第8章 Z变换、离散时间系统的Z域分析

例1：已知两序列分别为 1[n]=anu[n]， x2[n]= -anu[-n-1]，分别 ：已知两序列分别为x 分别 求它们的 变换 并确定它们的收敛域。 变换， 求它们的z变换，并确定它们的收敛域。
解：
X1(z) =Z ( x1[n]) = ∑an z−n
n=0
∞
如果|z|>a, 则上面的级数收敛，这样得到 则上面的级数收敛， 如果 ∞ 1 z n −n X1(z) = ∑a z = = −1 z −a 1− az n=0
变换， 例2：求序列 ：求序列x[n]=anu[n]-bnu[-n-1]的z变换，并确定收敛域 的 变换 （b>a, b>0, a>0）。 ）。
解：
x[n] = anu[n] − bnu[−n −1] = x1[n] + x2[n]
z X1(z) = ∑ x1[n]z = z −a n=−∞
−n ∞
z变换在离散系统中的地位与作用，类似于连续系统的拉 变换在离散系统中的地位与作用， 变换在离散系统中的地位与作用 普拉斯变换。 普拉斯变换。
8.2.1 z 变换定义
z变换的定义可以由取样信号的拉氏变换引出，也可以直接 变换的定义可以由取样信号的拉氏变换引出， 变换的定义可以由取样信号的拉氏变换引出 对离散信号给予定义。 对离散信号给予定义。 （1）由取样信号的拉氏变换引出单边 变换 ）由取样信号的拉氏变换引出单边Z变换 若连续因果信号 经均匀冲激取样， 若连续因果信号 x(t)经均匀冲激取样，则取样信号 s(t) 经均匀冲激取样 则取样信号x 的表示式为
ρ 时级数收敛， 时级数发散， 当 ρ <1 时级数收敛， >1 时级数发散，ρ =1时,级数可能收敛也可 级数可能收敛也可 能发散。 能发散。
下面我们利用根值判定法讨论几类序列的z变换收敛域 下面我们利用根值判定法讨论几类序列的 变换收敛域 根值判定法讨论几类序列的
1）有限长序列（有始有终序列） ）有限长序列（有始有终序列） 这类序列只在有限的区间具有非零的有限 此时z 值 (n1 ≤ n ≤ n2 ) ，此时 变换为
0
n
（二）单位阶跃序列
, 1 (n ≥ 0) u[n] = 0, (n < 0)
u[n] 1
⋯
0
∞
1 2 3 4
∞
n
1 z X (z) = ∑u[n]z = ∑z = = , z >1 −1 z −1 1− z n=0 n=0
−n −n
（三）斜变序列
x[n] = nu[n]
x[n]
4
3
⋯
jω0n
，那么
a =e
jω0
z > e jω0 =1 ，
z >1 z >1
x[n] = e
jω0n
z u[n] ↔ z − e jω0
x[n] = e
− jω0n
z u[n] ↔ z − e− jω0
1 jω0n − jω0n (cosω0n)u[n] = (e + e )u[n] 2 z(z − cosω0 ) z z 1 ↔ ( + )= 2 jω0 − jω0 2 z −e z − 2z cosω0 +1 z −e
∞
n=−∞
= x[0] + x[1]z−1 + x[2]z−2 +⋯+ x[−1]z + x[−2]z2 +⋯
8.2.2 典型离散序列的 变换 典型离散序列的z变换
（一）单位样值序列
δ[n]
1
1, (n = 0) δ[n] = 0, (n ≠ 0)
X (z) = ∑δ[n]z−n =1
n=0 ∞
n
∞
2 1
0
1
2
3
4
X (z) = ∑nz−n
n=0
∵ Z ( u[n]) = ∑z
n=0
∞
Hale Waihona Puke −n1 = ( z >1) −1 1− z
∑z
n=0
∞
∞
−n
1 = ( z >1) −1 1− z
1 = (1− z−1)2
上式两边分别对z 求导， 上式两边分别对 -1求导，得
∑n(z
n=0
−1 n−1
)
X (z) = ∑ x[n]z−n
n=n1
n2
当 n 1< 0, n 2> 0 时， 收敛域为 0 < z <∞
n1
x [n] n n2
X
当 n 1≥ 0, n 2> 0 时， 收敛域为
z >0
X
当 n 1< 0, n 2≤ 0 时， 收敛域为 z < ∞
2）右边序列 ） 这类序列是有始无终的序列，即当n<n1时x[n]=0。此 这类序列是有始无终的序列，即当 。 有始无终的序列 时 z变换为 变换为 ∞
n=0
z 变换
（2）直接引出定义式，当T=1时 ）直接引出定义式， 时
x[n]的单边 变换 的单边z 变换: 的单边
X (z) =Z ( x[n]) = ∑x[n]z−n = x[0] + x[1]z−1 + x[2]z−2 +⋯
n=0 ∞
x[n]的双边 变换 的双边z 变换: 的双边
X (z) =Z ( x[n]) = x[n]z−n ∑
第8章
z变换、离散时间系统的z域分析 变换、离散时间系统的z
8.2 z变换的定义、典型序列的 变换 变换的定义、 变换的定义 典型序列的z变换 8.3 z变换的收敛域 变换的收敛域 8.4 z逆变换 逆变换 8.5 z变换的基本性质 变换的基本性质
8.2
z 变换的定义、典型序列的 变换 变换的定义、典型序列的z
X (z) =
若令m= - n，上式变为 若令 ，
n = −∞
x[n]z−n ∑
∞
n2
X (z) =
如果将变量再改为n， 如果将变量再改为 ，则
m = −n2
∑
∞
x[−m]zm
X (z) =
n=−n2
x[−n]zn ∑
X (z) =
n=−n2
∑
∞
x[−n]zn
若满足
n→∞
lim n x[−n]zn < 1
Xs (s) = ∑x(nT)∫ δ (t − nT)e−st dt =∑x(nT)e−snT
n=0 0 n=0
∞
∞
∞
此时,引入一个新的复变量 即 此时 引入一个新的复变量z,即 引入一个新的复变量 则
∞
z = esT
当 时 的单边 X (z) = Z ( x[n] ) = ∑x[n]z−n -------当T=1时，x[n]的单边
（2）左边指数序列 ）
x2[n] = −a u[−n −1]
n
-3 -2 -1
x2[n]
0 n
⋯
(a >1)
z Z ( −a u[−n −1]) = ∑ (−a )z = , z<a z −a n=−∞
n n −n
−1
（五）单边正、余弦序列 单边正、
x[n] 1
0
1 2
n
令指数序列中
a =e
n
X (z) = ∑ x[n]z−n
n=n 1
若满足
n→∞ n→∞
lim
n
x[n]z
−n
<1
[ 即 z > lim n x n] = R 1 x
∞ n→
则其级数收敛。 为收敛半径。可见， 则其级数收敛。其中 Rx1 为收敛半径。可见，右边序列的收敛域 的圆外部分。 是半径为 Rx1 的圆外部分。
1、n1<0 n2=∞
同理：
z >1
z sinω0 (sinω0n)u[n] ↔ 2 z − 2z cosω0 +1
z >1
8.3 z变换的收敛域 变换的收敛域
上面定义的z变换，只有当级数收敛时 变换才有意义 变换才有意义。 上面定义的 变换，只有当级数收敛时，z变换才有意义。 变换 级数收敛 因此我们必须讨论z变换的收敛问题 变换的收敛问题。 因此我们必须讨论 变换的收敛问题。 根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可 根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可 充要条件 和条件， 和条件，即要求
由例1的结果可直接得到： 由例 的结果可直接得到： 的结果可直接得到
( z >a)
z X2 (z) = ∑ x2[n]z = z −b n=−∞
−n
−∞
( z <b)
因为b>a, 这样得到 因为
a +b 2z(z − ) z z 2 X (z) = X1(z) + X2 (z) = + = z − a z −b (z − a)(z −b)
Rx1
Rx1 < z < ∞
2、n1>0 n2=∞
z > R1 x
注意：因果序列是右边序列的一种特殊情况， 注意：因果序列是右边序列的一种特殊情况，其收敛域为 z > R 1 x
Rx1
3) 左边序列 这类序列是无始有终的序列， 这类序列是无始有终的序列，n>n2时x[n]=0。此时 变 无始有终的序列 。此时z变 换为
两边乘以z -1 ，得 两边乘以
z z Z ( nu[n]) = ∑ n z = = −1 2 (1− z ) (z −1)2 n=0
−n
∞
−1
( z >1)
（四）指数序列 （1）右边指数序列 ）
x1[n] = anu[n]