” 明柯用食指尖揍了揍青翘的鼻子，出门吩咐小厮：“套车！”明柯套的是骡车。俊骡小鞍，那叫个体面！车顶钉着亮闪闪的 “十”字瓦，车周垂着彩罽鱼纹的外帏、细麻舞纹的内帏，后尾上小厮规规矩矩侍立，前座上车伕熟练的甩着摈榔木鞭杆儿。明柯同着扬琴，一路进了恪思阁。恪思阁虽是戎商开的，到了中原，也很懂得入乡随俗，正门一对大红柱子，贴一对锦地万花洒金联，进门一堵山壁，挂一张四六对仗文榜，联中榜上，无非是夸说珍宝纷呈，祝愿财源亨通。转过山壁，是恪思阁正屋，一天不晓得作多少万银两的生意。但明柯没进正门。他在恪思阁门口打了个溜儿，取小巷，转侧门，白粉墙，碧青瓦，差不多只够一个人进出、窄到这种程度的四四方方黑框门。骡车在门口停下了，明柯的小厮从车后跳下来，门里也立即出来个极乖觉的小伙计，跟小厮一起侍候明柯下车。又有两个伙计，帮车伕把车子带扬琴兜到一边去了。先前的小伙计延明柯进门。这窄门一进到里头，树影深密，佳禽对语，却是好大一个园子，也有荼蘼架、牡丹台，也有鹦鹿亭、鸳鸯阁。小伙计请明柯入莲池畔鸳门，一室窗明几净、收拾细致。有个人在窗前，端一只烧蓝瓷坛，正细细赏鉴。此人头戴逍遥巾，身着天苍色长衫，外罩桔绿纻丝旋袄，年未弱冠，五官都细巧，有种女人式的隽秀，身板儿又细、又长，稍嫌太细长些，像是个还正在长身体的孩子。他模样气韵，都不如苏明远远矣，然而锦城公认，若把家世、品貌、才华综合起来比较，苏家大公子明远与他，实在是一时瑜亮、城中双璧。他就是太守长孙唐静轩。他手里的瓷坛，一面镌着幅古画，以金粉描洒，一面刻着首长歌行，以银丝镶嵌。这坛子也倒罢了，他从坛中摸出几颗黑白棋子，对着光看，白子

有理数乘法的运算律

有理数乘法的运算律有理数乘法是数学中的基本运算之一，它有着一些重要的运算律。

本文将以有理数乘法的运算律为标题，详细介绍这些运算律的概念和应用。

一、乘法的交换律有理数乘法满足交换律，即对于任意的有理数a和b，都有a乘以b等于b乘以a。

这意味着，在进行有理数的乘法运算时，交换操作不会改变最终的结果。

例如，对于有理数3和4来说，3乘以4等于4乘以3，结果都是12。

这表明乘法运算可以进行顺序的调换，不影响结果。

二、乘法的结合律有理数乘法满足结合律，即对于任意的有理数a、b和c，都有(a乘以b)乘以c等于a乘以(b乘以c)。

这意味着，在进行有理数的连续乘法运算时，可以任意选择先后顺序，结果都是相同的。

例如，对于有理数2、3和4来说，(2乘以3)乘以4等于2乘以(3乘以4)，结果都是24。

这表明连续乘法运算可以进行任意的括号调换，不影响结果。

三、乘法的分配律有理数乘法满足分配律，即对于任意的有理数a、b和c，都有a乘以(b加上c)等于a乘以b加上a乘以c。

这意味着，在进行有理数的乘法和加法运算时，可以将乘法分配到加法上。

例如，对于有理数2、3和4来说，2乘以(3加上4)等于2乘以3加上2乘以4，结果都是14。

这表明乘法可以在加法运算中进行分配，不影响结果。

四、乘法的零元有理数乘法有一个特殊的元素，即0。

对于任意的有理数a，都有a 乘以0等于0。

这意味着任何数与0相乘的结果都是0。

例如，对于有理数5来说，5乘以0等于0。

这表明任何数与0相乘都会得到0的结果。

五、乘法的倒数有理数乘法还有一个重要的性质，即每个非零有理数都有一个倒数。

对于任意的非零有理数a，都存在一个有理数b，使得a乘以b等于1。

这意味着除以一个非零有理数等于乘以其倒数。

例如，对于有理数2来说，它的倒数是1/2。

2乘以1/2等于1。

这表明除以一个非零有理数等于乘以其倒数。

通过以上五个运算律，我们可以灵活运用有理数乘法进行计算。

这些运算律在代数运算中有着广泛的应用。

有理数的乘除法公式

有理数的乘除法公式有理数的乘除法公式，这可是数学世界里相当重要的一部分呢！咱先来说说有理数的乘法公式。

有理数乘法法则是这样的：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与 0 相乘，都得0 。

比如说，咱来看看这两个数：-3 和 5 ，一个是负数，一个是正数，相乘就是异号，那结果就得是负的，然后把绝对值相乘，也就是 3×5 = 15 ，所以 -3×5 = -15 。

再比如说 2 和 -4 ，这也是异号相乘，结果为负，绝对值相乘 2×4 = 8 ，所以 2×(-4) = -8 。

要是两个负数相乘呢，像 -2 和 -3 ，同号相乘得正，绝对值相乘2×3 = 6 ，所以 (-2)×(-3) = 6 。

我记得之前给学生们讲这部分知识的时候，有个小同学特别可爱。

当时我在黑板上写了几道题让大家练习，其中有一道是 (-5)×(-6) 。

这个小同学一开始算成了 -30 ，我就问他怎么想的呀，他一脸认真地说：“老师，两个负数相乘，负负得负呀！”这可把大家都逗乐了。

我又耐心给他解释了一遍，他才恍然大悟，那表情别提多有趣了。

说完乘法，咱们再聊聊有理数的除法公式。

有理数除法法则是：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。

比如说，6÷(-3) ，就等于 6×(-1/3) ，结果就是 -2 。

再比如，-8÷4 ，就等于 -8×(1/4) ，结果就是 -2 。

在讲除法的时候，还有个小插曲。

有一次课堂上，我出了一道题12÷(-4) ，让大家在本子上算。

有个同学很快就举手说：“老师，我算出来是 -3 ！”我就问他：“你能给大家讲讲你是怎么算的吗？”他站起来，特别自信地说：“老师，我先看符号，一正一负得负，然后 12÷4 等于3 ，所以结果就是 -3 ！”他讲得头头是道，其他同学都给他鼓掌呢。

有理数的乘法运算律1

乘法交换律: 两数相乘,交换因数的位置,积不变.
用式子表示为: ab= ba
乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,积不变. 用式子表示为:
(a b) c = a (b c)
例2 计算: (1) (-10) × 1/3 ×0.1 ×6
(2) (-6) ×(+3.7) ×( - 1/3) × ( -5/74) 解: (1) (-10) × 1/3 ×0.1 ×6 = [(-10) × 0.1]×( 1/3 × 6) = ( -1 ) × 2 =-2 (2) (-6) ×(+3.7) ×( - 1/3) × ( -5/74) = [ ( -6 ) × ( - 1/3)] × 37/10 ×( - 5/74) = 2 × [ 37/10 × ( - 5/74)] = 2 ×( - ¼) = - 1/2
课堂练习: 课本 ( 55页 ) 练习: 第 1、 2 题 .
判断: 1.几个有理数的乘积是0, 其中只有一个因数是0. ( 错 ) 2. 同号几个有理数的乘积是正数. ( 错 ) 3. 几个数相乘,积的符号由负因数的个数决定: 当负因数的个数有奇数个时, 积为负. 当负因数的个数有偶数个时, 积为正. ( 错 ) 4. 若 a > 0 , b < 0 , c < 0 , 则 a b c > 0. （对）
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远了。尽管此时月亮已经即将移动到中天了，但近处，几个年纪大一些的老头老太太们，依然还坐在门口的小板凳上悠闲惬意地望着天空说笑呢。再回头望望，远处一个门面挺大的点心铺子依然灯火通明。耿正忽然想，买一斤月饼过节吧！两个多月以来，兄妹三人一直在认真地履行与“盛元酒店”的契约。虽然很辛苦，但倒也过得满有规律。他们每天早上小睡一个懒觉之后，就出来在巷子口边上的 “梁计小饭店”简单喝碗粥，吃点儿烧饼小菜什么的。午饭时间和晚饭时间都在酒店里献艺。当所有的食客们都散了之后，伙计们就招待他们三人在酒店里随便吃了午饭和晚饭。所以，小巷儿尽头里和善的房东二老准备的那个小厨房，他们并没有启用做饭，只是偶尔从院儿里的水井打水上来，烧热了洗漱、洗澡什么的。为了保证演艺的质量和节目的新颖性，他们每天午饭后也不回租住的房子去休息，而是在酒店大厅的演唱台上琢磨编排一些新的演唱节目。每天晚上演唱完以后，守在演唱台旁边的伺应生伙计就会从耿正的手里接过那把二胡，小心地放进台后的乐器柜里存放起来。第二天上午，兄妹仨再去了时，伺应生伙计就打开柜子，把二胡拿出来亲手交给耿正。今天的午饭，他们照例是在酒店里吃的；虽然比往常时更丰盛不少，但并不是年年都必吃的饺子；如果晚上再不多少吃点儿月饼，那这个八月十五节过得就没有一点儿象征性的意义了呢！想到这里，耿正轻轻地说：“英子，小直子，咱们去买斤月饼吧！好歹算是过八月十五了！你们说呢？”耿英慢慢地收回眼神儿，无声地点点头。耿直似乎委屈地说“就是，中午就没有吃上饺子呢！不过啊，我晚饭吃得不少，咱们少买点儿吧，只买两个，有个意思就行了！”耿正笑了，亲切地摸摸弟弟的小脑袋，说：“走，咱们返回去，到那个点心铺子里买！”耿英想一想，说：“你俩去买吧，我先回去了。我想多烧些水呢！这天儿挺热的，咱们应该洗澡了！我估摸着，爷爷奶奶去儿子家有些日子了，也该回来了呢。两位老人家不在家，咱们洗澡方便一些！”耿直瞪大眼睛问：“姐，你敢一个人走吗？这大街上倒不打紧，可那么长的巷子！”耿英说：“没事儿，咱们老走夜路，姐已经习惯了！你们快去买吧，要不是今儿个过节，那个铺子早关门了呢！”耿正说：“不在乎这点儿时间的，还是一块儿走吧，先去买月饼！”耿英说：“我说了没事儿就没事儿！你们快去买吧！” 耿正说：“那你小心点儿啊！”耿英点点头说：“唔，我知道。你们快去买吧！”见哥哥还在犹豫着，耿英就伸手推推催促他说：“快去吧，要不人家要关门了呢！”耿正只好拉着弟弟转身快步朝那个点心铺子走去了。耿英也随即转身，快步往出租小院儿赶去。但没有人注意到，就在耿正拉着弟弟刚刚

有理数的乘法之乘法运算律【精品】

③
(－
3 4
)×(8－1 31－4 )
例4：用简便方法计算
（1）7913 (7) 14
变式(1)80 1 (7) 14练Biblioteka ：(1)99 4 (5) 5
(2)(10 5 ) 24 12
(80 1 ) (7) 14
(2)(80 1 ) (7) 14
(10 5 ) 24 12
活动三：应用迁移，巩固提高
3.25×[ 1 +（-5）+ 2 ]×（ 1 ）
=
3
3
25×（ 1）×[（-5）+
15+
2
]
5
33
（乘法交换律和加法结合律）
二、为使运算简便，如何把下列算式变形？
1.（
1 20
）×1.25×(-8)
(二、三项结合起来运算）
2.（7 5 3 7 ） 36 9 6 4 18
（用乘法分配律）
3.（-10）×（-8.24) ×(-0.1)
量小一些.
强化练习计算：
(4)( 6) ( 2) ( 6) ( 17)
5
3
5
3
例3：用简便方法计算
(1 1 1 ) (12) 462
(1)
9 10
1 15
30
(2) 24 (1 1 3 5) 2648
(3) 2 ( 5 ) 5 5 5 1
7 12 7 12 3 4
4.利用分配律可以得到-2×6＋3×6=（-2＋3） ×6，如果用a表示任意一个数，那么利用分配律可以得到-2a＋3a等于什么？类似地： 2ab-5ab又等于什么呢？
解：-2a+3a=(-2+3)a;
2ab-5ab=(2-5)ab.

有理数的乘法运算

有理数的乘法运算有理数是指可以写成分数形式的数，包括整数、分数和小数。

在数学中，有理数的乘法运算是一种基本运算。

本文将介绍有理数乘法的规则和运算性质。

一、有理数乘法的规则有理数乘法的规则可以总结为以下几个方面：1. 正数和正数相乘，结果为正数。

例如，2乘以3等于6。

2. 负数和负数相乘，结果也为正数。

例如，-2乘以-3等于6。

3. 正数和负数相乘，结果为负数。

例如，2乘以-3等于-6。

4. 任何数与0相乘，结果都为0。

例如，5乘以0等于0。

二、有理数乘法的运算性质有理数的乘法满足以下几个运算性质：1. 乘法的交换律：对于任意两个有理数a和b，a乘以b等于b乘以a。

例如，对于有理数2和3，2乘以3等于3乘以2。

2. 乘法的结合律：对于任意三个有理数a、b和c，(a乘以b)乘以c 等于a乘以(b乘以c)。

例如，对于有理数2、3和4，(2乘以3)乘以4等于2乘以(3乘以4)。

3. 乘法的分配律：对于任意三个有理数a、b和c，a乘以(b加上c)等于(a乘以b)加上(a乘以c)。

例如，对于有理数2、3和4，2乘以(3加上4)等于(2乘以3)加上(2乘以4)。

三、乘法运算实例下面通过一些实例来说明有理数乘法的运算：1. 2乘以3等于6，符合正数相乘结果为正数的规则。

2. -2乘以-3等于6，符合负数相乘结果为正数的规则。

3. 2乘以-3等于-6，符合正数和负数相乘结果为负数的规则。

4. 任何数与0相乘，结果都为0，例如5乘以0等于0。

综上所述，有理数的乘法运算遵循一定的规则和性质。

了解并掌握这些规则和性质，可以帮助我们更好地进行有理数的乘法运算，解决相关的数学问题。

参考文献：无。

初二数学：2.8有理数的混合运算知识点解读有理数的混合运算

知识点解读：有理数的混合运算一般地, 有理数混合运算的法则是：先算乘方，再算乘除，最后算加减.如有括号，先进行括号里的运算.在进行有理数的混合运算时，要注意以下几点：一、注意符号自从有了负数，符号就与运算有了不解之缘，在运算时，首先要注意符号的确定.例1. 计算：-14＋56＋23-12. 分析：本题是一道有理数加减混合运算题，在交换加数的位置时，应带着该加数的符号一起交换. 解：原式=-14-12＋56＋23=-34＋96=34. 评注：每个数都包括它前面的符号，符号与数是一个有机的整体，在运算时，千万不要忽略了数的性质符号.例2. 计算：-41-16×[2-（-3）2]. 分析：在计算本题中的两个乘方运算时，要特别注意符号，-41=-1，而不是1，（-3）2=9，而不是-9.解：原式=-1-16×（2-9）=-1-16×（-7）=-1＋76=16. 评注：在进行乘方运算时，要特别注意(1)n -与1n -的不同.二、注意运算顺序与运算步骤有理数混合运算的顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减.如果有括号，就先算括号里面的.有理数的运算步骤是：对于每一个运算，都应先确定结果的符号，再计算结果的绝对值.即“符号先判断，绝对值后计算”.例3. 计算：-81÷94×49÷（-16）. 分析：这是一道有理数乘除混合运算的题目，由于乘除是同级运算，应按从左到右的顺序依次进行.解：原式=-81×49×49×（-116）=1. 评注：在计算本题时，如果你禁不住94×49=1的诱惑，来一个从中间开始算起，就违背了运算顺序的原则，必将导致失败！三、注意运算律的灵活应用有理数的运算律包括加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律.若能灵活、巧妙地运用它们，将使计算过程变得简捷.在具体运用时，主要有以下几种技巧：（1）相反数结合；（2）凑整结合；（3）正、负数分别结合；（4）分数、小数、整数分别结合；（5）带分数拆开后，整数、分数分别结合；（6）同分母或分母易通分的先结合；（7）易约分的先结合等.在有理数的混合运算中，往往是两种或两种以上的技巧的综合运用.例4. 计算：（＋335）＋（＋434）-（＋125）＋（-334）.分析：本题可应用结合律简化运算过程.解：原式=[（＋335）-（＋125）]＋[（＋434）＋（-334）]=215＋1=135.例5. 计算：157116×（-8）.分析：对于本题，如果先把157116化成假分数再计算，将十分繁琐.若把157116拆成（71＋1516），则可应用乘法的分配律求解.解：原式=（71＋1516）×（-8）=71×（-8）＋1516×（-8）=-568＋（-152）=-57512.七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，直线//b，下列各角中与相等的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据平行线的性质和对顶角的定义，即可解答.【详解】∵直线//b∴∠1=∠6（两直线平行，同位角相等）∴∠6=∠4（对顶角相等）故选：C.【点睛】此题考查平行线的性质，对顶角，解题关键在于掌握其性质定理.2．如果不等式3x﹣m≤0 的正整数解为1，2，3，则m 的取值范围为（）A．m≤9B．m＜12 C．m≥9D．9≤m＜12【答案】D【解析】解不等式得出x≤，由不等式的正整数解为1、2、3知3≤＜4，解之可得答案．【详解】解不等式3x-m≤0，得：x≤，∵不等式的正整数解为1，2，3，∴3≤＜4，解得：9≤m＜12，故选D．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，根据正整数解的情况得出关于m的不等式组是解题的关键．3．某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为13．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( )A．能中奖一次B．能中奖两次C．至少能中奖一次D．中奖次数不能确定【答案】D【解析】由于中奖概率为13，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．【详解】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定.故选D．【点睛】解答此题要明确概率和事件的关系：()P A0=①，为不可能事件；()P A1=②为必然事件；()0P A1<<③为随机事件．4．我国古代数学著作《算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A．5152x yx y=+⎧⎪⎨=-⎪⎩B．5152x yx y=+⎧⎪⎨-=⎪⎩C．525x yx y+=⎧⎨=-⎩D．5152x yx y=-⎧⎪⎨=+⎪⎩【答案】A【解析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x y、的二元一次方程组．【详解】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：515 2x yx y=+⎧⎪⎨=-⎪⎩，故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．如图，AC⊥BC,AD⊥CD, AB=a，CD=b，AC的取值范围是( )A．AC＞b B．AC＜a C．b＜AC＜a D．无法确定【答案】C【解析】根据垂线段最短即可得到AC的取值范围．【详解】∵AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，∴CD＜AC＜AB，即b＜AC＜a．故选C．【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，准确识图是解题的关键．6．下列实数中是无理数的是（）．A．πB．2 C．13D．3.14【答案】A【解析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】解：2，13，3.14是有理数，π是无理数，故选：A．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，60.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．7．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大40°，若设∠1=x°、∠2=y°，则可得到方程组为（）A ．4090x y x y =+⎧⎨+=⎩B ．4090x y x y =-⎧⎨+=⎩C ．40180x y x y =-⎧⎨+=⎩D ．40180x y x y =+⎧⎨+=⎩【答案】A 【解析】分析：分别根据∠1的度数比∠2的度数大40°和∠1与∠2互余各列一个方程，组成方程组求解即可.详解：由题意得，4090x y x y =+⎧⎨+=⎩. 故选A.点睛：本题考查了二元一次方程组的几何应用，找出题目中的等量关系是解答本题的关键.8．如图，已知a ∥b ，∠1=55°，则∠2的度数是( )．A ．35°B ．45°C ．55°D ．125°【答案】C 【解析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1=55°，再根据对顶角相等即可求得答案.【详解】∵a//b ，∴∠3=∠1=55°，∴∠2=∠3=55°．故选C ．9．下列调查中，适合采用全面调查方式的是（）A ．调查国产航母的所有零部件质量B ．调查我县的空气污染情况C ．调查一批新型节能灯的使用寿命D ．调查我县七年级学生的身高情况【答案】A【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】A 、调查国产航母的所有零部件质量适合全面调查，故A 符合题意；B 、调查我县的空气污染情况无法普查，故B 不符合题意；C 、调查一批新型节能灯的使用寿命调查具有破坏性适合抽样调查，故C 不符合题意；D 、调查我县七年级学生的身高情况，调查范围广适合抽样调查，故D 不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．10．4的平方根是（）A ．2B ．16C ．±2D ．± 【答案】C【解析】根据平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a,即2x a = ，那么这个数x 叫做a 的平方根，即可得出答案．【详解】2(2)4±= ，∴4的平方根是2± ，故选：C ．【点睛】本题主要考查平方根的概念，掌握平方根的概念是解题的关键．二、填空题题11．如图，AD 是△ABC 的中线，G 是AD 上的一点，且AG=2GD ，连结BG ，若12ABC S ∆=，则ABG S ∆为_______．【答案】1【解析】根据三角形的中线的性质进行解答即可．【详解】∵12ABC S ∆=，∴S △ABD ＝6，∵AG ＝2GD ，∴AG=23AD ∴S △ABG ＝23S △ABD =1，故答案为：1．【点睛】本题考查三角形的面积问题．其中根据三角形的中线的性质进行解答是解决本题的关键．12．某试卷共有50道选择愿，每道题选对得4分，选错了或者不选扣2分，至少要选对_____道题，其得分才能不少于120分．【答案】1【解析】根据选对的题的数目乘以每道题选对的得分可求得其选对题的总分数，同理求出选错或不选的总分数，根据题意可列不等式求解．【详解】设应选对x 道题，则选错或不选的题数有50-x ，根据其得分不少于120分得：4x-2（50-x ）≥120，解得：x ≥3623在本题中x 应为正整数，故至少应选对1道题．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．用不等式解应用问题时，要注意未知数的限制条件，在本题中应是正整数．13．．在平面直角坐标系中，若点M （1，3）与点N （x ，3）之间的距离是5，则x 的值是____________．【答案】－4或1【解析】分析：点M 、N 的纵坐标相等，则直线MN 在平行于x 轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x-1|=5，从而解得x 的值．解答：解：∵点M （1，3）与点N （x ，3）之间的距离是5，∴|x-1|=5，解得x=-4或1．故答案为-4或1．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________．【答案】60°或120°【解析】分别从△ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．【详解】解：如图（1），∵AB=AC，BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=30°，∴∠A=60°；如图（2），∵AB=AC，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∵∠ABD=30°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC=120°；综上所述，它的顶角度数为：60°或120°．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．15．“若两条直线不相交，则这两条直线平行”是_____命题．（填“真”或“假”）【答案】假【解析】若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面．【详解】解：若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面，故是假命题．故答案为：假．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查学生的推理能力，属于基础题．16．若两个方程19+x=2x，21+x=2x+1的解都是关于x的不等式组212x mx m->⎧⎨-≤⎩的解，则m的取值范围是______．【答案】18≤m＜1．【解析】解不等式组得出12m+＜x≤m+2，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组解的确定可得答案．【详解】解；212x mx m-⎧⎨-≤⎩＞①②解不等式①，得：x12m+＞，解不等式②，得：x≤m+2，所以不等式组的解集为12m+＜x≤m+2．方程19+x=2x的解为x=19，方程21+x=2x+1的解为x=20，所以m的取值范围是18≤m＜1．故答案为：18≤m＜1．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是解一元一次不等式、一元一次方程的能力. 17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF 的面积为______．【答案】1【解析】根据线段的中点得出BD=CD、AE=DE、CF=EF，依次求出△ABD、△ACD、△BDE、△CD的面积，求出△BEC的面积，即可求出答案．【详解】解：∵点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，∴AE=DE=12AD，EF=CF=12CE，BD=DC=12BC，∵△ABC的面积等于36，∴1182ABD ACD ABC S S S ===，S △ABE =S △BED =12ABD S =1，S △AEC =S △CDE =12S △ACD =1， ∴S △BEC =S △BDE +S △CDE =1+1=18，∴S △BEF =S △BCF =12S △BEC =1182⨯=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形的面积，能求出各个三角形的面积是解此题的关键．三、解答题18．小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟.请问小华家离学校多远？【答案】小华家离学校1米．【解析】设出平路和坡路的路程，由题意从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟，列方程即可得出答案.【详解】设平路有x 米，坡路有y 米，根据题意列方程得， 106080{156040x y x y +=+=，解这个方程组，得300{400x y ==，所以x+y ＝1．所以小华家离学校1米．【点睛】本题考查二元一次方程的应用，此题主要利用时间、速度、路程三者之间的关系进行解答，注意来回坡路的变化是解题的关键.19．将两个全等的直角三角形ABC ∆和DBE ∆按图1方式摆放，其中 90ACB DEB ∠=∠=︒，30A D ∠=∠=︒,点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .(1)求CFE ∠的度数;(2)求证: CF EF =;(3)若将图1中DBE ∆绕点B 按顺时针方向旋转至如图2，其他条件不变，请你写出如图2中,AF EF 与DE之间的关系，并加以证明.【答案】（1）∠CFE=120°；（2）见解析；（3）AF=DE+EF 【解析】（1）由直角三角形的性质即可得出结果；（2）连接BF，由SAS证明△BCF≌△BEF即可；（3）由全等三角形的性质即可得出结论．【详解】(1)∵∠ACB=∠DEB=90°,∠A=30°，∴∠AEF=90°,∠AFE=90°−30°=60°，∴∠CFE=180°−∠AFE=120°.(2)证明：连接BF，如图1所示：∵△DBE≌△ABC，∴BE=BC，DE=AC.在Rt△BCF和Rt△BEF中,BF BFBC BE==⎧⎨⎩，∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL)∴CF=EF；（3）DE+EF=AF，理由如下：∵CF=EF，AC=DE，∴DE+EF=AC+CF=AF.【点睛】此题考查直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线20．如图①是大众汽车的图标，图②是该图标抽象的几何图形，且AC∥BD，∠A＝∠B，试猜想AE与BF的位置关系，并说明理由．【答案】AE∥BF，理由见解析.【解析】根据两直线平行同位角相等，可判断∠B＝∠DOE，再根据∠A＝∠B，即可得到∠DOE＝∠A，进而得出AC∥BD．【详解】AC∥BD，理由：∵AE∥BF，∴∠B＝∠DOE．∵∠A＝∠B，∴∠DOE＝∠A，∴AC∥BD．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是掌握：两直线平行同位角相等；同位角相等两直线平行．21．解不等式组431)125233x xx xx≤+⎧⎪⎨--->⎪⎩（①②，并将其解集在数轴上表示出来。

有理数的乘除运算知识点总结

有理数的乘除运算知识点总结有理数是数学中一类包括整数、分数、小数的数，它们在数轴上可以表示为有限或无限循环小数。

有理数的乘除运算是我们在学习数学的过程中经常遇到的内容。

在这篇文章中，我将对有理数的乘除运算进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握该知识点。

一、有理数的乘法运算有理数的乘法运算遵循如下规律：1. 正数乘以正数，积为正数；正数乘以负数，积为负数；负数乘以负数，积为正数。

例如：3 × 2 = 6，(-3) × 2 = -6，(-3) × (-2) = 6。

2. 任何数乘以0的积都为0。

例如：5 × 0 = 0，(-2) × 0 = 0。

3. 有理数的乘法满足交换律、结合律和分配律。

交换律：a × b = b × a ，其中 a 和 b 是任意的有理数。

结合律：(a × b) × c = a × (b × c)，其中 a、b 和 c 是任意的有理数。

分配律：a × (b + c) = a × b + a × c，其中 a、b 和 c 是任意的有理数。

例如：2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4，(-5) × (2 + 3) = (-5) × 2 + (-5) × 3。

二、有理数的除法运算有理数的除法运算也有一些规律需要注意：1. 除数不为0。

任何数除以0是没有意义的，因为任何数除以0是无穷大或无穷小。

2. 正数除以正数，商为正数；正数除以负数，商为负数；负数除以正数，商为负数；负数除以负数，商为正数。

例如：6 ÷ 2 = 3，(-6) ÷ 2 = -3，6 ÷ (-2) = -3，(-6) ÷ (-2) = 3。

3. 有理数的除法满足结合律。

有理数运算律

有理数运算律有理数是数学中的一类数，包括整数、分数和带分数。

在计算有理数时，需要遵循一些运算律，这些运算律可以帮助我们更加方便、准确地计算、比较和表示有理数。

下面将详细介绍有理数的运算律。

首先，我们来看加法运算律。

对于任意的有理数a、b和c，满足结合律和交换律，即(a+b)+c = a+(b+c)和a+b=b+a。

这意味着无论是几个有理数相加的顺序如何，其结果都是相同的。

另外，加法还满足恒等律，即对于任意的有理数a，有a+0=a，其中0表示零。

然后，我们来看减法运算律。

对于任意的有理数a、b和c，减法运算可以转化为加法运算，即a-b=a+(-b)。

其中，-b表示b的相反数，满足b+(-b)=0。

所以，减法也满足结合律、交换律和恒等律。

接下来，我们来看乘法运算律。

对于任意的有理数a、b和c，满足结合律和交换律，即(a*b)*c = a*(b*c)和a*b=b*a。

这意味着无论是几个有理数相乘的顺序如何，其结果都是相同的。

另外，乘法还满足分配律，即对于任意的有理数a、b和c，有a*(b+c) = a*b+a*c。

最后，我们来看除法运算律。

对于任意的非零有理数a、b和c，除法运算可以转化为乘法运算，即a/b=a*(1/b)。

其中，1/b表示b的倒数，满足b*(1/b)=1。

所以，除法也满足结合律、交换律和分配律。

了解了有理数的运算律，我们可以根据需要进行相应的计算。

在进行计算时，除了运算律，还需要注意有理数的正负和大小关系。

当有理数的符号相同时，我们可以直接运算；当有理数的符号不同时，我们需要进行符号的运算规则（相加为正、相减为负）；当比较有理数的大小时，我们可以将其转化为相等关系来比较。

有理数的运算律是数学中的重要基础，掌握了这些运算律，可以帮助我们更好地理解和应用有理数。

希望通过本文的介绍，读者可以对有理数的运算律有一个清晰的认识，并在实际计算中灵活运用，提高计算准确性和效率。