大学概率论与数理统计必过复习资料试题解析(绝对好用)

合集下载

2021年大学基础课概率论与数理统计复习题及答案(精选版)

2021年大学基础课概率论与数理统计复习题及答案（精选版）一、单选题1、设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。

那么对任意给定的a 都有A ）0()1()a f a f x dx -=-⎰B ） 01()()2a F a f x dx -=-⎰C ）)()(a F a F -=D ） 1)(2)(-=-a F a F【答案】B2、设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。

那么对任意给定的a 都有A ）0()1()a f a f x dx -=-⎰B ） 01()()2a F a f x dx -=-⎰C ）)()(a F a F -=D ） 1)(2)(-=-a F a F【答案】B3、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。

则第二人取到黄球的概率是（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5【答案】B4、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是___ __(A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验 (C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D 5、已知n X X X ,,,21 是来自总体的样本，则下列是统计量的是（）X X A +)( +A ∑=-n i i X n B 1211)( a X C +)( +10 131)(X a X D ++5 i m 211.()i m r e ij i i j S y y ===-∑∑2.1()r A i i i S m y y ==-∑6、对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（A ）必须接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H（C ）必拒绝0H （D ）不接受，也不拒绝0H【答案】A7、设 ()2~,N ξμσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 为其样本，下列各项不是统计量的是（）(A)22212321()X X X σ++ (Ｂ)13X μ+ (Ｃ)123max(,,)X X X (D)1231()3X X X ++ 【答案】A8、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是____ _(A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验 (C) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D 9、已知随机变量X 的密度函数f(x)=x x Ae ,x 0,λλ-≥⎧⎨<⎩(λ>0,A 为常数)，则概率P{X<+a λλ<}（a>0）的值 A ）与a 无关，随λ的增大而增大 B ）与a 无关，随λ的增大而减小C ）与λ无关，随a 的增大而增大D ）与λ无关，随a 的增大而减小【答案】C10、设X ，Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为F X (x),F Y (y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是A ）F Z （z ）= max { F X (x),F Y (y)}; B) F Z （z ）= max { |F X (x)|,|F Y (y)|}C) F Z （z ）= F X （x ）·F Y (y) D)都不是i m 211.()i m r e ij i i j S y y ===-∑∑2.1()r A i i i S m y y ==-∑二、填空题1、用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<=【答案】F(b,c)-F(a,c)2、设总体X ～12(,),01,,,,n b n p p X X X <<⋅⋅⋅为其子样，n 及p 的矩估计分别是。

《概率论与数理统计》综合复习资料全

《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10 个球，其中有 3 个红球， 2 个黑球， 5 个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为；取到的两只球至少有一个黑球的概率为。

2、 X 的概率密度为 f ( x)1 e x2 2 x 1(x) ，则DX。

3、已知随机变量X ~N(1，1)，Y~N(3，1) 且 X 与Y 相互独立，设随机变量Z 2X Y 5，则EX；DX。

4、已知随机变量X 的分布列为X-102P k0.40.2p则： EX=；DX =。

5、设X与Y独立同分布，且X~N(2,22) ，则D( 3X2Y) =。

6、设对于事件A、B、 C有 P(A)P(B)1，P(ABC)1P(C)，412P( AB) P( BC )P(AC)1。

，则 A 、 B、 C 都不发生的概率为87、批产品中一、二、三等品各占60% 、30%、 10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。

8、相互独立，且概率分布分别为1，1 y 3f (x)e ( x 1)x) ；( y)(，其它则：E(X Y)=；E(2X3 2 )=。

Y9 、已知工厂A、 B 生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A、 B 工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是 B 工厂的概率为。

10、设X、Y的概率分布分别为， 1 x 54e4 y，y01/ 4( x)；( y)，，其它0y0则： E(X 2Y) =；(X 2 4 ) =。

E Y二、选择题1、设X 和 Y 相互独立，且分别服从N(1,22) 和N (1,1)，则。

A ．P{ X Y 1}1/ 2B．P{ X Y0}1/ 2C ．P{ X Y0}1/ 2D．P{ X Y 1}1/ 22、已知P( A)0.4，P(B)0.6，P(B | A)0.5 ，则P( A B)。

A ．1B．0.7C ．0.8D ．0.53、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10 次，则恰好击中 3 次的概率为。

2021年大学公共课概率论与数理统计必考题及答案(精华版)

2021年大学公共课概率论与数理统计必考题及答案（精华版）一、单选题1、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（）)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=ni i X n 21 )(D ∑-=-1111n i i X n 【答案】D2、服从正态分布，，，是来自总体的一个样本，则服从的分布为___ 。

(A)N (,5/n) (B)N (,4/n) (C)N (/n,5/n) (D)N (/n,4/n) 【答案】B3、设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231()3Y X X X =++，则2()E Y =A ）1.B ）9.C ）10.D ）6. 【答案】C4、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 A ）当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭B ）{}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ C ）{}(1),k k n k n kP X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ D ）{}(1),1k kn k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B5、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】AX 1-=EX 25EX =),,(1n X X X ∑==ni inX X 111-1-1-1-6、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A7、设X ～2(,)N μσ,那么当σ增大时，{}P X μσ-<= A ）增大 B ）减少 C ）不变 D ）增减不定。

(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解

;第一章一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。

2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。

3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。

4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。

5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。

6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。

7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。

12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。

2020年大二必修概率论与数理统计必考题及答案(含解析)

2020年大二必修概率论与数理统计必考题及答案（含解析）一、单选题1、设X ～2(,)N μσ其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 样本，则下列选项中不是统计量的是 A ）123X X X ++ B ）123max{,,}X X X C ）2321i i X σ=∑ D ）1X μ-【答案】C2、设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个简单样本，则2()E X 的矩估计是（A ）22111()1n i i S X X n ==--∑（B ）22211()n i i S X X n ==-∑（C ）221S X + （D ）222S X + 【答案】D3、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A4、对于事件A ，B ，下列命题正确的是（A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。

（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。

（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。

（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。

【答案】D5、设n X X X ,,21为来自正态总体),(2σμN 简单随机样本，X 是样本均值，记2121)(11X X n S ni i --=∑=，2122)(1X X n S n i i -=∑=，2123)(11μ--=∑=n i i X n S ， 22411()ni i S X n μ==-∑，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是(A) 1/1--=n S X t μ(B) 1/2--=n S X t μ(C) n S X t /3μ-=(D) nS X t /4μ-=【答案】B6、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A7、在一次假设检验中，下列说法正确的是______ (A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误 (C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误【答案】A8、设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为总体X 的一个随机样本，2(),()E X D X μσ==，12211()n i i i C XX θ-+==-∑为 2σ的无偏估计，C ＝（A ）1/n （B ）1/1n - （C ） 1/2(1)n - （D ） 1/2n - 【答案】C9、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A10、设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本，下列各项不是统计量的是＿＿＿＿(Ａ)4114i i X X ==∑ (Ｂ)142X X μ+-(Ｃ)42211()i i K X X σ==-∑ (Ｄ)4211()3i i S X X ==-∑【答案】C 二、填空题1、设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。

2020年大二必修概率论与数理统计必考题及答案(新版)

2020年大二必修概率论与数理统计必考题及答案（新版）一、单选题1、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A2、设81,,X X 和101,,Y Y 分别来自两个相互独立的正态总体)2,1(2-N 和)5,2(N 的样本, 21S 和22S 分别是其样本方差，则下列服从)9,7(F 的统计量是( ))(A 222152S S )(B 222145S S )(C 222154S S )(D 222125S S 【答案】B3、以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销” （C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

【答案】D4、1621,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一部分样本，设：216292821X X Y X X Z ++=++= ，则YZ~（） )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F【答案】D5、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 A ）当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭B ）{}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ C ）{}(1),k kn k nk P X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ D ）{}(1),1k k n ki n P X k C p p i n -==-≤≤【答案】B6、对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（A ）必须接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H （C ）必拒绝0H （D ）不接受，也不拒绝0H 【答案】A7、设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为 (,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ且Y X ,相互独立，则A ） 9/1,9/2==βαB ） 9/2,9/1==βαC ） 6/1,6/1==βαD ） 18/1,15/8==βα 【答案】A8、服从正态分布，，，是来自总体的一个样本，则服从的分布为___ 。

《概率论与数理统计》复习题及答案

《概率论与数理统计》复习题及答案《概率论与数理统计》复习题一、填空题1.未知p(ab)?p(a)，则a与b的关系就是单一制。

2．未知a,b互相矛盾，则a与b的关系就是互相矛盾。

3.a,b为随机事件，则p(ab)?0.3。

p(a)?0.4，p(b)?0.3，p(a?b)?0.6，4.已知p(a)?0.4，p(b)?0.4，p(a?b)?0.5，则p(a?b)?0.7。

25.a,b为随机事件，p(a)?0.3，p(b)?0.4，p(ab)?0.5，则p(ba)?____。

36．已知p(ba)?0.3，p(a?b)?0.2，则p(a)?2/7。

7．将一枚硬币重复投掷3次，则正、反面都至少发生一次的概率为0.75。

8.设立某教研室共计教师11人，其中男教师7人，贝内旺拉拜教研室中要自由选择3名叫优秀教师，则3名优秀教师中至少存有1名女教师的概率为___26____。

339.设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出1___。

611110.3人单一制截获一密码，他们能够单独所译的概率为,,，则此密码被所译的5343概率为______。

5后不送回，则第2次取出的就是次品的概率为___11．每次试验成功的概率为p，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3235cp(1?p)7次顺利的概率为______。

12.已知3次独立重复试验中事件a至少成功一次的概率为1事件a顺利的概率p?______。

319，则一次试验中27c35813．随机变量x能取?1,0,1，取这些值的概率为,c,c，则常数c?__。

24815k14．随机变量x原产律为p(x?k)?,k?1,2,3,4,5，则p(x?3x?5)?_0.4_。

15x??2,?0?x?15.f(x)??0.4?2?x?0,是x的分布函数，则x分布律为__??pi?1x?0?0??__。

0.40.6??2?0,x?0??16．随机变量x的分布函数为f(x)??sinx,0?x??，则2?1,x2?p(x??3)?__3__。

(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解

;第一章一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。

2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。

3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。

4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。

5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。

6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。

大学概率论考试必备试题及答案详细解答

（2）如果某学生概率论考试没有通过，该学生是属学习不用功的概率。三、 (10) 设随机变量 X 的概率密度函数为：
x
f
(x)
A

x
0
0 x 1 1 x 2 试求：（1）常数 A . （2） X 的分布函数。
其它
四、 (10) 设随机变量 X 在[1, 2] 上服从均匀分布，试求随机变量Y e2X 的密度函数。
一等品的概率为___________
4、 2008 年北京奥运会召开前，某射击队有甲、乙两个射手，他们的射击技术由下表给出。其中 X 表示
甲射击环数，Y 表示乙射击环数，派遣__________射手参赛比较合理。
X
8
9
10
p
Y
8
9
10
p
5、已知 D(X ) 1 ， D(Y ) 25 ， XY 0.4 ，则 D(X Y ) ___________
规定选择正确得1分选择错误得0分假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答并且没有不选的情况问他的得分x服从何种分布
大学概率论考试必备试题及答案详细解答(总 3 页)
--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可---内页可以根据需求调整合适字体及大小--
试试题纸（A 卷）
课程名称《概率论与数理统计》专业班级全校 07 级本科
九、 E(W 2 ) D(W ) E2 (W ) 1 e e2
4
规定选择正确得1分，选择错误得 0 分，假设无知者对于每一个题都是从 4 个备选答案中
随机地选答，并且没有不选的情况，问他的得分 X 服从何种分布？用中心极限定理计算
他得分能够超过18 分的概率。
七、 (10)
设总体

2021年大学必修课概率论与数理统计必考题及答案

2021年大学必修课概率论与数理统计必考题及答案（完整版）一、单选题 1、下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是11F (x ) = + — arctan x 2 兀【答案】B2、对于事件人，B,下列命题正确的是F (x ) = 1 + —B ） —(1 - e-x),0,D ）F (x )=Jx f (t )dt-s，其中 -s J+sf (t) dt = 1（A ）若A ， B 互不相容，则A 与B 也互不相容。

（B ）若A ，B 相容，那么X 与B 也相容。

（C ）若A ， B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。

（D ）若A ， B 相互独立，那么X与B 也相互独立。

【答案】D3、设X , X ，…X 为来自正态总体N （R ,。

2）简单随机样本, 12nX 是样本均值，记S 21-^―£(X - X )2， n -1 ii =1S 2 =1 £(X -X)22n ii =1S 2 = -L- £(X -^)2，3n -1 i i=1S 2 = -£ (X -^)2， 4n i则服从自由度为n -1的t 分布的随机变量是X - RA) t = ------ =^=S /%n -11B) t =S / nn -12C) X — R X — Rt =——D) t = ------------S / nn S 八n【答案】B4、设X ,X ，…,X 是取自总体X 的一个简单样本 12 n 则E （X 2）的矩估计是S 2 = 1—£(X - X)21S 2 =1£ (X - X)22n i(C)S T x 2 （D ）S ； + X 2【答案】D八八八5、设6是未知参数0的一个估计量，若E °W °，则6是0的 (A)极大似然估计 (B)矩法估计 (C)相合估计 (D)有偏估计【答案】D6、已知X , X ，…,X 是来自总体的样本，则下列是统计量的是()12n1 V_ 1「一(A )X + X +A(B )——乙X 2(C )X + a +10(D )-X + aX +5n — 1 ，3 ii =1【答案】B7、设X 「X 2,…,X n 为来自正态总体N (禺02)的一个样本，若进行假设检验，当时，一般采用统计量X - Nt~~s~r^【答案】C 8、总体X 〜N (从,o 2), o 2已知，n >时，才能使总体均值目的置信水平为0.95的置信区间长不大于L（A ）15o 2/L 2 （B ）15.3664 o 2/L 2 （C ）16o 2/L 2（D ）16【答案】B统计量的是（）（A ） _L （X 2 + X 2 + X 2）（B ） X + 3四o 21 2 31（C ）max （X ,X ,X ）（D ）1（X + X + X ）1233123【答案】A则统计量V = y —服从的分n £X 2ii =n +1布是 ____________（A ）日未知, 日已知，检验o 2= o 2(B)O 2未知，检验日=日o 2已知，检验N =R(D) 09、设5~ N Q,o 2)，其中自已知，o 2未知，X ,X ,X 为其样本，123下列各项不是10、设 X 1,X 2，…X n , X n+1,…,X 是来自正态总体N (0,o 2)的容量为n+m 的样本, n+m【^案】C 二、填空题1、设X , X ，…,X 是来自总体X ~ N （4,02）的简单随机样本，O 2已知，令X = 1-£X ，则统计量121616 ii =14X -16,,、，，一，、，，，，，，—— 服从分布为（必须写出分布的参数）。

2020年大二重点课程概率论与数理统计必考题及答案(精选版)

2020年大二重点课程概率论与数理统计必考题及答案（精选版）一、单选题1、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是___ __(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验(C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D2、下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是A ）21()1F x x =+B ） x x F arctan 121)(π+=C ）=)(x F 1(1),020,0xe x x -⎧->⎪⎨⎪≤⎩ D ） ()()x F xf t dt -∞=⎰，其中()1f t dt +∞-∞=⎰【答案】B3、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 A ）当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭B ）{}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ C ）{}(1),k k n k n k P X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ D ）{}(1),1k k n ki n P X k C p p i n -==-≤≤【答案】B4、已知随机变量X 的密度函数f(x)=x x Ae ,x 0,λλ-≥⎧⎨<⎩(λ>0,A 为常数)，则概率P{X<+a λλ<}（a>0）的值A ）与a 无关，随λ的增大而增大B ）与a 无关，随λ的增大而减小im 211.()im r e ij i i j S y y ===-∑∑2.1()rA i i i S m y y ==-∑C ）与λ无关，随a 的增大而增大D ）与λ无关，随a 的增大而减小【答案】C5、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。

大学概率论与数理统计必过复习资料及试题解析(绝对好用)

《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4）3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5）（6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式：（4） Bayes公式： 7．事件的独立性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）；（3）对任意，4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，；（6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3）若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，，若不单调，先求分布函数，再求导。

第三章随机向量1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有（1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1）离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续时，；，； (3) 二维时， (4)；（5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）；（3）；（4）独立时， 3．协方差（1）；；；（2）（3）；（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布，或，或或，（2）设是次独立重复试验中发生的次数，，则对任意，或理解为若，则第六章样本及抽样分布 1．总体、样本（1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2）样本数字特征：样本均值（，）；样本方差）样本标准样本阶原点矩，样本阶中心矩 2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）分布，其中标准正态分布，若且独立，则；（2）分布，其中且独立；（3）分布，其中性质 4．正态总体的抽样分布（1）；（2 ；（3 且与独立；（4）；，（5）（6）第七章参数估计 1．矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计 2．极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min或max） 3．估计量的评选原则，则为无偏；(2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效； (1)无偏性：若《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则生的概率为 2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间密度为4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，_________，5．设总体的概率密度为是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为解：1．即所以 .2．由知即解得，故 . 3．设的分布函数为的分布函数为，密度为则因为，所以，即故另解在上函数严格单调，反函数为所以4．，故 .5．似然函数为解似然方程得的极大似然估计为二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若，则与也独立. （B）若，则（C）若，则与也独立. 与也独立（D）若，则与也独立.（） 2．设随机变量的分布函数为，则的值为（A）.（B）（C）. （D）. （）3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是（A）与独立. （B）（C）. （D）. （） 4．设离散型随机变量和的联合概率分布为若独立，则的值为（A）. （A）. . （）（C）（D） 5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中正确的是（A）X1是的无偏估计量. （B）X1是的极大似然估计量. （C）X1是的相合（一致）估计量. （D）X1不是的估计量.（）解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）事实上由图可见A与C不独立2．所以 3．由不相关的等价条件知应选（B）. 4．若独立则有应选（A）. 2 ?，9 故应选（A） 5．，所以X1是的无偏估计，应选（A）. 三、（7分）已知一批产品中90% 0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’ ‘任取一产品确是合格品’ 则（1）（2） .四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：的概率分布为即的分布函数为五、（10分）设二维随机变量在区域匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密（1）的概率密度为（2）利用公式其中当或时时故的概率密度为的分布函数为或利用分布函数法六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离1）；（2）. 七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16 样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95 区间；（2）检验假设（显着性水平为0.05）. （附注）解：（1）的置信度为下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）的拒绝域为，因为，所以接受《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1）设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容，，，则事件、、中仅发生或仅概率为（2）甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为（3）设随机变量的概率密度为现对察，用表示观察值不大于0.5的次数，则___________. （4）设二维离散型随机变量的分布列为若，则（5）设是总体的样本，是样本方差，若，（注：, , , ）解：（1）因为与不相容，与不相容，所以，故同理 . . （2）设‘四个球是同一颜色的’，‘四个球都是白球’，‘四个球都是黑球’则 . 所求概率为所以（3）其中，，（4）的分布为这是因为，由得，故（5）即，亦即 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设、、为三个事件，且，则有（A）（B）（C）（D）（2）设随机变量的概率密度为且，则在下列各组数中应取（A）（B）（C）.（D）（3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为则有（））（A）（B）（C）（D）（）（4）对任意随机变量，若存在，则等于（A）（B）（C）（D）（）（5）设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的置信度为的置信区间为（B）（C）（）（D）解（1）由知，故（A）应选C. （2）即时故当应选（3）应选（4）应选（5）因为方差已知，所以的置信区间为应选D. 三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。

2021年大学基础课概率论与数理统计必考题及答案(含解析)

2021年大学基础课概率论与数理统计必考题及答案（含解析）一、单选题1、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A2、假设随机变量X 的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X 与-X 有相同的分布函数，则下列各式中正确的是A ）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x);C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).【答案】C3、在一次假设检验中，下列说法正确的是___ ____(A)第一类错误和第二类错误同时都要犯(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误【答案】C4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（）)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=ni i X n 21 )(D ∑-=-1111n i i X n 【答案】D5、设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231()3Y X X X =++，则2()E Y =A ）1.B ）9.C ）10.D ）6.【答案】C6、在一次假设检验中，下列说法正确的是______(A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误【答案】A7、1621,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一部分样本，设：216292821X X Y X X Z ++=++= ，则YZ ~（） )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F【答案】D8、设是未知参数的一个估计量，若，则是的___ _____(A)极大似然估计 (B)矩法估计 (C)相合估计 (D)有偏估计【答案】D9、设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本，下列各项不是统计量的是＿＿＿＿ (Ａ)4114i i X X ==∑ (Ｂ)142X X μ+- (Ｃ)42211()i i K X X σ==-∑ (Ｄ)4211()3i i S X X ==-∑ 【答案】C10、对于事件A ，B ，下列命题正确的是（A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。

2020年大学公共课概率论与数理统计必考题及答案(最新版)

2020年大学公共课概率论与数理统计必考题及答案（最新版）一、单选题1、对总体的均值和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间 (A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含的值【答案】D2、对于事件A ，B ，下列命题正确的是（A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。

（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。

（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。

（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。

【答案】D3、设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本，下列各项不是统计量的是＿＿＿＿(Ａ)4114i i X X ==∑ (Ｂ)142X X μ+-(Ｃ)42211()i i K X X σ==-∑ (Ｄ)4211()3i i S X X ==-∑【答案】C4、假设随机变量X 的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X 与-X 有相同的分布函数，则下列各式中正确的是 A ）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x). 【答案】C5、1X ,2X 独立,且分布率为 (1,2)i =,那么下列结论正确的是A ）21X X = Ｂ）1}{21==X X P C ）21}{21==X X P Ｄ）以上都不正确【答案】C6、设 ()2~,N ξμσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 为其样本，下列各项不是2~(,)X N μσμμ统计量的是（）(A)22212321()X X X σ++ (Ｂ)13X μ+(Ｃ)123max(,,)X X X (D)1231()3X X X ++【答案】A7、总体X ～2(,)N μσ，2σ已知，n ≥ 时，才能使总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间长不大于L （A ）152σ/2L （B ）15.36642σ/2L （C ）162σ/2L （D ）16 【答案】B8、下列二无函数中，可以作为连续型随机变量的联合概率密度。

《概率论与数理统计》复习题(附答案)

概率练习题附答案06-07-1《概率论与数理统计》试题A一、填空题（每题3分，共15分）1. 设A ，B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________. 2. 设事件A 、B 、C 构成一完备事件组，且()0.5,()0.7,P A P B ==则()P C =3. 已知),2(~2σN X ，且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________.4. 设X 与Y 相互独立，且2)(=X E ，()3E Y =，()()1D X D Y ==，则=-])[(2Y X E ___5. 设),3(~),,2(~p B Y p B X ，且95}1{=≥X P ，则=≥}1{Y P __________. 二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为【】(A) 11a a b -+-；(B) (1)()(1)a a a b a b -++-；(C) a a b +；(D) 2a ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.2. 设随机变量X 的概率密度为()130, 其他c x p x <<⎧=⎨⎩则方差D(X)= 【】 (A) 2； (B)12； (C) 3； (D) 13. 3．设A 、B 为两个互不相容的随机事件，且()0>B P ，则下列选项必然正确的是【】()A ()()B P A P -=1；()B ()0=B A P ；()C ()1=B A P ；()D ()0=AB P ．4. 设()x x f sin =是某个连续型随机变量X 的概率密度函数，则X 的取值范围是【】()A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π；()B []π,0； ()C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ； ()D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,ππ． 5. 设()2,~σμN X ，b aX Y -=，其中a 、b 为常数，且0≠a ，则~Y 【】 ()A ()222,b a b a N +-σμ； ()B ()222,b a b a N -+σμ； ()C ()22,σμa b a N +； ()D ()22,σμa b a N -．三、（本题满分8分）甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被命中，求它是乙命中的概率.四、（本题满分12分）设随机变量X 的密度函数为xx e e Ax f -+=)(，求：（1）常数A ；（2）}3ln 210{<<X P ；（3）分布函数)(x F .五、（本题满分10分）设随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<-=其他,010),1(6x x x x f 求12+=X Y 的概率密度.六、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X 表示三次中出现正面的次数，Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X ，Y ）的联合概率分布；（2）{}X Y P >.七、（本题满分10分）二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他,00,0,),()2(y x Ae y x f y x 求：（1）系数A ；（2）X ，Y 的边缘密度函数；（3）问X ，Y 是否独立。

概率统计复习题(含解答)

概率论与数理统计复习题（一）一．填空1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。

若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。

2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。

3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ，则=μ ；=>}0{X P 。

4．1)()(==X D X E 。

若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。

5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。

7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），=XY ρ 。

8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<}82{X P 。

9．设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈愈好，而置信区间的长度愈愈好。

但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是。

二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。

设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。

概率论与数理统计典型例题与解析(期末考试与考研必备的超强资料)

概率论与数理统计典型例题分析（期末考试与考研必备）1.在数学系学生中任选一名学生．设事件A ＝{选出的学生是男生}，B ＝{选出的学生是三年级学生}，C ＝{选出的学生是科普队的}．(1)叙述事件ABC 的含义．(2)在什么条件下，ABC ＝C 成立？(3)在什么条件下，C ⊂B 成立？解 (1)事件ABC 的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员．(2)由于ABC ⊂C ，故ABC ＝C 当且仅当C ⊂ABC ．这又当且仅当C ⊂AB ，即科普队员都是三年级的男生．(3)当科普队员全是三年级学生时，C 是B 的子事件，即C ⊂B 成立．2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A ＝{掷第一次出现正面}，B ＝{掷第二次出现正面}，C ＝{正、反面各出现一次}，则事件A ，B ，C 是相互独立，还是两两独立？解由题设，可知P (AB )＝P (A )P (B )，即A ，B 相互独立．而1()(())()()(),4P AC P A AB AB P AB P A P B =+=== ()()()()()(()())P A P C P A P AB AB P A P AB P AB =+=+⋅=+⨯=41)4121(21 故A ，C 相互独立，同理B ，C 也相互独立．但是P (ABC )＝P (∅)＝0，而 ,81212121)()()(=⨯⨯=C P B P A P 即 )()()()(C P B P A P ABC P ≠,因此A ，B ，C 两两独立．问题 (1)两个事件的“独立”与“互斥”之间有没有关系？在一般情况下，即P (A )＞0，P (B )＞0时，有关系吗？为什么？(2)设0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (B |A )＋P (B |A )＝1．问A 与B 是否独立，为什么？由此可以得到什么结论？3.设A ，B ，C 是三个随机事件，且=====)()(,41)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81)(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有一个发生的概率．解设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )．又因为,41)()()(===C P B P A P ,0)()(==CB P AB P 81)(=AC P ,而由P (AB )＝0，有P (ABC )＝0，所以⋅=-=858143)(D P 问题怎样由P (AB )＝0推出P (ABC )＝0？提示利用事件的关系与运算导出．4.设事件A 与B 相互独立，P (A )＝a ，P (B )＝b ．若事件C 发生，必然导致A 与B 同时发生，求A ，B ，C 都不发生的概率．解由于事件A 与B 相互独立，因此P (AB )＝P (A )·P (B )＝a ·b ．考虑到C ⊂AB ，故有,B A B A AB C ⊃+=⊃因此).1)(1()()()()(b a B P A P B A P C B A P --===5.某地铁每隔5 min 有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每一个乘客到站等车时间不多于2 min 的概率．解设A ＝{每一个乘客等车时间不多于2 min}．由于乘客可以在接连两列车之间的任何一个时刻到达车站，因此每一乘客到达站台时刻t 可以看成是均匀地出现在长为5 min 的时间区间上的一个随机点，即Ω＝[0，5)．又设前一列车在时刻T 1开出，后一列车在时刻T 2到达，线段T 1T 2长为5(见图1－1)，即L (Ω)＝5；T 0是T 1T 2上一点，且T 0T 2长为2．显然，乘客只有在T 0之后到达(即只有t 落在线段T 0T 2上)，等车时间才不会多于2min ，即L (A )＝2．因此图1－1⋅=Ω=52)()()(L A L A P 6.甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，它们同日到达时会面的概率是多少？解这是一个几何概型问题．设A ＝{它们会面}．又设甲乙两船到达的时刻分别是x ，y ，则0≤x ≤24，0≤y ≤24．由题意可知，若要甲乙会面，必须满足|x －y |≤2，即图中阴影部分．由图1－2可知：L (Ω)是由x ＝0，x ＝24，y ＝0，y ＝24图1－2所围图形面积S ＝242，而L (A )＝242－222，因此.)2422(1242224)()()(2222-=-=Ω=L A L A P7.设随机事件B 是A 的子事件，已知P (A )＝1/4，P (B )＝1/6，求P (B |A )．分析这是一个条件概率问题．解因为B ⊂A ，所以P (B )＝P (AB )，因此⋅===32)()()()()|(A P B P A P AB P A B P 8.在100件产品中有5件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？解设事件A ＝{第一次取到正品}，B ＝{第二次取到次品}．用古典概型方法求出.010095)(=/=A P 由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在99件中(不合格品仍是5件)任取一件，所以⋅=995)|(A B P 由公式(1－4)， ⋅=⨯==3961999510095)|()()(A B P A P AB P9.五个人抓一个有物之阄，求第二个人抓到的概率．解这是一个乘法公式的问题．设A i ＝{第i 个人抓到有物之阄}(i ＝1，2，3，4，5)，有⋅=+∅=+=+=Ω=2121212111222)(A A A A A A A A A A A A A根据事件相同，对应概率相等有).|()()()(121212A A P A P A A P A P ==又因为,41)|(,54)(,51)(1211===A A P A P A P 所以 ⋅=⨯=514154)(2A P10.设袋中有4个乒乓球，其中1个涂有白色，1个涂有红色，1个涂有蓝色，1个涂有白、红、蓝三种颜色．今从袋中随机地取一个球，设事件A ＝{取出的球涂有白色}，B ＝{取出的球涂有红色}，C ＝{取出的球涂有蓝色}．试验证事件A ，B ，C 两两相互独立，但不相互独立．证根据古典概型，我们有n ＝4，而事件A ，B 同时发生，只能是取到的球是涂有白、红、蓝三种颜色的球，即m ＝1，因而⋅=41)(AB P 同理，事件A 发生，只能是取到的球是涂红色的球或涂三种颜色的球，因而⋅==⋅==2142)(2142)(B P A P 因此，有 ,412121)()(=⨯=B P A P 所以 P (AB )＝P (A )P (B )，即事件A ，B 相互独立．类似可证，事件A ，C 相互独立，事件B ，C 相互独立，即A ，B ，C 两两相互独立，但是由于,41)(=ABC P 而 ,4181212121)()()(=/=⨯⨯=C P B P A P 所以A ，B ，C 并不相互独立．11.加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％、3％、5％、3％，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．答案是：0.124(或1－0.98×0.97×0.95×0.97)．12.一批零件共100个，其中有次品10个．每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率．答案是：)989099910010(0084.0⨯⨯或． 13.用高射炮射击飞机，如果每门高射炮击中飞机的概率是0.6，试问：(1)用两门高射炮分别射击一次击中飞机的概率是多少？(2)若有一架敌机入侵，至少需要多少架高射炮同时射击才能以99％的概率命中敌机？分析本题既可使用加法公式，也可使用乘法公式．解 (1)令B i ＝{第i 门高射炮击中敌机}(i ＝1，2)，A ＝{击中敌机}．在同时射击时，B 1与B 2可以看成是互相独立的，从而21,B B 也是相互独立的，且有P (B 1)＝P (B 2)＝0.6，.4.0)(1)()(121=-==B P B P B P方法1(加法公式)由于A ＝B 1＋B 2，有P (A )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)－P (B 1)P (B 2)＝0.6＋0.6－0.6×0.6＝0.84．方法2(乘法公式) 由于21B B A =，有,16.04.04.0)()()()(2121=⨯===B P B P B B P A P于是 .84.0)(1)(=-=A P A P(2)令n 是以99％的概率击中敌机所需高射炮的门数，由上面讨论可知，99％＝1－0.4n 即 0.4n ＝0.01，亦即.026.53979.024.0lg 01.0lg ≈--==n 因此若有一架敌机入侵，至少需要配置6门高射炮方能以99％的把握击中它．14.设某人从外地赶来参加紧急会议．他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是31110510、、及52，如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为41、⋅12131、试问：(1)他迟到的概率；(2)此人若迟到，试推断他是怎样来的可能性最大？解令A 1＝{乘火车}，A 2＝{乘轮船}，A 3＝{乘汽车}，A 4＝{乘飞机}，B ＝{迟到}．按题意有：,103)(1=A P ,51)(2=A P ,101)(3=A P ,52)(4=A P,41)|(1=A B P ,31)|(2=A B P ,121)|(3=A B P .0)|(4=A B P (1)由全概率公式，有⋅=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=203052121101315141103)|()()(41i i i A B P A P B P (2)由逆概率公式 ),4,3,2,1()|()()|()()|(41==∑=i A B P A P A B P A P B A P jj j i i i得到.0)|(,181)|(,94)|(,21)|(4321====B A P B A P B A P B A P 由上述计算结果可以推断出此人乘火车来的可能性最大．15.三人同时向一架飞机射击，设他们射中的概率分别为0.5，0.6，0.7．又设无人射中，飞机不会坠毁；只有一人击中飞机坠毁的概率为0.2；两人击中飞机坠毁的概率为0.6；三人射中飞机一定坠毁．求三人同时向飞机射击一次飞机坠毁的概率．解设A i ＝{第i 个人射中}(i ＝1，2，3)，有P (A 1)＝0.5， P (A 2)＝0.6， P (A 3)＝0.7．又设B 0＝{三人都射不中}，B 1＝{只有一人射中}，B 2＝{恰有两人射中}，B 3＝{三人同时射中}，C ＝{飞机坠毁}．由题设可知,0)|(0=B C P ,2.0)|(1=B C P ,6.0)|(2=B C P ,1)|(3=B C P并且.06.03.04.05.0)()()()()(3213210=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P同理)()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++＝0.5×0.4×0.3＋0.5×0.6×0.3＋0.5×0.4×0.7＝0.29；P (B 2)＝0.44；P (B 3)＝0.21．利用全概率公式便得到)|()()(30i i i B C P B P C P ∑==＝0.06×0＋0.29×0.2＋0.44×0.6＋0.21×1＝0.532．由上面的讨论可以看出，在使用全概率公式和逆概率公式解题时，“分析题目，正确写出题设，找出(或计算)先验概率和条件概率”是十分重要的．练习：两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率；又：如果任意取出的零件经检查是废品，求它是由第二台机床加工的概率．答案是：0.973；0.25．16.某类电灯泡使用时数在1000 h 以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000 h 以后最多只坏一个的概率．解这是一个n ＝3，p ＝0.8二项概型问题P 3(μ≤1)＝P (μ＝0)＋P (μ＝1)．17.袋中有10个球，其中2个为白色，从中有放回地取出3个，求这3个球中恰有2个白球的概率．解方法1 设A ＝{恰有2个白球}，由古典概型，有310=n , 8232⨯⨯=m ，因此 ⋅⨯⨯=3210823)(A P 方法2 由二项概型，有⋅⨯⨯====321223310823)108()102()2()(C P A P μ18.袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是______．分析设A i ＝{第i 次取到白球}，根据古典概型，我们有⋅==104)(110141C C A P 由于 ,)(212111222A A A A A A A ΩA A +=+==并且,94106)|()()(,93104)|()()(1212112121⨯==⨯==A A P A P A A P A A P A P A A P 因此 ⋅=⨯⨯+⨯=1049104634)(2A P 同理 ⋅=104)(5A P 19.有一批产品，其中正品有n 个，次品有m 个，先从这批产品中任意取出l 个(不知其中的次品数)，然后再从剩下的产品中任取一个恰为正品的概率为( )．方法1 设A k ＝{前l 次中恰有k 个正品}，k ＝q ，q ＋1，…，p ；其中q ＝max(l －m ，0)，p ＝min(n ，l )．又设B ＝{第l ＋1个恰为正品}，有,)(,1nm k l m k n k p q q C C C A P ΩA A A +-+==+++ 而 ,)|(11ln m k n C C A B P l n m k n k -+-==-+- 由全概率公式有⋅+==∑=nm n A B P A P B P k k p q k )|()()( 举例说明：(1)n ＝3，m ＝5，l ＝4，这时k ＝0，1，2，3．⋅=+++=8)4/()0306015()(48C B P⋅=+++=8)4/()5609020()(48C B P 方法2 利用抓阄问题的讨论，直接得到⋅+n m n 方法3 前l ＋1次取到正品的概率减去前l 次取到正品的概率(有条件限制，有时使用起来不一定方便)方法4 (全排列方法)令第l ＋1个位置上为正品，由于有n 个正品，故有n 种方法，于是⋅+=+-+=nm n n m n m n B P )!()!1()( 方法5 将第l ＋1次看成第1次，于是⋅+==+nm n C C B P n m n 11)( 20.袋中有5个球，其中1个是红球，每次取1个球，取出后不放回，前3次取到红球的概率为( )．分析设A ＝{前3次取到红球}，根据古典概型，有⋅==53)(352411C C C A P说明利用这一结论，可以计算第3次取到红球的概率：P {第3次取到红球}＝P {前3次取到红球}－P {前2次取到红球}⋅=-=-=515253251411352411C C C C C C 注意这里实际用到了互斥情况下的加法公式．21.设两两相互独立的三事件A ，B ，C ，满足：ABC ＝∅，P (A )＝P (B )＝P (C )＜21,并且169)(=++C B A P ，求事件A 的概率．分析设P (A )＝p ．由于ABC ＝∅，有P (ABC )＝0，根据三个事件两两独立．．．．情况下的加法公式，有P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (A )P (B )－P (B )P (C )－P (A )P (C )＋P (ABC )，即 ,1690332=+-p p 亦即 ,01632=+-p p 解得 41=p 或43(由题意舍去)．于是 ⋅=41)(A P 说明 (1)三个事件两两独立，不能推出三个事件相互独立．(2)由ABC ＝⇒∅P (ABC )＝0，反之不真．22.设P (A )＞0，P (B )＞0，证明(1)若A 与B 相互独立，则A 与B 不互斥．(2)若A 与B 互斥，则A 与B 不独立．分析 (1)由于事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，因此P (AB )＝P (A )P (B )＞0．可见，AB ≠∅，即事件A 与B 不互斥(相容)．(2)由于事件A 与B 互斥，即AB ＝∅，因此P (AB )＝0，而P (A )＞0，P (B )＞0，故P (AB )≠P (A )P (B )，即事件A 与B 不可能相互独立．说明 (1)事件之间相互独立，并不意味着它们互斥，反之亦然．(2)在P (A )＞0，P (B )＞0的条件下，两个事件独立与否，是在它们相容情况下讨论的．(3)事件的“互斥”与“相互独立”是没有关系的两个“关系”．23.设A ，B 是两个随机事件，且0＜P (A )＜1，P (B )＞0，)|()|(A B P A B P =，则P (AB )＝P (A )P (B )．分析由公式()()()(|),(|),()()1()P AB P AB P AB P B A P B A P A P A P A ===- 由题设 ),|()|(A B P A B P =即,)(1)()()(A P B A P A P AB P -= 于是，有 ()()(()())()()()(),P AB P A P AB P AB P A P AB AB P A P B =+=+=即A 、B 相互独立．说明 (1) )|()|(A B P A B P =是A ，B 独立的一个充要条件．(2)若此题换成下述选择题：设……，则______ (A)).|()|(B A P B A P = (B)(|)(|).P A B P A B =/(C)P (AB )＝P (A )P (B )． (D )P (AB )≠P (A )P (B )．时，能否认为(A )与(B )，或(C )与(D )之中必有一个成立．24.设两个随机事件A ，B 相互独立，已知仅有A 发生的概率为41，仅有B 发生的概率为41，则 P (A )＝______，P (B )＝______．分析方法1 因为P (A )＞0，P (B )＞0，且A 与B 相互独立，所以AB ≠∅(想一想为什么)．一方面P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )； (1－6)另一方面).()(21)()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A P +=++=+ (1－7) 由于)()(B A P B A P =，有 ),()()()(B P AB B A P AB B A P A P =+=+=于是由式(1－6)，式(1－7)有,))((21))(()(222A P A P A P +=- 即 ⋅===-21)(,21)(,41))(()(2B P A P A P A P 方法2 因为A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立．由于)()(B A P B A P =，有P (A )＝P (B )，于是,41))(1)(())(1)(()()()(=-=-==A P A P B P A P B P A P B A P 因此 ⋅==21)()(B P A P 问题比较上述两种方法，哪个更简单一些，还有没有其他方法？25.设随机事件A 与B 的和事件的概率为0.6，且积事件B A ⋅的概率为0.3，则事件A 的概率P (A )＝( )．分析因为B A B A +=⋅，所以.4.06.01)(1)()(=-=+-=+=⋅B A P B A P B A P又因为,)(B A B A B B A ΩA A +=+==故 .7.04.03.0)()(=+=+=B A B A P A P26.甲、乙两封信随机地投入标号是1，2，3，4，5的五个信筒内，则第3号信筒恰好只投入一封信的概率为( )．分析这是一个古典概型问题，有1422,5C m n ⨯==，因此P (A )＝0.32．问题 (1)如何将信投入信箱转化为在信封上写号问题？ (2)本题是否可用(有放回)摸球问题来解决？27.袋中有10个球，其中有4个白球、6个红球．从中任取3个，求这3个球中至少有1个是白球的概率．分析这一个古典概型问题，样本空间中样本点的总数为⋅=310C n方法1 设A ＝{至少有1个白球}，有⋅=++=65)(310063416242614C C C C C C C A P 方法2 设B ＝{取出的全是红球}，有⋅-=-=3104361)(1)(C CC B P A P方法3 先从4个白球中任取一个，然后再从剩下的9个球(有红球又有白球)中任取2个，因此⋅=3102914)(C CC A P问题上述三种方法都对吗，为什么？28.一批产品共100件，对产品进行不放回地抽样检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的5件产品中至少有一件是废品．如果在该批产品中有5件是废品，求该批产品被拒绝接收的概率．解设A i ＝{被检查的第i 件产品是废品}，i ＝1，2，3，4，5；B ＝{该批产品被拒绝接收}．方法1 由于,54321A A A A A B ++++=于是1234512345()1()1()P B P A A A A A P A A A A A =-++++=-1213124123512341()(|)(|)(|)(|),P A P A A P A A A P A A A A P A A A A A =-而 ,9893)|(,9994)|(,10095)(213121===A A A P A A P A P ⋅==9691)|(,9792)|(432153214A A A A A P A A A A P因此 .23.09691979298939994100951)(=⨯⨯⨯⨯-=B P方法2 .23.01)(1)(5100595=-=-=C C B P B P29.由以往记录的数据分析，某船只在不同情况下运输某种物品，损坏2％，10％，90％的概率分别为0.8，0.15和0.05．现在从中随机地取三件，发现这三件全是好的，试分析这批物品的损坏率为多少？分析设B ＝{三件都是好的}，A 1＝{损坏率为2％}， A 2＝{损坏率为10％}，A 3＝{损坏率为90％}，则A 1，A 2，A 3两两互斥，且A 1∪A 2∪A 3＝Ω．已知P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.15，P (A 3)＝0.05，且3198.0)|(=A B P ， 3290.0)|(=A B P ， 3310.0)|(=A B P ．由全概率公式可知)()|()(31i i i A P A B P B P ∑==05.01.015.090.08.098.0333⨯+⨯+⨯= 8624.0≈．由贝叶斯公式，这批物品的损坏率为2％，10％，90％的概率分别是,8731.08624.08.098.0)()()|()|(3111≈⨯==B P A P A B P B A P,1268.08624.015.090.0)()()|()|(3222≈⨯==B P A P A B P B A P.0001.08624.005.01.0)()()|()|(3333≈⨯==B P A P A B P B A P由于P (A 1|B )比P (A 2|B )，P (A 3|B )大得多，因此可以认为这批货物的损坏率为2％．30.掷两枚匀称的骰子，X ＝{点数之和}，求X 的分布．答案是：⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡36/136/236/11232~ X 31.设⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=,0,0,0,11)(2x x x x f f (x )是否为分布密度函数？如何改造？解由于,2πd )(=⎰+∞∞-x x f 所以f (x )不是分布密度函数．令⎪⎩⎪⎨⎧≤>+⋅==.0,0,0,11π2)(π2)(2x x x x f x p则p (x )是分布密度函数．32.设随机变量X 的分布密度函数为⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,)(其他x Cx x p求(Ⅰ)常数C ；(Ⅱ)P (0.3≤X ≤0.7)；(Ⅲ)P (－0.5≤X ＜0.5)．解 (Ⅰ)由p (x )的性质，有,21|2d d )(110210C x C x Cx x x p =⋅===⎰⎰∞+∞-所以C ＝2．(Ⅱ).4.0|d 2)7.03.0(7.03.027.03.0===≤≤⎰x x x X P(Ⅲ).25.0|d 2d 0)5.05.0(5.0025.0005.0==+=≤≤-⎰⎰-x x x x X P问题若连续型随机变量X 的分布密度函数p (x )为不可求积函数，如何计算P (X ∈D )呢？33.从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取3个，求抽得的次品数X 的分布列和分布函数，并求⋅≤<)2521(X P 解先求X 的分布列，X 的所有可能取值为0，1，2，由古典概型的概率计算公式知3122113213213323151********(0),(1),(2)353535C C C C C P X P X P X C C C =========⋅ 故X 的分布列为四个区间．当x ＜0时，F (x )＝P (X ≤x )＝0．当10<≤x 时，⋅===3522)0()(X P x F 当12x ≤<时，⋅==+==3534)1()0()(X P X P x F 当x ≥2时，F (x )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝1．综上有X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.2,1,21,3534,10,3522,0,0)(x x x x x F由分布函数可求出⋅=-=-=≤<351335221)21()25()2521(F F X P 34.设连续型随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-,0,0,0,e )(22x x B A x F x求系数A 和B ．解由lim ()1n F x →+∞=，知A ＝1．再由F (x )在x ＝0处的连续性可知,)e(lim )(lim 02200B A B A x F x x x +=+==-+→→故 B ＝－A ＝－1．35.设连续型随机变量X 的分布函数为()1xAF x e-=+， +∞<<∞-x ，求(Ⅰ)常数A ． (Ⅱ)X 的分布密度函数p (x )． (Ⅲ)P {X ≤0}．答案是：(Ⅰ)A ＝1．(Ⅱ)2)e 1(e )(x xx p --+= +∞<<∞-x ． (Ⅲ)⋅==<21)0()0(F X P 问题 (1)离散型随机变量的概率分布与分布函数之间有什么关系？(2)连续型随机变量的概率分布密度与分布函数之间有什么关系？ (3)如何利用分布函数计算P (X ∈D )？其中D ＝(a ，b ]． (4)如何确定分布函数中的待定常数？36.设X 服从指数分布，则Y ＝min{X ，2}的分布函数( )．(A)连续． (B)至少有两个间断点． (C)阶梯函数． (D)恰有一个间断点．答案是：D ．分析方法1 由题设可知X ～E (λ)，有⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(x x x p x λλ 令X 1＝X ，X 2＝2，则⎩⎨⎧≥<=⎩⎨⎧>-≤=-.2,1,2,0)(;0,e 1,0,0)(21x x x F x x x F xλ于是，Y ＝min{X ，2}＝min{X 1，X 2}的分布函数为))(1))((1(1)(21y F y F y F ---=○一⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=-.2,1,20,e 1,0,0y y y y λ 可见它只有一个间断点y ＝2．方法2 从图2－1中，容易看出它只有一个间断点y ＝2．图2－137.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5．在袋中同时取3只球，用X 表示取出的3只球中的最小号码数，求X 的分布函数．解 X 的可能取值为3，2，1．,106/)1(,103/)2(,101/)3(352435233522=========C C X P C C X P C C X P 即X 的分布阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101103106321, 从而X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.3,1,32,109,21,106,1,0)(x x x x x F38.设X ～U (a ，b )，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0,,1)(其他b x a a b x p则⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.,1,,,,0)(b x b x a a b a x a x x F 其图形是一条连续的曲线，见图2－3．图2－339.设X ～N (0，1)，求P (X ＜2.35)，P (X ＜－1.25)以及P (|X |＜1.55)．解 P (X ＜2.35)＝Ф(2.35)查表0.9906．P (X ＜－1.25)＝Ф(－1.25)＝1－Ф(1.25)＝1－0.8944＝0.1056．P (|X |＜1.55)＝P (－1.55＜X ＜1.55)＝Ф(1.55)－Ф(－1.55)＝2Ф(1.55)－1＝2×0.9394－1＝0.8788．40.设X ～N (1，22)，求P (0＜X ≤5)．解这里μ＝1，σ＝2，β＝5，α＝0，有.5.0,2--=-σμασμβ 于是P (0＜X ≤5)＝Ф(2)－Ф(－0.5)＝Ф(2)－[1－Ф(0.5)]＝Ф(2)＋Ф(0.5)－1＝0.9772＋0.6915－1＝0.6687．41.若X ～N (μ，σ2)，求(Ⅰ)P {μ－σ＜X ＜μ＋σ}； (Ⅱ)P {μ－2σ＜X ＜μ＋2σ}； (Ⅲ)P {μ－3σ＜X ＜μ＋3σ}．解 (Ⅰ)由于X ～N (μ，σ2)，故)()(}{σμσμσμσμσμσμ----+=+<<-ΦΦX P ＝Ф(1)－Ф(－1)＝2Ф(1)－1＝0.6826≈0.68．同理有：(Ⅱ) P {μ－2σ＜X ＜μ＋2σ}＝2Ф(2)－1＝0.9545≈0.95． (Ⅲ) P {μ－3σ＜X ＜μ＋3σ}＝2Ф(3)－1＝0.9973≈0.99．42.设X ～N (2，32)，求：(Ⅰ)P {－1≤X ≤8}；(Ⅱ)P {X ≥－4}；(Ⅲ)P {X ≤11}．解由于X ～N (2，32)，即μ＝2，σ＝3，因此 (Ⅰ)P {－1≤X ≤8}＝P {2－3≤X ≤2＋2×3}＝P {2－3≤X ＜2}＋P {2≤X ≤2＋2×3}}322322{21}3232{21⨯+<≤⨯-++<≤-=X P X P.815.0295.0268.0=+≈(Ⅱ)P {X ≥－4}＝P {－4≤X ＜＋∞}＝P {2－2×3≤X ≤2}＋P {X ≥2}.975.021295.0=+≈(Ⅲ)P {X ≤11}＝P {－∞＜X ≤11}＝P {－∞＜X ≤2}＋P {2≤X ≤2＋3×3}.995.0299.021=+≈43.设X ～N (3，σ2)，并且P (3≤X ≤7)＝0.4，求P (X ≤－1)．答案是：0.1．分析(略)44.设某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数μ＝10.05，σ＝0.06的正态分布，规定长度在范围(10.05±0.12)cm 内为合格品，求螺栓的次品率．答案是：0．0455(或0．05)．分析(略)．求Y ＝X ＋1的概率分布．解由y i ＝2i x ＋1(i ＝1，2，…，5)及X 的分布，得到把f (x i )＝2i x ＋1相同的值合并起来，并把相应的概率相加，便得到Y 的分布，即,21)2()2()5(==+-===X P X P Y P ,103)1()1()2(==+-===X P X P Y P ⋅====51)0()1(X P Y P 所以46.设X ～U (0，1)，并且Y ＝X ，求Y 的分布密度p 2(y )．解 X 的分布密度函数为⎩⎨⎧∈=.,0],1,0[,1)(1其他x x p 对于函数y ＝x 2，当x ∈[0，1]时，α＝min{x 2}＝0，β＝max{x 2}＝1，于是⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=.1,1,10*,,0,0)(y y y y F 当0＜y ＜1时)()()()(2y X P y X P y Y P y F ≤=≤=≤=.d 1d 0d )(01y x x x x p yy=+==⎰⎰⎰∞-∞-由 ,21)()()(2yy y F y p ='='=故随机变量Y 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,10,21)(2其他y yy p47.设随机变量)2π,2π(~-U X ，求随机变量Y ＝sin X 的分布密度p 2(y )．解 X 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧-∈=.0,],2π,2π[,π1)(1其他x x p因为y ＝sin x 在)2π,2π(-内单调增加，所以存在反函数x ＝arc sin y ，其导数为 ⋅-='211yx y利用公式求出Y 的分布密度函数，首先计算,1}{sin min 2π2π-==≤≤-x x α ππ22max {sin }1,x x β-≤≤== 于是⎪⎩⎪⎨⎧<<-'⋅=-.,0,11|,|))(()(112其他y x y f p y p y⎪⎩⎪⎨⎧<<--=.,0,11,11.π12其他y y 48.X ～U (0，π)，Y ＝sin X ，求p 2(y )．解 X 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0],π,0[,π1)(1其他x x p0π0πmin{sin }0,max{sin } 1.x x x x αβ≤≤≤≤====当0＜y ＜1时，F (y )＝P (Y ≤y )＝P (sin X ≤y )＝P (0≤X ≤arc sin y )＋P (π－arc sin y ≤X ≤π),sin arc π2y =所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,,11,0,sin arc π20,,0)(y y y y y F 即⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,10,1π2)(22其他y yy p 49.(1).,,2,1,}{N k NAk X P ⋅⋅⋅=== (2) ,!}{k B k X P kλ⋅==k ＝0，1，2，…，λ＞0且λ为常数，试确定常数A 和B ．解 (1)由分布律的性质可知,)(111A N NAN A k X P Nk N k =⋅====∑∑== 因此，A ＝1．于是，X 的分布律为).,,2,1(1)(N k Nk X P === 称这样的分布为离散型的均匀分布．(2)由分布律的性质，有,e !!10λλλ⋅===∑∑∞=∞=B k B k Bkk kk解得B ＝e －λ．于是.e !)(λλ-==k k X P k这表明X 服从参数为λ的泊松分布．50.设平面区域D 是由x ＝1，y ＝0，y ＝x 所围成(如图2－5)，今向D 内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在由曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的区域D 1内的概率．图2－5分析分两步进行．第一步：先计算任投一点落入D 1的概率．根据几何概型，有11()123()1()32L A P A L Ω-===⋅第二步：设X ＝{落入D 1内的点数}，有),31,10(~B X 于是P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1).)32)(31()32(1911010C --=51.设随机变量X 具有连续的分布函数F 1(x )，求Y ＝F 1(X )的分布函数F 2(y )．(或证明题：设X 的分布函数F 1(x )是连续函数，证明随机变量Y ＝F 1(X )在区间(0，1)上服从均匀分布．)分析由于F 1(x )为X 的连续分布函数，可知α＝min{F 1(x )}＝F 1(－∞)＝0， β＝max{F 1(x )}＝F 1(＋∞)＝1．因为F 1(x )是单调递增函数，所以11-F (y )存在(单调函数必有单值反函数存在)，因而有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=≤.1,1,10*,,0,0)()(def2y y y y Y P y F 当0≤y ＜1时，*＝F 2(y )＝P (F 1(X )≤y )＝P (X ≤11-F (y )) ＝F 1(11-F (y ))＝y ．代入F 2(y )表达式有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2y y y y y F 因此，Y 的分布密度函数为⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,1)(2其他y y p即 ).1,0(~U Y52．设X ～E (2)，证明Y ＝1－e －2X～U (0，1)分析由于X ～E (2)，因此⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 2)(21x x x p x 当x ＝0时，y ＝0＝α；当x →＋∞时，y →1＝β：因为y ＝1－e －2x单调增加，所以其反函数为)1ln(21y x --=，有 .e 21112111212x yy y x =-=---='方法1(公式法)⎩⎨⎧≤≤'=--.,0,10|,))((|))(()(1112其他y y f y f p y p⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⋅=-.,0,10,e 21e 222其他y xx ⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,1其他y 即Y ～U (0，1)．方法2(定义法) 由分布函数的定义⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.1,1,10*,,0,0)(2y y y y F 当0≤y ≤1时，有))1ln(21()e 1()()(22y X P y P y Y P y F X --≤=≤-=≤=-12(ln(1))211(ln(1))1e 2---=--=-y F y,)1(1y y =--=因此⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=,1,1,10,,0,0)(y y y y y F即Y ～U (0，1)．53.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=,,0],8,1[,31)(32其他x x x fF (x )是X 的分布函数．求随机变量Y ＝F (X )的分布函数．解易见，当x ＜1时，F (x )＝0；当x ＞8时，F (x )＝1．对于x ∈[1，8]，有.1d 31)(1332-==⎰xx t t x F设G (y )是随机变量Y ＝F (X )的分布函数．显然，当y ≤0时，G (y )＝0；当y ≥1时，G (y )＝1．对于y ∈(0，1)，有}1{})({}{)(3y X P y X F P y Y P y G ≤-=≤=≤=,])1[(})1({33y y F y X P =+=+≤=于是，Y ＝F (X )的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=.1,1,10,,0,0)(y y y y y G即Y ～U (0，1)．54.设随机变量X ～U (0，5)，求方程4x 2＋4Xx ＋X ＋2＝0有实根的概率．分析因为X 在(0，5)上服从均匀分布，故X 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,50,51)(其他x x p方程4x 2＋4Xx ＋X ＋2＝0有实根的条件是∆＝16X 2－16(X ＋2)≥0，即 (X ＋1)(X －2)≥0．解得X ≤－1或X ≥2．舍去X ≤－1，最后得2≤X ≤5．因此，所求概率为⋅==≤≤⎰53d 51)52(52x X P 问题本题可否使用其他方法？55. 设随机变量X 的绝对值不大于1，即|X |≤1，且===-=)1(,81)1(X P X P41，在事件{－1＜X ＜1}出现的条件下，X 在(－1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比．试求X 的分布函数F (x )及P (X ＜0)(即X 取负值的概率)．分析 (1)由题设，我们有x ＜－1时，F (x )＝0；x ≥1时，F (x )＝1．以下考虑－1＜x ＜1时的情形．由于1＝P (|X |≤1)＝P (X ＝－1)＋P (－1＜X ＜1)＋P (X ＝1)，故 ⋅=--=<<-8541811)11(X P 另据条件，有),1(21)11|1(+=<<-≤<-x X x X P 于是，对于－1＜x ＜1，有(－1，x ]⊂(－1，1)，因此P (－1＜X ≤x )＝P (－1＜X ≤x ，－1＜X ＜1)＝P (－1＜X ＜1)P (－1＜X ≤x |－1＜X ＜1)),1(165)1(2185+=+⨯=x x ⋅+=≤<-+-≤=1675)1()1()(x x X P X P x F综上，有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=.1,1,11,16/)75(,1,0)(x x x x x F (2)P (X ＜0)＝P (X ≤0)－P (X ＝0)＝F (0)＝7/16．56.射击用的靶子是一个半径为R 的圆盘，已知每次射击都能击中靶子，并且击中靶子上任一以靶心为圆心的圆盘的概率与该盘的面积成正比．设随机变量X 表示击中点与靶心的距离，求X 的分布密度函数．分析根据分布函数的定义及几何概型，由图2－6有图2－6),0(ππ)()(2222R x R x R x x X P x F ≤≤==≤=于是 22()(),xp x F x R='=因此⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,0,2)(2其他R x R xx p 说明 (1)注意其分布函数应为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=.,1,0,,0,0)(22R x R x R x x x F 57.点随机地落在中心在原点，半径为R 的圆周上，并且对弧长是均匀地分布，求(1)落点的横坐标的概率分布密度函数p 1(x )．(2)落点与点(－R ，0)的弦长的概率分布密度函数p 2(y )． (提示：落点的极角θ均匀地分布在(0，2π)上)分析设落点的极角为Θ，落点P 的横坐标为X ，落点与(－R ，0)点的弦长为Y ，则由题设可知Θ～U (0，2π)，即()1,02π,2π0,.p θθΘ⎧≤<⎪=⎨⎪⎩其他由图2－7不难看出⋅==2cos2,cos ΘR Y ΘR X图2－7(1)定义法试求点P 的横坐标X ＝R cos Θ的密度函数．因为x ＝R cos θ(0≤θ＜2π)不是单调函数，由图2－8得到，使R cos θ≤x 成立的θ应满足⋅-≤≤Rx R x cos arc π2cosarc θ图2－8于是，对－R ≤x ≤R ，有θθθd )()cos ()()(cos ΘxR X p x ΘR P x X P x F ⎰≤=≤=≤=⋅-==⎰-Rx Rx Rx os arcc π11d 2π1arccosπ2arccosθ 对x ＜－R ，有.0)()cos ()()(=∅=≤=≤=P x ΘR P x X P x F X对x ＞R ，有,1)()cos ()()(==≤=≤=ΩP x ΘR P x X P x F X即⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤=.,1,,cos arc π11,,0)(R x R x R R xR x x F X 所以X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<--='=.,0,,π1)()(22其他R x R x R x F x p X X(2)公式法设θ∈(－π，π)．由,2cos 2θR y =有当0≤θ≤π时，单调递减，⋅--='=2242,2cosarc 2y R R y y θθ 当－π≤θ≤0时，单调递增，2arccos,2y y R θθ=-=' 可见p Y (y )＝P θ(f －1(y ))|y y f'-))((1|⋅-=--+-=22222241π2|42|2π1422π1yR y R y R 因此⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=.,0,20,4π2)(22其他R y y R y p Y58.设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=.,0],6,3[,92],1,0[,31)(其他x x x p若使得32)(=≥k X P ，则k 的取值范围是________．分析由图2－9可知图2－9,32)36(92)63(=-⨯=≤≤X P 因此k ∈[1，3]时，⋅=≤≤=≥32)63()(X P k X P 59.设随机变量X 的分布函数为F (x )，则Y ＝－2ln F (X )的概率分布密度函数P Y (y )＝______．分析用定义法求出Y 的分布，首先求出Y 的分布函数．当y ＞0时，有F (y )＝P (Y ≤y )＝P (－2ln F (X )≤y ))e )((2y X F P -≥= ))e ((21y F X P --≥= ))e ((121y F F ---=.e 12y--=当y ≤0时，F (y )＝0．因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-.0,0,0,e 1)(2y y y F y 再求出Y 的分布密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-.0,0,0,e 21)()(2y y y F y p yY60.设)2π,2π(~-U X ，并且y ＝tan x ，求Y 的分布密度函数p (y )．分析由)2π,2π(~-U X ，有⎪⎩⎪⎨⎧-∈=.,0],2π,2π[,π1)(1其他x x p 下面利用公式法求出Y ＝tan X 的分布，为此先求出：α＝－∞，β＝＋∞．,tan arc )(1y y f x ==-⋅+='='-2111))((yy f x y y 于是有121()(())|(1'())|y p y p f y f y --=⋅').(11.π12+∞<<-∞+=y y61.设二维随机向量(X ，Y )共有6个取正概率的点，它们是：(1，－1)，(2，－1)，(2，0)(2，2)，(3，1)，(3，2)，并且(X ，Y )取得它们的概率相同，则(X ，Y )的联合分布及边缘分布为62.设(X ，Y )的联合分布密度为⎩⎨⎧≥≥=+-.,0,0,0,e ),()43(其他y x C y x p y x试求：(1)常数C . (2)P {0＜X ＜1，0＜Y ＜2}． (3)X 与Y 的边缘分布密度p 1(x )，p 2(y )．解 (1)由p (x ，y )的性质，有y x C y x y x p y x d d e d d ),(1)43(0+-+∞+∞+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰==3401e d e d ,12x y C x y C +∞+∞--=⋅⋅=⎰⎰ 即C ＝12．(2)令D ＝{(x ，y )|0＜x ＜1，0＜y ＜2}，有y x y x p D Y X P Y X P Dd d ),(}),{(}20,10{⎰⎰=∈=<<<<).e 1)(e 1(d e d e 12d d e 128342310)43(----+---===⎰⎰⎰⎰y x y x y x y x D(3)先求X 的边缘分布：①当x ＜0时，p (x ，y )＝0，于是10()(,)d 0.p x p x y y +∞==⎰②当x ≥0时，只有y ≥0时，p (x ，y )＝12e－(3x ＋4y )，于是⎰+∞∞--+-==.e 3d e 12)(3)43(1x y x y x p因此⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,e 3)(31x x x p x 同理⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,e 4)(42y y y p y 63.设二维连续型随机变量(X ，Y )在区域D 上服从均匀分布，其中D ＝{(x ，y ):|x ＋y |≤1，|x －y |≤1}，求X 的边缘密度p X (x )．解区域D 实际上是以(－1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，－1)为顶点的正方形区域(见图3－9)，其边长为2，面积S D ＝2，因此(X ，Y )的联合密度是图3－9⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(D y x D y x y x p 11111d ,10,21()(,)d d ,01,20,.x x x X x y x p x p x y y y x +--+∞--∞-⎧-≤≤⎪⎪⎪==<≤⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他即 1,10,()1,01,0,.X x x p x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他 64.设二维随机向量(X ，Y )的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=----.,0,0,0,333),(其他y x C y x F y x y x求(1)常数C ；(2)分布密度p (x ，y )．解 (1)由性质F (＋∞，＋∞)＝1，得到C ＝1．(2)由公式：yx Fy x p ∂∂∂=2),(有3ln 33ln 3,x x y Fx--∂=-∂ .)3(ln 3)3ln 33ln 3(22y x y x x yyx F -----=-∂∂=∂∂∂故 ⎩⎨⎧≥≥=--.,0,0,0,)3(ln 3),(2其他y x y x p y x65.设D 2是x ＝0，y ＝0，y ＝2x ＋1围成的区域，ξ＝(X ，Y )在D 2上均匀分布，求F (x ，y )．答案是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅∈∈-∈+∈-+∈=54232221),(,1,),(,2,),(,)12(,),(,)12(2,),(,0),(D y x D y x y y D y x x D y x y x y D y x y x F 其中区域D 1，D 2，D 3，D 4，D 5如图3－10所示．图3－1066.求 (1)X 与Y 的边缘分布．(2)X 关于Y 取值y 1＝0.4的条件分布． (3)Y 关于X 取值x 2＝5的条件分布．解(1)由公式),3,2,1()(====∑⋅i p x X p p ijji i),2,1()(====⋅j p y Y p p ijij j(2)计算下面各条件概率：,8380.030.0)(),()|(,16380.015.0)(),()|(1121211111======y p y x p y x p y p y x p y x p⋅===16780.035.0)(),()|(11313y p y x p y x p因此，X 关于Y(3)同样方法求出Y 关于X 取值x ＝5的条件分布为67.设二维随机向量(X ，Y )的联合分布密度为.e π1),()52(2122y xy x y x p ++-=求(1)X 与Y 的边缘分布密度； (2)条件分布密度．解 (1)由公式y y y x p x p y xy x d e π1d ),()()52(21122++-∞+∞-∞+∞-⎰⎰==)10125(d e 52e e π1222)10125(102x y x y x x +=⎰∞+∞-+-- ,e 5π2πe 52π1224.04.0x x --=⋅=这里应用了.πd e2=-+∞∞-⎰u u 同理，可求得Y 的边缘分布密度为.e π2)(222y y p -=(2)在给定Y ＝y 的条件下，X 的条件分布密度为,e 2π1)(),()|(2)(5.02y x y p y x p y x p +-==而在给定X ＝x 的条件下，Y 的条件分布密度为.e 2π5)(),()|(2)5(1.01y x x p y x p x y p +-==69.设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机向量(X ，Y )联合分布律及关于X和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入下表中的空白处．分析应注意到X 与Y 相互独立．解由于P (X ＝x 1，Y ＝y 1)＝P (Y ＝y 1)－P (X ＝x 2，Y ＝y 1),2418161=-=考虑到X 与Y 相互独立，有P (X ＝x 1)P (Y ＝y 1)＝P (X ＝x 1，Y ＝y 1)，⋅===4161241}{1x X P所以同理，可以导出其他数值．故XY 的联合分布律为70.设随机变量X 以概率1取值0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立．证 X 的分布函数为⎩⎨⎧≥<=.0,1,0,0)(1时当时当x x x F 设Y 的分布函数为F 2(y )，(X ，Y )的分布函数为F (x ，y )，则当x ＜0时，对任意的y 有F (x ，y )＝P {X ≤x ，Y ≤y }＝P ({X ≤x }∩{Y ≤y })＝P (∅∩{Y ≤y })＝P (∅)＝0＝F 1(x )F 2(y )．当x ≥0时，对任意的y 有F (x ，y )＝P ({X ≤x }∩{Y ≤y })＝P {Y ≤y }＝F 2(y )＝F 1(x )F 2(y )．因此，对任意的x ，y 均有F (x ，y )＝F 1(x )F 2(y )，即X 与Y 相互独立．71.设(X ，Y )的联合分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=.,0,1||,1||,41),(其他y x xy y x p试证明：(1)X 与Y 是相依的． (2)X 2与Y 2是相互独立的．证 (1)先求X 的边缘分布密度．当|x |＜1时，有⋅=+==⎰⎰-+∞∞-21d 41d ),()(111y xy y y x p x p当|x |≥1时，p 1(x )＝0，因此⎪⎩⎪⎨⎧<=.,0,1||,21)(1其他x x p 同理⎪⎩⎪⎨⎧<=.,0,1||,21)(2其他y y p 可见，当|x |＜1，|y |＜1时p (x ，y )≠p 1(x )·p 2(y )，所以X 与Y 不独立，即是相依的．(2)令ξ＝X 2，η＝Y 2，其分布函数分别为F 1(x )和F 2(y )，于是当0≤x ＜1时，有)()()(21x X x P x X P x F ≤≤-=≤=⎰-==x x x x ,d 21因此⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(1x x x x x F同理可求得Y 2的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2y y y y y F如图3－11所示，将Oxy 平面分成5块区域来讨论，并将(ξ，η)的分布函数记为F 3(x ，y )，则图3－11①当x ＜0或y ＜0时，F 3(x ，y )＝0． ②当0≤x ＜1，y ≥1时，.)(),(),(2223x x X P y Y x X P y x F =≤=≤≤=③当0≤y ＜1，x ≥1时，同理.),(3y y x F =④当0≤x ＜1，0≤y ＜1时， F 3(x ，y )＝P (X 2≤x ，Y 2≤y )),(y Y y x X x P ≤≤-≤≤-=1d 4sxs t +==⑤当x ≥1，y ≥1时，.1d d 41),(),(1111223=+=≤≤=⎰⎰--y x xyy Y x X P y x F综合起来得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤<≤≥<≤≥<≤<<=.1,1,1,10,10,,1,10,,1,10,,00,0),(3y x y x xy x y y y x x y x y x F 或不难验证，对于所有x ，y 都有F 3(x ，y )＝F 1(x )·F 2(y )，所以ξ与η相互独立，即X 2与Y 2相互独立．72. 设(X ，Y )的联合分布为求(Ⅰ)Z 1＝X ＋Y ；23解 (Ⅰ)Z 1＝X ＋Y 的正概率点为0，1，2，3．因为。

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

A）与 a 无关，随的增大而增大 B）与 a 无关，随的增大而减小 C）与无关，随 a 的增大而增大 D）与无关，随 a 的增大而减小
11． X1 , X 2 独立,且分布率为
(i 1, 2) ,那么下列结论正确的是
A） X 1 X 2
Ｂ） P{X1 X 2} 1
C）
P{X 1
17.设 X 的概率密度为 f (x) 1 ex2 ，则 D( X ) ＝
18.设随机变量 X1，X2，X3 相互独立，其中 X1 在[0，6]上服从均匀分布，X2 服从正态分布 N
（0，22），X3 服从参数为 =3 的泊松分布，记 Y=X1－2X2+3X3，则 D（Y）=
19.设 D( X ) 25, D Y 36, xy 0.4 ，则 D( X Y )
D) t X S4 / n
25．设 X1,X2,…Xn，Xn+1, …,Xn+m 是来自正态总体 N (0, 2 ) 的容量为 n+m 的样本，则统计量
n
m i2
V
i 1 nm
服从的分布是
n
2 i
i n 1
A) F (m, n)
B) F (n 1, m 1)
C) F (n, m) D) F (m 1, n 1)
A） 50
B）7．
设 X1, X 2 , X 3 相互独立同服从参数
3 的泊松分布，令Y
1 3
(
X1
X
2
X
3
)
，则
E(Y 2 )
A）1.
B）9.
C）10.
D）6.
18．对于任意两个随机变量 X 和 Y ，若 E( XY ) E( X ) E(Y ) ，则

2021年大二概率论与数理统计必考题及答案(精品)

2021年大二概率论与数理统计必考题及答案（精品）一、单选题1、以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销” （C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

【答案】D2、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是____ _(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验(C) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D3、掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为 A ） 50 B ） 100 C ）120 D ） 150 【答案】B4、在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有（A ）样本值与样本容量（B ）显著性水平α （C ）检验统计量（D ）A,B,C 同时成立【答案】D 5、若X ～211(,)μσ，Y ～222(,)μσ那么),(Y X 的联合分布为A ）二维正态，且0=ρB ）二维正态，且ρ不定C ）未必是二维正态D ）以上都不对【答案】C6、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（） (A)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (B)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 (C)在H 00成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率im 211.()im r e ij i i j S y y ===-∑∑2.1()rA i i i S m y y ==-∑(D)在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率【答案】C7、对于事件A ，B ，下列命题正确的是（A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。

（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。

（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第三章随机向量1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有（1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1）离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续时，；，； (3) 二维时， (4)；（5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）；（3）；（4）独立时， 3．协方差（1）；；；（2）（3）；（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布，或，或或，（2）设是次独立重复试验中发生的次数，，则对任意，或理解为若，则第六章样本及抽样分布 1．总体、样本（1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2）样本数字特征：样本均值（，）；样本方差）样本标准样本阶原点矩，样本阶中心矩 2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）分布，其中标准正态分布，若且独立，则；（2）分布，其中且独立；（3）分布，其中性质 4．正态总体的抽样分布（1）；（2 ；（3 且与独立；（4）；，（5）（6）第七章参数估计 1．矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计 2．极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min或max） 3．估计量的评选原则，则为无偏；(2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效； (1)无偏性：若《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则生的概率为 2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间密度为4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，_________，5．设总体的概率密度为是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为解：1．即所以 .2．由知即解得，故 . 3．设的分布函数为的分布函数为，密度为则因为，所以，即故另解在上函数严格单调，反函数为所以4．，故 .5．似然函数为解似然方程得的极大似然估计为二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若，则与也独立. （B）若，则（C）若，则与也独立. 与也独立（D）若，则与也独立.（） 2．设随机变量的分布函数为，则的值为（A）.（B）（C）. （D）. （）3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是（A）与独立. （B）（C）. （D）. （） 4．设离散型随机变量和的联合概率分布为若独立，则的值为（A）. （A）. . （）（C）（D） 5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中正确的是（A）X1是的无偏估计量. （B）X1是的极大似然估计量. （C）X1是的相合（一致）估计量. （D）X1不是的估计量.（）解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）事实上由图可见A与C不独立2．所以 3．由不相关的等价条件知应选（B）. 4．若独立则有应选（A）. 2 ， 9 故应选（A） 5．，所以X1是的无偏估计，应选（A）. 三、（7分）已知一批产品中90% 0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’ ‘任取一产品确是合格品’ 则（1）（2） .四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：的概率分布为即的分布函数为五、（10分）设二维随机变量在区域匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密（1）的概率密度为（2）利用公式其中当或时时故的概率密度为的分布函数为或利用分布函数法六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离1）；（2）. 七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16 样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95 区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）. （附注）解：（1）的置信度为下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）的拒绝域为，因为，所以接受《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1）设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容，，，则事件、、中仅发生或仅概率为（2）甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为（3）设随机变量的概率密度为现对察，用表示观察值不大于0.5的次数，则___________. （4）设二维离散型随机变量的分布列为若，则（5）设是总体的样本，是样本方差，若，（注：, , , ）解：（1）因为与不相容，与不相容，所以，故同理 . . （2）设‘四个球是同一颜色的’，‘四个球都是白球’，‘四个球都是黑球’则 . 所求概率为所以（3）其中，，（4）的分布为这是因为，由得，故（5）即，亦即 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设、、为三个事件，且，则有（A）（B）（C）（D）（2）设随机变量的概率密度为且，则在下列各组数中应取（A）（B）（C）.（D）（3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为则有（））（A）（B）（C）（D）（）（4）对任意随机变量，若存在，则等于（A）（B）（C）（D）（）（5）设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的置信度为的置信区间为（B）（C）（）（D）解（1）由知，故（A）应选C. （2）即时故当应选（3）应选（4）应选（5）因为方差已知，所以的置信区间为应选D. 三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。

解：设‘从箱中任取2件都是一等品’ ‘丢失等号’ .则；所求概率为四、（10分）设随机变量的概率密度为求（1）常数；（2）的分布函数；（3）解：（1）∴（2）的分布函数为（3）五、（12分）设的概率密度为求（1）边缘概率密度；（2）；（3）的概率密度（2）（3）时时六、（10分）（1）设，且与独立，求；（2）设且与独立，求.；（2）因相互独立，所以七、（10分）设总体的概率密度为试用来自总体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计解：先求矩估计故的矩估计为再求极大似然估计所以的极大似然估计为《概率论与数理统计》期末试题（4）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1）设,,，则至少发生一个的概率为（2）设服从泊松分布，若，则（3）设随机变量的概率密度函数为今对进行8 独立观测，以表示观测值大于1的观测次数，则（4）的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为（5）设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量16 ，. 在置信度0.95下，的置信区间为得（2）故 .解：（1）（3），其中 . （4）设第件元件的寿命为，则求概率为（5）的置信度下的置信区间为 . 系统的寿命为，所以的置信区间为（）. 二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（）中，每小题3分，共15分）（1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是（A）（B）（C） . . （D）. （）（2）设是随机变量，其分布函数分别为，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 . （B）. （C）. （D）. （）（3）设随机变量的分布函数为，则的分布函数为（A）（A）.（B） . （D）. （）（4）设随机变量的概率分布为 . 且满足，则的相关系数为（C） . （C）. （D）. （）相互独立，根据切比（5）设随机变量雪夫不等式有（A）0. （B . （C）. （D）. （）解：（1）（A）：成立，（B）：应选（B）（A）. （B）（2）. 应选（C）（3）应选（D）（4）的分布为，所以，于是 .应选（A）（5）由切比雪夫不等式应选（D）三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布，而进入超市的每一个人购买种商品的概率为，若顾客购买商品是相互独立的，求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。

解：设‘一天中恰有个顾客购买种商品’ ‘一天中有个顾客进入超市’ 则四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）的分布列.（2）和. 解：（1），其中由得所以故的分布列为（2），. 五、（10分）设在由直线及曲线y 上服从均匀分布，（1）求边缘密度和，并说明与是否独立. （2）求. 解：区域D的面积的概率密度为所围成的区域（1）（2）因，所以不独立.（3） . 六、（8分）二维随机变量在以为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求的概率密度。