排队论01_回顾概率论

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贝叶斯定理：事件A1，A2，...，An为样本空间 贝叶斯定理 的一个分割。对任意事件A，以下成立
P[ Ai ]P[ A | Ai ] P[ Ai | A] = P[ A1 ]P[ A | A1 ] + P[ A2 ]P[ A | A2 ] +L P[ An ]P[ A | An ]
证明：P[ A1 ]P[ A | A1 ] + P[ A2 ]P[ A | A2 ] + L + P[ An ]P[ A | An ]
该模块由成员5开发的概率
P[ A5 ]P[ A | A5 ] P[ A5 | A] = ≈ 0.2655 P[ A1 ]P[ A | A1 ] + L + P[ A5 ]P[ A | A5 ]
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随机变量
一个随机变量 随机变量（random variable, r.v.）X是一个定义 随机变量 在样本空间的实数函数
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根据定义， P[ A ∩ B] = P[ B]P[ A | B] = P[ A]P[ B | A] 性质：
P[ A1 ∩ A2 ∩ L ∩ An ] = P[ A1 ]P[ A2 | A1 ]P[ A3 | A1 ∩ A2 ]L P[ An | A1 ∩ A2 ∩ L ∩ An −1 ]
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证明 P[ A1 ∩ A2 ∩ L ∩ An ]
= P[ A1 ]P[ A2 | A1 ]P[ A3 | A1 ∩ A2 ]L P[ An | A1 ∩ A2 ∩ L ∩ An −1 ]
归纳法，当n=2，结论成立 当n=k，假设结论成立，有
P[ A1 ∩ A2 ∩ L ∩ Ak ] = P[ A1 ]P[ A2 | A1 ]L P[ Ak | A1 ∩ A2 ∩ L ∩ Ak −1 ]
如果X离散， E[h( X )] = h( x1 ) p( x1 ) + h( x2 ) p( x2 ) +L 如果X连续， E[h( X )] = +∞ h( x) f ( x)dx
∫
−∞
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例：指数分布
µ = E[ X ] = ∫
2
∞
0
−e λ x ∞ 1 xλ e − λ x dx = = λ 0 λ
2
参考书：
[1]. D. Gross, C. M. Harris. Fundamentals Of Queueing Theory. 3rd Edition, John Wiley & Sons. [2]. A. O. Allen. Probability, Statistics, and Queuing Theory with Computer Science Applicationsபைடு நூலகம் 2nd Edition, Elsevier Press.
x −∞
a
F ( x) = ∫
f (t )dt
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例：掷骰子，
p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6
例：指数分布随机变量X
1 − e − λ x , x > 0 F ( x) = x≤0 0, λ e − λ x , x > 0 f ( x) = x≤0 0,
性质：
xi ∈T
∑ p( x ) = 1
i
对连续随机变量X，定义概率密度函数 概率密度函数 （probability density function，pdf） f ( x) = dF
f(x)≥0 b f可积，并且 P[a ≤ X ≤ b] = f ( x)dx ∫
dx
∫
∞
−∞
f ( x)dx = 1
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事件A，模块评测未通过；事件A1、A2、A3、A4、 A5分别表示该模块由成员1、2、3、4、5开发 该模块由成员1开发的概率
P[ A1 ]P[ A | A1 ] P[ A1 | A] = P[ A1 ]P[ A | A1 ] + L + P[ A5 ]P[ A | A5 ] 12 × 0.02 33 = ≈ 0.0708 12 4 10 5 2 × 0.02 + × 0.25 + × 0.05 + × 0.15 + × 0.45 33 33 33 33 33
抛骰子，产生样本点1，2，3，4，5，6；样本空 间Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} 抛硬币，产生样本点“正”和“反”；样本空间 Ω={正面，反面}
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样本空间中满足某种条件的样本点的集合A被 称为事件 事件。如果随机实验的结果属于事件A， 事件 我们称事件A发生
例：掷一个骰子，结果为偶数的事件={2,4,6}
一些定义：
A∪B：A或者B至少发生一个事件 A∩B：A和B都发生 A ：A不发生 ∅ ：不可能发生的事件 A ∩ B = ∅ ：事件A与B互斥
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概率
对属于样本空间Ω中的事件A，它的概率 概率是一 概率 个将其映射到实数空间[0,1]的一个映射，记为 P[A]或者Pr[A] 性质：
0≤P[A]≤1，P[ A] = 1 − P[ A] P[Ω]=1 P[ A ∪ B] = P[ A] + P[ B] − P[ A ∩ B ] 如果A1, A2, A3, …互斥，则 P[A1∪A2∪A3∪…]=P[A1]+P[A2]+P[A3]+…
∞
方差（variance）σ2， σ被称为标准差 方差 标准差
σ = Var[ X ] = ∑ ( xi − E[ X ]) p ( xi ) 或者 σ = Var[ X ] = ∫ ( x − E[ X ]) 2 f ( x)dx
2 2 2 xi −∞ +∞
对于随机变量X，令h(X)为X上的一个函数，比如2X， log(X)等等。
证明：P[ A ]P[ A | A ] + P[ A ]P[ A | A ] + L + P[ A ]P[ A | A ]
1 1 2 2 n n
= P[ A ∩ A1 ] + P[ A ∩ A2 ] + L + P[ A ∩ An ]
{ A ∩ Ai }互斥，且U A ∩ Ai = A
i =1
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n
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。 离散随机变量：
CPU每分钟访问内存次数，0，1，2，3，… 路由器每秒钟发送IP包的个数，0，1，2，3，…
连续随机变量：
在车站等校车的时间，正实数 服务器两次系统崩溃的时间间隔，正实数
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对随机变量X，定义其分布函数 分布函数（distribution function） 分布函数
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概率论—复习
样本空间和随机事件 概率，条件概率 随机变量，均值、方差 典型的离散随机变量分布 典型的连续随机变量分布 生成函数 随机变量联立分布 随机不等式
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样本空间和随机事件
考虑一个随机实验，实验可能产生多种结果， 每次试验产生的结果不确定 单次实验产生的结果被称为一个样本点 样本点 所有的样本点的集合被称为样本空间 样本空间，记为Ω 样本空间 例如
F ( x) = P[ X < x]
F是非减函数，x<y，有F(x)≤F(y)
lim x →∞ F ( x) = 1, lim x →−∞ F ( x) = 0 P[a < X ≤ b] = F (b) − F (a )
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对离散随机变量X，定义概率质量函数 概率质量函数 （probability mass function，pmf）p( x) = P[ X = x]
= P[ A ∩ A1 ] + P[ A ∩ A2 ] + L + P[ A ∩ An ] = P[ A] P[ Ai ∩ A] P[ Ai ]P[ A | Ai ] P[ Ai | A] = = P[ A] P[ A]
P[ Ai ]被称为先验概率,没有参考信息的概率 P[ Ai | A]被称为后验概率, 有参考信息（事件A发生）的概率 已知先验概率，计算后验概率
记 A = A1 ∩ A2 ∩ L ∩ Ak , B = Ak +1
P[ A1 ∩ A2 ∩ L ∩ Ak ∩ Ak +1 ] = P[ A ∩ B ] = P[ A]P[ B | A] = P[ A1 ]P[ A2 | A1 ]L P[ Ak | A1 ∩ A2 ∩ L ∩ Ak −1 ] × P[ Ak +1 | A1 ∩ A2 ∩ L ∩ Ak ]
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例：一个软件项目由五个项目组成员完成。每位成 员开发并提交一定数量的模块供测试。项目组成员 和他们开发的模块评测通过率如下表。现随机选取 一个模块评测，结果为“未通过”，问这个模块由 成员1开发的概率和由成员5开发的概率。
成员 1 2 3 4 5 提交模块数 12 4 10 5 2 评测的通过率 0.98 0.75 0.95 0.85 0.55
事件A、B、C表示终端1、2、3被使用。至少一台终 U 端被使用， = A ∪ ( B ∪ C )
P[U ] = P[ A ∪ ( B ∪ C )] = P[ A] + P[ B ∪ C ] − P[ A ∩ ( B ∪ C )]
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终端独立：
P[U ] = P[ A] + P[ B ∪ C ] − P[ A ∩ ( B ∪ C )] = P[ A] + P[ B ∪ C ] − P[ A]P[ B ∪ C ] = P[ A] + P[ B] + P[C ] − P[ A]( P[ B ] + P[C ]) = 1 / 2 + 1 / 6 + 1 / 12 − 1/ 2(1/ 6 + 1/ 12) = 0.625
排队论及其应用
Lecture 1 回顾概率论