08C第二章(1)

第 二章 矩阵
对称阵) 3、对称矩阵 (对称阵)
定义 如果 AT = A 则A称为对称阵 称为对称阵
AT = A ⇔ aij = aji (i,j = 1, 2, …, n)
a11 a A= 12 K a 1n
a12 L a1n a22 L a2n , K K a2n L ann
( 4 ) AE = EA = A;
A、E必须满足乘法规则
第 二章 矩阵
5、方阵的幂运算
定义 若 A 是 n 阶方阵，则 A k 为 A 的 k 次幂，即 方阵， 次幂，
A k = A AL A 1 24 4 3
(m , k 为正整数 )
A0 = E；A1 = A；A2 = AA； … ； ； ； Ak+1 = AkA.
A=O
注：当A为实对称阵时，才有 A2＝ 0 为实对称阵时， 否则，A不一定为O矩阵 否则，
A＝ 0
思考题2 思考题2
T
第 二章 矩阵
设列矩阵 X = ( x1 , x2 ,L, xn )T 满足 X T X = 1, E 为 n 阶单位矩阵， = E − 2 XX ，证明 H 是对称矩 H 阶单位矩阵， 阵, 且 HH = E .
k个
幂运算的条件：只有方阵才能有幂运算 幂运算的条件： 幂运算的性质:
A A =A
m k
m+ k
;
(A )
m k
= A
mk
;
例 1 计算 A ？
n
第 二章 矩阵
d1 0 A= L 0
n ... 0 d1 d2 ... 0 n 0 A = L L L 0 0 ... dn n×n
O A
a12 L a1n a22 L a2n , L L L an2 L ann
A O
= AE
第 二章 矩阵
2 1 0 • 补例 补例(2004) 设 A= 1 2 0 , 0 0 1
* * 矩阵 B 满足 ABA = 2BA + E,则|B| = ? 则
第 二章 矩阵
2、转置矩阵的运算规律
( 1)
(2)
(A )
T T
= A;
A的奇数次转置为 AT ，A的偶数次转置为 A 的奇数次转置为 的偶数次转置为
A ± B ) = AT ± BT ; (
T
( 3)
(4)
( λA )
T
= λA ;
T
AB ) = BT AT . (
T
T 但 Am× p BT×n = ? p
(1) ( AB )C = A( BC ); (2) A( B + C ) = AB + AC , B，C为同型矩阵
( B + C ) A = BA + CA;
( 3) λ ( AB ) = ( λA ) B = A ( λB ) = (AB)λ
（其中 λ 为数，可以放到任意位置）; 为数，可以放到任意位置）
A A - 2E B = A
1 B = 3 = 9 A A
3
第 二章 矩阵
小结
矩 阵 运 算
数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘(幂运算 幂运算) 矩阵与矩阵相乘 幂运算 转置矩阵与对称阵 方阵的行列式 伴随矩阵 共轭矩阵
2
?
?
3、 ( A - B ) = A2 - 2AB + B 2 , 、
2
四、矩阵的转置
１、转置矩阵
第 二章 矩阵
定义 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵， 转置矩阵 矩阵， 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 AΤ . 1 4 1 2 2 T A = 2 5 ; A= , 例 4 5 8 2 8 18 T B = (18 6), B = . 6 问：行矩阵与其转置矩阵可否相乘？结果如何？
中元素关于主对角线对称， 特点: 特点: A中元素关于主对角线对称，且为方阵
第 二章 矩阵
是实对称矩阵， 证明A 例5 设A是实对称矩阵，且A2 = O, 证明 = O. 是实对称矩阵 Proof
a11 a A2 = 12 K a 1n
a12 L a1n a11 a22 L a2n a12 K K K a2n L ann a1n
例3 已知
1 0 3 -1 A= , 2 1 0 2
求 AB Solution AB =
4 -1 B= 2 1
1 1 0 3
0 3 1 4
1×4+0×(-1)+ 3×2+(-1)×1 1×1+0×1+ 3×0+(-1)×3 1×0+0×3+ 3×1+(-1)×4 2×4+1×(-1)+0×2+ 2×1 2×1+1×1+0×0+ 2×3 2×0+1×3+0×1+ 2×4
T 2
)
T
∴ H是对称矩阵 .
= E.
第 二章 矩阵
五、方阵的行列式
1、 定义 、 由 n 阶方阵A的元素所构成的行列式 称为方阵A 阶方阵 的元素所构成的行列式, 称为方阵 的元素所构成的行列式 的行列式，记作|A|或 的行列式，记作 或det A.
2 3 例 A= 6 8
2 3 则A= = − 2. 6 8
第 二章 矩阵
A L A 21 n1 A L A 22 n2 , L L L A L A 2n nn
第 二章 矩阵
同理
A 11 12 * A A A= L 1n A
A = O
A L A a11 21 n1 A L A a21 22 n2 L L L L A L A an1 2n nn
a12 L a1n a22 L a2n , K K a2n L ann
2 2 2 a11 +a12 +L +a1n 2 2 2 a12 +a22 +L +a2n =O = , O 2 2 2 a1n +a2n +L +ann
∗
∗
(i, i)位置元素为 位置元素为: 位置元素为
A21 L An1 A22 L An2 L L L A2n L Ann
A* 称为矩阵 A 的伴随矩阵 伴随矩阵.
第 二章 矩阵
• 例
已知
3 4 -1 计算A A= 1 0 3 , 计算 *. 2 5 -4
A11 ⇒ A* = A12 A 13
3、方阵的伴随矩阵 、
第 二章 矩阵
(1) 定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式 Aij 所 构成的矩阵
a11 a21 A= L an1
a12 L a1n A11 a22 L a2n A12 * , A = L L L L an2 L ann A1n
• Hint
B为三阶方阵，且 为三阶方阵， 为三阶方阵
AB A ⋅ A = 2 B A ⋅ A + E ⋅ A
* *
第 二章 矩阵
详解
* * ABA ⋅ A =2BA ⋅ A+ E⋅ A
⇒ AB A E = 2B A E + E ⋅ A
⇒
⇒
⇒
⇒
A ( A - 2E ) B = A
A ( A - 2E ) B = A
9 -2 -1 = 9 9 11
第 二章 矩阵
例4
2 4 −2 4 1 C = −3 −6 1 −2 1 2×3 1 1 3×2
−15 −31 = ? 9 17 2 × 2
4、矩阵乘法的运算规律
第 二章 矩阵
例4
设矩阵
1 A= 0 2
1 , 2
第 二章 矩阵
B = E – ATA, C = E + 2 ATA, 其中 为3阶单位矩阵, 其中E为 阶单位矩阵 阶单位矩阵, 求BC. 1[直接计算 直接计算] Solution 1[直接计算] Solution 2[利用运算的性质] 2[利用运算的性质 利用运算的性质] BC = (E – ATA)(E + 2 ATA) = E+ = E ATA 2AT ( A AT)A [A AT = 1/2].T证明 Q H (E − 2 XXT T
T
T T T T
= E − 2( XX
) )
HH = H
T
2
= E − 2 XX = H ,
= E − 4XX + 4X ( X X ) X
T T
= E − 4 XXT + 4( XXT )( XXT )
= E − 4XXT + 4XXT
= (E − 2 XX
-15 10 5
A21 A22 A23
11 -10 -7
A31 A32 = ? A33
12 -10 -4
(2)
证明 设 A = (aij ), 记 AA∗ = (bij ), 则
a11 * a21 AA = L an1
2、 运算性质 、
第 二章 矩阵
(1) AT = A ;
( 2 ) λ A = λn A ;
(3) AB = A B ;
⇒ AB = BA .
注：上述性质必须满足下面两个条件： 上述性质必须满足下面两个条件： (1) A和B必须是 n 阶方阵 和 必须是 阶方阵. (2) AB不一定等于 ，但是它们的行列式是相等的 不一定等于BA，但是它们的行列式是相等的. 不一定等于