2020年北京市朝阳区中考数学二模试卷(含答案解析)
2020年北京市朝阳区中考二模数学试题(有答案)
……
请参考上面的想法，帮助小聪求出CD的长（一种方法即可）.
(3)用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系（直接写出即可）．
29.在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r(r＞0)的⊙O和点P，给出如下定义：
2011年，朝阳区生产总值3272.2亿元．2012年，朝阳区生产总值3632.1亿元，比上年增长359.9亿元．2013年，朝阳区生产总值4030.6亿元，比上年增长398.5亿元．2014年，朝阳区生产总值4337.3亿元，比上年增长7.6%．2015年，朝阳区生产总值4640.2亿元，比上年增长7.0%，其中，第一产业1.2亿元，第二产业358.0亿元，第三产业4281.0亿元．2016年，朝阳区生产总值4942.0亿元，比上年增长6.5%，居民人均可支配收入达到59886元，比上年增长8%．
(2)预估理由须包含折线图中提供的信息，且支撑预估的数据.
25．（1）证明：连接OB．
∵∠A=45°，
∴∠DOB=90°．
∵OD∥BC,
∴∠DOB+∠CBO =180°.
∴∠CBO=90°．
∴直线BC是⊙的切线．
（2）求解思路如下：
如图,延长BO交⊙于点F，连接AF.
①由AB=AC，∠BAC=45°，可得∠ABC=67.5°，∠ABF=22.5°；
27．解：（1）由题意，当x=0时，y=2.
∴A(0,2).
∵，
∴对称轴为直线x=1.
∴B(1,0).
（2）由题意，C（-1,0），D（3,0）.
①当m＞0时，
结合函数图象可知，满足题意的抛物线的顶点须在x轴下方，
北京市朝阳区2019-2020学年中考数学二模试卷含解析
北京市朝阳区2019-2020学年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=bx在同一坐标系中的图象的形状大致是（）A．B．C．D．2．π这个数是( )A．整数B．分数C．有理数D．无理数3．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣34．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）A．1806x+=1206x-B．1806x-=1206x+C．1806x+=120xD．180x=1206x-5．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（）A．20 B．30 C．40 D．506．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为()A．65°B．130°C．50°D．100°7．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)8．如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q9．下列计算正确的是（）A．﹣2x﹣2y3•2x3y＝﹣4x﹣6y3B．（﹣2a2）3＝﹣6a6C．（2a+1）（2a﹣1）＝2a2﹣1 D．35x3y2÷5x2y＝7xy10．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行淘汰赛，在相同条件下，每人射击10次，甲、乙两人的成绩如图所示，丙、丁二人的成绩如表所示．欲淘汰一名运动员，从平均数和方差两个因素分析，应淘汰（）丙丁平均数8 8方差 1.2 1.8A．甲B．乙C．丙D．丁11．下列计算正确的是（）A．2x+3x=5x B．2x•3x=6x C．（x3）2=5 D．x3﹣x2=x12．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．14．函数1xy+=中，自变量x的取值范围是．15．函数y=123xx++中，自变量x的取值范围是_____．16．如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y=kx的图象在第一象限的分支过AB的中点D交OB于点E，连接EC，若△OEC的面积为12，则k=_____．17．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为_______．18．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边BCCD上，BE=CF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，完成第1次与边的碰撞，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，则小球P与正方形的边第2次碰撞到__边上，小球P与正方形的边完成第5次碰撞所经过的路程为__．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg 至53kg 的学生大约有多少名．20．（6分）如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE AB ⊥于点E ，66A ∠=o ，90ABC ∠=o ，BC AD =，求C ∠的度数．21．（6分）某中学为了提高学生的消防意识，举行了消防知识竞赛，所有参赛学生分别设有一、二、三等奖和纪念奖，获奖情况已绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所经信息解答下列问题： （1）这次知识竞赛共有多少名学生？（2）“二等奖”对应的扇形圆心角度数，并将条形统计图补充完整；（3）小华参加了此次的知识竞赛，请你帮他求出获得“一等奖或二等奖”的概率．22．（8分）有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁． （1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果； （2）求一次打开锁的概率．23．（8分）如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE ＝2，EB ＝6，∠DEB ＝30°，求弦CD 长．24．（10分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A ．唐诗；B ．宋词；C ．论语；D ．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．25．（10分）山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．求二月份每辆车售价是多少元？为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？26．（12分）如图，已知平行四边形ABCD ，点M 、N 分别是边DC 、BC 的中点，设AB u u u r =a r ，AD u u u r =b r ，求向量MN u u u u r 关于a r 、b r的分解式．27．（12分） “校园手机”现象越来越受到社会的关注．“寒假”期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： （1）求这次调查的家长人数，并补全图1； （2）求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数；（3）已知某地区共6500名家长，估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】试题分析：如图所示，由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，可得k＞1，b＜1．因此可知正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，反比例函数y=bx的图象经过第二、四象限．综上所述，符合条件的图象是C选项．故选C．考点：1、反比例函数的图象；2、一次函数的图象；3、一次函数图象与系数的关系2．D【解析】【分析】由于圆周率π是一个无限不循环的小数，由此即可求解．【详解】解：实数π是一个无限不循环的小数．所以是无理数．故选D．【点睛】本题主要考查无理数的概念，π是常见的一种无理数的形式，比较简单．3．C【解析】试题分析：根据顶点式，即A、C两个选项的对称轴都为，再将（0,1）代入，符合的式子为C选项考点：二次函数的顶点式、对称轴点评：本题考查学生对二次函数顶点式的掌握，难度较小，二次函数的顶点式解析式为，顶点坐标为，对称轴为4．A【解析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：1806x+=1206x-．故选A．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．5．A【解析】分析：根据白球的频率稳定在0.4附近得到白球的概率约为0.4,根据白球个数确定出总个数,进而确定出黑球个数n.详解：根据题意得:.n0430n=+ ,计算得出:n=20, 故选A.点睛：根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率. 6．C 【解析】试题分析：∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C ． 考点：切线的性质． 7．A 【解析】 【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC ∽△OBA ，相似比是13，根据已知数据可以求出点C 的坐标． 【详解】由题意得，△ODC ∽△OBA ，相似比是13， ∴OD DCOB AB=， 又OB=6，AB=3， ∴OD=2，CD=1，∴点C 的坐标为：（2，1）， 故选A ． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用． 8．C 【解析】试题分析：∵点M ，N 表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O 点，∴绝对值最小的数的点是P 点，故选C ．考点：有理数大小比较．9．D【解析】【分析】A．根据同底数幂乘法法则判断；B．根据积的乘方法则判断即可；C．根据平方差公式计算并判断；D．根据同底数幂除法法则判断．【详解】A.-2x-2y3 2x3y=-4xy4，故本选项错误；B. (−2a2)3=−8a6，故本项错误；C. (2a+1)(2a−1)=4a2−1，故本项错误；D.35x3y2÷5x2y=7xy，故本选项正确.故答案选D.【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则与平方差公式，解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则与平方差公式.10．D【解析】【分析】求出甲、乙的平均数、方差，再结合方差的意义即可判断．【详解】x 甲=110（6+10+8+9+8+7+8+9+7+7）=8，2 S 甲=110[（6-8）2+（10-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（8-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（7-8）2+（7-8）2]=110×13=1.3；x乙=（7+10+7+7+9+8+7+9+9+7）=8，2 S 乙=110[（7-8）2+（10-8）2+（7-8）2+（7-8）2+（9-8）2+（8-8）2+（7-8）2+（9-8）2+（9-8）2+（7-8）2]=110×12=1.2；丙的平均数为8，方差为1.2，丁的平均数为8，方差为1.8，故4个人的平均数相同，方差丁最大．故应该淘汰丁．故选D．【点睛】本题考查方差、平均数、折线图等知识，解题的关键是记住平均数、方差的公式．11．A【解析】【分析】依据合并同类项法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则进行判断即可．【详解】A、2x＋3x＝5x，故A正确；B、2x•3x＝6x2，故B错误；C、（x3）2＝x6，故C错误；D、x3与x2不是同类项，不能合并，故D错误．故选A．【点睛】本题主要考查的是整式的运算，熟练掌握相关法则是解题的关键．12．D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．8【解析】 【分析】 【详解】解：设边数为n ，由题意得， 180（n-2）=360⨯3 解得n=8.所以这个多边形的边数是8. 14．x 1≥-且x 2≠. 【解析】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使2x -在实数范围内有意义，必须x+10x 1{{x 1x 20x 2≥≥-⇒⇒≥--≠≠且x 2≠.考点：1.函数自变量的取值范围；2.二次根式和分式有意义的条件. 15．x≠﹣32． 【解析】 【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于1，故分母x ﹣1≠1，解得x 的范围． 【详解】解：根据分式有意义的条件得：2x+3≠1 解得：32x ≠-． 故答案为32x ≠-． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于1．16． 【解析】 【分析】设AD=a ，则AB=OC=2a ，根据点D 在反比例函数y=k x 的图象上，可得D 点的坐标为（a ，k a），所以OA=k a ；过点E 作EN ⊥OC 于点N ，交AB 于点M ，则OA=MN=ka,已知△OEC 的面积为12，OC=2a ，根据三角形的面积公式求得EN=12a ，即可求得EM=12k a-；设ON=x ，则NC=BM=2a-x ，证明△BME∽△ONE，根据相似三角形的性质求得x=24ak，即可得点E的坐标为(24ak，12a)，根据点E在在反比例函数y=kx的图象上，可得24ak·12a=k，解方程求得k值即可.【详解】设AD=a，则AB=OC=2a，∵点D在反比例函数y=kx的图象上，∴D（a，ka），∴OA=ka,过点E 作EN⊥OC于点N，交AB于点M，则OA=MN=ka,∵△OEC的面积为12，OC=2a，∴EN=12a，∴EM=MN-EN=ka-12a=12ka-；设ON=x，则NC=BM=2a-x，∵AB∥OC，∴△BME∽△ONE，∴EM BMEN ON=,即12212ka xaxa--=，解得x=24ak，∴E(24ak，12a)，∵点E在在反比例函数y=kx的图象上，∴24ak·12a=k，解得k=122±∵k＞0，∴k=122.故答案为：122. 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，求得点E的坐标为(24ak，12a)是解决问题的关键.17．5.【解析】【详解】试题解析：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴12×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：222243BC CE+=+考点：1.正方形的性质；2.三角形的面积；3.勾股定理．18．AB, 115 2【解析】【分析】根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为12，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置．再由勾股定理就可以求出小球第5次碰撞所经过路程的总长度．【详解】根据已知中的点E,F的位置,可知入射角的正切值为12，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得，第二次碰撞点为G,在AB上,且AG=16 AB，第三次碰撞点为H,在AD上,且AH=13 AD，第四次碰撞点为M,在DC上,且DM=13 DC，第五次碰撞点为N,在AB上,且BN=16 AB，第六次回到E点,BE=13 BC.由勾股定理可以得出EF=5,FG=325,GH=125,HM=5,MN=325,NE=125，故小球第5次经过的路程为：5+325+125+5+325=1125，故答案为AB，1125.【点睛】本题考查了正方形与轴对称的性质，解题的关键是熟练的掌握正方形与轴对称的性质.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．576名【解析】试题分析：根据统计图可以求得本次调查的人数和体重落在B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整，进而可以求得我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名．试题解析：本次调查的学生有：32÷16%=200（名），体重在B组的学生有：200﹣16﹣48﹣40﹣32=64（名），补全的条形统计图如右图所示，我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有：1800×64200=576（名），答：我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有576名．20．78o【解析】【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到DA DB=，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【详解】连接BD，∵E为AB的中点，DE AB⊥于点E，∴AD BD=，∴DBA A∠=∠，∵66A∠=o，∴66DBA∠=o，∵90ABC∠=o，∴24DBC ABC DBA∠=∠-∠=o，∵AD BC=，∴BD BC=，∴C BDC∠=∠，∴180782DBCC-∠∠==oo．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．21．(1)200；（2）72°,作图见解析；（3）3 10.【解析】【分析】(1)用一等奖的人数除以所占的百分比求出总人数;(2)用总人数乘以二等奖的人数所占的百分比求出二等奖的人数，补全统计图，再用360°乘以二等奖的人数所占的百分比即可求出“二等奖”对应的扇形圆心角度数;(3)用获得一等奖和二等奖的人数除以总人数即可得出答案. 【详解】解：（1）这次知识竞赛共有学生2010%=200（名）；（2）二等奖的人数是：200×（1﹣10%﹣24%﹣46%）=40（人），补图如下：“二等奖”对应的扇形圆心角度数是：360°×40200=72°；（3）小华获得“一等奖或二等奖”的概率是：2040200+=310．【点睛】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图，利用统计图获取信息是解本题的关键.22．（1）详见解析（2）1 4【解析】【分析】设两把不同的锁分别为A、B，能把两锁打开的钥匙分别为a、b，其余两把钥匙分别为m、n，根据题意，可以画出树形图，再根据概率公式求解即可.【详解】（1）设两把不同的锁分别为A、B，能把两锁打开的钥匙分别为a、b，其余两把钥匙分别为m、n，根据题意，可以画出如下树形图：由上图可知，上述试验共有8种等可能结果；（2）由（1）可知，任意取出一把钥匙去开任意一把锁共有8种可能的结果，一次打开锁的结果有2种，且所有结果的可能性相等．∴P（一次打开锁）＝21 84 =．【点睛】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率()mP An=．23．【解析】试题分析：过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD=2DF即可求出CD的长．试题解析：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．考点：垂径定理；勾股定理．24．(1) 14；（2）112.【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=14；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=．25．（1）二月份每辆车售价是900元；（2）每辆山地自行车的进价是600元．【解析】【分析】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价﹣进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据题意得：3000027000100x x=+，解得：x=900，经检验，x=900是原分式方程的解，答：二月份每辆车售价是900元；（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据题意得：900×（1﹣10%）﹣y=35%y，解得：y=600，答：每辆山地自行车的进价是600元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 26．答案见解析【解析】试题分析：连接BD，由已知可得MN是△BCD的中位线，则MN=12BD，根据向量减法表示出BD即可得.试题解析：连接BD,∵点M 、N 分别是边DC 、BC 的中点，∴MN 是△BCD 的中位线，∴MN ∥BD ，MN=12 BD ， ∵DB=AB-AD=a b -u u u v u u u v u u u v v v ， ∴1122MN a b =-u u u u v v v . 27．（1）答案见解析（2）36°（3）4550名【解析】试题分析：（1）根据认为无所谓的家长是80人，占20%，据此即可求得总人数； （2）利用360乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数6500乘以对应的比例即可求解．（1）这次调查的家长人数为80÷20%=400人，反对人数是：400-40-80=280人， ；（2）360×40400=36°； （3）反对中学生带手机的大约有6500×280400=4550（名）． 考点：1.条形统计图；2.用样本估计总体；3.扇形统计图．。
北京市朝阳区2019-2020学年中考数学二模考试卷含解析
北京市朝阳区2019-2020学年中考数学二模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，已知D 是ABC V 中的边BC 上的一点，BAD C ∠=∠，ABC ∠的平分线交边AC 于E ，交AD 于F ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．△BAC ∽△BDAB ．△BFA ∽△BEC C ．△BDF ∽△BECD ．△BDF ∽△BAE2．等腰三角形两边长分别是2 cm 和5 cm ，则这个三角形周长是（ ）A ．9 cmB ．12 cmC ．9 cm 或12 cmD ．14 cm3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．9aB ．35aC ．22a b +D ．12a + 4．已知x a =2，xb =3，则x 3a ﹣2b 等于（ ）A ．89B ．﹣1C ．17D ．725．对于下列调查：①对从某国进口的香蕉进行检验检疫；②审查某教科书稿；③中央电视台“鸡年春晚”收视率.其中适合抽样调查的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③6．下列命题中，错误的是（ ）A ．三角形的两边之和大于第三边B ．三角形的外角和等于360°C ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形D ．三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分7．- 14的绝对值是（ ） A ．-4 B ．14 C ．4 D ．0.48．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，连接BC 、BD 、AC ，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．∠ACB=90°B ．OE=BEC ．BD=BCD ．»»AD AC =9．1903年、英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质在放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此种放射性物质的半衰期，如图是表示镭的放射规律的函数图象，根据图象可以判断，镭的半衰期为（ ）A ．810 年B ．1620 年C ．3240 年D ．4860 年10．如图，在正八边形ABCDEFGH 中，连接AC ，AE ，则AE AC 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2D ．3 11．﹣18的相反数是（ ） A ．8 B ．﹣8 C ．18 D ．﹣1812．下列因式分解正确的是( )A ．22x 2x 1(x 1)+-=-B ．22x 1(x 1)+=+C ．()2x x 1x x 11-+=-+D ．()()22x 22x 1x 1-=+- 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在Rt △ABC 纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E ，F 落在AB 边上，每个正方形的边长为1，则Rt △ABC 的面积为_____．14．将23x =代入函数1y x =-中，所得函数值记为1y ，又将11x y =+代入函数1y x=-中，所得的函数值记为2y ，再将21x y =+代入函数中，所得函数值记为3y …，继续下去．1y =________；2y =________；3y =________；2006y =________．15．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，若CD=5，则EF 的长为________．17．计算：（13）0﹣38=_____． 18．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是__．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m ﹣1）x+m 2﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m 的值．20．（6分）如图矩形ABCD 中AB=6，AD=4，点P 为AB 上一点，把矩形ABCD 沿过P 点的直线l 折叠，使D 点落在BC 边上的D′处，直线l 与CD 边交于Q 点．（1）在图（1）中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l ．（保留作图痕迹，不写作法和理由）（2）若PD′⊥PD ，①求线段AP 的长度；②求sin ∠QD′D ．21．（6分）如图所示，在△ABC 中，BO 、CO 是角平分线．∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，求∠BOC 的度数，并说明理由．题（1）中，如将“∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°”改为“∠A ＝70°”，求∠BOC 的度数．若∠A ＝n°，求∠BOC 的度数．22．（8分）一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D 的高度．如图，当在点A 处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM 与影子长AE 正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.2m ，已知标杆直立时的高为1.8m ，求路灯的高CD 的长．23．（8分）计算：2-1+20160-3tan30°+|-3| 24．（10分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的顶点为M ，直线y ＝m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶． 由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是_____．抛物线y ＝212x 对应的准蝶形必经过B （m ，m ），则m ＝_____，对应的碟宽AB 是_____．抛物线y ＝ax 2﹣4a ﹣53（a ＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB ＝1． ①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （x p ，y p ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出y p 的取值范围．若没有，请说明理由．25．（10分） “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.26．（12分）如图所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC 的延长线交BD 于点P ．（1）把△ABC 绕点A 旋转到图1，BD ，CE 的关系是 （选填“相等”或“不相等”）；简要说明理由；（2）若AB=3，AD=5，把△ABC 绕点A 旋转，当∠EAC=90°时，在图2中作出旋转后的图形，PD= ，简要说明计算过程；（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD 的最小值为 ，最大值为 ．27．（12分）如图①，在正方形ABCD 的外侧，作两个等边三角形ABE 和ADF ，连结ED 与FC 交于点M ，则图中ADE V ≌DFC △，可知ED FC =，求得DMC ∠=______．如图②，在矩形()ABCD AB BC >的外侧，作两个等边三角形ABE 和ADF ，连结ED 与FC 交于点M ．()1求证：ED FC =．()2若20ADE ∠=o ，求DMC ∠的度数．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．【详解】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故A正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正确．∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误．故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．2．B【解析】当腰长是2 cm时，因为2+2<5，不符合三角形的三边关系，排除；当腰长是5 cm时，因为5+5>2，符合三角形三边关系，此时周长是12 cm．故选B．3．C【解析】【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A.被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A不符合题意，B.被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意，C.被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C符合题意，D.被开方数含分母，故D不符合题意.故选C．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．4．A【解析】∵x a=2,x b=3，∴x3a−2b=(x a)3÷(x b)2=8÷9= 89，故选A.5．B【解析】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【详解】①对从某国进口的香蕉进行检验检疫适合抽样调查；②审查某教科书稿适合全面调查；③中央电视台“鸡年春晚”收视率适合抽样调查.故选B.【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6．C【解析】【分析】根据三角形的性质即可作出判断．【详解】解：A、正确，符合三角形三边关系；B、正确；三角形外角和定理；C、错误，等边三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形；D、三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确．故选：C．【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．7．B【解析】【分析】直接用绝对值的意义求解.【详解】−14的绝对值是14．故选B．【点睛】此题是绝对值题，掌握绝对值的意义是解本题的关键．8．B【解析】【分析】根据垂径定理及圆周角定理进行解答即可．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，故A正确；∵点E不一定是OB的中点，∴OE与BE的关系不能确定，故B错误；∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴»»BD BC，∴BD=BC ，故C 正确；∴AD AC u u u r u u u r，故D 正确．故选B ．【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 9．B【解析】【分析】根据半衰期的定义，函数图象的横坐标，可得答案．【详解】由横坐标看出1620年时，镭质量减为原来的一半，故镭的半衰期为1620年，故选B ．【点睛】本题考查了函数图象，利用函数图象的意义及放射性物质的半衰期是解题关键．10．B【解析】【分析】连接AG 、GE 、EC ，易知四边形ACEG 为正方形，根据正方形的性质即可求解．【详解】解：连接AG 、GE 、EC ，则四边形ACEG 为正方形，故AE AC 2 故选：B ．【点睛】 本题考查了正多边形的性质，正确作出辅助线是关键．11．C【解析】互为相反数的两个数是指只有符号不同的两个数，所以18-的相反数是18， 故选C ．12．D【解析】【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而判断即可． 【详解】解：A 、2x 2x 1+-，无法直接分解因式，故此选项错误；B 、2x 1+，无法直接分解因式，故此选项错误；C 、2x x 1-+，无法直接分解因式，故此选项错误；D 、()()22x 22x 1x 1-=+-，正确． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．494【解析】【分析】如图，设AH=x ，GB=y ，利用平行线分线段成比例定理，构建方程组求出x ，y 即可解决问题．【详解】解：如图，设AH ＝x ，GB ＝y ，∵EH ∥BC ，AH EH AC BC∴=， 135x x y∴=++① ∵FG ∥AC ，FG BG AC BC ∴=135y x y=++②， 由①②可得x ＝12，y ＝2， ∴AC ＝72，BC ＝7， ∴S △ABC ＝494， 故答案为494．【点睛】本题考查图形的相似，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 14．32-2 13- 2 【解析】 【分析】根据数量关系分别求出y1，y2，y3，y4，…，不难发现，每3次计算为一个循环组依次循环，用2006除以3，根据商和余数的情况确定y2006的值即可． 【详解】y 1=32-， y 2=−1312-+=2，y 3=−112+=13-，y 4=−1113-+=32-，…，∴每3次计算为一个循环组依次循环， ∵2006÷3=668余2，∴y2006为第669循环组的第2次计算，与y2的值相同， ∴y2006=2， 故答案为32-；2；13-；2. 【点睛】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是多运算找规律. 15．（-2，-2） 【解析】【分析】先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标．【详解】“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），故答案是：（﹣2，﹣2）．【点睛】考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置．16．5【解析】【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．【详解】∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD=12AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB=2CD=2×5=10，∴EF=12×10=5.故答案为5.【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线,熟悉掌握是关键. 17．-1【解析】【分析】本题需要运用零次幂的运算法则、立方根的运算法则进行计算.【详解】由分析可得：（13）038－2＝﹣1.【点睛】熟练运用零次幂的运算法则、立方根的运算法则是本题解题的关键.18．【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于-4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．【详解】解：列表如下：-2 -1 1 2-2 2 -2 -4-1 2 -1 -21 -2 -1 22 -4 -2 2由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于-4小于2的有6种结果，∴积为大于-4小于2的概率为=，故答案为：．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）m＜2；（2）m=1．【解析】【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根，得△=[2（m-1）]2-4（m2-3）=-8m+2＞3，然后解不等式即可；（2）先利用m的范围得到m=3或m=1，再分别求出m=3和m=1时方程的根，然后根据根的情况确定满足条件的m的值．【详解】（1）△=[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣3）=﹣8m+2．∵方程有两个不相等的实数根，即﹣8m+2>3．解得m＜2；（2）∵m＜2，且m 为非负整数，∴m=3 或m=1，当m=3 时，原方程为x2-2x-3=3，解得x1=3，x2=﹣1(不符合题意舍去)，当m=1 时，原方程为x2﹣2=3，解得x1=2，x2=﹣2，综上所述，m=1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=3（a≠3）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞3时，方程有两个不相等的实数根；当△=3时，方程有两个相等的实数根；当△＜3时，方程无实数根．20．（1）见解析；（2）10 10【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）由（1）知，PD=PD′，根据余角的性质得到∠ADP=∠BPD′，根据全等三角形的性质得到AD=PB=4，得到AP=2；根据勾股定理得到PD=22AD AP=25，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）连接PD，以P为圆心，PD为半径画弧交BC于D′，过P作DD′的垂线交CD于Q，则直线PQ即为所求；（2）由（1）知，PD=PD′，∵PD′⊥PD，∴∠DPD′=90°，∴∠ADP+∠APD=∠APD+∠BPD′=90°，∴∠ADP=∠BPD′，在△ADP与△BPD′中，90{A BADP BPD PD PD'∠=∠=∠=='∠，∴△ADP≌△BPD′，∴AD=PB=4，AP= BD′∵PB=AB﹣AP=6﹣AP=4，∴AP=2；∴PD=22AD AP+=25，BD′=2∴CD′=BC- BD′=4-2=2∵PD=PD′，PD⊥PD′，∵DD′=2PD=210，∵PQ垂直平分DD′，连接Q D′则DQ= D′Q∴∠QD′D=∠QDD′∴sin∠QD′D=sin∠QDD′=10210CDDD==''．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．21．（1）125°；（2）125°；（3）∠BOC=90°+12 n°．【解析】【分析】如图，由BO、CO是角平分线得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，再利用三角形内角和得到∠ABC+∠ACB+∠A=180°，则2∠1+2∠2+∠A=180°，接着再根据三角形内角和得到∠1+∠2+∠BOC=180°，利用等式的性质进行变换可得∠BOC=90°+12∠A，然后根据此结论分别解决（1）、（2）、（3）．【详解】如图，∵BO、CO是角平分线，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴2∠1+2∠2+∠A=180°，∵∠1+∠2+∠BOC=180°，∴2∠1+2∠2+2∠BOC=360°，∴2∠BOC﹣∠A=180°，∴∠BOC=90°+12∠A，（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∴∠BOC=90°+12×70°=125°；（2）∠BOC=90°+12∠A=125°；（3）∠BOC=90°+12 n°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．22．路灯高CD为5.1米．【解析】【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【详解】设CD长为x米，∵AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，EA ＝MA ， ∴MA ∥CD ∥BN ， ∴EC ＝CD ＝x 米， ∴△ABN ∽△ACD ， ∴BN CD ＝AB AC ，即1.8 1.21.8x x =-，解得：x ＝5.1．经检验，x ＝5.1是原方程的解， ∴路灯高CD 为5.1米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形． 23．32【解析】 【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果； 【详解】原式=1+1323-⨯+=1+12 =32． 【点睛】此题考查实数的混合运算．此题难度不大，注意解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算． 24．（1）MN 与AB 的关系是：MN ⊥AB ，MN ＝12AB ，（2）2，4；（2）①y ＝13x 2﹣2；②在此抛物线的对称轴上有这样的点P ，使得∠APB 为锐角，y p 的取值范围是y p ＜﹣2或y p ＞2． 【解析】 【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；（2）利用已知点为B （m ，m ），代入抛物线解析式进而得出m 的值，即可得出AB 的值； （2）①根据题意得出抛物线必过（2，0），进而代入求出答案； ②根据y ＝13x 2﹣2的对称轴上P （0，2），P （0，﹣2）时，∠APB 为直角，进而得出答案．（1）MN 与AB 的关系是：MN ⊥AB ，MN ＝12AB ， 如图1，∵△AMB 是等腰直角三角形，且N 为AB 的中点，∴MN ⊥AB ，MN ＝12AB ， 故答案为MN ⊥AB ，MN ＝12AB ；（2）∵抛物线y ＝212x 对应的准蝶形必经过B （m ，m ）， ∴m ＝12m 2， 解得：m ＝2或m ＝0（不合题意舍去）， 当m ＝2则，2＝12x 2， 解得：x ＝±2， 则AB ＝2+2＝4； 故答案为2，4；（2）①由已知，抛物线对称轴为：y 轴，∵抛物线y ＝ax 2﹣4a ﹣53（a ＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB ＝1． ∴抛物线必过（2，0），代入y ＝ax 2﹣4a ﹣53（a ＞0），得，9a ﹣4a ﹣53＝0，解得：a ＝13，∴抛物线的解析式是：y ＝13x 2﹣2；②由①知，如图2，y ＝13x2﹣2的对称轴上P （0，2），P （0，﹣2）时，∠APB 为直角，∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P ，使得∠APB 为锐角，y p 的取值范围是y p ＜﹣2或y p ＞2．此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键． 25．（1）10700y x =-+；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元. 【解析】 【分析】（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w 与x 的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x 的值，根据增减性，求出x 的取值范围． 【详解】（1）由题意得：4030055150k b k b +=⎧⎨+=⎩ 10700k b =-⎧⇒⎨=⎩．故y 与x 之间的函数关系式为：y=-10x+700， （2）由题意，得 -10x+700≥240， 解得x≤46，设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），w=-10x 2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000， ∵-10＜0，∴x ＜50时，w 随x 的增大而增大， ∴x=46时，w 大=-10（46-50）2+4000=3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元； （3）w-150=-10x 2+1000x-21000-150=3600， -10（x-50）2=-250， x-50=±5， x 1=55，x 2=45， 如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点． 26．（1）BD ，CE 的关系是相等；（2）53417或203417；（3）1，1 【解析】分析：（1）依据△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，即可BA=CA ，∠BAD=∠CAE ，DA=EA ，进而得到△ABD ≌△ACE ，可得出BD=CE ；（2）分两种情况：依据∠PDA=∠AEC ，∠PCD=∠ACE ，可得△PCD ∽△ACE ，即可得到PD AE =CDCE，进而得到PD=53417；依据∠ABD=∠PBE ，∠BAD=∠BPE=90°，可得△BAD ∽△BPE ，即可得到PB BE AB BD =，进而得出PB=63434，PD=BD+PB=203417； （3）以A 为圆心，AC 长为半径画圆，当CE 在⊙A 下方与⊙A 相切时，PD 的值最小；当CE 在在⊙A 右上方与⊙A 相切时，PD 的值最大．在Rt △PED 中，PD=DE•sin ∠PED ，因此锐角∠PED 的大小直接决定了PD 的大小．分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段PD 的最小值以及最大值． 详解：（1）BD ，CE 的关系是相等．理由：∵△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ∴BA=CA ，∠BAD=∠CAE ，DA=EA ， ∴△ABD ≌△ACE ， ∴BD=CE ； 故答案为相等．（2）作出旋转后的图形，若点C 在AD 上，如图2所示：∵∠EAC=90°， ∴2234AC AE +=∵∠PDA=∠AEC ，∠PCD=∠ACE ， ∴△PCD ∽△ACE ， ∴PD CDAE CE=，∴PD=534 17；若点B在AE上，如图2所示：∵∠BAD=90°，∴Rt△ABD中，BD=2234AD AB+=，BE=AE﹣AB=2，∵∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，∴△BAD∽△BPE，∴PB BEAB BD=，即334PB=，解得PB=634 34，∴PD=BD+PB=34+63434=203417，故答案为53417或203417；（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时，PD的值最大．如图3所示，分两种情况讨论：在Rt△PED中，PD=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时，在Rt△ACE中，2253-，在Rt△DAE中，225552+=∵四边形ACPB是正方形，∴PC=AB=3，∴PE=3+4=1，在Rt △PDE 中，1=，即旋转过程中线段PD 的最小值为1；②当小三角形旋转到图中△AB'C'时，可得DP'为最大值，此时，DP'=4+3=1，即旋转过程中线段PD 的最大值为1．故答案为1，1．点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题．27．阅读发现：90°；（1）证明见解析；（2）100°【解析】【分析】阅读发现：只要证明15DFC DCF ADE AED ∠=∠=∠=∠=o ，即可证明．拓展应用：()1欲证明ED FC =，只要证明ADE V ≌DFC △即可．()2根据DMC FDM DFC FDA ADE DFC ∠=∠+∠=∠+∠+∠即可计算．【详解】解：如图①中，Q 四边形ABCD 是正方形，AD AB CD ∴==，90ADC ∠=o ，ADE QV ≌DFC △，DF CD AE AD ∴===，6090150FDC ∠=+=o o o Q ，15DFC DCF ADE AED ∴∠=∠=∠=∠=o ，601575FDE ∴∠=+=o o o ，90MFD FDM ∴∠+∠=o ，90FMD ∴∠=o ，故答案为90o()1ABE QV 为等边三角形，60EAB ∴∠=o ，EA AB =．ADF QV 为等边三角形，60FDA ∴∠=o ，AD FD =．Q 四边形ABCD 为矩形，90BAD ADC ∴∠=∠=o ，DC AB =．EA DC ∴=．150EAD EAB BAD ∠=∠+∠=o Q ，150CDF FDA ADC ∠=∠+∠=o ，EAD CDF ∴∠=∠．在EAD V 和CDF V中， AE CD EAD FDC AD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EAD ∴V ≌CDF V． ED FC ∴=；()2EAD QV ≌CDF V ，20ADE DFC ∴∠=∠=o ，602020100DMC FDM DFC FDA ADE DFC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=++=o o o o ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的寻找解决问题，属于中考常考题型．。
2020年6月北京市朝阳区初三年级二模试卷初中数学
2020年6月北京市朝阳区初三年级二模试卷初中数学数学试卷2007.6考生须知1．试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔填空题、解答题〕两部分，共10页，第10页为草稿纸.2．认真填写第1页与第3页密封线内的学校、姓名和考号.卷号Ⅰ卷Ⅱ卷总分分数登分人第一卷〔共32分〕本卷须知1．考生要按规定的要求在机读答题卡上作答，题号要对应，填涂要规范.2．考试终止后，试卷和机读答题卡由监考人一并收回.一、选择题〔共8个小题，每题4分，共32分〕以下各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把〝机读答题卡〞上对应题目答案的相应字母涂黑．1．-4的绝对值是A．4 B．-4 C．±4 D．±22．某数学爱好小组的同学用几个全等的等边三角形拼出如以下图所示的四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是3．在一次迎奥运英语口语竞赛中，要从35名参加竞赛的学生中，录用前18名学生参加复赛．李迎同学明白了自己的分数后，想判定自己能否进入复赛，只需要再明白参赛的35名同学分数的A ．最高分数B ．平均数C ．众数D ．中位数 4．函数1x 3x y -+=中，自变量x 的取值范畴是 A ．x ≥-3 B ．x ≠1 C ．x>-3且x ≠1 D ．x ≥-3且x≠1 5．将方程x 2+6x-1=0配方后，所得的结果正确的选项是A ．(x+3)2=10B ．(x+3)2=9C ．(x+3)2=4D ．(x+9)2=10 6．如图，PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，假如∠APB=60°，⊙O 半径是3，那么劣弧AB 的长为A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 7．如图，点A 的坐标为〔-1，0〕，点B 是直线y=x 上的一个动点，当线段AB 最短时，点B 的坐标是A ．〔0，0〕B ．〔21，21〕 C ．〔-22，-22〕 D ．〔-21，-21〕8．如图1，四边形ABCD 是正方形，点A 在直线MN 上，∠MAD=45°,直线MN 沿AC 方向平行移动．设移动距离为x ，直线MN 通过的阴影部分面积为y ，那么表示y 与x 之间函数关系的图象大致为第二卷〔共88分〕注意事项1．认真填写密封线内的学校、姓名和考号.2．第二卷包括4道填空题和13道解答题，共8页.答题前要认真审题，看清题目要求，按要求认真作答.3．答题时字迹要工整，画图要清晰，卷面要整洁.4．考生除画图能够用铅笔外，答题必须用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔.二、填空题〔共4个小题，每题4分，共16分〕9．如图，以下水平放置的几何体中，俯视图是正方形的有__________个．10．正多边形的边长为2，中心到边的距离为3，那么那个正多边形的边数为________．11．如图，直线y=k1x与双曲线xky2=交于A、B两点，那么点B的坐标是_______.12．观看下面各等式，找出规律，写出第n个等式．21232321⨯++=+；32268232⨯++=+；4329183543⨯++=+；54212322354⨯++=+；……第n个等式为______________________________．三、解答题〔13题—22题每题5分，23题7分，24题7分，25题8分，共72 分〕13．〔本小题总分值5分〕运算：0200822)330(tan)1()31(3-︒--+-+--．解：14．〔本小题总分值5分〕化简： 21x 3x x 49x 6x 9x 22+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-．解：15．〔本小题总分值5分〕媛媛预备制作一个正方体盒子，她先画出如右图所示的图形(实线部分)，经裁剪、折叠后发觉还少一个面．请你在她所画的图形上再添加一个正方形，使新的图形通过裁剪、折叠后能够制成一个正方体盒子． (画出一个符合要求的图形即可)16．〔本小题总分值5分〕为了了解某班学生参加敬老活动的情形，对全班每一名学生参加活动的次数〔单位：次〕进行了统计，分不绘制了如下的统计表和频数分布直方图.次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数13334961请你依照统计表和频数分布直方图解答以下咨询题： 〔1〕补全统计表； 〔2〕补全频数分布直方图；〔3〕参加敬老活动的学生一共有多少名？ 解：〔3〕17．〔本小题总分值5分〕2x-y-3=0，求代数式12x 2-12xy+3y 2的值． 解：18．〔本小题总分值5分〕校园中的一棵大树PC在阳光下的影长为AC，在树的影长端点A处测得∠PAC=30°，在B点〔点B在直线AC上〕测得∠PBC=60°，假如AB=12m，求树高PC和树的影长AC．解：19．〔本小题总分值5分〕假设关于x的方程x2-x+m=0和(m+1)x2-2x-1=0都有两个不相等的实数根，求m的整数值．解：20．〔本小题总分值5分〕要制作一个如下图的帐篷，请你依照图中所给的尺寸〔单位：m〕，运算出制作一个这种帐篷所需用的布料是多少?〔接缝面积忽略不计，π取3.14，结果精确到1m2〕解：21．〔本小题总分值5分〕我市某玩具厂生产的一种玩具每个成本为24元，其销售方案有如下两种：方案一：给本厂设在蓝天商厦的销售专柜销售，每个售价为32元，但每月需上缴蓝天商厦有关费用2400元；方案二：不设销售专柜，直截了当发给本市各商厦销售，出厂价为每个28元．设该厂每月的销售量为x个．假如每月只能按一种方案销售，且每种方案都能按月销售完当月产品，那么应如何选择销售方案，可使该工厂当月所获利润最大？解：22．〔本小题总分值5分〕：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．解：23．〔本小题总分值7分〕：如图，AD是⊙O的弦，OB⊥AD于点E，交⊙O于点C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕点F是ACD上的一点，当∠AOF=2∠B时，求AF的长．24．〔本小题总分值7分〕：如图1，Rt ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分不交AC于E,交BC于F，且DE⊥DF.〔1〕假如CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；〔2〕如图2，假如CA<CB，〔1〕中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？假设成立，请证明；假设不成立，请讲明理由．25．〔本小题总分值8分〕抛物线y=ax 2+bx 〔a ≠0〕的顶点在直线1x 21y --=上，且仅当0<x<4时，y <0．设点A 是抛物线与x 轴的一个交点，且点A 在y 轴的右侧，P 为抛物线上一动点． 〔1〕求那个抛物线的解析式；〔2〕当△POA 的面积为5时，求点P 的坐标； 〔3〕当552OPA cos =∠时，⊙M 通过点O 、A 、P ，求过点A 且与⊙M 相切的直线的解析式．。
2020年北京市朝阳区中考数学模拟试卷 (解析版)
2020年北京市朝阳区中考数学模拟试卷一、选择题1．某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：x…01234…y…﹣30﹣103…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．B．C．D．2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）以点C为圆心，以CB的长为半径画弧，交AB于点G，分别以点G，B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线CK；（2）以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E；（3）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CF．根据以上操作过程及所作图形，有如下结论：①CE＝CD；②BC＝BE＝BF；③S四边形CDFB＝CF•BD；④∠BCF＝∠BCE．所有正确结论的序号为（）A．①②③B．①③C．②④D．③④3．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D是BC的中点，DE⊥AD交BC于点E．若AC＝1，则△BDE的面积为（）A．B．C．D．4．对于正整数k定义一种运算：f（k）＝[]﹣[]，例：f（3）＝[]﹣[]，[x]表示不超过x的最大整数，例：[3.9]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．则下列结论错误的是（）A．f（1）＝0B．f（k）＝0或1C．f（k+4）＝f（k）D．f（k+1）≥f（k）二、填空题（本题共16分，每小题4分）5．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝．6．若点（m，m），（n，n）（m≠n）都在抛物线y＝x2+2x+c上，且m＜1＜n，则c的取值范围是．7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），点P在直线y＝x上，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标为．8．对于两个非零整数x，y，如果满足这两个数的积等于它们的和的6倍，称这样的x，y 为友好整数组，记作＜x，y＞，＜x，y＞与＜y，x＞视为相同的友好整数组．请写出一个友好整数组，这样的友好整数组一共有组．三、解答题（本题共68分，第9，10题，每小题6分，第11～17题，每小题6分）9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．（1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足+＝，求k的值；（3）若Rt△ABC的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC 的内切圆半径．10．地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．11．某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min（3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝；②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝；（2）若min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围为；（3）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；（4）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值．12．如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．13．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：（1）建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第象限内交点的坐标．（2）画出函数图象函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象在直线平移过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．（4）得出结论若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为．14．对于任意的实数m，n，定义运算“∧”，有m∧n＝．（1）计算：3∧（﹣1）；（2）若m＝|x﹣1|，n＝|x+2|，求m∧n（用含x的式子表示）；（3）若m＝x2+2x﹣3，n＝﹣x﹣3，m∧n＝﹣2，求x的值．15．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：将一个函数的图象在y轴左侧的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，两部分组成的函数图象，称为这个函数的变换图象．（1）点A（﹣1，4）在函数y＝x+m的变换函象上，求m的值；（2）点B（n，2）在函数y＝﹣x2+4x的变换图象上，求n的值；（3）将点C（﹣，1）向右平移5个单位长度得到点D．当线段CD与函数y＝﹣x2+4x+t 的变换图象有两个公共点，直接写出t的取值范围．16．在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝α，∠BCD ＝β，点E，F是四边形ABCD内的两个点，满足∠EAF＝α，∠ECF＝β，连接BE，EF，FD．（1）如图1，当α＝β时，判断∠ABE和∠ADF之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，当α≠β时，用等式表示线段BE，EF，FD之间的数量关系（直接写出即可）．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m）（m≠0）．将点A绕点P顺时针旋转90°，得到点M，将点O绕点Q顺时针旋转90°，得到点N，连接MN，称线段MN为线段AO的伴随线段．（1）如图1，若m＝1，则点M，N的坐标分别为，；（2）对于任意的m，求点M，N的坐标（用含m的式子表示）；（3）已知点B（﹣，t），C（，t），以线段BC为直径，在直线BC的上方作半圆，若半圆与线段BC围成的区域内（包括边界）至少存在一条线段AO的伴随线段MN，直接写出t的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题4分）第1-4题符合题意的选项只有一个，答案填写在右边表格中．1．某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：x…01234…y…﹣30﹣103…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．B．C．D．【分析】利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝2，则顶点坐标为（2，﹣1），于是可判断抛物线的开口向上，则x＝0和x＝4的函数值相等且大于0，然后可判断A选项错误．解：∵x＝1和x＝3时，y＝0；∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴顶点坐标为（2，﹣1），∴抛物线的开口向上，∴x＝0和x＝4的函数值相等且大于0，∴x＝0，y＝﹣3错误．故选：A．2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）以点C为圆心，以CB的长为半径画弧，交AB于点G，分别以点G，B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线CK；（2）以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E；（3）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CF．根据以上操作过程及所作图形，有如下结论：①CE＝CD；②BC＝BE＝BF；③S四边形CDFB＝CF•BD；④∠BCF＝∠BCE．所有正确结论的序号为（）A．①②③B．①③C．②④D．③④【分析】①由作图过程可得，CE是BG的垂直平分线，BD是∠CBF的平分线，可以证明△BCD≌△BFD，根据全等三角形的性质进而可以判断；②根据BC≠BE，即可判断；③根据S四边形CDFB＝S△BCD+S△BFD即可判断；④根据△BCE与△BCF不全等，∠BCE≠∠BCF，即可判断．解：如图，连接CF，交BD于点H，由作图过程可知：CE是BG的垂直平分线，BD是∠CBF的平分线，设CE与AB交于点Q，∴∠CQA＝∠DFA＝90°，∴CQ∥DF，∴∠CED＝∠FDE，∵BD是∠CBF的平分线，∴∠CBD＝∠FBD，∵∠BCD＝∠BFD＝90°，BD＝BD，∴△BCD≌△BFD（AAS），∴∠CDB＝∠FDB，∴∠CDB＝∠CED，∴CE＝CD，所以①正确；∵△BCD≌△BFD（AAS），∴BC＝BF，但是BC≠BE，∴②不正确；∵S四边形CDFB＝S△BCD+S△BFD＝BD•CH+BD•FH＝CF•BD．∴③正确；∵△BCE与△BCF不全等，∴∠BCE≠∠BCF，∴④不正确．所以正确结论的序号为①③．故选：B．3．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D是BC的中点，DE⊥AD交BC于点E．若AC＝1，则△BDE的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝∠B＝45°，根据勾股定理得到AD＝＝，过D作DH⊥AB于H，求得DH＝BD＝，根据相似三角形的性质得到AE＝＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．解：∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∵点D是BC的中点，AC＝1，∴CD＝BD＝，AB＝，∴AD＝＝，过D作DH⊥AB于H，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD＝，∴AH＝＝＝∵∠EDH+∠DEH＝∠EDH+∠ADH＝90°，∴△ADH∽△AED，∴＝，∴AE＝＝，∴BE＝AB﹣AE＝，∴△BDE的面积＝×＝，故选：A．4．对于正整数k定义一种运算：f（k）＝[]﹣[]，例：f（3）＝[]﹣[]，[x]表示不超过x的最大整数，例：[3.9]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．则下列结论错误的是（）A．f（1）＝0B．f（k）＝0或1C．f（k+4）＝f（k）D．f（k+1）≥f（k）【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．解：A、f（1）＝[]﹣[]＝0﹣0＝0，故选项A正确，不合题意；B、当k＝3+4n（n为自然数）时，f（k）＝1，当k为其它的正整数时，f（k）＝0，所以B选项的结论正确，不合题意；C、f（k+4）＝[]﹣[]＝[+1]﹣[+1]＝[]﹣[]＝f（k），故选项C正确，不合题意；D、当k＝3时，f（3+1）＝[]﹣[]＝1﹣1＝0，而f（3）＝1，故选项D错误，符合题意；故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）5．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝π﹣3．【分析】根据圆的面积公式得到⊙O的面积S＝3.14，求得圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×1×sin30°＝3，即可得到结论．解：∵⊙O的半径为1，∴⊙O的面积S＝π，∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°，∴过A作AC⊥OB，∴AC＝OA＝，∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×＝3，∴则S﹣S1＝π﹣3，故答案为：π﹣3．6．若点（m，m），（n，n）（m≠n）都在抛物线y＝x2+2x+c上，且m＜1＜n，则c的取值范围是c＜﹣2．【分析】由已知可知一次函数y＝x与抛物线y＝x2+2x+c有两个不同的交点，则有x2+2x+c ＝x，可得△＝1﹣4c＞0，再由已知，当x＝1时，3+c＜1，由此可求c的取值．解：∵点（m，m），（n，n）（m≠n）都在抛物线y＝x2+2x+c上，∴一次函数y＝x与抛物线y＝x2+2x+c有两个不同的交点，则有x2+2x+c＝x，∴△＝1﹣4c＞0，∴c＜，∵m＜1＜n，∴当x＝1时，3+c＜1，∴c＜﹣2，∴c＜﹣2，故答案为c＜﹣2．7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），点P在直线y＝x上，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标为（1，）或（﹣1，﹣）或（﹣2，﹣2）或（2，2）．【分析】设P点的坐标是（x，x）有三种类型：①∠APB＝90°，②∠PAB＝90°，③∠ABP＝90°，根据点的坐标和勾股定理求出x即可．解：∵点P在直线y＝x上，∴设P点的坐标是（x，x）有三种类型：①如图1，当∠APB＝90°时，∵A（﹣2，0），B（2，0），P（x，x），∴由勾股定理得：AP2+BP2＝AB2，即（﹣2﹣x）2+（0﹣x）2+（x﹣2）2+（x﹣0）2＝（2+2）2，解得：x＝±1，即此时点P的坐标是（1，）或（﹣1，﹣）；②如图2，当∠PAB＝90°时，∵A（﹣2，0），B（2，0），P（x，x），∴P点的横坐标是﹣2，纵坐标是﹣2，即点P的坐标是（﹣2，﹣2）；③当∠ABP＝90°时，点P的坐标是（2，2），故答案为：（1，）或（﹣1，﹣）或（﹣2，﹣2）或（2，2）．8．对于两个非零整数x，y，如果满足这两个数的积等于它们的和的6倍，称这样的x，y 为友好整数组，记作＜x，y＞，＜x，y＞与＜y，x＞视为相同的友好整数组．请写出一个友好整数组＜7，42＞，这样的友好整数组一共有9组．【分析】由友好整数组的定义和x，y为整数及数的整除性，分析计算可得答案．解：由已知可得若为为友好整数组，则xy≠0，且xy＝6（x+y）∴（x﹣6）y＝6x，显然当x＝6时该等式不成立，∴x≠6∴y＝＝＝6+∵y是整数∴是整数∴当x﹣6＝1，即x＝7时，y＝42，故＜7，42＞是一个友好整数组．∵x，y是整数∴是整数，且x﹣6是整数∵xy≠0，且＜x，y＞与＜y，x＞视为相同的友好整数组．∴x﹣6＝±1或±2或±3或±4或﹣6，∴这样的友好整数组一共有2+2+2+2+1＝9（组）．故答案为：＜7，42＞；9．三、解答题（本题共68分，第9，10题，每小题6分，第11～17题，每小题6分）9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．（1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足+＝，求k的值；（3）若Rt△ABC的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC 的内切圆半径．【分析】（1）根据根的判别式△＝（k+4）2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，即可得到结论；（2）由题意得到x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k，代入，解方程即可得到结论；（3）解方程x2﹣（k+4）x+4k＝0得到x1＝4，x2＝k，根据题意根据勾股定理列方程得到k＝3，设直角三角形ABC的内切圆半径为r，根据切线长定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵△＝（k+4）2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：由题意得：x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k，∵，∴，即，解得：k＝2；（3）解：解方程x2﹣（k+4）x+4k＝0得：x1＝4，x2＝k，根据题意得：42+k2＝52，即k＝3，设直角三角形ABC的内切圆半径为r，如图，由切线长定理可得：（3﹣r）+（4﹣r）＝5，∴直角三角形ABC的内切圆半径r＝．10．地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得电梯AB的坡度，然后根据勾股定理即可求得AB的长度．解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，∵tan∠BQD＝，∴tan14°＝，即0.25＝，解得，ED＝18，∴AC＝ED＝18，∵BC＝7.5，∴tan∠BAC＝＝，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，∴AB＝＝19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．11．某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min（3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝；②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝；（2）若min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围为﹣2≤x≤4；（3）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；（4）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值．【分析】（1）①根据平均数的定义计算即可．②求出三个数中的最小的数即可．（2）根据不等式解决问题即可．（3）构建方程即可解决问题．（4）把问题转化为不等式组解决即可．解：（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝，②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝；故答案为：，．（2）∵min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，∴，解得﹣2≤x≤4，故答案为﹣2≤x≤4．（3）∵M{﹣2x，x2，3}＝2，∴＝2，解得x＝﹣1或3．（4）∵M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，又∵＝x+1，∴，解得1≤x≤1，∴x＝1．12．如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．【分析】直接利用圆周角定理结合等腰直角三角形的性质得出AB的长，再利用勾股定理得出答案．解：如图，连接AD，AC，连接CD与AB交于点F，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴AC为直径．∴∠ADC＝90°．∵AE＝DE，DE⊥AB，∴∠DAB＝∠ADE＝45°．∴∠BCF＝∠DAB＝45°．∴BC＝BF＝3．在△ADF中，∠DAB＝∠AFD＝45°，∴EF＝ED＝1．∴AB＝5．∴AC＝＝．∴⊙O半径的长．13．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：（1）建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标．（2）画出函数图象函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象在直线平移过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．（4）得出结论若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为m≥8．【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；（2）直接画出图象即可；（3）在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，即可求解；（4）由（3）可得．解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，故点（x，y）在第一象限，故答案为：一；（2）图象如下所示：（3）①在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，∵△＝m2﹣4×4，∴0个交点时，m＜8；1个交点时，m＝8；2个交点时，m＞8；（4）由（3）得：m≥8，故答案为：m≥8．14．对于任意的实数m，n，定义运算“∧”，有m∧n＝．（1）计算：3∧（﹣1）；（2）若m＝|x﹣1|，n＝|x+2|，求m∧n（用含x的式子表示）；（3）若m＝x2+2x﹣3，n＝﹣x﹣3，m∧n＝﹣2，求x的值．【分析】（1）根据新定义的运算法则进行计算即可；（2）根据新定义的运算法则代入，然后根据x的取值范围不同分情况讨论计算；（3）根据新定义的运算法则代入，然后根据x的取值范围不同分情况讨论计算即可．解：（1）3∧（﹣1）＝＝＝3（2）当x≤﹣2时，m＝1﹣x，n＝﹣x﹣2；m∧n＝1﹣x；当x≥1时，m＝x﹣1，n＝x+2；m∧n＝2+x；当﹣2＜x＜1时，m＝1﹣x，n＝x+2，m∧n＝；①当﹣2＜x≤﹣时，m∧n＝＝1﹣x；②当﹣＜x＜1时，m∧n＝＝x+2答：m∧n的值为1﹣x或x+2．（3）把m＝x2+2x﹣3，n＝﹣x﹣3代入m∧n＝，得：m∧n＝①当x≤﹣3或x≥0时，m∧n＝x2+2x﹣3＝﹣2解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣（不合题意，舍去）②当﹣3＜x＜0时，m∧n＝﹣x﹣3＝﹣2；解得x3＝﹣1；综上所述，x＝﹣1+或﹣1．答：x的值为﹣1+或﹣1．15．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：将一个函数的图象在y轴左侧的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，两部分组成的函数图象，称为这个函数的变换图象．（1）点A（﹣1，4）在函数y＝x+m的变换函象上，求m的值；（2）点B（n，2）在函数y＝﹣x2+4x的变换图象上，求n的值；（3）将点C（﹣，1）向右平移5个单位长度得到点D．当线段CD与函数y＝﹣x2+4x+t 的变换图象有两个公共点，直接写出t的取值范围．【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，点B代入解析式可求解；（3）分三种情况讨论，列出不等式或不等式组，可求解．解：（1）∵点A（﹣1，4）在函数y＝x+m的变换函象上，∴4＝﹣（﹣1+m），∴m＝﹣3，（2）根据题意，当n＜0时，n2﹣4n＝2，解得：n＝2﹣，n＝2+（舍去）当n≥0时，﹣n2+4n＝2，解得：n＝2±，综上所述：n＝2﹣或n＝2±；（3）∵将点C（﹣，1）向右平移5个单位长度得到点D，∴点D（，1）当t＞1时，由题意可得：∴t≤，∴1＜t≤当﹣1＜t≤1时，线段CD与函数y＝﹣x2+4x+t的变换图象有三个公共点，（不合题意舍去），当t≤﹣1时，线段CD与y轴左侧图象没有交点，与y轴右侧图象有两个交点，可得：t+4＜1，∴t＞﹣3，∴﹣3＜t≤﹣1，综上所述：t的取值范围为﹣3＜t≤﹣1或1＜t≤．16．在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝α，∠BCD ＝β，点E，F是四边形ABCD内的两个点，满足∠EAF＝α，∠ECF＝β，连接BE，EF，FD．（1）如图1，当α＝β时，判断∠ABE和∠ADF之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，当α≠β时，用等式表示线段BE，EF，FD之间的数量关系（直接写出即可）．【分析】（1）结论：∠ABE+∠ADF＝90°．将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△CDT，连接FM，TF．证明M，D，T 共线，再证明FM＝FT．DM＝DT即可解决问题．（2）结论：EF2＝BE2+DF2．将△ABE绕点A逆时针旋转α度得到△ADM，将△BCE 绕点C顺时针旋转β度得到△CDT，连接FM，TF．证明∠FDM＝90°，利用勾股定理即可解决问题．解：（1）结论：∠ABE+∠ADF＝90°．理由：∵AB＝AD，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△CDT，连接FM，TF．∵∠EAF＝×90°＝45°，∴∠MAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠FAM＝∠FAE，∵AM＝AE，AF＝AF，∴△AFM≌△AFE（SAS），∴EF＝FM，同法可证：EF＝FT，∴FM＝FT，∵∠ADM+∠CDT＝∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠MDT＝90°+90°＝180°，∴M，D，T共线，∵DM＝BE，DT＝BE，∴DM＝DT，∴FD⊥MT，∴∠FDM＝90°，∴∠ADM+∠ADF＝90°，∵∠ADM＝∠ABE，∴∠ABE+∠ADF＝90°．（2）结论：EF2＝BE2+DF2．理由：∵AD＝AB，CD＝CB，∴将△ABE绕点A逆时针旋转α度得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转β度得到△CDT，连接FM，TF．∵∠EAF＝×∠DAB＝α，∴∠MAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝α，∴∠FAM＝∠FAE，∵AM＝AE，AF＝AF，∴△AFM≌△AFE（SAS），∴EF＝FM，同法可证：EF＝FT，∴FM＝FT，∵∠ADM+∠CDT＝∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠MDT＝90°+90°＝180°，∴M，D，T共线，∵DM＝BE，DT＝BE，∴DM＝DT，∴FD⊥MT，∴∠FDM＝90°，∴FM2＝DM2+DF2，∵FM＝EF，DM＝BE，∴EF2＝BE2+DF2．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m）（m≠0）．将点A绕点P顺时针旋转90°，得到点M，将点O绕点Q顺时针旋转90°，得到点N，连接MN，称线段MN为线段AO的伴随线段．（1）如图1，若m＝1，则点M，N的坐标分别为（1，2），（﹣1，1）；（2）对于任意的m，求点M，N的坐标（用含m的式子表示）；（3）已知点B（﹣，t），C（，t），以线段BC为直径，在直线BC的上方作半圆，若半圆与线段BC围成的区域内（包括边界）至少存在一条线段AO的伴随线段MN，直接写出t的取值范围．【分析】（1）根据题意画出图形，求出PM，QN，OQ，OP即可解决问题．（2）如图1中，对于任意m，则有OQ＝PQ＝AP＝m，PM＝NQ＝m，可得结论．（3）求出两种特殊位置t的值即可判断：①如图2中，半圆在x轴上方，当点N落在BC上，点M在半圆上时，过点M作MH⊥BC于H，连接QM．②如图3中，半圆在x轴下方，当点M落在BC上，点N在半圆上时，过点N作NH⊥BC于H，连接PN．解：（1）如图1中，当m＝1时，A（0，3），P（0，2），Q（0，1），∴OQP＝PQ＝1，由旋转的性质可知PM＝NQ＝1，∴M（1，2），N（﹣1，1），故答案为（1，2），（﹣1，1）．（2）如图1中，对于任意m，则有OQ＝PQ＝AP＝m，PM＝NQ＝m，可得M（m，2 m），N（﹣m，m）．（3）①如图2中，半圆在x轴上方，当点N落在BC上，点M在半圆上时，过点M作MH⊥BC于H，连接QM．由题意：MQ＝BQ＝，∵MH＝QH＝m，∴m＝1，此时B（﹣，1），C（，1），t＝1．②如图3中，半圆在x轴下方，当点M落在BC上，点N在半圆上时，过点N作NH ⊥BC于H，连接PN．由题意：PN＝PB＝，∵NH＝PH＝﹣m，∴m＝﹣1，∴P（0，﹣2）此时B（﹣，﹣2），C（，﹣2），t＝﹣2，观察图象可知满足条件的t的值为﹣2≤t≤1．。
2020年北京人大附中朝阳分校中考数学二模试卷及答案.doc
A．10，8
B．9.8，9.8
C．9.8，7.9
D．9.8，8.1
8．（2 分）甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程 S（单位：米）与所用时间 t
（单位：秒）之间的函数图象分别为线段 OA 和折线 OBCD．则下列说法正确的是（ ）
A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．跑步过程中，两人相遇一次
A．6
B．﹣6
C．3
D．﹣3
【分析】根据题意表示出 B 点对应的数，再利用互为相反数的性质分析得出答案．
【解答】解：由题意可得：B 点对应的数是：a+6，
∵点 A 和点 B 表示的数恰好互为相反数，
∴a+a+6＝0，
解得：a＝﹣3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了数轴以及相反数，正确表示出 B 点对应的数是解题关键．
，
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B，与反比例函数图象的一个交点为 M（a，3）． （1）求反比例函数的表达式；
（2）设直线 l2：y＝﹣2x+m 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D，且 S△OCD＝3S△OAB，直接写
出 m 的值
．
21．（9 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的⊙O 与
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24．（9 分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数 k，对于函数图象上横坐标之差为 1 的任意两点（a，b1），（a+1，b2），b2﹣b1≥k 都成立，则称这个函数是限减函数，在所 有满足条件的 k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数 y＝﹣x+2，当 x 取 值 a 和 a+1 时，函数值分别为 b1＝﹣a+2，b2＝﹣a+1，故 b2﹣b1＝﹣1≥k，因此函数 y ＝﹣x+2 是限减函数，它的限减系数为﹣1． （1）写出函数 y＝2x﹣1 的限减系数； （2）m＞0，已知 （﹣1≤x≤m，x≠0）是限减函数，且限减系数 k＝4，求 m 的取 值范围． （3）已知函数 y＝﹣x2 的图象上一点 P，过点 P 作直线 l 垂直于 y 轴，将函数 y＝﹣x2 的图象在点 P 右侧的部分关于直线 l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象， 如果这个新函数是限减函数，且限减系数 k≥﹣1，直接写出 P 点横坐标 n 的取值范围．
2020年北京市朝阳区中考数学二模试卷 (解析版)
2020年北京市朝阳区中考数学二模试卷一、选择题（共8小题）.1．3的相反数是（）A．B．3C．D．﹣32．如图，直线l1∥l2，它们之间的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长D．线段PD的长度3．方程组的解是（）A．B．C．D．4．五边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°5．如果x2+x＝3，那么代数式（x+1）（x﹣1）+x（x+2）的值是（）A．2B．3C．5D．66．下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7．某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表：会员卡类型办卡费用/元有效期优惠方式A类401年每杯打九折B类801年每杯打八折C类1301年一次性购买2杯，第二杯半价例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）＝940元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（）A．购买A类会员卡B．购买B类会员卡C．购买C类会员卡D．不购买会员卡8．在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%，八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．所有合理推断的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式的值为0，则x的值为．10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为21m，那么这根旗杆的高度为m．11．如图的四边形都是矩形，根据图形，写出一个正确的等式：．12．如表显示了用计算机模拟随机拋掷一枚硬币的某次实验的结果．抛掷次数n300500700900110013001500170019002000“正面向上”的次数m1372333354415446507498529461004“正面向上”的频率0.4570.4660.4790.4900.4950.5000.4990.5010.4980.502估计此次实验硬币“正面向上”的概率是．13．若点A（4，﹣3），B（2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为．14．如图1，将矩形ABCD和正方形EFCH分别沿对角线AC和EG剪开，拼成如图2所示的平行四边形PQMN，中间空白部分的四边形KRST是正方形．如果正方形EFCH和正方形KRST的面积分别是16和1，则矩形ABCD的面积为．15．甲、乙两个芭蕾舞团演员的身高（单位：cm）如表：甲164164165165166166167167乙163163165165166166168168两组芭蕾舞团演员身高的方差较小的是．（填“甲”或“乙”）16．正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；②存在无数个四边形PMQN是菱形；③存在无数个四边形PMQN是矩形；④至少存在一个四边形PMQN是正方形．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，毎小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题每小题5分）17．计算：4cos45°+（﹣1）0﹣+|﹣2|．18．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．19．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①任意取一点K，使点K和点P在直线l的两旁；②以P为圆心，PK长为半径画弧，交l于点A，B，连接AP；③分别以点P，B为圆心，以AB，PA长为半径画弧，两弧相交于点Q（点Q和点A在直线PB的两旁）；④作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接BQ，∵PQ＝，BQ＝，∴四边形PABQ是平行四边形（）（填推理依据）．∴PQ∥l．20．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的b，c 的值，并求此时方程的根．21．如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE．（1）求证：AF＝CE；（2）连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．22．为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取50家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A项指标成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：4≤x＜5，5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）：b．A项指标成绩在7≤x＜8这一组的是：7.2，7.3，7.5，7.67，7.7，7.71，7.75，7.82，7.86，7.9，7.92，7.93，7.97．c．A，B两项指标成绩的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数A项指标成绩7.37m8.2B项指标成绩7.217.38根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次调研评估中，某企业A项指标成绩和B项指标成绩都是7.5分，该企业成绩排名更靠前的指标是（填“A“或“B”），理由是；（3）如果该地区有500家企业，估计A项指标成绩超过7.68分的企业数量．23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC经过点O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE∥AC；（2）若AB＝8，tan E＝，求CD的长．24．如图，AB是半圆的直径，P是半圆与直径AB所围成的图形的外部的一定点，D是直径AB上一动点，连接PD并延长，交半圆于点C，连接AC，BC．已知AB＝6cm，设A，D两点之间的距离为xcm，A，C两点之间的距离为y1cm，B，C两点之间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究：下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照如表自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm00.47 1.31 5.02 5.916y2/cm6 5.98 5.86 5.26 3.29 1.060（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ABC有一个角的正弦值为时，AD的长约为cm．25．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+2（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝﹣kx+2与x轴交于点C．（1）求点B的坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，AC，BC围成的区域（不含边界）为G．①当k＝2时，结合函数图象，求区域G内整点的个数；②若区域G内恰有2个整点，直接写出k的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+a2x+c与y轴交于点（0，2）．（1）求c的值；（2）当a＝2时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点A（﹣2，0），B（1，0），若抛物线y＝ax2+a2x+c与线段AB有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．已知∠AOB＝40°，M为射线OB上一定点，OM＝1，P为射线OA上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN＝∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作d（P，M）．已知直线y＝﹣x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙O的半径为1．（1）若b＝2，①求d（B，⊙O）的值；②若点C在直线AB上，求d（C，⊙O）的最小值；（2）以点A为中心，将线段AB顺时针旋转120°得到AD，点E在线段AB，AD组成的图形上，若对于任意点E，总有2≤d（E，⊙O）＜6，直接写出b的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．3的相反数是（）A．B．3C．D．﹣3【分析】根据相反数的定义即可求解．解：3的相反数是：﹣3．故选：D．2．如图，直线l1∥l2，它们之间的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长D．线段PD的长度【分析】按照平行线间的距离的定义即可得出答案．解：平行线间的距离是指平行线上任意一点与另一条平行线的垂线段的长度．观察图形可得PB为直线l1∥l2之间的垂线段．故选：B．3．方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．解：，①+②得：3x＝6，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，则方程组的解为，故选：A．4．五边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】n边形的内角和是（n﹣2）180°，由此即可求出答案．解：五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°．故选B．5．如果x2+x＝3，那么代数式（x+1）（x﹣1）+x（x+2）的值是（）A．2B．3C．5D．6【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而把已知代入得出答案．解：（x+1）（x﹣1）+x（x+2）＝x2﹣1+x2+2x＝2x2+2x﹣1＝2（x2+x）﹣1，∵x2+x＝3，∴原式＝2×3﹣1＝5．故选：C．6．下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：D．7．某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表：会员卡类型办卡费用/元有效期优惠方式A类401年每杯打九折B类801年每杯打八折C类1301年一次性购买2杯，第二杯半价例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）＝940元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（）A．购买A类会员卡B．购买B类会员卡C．购买C类会员卡D．不购买会员卡【分析】设一年内在便利店购买咖啡x次，用x表示出购买各类会员年卡的消费费用，把x＝75、85代入计算，比较大小得到答案．解：设一年内在便利店购买咖啡x次，购买A类会员年卡，消费费用为40+2×（0.9×10）x＝（40+18x）元；购买B类会员年卡，消费费用为80+2×（0.8×10）x＝（80+16x）元；购买C类会员年卡，消费费用为130+（10+5）x＝（130+15x）元；把x＝75代入得A：1390元；B：1280元；C：1255元，把x＝85代入得A：1570元；B：1440元；C：1405元，则小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为购买C类会员年卡．故选：C．8．在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%，八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．所有合理推断的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】根据给出条件，利用统计学知识逐一加以判断．解：∵七年级男生成绩的优秀率为40%，八年级男生成绩的优秀率为50%，∴七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；故①正确，∵七年级学生成绩的优秀率在40%与60%之间，八年级学生成绩的优秀率在在50%与70%之间，∴不能确定哪个年级的优秀率大，故②错误；∵七、八年级所有男生成绩的优秀率在40%与50%之间，七、八年级所有女生成绩的优秀率在60%与70%之间．∴七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．故③正确．故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式的值为0，则x的值为1．【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．据此求解可得．解：∵分式的值为0，∴1﹣x＝0且x≠0，∴x＝1，故答案为：1．10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为21m，那么这根旗杆的高度为14m．【分析】直接利用同一时刻物体影长与实际高度比值相同进而得出答案．解：设这根旗杆的高度为xm，根据题意可得：＝，解得：x＝14．即这根旗杆的高度为14m．故答案为：14．11．如图的四边形都是矩形，根据图形，写出一个正确的等式：m（a+b）＝ma+mb．【分析】根据矩形的面积公式，利用大矩形的面积等于两个小矩形的面积和即可写出一个正确的等式．解：根据图形可得：m（a+b）＝ma+mb．故答案为：m（a+b）＝ma+mb．12．如表显示了用计算机模拟随机拋掷一枚硬币的某次实验的结果．抛掷次数n300500700900110013001500170019002000“正面向上”的次数1372333354415446507498529461004 m“正面向上”的频率0.4570.4660.4790.4900.4950.5000.4990.5010.4980.502【分析】用大量重复试验事件发生的频率的稳定值估计概率即可．解：观察表格发现：随着试验次数的增多，“正面向上”的频率逐渐稳定在常数0.500附近，所以估计此次实验硬币“正面向上”的概率是0.500，故答案为：0.500．13．若点A（4，﹣3），B（2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为﹣6．【分析】设反比例函数解析式为y＝，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝4×（﹣3）＝2m，然后解关于m的方程即可．解：设反比例函数解析式为y＝，根据题意得k＝4×（﹣3）＝2m，解得m＝﹣6．故答案为﹣6．14．如图1，将矩形ABCD和正方形EFCH分别沿对角线AC和EG剪开，拼成如图2所示的平行四边形PQMN，中间空白部分的四边形KRST是正方形．如果正方形EFCH和正方形KRST的面积分别是16和1，则矩形ABCD的面积为15．【分析】根据正方形的面积公式求得正方形EFCH和正方形KRST的边长，再根据线段的和差关系可求矩形ABCD的长和宽，再根据矩形的面积公式即可求解．解：∵正方形EFCH和正方形KRST的面积分别是16和1，∴正方形EFCH和正方形KRST的边长分别是4和1，则矩形ABCD的面积为（4+1）×（4﹣1）＝15．故答案为：15．15．甲、乙两个芭蕾舞团演员的身高（单位：cm）如表：甲164164165165166166167167乙163163165165166166168168两组芭蕾舞团演员身高的方差较小的是甲．（填“甲”或“乙”）【分析】先算出两组数据的平均数，再计算两组数据的方差．解：甲组演员身高的平均数为：（164×2+165×2+166×2+167×2）＝165.5，乙组演员身高的平均数为：（163×2+165×2+166×2+168×2）＝165.5，∵＝[（164﹣165.5）2+（164﹣165.5）2+（165﹣165.5）2+（165﹣165.5）2+（166﹣165.5）2+（166﹣165.5）2+（167﹣165.5）2+（167﹣165.5）2]＝（2.25+2.25+0.25+0.25+0.25+0.25+2.25+2.25）＝1.25；＝[（163﹣165.5）2+（163﹣165.5）2+（165﹣165.5）2+（165﹣165.5）2+（166﹣165.5）2+（166﹣165.5）2+（168﹣165.5）2+（168﹣165.5）2]＝（6.25+6.25+0.25+0.25+0.25+0.25+6.25+6.25）＝3.25；∴甲组芭蕾舞团演员身高的方差较小．故答案为：甲．16．正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；②存在无数个四边形PMQN是菱形；③存在无数个四边形PMQN是矩形；④至少存在一个四边形PMQN是正方形．所有正确结论的序号是①②④．【分析】根据正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到结论．解：如图，作线段MN的垂直平分线交AD于P，交AB于Q．∵PQ垂直平分线段MN，∴PM＝PN，QM＝QN，∵四边形ABCD是正方形，∴PAN＝∠QAN＝45°，∴∠APQ＝∠AQP＝45°，∴AP＝AQ，∴AC垂直平分线段PQ，∴MP＝MQ，∴四边形PMQN是菱形，在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形，∴①③④正确，故答案为①③④．三、解答题（本题共68分，第17-22题，毎小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题每小题5分）17．计算：4cos45°+（﹣1）0﹣+|﹣2|．【分析】先计算立方根、零指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得．解：原式＝4×+1﹣2+2＝2+1﹣2+2＝3．18．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．解：解不等式4（x+1）≤2x+6，得：x≤1，解不等式x﹣3＜，得：x＜2，则不等式组的解集为x≤1，所以不等式组的非负整数解为0、1．19．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①任意取一点K，使点K和点P在直线l的两旁；②以P为圆心，PK长为半径画弧，交l于点A，B，连接AP；③分别以点P，B为圆心，以AB，PA长为半径画弧，两弧相交于点Q（点Q和点A在直线PB的两旁）；④作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接BQ，∵PQ＝AB，BQ＝AP，∴四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理依据）．∴PQ∥l．【分析】（1）根据尺规作图过程即可补全图形；（2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可完成证明．解：（1）如图，即为补全的图形；（2）证明：连接BQ，∵PQ＝AB，BQ＝AP，∴四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．∴PQ∥l．故答案为：AB，AP，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．20．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的b，c 的值，并求此时方程的根．【分析】利用方程有两个相等的实数根得到△＝b2﹣4c＝0，设b＝2，c＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．解：答案不唯一，∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4c＝0，若b＝2，c＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．21．如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE．（1）求证：AF＝CE；（2）连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．【分析】（1）证明△DAF≌△BCE（ASA），即可得出结论；（2）证明∠CAB＝∠DCA，得出AF＝4，可得出∠FAC＝∠DCA，则FC＝AF＝4，由直角三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，∵∠DAF＝∠BCE，∴△DAF≌△BCE（ASA），∴AF＝CE；（2）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∵CE＝4，∴AF＝4，∵AC平分∠FAE，∴∠FAC＝∠CAB，∴∠FAC＝∠DCA，∴FC＝AF＝4，在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF＝2，∴CD＝6．22．为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取50家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A项指标成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：4≤x＜5，5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）：b．A项指标成绩在7≤x＜8这一组的是：7.2，7.3，7.5，7.67，7.7，7.71，7.75，7.82，7.86，7.9，7.92，7.93，7.97．c．A，B两项指标成绩的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数A项指标成绩7.37m8.2B项指标成绩7.217.38根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次调研评估中，某企业A项指标成绩和B项指标成绩都是7.5分，该企业成绩排名更靠前的指标是B（填“A“或“B”），理由是该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业指标成绩的排名在后25名；B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名；（3）如果该地区有500家企业，估计A项指标成绩超过7.68分的企业数量．【分析】（1）根据频数分布直方图可得表中m的值：3+8+6＝17，再从A项指标成绩在7≤x＜8这一组的数据中数到第25、26个数是7.82和7.86，进而可得m的值；（2）根据B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名，进而可以判断；（3）根据题意可得，在样本中，A项指标成绩超过7.68分的企业数量是29，进而可以估计该地区A项指标成绩超过7.68分的企业数量为290家．解：（1）m＝（7.82+7.86）÷2＝7.84；（2）该企业成绩排名更靠前的指标是B，理由是：该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业指标成绩的排名在后25名；B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名；故答案为：B，该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业指标成绩的排名在后25名；B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名；（3）根据题意可知：在样本中，A项指标成绩超过7.68分的企业数量是29，因为×500＝290．所以估计该地区A项指标成绩超过7.68分的企业数量为290家．23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC经过点O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE∥AC；（2）若AB＝8，tan E＝，求CD的长．【分析】（1）如图，连接OD，根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠DOC＝90°，由切线的性质得到OD⊥DE，于是得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠E＝∠ACB，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵AD＝CD，∴∠DOC＝90°，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠DOC+∠ODE＝180°，∴DE∥AC；（2）解：∵DE∥AC，∴∠E＝∠ACB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝8，tan∠ACB＝，∴AC＝10，∵∠ADC＝90°，AD＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AC＝5．24．如图，AB是半圆的直径，P是半圆与直径AB所围成的图形的外部的一定点，D是直径AB上一动点，连接PD并延长，交半圆于点C，连接AC，BC．已知AB＝6cm，设A，D两点之间的距离为xcm，A，C两点之间的距离为y1cm，B，C两点之间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究：下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照如表自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm00.47 1.31 2.88 5.02 5.916y2/cm6 5.98 5.86 5.26 3.29 1.060（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ABC有一个角的正弦值为时，AD的长约为 2.52或4.51cm．【分析】（1）利用图象法解决问题即可．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）由题意BC＝2或AC＝2，利用图象法判断出y＝2时，x的值即可．解：（1）故答案为2.88．（2）函数图象如图所示：（3）∵△ABC有一个角的正弦值为，∴AC＝2或BC＝2，如图当y＝2时，x＝2.52或4.51．故答案为2.52或4.51．25．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+2（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝﹣kx+2与x轴交于点C．（1）求点B的坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，AC，BC围成的区域（不含边界）为G．①当k＝2时，结合函数图象，求区域G内整点的个数；②若区域G内恰有2个整点，直接写出k的取值范围．【分析】（1）根据函数解析式即可得到结论；（2）①当k＝2时，根据函数解析式得到A（﹣1，0），C（2，0），结合函数图象即可得到结论；②结合函数图象，即可得到结论．解：（1）∵直线l1：y＝kx+2（k＞0）与y轴交于点B，∴当x＝0时，y＝2，∴点B的坐标为（0，2）；（2）①当k＝2时，直线l1：y＝2x+2，直线l2：y＝﹣kx+2，∴A（﹣1，0），C（2，0），结合函数图象，区域G内整点的个数为1；②若区域G内恰有2个整点，k的取值范围为1≤k＜2．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+a2x+c与y轴交于点（0，2）．（1）求c的值；（2）当a＝2时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点A（﹣2，0），B（1，0），若抛物线y＝ax2+a2x+c与线段AB有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据二次函数的解析式即可得到结论；（2）把a＝2代入抛物线解析式即可得到结论；（3）当a＞0时，①当a＝2时，如图1，抛物线与AB只有一个交点；②当a＝1+时，如图2，抛物线与线段AB有两个交点，当a＜0时，抛物线与线段AB只有一个交点或没有交点，于是得到结论．解：（1）∵抛物线y＝ax2+a2x+c与y轴交于点（0，2），∴c的值为2；（2）当a＝2时，抛物线为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2，∴抛物线顶点的坐标为（﹣1，0）；（3）当a＞0时，①当a＝2时，如图1，抛物线与AB只有一个交点；②当a＝1+时，如图2，抛物线与线段AB有两个交点，结合函数图象可知：2＜a≤1+；当a＜0时，抛物线与线段AB只有一个交点或没有交点，综上所述，a的取值范围为2＜a≤1+．27．已知∠AOB＝40°，M为射线OB上一定点，OM＝1，P为射线OA上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN＝∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．（3）结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．证明△OMP≌△GPN（SAS），推出OP ＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，由OM＝OH＝PG＝1，推出OP＝HG，推出GH＝GN，推出∠GNH＝∠GHN＝（180°﹣40°）＝70°可得结论．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：如图1中，∵∠MBN＝∠AOB＝40°，∠APM＝∠APN+∠MPN＝∠AOB+∠OMP，∴∠APN＝∠OMP．（3）解：结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．理由：在射线PA设取一点G，使得PG＝OM，连接NG．∵PN＝PM，∠GPN＝∠OMP，∴△OMP≌△GPN（SAS），∴OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，∵OM＝OH＝PG＝1，∴OP＝HG，∴GH＝GN，∴∠GNH＝∠GHN＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠OHN＝180°﹣70°＝110°．28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作d（P，M）．已知直线y＝﹣x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙O的半径为1．（1）若b＝2，①求d（B，⊙O）的值；②若点C在直线AB上，求d（C，⊙O）的最小值；（2）以点A为中心，将线段AB顺时针旋转120°得到AD，点E在线段AB，AD组成的图形上，若对于任意点E，总有2≤d（E，⊙O）＜6，直接写出b的取值范围．【分析】（1）①直接利用圆外一点到圆上的一点的最大距离，即可得出结论；②先判断出OC⊥AB时，OC最短，即可得出结论；（2）Ⅰ、当b＞0时，当直线AB与⊙O相切时，d（E，⊙O）最小，当点E恰好在点D时，d（E，⊙O）最大，即可得出结论；Ⅱ、当b＜0时，同Ⅰ的方法即可得结论．解：（1）如图1，∴B（0，2），∴d（B，⊙O）＝2+1＝3；②过点O作OC⊥AB于C，此时，直线上的点C到点O的距离最小，即d（C，⊙O）取最小值，∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，令y＝0，则0＝﹣x+2，∴x＝2，∴A（2，0），∴OA＝2，令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），∴OB＝2，根据勾股定理得，AB＝＝4，∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OC，∴OC＝＝，∴d（C，⊙O）的最小值为+1；（2）Ⅰ、当b＞0时，如图2，针对于直线y＝﹣x+b（b≠0），令x＝0，则y＝b，∴B（0，b），∴OB＝b，令y＝0，则0＝﹣x+b，∴x＝b，∴A（b，0），则AB＝2b，tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°，由旋转知，AD＝AB＝2b，∠BAD＝120°，连接OD，过点D作DE⊥x轴于E，∴∠DAE＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴DE＝b，AE＝b，∴OD＝＝b，∵⊙O的半径为1，∴当线段AB与⊙O相切时，d（E，⊙O）最小＝2，同（1）的方法得，OF＝＝1，∴b＝（舍去负值），对于任意点E，总有2≤d（E，⊙O）＜6，∴b＜6﹣1，∴b＜，即≤b＜；Ⅱ、当b＜0时，如图3，同Ⅰ的方法得，﹣＜b≤﹣，综上述，﹣＜b≤﹣或≤b＜．。
4-2020北京中考朝阳二模数学试卷
Q 在正方形的边上.下面四个结论中，
①存在无数个四边形 PMQN 是平行四边形；
②存在无数个四边形 PMQN 是菱形；
③存在无数个四边形 PMQN 是矩形；
④至少存在一个四边形 PMQN 是正方形.
所有正确结论的序号是
.
三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分） 17．计算： 4cos 45 +（ 3 −1）0 − 8 + −2 ．
6
5.98
5.86
5.26
3.29
1.06
0
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），
（x，y2），并画出函数 y1，y2 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△ABC 有一个角的正弦值为 1 时，AD 的长约为______ 3
cm．
6 / 10
25．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1： y = kx + 2(k＞0) 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直线 l2： y = − 1 kx+2 与 x 轴交于点 C．
图1
备用图
9 / 10
28．对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M，给出如下定义：Q 为图形 M 上任意一 点，如果 P，Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点 P 与图形 M 间的开距离，记作 d（P，M）．
已知直线 y = 3 x + b （b≠0）与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，⊙O 的半径为 1． 3
①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；
2020-2021学年北京市朝阳区中考二模数学试题及答案解析
北京市朝阳区九年级综合练习（二）数 学 试 卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．2014北京车展约850 000的客流量再度刷新历史纪录，将850 000用科学记数法表示应为A ．85×106B ．8.5×106C ．85×104D ．8.5×1052．23-的倒数是（ ）A ．32-B ．23-C ．32 D ．233．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为A ．6B ．7C ．8D ．9 4．数据1，3，3，1，7，3 的平均数和方差分别为 A ．2和4B ．2和16C ．3和4D ．3和245．若关于x 的一元二次方程mx 2+3x+m 2-2m=0有一个根为0，则m 的值等于A ．1B ．2C ．0或2D ．06．如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连结AC 、BC ，在AC 上取点E ，使AE=3EC ，作EF ∥AB 交BC 于点F ，量得EF=6 m ，则AB 的长为 A ．30 m B ．24m C ．18m D ．12m7．在一个不透明的口袋中，装有3个相同的球，它们分别写有数字1,2,3，从中随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为2的概率记为P 1，摸出的球上的数字小于4的概率记为P 2；摸出的球上的数字为5的概率记为P 3．则P 1、P 2、P 3的大小关系是A ．P 1＜P 2＜P 3B ．P 3＜P 2＜P 1C ．P 2＜P 1 ＜P 3D ．P 3＜P 1＜P 28．如图，在三角形纸片ABC 中，∠ABC=90°，AB=5，BC=13，过点A 作直线l ∥BC ，折叠三角形纸片ABC ，使点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随着移动，并限定M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，若设AP 的长为x ，MN 的长为y ，则下列选项，能表示y 与x 之间的函数关系的大致图象是二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式41-+x x 值为0，则x 的值为________． 10．请写出一个多边形，使它满足“绕着某一个点旋转180°，旋转后的图形与原来的图形重合”这一条件，这个多边形可以是 ．M BA B C D11．如图，菱形ABCD 的周长为16，∠C=120°，E 、F 分别为AB 、AD 的中点．则EF 的长为 ． 12．把长与宽之比为2的矩形纸片称为标准纸．如果将一张标准纸ABCD 进行如下操作：即将纸片对折并沿折痕剪开，则每一次所得到的两个矩形纸片都是标准纸（每一次的折痕如下图中的虚线所示）．若宽AB=1，则第2次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是_________；第3次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是_________；第30次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是_________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．已知：如图，点E 、F 在AC 上，且AE=CF ，AD ∥BC ，AD=CB ．求证： DF=BE ．14．计算：︒+-+--30tan 220145310．第一次第二次第三次…15．解分式方程：xx x -=+--23123 ．16．已知50x y -=，求222232x y x yx xy y x y-+⋅-++的值．17．列方程或方程组解应用题：母亲节来临之际，小红去花店为自己的母亲选购鲜花，在花店中同一种鲜花每支的价格相同．小红如果选择由三支康乃馨和两支百合组成的一束花，则需要花34元；如果选择由两支康乃馨和三支百合组成的一束花，则需要花36元．一支康乃馨和一支百合花的价格分别是多少？18．已知关于x 的一元二次方程3x 2-6x+1-k=0 有实数根，k 为负整数． （1）求k 的值；（2）若此方程有两个整数根，求此方程的根．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在四边形ABCD 中，AB=34，∠DAB=90°，∠B=60°，AC ⊥BC ．（1）求AC的长．（2）若AD=2，求CD的长．20．某校对部分初三学生的体育训练成绩进行了随机抽测，并绘制了如下的统计图：女生篮球障碍运球成绩折线统计图男生引体向上成绩条形统计图根据以上统计图解答下列问题：（1）所抽测的女生篮球障碍运球成绩的众数是多少？极差是多少？（2）该校所在城市规定“初中毕业升学体育现场考试”中，男生做引体向上满13次，可以获得满分10分；满12次，可以获9.5分；满11次，可以获得9分；满10次，可以获得8.5分；满9次，可以获得8分．①所抽测的男生引体向上得．分．的平均数是多少？②如果该校今年有120名男生在初中毕业升学体育现场考试中报名做引体向上，请你根据本次抽测的数据估计在报名的这些学生中得分不少于9分的学生有多少人？21．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若2cosC ，AC=6，求BF的长．322．类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P是斜坐标系xOy中的任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，如果M、N在x轴、y轴上分别对应的实数是a、b，这时点P的坐标为（a，b）．（1）如图2，在斜坐标系xOy中，画出点A(-2，3)；（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（5，0）、C（0，4），且P（x，y）是线段CB上的任意一点，则y 与 x 之间的等量关系式为 ；（3）若（2）中的点P 在线段CB 的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，点P(m ，0)为x 轴正半轴上的一点，过点P 做x 轴的垂线，分别交抛物线y=-x 2+2x 和y=-x 2+3x 于点M ，N ． （1）当21=m 时， _____MN PM =；（2）如果点P 不在这两条抛物线中的任何一条上．当四条线段OP ，PM ，．PN ，MN 中恰好有三条线段相等时， 求m 的值．(图1)24. 已知∠ABC=90°，D 是直线AB 上的点，AD=BC ．（1）如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF=BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明；（2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、CD 相交于点P ，且∠APD=45°，求证BD=CE ．图2图125．如图，在平面直角坐标系中xOy，二次函数y=ax2-2ax+3的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，AB=4，动点P从B点出发，沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线BC，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（t ＞0），△BPQ与△ABC 重叠部分的面积为S．（1）求这个二次函数的关系式；（2）求S与t的函数关系式；（3）将△BPQ绕点P逆时针旋转90°，当旋转后的△BPQ与二次函数的图象有公共点时，求t的取值范围（直接写出结果）．北京市朝阳区九年级综合练习（二）数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．C二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．－1 10．答案不唯一，如平行四边形11．2312．1+2，222+，14122+（第1、2每个空各1分，第3个空2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 证明：∵ AE=CF，∴ AE+EF=CF+EF．即AF=CE．…………………… 1分∵ AD ∥BC ，∴ ∠A=∠C ．…………………… 2分 又∵AD=BC ，…………………… 3分 ∴ △ADF ≌△CBE ．…………… 4分 ∴ DF=BE ．……………………… 5分14. 解：原式15132=--+? ………………………………………… 4分 =112. …………………………………………………………………… 5分 15. 解：将方程整理，得331022x x x -++=--． 去分母，得 x －3+3+x －2 = 0． ……………………………………………2分解得 x = 1． ……………………………………………3分经检验 x = 1是原分式方程的解． ………………………………………………4 分∴原分式方程的解为x = 1． …………………………………………………………5 分 16. 解：原式=2()()3()x y x y x yx y x y+-+⋅-+ ……………………………………………2 分 =3x yx y+-． …………………………………………………………3 分 ∵ x －5y=0，∴ x=5y ． …………………………………………………………………4分∴ 原式=5325y yy y+=-．…………………………………………………………5分17. 解：设一支康乃馨的价格是x 元，一支百合的价格是y 元． …………………1分根据题意，得3234,2336.x yx yì+=ïí+=ïî……………………………………………3分解得6,8.xyì=ïí=ïî……………………………………………………4分答：一支康乃馨的价格是6元，一支百合的价格是8元．……………………5分18. 解：（1）根据题意，得Δ≥0．………………………………………………………………………1分即26-）（－4×3（1－k）≥0．解得k≥－2 ．………………………………………………………………2分∵k为负整数，∴k =－1，－2．………………………………………………………………3分（2）当k=－1时，不符合题意，舍去；…………………………………………4分当k=－2时，符合题意，此时方程的根为x1=x2=1．……………………5分四、解答题（本题共20分，题每小题5分）19．解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=34，∠B=60°，∴AC=AB·sin60°=6．…………………………2分（2）作DE⊥AC于点E，∵∠DAB=90°，∠BAC =30°，∴∠DAE=60°，∵AD=2，∴DE=3．…………………………3分 AE=1． ∵AC=6，∴CE=5. ……………………………4分 ∴在Rt △DEC 中，22CE DE CD +=．∴72=CD ．………………………5分20.解：（1）14.5， 3.4；………………………………………………………………2分 （2）①818.52949.5610712467⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++++=9.4（分）；………………………4分② 120×46710220++=（人） …………….…………………………………5分 估计在报名的学生中有102人得分不少于9分．21. （1）证明:如图①，连接AD ．∵ E 是»BD的中点， ∴»»DEBE =． ∴ ∠DAE=∠EAB ． ∵ ∠C =2∠EAB ， ∴∠C =∠BAD ． ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ADB=∠ADC=90°． ∴ ∠C+∠CAD=90°．图①∴ ∠BAD+∠CAD=90°． 即 BA ⊥AC ．∴ AC 是⊙O 的切线．………………………2分（2）解：如图②，过点F 做FH ⊥AB 于点H ．∵ AD ⊥BD ，∠DAE=∠EAB ，∴ FH=FD ，且FH ∥AC ． 在Rt △ADC 中， ∵ 2cos 3C =，AC=6， ∴ CD=4．…………………………………………………3分 同理，在Rt △BAC 中，可求得BC=9． ∴ BD=5．设 DF=x ，则FH=x ，BF=5－x ． ∵ FH ∥AC ， ∴ ∠BFH=∠C ． ∴ 2cos 3FH BFH BF ∠==． 即253x x =-．………………………………………………4分 解得x=2．∴ BF=3． …………………………………………………5分C图②22. 解： （1）如图……………………………………………………1分（2）445y x =-+；……………………………………………………………………………………………………3分（3）当点P 在线段CB 的延长线上时，（2）中结论仍然成立.理由如下：过点P 分别作两坐标轴的平行线，与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ， 则四边形ONPM 为平行四边形,且PN=x ，PM=－y∴ OM=x ，BM=5－x ． ∵PM ∥OC ，∴ △PMB ∽△COB ．…………4分∴PM BMOC OB=， 即545y x --=. ∴445y x =-+.……………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 解：（1）1；………………………………………………………………………………1分（2）∵ OP=m，MN=(－m2+3m)－(－m2+2m) =m，∴ OP=MN．…………………………………………………………………………2分①当0＜m ＜2时，∵PM=－m2+2m , PN=－m2+3m ．∴若PM= OP=MN，有－m2+2m=m，解得m=0，m=1（舍）．……………3分若PN= OP=MN，有－m2+3m=m，解得m=0（舍），m=2（舍）．……………4分②当2＜m ＜3时，不存在符合条件的m值．……………………………………5分③当m ＞3时，∵PM=m2－2m , PN=m2－3m ．∴若PM= OP=MN，有m2－2m=m，解得m=0（舍），m=3（舍）．……………6分若PN= OP=MN，有m2－3m=m，解得m=0（舍），m=4．…………………7分综上，当m=1或m=4，这四条线段中恰有三条线段相等．24. 解：（1）△CDF是等腰直角三角形．………………1分证明：∵∠ABC=90°，AF⊥AB，∴∠FAD=∠DBC ．∵AD=BC，AF=BD，Array∴△FAD≌△DBC ．∴FD=DC ．…………………………………………2分∠1=∠2．∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°．即∠CDF=90°．……………………………………3分∴△CDF是等腰直角三角形．（2）过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DF、CF．…………………………4分∵∠ABC=90°，AF⊥AB，∴∠FAD=∠DBC ．∴△FAD≌△DBC ．∴FD=DC ，∠1=∠2．∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°．即∠CDF=90°．∴△CDF是等腰直角三角形．………………………………………………………5分∴∠FCD=∠APD=45°．∴FC∥AE．∵∠ABC =90°，AF⊥AB，∴AF∥CE．∴四边形AFCE是平行四边形．…………………………………………………6分∴AF=CE．∴BD=CE．……………………………………………………………………………7分25. 解：（1）由y=ax 2－2ax+3可得抛物线的对称轴为x=1．…………………1分∵AB=4，∴A （－1，0），B （3，0）． ∴a=－1．∴y=－x 2+2x+3． ………………………………………………………2分（2）由题意可知，BP=t ，∵B （3，0），C （0，3）， ∴OB=OC ．∴∠PBQ=45°． ∵PQ ⊥BC ，∴PQ=QB=2． ① 当0＜t ≤4时，S=PBQ S ∆=14t 2．……………………………………………3分 ② 当4＜t ＜6时，设PQ 与AC 交于点D ，作DE ⊥AB 于点E ，则DE=PE ．∵tan ∠DAE=DE OCAE OA==3． ∴DE=PE =3AE=32PA ．∵PA=t －4，∴DE=34)2t -(．∴23612.4PAD S t t =-+△ ………………4分 ∵PBQ PAD S S S =-△△，∴216122S t t =-+-． …………………………………………………5分 ③ 当t ≥6时，S=ABC S ∆=6 ． ……………………………………………6分综上所述，2?2? 1(0441612(4626(6t t S t t t t ⎧⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪≥⎪⎩＜≤）＜＜） ）（3）229≤t ≤4．…………………………………………………………………8分说明：各解答题其它正确解法请参照给分．。
2020届北京市朝阳区中考数学二模试卷(有解析)
2020届北京市朝阳区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列汽车标志图案中不是轴对称图形的是()A. B.C. D.2.2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，将0.00519用科学记数法表示应为A. 5.19×10−2B. 5.19×10−3C. 519×10−5D. 519×10−63.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是()A. 青B. 春C. 梦D. 想4.下列各组数中，结果相等的是()A. −22和(−2)2B. 23和32C. −33和(−3)3D. −|−3|和−(−3)5.如图所示，直线AB//CD，∠1=64°，FG平分∠EFD，则∠2的度数是()A. 32°B. 30°C. 31°D. 35°=()6.已知x2−2x−1=0，那么x2+1x2A. 4B. 5C. 6D. 77.如图是某市某中学八年级(1)班学生参加音乐、美术、体育课外兴趣小组人数的部分条形统计图和扇形统计图，则下列说法错误的是()A. 八年级(1)班参加这三个课外兴趣小组的学生总人数为30人B. 在扇形统计图中，八年级(1)班参加音乐兴趣小组的学生人数所占的圆心角度数为82°C. 八年级(1)班参加音乐兴趣小组的学生人数为6人D. 若该校八年级参加这三个兴趣小组的学生共有200人，那么估计全年级参加美术兴趣小组的学生约有60人8.如图是小明从学校到家行进的路程s(米)与时间t(分)的图象，观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走得快，其中正确的有()A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.在函数y=x−1中，自变量x的取值范围是______ ．2x+310.三角形形内角和为______度，三角形外角和为______度，多边形外角和为______度．11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于不同的两点A、B，C为二次函数的图象的顶点，AB=2，若△ABC是边长为2的等边三角形，则a=______．12.小明在某月历上圈出如图所示的呈十字形的5个数，如果圈出的五个数的和为65，那么其中最大的数为______．13. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =45°，BD 为⊙O 的直径，BD =√2，连结CD ，则CD 的长为______．14. 如图将边长为2的正方形纸片ABCD 沿EF 所在直线折叠，使得点A 恰好落到边BC 的中点G处．则折痕EF 的长等于______．15. 已知y −5与x −2成正比例，且当x =3时，y =2，则y 与x 之间的函数关系式是______．16. 东方商场把进价为200元的商品按标价的八折出售，仍可获利20%，则该商品的标价为______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17. (1)计算 − +( )0； (2)(3)求式中的x 值(x −1)3=27. (4)已知：(x +5)2=16，求x ；18. 解不等式组{3(x +1)>x +5x−12≤x 3(要求：画出数轴并根据数轴写不等式的解集)19. 如图1，⊙O的直径BC的长为6，AB与⊙O相切于点B.点D是半圆上一动点．(1)当∠A+2∠C=180°时，请你判断点D是否是直线AD与⊙O的唯一交点，说明理由．(2)如图2，DE⊥AD，交BC于点E.若tan∠CAB=3，EB=2CE.求AD的长．220. 关于x的一元二次方程x2−3x+k=0有两个不相等的实数根，(1)求k的取值范围；(2)请选择一个方程有根的k值，并求出方程的根．21. 阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF 即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2)如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3)若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．22. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF．(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)若⊙O的直径为4，CF=6，求tan∠CBF．23. 如图，直线l1：y=x与双曲线y=k相交于点A(a,2)，将直线l1向上平移3个单位得到l2，直线l2x与双曲线相交于B、C两点(点B在第一象限)，交y轴于D点．(1)求双曲线y=k的解析式；x(2)求tan∠DOB的值．24. 已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以AB为直径的半圆O在矩形ABCD的外部(如图1)，将半圆O绕点A顺时针旋转α度(0°≤α≤180°)(1)半圆的直径落在对角线AC上时，如图2所示，半圆与AB的交点为M，求AM的长；(2)半圆与直线CD相切时，切点为N，与线段AD的交点为P，如图3所示，求劣弧AP的长；(3)在旋转过程中，半圆弧与直线CD只有一个交点时，设此交点与点C的距离为d，直接写出d的取值范围．25. 某校七年级共有500名学生，准备调查他们对“低碳”知识的了解程度．(1)在确定调查方式时，团委设计了以下三种方案：方案一：调查七年级部分女生；方案二：调查七年级部分男生；方案三：到七年级每个班去随机调查一定数量的学生．请问其中最具有代表性的一个方案是______．(2)团委采用了最具有代表性的调查方案，并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图(如图①、图②所示)，请你根据图中信息，将两个统计图补充完整．(3)在扇形统计图中，“比较了解”所在扇形的圆心角的度数是______．(4)请你估计该校七年级约有多少名学生比较了解“低碳”知识？26. 如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，对角线AB所在直线的函x+4．数关系式为：y=−12(1)对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，求线段AM的长；(2)在(1)的条件下，若点P是直线AB上一个动点，当△PAM的面积与长方形AOBC的面积相等时，求点P的坐标．27. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E是射线AB上的一个动点，经过B，C，E三点的⊙O交线段DB于点G，EC所在的直线交射线DB于点F．(1)求证：若CG平分∠DCE，则△DCG是等腰三角形；(2)当点E在线段AB上时①若CG=CF，求BE的长；②连接GE，OB，当GE//OB时，取四边形GEBC的一边的两个端点和射线DB上的一点P，若以这三个点为顶点的三角形是直角三角形，且P为锐角顶点，求所有满足条件的BP的值；(3)点E的运动过程中，在GC=GF时，记△CGE的面积为S1，△EBF面积为S2，请直接写出S1的值．S228. 一次函数y=kx+3交x轴于点B，y轴于点A.(如图1)(1)若k=1，求线段AB的长度；(2)如图2，点M、N是直线y=kx+3(k>0)上的两点，设点M、N的横坐标分别为a，b，且a<0，b>0，a+b≠0，过M作直线l1：y=ax和过N作直线l2：y=bx．①求ab的值；②在y轴的负半轴上是否存在一点P，使得∠MPA=∠APN，若存在求出P点坐标；若不存在，说明理由．【答案与解析】1.答案：B解析：解：A、是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不合题意．故选：B．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析．此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2.答案：B解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：0.00519用科学记数法表示为5.19×10−3，故选B．3.答案：B解析：解：展开图中“点”与“春”是对面，“亮”与“想”是对面，“青”与“梦”是对面；故选：B．根据正方体展开z字型和L型找对面的方法即可求解；本题考查正方体的展开图；熟练掌握正方体展开图找对面的方法是解题的关键．4.答案：C解析：解：A、−22=−4，(−2)2=4，故选项不符合题意；B、23=8，32=9，故选项不符合题意；C、−33=−27，(−3)3=−27，故选项符合题意；D、−|−3|=−3，−(−3)=3，故选项不符合题意；故选：C．A、根据有理数的乘方运算法则计算即可判定；B、根据幂的定义化简即可判定；C、根据幂的定义计算即可判定；D、根据绝对值的定义及相反数的定义即可判定．此题主要考查了绝对值、相反数的定义及有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握相关的定义和法则即可求解．5.答案：A解析：解：∵AB//CD，∴∠EFD=∠1=64°，∵FG平分∠EFD，∴∠DFG=12∠EFD=12×64°=32°，∵AB//CD，∴∠2=∠DFG=32°．故选：A．根据两直线平行，同位角相等可得∠EFD=∠1，再根据角平分线的定义求出∠DFG，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠DFG．本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．6.答案：C解析：解：∵当x=0时，x2−2x−1=−1≠0，∴x=0不是方程x2−2x−1=0的解，则方程两边都除以x，得：x−2−1x =0，即x−1x=2，∴(x−1x )2=4，即x2−2+1x2=4，∴x2+1x2=6，故选：C．将x=0代入方程得知方程中x≠0，据此方程两边都除以x得x−1x =2，继而知(x−1x)2=4，展开、移项即可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．7.答案：B解析：根据图表信息，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．解：A.参加体育的有15人，所占百分比为50%，所以总人数为30人，选项正确；B.参加音乐兴趣小组的学生人数所占的圆心角度数为360°×0.2=72°，选项错误；C.参加音乐兴趣小组的学生人数为30−15−9=6人，选项正确；D.若该校八年级参加这三个兴趣小组的学生共有200人，那么估计全年级参加美术兴趣小组的学生约有200×0.3=60人，选项正确．故选B．8.答案：B解析：解：根据图象可知，分成2段，也就是说着两段的速度不同前慢后快，所以虽然时间用了10分钟，但是所走过的路程不是一半，故③错，其他都对，故选：B．根据图象上特殊点的实际意义即可求出答案．主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．9.答案：x≠−32解析：解：由题意得，2x+3≠0，解得x≠−32．故答案为：x≠−32．根据分母不等于0列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10.答案：180 360 360解析：解：三角形形内角和为：180度，三角形外角和为：360度，多边形外角和为360度．故答案为：180，360，360．直接利用三角形内角和定理以及多边形外角和的性质分别分析得出答案．此题主要考查了三角形内角和定理以及多边形外角和的性质，正确掌握相关性质是解题关键．11.答案：√3解析：解：设点A、B的横坐标分别为m、n，则m+n=−ba ，mn=ca，∵AB=2=|m−n|，∴(m−n)2=4，∴m2−2mn+n2=(m+n)2−4mn=(−ba )2−4ca=4，∴b2−4ac=4a2，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴点C到AB的距离为√3，∵a>0，∴点C的纵坐标为−√3，∴4ac−b24a=−√3，∴4ac−b2=−4√3a，∴4a2=4√3a，a=√3，故答案为：√3．设点A、B的横坐标分别为m、n，利用根与系数的关系得：m+n=−ba ，mn=ca，根据AB=2=|m−n|，列式变形后得：b2−4ac=4a2，根据△ABC是边长为2的等边三角形，计算其高为√3，即二次函数顶点的纵坐标为−√3，根据公式列式为4ac−b24a=−√3，可得结论．本题主要考查二次函数与坐标轴的交点及顶点坐标，一元二次方程根与系数的关系，等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．12.答案：20解析：解：设五个数中最大的数为x，则另外四个数分别为(x−14)，(x−8)，(x−7)，(x−6)，依题意，得：x−14+x−8+x−7+x−6+x=65，解得：x=20．故答案为：20．设五个数中最大的数为x，则另外四个数分别为(x−14)，(x−8)，(x−7)，(x−6)，根据五个数的和为65，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用以及钟面角，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．13.答案：1解析：本题考查的是圆周角定理和等腰直角三角形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.根据圆周角定理求出∠D和∠BCD的度数，得到△BCD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质计算即可．解：∵∠A=45°，∴∠D=∠A=45°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，又BD=√2，∴CD=1，故答案为1．14.答案：√5解析：解：连接AG，过点F作FH//AD，则四边形AFHD为矩形；∴FH=AD=AB；∵AG⊥EF，FH//AD，∴∠BAG+∠AFE=90°，∠AFE+∠EFH=90°，∴∠BAG=∠EFH；在△ABG与△FHE中，{∠BAG=∠EFH AB=FH∠ABG=∠EHF，∴△ABG≌△FHE(ASA)∴AG=EF．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABG=90°；由勾股定理得：AG2=22+(2÷2)2=5，∴AG=√5，∴折痕EF的长等于√5．故答案为：√5．连接AG，过点F作FH//AD，证明Rt△ABG≌Rt△FHE，根据全等三角形的性质得到EF=GA，根据勾股定理即可求出AG的长，从而求解．本题考查了全等三角形的判定及其性质、勾股定理、对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．15.答案：y=−3x+11解析：解：设y−5=k(x−2)(k≠0)，即y=kx+5−2k，将x=3、y=2代入，得：3k+5−2k=2，解得：k=−3，∴y与x之间的函数关系式是y=−3x+11．故答案为：y=−3x+11．设y−5=k(x−2)(k≠0)，即y=kx+5−2k，将x、y的值代入，求解得出k的值即可；本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，根据所给的条件利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．16.答案：300元解析：此题考查一元一次方程的应用，属于基础题，根据利例利润为20%得出方程是关键，难度一般．设标价为x元，则售价为80%x，根据获利20%，可得出方程，解出即可．解：设该商品的标价为x元，则售价为0.8x元，根据题意得：0.8x−200=200×20%，解得：x=300，即标价为300元．故答案为300．17.答案：解：(1)原式=|−2|−3+1=2−3+1=0；(2)原式=−4+1+2−=−1−； (3)开立方得：x −1=3;解得：x =4.(4)开平方得：x +5=±4 解得：. 解析：(1)根据实数的运算法则：先算开方与零指数幂，再算加减即可；(2)根据实数的运算法则：先算负整数指数幂、零指数幂与绝对值，再算加减即可；(3)先把方程两边同时开立方，得到一个一元一次方程，解此方程即可；(4)先把方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程，解这两个方程即可．18.答案：解：{3(x +1)>x +5①x−12≤x 3② ∵解不等式①得：x >1，解不等式②得：x ≤2，在数轴上表示为：∴不等式组的解集为1<x ≤2．解析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组和再数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．19.答案：解：(1)点D是直线AD与⊙O的唯一交点．理由如下：如图1，连接OD，∵∠DOB=2∠C，∠A+2∠C=180°，∴∠A+∠BOD=180°，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠B=90°，∴∠ADO=90°，∴AD与⊙O相切，∴点D是直线AD与⊙O的唯一交点；(2)如图2，连接AE、BD、DC，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠B=90°，∵tan∠CAB=32，BC=6，∴AB=4，∵EB=2CE，∴BE=4，CE=2，∴AE=4√2，∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∵∠ADE=90°，∴∠ABD=∠CDE，∵∠ABD+∠DBC=90°，∠DCE+∠DBC=90°，∴∠ABD=∠DCE，∴△DCE∽△DAB，∴DEAD =CEAB=24=12，∴AD=2DE，在RT△ADE中，AE2=AD2+DE2，∴(4√2)2=(2DE)2+DE2，∴DE=45√10，∴AD=2DE=85√10．解析：(1)连接OD，证明AD与⊙O相切，即可得出结论；(2)连接AE、BD、DC，根据题意求得BE=4，CE=2，AE=4√2，根据圆周角定理求得∠BDC=90°，进而求得∠ABD=∠CDE，然后证得△DCE∽△DAB，得出DEAD =CEAB=24=12，得出AD=2DE，然后根据勾股定理即可求得．本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，(2)证得三角形相似是解题的关键．20.答案：解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴(−3)2−4k>0，即−4k>−9，解得k<94；(2)当k=0时，原方程为x2−3x=0，解得：x1=0，x2=3．解析：(1)因为方程有两个不相等的实数根，△>0，由此可求k的取值范围；(2)在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可．此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．21.答案：解：(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．(2)此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF．易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等．(3)此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小．证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则：L1=2Sa +2a,L2=2Sb+2b,L3=2Sc+2c，∴L1−L2=(2Sa +2a)−(2Sb+2b)=−2Sab(a−b)+2(a−b)=2(a−b)·ab−Sab，而ab>S，a>b，∴L1−L2>0，即L1>L2，同理可得，L2>L3，∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．解析：本题考查的是新定义的问题，理解题中的新定义，能够根据定义正确画出符合要求的图形，掌握三角形和矩形的面积公式，能够运用求差法比较数的大小．(1)类似“友好矩形”的定义，即可写出“友好平行四边形”的定义：如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”；(2)根据定义，则分别让直角三角形的直角边或斜边当矩形的一边，过第三个顶点作它的对边，从而画出矩形．根据每个矩形和直角三角形的面积的关系，比较两个矩形的面积大小；(3)分别以三角形的一边当矩形的另一边，过第三个顶点作矩形的对边，从而画出矩形，根据三角形和矩形的面积公式，可知三个矩形的面积相等，设矩形的面积是S，三角形的三条边分别是a，b，c.根据矩形的面积由其中一边表示出矩形的另一边，进一步求得其周长，运用求差法比较它们的周长的大小．22.答案：(1)证明：连接AE，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB =90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB =AC ，∴2∠1=∠CAB ．∵∠BAC =2∠CBF ，∴∠1=∠CBF∴∠CBF +∠2=90°即∠ABF =90°∵AB 是⊙O 的直径，∴直线BF 是⊙O 的切线；(2)解：过C 作CH ⊥BF 于H ，∵AB =AC ，⊙O 的直径为4，∴AC =4，∵CF =6，∠ABF =90°，∴BF =√AF 2−AB 2=√102−42=2√21，∵∠CHF =∠ABF ，∠F =∠F ，∴△CHF∽△ABF ，∴CH AB =CF AF ， ∴CH 4=64+6， ∴CH =125，∴HF =√CF 2−CH 2=√62−(125)2=6√215， ∴BH =BF −HF =2√21−6√215=4√215， ∴tan∠CBF =CH BH =1254√215=√217． 解析：(1)连接AE ，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF =90°，于是得到结论；(2)过C 作CH ⊥BF 于H ，根据勾股定理得到BF =√AF 2−AB 2=√102−42=2√21，根据相似三角形的性质得到CH =125，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点、正确的作出辅助线是解题的关键．23.答案：解：(1)∵A(a,2)是y =x 与y =kx 的交点，∴A(2,2)，把A(2,2)代入y =kx ，得k =4， ∴双曲线的解析式为y =4x ；(2)∵将l 1向上平移了3个单位得到l 2， ∴l 2的解析式为y =x +3， ∴解方程组{y =4x y =x +3，得{x 1=−4y 1=−1，{x 2=1y 2=4， ∴B (1,4)， ∴tan∠DOB =14．解析：(1)由点A(a,2)在直线y =x 上可知a =2，再代入y =kx 中求k 的值即可；(2)将l 1向上平移了3个单位得到l 2的解析式为y =x +3，联立l 2与双曲线解析式求交点B 坐标，根据B 点坐标，利用锐角三角函数定义求解．本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数图象与几何变换，锐角三角函数定义．关键是根据y =x 求点的坐标，根据点的坐标及平移规律，求函数解析式，再根据函数解析式求交点坐标．24.答案：解：(1)在图2中，连接B′M ，则∠B′MA =90°．在Rt △ABC 中，AB =4，BC =3， ∴AC =5．∵∠B =∠B′MA =90°，∠BCA =∠MAB′， ∴△ABC∽△AMB′， ∴AM AB=AB′AC，即AM 4=45，∴AM =165．(2)在图3中，连接OP、ON，过点O作OG⊥AD于点G．∵半圆与直线CD相切，∴ON⊥DN，∴四边形DGON为矩形，∴DG=ON=2，∴AG=AD−DG=1．在Rt△AGO中，∠AGO=90°，AO=2，AG=1，∴∠AOG=30°，∠OAG=60°．又∵OA=OP，∴△AOP为等边三角形，∴AP⏜=60×π×4360=23π.(3)由(2)可知：△AOP为等边三角形，∴DN=GO=√32OA=√3，∴CN=CD+DN=4+√3．当点B′在直线CD上时，如图4所示．在Rt△AB′D中(点B′在点D左边)，AB′=4，AD=3，∴B′D=√AB′2−AD2=√7，∴CB′=4−√7．∵AB′为直径，∴∠ADB′=90°，∴当点B′在点D右边时，半圆交直线CD于点D、B′．∴当半圆弧与直线CD只有一个交点时，4−√7≤d<4或d=4+√3．解析：(1)连接B′M，则∠B′MA=90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长度，由∠B=∠B′MA=90°、∠BCA=∠MAB′可得出△ABC∽△AMB′，根据相似三角形的性质可求出AM的长度；(2)连接OP、ON，过点O作OG⊥AD于点G，则四边形DGON为矩形，进而可得出DG、AG的长度，在Rt△AGO中，由AO=2、AG=1可得出∠OAG=60°，进而可得出△AOP为等边三角形，再利用弧长公式即可求出劣弧AP的长；(3)由(2)可知：△AOP为等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OG、DN的长度，进而可得出CN的长度，画出点B′在直线CD上的图形，在Rt△AB′D中(点B′在点D左边)，利用勾股定理可求出B′D的长度进而可得出CB′的长度，再结合图形即可得出：半圆弧与直线CD只有一个交点时d的取值范围．本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及切线的性质，解题的关键是：(1)利用相似三角形的性质求出AM的长度；(2)通过解直角三角形找出∠OAG=60°；(3)依照题意画出图形，利用数形结合求出d的取值范围．25.答案：方案三108°解析：解：(1)根据抽样调查的意义和方法，可得方案三具有代表性，故答案为：方案三；(2)5÷10%=50人，50−5−15=30人，30÷50=60%，15÷50=30%，补全两个统计图如图所示：(3)360°×30%=108°；故答案为：108°；(4)根据题意得：500×30%=150(名)答：该校七年级约有150名学生比较了解“低碳”知识．(1)根据抽样调查的意义和取样要求进行选择，(2)计算出“比较了解”“了解一点”的人数和百分比，即可补全两个统计图；(3)“比较了解”占30%，因此圆心角占360°的30%，可求出度数；(4)样本估计总体，样本中，“比较了解”的占30%，估计总体500人中有30%的对低碳知识“比较了解”．考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．26.答案：解：(1)对于y=−12x+4，当y=0时，x=8，当x=0时，y=4，∴点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(8,0)，即OA=4，OB=8，∵MN是AB的垂直平分线，∴MA=MB，在Rt△AOM中，OA2+OM2=AM2，即42+(8−AM)2=AM2，解得，AM=5；(2)长方形AOBC的面积=4×8=32，设点P的纵坐标为y，当点P在第二象限时，12×5×|y|−12×5×4=32，解得，y=845，当y=845时，845=−12x+4解得，x=−1285，当点P在第四象限时，−12×5×y+12×5×4=32，解得，y=−445，当y=−445时，−445=−12x+4解得，x=1285，则点P的坐标为(1285,−445)或(−1285,845).解析：(1)求出直线与坐标轴的交点，得到OA、OB的长，根据线段垂直平分线的性质得到MA=MB，根据勾股定理计算即可；(2)求出长方形AOBC的面积，设点P的纵坐标为y，根据题意列出方程，解方程即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质，掌握直线与坐标轴的交点的求法、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．27.答案：解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD//AB，∴∠CDG=∠EBG，∵∠EBG=∠FCG，∴∠CDG=∠FCG，∵CG平分∠DCE，∴∠DCG=∠FCG，∴∠CDG=∠DCG，∴DG=CG，∴△DCG是等腰三角形；(2)①∵矩形ABCD中，AB=8，BC=6，∴CD=AB=8，BD=√AB2+AD2=10，∵CG=CF，∴∠CGF=∠CFG，∵∠CGF=∠BEF，∠CFG=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵CD//AB，∴∠DCF=∠BEF，∴∠DCF=∠CFD，∴DF=DC=8，∴BF=BD−DF=10−8=2，∴BE=2；②∵GE//OB，∴∠EGB=∠OBG，当点P与点D重合时，如图1，△PCB是直角三角形，BP=BD=10；当PE⊥BE时，△PEB是直角三角形，如图2，∵∠GCE=∠DBA∴tan∠GCE=tan∠DBA=GEGC=DAAB=68∴设GE=6x，GC=8x，∴CE=√GC2+GE2=10x，∴OB=OE=OC=5x∵GE//OB∴OBGE =OFFE=56，且OE=5x，∴OF=2511x，EF=30x11∴CF=8011x∵PE⊥BE，BC⊥AB∴PE//BC∴BC=CF即6PE =83∴PE=94∵∠DBA=∠PBE，∠PEB=∠DAB=90°∴△DAB∽△PEB∴BPBD=PEDA∴BP10=946∴BP=15 4③当△CGP是直角三角形，∠GCP=90°时，如图3，∵∠EGB=∠OBG，∠GBC=∠GEC∴∠EOB=∠GBC∵CO=BO∴∠OCB=∠OBC∵∠EOB=∠OBC+∠OCB=2∠OBC=2∠OCB，∴∠GBC=2∠OBC=2∠OCB，∵∠CEB+∠OCB=90°，∠CGP+∠CPG=90°，且∠CGB=∠CEB ∴∠OCB=∠CPG，∵∠GBC=∠BCP+∠CPG=2∠OBC=2∠OCB，∴∠BCP=∠OBC=∠OCB=∠BPC∴CB=BP=6④△GEP是直角三角形，∠GEP=90°时，如图4∵∠GCE=∠DBA∴tan∠GCE=tan∠DBA=GEGC=DAAB=68∴设GE=6x，GC=8x，∴CE=√GC2+GE2=10x，∴OB=OE=OC=5x∵GE//OB∴OBGE =OFFE=56，且OE=5x，∴OF=2511x，EF=30x11∴CF=8011x∵∠CGE+∠GEP=90°+90°=180°∴GC//EP∴GCEP=CFEF=83∴EP=3x∵∠EGB=∠ECB，∠CBE=∠GEP=90°∴△GEP∽△CBE∴∠GPE=∠CEB，PEGE =BEBC即3x6x =BE6∴BE=3∵∠CBE=∠GEP=90°，且∠GEC=∠GBC∴∠PEF=∠PBE∵OE=OB∴∠OEB=∠OBE，∴∠OBF=∠PEB=∠BCE=∠EGB ∵∠PEB=∠EGB，∠EBP=∠EBG∴△EPB∽△BEG∴BEBG=BPBE=PEGE=3x6x ∴3BG=BP3=12∴BP=32(3)如图5，过点G作GM⊥CF，过点F作FN⊥BE，∵∠GCE =∠GBE =∠ABD ， ∴tan∠ABD =tan∠GCE =GE CG=ADAB =68∴设GE =6x ，GC =8x ， ∴CE =√GC 2+GE 2=10x ，∵S △CGE =12×CG ×GE =12×CE ×GM =24x 2，∴GM =245x ∴CM =√BC 2−GM 2=325x ，ME =√GE 2−GM 2=185x ，∵GC =GF ，GM ⊥CF ∴CM =MF =325x ，∠GCF =∠GFC∴EF =MF −ME =145x ，∠GCF =∠GFC =∠EBF∴BE =FE =145x ，∵CE 2=BE 2+BC 2，∴100x 2=19625x 2+36 ∴x =58∴CE =254，EF =74 ∵CB//FN ∴BC NF =CE EF =25474=257∴NF =4225∵S1=24×(58)2=758S2=12×74×4225=147100∴S1S2=62598解析：(1)由角平分线性质和圆周角定理可得∠CDG=∠DCG，可得DG=CG；(2)①由等腰三角形的性质和圆周角定理可得∠CGF=∠CFG=∠BFE=∠BEF=∠DCF，可得DC= DF=8，BE=BF，即可求BE的长；②分四种情况讨论，由勾股定理和相似三角形的性质可求BP的值；(3)设GE=6x，GC=8x，通过勾股定理和等腰三角形的性质求出x的值，分别求出S1，S2的值，即可求解．本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．28.答案：解：(1)当k=1时，直线AB的解析式为y=x+3，令x=0，则y=3，∴A(0,3)，令y=0，则x+3=0，∴x=−3，∴B(−3,0)，∴AB=3√2；(2)①∵直线y=ax过点M，∴M(a,a2)，∵直线y=bx过点N，∴N(b,b2)，∵点M、N是直线y=kx+3(k>0)上的两点，∴a2=ak+3①，b2=bk+3②，①−②得，(a−b)k=(a+b)(a−b)，∵a<0，b>0，a+b≠0，∴k=a+b，∴直线AB的解析式为y=(a+b)x+3，∵M(a,a2)在直线AB上，∴a2=a(a+b)+3，∴ab=−3；②如图2，作点M(a,a2)关于y轴的对称点M′，∴M′(−a,a2)，∵∠APM=∠APN，∴点P，M′，N在同一条直线上，∵M′(−a,a2)，N(b,b2)，∴直线M′N的解析式为y=(b−a)x+ab，由①知，ab=−3，∴直线M′N的解析式为y=(b−a)x−3，令x=0，∴y=−3，∴P(0,−3)．解析：(1)先求出点A，B坐标，即可求出AB的长；(2)①先将点M，N的横坐标分别代入直线l1，l2中，确定出点M，N的坐标，再代入直线MN的解析式中，求出k，最后将点M的坐标代入直线MN的解析式中，即可得出结论；②先找出点M关于y轴的对称点M′的坐标，结合点N的坐标求出M′N的解析式，即可求出点P的坐标．此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特点，解方程组的方法，求出ab是解本题的关键，根据直线M′N的解析式求出点P的坐标是解本题的难点．。
2020年北京人大附中朝阳分校中考数学二模试卷(含答案解析)
2020年北京人大附中朝阳分校中考数学二模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）数轴上的点A表示的数是a，当点A在数轴上向右平移了6个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则数a是（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣32．（2分）如图，在△ABC中，BC边上的高是（）A．AF B．BH C．CD D．EC3．（2分）如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱4．（2分）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（）A．面朝上的点数是6 B．面朝上的点数是偶数C．面朝上的点数大于2 D．面朝上的点数小于25．（2分）下列是一组log o设计的图片（不考虑颜色），其中不是中心对称图形的是（）A．B．C ．D ．6．（2分）一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间7．（2分）某商场一名业务员12个月的销售额（单位：万元）如下表：则这组数据的众数和中位数分别是（ ）月份（月） 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 销售额（万元）6.2 9.8 9.87.8 7.2 6.4 9.8 87 9.8 10 7.5 A ．10，8 B ．9.8，9.8 C ．9.8，7.9 D ．9.8，8.18．（2分）甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S （单位：米）与所用时间t （单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ．则下列说法正确的是（ ）A ．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B ．跑步过程中，两人相遇一次C ．起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远D ．乙在跑前300米时，速度最慢二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）分解因式：x 3﹣2x 2+x ＝ ．10．（2分）如果分式x 2−4x +2的值为0，那么x 的值为 ．11．（2分）已知，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过点（0，2），且y 随x 的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式： ．12．（2分）某学校组织600名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比到植物园人数的2倍少30人，若设到植物园的人数为x 人，依题意，可列方程为 ．13．（2分）若2x 2+3y 2﹣5＝1，则代数式6x 2+9y 2﹣5的值为 ．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为（﹣4，1）、（﹣1，3），在经过两次变化（平移、轴对称、旋转）得到对应点A ''、B ''的坐标分别为（1，0）、（3，﹣3），则由线段AB 得到线段A 'B '的过程是： ，由线段A 'B '得到线段A ''B ''的过程是： ．15．（2分）如图，⊙O 的半径为2，切线AB 的长为2√3，点P 是⊙O 上的动点，则AP 的长的取值范围是 ．16．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣2，m ）绕坐标原点O 顺时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m 的取值范围是 ．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题8分；第21-24题，每小题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（8分）计算：（12）﹣1√3−tan60°﹣|√3−2|．18．（8分）解不等式x+22−4x−16≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0．（1）当m为何非负整数时，方程有两个不相等的实数根；（2）在（1）的条件下，求方程的根．20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+b与x轴，y轴分别交于点x(12，0)，B，与反比例函数图象的一个交点为M（a，3）．（1）求反比例函数的表达式；（2）设直线l2：y＝﹣2x+m与x轴，y轴分别交于点C，D，且S△OCD＝3S△OAB，直接写出m的值．21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE（1）求证EH＝EC；（2）若AB＝4，sin A=23，求AD的长．22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（3，﹣4）和B（0，2）．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）．将图象M沿直线x＝3翻折，得到图象N．若过点C（9，4）的直线y＝kx+b与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．23．（9分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，连接AN，平移△ABN，使点N移动到点M，得到△DEM（点D 与点A对应，点E与点B对应），DM交AC于点P．（1）若点N是线段MB的中点，如图1．①依题意补全图1；②求DP的长；（2）若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若MQ＝DP，求CE的长．24．（9分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数k，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点（a，b1），（a+1，b2），b2﹣b1≥k都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数y＝﹣x+2，当x取值a和a+1时，函数值分别为b1＝﹣a+2，b2＝﹣a+1，故b﹣b1＝﹣1≥k，因此函数y＝﹣x+2是限减函数，它的限减系数为﹣21．（1）写出函数y＝2x﹣1的限减系数；（﹣1≤x≤m，x≠0）是限减函数，且限减系数k＝4，（2）m＞0，已知x=1x求m的取值范围．（3）已知函数y＝﹣x2的图象上一点P，过点P作直线l垂直于y轴，将函数y＝﹣x2的图象在点P右侧的部分关于直线l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数k≥﹣1，直接写出P点横坐标n的取值范围．2020年北京人大附中朝阳分校中考数学二模试卷参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．D； 2．A； 3．B； 4．C； 5．A； 6．B； 7．C； 8．C；二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．x（x﹣1）2；10．2；11．答案不唯一如：y＝﹣x+2；12．x+（2x ﹣30）＝600； 13．13；14．向右平移4个单位长度；绕原点顺时针旋转90°； 15．2≤AP≤6；16．2.5≤m≤3；三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题8分；第21-24题，每小题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.；18．x≤1；19．m＝0；解得x1＝0，x2＝﹣217．原式=√3320．±√3；21．AD=4；22．（1，4）；±√35；xx=2√2−223．DP=√173≤m＜1；﹣1≤n≤1．24．2；12。
2020年北京市朝阳区初三年级二模试卷初中数学
2020年北京市朝阳区初三年级二模试卷初中数学一、选择题：1．2的算术平方根是( )A ．2B ．2-C ．2±D ．22．以下运算中，正确的选项是( )A ．x 2·x 3＝x 6B ．2-1= -2C ．11-π=π-D ．283=-3．为了解国家提倡的〝阳光体育运动〞的实施情形，将某校中的40名学生一周的体育锤炼时刻绘制成了如下图的条形统计图，依照统计图提供的数据，该校40名同学一周参加体育锤炼时刻．．．．．．的众数与中位数分不是 ( )A ．8，9B ．8，8C ．9，8D ．10，94．假如关于x 的方程 kx 2 -2x -1=0有两个实数根，那么k 的取值范畴是( )A ．10k k ≥-≠且B ．10k k >-≠且C ．1k ≥D ．1k > 5．不等式组10,354x x -+≤⎧⎨+<-⎩的解集在数轴上可表示为 ( )A ．x≤0B ．-3<x≤1C ．x≤1D ．x<-3 6．小华想做一个边长是10cm 的正六边形图案〔如图〕，那么它的半径是( )A ．5cmB ．10cmC ．3D ．37．如图，从点P 向⊙O 引两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，BC 为⊙O•的直径，假设∠P=60°，PA=3，那么⊙O 的直径BC 的长为 ( )A ．3B ．33C ．23D ．43 8．一个等边三角形的边长为2，分不以它的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到以下图，那么图中所有的弧长的和是( )A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π 9．运算：cos60°-π0=________．10．两圆的半径分不为3㎝和4㎝，假如这两个圆的圆心距为10㎝，那么这两个圆_____．11．在正方形的网格中，抛物线y 1=x 2+bx+c 与直线y 2=kx+m 的图象如下图，请你观看图象并回答：当-1<x<2时，y 1____y 2〔填〝>〞或〝<〞或〝=〞号〕．12．我们把分子为1的分数叫做理想分数，如21，31，41，… ，任何一个理想分数都能够写成两个不同理想分数的和，如613121+=； 1214131+=； 2015141+=； …依照对上述式子的观看，请你摸索：假如理想分数n 1〔n 是不小于2的正整数〕=11a b +，那么a+b= ．〔用含n 的式子表示〕13．解方程组 355223x y x y -=⎧⎨+=⎩，． 14. 化简： 221111a a a a a a -÷----．15．用配方法解方程 x 2 -6x+1=0．16．：如图，菱形ABCD 中，E 、F 分不是CB 、CD 上的点，且BE=DF ．求证：∠AEF=∠AFE ．17.欢欢的妈妈有粉色、米色和天蓝色三条丝绸围巾，有红色和黑色三件羊绒衫〔其中红色一件、黑色两件〕．假如她最喜爱的搭配是米色围巾和黑色羊绒衫，那么黑背地她随机拿出一条围巾和一件羊绒衫，正好是她喜爱搭配的颜色．请你用树形图或列表法，求出如此的巧合发生的概率？18．自从2008年5月12日我国四川地区发生特大地震以来，全国人民〝众志成城 抗震救灾〞，纷纷捐款献爱心，在某校的一次捐款活动中，九年级〔1〕班30名学生捐款情形如下表：求〔1〕该班平均每人捐款多少元？〔2〕补全右图所示的捐款人数比例的扇形统计图；〔3〕请你依照以上信息发表自己的一个见解．19．某社区为迎接绿色奥运，大力开展社区绿化建设，购买了甲、乙两种树苗共400株，其中甲种树苗每株60元，乙种树苗每株90元〔1〕假如购买这批树苗一共用了29400元，那捐款〔单位：元〕 20 50 100 150 200人数 4 12 9 3 2么甲、乙两种树苗各购买了多少株?〔2〕假如社区预备再次购买这两种树苗，不仅要使甲种树苗的数量是乙种树苗数量的二倍，而且要使所需费用不多于14700元，那么甲种树苗最多买多少株?20． 如图线段AB 的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到线段AC ．〔1〕请你在所给的网格中画出线段AC ；〔2〕判定将线段AB 旋转到线段AC 的过程中，线段AB 扫过的区域所形成的图形是哪个立体图形的侧面展开图？将答案直截了当填写在后面的横线上_________； 〔3〕求出〔2〕中所讲立体图形的侧面展开图的面积．21．如图，点C 在反比例函数x k y =的图象上，过点C 作CD ⊥y 轴，交y 轴负半轴于点D ，且△ODC 的面积是3．〔1〕求反比例函数xk y =的解析式； 〔2〕将过点O 且与OC 所在直线关于y 轴对称的直线向上平移2个单位后得到直线AB ，假如CD=1,求直线AB 的解析式．22．：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 为弦，点P 为上一点，AB=10，AC ∶BC=3∶4． 〔1〕当点P 与点C 关于直线AB 对称时〔如图①〕，求PC 长；〔2〕当点P 为的中点时〔如图②〕，求PC 长．23．：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=3AD ．〔1〕如图①，连接AC ，假如三角形ADC 的面积为6，求梯形ABCD 的面积； 〔2〕如图②，E 是腰AB 上一点，连结CE ，设△BCE 和四边形AECD 的面积分不为1S 和2S ，且2132S S ，求BEAE 的值； 〔3〕如图③，AB=CD ，假如CE ⊥AB 于点E ，且BE=3AE ，求∠B 的度数．24．：在等边△ABC 中，点D 、Ｅ、Ｆ分不为边AB 、BC 、AC 的中点，点G 为直线BC 上一动点，当点G 在CB 延长线上时，有结论〝在直线EF 上存在一点H ，使得△DGH 是等边三角形〞成立〔如图①〕，且当点G 与点B 、E 、C 重合时，该结论也一定成立．咨询题：当点G 在直线BC 的其它位置时，该结论是否仍旧成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．25．如图，△AOC 在平面直角坐标系中，∠AOC=90°，且O 为坐标原点，点A 、C 分不在坐标轴上，AO=4，OC=3，将△AOC 绕点C 按逆时针方向旋转，旋转后的三角形记为△CA′O′．当CA 边落在y 轴上〔其中旋转角为锐角〕时，一条抛物线通过A 、C 两点且与直线AA′ 相交于x 轴下方一点D ，假如AOD S =9，求这条抛物线的解析式；连续旋转△CA′O′，当以CA′为直径的⊙P 与〔1〕中抛物线的对称轴相切时，圆心P 是否在抛物线上，请讲明理由．。
北京市朝阳区2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题含解析
北京市朝阳区2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．下列命题中假命题是（）A．正六边形的外角和等于B．位似图形必定相似C．样本方差越大，数据波动越小D．方程无实数根3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF 的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：14．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是( )A．点A B．点B C．点C D．点D5．我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之前增长了180倍，达到2100000册．把2100000用科学记数法表示为（）A．0.21×108B．21×106C．2.1×107D．2.1×1066．下面的统计图反映了我国最近十年间核电发电量的增长情况，根据统计图提供的信息，下列判断合理的是（）A．2011年我国的核电发电量占总发电量的比值约为1.5%B．2006年我国的总发电量约为25000亿千瓦时C．2013年我国的核电发电量占总发电量的比值是2006年的2倍D．我国的核电发电量从2008年开始突破1000亿千瓦时7．若一个三角形的两边长分别为5和7，则该三角形的周长可能是（ ）A ．12B ．14C ．15D ．258．下列各组单项式中,不是同类项的一组是（ ）A ．2x y 和22xyB ．3xy 和2xy -C ．25x y 和22yx -D ．23-和39．如图，A ，C ，E ，G 四点在同一直线上，分别以线段AC ，CE ，EG 为边在AG 同侧作等边三角形△ABC ，△CDE ，△EFG ，连接AF ，分别交BC ，DC ，DE 于点H ，I ，J ，若AC=1，CE=2，EG=3，则△DIJ 的面积是（ ）A ．38B ．34C ．12D ．3210．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝41°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝1．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转11°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（ ）A ．13B ．5C ．22D ．411．下列计算结果正确的是（ ）A ．329()a a -=B ．236a a a ⋅=C ．3332a a a +=D ．0(cos 600.5)1︒-= 12．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一动点（不与A 、B 重合），CD ⊥AB 于D ，∠OCD 的平分线交⊙O 于P ，则当C 在⊙O 上运动时，点P 的位置（ ）A ．随点C 的运动而变化C．在使PA=OA的劣弧上D．无法确定二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．计算：3﹣1﹣30＝_____.14．某学校要购买电脑，A型电脑每台5000元，B型电脑每台3000元，购买10台电脑共花费34000元.设购买A型电脑x台，购买B型电脑y台，则根据题意可列方程组为______．15．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为_____．16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，点D恰好在双曲线上kyx=，则k值为_____．17．2(2)-=__________18．关于x 的方程ax=x+2(a≠1) 的解是________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动.若P、Q同时出发运动时间为t(s).（1）t为何值时，△APQ与△AOB相似？（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？20．（6分）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值x(万元)1 2 2.5 3 5 y A (万元) 0.4 0.8 1 1.2 2 信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B (万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：y B ＝ax 2+bx ，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．(1)求出y B 与x 的函数关系式；(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A 与x 之间的关系，并求出y A 与x 的函数关系式；(3)如果企业同时对A 、B 两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？21．（6分）如图,已知CD=CF,∠A=∠E=∠DCF=90°,求证:AD+EF=AE22．（8分）如图1，已知抛物线y=ax 2+bx （a≠0）经过A （6，0）、B （8，8）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；（3）如图2，若点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO ，则在（2）的条件下，在坐标平面内有点P ，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 坐标（点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应）．23．（8分）计算：()201254sin 603π-⎛⎫--++-︒ ⎪⎝⎭. 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的三个顶点坐标分别为A （1，0），O （0，0），B （2，2）．以点O 为旋转中心，将△AOB 逆时针旋转90°，得到△A 1OB 1．画出△A 1OB 1；直接写出点A 1和点B 1的坐标；求线段OB 1的长度．25．（10分）如图，直角坐标系中，直线12y x=-与反比例函数kyx=的图象交于A，B两点，已知A点的纵坐标是2.（1）求反比例函数的解析式.（2）将直线12y x=-沿x轴向右平移6个单位后，与反比例函数在第二象限内交于点C.动点P在y轴正半轴上运动，当线段PA与线段PC之差达到最大时，求点P的坐标.26．（12分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣|27．（12分）先化简，再求值：（x2x2+-+24x4x4-+）÷xx2-，其中x=12参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到关于边数的方程，从而求出边数,再求从一点引对角线的条数.【详解】设这个正多边形的边数是n，则（n-2）•180°=900°，解得：n=1．则这个正多边形是正七边形．所以，从一点引对角线的条数是：1-3=4.故选B【点睛】本题考核知识点：多边形的内角和.解题关键点：熟记多边形内角和公式.2．C【解析】试题解析：A、正六边形的外角和等于360°，是真命题；B、位似图形必定相似，是真命题；C、样本方差越大，数据波动越小，是假命题；D、方程x2+x+1=0无实数根，是真命题；故选：C．考点：命题与定理．3．B【解析】【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：1．故选B．4．B【解析】试题分析：在数轴上，离原点越近则说明这个点所表示的数的绝对值越小，根据数轴可知本题中点B所表示的数的绝对值最小．故选B．5．D2100000=2.1×106.点睛:对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数.6．B【解析】【分析】由折线统计图和条形统计图对各选项逐一判断即可得．【详解】解：A 、2011年我国的核电发电量占总发电量的比值大于1.5%、小于2%，此选项错误；B 、2006年我国的总发电量约为500÷2.0%＝25000亿千瓦时，此选项正确；C 、2013年我国的核电发电量占总发电量的比值是2006年的显然不到2倍，此选项错误；D 、我国的核电发电量从2012年开始突破1000亿千瓦时，此选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况． 7．C【解析】【分析】先根据三角形三条边的关系求出第三条边的取值范围，进而求出周长的取值范围，从而可的求出符合题意的选项.【详解】∴三角形的两边长分别为5和7，∴2<第三条边<12,∴5+7+2<三角形的周长<5+7+12,即14<三角形的周长<24，故选C.【点睛】本题考查了三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答即可.8．A【解析】如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．【详解】根据题意可知：x2y和2xy2不是同类项.故答案选：A.【点睛】本题考查了单项式与多项式，解题的关键是熟练的掌握单项式与多项式的相关知识点.9．A【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到FG＝EG＝3，∠AGF＝∠FEG＝60°，根据三角形的内角和得到∠AFG＝90°，根据相似三角形的性质得到AEAG=EJGF=36，ACAE=CIEF=13，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】∵AC＝1，CE＝2，EG＝3，∴AG＝6，∵△EFG是等边三角形，∴FG＝EG＝3，∠AGF＝∠FEG＝60°，∵AE＝EF＝3，∴∠FAG＝∠AFE＝30°，∴∠AFG＝90°，∵△CDE是等边三角形，∴∠DEC＝60°，∴∠AJE＝90°，JE∥FG，∴△AJE∽△AFG，∴AEAG=EJGF=36，∴EJ＝13，∵∠BCA＝∠DCE＝∠FEG＝60°，∴∠BCD＝∠DEF＝60°，∴∠ACI＝∠AEF＝120°，∵∠IAC＝∠FAE，∴△ACI∽△AEF，∴AC AE =CI EF =13， ∴CI ＝1，DI ＝1，DJ ＝12，∴IJ∴DIJ S V =12•DI•IJ ＝12×12×2． 故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．10．A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=41°，∠ACD=30°．若旋转角度为11°，则∠ACO=30°+11°=41°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt △ABC 中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt △AOD 1中，OD 1=CD 1-OC=3，由勾股定理得：AD 1故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.11．C【解析】【分析】利用幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项及零指数幂的定义分别计算后即可确定正确的选项．【详解】A 、原式6a =，故错误；B 、原式5a =，故错误；C 、利用合并同类项的知识可知该选项正确；D 、cos600.5︒=，cos600.50︒-=，所以原式无意义，错误，故选C ．【点睛】本题考查了幂的运算性质及特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是能够利用有关法则进行正确的运算，难度不大．12．B【解析】【分析】因为CP是∠OCD的平分线，所以∠DCP=∠OCP，所以∠DCP=∠OPC，则CD∥OP，所以弧AP等于弧BP，所以PA=PB．从而可得出答案．【详解】解：连接OP，∵CP是∠OCD的平分线，∴∠DCP=∠OCP，又∵OC=OP，∴∠OCP=∠OPC，∴∠DCP=∠OPC，∴CD∥OP，又∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴¼¼AP BP，∴PA=PB．∴点P是线段AB垂直平分线和圆的交点，∴当C在⊙O上运动时，点P不动．故选：B．【点睛】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，以及平行线的判定和性质，在同圆或等圆中，等弧对等弦．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．﹣2 3 .【解析】【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【详解】原式＝13﹣1＝﹣23.故答案是：﹣2 3 .【点睛】考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．10 5000300034000 x yx y+=⎧⎨+=⎩【解析】试题解析：根据题意得：10 5000300034000. x yx y+=⎧⎨+=⎩故答案为10 5000300034000. x yx y+=⎧⎨+=⎩15．1【解析】【分析】【详解】解：∵正六边形ABCDEF的边长为3，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，∴弧BAF的长=3×6﹣3﹣3═12，∴扇形AFB（阴影部分）的面积=12×12×3=1．故答案为1．【点睛】本题考查正多边形和圆；扇形面积的计算．16．1【解析】作DH⊥x轴于H，如图，当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，则A（1，0），当x=0时，y=-3x+3=3，则B（0，3），∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAH=90°，而∠BAO+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠DAH ，在△ABO 和△DAH 中AOB DHA ABO DAH AB DA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABO ≌△DAH ，∴AH=OB=3，DH=OA=1，∴D 点坐标为（1，1），∵顶点D 恰好落在双曲线y=k x上， ∴a=1×1=1．故答案是：1.17．2；【解析】试题解析：先求-2的平方4. 18．2a 1- 【解析】分析：依据等式的基本性质依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案．详解：移项，得：ax ﹣x=1，合并同类项，得：（a ﹣1）x=1．∵a≠1，∴a ﹣1≠0，方程两边都除以a ﹣1，得：x=21a -．故答案为x=21a -． 点睛：本题主要考查解一元一次方程的能力，熟练掌握等式的基本性质及解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）t ＝154秒；（1）t ＝5s ）． 【解析】【分析】（1）利用勾股定理列式求出 AB ，再表示出 AP 、AQ ，然后分∠APQ 和∠AQP 是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；（1）过点 P 作 PC ⊥OA 于 C ，利用∠OAB 的正弦求出 PC ，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），∴AO＝6，BO＝8，∴AB＝＝＝10，∵点P的速度是每秒1个单位，点Q 的速度是每秒1个单位，∴AQ＝t，AP＝10﹣t，①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，∴，即，解得t＝＞6，舍去；②∠AQP 是直角时，△AQP∽△AOB，∴，即，解得t＝，综上所述，t＝秒时，△APQ 与△AOB相似；（1）如图，过点P 作PC⊥OA 于点C，则PC＝AP•sin∠OAB＝（10﹣t）×＝（10﹣t），∴△APQ的面积＝×t×（10﹣t）＝8，整理，得：t1﹣10t+10＝0，解得：t＝5+＞6（舍去），或t＝5﹣，故当t＝55s）时，△APQ的面积为8cm1．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，分类讨论是解题的关键．20．(1)y B=－0.2x2+1.6x（2）一次函数,y A=0.4x（3）该企业投资A产品12万元,投资B产品3万元,可获得最大利润7.8万元【分析】（1）用待定系数法将坐标（2，2.4）（4，3.2）代入函数关系式y B =ax 2+bx 求解即可；（2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，通过待定系数法求得函数表达式；（3）根据等量关系“总利润=投资A 产品所获利润+投资B 产品所获利润”列出函数关系式求得最大值【详解】解：(1)y B =－0.2x 2+1.6x,（2）一次函数,y A =0.4x,（3）设投资B 产品x 万元，投资A 产品（15－x ）万元，投资两种产品共获利W 万元， 则W=（－0.2x 2+1.6x ）+0.4（15－x ）=－0.2x 2+1.2x+6=－0.2(x －3)2+7.8,∴当x=3时,W 最大值=7.8,答:该企业投资A 产品12万元,投资B 产品3万元,可获得最大利润7.8万元.21．证明见解析.【解析】【分析】易证△DAC ≌△CEF ，即可得证.【详解】证明：∵∠DCF=∠E=90°,∴∠DCA+∠ECF=90°,∠CFE+∠ECF=90°, ∴∠DCA=∠CFE,在△DAC 和△CEF 中：90DCA CFE A E CD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ,∴△DAC ≌△CEF(AAS),∴AD=CE,AC=EF,∴AE=AD+EF【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.22．（1）抛物线的解析式是y=12x 2﹣3x ；（2）D 点的坐标为（4，﹣4）；（3）点P 的坐标是（345,416--）或（453,164）． 【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；（2）首先求出直线OB 的解析式为y=x ，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可；（3）首先求出直线A′B 的解析式，进而由△P 1OD ∽△NOB ，得出△P 1OD ∽△N 1OB 1，进而求出点P 1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（6，0）、B（8，8）∴将A与B两点坐标代入得：64883660a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得：123ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式是y=12x2﹣3x．（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（8，8），得：8=8k1，解得：k1=1∴直线OB的解析式为y=x，∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，∴x﹣m=12x2﹣3x，∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣2m=0，解得：m=8，此时x1=x2=4，y=x2﹣3x=﹣4，∴D点的坐标为（4，﹣4）（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（6，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，6），根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，设直线A′B的解析式为y=k2x+6，过点（8，8），∴8k2+6=8，解得：k2=14，∴直线A′B的解析式是y=164y x=+，∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上，∴设点N（n，164x+），又点N在抛物线y=12x2﹣3x上，∴164x+=12n2﹣3n，解得：n1=﹣32，n2=8（不合题意，舍去）∴N点的坐标为（﹣32，458）．如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1（﹣32，-458），B1（8，﹣8），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，∴△P1OD∽△N1OB1，∴1111 2OP ODON OB==，∴点P1的坐标为（345,416--）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（453,164），综上所述，点P的坐标是（345,416--）或（453,164）．【点睛】运用了翻折变换的性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，利用翻折变换的性质得出对应点关系是解题关键．23．83-【解析】【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值化简进而得出答案．【详解】原式=9﹣2+1﹣383-【点睛】本题考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．24．（1）作图见解析；（2）A1（0，1），点B1（﹣2，2）．（3）22【解析】【分析】（1）按要求作图.（2）由（1）得出坐标.（3）由图观察得到，再根据勾股定理得到长度.【详解】解：（1）画出△A 1OB 1，如图．（2）点A 1（0，1），点B 1（﹣2，2）．（3）OB 1＝OB ＝＝2． 【点睛】本题主要考查的是绘图、识图、勾股定理等知识点，熟练掌握方法是本题的解题关键.25．（1）8y x=-；（2）P （0,6） 【解析】试题分析：（1）先求得点A 的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；（2）连接AC ，根据三角形两边之差小于第三边知：当A 、C 、P 不共线时，PA-PC<AC ；当A 、C 、P 不共线时，PA-PC=AC ；因此，当点P 在直线AC 与y 轴的交点时，PA-PC 取得最大值.先求得平移后直线的解析式，再求得平移后直线与反比例函数的图象的交点坐标，最后求直线AC 的解析式，即可求得点P 的坐标.试题解析： ()1令一次函数12y x =-中2y =，则122x =-， 解得：4x =-，即点A 的坐标为（-4，2）．∵点A （-4，2）在反比例函数k y x =的图象上， ∴k=-4×2=-8， ∴反比例函数的表达式为8y x=-． ()2连接AC ，根据三角形两边之差小于第三边知：当A 、C 、P 不共线时，PA-PC<AC ；当A 、C 、P 不共线时，PA-PC=AC ；因此，当点P 在直线AC 与y 轴的交点时，PA-PC 取得最大值.设平移后直线于x 轴交于点F ，则F （6，0） 设平移后的直线解析式为12y x b =-+， 将F （6，0）代入12y x b =-+得：b=3∴直线CF 解析式：132y x =-+ 令12x -+3=8x-，解得：128(2x x ==-舍去），， ∴C （-2，4）∵A 、C 两点坐标分别为A （-4，2）、C （-2，4） ∴直线AC 的表达式为6y x =+，此时，P 点坐标为P （0，6）.点睛：本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了用待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的交点坐标，熟练运用一次函数及反比例函数的性质是解题的关键.26．1【解析】【分析】原式第一项利用乘方法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．【详解】解：原式=1﹣1×+1+=1﹣+1+=1． 【点睛】此题考查了含有特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键.27．-13【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【详解】原式=[x 2x 2+- +()24x 2-]÷x x 2-=[()22x 4x 2---+()24x 2-]÷x x 2-=()22x x 2-·x 2x -=x x 2-， 当x=12时，原式=12122-=-13． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．。
北京市朝阳区2019-2020学年中考二诊数学试题含解析
北京市朝阳区2019-2020学年中考二诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P 的横坐标为1-，则一次函数()y a b x b =-+的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．2．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( )A ．B ．C ．D ．3．下列各数中是无理数的是（ ）A ．cos60°B ．·1.3C ．半径为1cm 的圆周长D ．384．已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是反比例函数y ＝(k≠0)图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，那么一次函数y ＝kx －k 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，直立于地面上的电线杆 AB ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC 、CD ，测得 BC=6 米，CD=4 米，∠BCD=150°，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰 角为 30°，则电线杆 AB 的高度为（ ）A ．2+23B ．4+23C ．2+32D ．4+326．若关于x 的不等式组2x a x >⎧⎨<⎩恰有3个整数解，则字母a 的取值范围是（ ） A ．a≤﹣1 B ．﹣2≤a ＜﹣1 C ．a ＜﹣1 D ．﹣2＜a≤﹣17．下列图案是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之前增长了180倍，达到2100000册．把2100000用科学记数法表示为（ ）A ．0.21×108B ．21×106C ．2.1×107D ．2.1×1069．计算－－|－3|的结果是( ) A ．－1 B ．－5 C ．1 D ．510．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别在CD 、BC 的延长线上，AE ∥BD ，EF ⊥BC ，tan ∠ABC=34，EF=，则AB 的长为（ ）A 533B ．536C ．1D 17211．下列方程中是一元二次方程的是( )A ．20ax bx c ++=B ．2211x x +=C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=12．如图，点C 是直线AB ，DE 之间的一点，∠ACD=90°，下列条件能使得AB ∥DE 的是（ ）A．∠α+∠β=180°B．∠β﹣∠α=90°C．∠β=3∠αD．∠α+∠β=90°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=13CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，BE=12，则AB的长为_____．14．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是_____cm．15．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为_____．16．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为_____．17．将半径为5，圆心角为144°的扇形围成一个圈锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．18．如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝6，AD＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E，交DC 的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝2，则△CEF 的周长为____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上．（1）b =_________，c =_________，点B的坐标为_____________；（直接填写结果）（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．21．（6分）如图，AB为☉O的直径，CD与☉O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O 作OC∥BE，交☉O于点F，交切线于点C，连接AC.（1）求证：AC 是☉O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形.22．（8分）如图，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC=4，D 是BC 边上一点，将点D 绕点A 逆时针旋转60°得到点E ，连接CE. B(1)当点E 在BC 边上时,画出图形并求出∠BAD 的度数；(2)当△CDE 为等腰三角形时，求∠BAD 的度数；(3)在点D 的运动过程中，求CE 的最小值.(参考数值:sin75°=624， cos75°=624，tan75°=23+) 23．（8分）小明遇到这样一个问题：已知：1b c a -=. 求证：240b ac -≥. 经过思考，小明的证明过程如下：∵1b c a-=，∴b c a -=.∴0a b c -+=.接下来，小明想：若把1x =-带入一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），恰好得到0a b c -+=.这说明一元二次方程20ax bx c ++=有根，且一个根是1x =-.所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：240b ac -≥.根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：已知：42a c b+=-. 求证：24b ac ≥.请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程. 24．（10分）如图，△BAD 是由△BEC 在平面内绕点B 旋转60°而得，且AB ⊥BC ，BE ＝CE ，连接DE ． （1）求证：△BDE ≌△BCE ；（2）试判断四边形ABED 的形状，并说明理由．25．（10分）如图，已知ABC DCB ∠=∠，ACB DBC ∠=∠．求证AB DC =．26．（12分）如图，已知等边△ABC ，AB=4，以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，连接FD ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求EF 的长．27．（12分）某单位为了扩大经营，分四次向社会进行招工测试，测试后对成绩合格人数与不合格人数进行统计，并绘制成如图所示的不完整的统计图．（1）测试不合格人数的中位数是 ．（2）第二次测试合格人数为50人，到第四次测试合格人数为每次测试不合格人数平均数的2倍少18人，若这两次测试的平均增长率相同，求平均增长率；（3）在（2）的条件下补全条形统计图和扇形统计图．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据二次函数的图象可以判断a 、b 、a b -的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各选项即可得答案．【详解】由二次函数的图象可知，a 0<，b 0<，当x 1=-时，y a b 0=-<，()y a b x b ∴=-+的图象经过二、三、四象限，观察可得D 选项的图象符合，故选D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是关键.2．B【解析】【分析】由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.【详解】A 、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A 选项不合题意；B 、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B 选项与题意相符；C 、球的左视图与主视图都是圆，故C 选项不合题意；D 、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D 选项不合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.3．C【解析】分析：根据“无理数”的定义进行判断即可.详解：A 选项中，因为1cos602=o ，所以A 选项中的数是有理数，不能选A ； B 选项中，因为·1.3是无限循环小数，属于有理数，所以不能选B ；C 选项中，因为半径为1cm 的圆的周长是2πcm ，2π是个无理数，所以可以选C ；D 选项中，因为38=2，2是有理数，所以不能选D.故选.C.点睛：正确理解无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”是解答本题的关键.4．B【解析】试题分析：当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，可判定k ＞0，所以﹣k ＜0，即可判定一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限，故答案选B ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系．5．B【解析】 【分析】【详解】延长AD 交BC 的延长线于E ，作DF ⊥BE 于F ，∵∠BCD=150°，∴∠DCF=30°，又CD=4，∴DF=2，22CD DF -3由题意得∠E=30°，∴EF=23tan DF E= ， ∴3∴AB=BE×tanE=（3×33=（3+4）米， 即电线杆的高度为（3+4）米．点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.6．B【解析】【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求出字母a 的取值范围.【详解】解：∵x 的不等式组2x a x >⎧⎨<⎩恰有3个整数解， ∴整数解为1，0，-1，∴-2≤a ＜-1.故选B.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.7．C【解析】解：A ．此图形不是轴对称图形，不合题意；B ．此图形不是轴对称图形，不合题意；C ．此图形是轴对称图形，符合题意；D ．此图形不是轴对称图形，不合题意．故选C ．8．D【解析】2100000=2.1×106.点睛:对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数.9．B【解析】【分析】原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【详解】原式故选：B ．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．B【解析】【分析】由平行四边形性质得出AB=CD ，AB ∥CD ，证出四边形ABDE 是平行四边形，得出DE=DC=AB ，再由平行线得出∠ECF=∠ABC ，由三角函数求出CF 长，再用勾股定理CE ，即可得出AB 的长．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB=CD ，∵AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AB=DE ，∴AB=DE=CD ，即D 为CE 中点，∵EF ⊥BC ，∴∠EFC=90°，∵AB ∥CD ，∴∠ECF=∠ABC ，∴tan ∠ECF=tan ∠ABC=34，在Rt △CFE 中，tan ∠ECF=EF CF 34，∴CF=3，根据勾股定理得，3，∴AB=12CE=6， 故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、平行线的性质，三角函数的运用；熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，判断出AB=12CE 是解决问题的关键． 11．C【解析】【分析】找到只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0的整式方程的选项即可． 【详解】解：A 、当a=0时，20ax bx c ++=不是一元二次方程，故本选项错误； B 、2211x x+=是分式方程，故本选项错误； C 、(1)(2)1x x -+=化简得：230x x +-=是一元二次方程，故本选项正确； D 、223250x xy y --=是二元二次方程，故本选项错误； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 12．B 【解析】 【分析】延长AC 交DE 于点F ，根据所给条件如果能推出∠α=∠1，则能使得AB ∥DE ，否则不能使得AB ∥DE ； 【详解】延长AC 交DE 于点F.A. ∵∠α+∠β=180°，∠β=∠1+90°， ∴∠α=90°-∠1，即∠α≠∠1， ∴不能使得AB ∥DE ；B. ∵∠β﹣∠α=90°，∠β=∠1+90°， ∴∠α=∠1， ∴能使得AB ∥DE ；C.∵∠β=3∠α，∠β=∠1+90°， ∴3∠α=90°+∠1，即∠α≠∠1， ∴不能使得AB ∥DE ；D.∵∠α+∠β=90°，∠β=∠1+90°， ∴∠α=-∠1，即∠α≠∠1， ∴不能使得AB ∥DE ； 故选B.【点睛】本题考查了平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1．【解析】【分析】根据三角形的性质求解即可。
2020年北京市朝阳区九年级综合练习二模数学试题
．
20．关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 的值，并求此时方程的根．
21．如图，点 分别在矩形 的边 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 平分 ， ，求 的长．
22．为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取50家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
2020年北京市朝阳区九年级综合练习二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．3的相反数是（ ）
A．3B． C．﹣3D．﹣
2．如图，直线 ，它们之间的距离是（）
A．线段 的长度B．线段 的长度
C．线段 的长度D．线段 的长度
【详解】
解：∵分式 的值为0
∴1 -x =0，且x≠0
∴x= 1
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了分式值为零时的性质.熟知当分式的分子等于零，且分母不为零时，是分式值为零的条件，是解决本题的关键．
10．14
【解析】
【分析】
利用同时同地物的高与影长成正比列式计算即可．
【详解】
解：设旗杆高度为xm由題意得，
12．0.500
【解析】
【分析】
用大量重复试验事件发生的频率的稳定值估计概率即可．
【详解】
解：观察表格发现：随着试验次数的增多，“正面向上”的频率逐渐稳定在常数0.500附近，
所以估计此次实验硬币“正面向上”的概率是0.500，
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2020年北京市朝阳区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.若代数式x2−x的值等于零，则x=()x−1A. 1B. 0C. 0或1D. 0或−12.圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周得到的，那么下列四个图中绕着虚线旋转一周可以得到如图所示的立体图形的是()．A.B.C.D.3.下列四个选项中，既是轴对称又是中心对称的图形是()A. 矩形B. 等边三角形C. 正五边形D. 正七边形4.已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是()A. −a<−bB. a+b<0C. |a|<|b|D.5.若正六边形的边长为6，则其外接圆半径为()A. 3B. 3√2C. 3√3D. 66.若a+b=3且ab=1，则代数式(1+a)(1+b)的值等于()A. 5B. 1C. 3D. −17.某校七(3)班的同学进行了一次安全知识测试，测试成绩进行整理后分成四个组，并绘制如图所示的频数直方图，则第二组的频数是()A. 0.4B. 18C. 0.6D. 278.如图，矩形ABCD的长和宽分别为2cm和1cm，以D为圆心，AD为半径作弧AE，再以AB的中点F为圆心，FB长为半径作弧BE，则阴影部分的面积是()A. 1cm2B. 2cm2C. 3cm2D. 4cm2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.比√7大且比√10小的整数是______．10.如图，能用字母表示的直线有______条；能用字母表示的线段有______条；在直线EF上的射线有______条．11.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是_______m(结果保留根号)．12.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=6，AC=5，AD=3，则⊙O的直径AE=______ ．13.北京市2009～2014年轨道交通日均客运量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约________万人次，你的预估理由是______________．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−3,0)，B(−1,2).以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移两个单位，得到△A’O’B’，其中点A’与点A对应，点B’与点B对应.则点A’的坐标为__________，点B’的坐标为__________．15.下表记录了某射击运动员同一条件下的成绩．射击次数n306020050010005000“射中9环以上”的次数m23491623998074001“射中9环以上”的频率mn0.7670.8170.8100.7980.8070.800(精确到0.001)由此估计这名运动员射中9环以上的概率约是________(精确到0.1)．16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线a和直线外一点P．求作：直线a的垂线，使它经过P．作法：如图2，(1)在直线a上取一点A，连接PA；AP的长为半径作弧，(2)分别以点A和点P为圆心，大于12两弧相交于B，C两点，连接BC交PA于点D；(3)以点D为圆心，DP为半径作圆，交直线a于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的垂线．请回答：该尺规作图的依据是______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）)−117.计算：√12−3tan30°+(π−4)0−(1218.解不等式x−24>x+13−1，并在数轴上表示解集．19.如图，在△ABC中；(1)作∠C的角平分线CE交AB于E(保留痕迹，不写作法)，过点E分别作AC、BC的垂线EM、EN，垂足分别为M、N；(2)若EN=2，AC=4，求△ACE的面积．20.已知关于x的方程kx2−x−2k=0(k≠0)．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值．21.如图，平面直角坐标系中，反比例函数y1=k图象与函数y2=mx图象交于点A，过点A作AB⊥xx轴于点B，已知点A坐标(2,1)．(1)求反比例函数解析式；(2)当y2>y1时，求x的取值范围．22.如图1，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE//BD，BE//AC，OE=CD．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如图2，若∠ADC=60°，AD=4，求AE的长．23.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E.连接OC，BE，相交于点F．(1)求证：EF=BF；(2)若DC=4，DE=2，求直径AB的长．24.在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示：(1)求这次调查的50名学生读书的册数的平均数和众数．(2)根据样本数据，估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数．25.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm.动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E.设AE长为xcm，BD长为ycm(当D与A重合时，y=4；当D 与B重合时y=0)．小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈______．(2)在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．(3)结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为______cm．26.已知抛物线y=ax2−2ax−2(a≠0)．(1)当抛物线经过点P(4,−6)时，求抛物线的顶点坐标；(2)若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为11，求点M和点N的坐标；2(3)点A(x 1,y1)，B(x2,y2)为抛物线上的两点，设，当时，均有，求t的取值范围．27.27.已知△ABC中，AC=BC，∠C=100°，AD平分∠BAC交BC于D，点E为AB上一点，且∠EDB=∠B.求证：AB=AD+CD．28.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB=2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．(1)当⊙M半径为2，点M和点O重合时，1点P1(−2,0)，P2(1,1)，P3(2,2)中，⊙O的“美好点”是______；2点P为直线y=x+b上一动点，点P为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；(2)点M为直线y=x上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y=4上一动点，点P为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B的值等于零，解析：解：∵代数式x2−xx−1∴x2−x=0，x−1≠0，解得：x=0．故选：B．直接利用分式的值为零条件进而分析得出答案．此题主要考查了分式为零的条件，正确把握定义是解题关键．2.答案：A解析：本题考查了面动成体，由于图中立体图形是由两个圆柱组合而成，根据“圆柱是由长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周所得到的”这一规律，即可作出正确判断．解：由长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周可得到圆柱体，图中立体图形是由两个圆柱组合而成，则需要两个一边对齐的长方形，绕对齐边所在的直线旋转一周即可得到，故选A．3.答案：A解析：解：A、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.答案：C解析：本题主要考查的是数轴的认识、有理数的加法、减法、绝对值性质的应用，掌握法则是解题的关键．根据点a、b在数轴上的位置可判断出a、b的取值范围，即可作出判断．解：根据点a、b在数轴上的位置可知−1<a<0，1<b<2，则−a>−b，a+b>0，|a|<|b|，a−b<0．故选：C．5.答案：D解析：本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答此题要熟悉正多边形的边长、半径、边心距等概念，以及正六边形和正三角形的关系等概念．连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边形的外接圆半径．解：边长为6的正六边形可以分成六个边长为6的正三角形，而正三角形的边长即为正六边形的外接圆半径，其长度为6cm．6.答案：A解析：本题考查了整式的混合运算—化简求值，能正确运用多项式乘多项式的法则进行化简是解此题的关键，用了整体代入得思想，难度适中.先根据多项式乘多项式的法则计算，再变形，最后整体代入求出即可．解：∵a+b=3，ab=1，∴(1+a)(1+b)=1+b+a+ab=1+(a+b)+ab=1+3+1=5，故选A．7.答案：B解析：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.根据频数分布直方图即可求解．解：根据频数分布直方图可知，第二组的频数是18．故选B．8.答案：A解析：解：∵AD=1cm，AB=2cm，AB的中点是F，AB=1cm=AD，∴AF=BF=12∴扇形DAE的面积=扇形FBE的面积，∴阴影部分的面积=1×1=1(cm2).故选：A．根据题意扇形DAE的面积与扇形FBE的面积相等，则阴影部分的面积等于矩形面积的一半．本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质以及拼图的能力．得出阴影部分的面积等于矩形面积的一半是解题的关键．9.答案：3解析：此题主要考查了估算无理数的大小，基础题直接利用比√7大且比√10小的整数是√9即可得出答案．解：比√7大且比√10小的整数是：√9=3．故答案为：3．10.答案：3 6 6解析：解：图中有直线3条，分别是AB，AD，EF；线段有：AB、BC、AC、BD、CD，AD共有6条．有射线BE，CE，DE，BF，CF，DF，共有6条；故答案是：3，6，6．根据直线、射线、线段的表示法即可得到．本题考查了直线、射线、线段的表示法，理解三线的延伸性是关键．11.答案：(3√3+9)解析：此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．根据在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD ，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD=BDCD，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案．解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=ADCD，∴tan30∘=AD9，即AD9=√33，∴AD=3√3m．在Rt△BCD中，∵∠BCD=45°，∴BD=CD=9m，∴AB=AD+BD=(3√3+9)m．故答案为(3√3+9)．12.答案：10解析：解：由圆周角定理得，∠E=∠C，∠ABE=90°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴△ABE∽△ADC，∴ABAD =AEAC，即63=AE5，解得，AE=10，故答案为：10．根据圆周角定理得到∠E=∠C，∠ABE=90°，证明△ABE∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13.答案：980；因为2012−2013年发生数据突变，故参照2013−2014增长进行估算．解析：此题考查用样本估计总体有关知识，根据统计图进行用样本估计总体来预估即可．解：980，因为2012−2013年发生数据突变，故参照2013−2014增长进行估算．故答案为980；因为2012−2013年发生数据突变，故参照2013−2014增长进行估算．14.答案：(2,3)，(4,1)解析：本题考查了旋转中的坐标变换和平移中的坐标变换.根据点A(−3,0)，利用旋转的性质得到点A0的坐标，再利用平移的性质得A′坐标，同理得B′坐标．解：将OA以原点O为旋转中心，顺时针旋转90°到点A0外，则A0(0,3)，再把A0沿x轴向右平移两个单位到A′处，则A′(2,3)．将OB以原点O为旋转中心，顺时针旋转90°到点B0外，则B0(2,1)，再把B0沿x轴向右平移两个单位到B′处，则B′(4,1)．故答案为(2,3)，(4,1)．15.答案：0.8解析：本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键.根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．故答案为0.8．16.答案：直径所对的圆周角是直角．解析：解：由作图知，点E在以PA为直径的圆上，所以∠PEA=90°，则PE⊥直线a，所以该尺规作图的依据是：直径所对的圆周角是直角，故答案为：直径所对的圆周角是直角．由题意知点E在以PA为直径的圆上，根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠PEA=90°，即PE⊥直线a．本题主要考查作图−尺规作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及其性质和直径所对的圆周角是直角．17.答案：解：原式=2√3−3×√3+1−23=2√3−√3+1−2=√3−1．解析：直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.答案：解：x−24>x+13−1，去分母，得3(x−2)>4(x+1)−12解这个不等式，得x<2∴不等式组的解集为：x<2，将不等式解集表示在数轴上如图：．解析：根据解一元一次不等式的方法可以解答本题，并在数轴上表示出不等式的解集．本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．19.答案：解：(1)如图所示：CE为∠ACB的角平线，(2)∵CE为∠ACB的角平线，∠EMC=∠ENC=90°，∴EM=EN=2，∴S=12AC×EM=4．解析：(1)利用角平分线的作法以及过一点作已知直线的作法得出即可；(2)利用角平分线的性质以及三角形面积求法求出即可．此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质，得出EM的长是解题关键．20.答案：(1)证明：∵k≠0，∴kx2−x−2k=0(k≠0)为关于x的一元二次方程，∵Δ=(−1)2−4k×(−2k)=9>0，∴方程总有两个不相等的实数根；(2)解：x=1±√92k =1±32k，解得x1=2k，x2=−1k，∵方程的两个实数根都是整数，且k是整数，∴k=−1或k=1．解析：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．(1)先判断方程为关于x的一元二次方程，再计算出Δ=9，于是根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；(2)利用求根公式解方程得到x1=2k ，x2=−1k，然后利用整数的整除性确定k的值．21.答案：解：(1)∵反比例函数y1=kx经过点A(2,1)，∴k=xy=2×1=2，∴反比例函数的解析式为y=2x．(2)根据对称性可知：A、C关于原点对称，可得C(−2,−1)，观察图象可知，当y2>y1时，x的取值范围为−2<x<0或x>2．解析：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称性确定点C坐标．(1)利用待定系数法即可解决问题；(2)根据对称性确定点C坐标，观察图象，y2的图象在y1的图象上方的自变量的取值，即为所求．22.答案：证明：(1)∵AE//BD，BE//AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，∵OE=CD，∴OE=AB，∴平行四边形AEBO是矩形，∴∠BOA=90°，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD=4，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∠ADO=30°，∴AO=2，结合勾股定理得DO=√3AO=2√3=BO，∵四边形OBEA是平行四边形，∴AE=OB=2√3．解析：本题考查的是矩形的判定和性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质等有关知识．(1)证明平行四边形AEBO是矩形，得出AC⊥BD，根据菱形的判定证明即可；(2)由菱形的性质可得AD=CD=4，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∠ADO=30°，可求AO=2，DO=√3AO=2√3=BO，由平行四边形的性质可求AE的长．23.答案：(1)证明：∵CD是⊙O的切线，D为切点，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC//AD，∴∠BFO=∠AEB，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴OC⊥BE∴EF=BF；(2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠BFO=90º，∵∠OCD=∠CFE=90°，∴四边形EFCD是矩形，∴EF=CD，DE=CF，∵DC=4，DE=2，∴EF=4，CF=2，设⊙O的为r，∵∠OFB=90°，∴OB2=OF2+BF2，即r2=(r−2)2+42，解得，r=5，∴AB=2r=10，即直径AB的长是10.解析：本题考查切线的性质，圆周角定理及其推论和垂径定理，勾股定理．(1)有切线的性质得OC⊥CD，再由AD⊥CD得OC//AD，从而有OC⊥BE，再有垂径定理即可解答．(2)先证明四边形EFCD是矩形，再由勾股定理得方程，解方程即可．，24.答案：解：(1)观察表格，可知这组样本数据的平均数为：(0×3+1×13+2×16+3×17+4×1)÷50=2，故这组样本数据的平均数为2；∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是3；=108．(2)∵在50名学生中，读书多于2册的学生有18名，有300×1850∴根据样本数据，可以估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的约有108名．解析：(1)先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；(2)从表格中得知在50名学生中，读书多于2册的学生有18名，所以可以估计该校八年级300名学=108．生在本次活动中读书多于2册的约有300×1850本题考查了加权平均数、众数，用样本估计总体的知识，解题的关键是牢记概念及公式．25.答案：(1)2.9；(2)根据已知数据描点连线得：(3)2.3解析：解：(1)根据题意量取数据为2.9故答案为：2.9(2)见答案(3)当DB=AE时，y与x满足y=x，在(2)图中，画y=x图象，测量交点横坐标为2.3．故答案为：2.3(1)按题意，认真测量即可；(2)利用数据描点、连线；(3)当DB=AE时，y=x，画图形测量交点横坐标即可．本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．26.答案：解：(1)把P(4,−6)代入y=ax2−2ax−2得a=−12，又∵对称轴为直线x=1，∴代入解析式计算得该抛物线的顶点坐标为；(2)∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，，∴当x=5时，y的值最大，即M(5,112)，把M(5,112)代入y=ax2−2ax−2，解得a=12，∴该二次函数的表达式为y=12x2−2x−2，当x=1时，y=52，∴N(1,−52)；(3)当a>0时，该函数的图象开口向上，显然不符合题意，当a<0时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1，，当时，具有，点A(x1,y1)B(x2,y2)在该函数图象上，∴，，t的取值范围．解析：本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．(1)抛物线经过点P(4,−6)，代入抛物线即可求出顶点坐标；(2)根据图象的开口和增减性，可以求出抛物线的解析式．即可求出点M，点N的横坐标；(3)根据二次函数的开口的情况进行分类讨论即可．27.答案：见解析解析：由∠C=100°，AC=BC得到∠B=∠CAB=40°，再由∠EDB=∠B得到∠DEB=100°，BE=DE，则∠AED=80°，然后根据角平分线的定义得∠DAE=20°，于是利用三角形内角和定理可计算出∠ADE=80°，所以AD=AE，于是AB=AE+BE=AD+CD．【详解】∵∠C=100°，AC=BC，∴∠B=∠CAB=40°，∵∠EDB=∠B，∴∠DEB=100°，BE=DE，∴∠AED=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAF=20°，∴∠ADE=180°−80°−20°=80°，∴AD=AE，过点D作DF⊥AC于点F，作DH⊥AB于点H，∴DF=DH，在△CDF和△EDH中，∵∴△CDF≌△EDH(AAS)，∴CD=DE，∴CD=BE，∴AB=AE+BE=AD+CD．本题考查全等三角形的判定(AAS)与性质、等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定(AAS)与性质、等腰三角形的判定与性质．28.答案：解：(1)P1和P2如图2中，（2）当直线y=4与⊙M相切时，切点分别为E或E′，连接ME，M′E′，∵EM=E′M′=2，∴M′(2,2)，m(6,6)，∴满足条件的m的取值范围为2<m<6．解析：解：(1)如图1中，∵OP1=2+r，OP2=√2<r，OP3=2√2>r，根据⊙M的“美好点”的定义可知，P1，P2是⊙M的“美好点”．故答案为P1和P2当直线y=x+b与⊙O相切时，设切点分别为T，该直线交x轴于K，交y轴于E．在Rt△OTK中，OT=2，∠TKO=45°，∴∠KEO=45°，OE=√2OT=2√2，∴b=2√2，根据对称性可知：OF=OE=2√2，∴b=−2√2，∴b的取值范围为：−2√2≤b≤2√2．(2)见答案(1)根据⊙M的“美好点”即可判断，求出直线y=x+b与⊙M相切时，b的值即可解决问题；(2)当直线y=4与⊙M相切时，求出点M的坐标，有两个值，由此即可解决问题；本题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会在取特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。