九年级数学强化训练6

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2022-2023学年九年级数学上学期期末高分必刷专题《一元二次方程与二次函数》强化训练

期末高分必刷专题《一元二次方程与二次函数》强化训练1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．B．C．D．2．用配方法解一元二次方程，配方后的方程为（）A．B．C．D．3．已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x+k2-2k-3=0的常数项等于0，则k的值等于（）A．-1 B．3 C．-1或3 D．-34．若关于x的一元二次方程x2＋x－3m＋1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＜C．m≥D．m≤5．下列关于一元二次方程的根的情况判断正确的是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根6．已知4是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．7或C．或D．7．若实数、满足，则一元二次方程根的情况是（）．A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根C．无实数根D．两个实数根8．定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n-m+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算，例如：-3☆2=(-3)2×2-(-3)+2=23．根据以上知识请判断方程：x☆2=0的根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．只有一个实数根9．若α、β是方程x2+2x﹣2015＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A．2015 B．2013 C．﹣2015 D．403010．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（） A ． B ． C ．2- D ．11．某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到49万元．设平均月增长率为x ，根据题意可列方程是（）A ．25(1+ x %)2=49B ．25(1+x)2=49C ．25(1+ x 2) =49D ．25(1- x)2=4912．某医院内科病房有护士人，每人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是天，则（） A ． B ． C ． D ．13．某商场销售一种新文具，进价为20元/件，市场调查发现，每件售价35元，每天可销售此文具250件，在此基础上，若销售单价每上涨1元，每天销售量将减少10件，针对这种文具的销售情况，若销售单价定为元时，每天可获得4000元的销售利润，则应满足的方程为（）A ．B ．C ．D ．14．下列关系式中,属于二次函数的是( )A ．B ．C ．D ．15．若函数是二次函数，则m 的值为（） A ．3 B ． C ． D ．916．下列二次函数中，图像的开口向上的是（）A ．216y x x =--B ．281y x x =-++C ．()()15y x x =-+D ．()225y x =-- 17．抛物线的顶点坐标为（）A ．(1,4)--B ．C ．D ． 18．抛物线()21+5y x =--与轴的交点坐标是（）A ．（0，4）B ．（1，4）C ．（0，5）D ．（4，0） 19．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（） A ．图象的开口向上B ．图象的顶点坐标是C ．当时，随的增大而增大D ．图象与轴有唯一交点20．已知关于x 的二次函数21(3)(2)4y m x m x m =+-++ 的图像与x 轴总有交点，则实数m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣4且m≠﹣3B ．m≥﹣4且m≠﹣3C ．m ＞﹣4D ．m≥﹣4 21．在平面直角坐标系中，将抛物线22y x = 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( )A ．22(3)4y x =--B ．C ．D ．22．若（，），（，），（，）为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．23．已知二次函数，关于该函数在31x -≤≤的取值范围内，下列说法正确的是（）． A ．有最大值6，有最小值-3B ．有最大值5，有最小值-3C ．有最大值6，有最小值5D ．有最大值6，有最小值-1 24．函数23y ax bx =++．当与时，函数值相等，则当时，函数值等于（） A ．－3 B ． C ． D ．325．用一根长60cm 的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为（）A ．125cm2B ．225cm2C ．200cm2D ．250cm226．二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a>0 B．b>0 C．c>0 D．b2-4ac>027．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，说法：①；②；③；④若、是抛物线上两点，则，其中说法正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．428．已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，给出以下结论：①abc<0；②当x=-1时，函数有最大值；③方程ax²+bx+c=0的解是x=1，x=-3；④4a+2b+c>0，⑤2a-b=0，其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．429．在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（） A ． B ． C ． D ．30．如图，已知中，2,30,AB AC B P ︒==∠=是边上一个动点，过点作，交其他边于点．若设为，的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、解答题 1．（2021·山东安丘·九年级期末）已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值．2．（2021·广东郁南·九年级期末）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G 等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G 基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G 基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G 基站的数量是多少万座？；（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率．3．（2021·河北卢龙·九年级期末）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？4．（2021·山东郓城·九年级期末）已知关于x 的方程x2+（2k ﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k 的值．5．（2021·河北曲阳·九年级期末）在平面直角坐标系中，已知点()()()1,2.2,3.2,1A B C ，直线y x m =+经过点A ．抛物线21y ax bx =++恰好经过,,A B C 三点中的两点．()1判断点B 是否在直线y x m =+上．并说明理由；()2求,a b 的值；()3平移抛物线21y ax bx =++，使其顶点仍在直线y x m =+上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．6．（2021·海南海口·九年级期末）如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过()2,0A ，()0,6B -两点．（1）求这个二次函数的解析式；的面积．（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求ABC7．（2021·山东禹城·九年级期末）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．8．（2021·广西玉林·九年级期末）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．参考答案1．D 符合一元二次方程定义的是21023x x --=，故选：D.2．A∵29190x x -+=，∴2919x x -=-，则2818191944x x -+=-+，即29524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选：A.3．B由题意，得2230k k --=且10k +≠，∴()()310k k -+=且10k +≠，∴30k -=．解得3k =．故选：B ．4．C∵ 关于x 的一元二次方程2310x x m +-+=有两个实数根， ∴ ()214131m ∆=-⨯⨯-+≥0，解得：m≥14，故选：C ．5．C解：∵△=22-4×1×3=-8＜0， ∴方程23210x x ++=没有实数根．故选：C ．6．C解：把x=4代入方程得16-4（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x 2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4+4+3=11； ②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC 的周长为10或11．故选C ．7．A ∵21203ax x b +-= ∴∆=4-4a×13b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=4+43ab ， ∵0b a>， ∴ab>0，∴∆=4+43ab >0， ∴一元二次方程21203ax x b +-=有两个不相等的实数根．故选A ．8．C解：∵x ☆2=0，∴2x2-x+2=0，∵a=2，b=-1,，c=2，∴△=b²-4ac=1-16=-15<0，∴无实数根，故选C ．9．B解：∵α是方程x2+2x ﹣2015＝0的根，∴α2+2α﹣2015＝0，∴α2+2α＝2015，∴α2+3α+β＝2015+α+β，∵α、β是方程x2+2x ﹣2015＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣2，∴α2+3α+β＝2015﹣2＝2013．故选：B ．10．A∵1x ，2x 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴1x +2x =2，1x 2x =-1， ∴12112121x x +-- 21122121(21)(21)x x x x -+-=-- 1212122()242()1x x x x x x +-=-++ 2224(1)221⨯-=⨯--⨯+ =27-，故选：A.11．B解：依题意得七月份的利润为25（1+x ）2，∴25（1+x ）2=49．故选：B ．12．C解：由已知护士x 人，每2人一班，轮流值班，可得共有()12x x -种组合，又已知每8小时换班一次，每天3个班次，所以由题意得：()12x x -÷(24÷8)=70解得：x=21，即有21名护士．故选C ．13．C由题意知：销售单价定为x 元，∵进价为20元/件，每件售价35元，每天可销售此文具250件，∴销售利润=（35-20）×250=3750＜4000 ∴销售利润为4000时，x ＞35，又∵销售单价每上涨1元，每天销售量将减少10件∴可得方程为(20)[25010(35)]4000x x ---=．故选C ．14．A根据二次函数的定义：2(0)y ax bx c a =++≠，可判断出只有A 符合二次函数的定义，故选：A ．15．C 由题意得：272320m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得3m =±，故选：C ．16．B解：A. 261y x x =--+，开口方向向下；B. 281y x x =-+，开口方向向上；C. ()()215=45y x x x x =-+--+，开口方向向下；D. ()22251023y x x x =--=-+-，开口方向向下．故答案为B ．17．D 解：2223(1)4y x x x∴顶点坐标为(1,4)-．故选：D ．18．A把x ＝0代入得y ＝-（-1）2+5，即y ＝4，∴抛物线()21+5y x =--与y 轴的交点坐标是（0，4）．故选：A ．19．C解：2224(1)5y x x x =-++=--+， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为(1,5)，抛物线的对称轴为直线1x =，当 1x <时，y 随x 的增大而增大，令0y =，则2240x x -++=，解方程解得 11x =21x =，∴△44(1)4200=-⨯-⨯=>，∴抛物线与x 轴有两个交点．故选：C ．20．B解：∵关于x 的二次函数21(3)(2)4y m x m x m =+-++的图像与x 轴总有交点， ∴△=()()212434m m m ---+⋅=22443m m m m ++--=4m +≥0解得：m≥﹣4又∵m+3≠0∴m≠-3∴实数m 的取值范围是m≥﹣4且m≠﹣3．故选B ．21．D解：∵抛物线22y x = 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∴所得到的抛物线的表达式为22(3)4y x =+-，故选：D ．22．B解：∵245y x x =--∴该函数图像开口方向向上，对称轴为x=422-=- ∵|134--2|=5.25，|54--2|=3.25，|14-2|=1.75， ∴1.75＜3.25＜5.25∴y3＜y2＜y1．故答案为B ．23．A∵242y x x =--+∴二次函数图像的对称轴为：()()422x -=-=-- ∵31x -≤≤，且10-< ∴当2x =-时，函数取最大值()()224226y =----+=又∵242y x x =--+在2x =-右侧，y 随着x 的增大而减小；在2x =-左侧，y 随着x 的增大而增大∴当3x =-时，()()234325y =----+=当1x =时，1423y =--+=-∵35-<∴31x -≤≤，二次函数取最小值-3故选：A ．24．D解：∵当x=1与x=2018时，函数值相等，故该函数为二次函数，∴对称轴为：x=12018201922+-=- ∴x=2019与x=0的函数值相等，∵当x=0时，y=3，∴当x=2019时，y=3，故选：D ．25．B解：设矩形的长为xcm ，则宽为602x 2-cm ， ∴矩形的面积S ＝(602x 2-)x ＝−x2＋30x ． ∵a ＝−1＜0， ∴S 最大＝24ac 4b a-＝9004--＝225（cm2）．故矩形的最大面积是225cm2．故选：B ．26．D解：由函数图象，可得：函数开口向下，则a ＜0，对称轴在y 轴左侧，则b ＜0，图象与y 轴交点在y 轴负半轴，则c ＜0，抛物线与x 轴有两个交点，则b2−4ac ＞0，故错误的结论是A 、B 、C ，正确的结论是D ．故选：D ．27．C解：∵抛物线开口向上，∴0a >， ∵抛物线对称轴是直线12b x a=-=-， ∴20b a =>，则20a b -=，故②正确，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴0c <，∴0abc <，故①正确，∵当3x =-时，0y =，且图象关于直线1x =-对称，∴当1x =时，0y a b c =++=，即a c b +=-，∵0b >，∴0a c +<，故③正确，∵点()15,y -离对称轴要比点25,2y ⎛⎫⎪⎝⎭离对称轴远， ∴12y y >，故④错误．故选：C ．28．C∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴为直线x=2b a-=-1， ∴b=2a<0，2a-b=0，故⑤正确，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c>0，∴abc>0，所以①错误；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，∴当x=-1时，函数有最大值，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，而对称轴为直线x=-1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(−3，0)，∴当x=1或x=-3时，函数y 的值都等于0，∴方程ax2+bx+c=0的解是：x1=1，x2=-3，所以③正确；∵x=2时，y<0，∴4a+2b+c<0，所以④错误，综上，正确的有②③⑤故选：C ．29．D解：解法一：逐项分析；A 、由函数y mx m =+的图象可知0m <，即函数222y mx x =-++开口方向朝上，与图象不符，故A 选项错误；B 、由函数y mx m =+的图象可知0m <，二次函数的对称轴为21022b x a m m=-=-=<，则对称轴应在y 轴左侧，与图象不符，故B 选项错误；C 、由函数y mx m =+的图象可知0m >，即函数222y mx x =-++开口方向朝下，与图象不符，故C 选项错误；D 、由函数y mx m =+的图象可知0m <，即函数222y mx x =-++开口方向朝上，对称轴为 21022b x a m m=-=-=<，则对称轴应在y 轴左侧，与图象相符，故D 选项正确；解法二：系统分析当二次函数开口向下时，0m -<，0m >，一次函数图象过一、二、三象限．当二次函数开口向上时，0m ->，0m <，对称轴2102x m m==<，这时二次函数图象的对称轴在y 轴左侧，一次函数图象过二、三、四象限．故选：D ．30．C解：（1）当03BP<时，在ABC ∆中，2AB AC ==，30B ∠=︒，PD BC ⊥，BP ∴=；21(03)2y BP DP x ∴=⨯<，2>， ∴函数图象开口向上；（2BP <<BP ==；11)22y BP DP x ∴=⨯=，22y x =-+； 302-<， ∴函数图象开口向下；综上，答案C 的图象大致符合．故选：C ．二：解答题1解析：（1）证明：∵()230x m x m ---=，∴△=[﹣（m ﹣3）]2﹣4×1×（﹣m ）=m2﹣2m+9=（m ﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵()230x m x m ---=，方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，∴123x x m +=- ，12x x m =- ，∴()2121237x x x x +-=，∴（m ﹣3）2﹣3×（﹣m ）=7，解得，m1=1，m2=2，即m 的值是1或2．2解：（1）由题意可得：到2020年底，全省5G 基站的数量是1.546⨯=（万座）.答：到2020年底，全省5G 基站的数量是6万座.（2）设年平均增长率为x ，由题意可得： ()26117.34x +=，解得：10.7=70%x =，2 2.7x =-（不符合，舍去）答：2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．3解析：（1）由题意得60×（360－280）＝4800（元）.即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；（2）设每件商品应降价x 元，由题意得（360－x －280）（5x ＋60）＝7200，解得x1＝8，x2＝60.要更有利于减少库存，则x ＝60.即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元. 4：（1）∵关于x 的方程x2+（2k ﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，∴△=（2k ﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k 的取值范围为k≤．（2）∵关于x 的方程x2+（2k ﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=1﹣2k ，x1x2=k2﹣1．∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2，∴（1﹣2k ）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），即k2﹣4k ﹣12=0，解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．∴实数k 的值为﹣2．5【详解】（1）点B 在直线y x m =+上，理由如下：将A （1，2）代入y x m =+得21m =+，解得m=1，∴直线解析式为1y x ，将B （2，3）代入1y x ，式子成立，∴点B 在直线y x m =+上；（2）∵抛物线21y ax bx =++与直线AB 都经过（0，1）点，且B ，C 两点的横坐标相同， ∴抛物线只能经过A ，C 两点，将A ，C 两点坐标代入21y ax bx =++得124211a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：a=-1，b=2；（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h ）2+k ，∵顶点在直线1y x 上，∴k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为-h2+h+1，∵-h2+h+1=-（h-12）2+54， ∴当h=12时，此抛物线与y 轴交点的纵坐标取得最大值54．6（1）把()2,0A ，()0,6B -代入212y x bx c =-++得 2206b c c -++=⎧⎨=-⎩，解得46b c =⎧⎨=-⎩. ∴这个二次函数解析式为21462y x x =-+-.（2）∵抛物线对称轴为直线44122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， ∴C 的坐标为()4,0， ∴422AC OC OA =-=-=， ∴1126622ABC S AC OB ∆=⨯=⨯⨯=. 7解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB 时，，∴或OP=PC ﹣3 ∴P1（0，，P2（0，3﹣；②当PB=PC 时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，）或（0，3﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．8（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩，解得：16k b =-⎧⎨=⎩，则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t2+2t+6）其中0＜t ＜6，则N （t ，﹣t+6），∴PN=PM ﹣MN=﹣12t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t2+2t+6+t ﹣6=﹣12t2+3t ， ∴S △PAB=S △PAN+S △PBN =12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t2+3t ）×6 =﹣32t2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，P(3,152),△PAB 的面积有最大值；（3）△PDE 为等腰直角三角形，则PE=PD ，点P （m ，-12m2+2m+6），函数的对称轴为：x=2，则点E 的横坐标为：4-m ，则PE=|2m-4|，m2+2m+6+m-6=|2m-4|，即-12解得：m=4或-2或或-2和故点P的坐标为：（4，6）或（）．。

2022年强化训练京改版九年级数学下册第二十五章概率的求法与应用章节测试练习题(含详解)

九年级数学下册第二十五章概率的求法与应用章节测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、盒子中装有形状、大小完全相同的3个小球，球上分别标有数字﹣1，1，2，从中随机取出一个，其上的数字记为k 1放回后再取一次，其上的数记为k 2，则一次函数y ＝k 1x +b 与第一象限内y ＝2k x 的增减性一致的概率为（）A ．19 B ．29 C ．49 D ．232、明明和强强是九年级学生，在本周的体育课体能检测中，检测项目有跳远，坐位体前屈和握力三项．检测要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽到跳远的概率是（）．A ．13 B ．19 C ．23 D ．293、已知粉笔盒里有8支红色粉笔和n 支白色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，取出红色粉笔的概率是25，则n 的值是（）A ．10B ．12C ．13D ．14 4、在“石头、剪子、布”的游戏中，当你出“剪刀”时，对手与你打平的概率为（）A ．12B ．13 C ．23 D ．145、将分别标有“中”“国”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（）A．18B．16C．14D．126、做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：下面有3个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中所有合理推断的序号是（）A．②B．①③C．②③D．①②③7、在一个不透明的袋中装有仅颜色不同的白球和红球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中；然后重复上述步骤……如表是实验中记录的部分统计数据：则袋中的红球个数可能有（）A ．16个B ．8个C ．4个D ．2个8、不透明的袋子里装有7个只有颜色不同的球，其中3个黑球，4个白球，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率是（）A ．34B ．37 C ．47 D ．439、①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为3 ；从上述4个命题中任取一个，是真命题的概率是（）A ．1B ．34C ．12D ．1410、一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是（）A ．14B ．13 C ．12 D ．34第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、综艺节目《朗读者》自开播以来受到大家的广泛关注．重庆实验外国语学校某班主任准备从经常关注该节目的同学中抽取两人进行交流讨论，其中经常关注的同学中有3名男同学，1名女同学，则恰好抽取到1名男同学和1名女同学的概率是_________．2、只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做质数，我国数学家陈景润在有关质数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从3，5，7，11，13，23这6个质数中随机抽取一个，则抽到个位数是3的可能性是________．3、如图，在一块边长为30cm 的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10cm 的圆形阴影区域，飞镖投向正方形任何位置的机会均等，则飞镖落在阴影区域内的概率为________（结果保留π）．4、从分别写有2，4，5，6的四张卡片中任取一张，卡片上的数是偶数的概率为_____．5、已知一纸箱中，装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个红球，从箱中随机取出一个球，这个球是白球的概率为 ___．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余．．的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．（1）“A志愿者被选中”是______ 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；（2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时．．被选中的概率．2、一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．（1）求摸出一个球是白球的概率．（2）第一次摸出1个球，记下颜色，放回摇匀，再摸出1个球，求两次摸出颜色相同的球的概率（用树状图或列表来表示分析过程）．3、一只不透明的袋子中装有三个质地、大小都相同的小球，球面上分别标有数字-1、2、3，搅匀后先从中任意摸出一个小球(不放回)，记下数字作为点M的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标．（1）用树状图或列表等方法，列出所有可能出现的结果；（2）求事件A“点M落在第二象限”的概率P(A)．4、钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，尽量呆在家，勤洗手，多运动，多看书，少熬夜．”学校为鼓励学生抗疫期间在家阅读，组织九年级全体同学参加了疫期居家海量读书活动，随机抽查了部分同学读书本数的情况统计如图所示．（1）本次共抽查学生______人，并将条形统计图补充完整；（2）在九年级1000名学生中，读书15本及以上（含15本）的学生估计有多少人？（3）在九年级六班共有50名学生，其中读书达到25本的有两位男生和两位女生，老师要从这四位同学中随机邀请两位同学分享读书心得，试通过画树状图或列表的方法求恰好是两位男生分享心得的概率．5、如图，转盘黑色扇形和白色扇形的圆心角分别为120°和240°．（1）让转盘自由转动一次，指针落在白色区域的概率是多少？（2）让转盘自由转动两次，请用树状图或者列表法求出两次指针都落在白色区域的概率．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转）-参考答案-一、单选题1、B【分析】分别计算所有情况数及满足条件的情况数，代入概率计算公式，可得答案．【详解】盒子中装有形状、大小完全相同的3个小球，球上分别标有数字-1，1，2，从中随机取出一个，其上的数字记为1k ，放回后再取一次，其上的数记为2k ，则共有9种情况，分别为：（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2），一次函数y ＝k 1x +b 与第一象限内y ＝2k x 的增减性一致的有：（-1，1），（-1，2），一次函数y ＝k 1x +b 与第一象限内y ＝2k x 的增减性一致的概率为29 故选B ．【点睛】此题考查概率计算公式，判断一次函数与反比例函数的增减性，解题关键在于列出所有可能出现的情况．2、B【分析】根据题意，采用列表法或树状图法表示出所有可能，然后找出满足条件的可能性，即可得出概率．【详解】解：分别记跳远为“跳”，坐位体前屈为“坐”，握力为“握”，列表如下：由表中可知，共有9种不同得结果，两人都抽到跳远的只有1种可能，则两人抽到跳远的概率为：19P=，故选：B．【点睛】题目主要考查利用树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图法或列表法是解题关键．3、B【分析】根据概率求解公式列方程计算即可；【详解】由题意得：8285n=+，解得：n＝12．经检验：n＝12是方程的解．故选B．【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，准确计算是解题的关键．4、B【分析】根据题意画树状图展示所有3种等可能的结果数，再找出对手与你打平的结果数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：画树状图为：共有3种可能的结果数，其中对手与你打平的结果数为1，所以对手与你打平的概率=13.故选：B．【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，注意掌握利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．5、B【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出能组成“加油”的情况数，再利用概率公式计算即可．【详解】解：根据题意可列表如下：一共有4×3=12种可能，其中能组成“加油”的有2种，∴两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是21 126．故选：B．本题考查了列表法或树状图法求概率，根据题意列出所有等可能结果是解题关键．6、C【分析】根据概率公式和图表给出的数据对各项进行判断，即可得出答案．【详解】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在什么数值附近摆动，才能用频率估计概率，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；正确；③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．正确；故选：C．【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．7、C【分析】首先估计摸到红球的概率，然后求得白球概率，根据球的总个数求得答案即可．【详解】解：∵摸球800次红球出现了160次，∴摸到红球的概率约为1601= 8005，∴20个球中有白球20×15＝4个，故选：C．本题考查用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率，掌握相关知识是解题关键．8、C【分析】直接根据概率公式求解即可．【详解】解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率＝47．故选：C．【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．9、D【分析】先根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据弧长公式对④进行判断．然后利用概率公式进行计算即可．【详解】①不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故①说法错误，是假命题；②平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以②错误，是假命题；③在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，所以③正确，是真命题；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为23，所以④错误，是假命题．其中真命题有1个，所以是真命题的概率是：14，【点睛】本题考查了真假命题的判断及概率公式，解题的关键是：先判断命题的真假．10、C【分析】根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出搭配正确的概率即可．【详解】解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯．经过搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb．∴颜色搭配正确的概率是12．故选：C．【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．二、填空题1、1 2【分析】根据题意，使用列表法将所有可能性表示出来，然后找出满足条件的可能性计算概率即可．解：根据题意，使用列表法如下：由表可得：共有12中可能，满足恰好抽取到1名男同学和1名女同学的共有6种可能性，∴61122P==，故答案为：12．【点睛】题目主要考查利用树状图或者列表法表示出所有可能性，然后计算概率，熟练运用树状图或列表法是解题关键．2、12【分析】先利用列举法求出个位数字是3的所有结果数，然后利用概率公式求解即可．【详解】解：从3，5，7，11，13，23这6个质数中随机抽取一个数一共有6种等可能性的结果数，其中抽到个位是3的有3，13，23三种结果数，∴抽到个位数字是3的概率是31=62，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握列举法进行概率的计算是解决本题的关键． 3、9π## 【分析】根据概率的公式，利用圆的面积除以正方形的面积，即可求解【详解】解：根据题意得：飞镖落在阴影区域内的概率为2210309ππ⨯=故答案为：9π 【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P （必然事件）=1；P （不可能事件）=0是解题的关键．4、34【分析】根据概率的求法，让是偶数的卡片数除以总卡片数即为所求的概率．【详解】解答：解：∵四张卡片上分别标有数字2，4，5，6，其中有2，4，6，共3张是偶数，∴从中随机抽取一张，卡片上的数字是偶数的概率为34，故答案为：34．【点睛】点评：本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝mn．5、2 5【分析】根据概率的公式，即可求解【详解】解：根据题意得：这个球是白球的概率为22 235= +故答案为：2 5【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．三、解答题1、 (1)随机；（2）见解析1 6【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；（2）画树状图，得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可．【详解】(1)根据随机事件的概念，A志愿者被选中是随机事件上，故答案为：随机．(2)由上述树状图可知：所有可能出现的结果共有12种,并且每一个结果出现的可能性相同．其中A ，B 两名志愿者同时被选中的有2种. ∴P （A ，B 两名志愿者同时被选中）= 21=126【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 2、（1）13；（2）59【分析】（1）根据概率公式列式计算即可得解；（2）画出树状图或列出图表，然后根据概率公式列式计算即可得解．【详解】解（1）摸出一个球的所有可能结果总数3n =，摸到是白球的可能结果数1m =，∴摸出一个球是白球的概率为13．（2）画树状图如下：由树状图知，一共有9种情况，两次摸出颜色相同的球有5种，所以两次摸出颜色相同的球的概率59．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握公式：概率=所求情况数与总情况数之比3、（1）树状图见解析，(－1，2)、(－1，3)、(2，－1)、(2，3)、(3，－1)、(3，2)；（2）1 3【分析】（1）根据题意画出树状图，并列出所有可能出现的结果；（2）根据（1）的树状图求事件A“点M落在第二象限”的概率P(A)【详解】解：（1）可画树状图如下：由此可知点M的坐标有以下六种等可能性：(－1，2)、(－1，3)、(2，－1)、(2，3)、(3，－1)、(3，2)．（2）上面六种等可能性中第二象限的点M为(－1，2)、(－1，3)两种，∴事件A“点M落在第二象限”的概率为P(A)=21 63 =【点睛】本题考查了树状图法求概率，第二象限点的坐标特征，掌握树状图法求概率是解题的关键．4、（1）50，图见解析；（2）500人；（3）图表见解析，1 6【分析】（1）由题意根据C的人数和所占的百分比，可以求得本次共抽查学生人数，然后即可计算出读书10本的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）由题意根据条形统计图中的数据，可以计算出读书15本及以上（含15本）的学生估计有多少人；（3）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求出恰好是两位男生分享心得的概率．【详解】解：（1）本次共抽查学生14÷28%=50（人），故答案为：50；50-9-14-7-4＝16（人），补全的条形统计图如图所示，（2）1474100050050++⨯=（人），即读书15本及以上（含15本）的学生估计有500人．（3）树状图如下图所示，一共有12种可能性，其中恰好是两位男生可能性有2种，故恰好是两位男生分享心得的概率是21 126．【点睛】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5、（1）23；（2）见解析，49【分析】（1）将120°作为1份，可知白色扇面占2份，黑色扇面占1份，利用概率公式计算即可；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出概率可得．【详解】解：（1）将120°作为1份，可知白色扇面占2份，黑色扇面占1份，它们发生的可能性相同，让转盘自由转动一次，共三种可能，指针落在白色区域有2种，所以，概率是23；（2）设白色扇形两块和黑色扇形的一块分别为1，2，3，画树状图得：由树状图知共有9种等可能结果，其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的有4种结果，所以指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为49．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．。

人教版九年级数学中考复习第一轮专题--6.强化训练第六章圆

(3)解:如图,连接 BD,AD,DO,作∠BAF=∠DBA,交 BD 于点 F,
∵DO=BO, ∴∠ODB=∠OBD, ∴∠AOD=2∠ODB=∠EDO. ∵∠CAB=∠CDB=45°=∠EDO+∠ODB=3∠ODB, ∴∠ODB=15°=∠OBD. ∵∠BAF=∠DBA=15°,
∴AF=BF,∠AFD=30°. ∵AB 是直径,∴∠ADB=90°, ∴AF=2AD,DF= AD, ∴BD=DF+BF= AD+2AD,
C.G,H,E
D.H,E,F
5.(2018 福建)如图,AB 是☉O 的直径,BC 与☉O 相切于点 B,AC 交
☉O 于点 D,若∠ACB=50°,则∠BOD 等于( D )
A.40°
B.50°
C.60°
D.80°
第 5 题图
第 6 题图
6.(2018 哈尔滨)如图,点 P 为☉O 外一点,PA 为☉O 的切线,A 为切
(1)求证:EG 是☉O 的切线;
(2)延长 AB 交 GE 的延长线于点 M,若 AH=2,CH=2 2,求 OM 的长. (1)证明:连接 OE,如图,
∵GE=GF,∴∠GEF=∠GFE. 而∠GFE=∠AFH,∴∠GEF=∠AFH. ∵AB⊥CD,∴∠OAF+∠AFH=90°, ∴∠GEA+∠OAF=90°. ∵OA=OE,∴∠OEA=∠OAF, ∴∠GEA+∠OEA=90°,即∠GEO=90°, ∴OE⊥GE,
第23讲与圆有关的位置关系
1.(2011.(2019 南岗)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以
点 A 为圆心作圆,如果圆 A 与线段 BC 没有公共点,那么圆 A 的半

辽宁省鞍山市第二中学2020届九年级中考强化训练数学试题(无答案,2020-5-5)

五月五日数学强化训练一、选择题（每题3分）1．﹣2019的倒数是（）A．2019B．C．﹣D．﹣20192．若点A（n，2）与点B（﹣3，m）关于原点对称，则n﹣m＝（）A．﹣1B．﹣5C．1D．53．下列说法中，正确的是（）A．“打开电视，正在播放湖北新闻节目”是必然事件B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖C．“明天降雨的概率是50%表示明天有半天都在降雨”D．“掷一次骰子，向上一面的数字是2”是随机事件4．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（）A．96B．69C．66D．995．二次函数y＝x2﹣2x的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，﹣1）D．（﹣1，1）6．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的总面积是（）A．1.5πB．2.5πC．3.5πD．4.5π7．对于反比例函数y＝，下列说法正确的个数是（）①函数图象位于第一、三象限；②函数值y随x的增大而减小③若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2；④P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积是定值．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．②③④二、填空题（每题3分）9．如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D＝，则＝．10．因式分解：a2b﹣4ab+4b＝．11．如图，AD是Rt△ABC斜边BC边上的中线，G是△ABC的重心，如果BC＝6，那么线段GD的长为．12．当m＝时，一元二次方程x2﹣4x+m＝0（m为常数）有两个相等的实数根．13．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC交⊙O于点D．若CD＝5，BC＝8，则AB的长为．14．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝．15．如图，△CAB与△CDE均是等腰直角三角形，并且∠ACB＝∠DCE＝90°．连接BE，AD的延长线与直线BC、BE的交点分别是点G与点F，将△CDE绕点C旋转直至CD ∥BE时，若DA＝4.5，DG＝2，则BF的值是16．在滑草过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线，如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3…反比例函数y＝（k＞1，x＞0）的图象上，A1B1∥A2B2…∥y轴，已知点A1，A2…的横坐标分别为1，2，…，令四边形A1B1B2A2、A2B2B3A3、…的面积分别为S1、S2、…．（1）用含k的代数式表示S1＝．（2）若S19＝39，则k＝．三、解答题17．先化简，再求值．（1﹣）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．18．（8分4+4）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，连接AD．（1）试利用尺规作图，求作：线段AE，使得AE是线段AD绕点A沿逆时针方向旋转得到的，且∠DAE＝∠BAC（保留作图痕迹，不写作法于证明过程）；（2）连接DE交AC于F，若∠BAE+∠AEC＝165°，求∠B的度数．19、(10分5+5)已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．20．四张卡片，除一面分别写有数字2，2，3，6外，其余均相同，将卡片洗匀后，写有数字的一面朝下扣在桌面上，随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后仍将写有数字的一面朝下扣在桌面上，再抽取一张．（1）用列表或画树状图的方法求两次都恰好抽到2的概率；（2）小贝和小晶以此为游戏，游戏规则是：第一次抽取的数字作为十位，第二次抽取的数字作为个位，组成一个两位数，若组成的两位数不小于32，小贝获胜，否则小晶获胜．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．21．（10分5+5）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB＝60°，在B点测得∠MBA＝45°，AB ＝600米．（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）（2）在B点又测得∠NBA＝53°，求MN的长．（结果精确到1米）（参考数据：≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）22．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．蓝天中学为了解八年级学生本学期的课外阅读情况，随机抽查部分学生对其课外阅读量进行统计分析，绘制成两幅不完整的统计图．根据图示信息，解答下列问题：（1）求被抽查学生人数，课外阅读量的众数，扇形统计图中m的值；并将条形统计图补充完整；（2）若规定：本学期阅读3本以上（含3本）课外书籍者为完成目标，据此估计该校600名学生中能完成此目标的有多少人？23、（10分5+5）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AB＝6，AD＝4，求EF的长．24．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．（1）当31≤x≤50时，y与x的关系式为；（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的取值范围．25．（12分4+6+2）如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC 边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．（1）求证：△EBD∽△DCF．（2）若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF 且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B＝α，则△AEF与△ABC的周长之比为（用含α的表达式表示）．26．如图1，抛物线y＝x2+bx+c过点A（4，﹣1），B（0，﹣），点C为直线AB下方抛物线上一动点，M为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB交于点N．（1）求抛物线的表达式与顶点M的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出D点坐标；（3）在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

沪科版九年级数学中考复习点运动综合题强化训练

沪科版九年级数学中考复习点运动综合题强化训练一、选择题1.如图①，点P 从△ABC 的顶点A 出发，沿A →B →C 匀速运动到点C ，图②为点P 运动时线段 CP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中Q 为曲线部分的最低点，则△ABC 的边AB 的长度为 ( )A. 12B. 8C. 10D. 132. 如图①，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，点P 从点B 出发沿折线B －E －D 运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1 cm/s.现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为 x s ，△BPQ 的面积为y cm 2，若y 与x 的对应关系如图②所示，则矩形ABCD 的面积是 ( )A. 96 cm 2B. 84 cm 2C. 72 cm 2D. 56 cm 23. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，2)，AB ⊥x 轴于点B ，C 是线段OB 上的点，连接AC.点P 在线段AC 上，且AP ＝2PC ，函数y ＝ kx (x ＞0)的图象经过点P .当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是 ( ) A. 0＜k ≤2 B. 23≤k ≤3C. 23≤k ≤2D. 83≤k ≤4第3题二、填空题4.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为 .5.∠AOB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB ＝60°，在∠AOB 内有一点P(4，3)，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ， MN ，则△PMN 周长的最小值为 .6.如图，在边长为2√3的菱形ABCD 中，∠C ＝60°，E ，F 分别是AB ，AD 上的动点，且AE ＝DF ，DE 与BF 交于点P . 当点E 从点A 运动到点B 时，点P 的运动路径长为 .第4题第5题第6题7.如图，在等边三角形ABC中，AB＝3，D，E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为.第7题第8题第9题8. 如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，E为边AB上的一个动点，连接ED并DE，以EC，EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为.延长至点F，使得DF＝149.如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，B是⊙O上一动x－3与x轴、y轴分别交于点D，E，则△CDE面积的最小点，C为弦AB的中点，直线y ＝34值为.10.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点. 动点P从点E 出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH ⊥PQ于点H，连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为，线段DH长度的最小值为.第10题第11题三、解答题11. 如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME 的垂线分别与边AD，BC相交于点F，G，点P，Q分别在线段EF，BC上运动，且满足∠PMQ＝60°，连接PQ.(1) 求证：△MEP≌△MBQ.(2) 当点Q在线段GC上时，试判断PF＋GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值；如果变化，请说明理由.(3) 设∠QMB ＝α，点B 关于QM 的对称点为B ′，若点B ′落在△MPQ 的内部，试写出α的取值范围，并说明理由.12.如图①，在矩形 ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，E ，F 分别为AB ， CD 的中点. (1) 求证：四边形AEFD 是矩形.(2) 如图②，P 是边 AD 上一点，BP 交EF 于点O ，点A 关于BP 的对称点为M ，当点M 落在线段EF 上时，OB ＝OM.请说明理由.(3) 如图③，若P 是射线AD 上一个动点，点A 关于BP 的对称点为M ，连接AM ，DM ，当△AMD 是等腰三角形时，求AP 的长.13. 如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P ，Q 分别从点C ，点A 同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边 CA ，AB 上沿 C →A ，A →B 的方向运动，当点Q 运动到点B 时，P ，Q 两点同时停止运动. 设点P 运动的时间为t s ，连接PQ ，过点P 作PE ⊥PQ ，PE 与边BC 相交于点E ，连接QE.(1) 如图②，当t ＝5时，延长EP 交边AD 于点F.求证：AF ＝CE.(2) 在(1)的条件下，试探究线段AQ ，QE ，CE 三者之间的等量关系，并加以证明. (3) 如图③，当t ＞94时，延长EP 交边AD 于点F ，连接FQ ，若FQ 平分∠AFP ，求AFCE的值.第13题14. 如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF ＝90°，AB＝BE＝8 cm，BC＝BF ＝6 cm，延长DC交EF于点M. 点P从点A出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2 cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1 cm/s.过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G.设运动时间为t s(0＜t＜5).解答下列问题：(1) 当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？(2) 连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值.(3) 连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S cm2，求S与t的函数解析式.(4) 点P在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.第14题x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴15.如图，抛物线y＝－12为直线x＝－1，点C的坐标为(0，4).(1) 求抛物线对应的函数解析式.(2) 在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO？如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由.(3) 在(2)的条件下，若点P在x轴上方，M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离.(4) G是线段AC上的动点，H是线段BC上的动点，Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值.第15题16、如图①②，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝3.点K在AC边上，点M，N分别在4AB，BC上，且AM＝CN＝2.点P从点M出发沿折线MB－BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随点P移动，且始终保持∠APQ＝∠B.(1) 当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离.(2) 若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4∶5的两部分时，求MP的长.(3) 设点P移动的路程为x，当0≤x≤3或3<x≤9时，分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示).(4) 在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域(含边界)，扫描器随，请直接写出点K被扫描到的总时长.点P从M到B再到N共用时36秒.若AK＝94参考答案1、C2、C3、C4、3√3－25、5√36、43π 7、2√33π 8、9√3 9、2 10、3√2 √13−√211、(1) ∵ △MBE 是等边三角形，∴ ME ＝MB ，∠BME ＝60°. ∵ ∠PMQ ＝60°，∴ ∠BME ＝∠PMQ.∴ ∠EMP ＝∠BMQ. ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠MBQ ＝90°.∵ ME ⊥GF ，∴ ∠MEP ＝90°＝∠MBQ.∴ △MEP ≌△MBQ(ASA) (2) PF ＋GQ 的值不变如图，连接MF.∵ 四边形ABCD 为正方形且边长为6，∴ ∠A ＝90°，AB ＝6. ∵ M 为AB 的中点，∴ AM ＝BM ＝12AB ＝3.∵ △MBE 为等边三角形，∴ EM ＝BM ＝BE ＝3，∠MEB ＝∠BME ＝∠MBE ＝60°. ∴ AM ＝EM.∵ ME ⊥FG ，∴ ∠MEF ＝90°.在Rt △AMF 和Rt △EMF 中，{AM =EM ，MF =MF ，∴ Rt △AMF ≌Rt △EMF(HL)．∴ ∠AMF ＝∠EMF.∵ ∠BME ＝60°，∴ ∠AME ＝120°.∴ ∠AMF ＝∠EMF ＝60°.∵ EM ＝3，∴ EF ＝3×tan 60°＝3√3.∵ ∠MBE ＝60°，∴ ∠EBG ＝30°.∵ ∠BEG ＝180°－90°－60°＝30°，BE ＝3，∴ 易得BG ＝EG ＝√3.∴ EF ＝PE ＋PF ＝BQ ＋PF ＝BG ＋GQ ＋PF ＝√3＋GQ ＋ PF.又EF ＝3√3，∴ PF ＋GQ ＝2√3(3) 30°＜α＜60°理由：根据题意，得∠BMB ′＝2α，∠BMP ＝60°＋α.当2α≥60°＋α，即α≥60°时，点B ′不在△MPQ 的内部．当点Q 与点G 重合，即α＝30°时，点B ′与点E 重合，不在△MPQ 的内部．当α＜30°时，点E 在PQ 右侧，此时点B ′在△MPQ 外．综上所述，α的取值范围是30°＜α＜60°.12、(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ＝CD ，∠A ＝90°，AB ∥CD ，即AE ∥DF. ∵ E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴ AE ＝12AB ，DF ＝12CD.∴ AE ＝DF.∴ 四边形AEFD 是平行四边形．∵ ∠A ＝90°，∴ ▱AEFD 是矩形(2) 理由：连接PM ，BM. ∵ 四边形AEFD 是矩形，∴ EF ∥AD ，即OE ∥AP .∴ BEBA ＝BOBP .∵ E 为AB 的中点，∴ BE ＝12BA.∴ BO ＝12BP ，即O 为BP 的中点．∵ 点A 与点M 关于BP 对称，∴ PA ＝PM ，BA ＝BM.又∵ PB ＝PB ，∴ △PAB ≌△PMB(SSS)．∴ ∠PMB ＝∠A ＝90°.∴ OM ＝12BP .∴ OB ＝OM.（3） ① 如图①，当MA ＝MD ，且点M 在矩形ABCD 内时，连接BM ，过点M 作MH ⊥AD 于点H ，交BC 于点F.∵ MA ＝MD ，MH ⊥AD ，∴ AH ＝HD ＝4.∵ ∠BAH ＝∠ABF ＝∠AHF ＝90°，∴ 四边形ABFH 是矩形．∴ BF ＝AH ＝4，AB ＝FH ＝5，∠BFM ＝90°.由点A 与点M 关于BP 对称，易得BP 垂直平分线段AM ，∴ BM ＝BA ＝5.∴ FM ＝√BM 2−BF 2＝√52−42＝3.∴ HM ＝HF －FM ＝5－3＝2.∵ ∠ABP ＋∠APB ＝90°，∠MAH ＋∠APB ＝90°，∴ ∠ABP ＝∠MAH.∵ ∠BAP ＝∠AHM ＝90°，∴ △ABP ∽△HAM.∴AP HM＝ABHA.∴AP 2＝54.∴ AP ＝52.② 如图②，当AM ＝AD 时，连接BM ，设BP 交AM于点F.由点A 与点M 关于BP 对称，易得BP 垂直平分线段AM ，∴ BA ＝BM ＝5，BF ⊥AM.∵ AD ＝AM ＝8，∴ AF ＝FM ＝12AM ＝4.∴ 在Rt △AFB 中，BF ＝√AB 2−AF 2＝√52−42＝3.∵ ∠APF ＝90°－∠FAP ＝∠BAF ，∠PFA ＝∠AFB ＝90°，∴ △PFA ∽△AFB.∴ AP BA ＝AFBF .∴AP5＝43.∴ AP ＝203.③ 如图③，当DA ＝DM 时，点P 与点D 重合，AP ＝8.④ 如图④，当MA ＝MD ，且点M 在矩形ABCD 外时，连接BM ，过点M 作MH ⊥AD 于点H ，交BC 于点F.∵ BM ＝AB ＝5，BF ＝4，∴ FM ＝√52−42＝3，MH ＝3＋5＝8. 与①同理，由△ABP ∽△HAM ，得APHM ＝ABHA ，∴AP8＝54.∴ AP ＝10.综上所述，满足条件的AP 的长为52或203或8或1013、(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ∥BC ，∠ABC ＝90°.∴ ∠PAF ＝∠PCE ，∠AFP ＝∠CEP .∵ 在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∴ AC ＝2+BC 2＝10.根据题意，得CP ＝t ＝5，∴ AP ＝AC －CP ＝5.∴ AP ＝CP .∴ △APF ≌△CPE(AAS).∴ AF ＝CE(2) AQ 2＋CE 2＝QE 2 连接FQ ，由(1)，知△APF ≌△CPE ，∴ AF ＝CE ，PE ＝PF.∵ EF ⊥PQ ，∴ QE ＝QF.在Rt △QAF 中，根据勾股定理，得AQ 2＋AF 2＝QF 2，∴ AQ 2＋CE 2＝QE 2 (3) 根据题意，得AQ ＝t ，CP ＝t ，∴ AP ＝AC －CP ＝10－t.∵ FQ 平分∠AFE ，∴ ∠AFQ ＝∠PFQ.∵ ∠FAQ ＝∠FPQ ＝90°，FQ ＝FQ ，∴ △FAQ ≌△FPQ(AAS)．∴ AQ ＝PQ ＝t ，AF ＝PF.∴ BQ ＝AB －AQ ＝6－t ，∠FAC ＝∠FPA.∵ ∠DAC ＝∠ACB ，∠APF ＝∠CPE ，∴ ∠ACB ＝∠CPE.∴ PE ＝CE.过点E 作EN ⊥AC 于点N ，∴ CN ＝12CP ＝12t ，∠CNE ＝90°＝∠ABC.∵ ∠NCE ＝∠BCA ，∴ △CNE ∽△CBA.∴ CECA ＝CNCB .∴ CE10＝12t 8.∴ CE ＝58t.∴ PE ＝58t ，BE ＝BC －CE ＝8－58t.∵ 在Rt △QPE 中，QE 2＝PQ 2＋PE 2；在Rt △BQE中，QE 2＝BQ 2＋BE 2，∴ PQ 2＋PE 2＝BQ 2＋BE 2.∴ t 2＋(58t)2＝(6－t)2＋(8−58t)2，解得t ＝5011.∴ CP ＝t ＝5011.∴ AP ＝10－CP ＝6011.∵ AD ∥BC ，∴ △APF ∽△CPE.∴ AF CE ＝APCP ＝60115011＝65 14、(1) ∵ 点M 在线段CQ 的垂直平分线上，∴ CM ＝MQ ＝t cm.∵ AB ∥CD ，即CM ∥BF ，∴ △ECM ∽△EBF.∴CM BF＝CE BE.∴CM 6＝8−68.∴ CM ＝32cm.∴ t ＝32、(2) 如图①，根据题意补全图形．当四边形PQNH 为矩形时，AP ＝2t cm ，MQ ＝t cm ，PH ＝QN.∵ ∠ABC ＝∠EBF ＝90°，AB ＝BE ＝8 cm ，BC ＝BF ＝6 cm ，∴ AC ＝√AB 2+BC 2＝10 cm ，EF ＝√BF 2+BE 2＝10 cm.∵ PH ∥CB ，∴ △APH ∽△ACB.∴AP AC ＝PH CB.∴2t10＝PH 6.∴ PH＝65t cm.∵ CE ＝2 cm ，CM ＝32cm ，∴ EM ＝√EC 2+CM 2＝√4+94＝52(cm)．∴ FQ ＝FE －EM －MQ ＝(152−t)cm.∵ QN ∥BC ，∴ △FQN ∽△FEB.∴ FQ FE ＝QNEB .∴ 152−t 10＝QN 8.∴ QN ＝(6−45t)cm. ∵ PH ＝QN ，∴ 65t ＝6－45t.∴ t ＝3.∴ 当四边形PQNH 为矩形时，t 的值为3(3) 过点Q 作QN ⊥AF 于点N ，由(2)，可知QN ＝(6−45t)cm.∵ PH ∥CB ，∴ △AHP ∽△ABC.∴ AH AB ＝AP AC .∴AH 8＝2t 10.∴ AH ＝85t cm.∵ 四边形QCGH 的面积S ＝S 梯形GMFH －S △CMQ －S △HFQ ，∴S ＝12×6×(8－85t ＋32＋6＋8－85t)－12×32×[6−(6−45t)]−12×(6－45t)(8－85t ＋6)＝－1625t 2＋15t ＋572(4) 存在假设存在某一时刻t ，使点P 在∠AFE 的平分线上.如图②，连接PF ，延长AC 交EF 于点K.∵ AB ＝BE ＝8 cm ，BC ＝BF ＝6 cm ，AC ＝EF ＝10 cm ，∴ △ABC ≌△EBF(SSS)．∴ ∠CAB ＝∠E. 又∵ △ABC 与△EKC 的内角和均为180°，∠ACB ＝∠ECK ，∴ ∠ABC ＝∠EKC ＝90°.∵ S △CEM ＝12EC ·CM ＝12EM ·CK ，∴ CK ＝2×3252＝65cm.∵ PF 平分∠AFE ，PH ⊥AF ，PK ⊥EF ，∴ PH ＝PK.∴ 65t ＝10－2t ＋65.∴ t ＝72.∴ 假设成立．∴ 当t ＝72时，点P 在∠AFE 的平分线上15、(1) ∵ 抛物线的对称轴为直线x ＝－1，∴ －b2×(−12)＝－1.∴ b ＝－1.将C(0，4)代入y ＝－12x 2－x ＋c 中，得c ＝4，∴ 抛物线对应的函数解析式为y ＝－12x 2－x ＋4 (2) 存在如图①，假设抛物线上存在点P 满足∠ABP ＝∠BCO.过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，则在Rt △PEB 中，tan ∠ABP ＝PEBE .∵ 在Rt △BOC 中，tan ∠BCO ＝OBOC ，∴ PEBE ＝OBOC .∵ y ＝－12x 2－x ＋4，令y ＝0，得x 1＝－4，x 2＝2，∴ 点A(－4，0)，B(2，0).∴ OB ＝2.∵ 点C(0，4)，∴ OC ＝4.∴ PEBE ＝12.设点P (m ，−12m 2−m +4)，则PE ＝|－12m 2－m ＋4|，BE ＝2－m. ① 当点P 在x 轴上方时，−12m 2−m+42−m＝12，解得m 1＝－3，m 2＝2(不合题意，舍去)，此时点P 1(−3，52)；② 当点P 在x 轴下方时，12m 2+m−42−m＝12，解得m 1＝－5，m 2＝2(不合题意，舍去)，此时点P 2(−5，−72).综上所述，假设成立，点P 的坐标为(－3，52)或(－5，－72)(3) 如图②，作MF ⊥x 轴于点F ，交BP 于点R ，作MN ⊥BP 于点N.由(2)，得点A(－4，0)，B(2，0)，P (−3，52).设y BP ＝kx ＋b 1，将B(2，0)，P(－3，52)代入，得y BP ＝－12x ＋1.设点M (a ，−12a 2−a +4)，则点R(a ，－12a ＋1)，∴ MR ＝(−12a 2−a +4)－(－12a ＋1)＝−12a 2－12a ＋3.∵ ∠MNR ＝∠BFR ＝90°，∠NRM ＝∠FRB ，∴ △MNR ∽△BFR. ∴RN RF＝NM FR ，则RN NM ＝RF FB .∵ tan ∠ABP ＝12＝RF FB ＝RNNM ，则在Rt △MNR 中，RN ∶NM ∶MR ＝1∶2∶√5，∴ MN MR ＝√5＝2√55.∴ MN ＝－√55a 2－√55a ＋6√55＝－√55(a ＋12)2＋5√54，则当a ＝－12时，MN 最大，为5√54(4)12√10516、(1) 如图①，过点A 作AH ⊥BC 于点H.∵ AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴ BH ＝CH ＝4，∠B ＝∠C.∴ tan B ＝tan C ＝AH BH ＝34.∴ AH ＝3，AB ＝AC ＝√AH 2+BH 2＝√32+42＝5.∴ 当点P 在BC 上，PA ⊥BC 时，点P 到点A 的距离最短，最短距离为3(2) ∵ ∠APQ ＝∠B ，∴ PQ ∥BC.∴ △APQ ∽△ABC.∵ PQ 将△ABC 的面积分成上下4∶5的两部分，∴ S△APQ S △ABC＝(AP AB )2＝44+5.∴ AP AB ＝23.∴ AP ＝103.∴ PM ＝AP －AM ＝103－2＝43(3) 当0≤x ≤3时，如图①，过点P 作PJ ⊥CA 交CA 的延长线于点J.∵ PQ ∥BC ，∴ ∠AQP ＝∠C ，△APQ ∽△ABC.∴ APAB ＝PQBC .∴x+25＝PQ 8.∴ PQ ＝85(x ＋2)．∵ sin ∠AQP ＝sin C ＝35，∴ PJ ＝PQ ·sin ∠AQP ＝2425(x ＋2)．当3＜x ≤9时，如图②，过点P 作PJ ⊥AC 于点J ，则BP ＝x －3，PC ＝8－BP ＝11－x ，∴ PJ ＝PC ·sin C ＝(11－x)×35＝－35x ＋335.综上所述，点P 到直线AC 的距离PJ ＝{2425x +4825(0≤x ≤3)，−35x +335(3<x ≤9)(4) 点K 被扫描到的总时长为23秒解析：当1≤t ≤22或34≤t ≤36时，AQ ≥AK ，点K 会被扫描到．。

2019-2020学年九年级数学中考实际应用题综合强化训练（含答案）

2019-2020学年九年级数学中考实际应用题综合强化训练（含答案）1．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？2．某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．3．有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．甲种糖果乙种糖果丙种糖果单价（元/千克）152530千克数404020（1）求该什锦糖的单价．（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？4．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；（2）利用（1）的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？5．为了经济发展的需要，某市2014年投入科研经费500万元，2016年投入科研经费720万元．（1）求2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率；（2）根据目前经济发展的实际情况，该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加，但年增长率不超过15%，假定该市计划2017年投入的科研经费为a 万元，请求出a的取值范围．6．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值．7．某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2104年底就投入资金10.89万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A、B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．（1）求A品牌产销线2018年的销售量；（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．8．某商店购进甲乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同．（1）求甲、乙每个商品的进货单价；（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元，问有哪几种进货方案？（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？9．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？10．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：甲乙原料成本128销售单价1812生产提成10.8（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）11．旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？12．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？13．学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：黄瓜的种植成本是1元/kg,售价是1.5元/kg；茄子的种植成本是1.2元/kg,售价是2元/kg．（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？14．某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6天可以完成，共需工程费用385200元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4000元，从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？15．我市为全面推进“十个全覆盖”工作，绿化提质改造工程如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共600棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵100元，乙种树苗每棵200元．（1）若购买两种树苗的总金额为70000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？16．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B 两种型号健身器材各购买多少套？（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A 种型号健身器材至少要购买多少套？17．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．2019-2020学年九年级数学中考实际应用题综合强化训练（含答案）1．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？【解答】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元．，解得：，答：每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元．（2）当0≤x≤14时，y=2x；当x＞14时，y=14×2+（x﹣14）×3.5=3.5x﹣21，故所求函数关系式为：y=；（3）∵26＞14，∴小英家5月份水费为3.5×26﹣21=69元，答：小英家5月份水费69吨．2．某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．【解答】解：（1）设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得：，解得：．答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元；（2）设购进a台A型污水处理器，根据题意可得：220a+190（8﹣a）≥1565，解得：a≥1.5，∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，∴A型污水处理设备买越少，越省钱，∴购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最省钱．3．有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．甲种糖果乙种糖果丙种糖果单价（元/千克）152530千克数404020（1）求该什锦糖的单价．（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？【解答】解：（1）根据题意得：=22（元/千克）．答：该什锦糖的单价是22元/千克；（2）设加入丙种糖果x千克，则加入甲种糖果千克，根据题意得：≤20，解得：x≤20．答：加入丙种糖果20千克．4．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；（2）利用（1）的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？【解答】解：（1）设y与x之间的一个函数关系式为y=kx+b，则，解得．故函数关系式为y=﹣2x+112；（2）依题意有w=（x﹣20）（﹣2x+112）=﹣2（x﹣38）2+324，故每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润；（3）由题意可得，售价越低，销量越大，即能最多的进货，设一次进货最多m千克，则≤30﹣5，解得：m≤1300．故一次进货最多只能是1300千克．5．为了经济发展的需要，某市2014年投入科研经费500万元，2016年投入科研经费720万元．（1）求2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率；（2）根据目前经济发展的实际情况，该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加，但年增长率不超过15%，假定该市计划2017年投入的科研经费为a 万元，请求出a的取值范围．【解答】解：（1）设2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率为x，根据题意，得：500（1+x）2=720，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍），答：2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率为20%．（2）根据题意，得：×100%≤15%，解得：a≤828，又∵该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加故a的取值范围为720＜a≤828．少是226万元．6．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值．【解答】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，解得：x≥25．答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意得：40（1﹣a%）×（1+a%）+40×（1+a%）=40（1+a%），令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）×（1+y）+40×（1+y）=40（1+y），整理得：5y2﹣y=0，解得：y=0.2，或y=0（舍去），则a%=0.2，∴a=20；答：a的值为20．7．某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2104年底就投入资金10.89万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A、B 两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．（1）求A品牌产销线2018年的销售量；（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．【解答】解：（1）9.5﹣（2018﹣2015）×0.5=8（万份）；答：品牌产销线2018年的销售量为8万份；（2）设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x，B品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k万份；根据题意得：，解得：，或（不合题意，舍去），∴，∴2x=10%；答：B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数为10%．8．某商店购进甲乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同．（1）求甲、乙每个商品的进货单价；（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元，问有哪几种进货方案？（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设甲每个商品的进货单价是x元，每个乙商品的进货单价是y元．根据题意得：，解得：，答：甲商品的单价是每件100元，乙每件80元；（2）设甲进货x件，乙进货（100﹣x）件．根据题意得：，解得：48≤x≤50．又∵x是正整数，则x的正整数值是48或49或50，则有3种进货方案；（3）销售的利润w=100×10%x+80（100﹣x）×25%，即w=2000﹣10x，则当x取得最小值48时，w取得最大值，是2000﹣10×48=1520（元）．此时，乙进的件数是100﹣48=52（件）．答：当甲进48件，乙进52件时，最大的利润是1520元．9．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400×（1﹣x%）2=324，解得：x=10，或x=190（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．依题意得：60m+24×=36m+2400≥3210，解得：m≥22.5．∴m≥23．答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．10．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：甲乙原料成本128销售单价1812生产提成10.8（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）【解答】解：（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，根据题意得：18x+12（20﹣x）=300，解得：x=10，则20﹣x=20﹣10=10，则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，根据题意得：13y+8.8（20﹣y）≤239，解得：y≤15，根据题意得：利润W=（18﹣12﹣1）y+（12﹣8﹣0.8）（20﹣y）=1.8y+64，当y=15时，W最大，最大值为91万元．11．旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？【解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，由50x﹣1100＞0，解得x＞22，又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元；（2）设每辆车的净收入为y元，当0＜x≤100时，y=50x﹣1100，1随x的增大而增大，∵y1的最大值为50×100﹣1100=3900；∴当x=100时，y1当x＞100时，y=（50﹣）x﹣11002=﹣x2+70x﹣1100=﹣（x﹣175）2+5025，的最大值为5025，当x=175时，y25025＞3900，故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．12．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？【解答】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得=，解得：x=2000．经检验，x=2000是原方程的根．答：去年A 型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a）辆，获利y 元，由题意，得y=a+（60﹣a），y=﹣300a+36000．∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20．∵y=﹣300a+36000．∴k=﹣300＜0，∴y 随a 的增大而减小．∴a=20时，y 最大=30000元．∴B 型车的数量为：60﹣20=40辆．∴当新进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大．13．学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？解：（1）设采摘黄瓜x 千克，采摘茄子y 千克，根据题意，得黄瓜的种植成本是1元/kg,售价是1.5元/kg ；茄子的种植成本是1.2元/kg,售价是2元/kg ．＋y＝40＋1.2y＝42．＝30＝10．答：采摘黄瓜30千克，采摘茄子10千克．（2）30×(1.5－1)＋10×(2－1.2)＝23（元）．答：采摘的黄瓜和茄子可赚23元．14．某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6天可以完成，共需工程费用385200元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4000元，从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？【解答】解：设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成需要（x+5）天．依据题意可列方程：+=，解得：x1=10，x2=﹣3（舍去）．经检验：x=10是原方程的解．设甲队每天的工程费为y元．依据题意可列方程：6y+6（y﹣4000）=385200，解得：y=34100．甲队完成此项工程费用为34100×10=341000元．乙队完成此项工程费用为30100×15=451500元．答：从节省资金的角度考虑，应该选择甲工程队．15．我市为全面推进“十个全覆盖”工作，绿化提质改造工程如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共600棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵100元，乙种树苗每棵200元．（1）若购买两种树苗的总金额为70000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？【解答】解：（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗y棵，由题意，得，解得：，答：购买甲种树苗500棵，则购买乙种树苗100棵；（2）设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（100﹣a）棵，由题意，得100a≥200（600﹣a），解得：a≥400．答：至少应购买甲种树苗400棵16．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B 两种型号健身器材各购买多少套？（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A 种型号健身器材至少要购买多少套？【解答】解：（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，根据题意，得：，解得：，答：购买A种型号健身器材20套，B型器材健身器材30套．（3）设购买A型号健身器材m套，根据题意，得：310m+460（50﹣m）≤18000，解得：m≥33，∵m为整数，∴m的最小值为34，答：A种型号健身器材至少要购买34套．17．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解答】解：（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，根据题意，得：，解得：，答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；（2）设购进A型节能灯m只，总费用为W元，根据题意，得：W=5m+7（50﹣m）=﹣2m+350，∵﹣2＜0，。

2022年强化训练沪科版九年级数学下册第26章概率初步专项练习试题(含详细解析)

沪科版九年级数学下册第26章概率初步专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列说法中正确的是（）A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件B．某次抽奖活动中奖的概率为1100，说明每买100张奖券，一定有一次中奖C．想了解某市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查D．我区未来三天内肯定下雪2、某十字路口的交通信号灯，每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的可能性大小为（）A．112B．13C．512D．123、把形状完全相同风景不同的两张图片全部从中剪断，再把四张形状相同的小图片混合在一起，从四张图片中随机摸取两张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为（）A．12B．13C．14D．234、下列说法正确的是（）A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次C．“心想事成，万事如意”描述的事件是随机事件D．天气预报显示明天为阴天，那么明天一定不会下雨5、一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球共9个，这些球除颜色外完全相同，其中有3个黄球，2个蓝球．则随机摸出一个红球的概率为（）A．14B．13C．12D．496、在进行一个游戏时，游戏的次数和某种结果出现的频率如表所示，则该游戏是什么，其结果可能是什么？下面分别是甲、乙两名同学的答案：甲：掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数与4相差1；乙：在“石头、剪刀、布”的游戏中，琪琪随机出的是“剪刀”（）A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误7、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率是（）A．14B．13C．12D．348、下列事件是必然事件的是（）A．明天会下雨B．抛一枚硬币，正面朝上C．通常加热到100℃，水沸腾D ．经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯9、经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（）A ．16B ．12C ．29 D ．4910、某学校九年级为庆祝建党一百周年举办“歌唱祖国”合唱比赛，用抽签的方式确定出场顺序．现有8根形状、大小完全相同的纸签，上面分别标有序号1、2、3、4、5、6、7、8．下列事件中是必然事件的是（）A ．一班抽到的序号小于6B ．一班抽到的序号为9C ．一班抽到的序号大于0D ．一班抽到的序号为7第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已如一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球．若往口袋中再放入2个白球，求从口袋中随机取出一个白球的概率________2、不透明的袋子里装有一个黑球，两个红球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中取出一个球，不放回，再取出一个球，记下颜色，两次摸出的球是一红—黑的概率是________．3、有6张除数字外无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6．随机抽取一张记作a ，放回并混合在一起，再随机抽一张记作b ，组成有序实数对(),a b ，则点(),a b 在直线2y x =+上的概率为______4、在一个不透明袋子中，装有3个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一个球是红球的概率为13，则袋中白球的个数是________．5、从1、－1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．甲从口袋中随机摸取一个小球，记下标号m ，然后放回，再由乙从口袋中随机摸取一个小球，记下标号n ，组成一个数对（m，n）．（1）用列表法或画树状图法，写出（m，n）所有可能出现的结果；（2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各摸取一个小球，小球上标号之和为奇数则甲赢，小球上标号之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏规则公平吗？请说明理由．2、林肇路某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯57s，绿灯60s，黄灯3s，小明的爸爸由北往南开车随机地行驶到该路口．（1）他遇到红灯、绿灯、黄灯的概率各是多少？（2）我国新的交通法规定：汽车行驶到路口时，绿灯亮时才能通过，如果遇到黄灯亮或红灯亮时必须在路口外停车等候，问小明的爸爸开车随机到该路口，按照交通信号灯直行停车等候的概率是多少？3、某商家销售一批盲盒，每一个看上去无差别的盲盒内含有A，B，C，D四种玩具中的一种，抽到玩具B的有关统计量如表所示：（1）估计从这批盲盒中任意抽取一个是玩具B的概率是；（结果保留小数点后两位）（2）小明从分别装有A，B，C，D四种玩具的四个盲盒中随机抽取两个，请利用画树状图或列表的方法，求抽到的两个玩具恰为玩具A和玩具C的概率．4、数字“122”是中国道路交通事故报警电话．为推进“文明交通行动计划”，公安部将每年的12月2日定为“交通安全日”．班主任决定从4名同学（小迎，小冬，小奥，小会）中通过抽签的方式确定2名同学去参加宣传活动．抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，班主任先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．（1）“小冬被抽中”是________事件，“小红被抽中”是________事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小会的概率是________；（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小奥被抽中的概率．5、新冠病毒在全球肆虐，疫情防控刻不容缓．某校为了解学生对新冠疫情防控知识的了解程度，组织七、八年级学生开展新冠疫情防控知识测试（满分为10分）．学校学生处从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩进行了统计．下面提供了部分信息．抽取的20名七年级学生的成绩（单位：分）为：10，10，9，9，9，9，9，9，8，8，8，8，8，8，8，7，7，6，5，5．抽取的40名学生成绩分析表：请根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上表中a，b的值；（2）该校七、八年级共有学生2000人，估计此次测试成绩不低于9分的学生有多少人？（3）在所抽取的七年级与八年级得10分的学生中，随机抽取2名学生在全校学生大会上进行新冠疫情防控知识宣讲，求所抽取的2名学生恰好是1名七年级学生和1名八年级学生的概率．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据必然事件，随机事件的定义，判断全面调查与抽样调查，逐项分析判断即可，根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．【详解】A. “打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；B. 某次抽奖活动中奖的概率为1100，说明每买100张奖券，不一定有一次中奖，故该选项不正确，不符合题意；C. 想了解某市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查，故该选项正确，符合题意；D. 我区未来三天内不一定下雪，故该选项不正确，不符合题意；故选C【点睛】本题考查了必然事件，随机事件，判断全面调查与抽样调查，掌握以上知识是解题的关键．2、C【分析】用绿灯亮的时间除以三种灯亮总时间即可解答．【详解】解：除以三种灯亮总时间是30+25+5=60秒，绿灯亮25秒，所以绿灯的概率是：255= 6012．故选C．【点睛】本题主要考查了概率的基本计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键.3、B【分析】设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图，然后根据树状图找出满足条件的结果即可得出概率．【详解】解：设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图得：由图可得，共有12种等可能的结果，其中摸取两张小图片恰好合成一张完整图片的结果共有4种，∴摸取两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为：41123P==，故选：B．【点睛】题目主要考查利用树状图或列表法求概率问题，理解题意，熟练运用树状图或列表法是解题关键．4、C【详解】解：A、“经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件，故本选项不符合题意；B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次不一定可投中6次，故本选项不符合题意；C、“心想事成，万事如意”描述的事件是随机事件，故本选项符合题意；D、天气预报显示明天为阴天，那么明天可能不会下雨，故本选项符合题意；故选：C【点睛】本题考查的是对随机事件和必然事件的概念的理解，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．5、D【分析】在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球共9个，其中有3个黄球，2个蓝球，得出红球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率．【详解】解：在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球共9个，其中有3个黄球，2个蓝球，∴红球有：9324--=个，则随机摸出一个红球的概率是：49．故选：D．【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．6、C【分析】由表可知该种结果出现的概率约为13，对甲乙两人所描述的游戏进行判断即可．【详解】由表可知该种结果出现的概率约为1 3∵掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数有1、2、3、4、5、6 ∴向上的点数与4相差1有3、5∴掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数与4相差1的概率为21 63∴甲的答案正确又∵“石头、剪刀、布”的游戏中，琪琪随机出的是“剪刀”概率为1 3∴乙的答案正确综上所述甲、乙答案均正确．故选C．【点睛】本题考查了用频率估计概率，其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率．7、A【分析】首先利用列举法可得所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，∴正面都朝上的概率是：14.故选A．【点睛】本题考查了列举法求概率的知识．此题比较简单，注意在利用列举法求解时，要做到不重不漏，注意概率=所求情况数与总情况数之比．8、C【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可．【详解】A．明天会下雨，属于随机事件，故该选项不符合题意；B．抛一枚硬币，正面朝上，属于随机事件，故该选项不符合题意；C．通常加热到100℃，水沸腾，属于必然事件，故该选项符合题意；D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，属于随机事件，故该选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键．9、C【分析】可以采用列表法或树状图求解：可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2种结果数，根据概率公式计算可得．【详解】画“树形图”如图所示：∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，；∴一辆向右转，一辆向左转的概率为29故选Ｃ．【点睛】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解10、C【分析】必然事件，是指在一定条件下一定会发生的事件；根据必然事件的定义对几个选项进行判断，得出答案．【详解】解：A中一班抽到的序号小于6是随机事件，故不符合要求；B中一班抽到的序号为9是不可能事件，故不符合要求；C中一班抽到的序号大于0是必然事件，故符合要求；D中一班抽到的序号为7是随机事件，故不符合要求；故选C．【点睛】本题考察了必然事件．解题的关键在于区分必然、随机与不可能事件的含义．二、填空题1、5 9【分析】先确定口袋中的球数，任意取出一个，求出等可能的所有情况，再从中找出满足条件的白球的可能情况，让后利用概率公式计算即可．【详解】解：往口袋中再放入2个白球，此时口袋中一共有球9个，任取一个球出现等可能情况一共有9中可能，其中有白球5个，任取一个球是白球的共有5中情况，∴从口袋中随机取出一个白球的概率P=59，故答案为：59．【点睛】本题考查列举法求简单概率，掌握列举法求简单概率，抓住列举所有等可能情况，与满足条件的情况，记住概率公式是解题关键．2、2 3【分析】根据题意列出表格，可得6种等可能结果，其中一红—黑的有4种，再利用概率公式，即可求解．【详解】解：根据题意列出表格如下：得到6种等可能结果，其中一红—黑的有4种，所以两次摸出的球是一红—黑的概率是4263= ．故答案为：23【点睛】本题主要考查了求概率，能够利用画树状图或列表格的方法解答是解题的关键．3、19【分析】画树状图表示所有等可能的结果，再计算点(),a b 在直线2y x =+上的概率．【详解】解：画树状图为：共有36种机会均等的结果，其中组成有序实数对(),a b ，则点(),a b 在直线2y x =+上的有4种，所以点(),a b 在直线2y x =+上的概率为41=369，故答案为：19．【点睛】本题考查用树状图或列表法表示概率，是重要考点，难度较小，掌握相关知识是解题关键． 4、6【分析】随机摸出一个球是红球的概率是133n=，可以得到球的总个数，进而得出白球的个数．【详解】解：记摸出一个球是红球为事件A 13()3P A n== 9n ∴=∴白球有936-=个故答案为：6．【点睛】本题考察了概率的定义．解题的关键与难点在于理解概率的定义，求出球的总数．5、23【分析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在坐标轴上的点个数，即可求出所求的概率．【详解】解：列表得：所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种，所以该点在坐标轴上的概率4263==.故答案为：23．【点睛】本题考查列表法与树状图法和点的坐标特征，注意掌握通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．三、解答题1、（1）见解析；（2）这个游戏不公平，理由见解析【分析】（1）根据题意画出树状图进行求解即可；（2）根据（1）所画树状图，先得到所有的等可能性的结果数，然后分别得到小球标号之和为奇数和偶数的结果数，最后分别求出甲乙两人赢的概率即可得到答案．【详解】解：（1）列树状图如下所示：由树状图可知（m，n）所有可能出现的结果为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）；（2）由（1）得一共有9种等可能性的结果数，其中小球上标号之和为奇数的结果数有（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），4种等可能性的结果数，其中小球上标号之和为偶数的结果数有（1，1），（1，3），（2，2），（3，1），（3，3），5种等可能性的结果数，∴甲赢的概率为49，乙赢的概率为59，∴这个游戏不公平．【点睛】本题主要考查了画树状图和游戏的公平性，解题的关键在于能够熟练掌握画树状图的方法．2、（1）他遇到红灯、绿灯、黄灯的概率各是1940、12、140；（2）12．【分析】（1）根据红灯、绿灯、黄灯的时间求出总时间，再利用概率公式即可得；（2）将遇到红灯和黄灯的概率相加即可得．【详解】解：（1）红灯、绿灯、黄灯的总时间为57603120()s++=，则他遇到红灯的概率是5719 12040=，遇到绿灯的概率是601 1202=，遇到黄灯的概率是31 12040=，答：他遇到红灯、绿灯、黄灯的概率各是1940、12、140；（2）1911 40402+=，答：按照交通信号灯直行停车等候的概率是12．【点睛】本题考查了简单事件的概率，熟练掌握概率公式是解题关键．3、（1）0.28；（2）1 6【分析】（1）由表中数据可判断频率在0.28左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率为0.28；（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．（1）解：从这批盲盒中任意抽取一个是玩具B的概率是0.28，故答案为0.28．（2）列表为：由上表可知，从四种玩具的四个盲盒中随机抽取两个共有12种等可能结果，其中恰为玩具A和玩具C的结果有2种，所以恰为玩具A和玩具C的概率P=21 126．【点睛】本题考查了利用频率估计概率及用列表法或树状图法求概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4、（1）随机；随机；1 4（2）12【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．（1）解：“小冬被抽中”是随机事件，“小红被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片抽中小会的概率是14；（2）解：根据题意可列表如下：（A 表示小迎，B 表示小冬，C 表示小奥，D 表示小会）由表可知，共有12种等可能结果，其中小奥被抽中（含有C ）的有6种结果，所以小月被选中的概率=61122=．【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5、（1）8,9a b ==（2）850（3）35【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解可得；（2）用总人数乘以样本中七、八年级不低于9分的学生人数和所占比例即可得，（3）根据列表法求概率即可．（1）根据抽取的20名七年级学生的成绩找到第10个和第11个成绩都是8，则中位数为8，即8a =，根据条形统计图可知9分的有6人，人数最多，则众数为9，即9b =（2）解：∵此次测试成绩不低于9分的七年级学生有8人，八年级学生有9人∴此次测试成绩不低于9分的学生有89200085040+⨯=（人）（3）解：∵七年级得10分的有2人，八年级得10分的有3人设七年级的2人分别为12,A A ，八年级的3人分别123,,B B B列表如下，根据列表可知，共有20种等可能结果，其中1名七年级学生和1名八年级学生的情形有12钟则所抽取的2名学生恰好是1名七年级学生和1名八年级学生的概率为123 205【点睛】本题考查了求中位数，众数，根据样本估计总体，列表法求概率，掌握以上知识是解题的关键．。

中考数学周末作业中考真题考点强化训练《四边形》课件(含答案)6

8．如图，在▱ABCD 中，∠A＝70°，DC＝DB，则∠CDB＝ 40° .
9．如图，在▱ABCD 中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则 BD ＝ 4 13 .
10．如图，已知菱形 ABCD，对角线 AC，BD 相交于点 O.若 tan∠BAC＝13，AC＝6，则 BD 的长是 2 .
三、解答题(每小题 8 分，共 40 分) 11．如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 AC 上，且 AF＝CE.求证：BE＝DF.
13．如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，连接 DE，CE.
(1)求证：△ADE≌△BCE； (2)若 AB＝6，AD＝4，求△CDE 的周长．
(1)证明：在矩形 ABCD 中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°. ∵E 是 AB 的中点，∴AE＝BE.
AD＝BC 在△ADE 与△BCE 中，∠A＝∠B ，
形的选法共有( B )
A．3 种
B．4 种
C．5 种
D．6 种
3．菱形不具备的性质是( B )
A．四条边都相等
B．对角线一定相等
C．是轴对称图形
D．是中心对称图形
4．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标
系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中
点是坐标原点 O，固定点 A，B，把正方形沿箭头方向推，使
中考数学周末作业中考真题考点强化训练
《四边形》
一、选择题(每小题 6 分，共 30 分)
1．若一个凸多边形的内角和为 720°，则这个多边形的边数为
(C ) A．4
B．5
C．6
D．7
2．在四边形 ABCD 中：①AB∥CD，②AD∥BC，③AB＝CD，

九年级数学中考复习——相似形强化训练（Word版，含答案）

沪科版九年级数学中考复习相似形强化训练（含答案）1.三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，G是△ABC的重心．求证：AD＝3DG.2.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.(1) 求证：△ABE∽△DFA；(2) 若AB＝6，BC＝4，求DF的长3.如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．(1) 求证：△ABF∽△FCE；(2) 若AB＝2√3，AD＝4，求EC的长．4.如图，⊙O的直径AB交弦(不是直径)CD于点P，且PC2＝PB·PA，求证：AB⊥CD.5.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？6.如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A，B，DC是⊙O的切线，C是切点．已知∠D＝30°，DC＝√3.(1) 求证：△BOC∽△BCD；(2) 求△BCD的周长．7.如图，在△ABC 中，点 D ，E ，F 分别在 AB ，BC ，AC 边上， DE ∥AC ，EF ∥AB. (1) 求证：△BDE ∽△EFC. (2) 设AFFC ＝12.① 若BC ＝12，求线段BE 的长；② 若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．8.如图①，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，D ，D ′分别是AB ，A ′B ′上一点，ADAB ＝A ′D ′A ′B ′. (1) 当CD C ′D′＝ACA ′C′＝AB A ′B ′时，求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明的途径可以用如图②所示的框图表示，请填写其中的空格． (2) 当CDC ′D ′＝ACA ′C ′＝BCB ′C ′时，判断△ABC 与 △A ′B ′C ′是否相似，并说明理由.9.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝DF，AF的延长线交BC的延长线于点H，AE的延长线交DC的延长线于点G.(1) 求证：△AFD∽△GAD；(2) 如果DF2＝CF·CD，求证：BE＝CH.10.如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，D是AÊ上一点，连接AE并延长至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F.(1) 求证：BC是⊙O的切线；(2) 若BD平分∠ABE，求证：AD2＝DF·DB.11.如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC，AB分别交于点D，E，DE∥OB，DC是⊙O的直径.连接OE，过点C作CG∥OE，交⊙O于点G，连接DG，EC，DG与EC交于点F.求证：(1) 直线AB与⊙O相切；(2) AE·DE＝AC·EF.12.如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D ＝30°.(1) 求证：CD是⊙O的切线．(2) 分别过A，B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E，F，过点C作AB的垂线，垂足为G.求证：CG2＝AE·BF.13.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H. (1) 求证：∠C＝∠AGD；(2) 已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．14.四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，连接DE，F是射线BC上一动点(不与点B重合)，连接AF，交DE于点G.(1) 如图①，当F是BC边的中点时，求证：△ABF≌△DAE.(2) 如图②，当点F与点C重合时，求AG的长．(3) 在点F运动的过程中，当线段BF为何值时，AG＝AE？请说明理由．15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点D从点B出发，沿边BA →AC以2 cm/s的速度向终点C运动，过点D作DE∥BC，交边AC(或AB)于点E.设点D的运动时间为t s，△CDE的面积为S cm2.(1) 当点D与点A重合时，求t的值；(2) 求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．16..如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F.(1) 若AD2＝DF·DB，求证：AD＝BF.(2) 若∠BAD＝90°，BE＝6.求：①tan ∠DBE的值；②DF的长．17.我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB＝ABAC，那么称B 为线段AC 的黄金分割点．它们的比值为√5−12. (1) 在图①中，若AC ＝20 cm ，则AB 的长为______________cm.(2) 如图②，用边长为 20 cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 再展开得折痕EF ，连接CE ，将 CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG.试说明：G 是AB 的黄金分割点．(3) 如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E(AE ＞DE)，连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF ，CB 交于点P . 他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E ，F 恰好分别是AD ，AB 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由．答案1.三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，G 是△ABC 的重心．求证：AD ＝3DG.证明：连接DE.∵ G 是△ABC 的重心，∴ E ，D 分别是AB 和BC 的中点．∴ DE 是△ABC 的中位线．∴ DE ∥AC ，且DE ＝12AC.∴ △DEG ∽△ACG.∴DE AC＝DG AG.∴ 12＝DG AG.∴DGAD＝13.∴ AD ＝3DG2.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF ⊥AE ，垂足为F. (1) 求证：△ABE ∽△DFA ；(2) 若AB ＝6，BC ＝4，求DF 的长证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ∥BC ，∠B ＝90°.∴ ∠AEB ＝∠DAF.∵ DF ⊥AE ，∴ ∠B ＝∠AFD ＝90°.∴ △ABE ∽△DFA(2) ∵ E 是BC 的中点，BC ＝4，∴ BE ＝12BC ＝2.∵ 在Rt △ABE 中，AB ＝6，∴ AE ＝√AB 2+BE 2＝2√10.∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ＝BC ＝4.∵ △ABE ∽△DFA ，∴ ABDF ＝AEDA .∴ DF ＝AB·DA AE＝65√103.如图，在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处．(1) 求证：△ABF ∽△FCE ；(2) 若AB ＝2√3，AD ＝4，求EC 的长．证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°.∴ 在Rt △ECF 中，∠EFC ＋∠FEC ＝90°.∵ △AFE 由△ADE 翻折得到，∴ ∠D ＝∠AFE ＝90°.∴ ∠AFB ＋∠EFC ＝90°.∴ ∠AFB ＝∠FEC.∴ △ABF ∽△FCE(2) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ BC ＝AD ＝4.∵ △AFE 由△ADE 翻折得到，∴ AD ＝AF ＝4.∴ 在Rt △ABF 中，BF ＝√AF 2−AB 2＝2. ∴ CF ＝BC －BF ＝2.由(1)，得△ABF ∽△FCE ，∴ AB FC＝BFCE.∴2√32＝2EC，解得EC ＝2√334.如图，⊙O 的直径AB 交弦(不是直径)CD 于点P ，且PC 2＝PB · PA ，求证：AB ⊥CD.证明：如图，连接AC ，BD ，OC ，OD.∵ CB̂＝CB ̂，AD ̂＝AD ̂，∴ ∠A ＝∠PDB ，∠ACP ＝∠B.∴ △APC ∽△DPB.∴ PC ∶PB ＝PA ∶PD.∴ PC ·PD ＝PA ·PB.∵ PC 2＝PB ·PA ，∴ PC ＝PD.又∵ OC ＝OD ，∴ OP ⊥CD ，即AB ⊥CD5.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，这个正方形零件的边长是多少？解：设正方形零件的边长为x mm ，则KD ＝EF ＝x mm ，AK ＝(80－x)mm.∵ 四边形EGHF 为正方形，∴ EF ∥GH ，即EF ∥BC.∴ △AEF ∽△ABC.∴ AKAD ＝EFBC . ∴ 80−x 80＝x120，解得x ＝48.答：正方形零件的边长为48 mm6.如图，DB 过⊙O 的圆心，交⊙O 于点A ，B ，DC 是⊙O 的切线，C 是切点．已知∠D ＝30°，DC ＝√3.(1) 求证：△BOC ∽△BCD ； (2) 求△BCD 的周长．证明：(1) ∵ DC 是⊙O 的切线，∴ ∠OCD ＝90°.∵∠D ＝30°，∴ ∠BOC ＝∠D ＋∠OCD ＝30°＋90°＝120°.∵ OB ＝OC ，∴ ∠B ＝∠OCB ＝30°.∴ ∠OCB ＝∠D.又∵ ∠B ＝∠B ＝30°，∴ △BOC ∽△BCD(2) ∵ ∠OCD ＝90°，∠D ＝30°，DC ＝√3，∴ OB ＝OC ＝DC ·tan 30°＝1，OD ＝2OC ＝2.∵ ∠B ＝∠D ＝30°，∴ BC ＝DC ＝√3.∴ △BCD 的周长＝DC ＋BC ＋DB ＝√3+√3＋2＋1＝3＋2√37.如图，在△ABC 中，点 D ，E ，F 分别在 AB ，BC ，AC 边上， DE ∥AC ，EF ∥AB. (1) 求证：△BDE ∽△EFC. (2) 设AFFC ＝12.① 若BC ＝12，求线段BE 的长；② 若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．证明：(1) ∵ DE ∥AC ，∴ ∠DEB ＝∠FCE.∵ EF ∥AB ，∴ ∠DBE ＝∠FEC. ∴ △BDE ∽△EFC (2) ① ∵ EF ∥AB ，∴BE EC＝AF FC＝12.∵ EC ＝BC －BE ＝12－BE ，∴BE12−BE＝12，解得BE ＝4② ∵ AFFC ＝12，∴ FCAC ＝23 .∵ EF ∥AB ，∴ △EFC ∽△BAC.∴ S△EFC S △ABC＝(FC AC )2＝(23)2＝49.∴ S △ABC＝94S △EFC ＝94×20＝458.如图①，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，D ，D ′分别是AB ，A ′B ′上一点，ADAB ＝A ′D ′A ′B ′. (1) 当CDC ′D ′＝ACA ′C ′＝ABA ′B ′时，求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明的途径可以用如图②所示的框图表示，请填写其中的空格． (2) 当CD C ′D ′＝ACA ′C ′＝BC B ′C ′时，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由.(1) CD C ′D ′＝AC A ′C ′＝ADA ′D ′ ∠A ＝∠A ′(2) △ABC 与△A ′B ′C ′相似理由：如图，过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于点E ，D ′E ′交A ′C ′于点E ′.∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ABC.∴ AD AB ＝DE BC ＝AEAC .同理可证A ′D ′A ′B ′＝D ′E ′B ′C ′＝A ′E ′A ′C ′.∵ ADAB ＝A ′D ′A ′B ′，∴DE BC＝D ′E ′B ′C′，即DE D ′E′＝BCB ′C′.同理可证AEAC＝A ′E ′A ′C′.∴AC−AE AC＝A ′C ′−A ′E ′A ′C ′，即ECAC＝E ′C ′A ′C ′，即ECE ′C ′＝ACA ′C ′.∵ CDC ′D ′＝ACA ′C ′＝BCB ′C ′，∴ CDC ′D ′＝ECE ′C ′＝DED ′E ′ .∴ △DCE ∽△D ′C ′E ′.∴ ∠CED ＝∠C ′E ′D ′.∵ DE ∥BC ，∴ ∠CED ＋∠ACB ＝180°.同理可证∠C ′E ′D ′＋∠A ′C ′B ′＝180°，∴ ∠ACB ＝∠A ′C ′B ′.∵ ACA ′C ′＝CBC ′B ′，∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′.9.如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，BE ＝DF ，AF 的延长线交BC 的延长线于点H ，AE 的延长线交DC 的延长线于点G. (1) 求证：△AFD ∽△GAD ；(2) 如果DF 2＝CF ·CD ，求证：BE ＝CH.证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AB ∥CD ，AB ＝AD ，∠B ＝∠D.又∵ BE ＝DF ，∴ △ABE ≌△ADF(SAS)．∴ ∠BAE ＝∠DAF.∵ AB ∥CD ，∴ ∠G ＝∠BAE.∴ ∠DAF ＝∠G.又∵ ∠D ＝∠D ，∴ △AFD ∽△GAD (2) ∵ DF 2＝CF ·CD ，∴ CF DF＝DFCD.∵ 在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，即AD ∥CH ，∴ △HFC ∽△AFD.∴CF DF＝CHDA.∴CH AD＝DFCD.∵ AD ＝CD ，∴ CH ＝DF.∵ △ABE ≌△ADF ，∴ BE ＝DF.∴ BE ＝CH10.如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上一点，D 是AÊ上一点，连接AE 并延长至点C ，使∠CBE ＝∠BDE ，BD 与AE 交于点F. (1) 求证：BC 是⊙O 的切线；(2) 若BD 平分∠ABE ，求证：AD 2＝DF ·DB.证明：(1) ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠AEB ＝90°.∴ ∠EAB ＋∠EBA ＝90°.∵ ∠CBE ＝∠BDE ，∠BDE ＝∠EAB ，∴ ∠EAB ＝∠CBE.∴ ∠EBA ＋∠CBE ＝90°，即∠ABC ＝90°.∴ CB ⊥AB.∵ AB 是⊙O 的直径，∴ BC 是⊙O 的切线(2) ∵ BD 平分∠ABE ，∴ ∠DBA ＝∠DBE.∵ ∠DAF ＝∠DBE ，∴ ∠DAF ＝∠DBA.∵ ∠FDA ＝∠ADB ，∴ △ADF ∽△BDA.∴ ADBD ＝DFDA .∴ AD 2＝DF ·DB11.如图，⊙O 与△ABC 的边BC 相切于点C ，与AC ，AB 分别交于点D ，E ，DE ∥OB ，DC 是⊙O 的直径.连接OE ，过点C 作CG ∥OE ，交⊙O 于点G ，连接DG ，EC ，DG 与EC 交于点F.求证：(1) 直线AB 与⊙O 相切； (2) AE ·DE ＝AC ·EF.证明：(1) ∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠DEC ＝90°.∴ DE ⊥EC.∵ DE ∥OB ，∴ OB ⊥EC.∴ OB 垂直平分线段EC.∴ BE ＝BC ，OE ＝OC.∵ OB ＝OB ，∴ △OBE ≌△OBC(SSS).∴ ∠OEB ＝∠OCB.∵ BC 是⊙O 的切线，∴ OC ⊥BC.∴ ∠OCB ＝90°.∴ ∠OEB ＝90°.∴ OE ⊥AB.∵ OE 是⊙O 的半径，∴ AB 是⊙O 的切线(2) 连接EG.∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠DGC ＝90°.∴ CG ⊥DG.∵ CG ∥OE ，∴ OE ⊥DG.∴DE ̂＝EG ̂.∴ DE ＝EG.∵ AE ⊥OE ，DG ⊥OE ，∴ AE ∥DG.∴ ∠EAC ＝∠GDC.∵ ∠GDC ＝∠FEG ，∴ ∠EAC ＝∠FEG.∵ ∠ECA ＝∠FGE ，∴ △AEC ∽△EFG.∴AE EF＝AC EG.∵ EG ＝DE ，∴AE EF＝ACDE.∴ AE ·DE ＝AC ·EF12.如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，延长AB 到点D ，使CD ＝CA ，且∠D ＝30°.(1) 求证：CD 是⊙O 的切线．(2) 分别过A ，B 两点作直线CD 的垂线，垂足分别为E ，F ，过点C 作AB 的垂线，垂足为G.求证：CG 2＝AE ·BF.证明：(1) 连接OC.∵ CA ＝CD ，∠D ＝30°，∴ ∠CAD ＝∠D ＝30°.∵ OA ＝OC ，∴ ∠CAD ＝∠ACO ＝30°.∴ ∠COD ＝∠CAD ＋∠ACO ＝30°＋30°＝60°.∴ 在△OCD 中，∠OCD ＝180°－∠D －∠COD ＝180°－30°－60°＝90°.∴ OC ⊥CD.又∵ OC 是⊙O 的半径，∴ CD 是⊙O 的切线(2) ∵ ∠COB ＝60°，OC ＝OB ，∴ △OCB 为等边三角形．∴ ∠CBG ＝60°.∵ BF ⊥CD ，∠D ＝30°，∴ ∠FBD ＝60°.∴ ∠CBF ＝180°－∠CBG －∠FBD ＝60°.∴ ∠CBG ＝∠CBF.∵ BF ⊥CD ，BG ⊥CG ，∴ CF ＝CG.∵ AE ⊥CE ，∠D ＝30°，∴ ∠EAD ＝60°.∵ ∠CAD ＝30°，∴ ∠EAC ＝∠EAD －∠CAD ＝30°.∴ ∠EAC ＝∠CAD.∵ CE ⊥AE ，CG ⊥AB ，∴ CE ＝CG.∵ CE ⊥AE ，BF ⊥CD ，∴ ∠AEC ＝∠CFB ＝90°.∵ 在Rt △CFB 中，∠FCB ＝90°－∠CBF ＝30°，∴ ∠EAC ＝∠FCB. ∴ △AEC ∽△CFB.∴ AECF ＝CEBF，即CF ·CE ＝AE ·BF.∴ CG 2＝AE ·BF13.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，AD 的延长线与过点B 的切线交于点C ，E 为线段AD 上的点，过点E 的弦FG ⊥AB 于点H. (1) 求证：∠C ＝∠AGD ； (2) 已知BC ＝6，CD ＝4，且CE ＝2AE ，求EF 的长．证明：(1) 如图，连接BD. ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°.∴ ∠DAB ＋∠ABD ＝90°.∵ BC 是⊙O 的切线，∴ ∠ABC ＝90°.∴ ∠C ＋∠CAB ＝90°.∴ ∠C ＝∠ABD.∵ AD̂＝AD ̂，∴ ∠AGD ＝∠ABD.∴ ∠C ＝∠AGD(2) 如图，连接AF ，BF.∵ ∠ABC ＝∠BDC ＝90°，∠C ＝∠C ，∴ △ABC ∽△BDC.∴ ACBC ＝BCDC ，即AC6＝64.∴ AC ＝9.∴ AB ＝√AC 2−BC 2＝3√5.∵ CE ＝2AE ，∴ AE ＝3，CE ＝6.∵ FH ⊥AB ，∴ ∠AHF ＝90°＝∠ABC.∴ FH ∥BC.∴ △AHE ∽△ABC.∴AHAB＝EH CB ＝AE AC ，即3√5＝EH 6＝39 .∴AH ＝√5，EH ＝2.∴ BH ＝2√5.∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠AFB ＝90°.∴ ∠AFH ＋∠BFH ＝∠AFH ＋∠FAH ＝90°.∴ ∠FAH ＝∠BFH.∴ △AFH ∽△FBH.∴ FH BH＝AH FH，即2√5＝√5FH.∴ FH ＝√10.∴ EF ＝FH －EH ＝√10－214.四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点，连接DE ，F 是射线BC 上一动点(不与点B 重合)，连接AF ，交DE 于点G.(1) 如图①，当F 是BC 边的中点时，求证：△ABF ≌△DAE. (2) 如图②，当点F 与点C 重合时，求AG 的长．(3) 在点F 运动的过程中，当线段BF 为何值时，AG ＝AE ？请说明理由．证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠B ＝∠DAE ＝90°，AB ＝DA ＝BC.∵ E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴ AE ＝12AB ，BF ＝12BC.∴ BF ＝AE.∴ △ABF≌△DAE(SAS)(2) ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AD ＝CD ＝2.∴ AC ＝√AD 2+CD 2＝√22+22＝2√2.∵ AB ∥CD ，∴ △AGE ∽△CGD.∴ AGCG ＝AECD ，即2√2−AG ＝12.∴ AG ＝2√23(3) 当BF ＝83时，AG ＝AE理由：如图，设AF 交CD 于点M.若使AG ＝AE ＝1，则∠1＝∠2.∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB ∥CD ，∠ADM ＝90°.∴ ∠1＝∠4.又∵ ∠2＝∠3，∴ ∠3＝∠4.∴ DM ＝MG.在Rt △ADM 中，AM 2－DM 2＝AD 2，即(DM ＋1)2－DM 2＝22，解得DM ＝32.∴ CM ＝CD －DM ＝2－32＝12.∵ AB ∥CD ，∴ △ABF ∽△MCF.∴ BF CF ＝AB MC ，即BF BF−2＝212.∴ BF ＝83.因此当BF ＝83时，AG ＝AE.15.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点D 从点B 出发，沿边BA →AC 以2 cm/s 的速度向终点C 运动，过点D 作DE ∥BC ，交边AC(或AB)于点E.设点D 的运动时间为t s ，△CDE 的面积为S cm 2.(1) 当点D 与点A 重合时，求t 的值；(2) 求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．解：(1) ∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，∴ AB ＝√AC 2+BC 2＝√62+82＝10(cm).当点D 与点A 重合时，BD ＝AB ＝10 cm ，此时2t ＝10，∴ t ＝5(2) 显然，当t ＝0或t ＝8时，△CDE 不存在，不合题意．① 当0＜t ＜5时，点D 在AB 上，BD ＝2t cm.∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ABC. ∴DE BC＝AD AB＝AE AC.∴DE 8＝10−2t 10＝6−CE 6.∴ DE ＝40−8t 5cm ，CE ＝65t cm.∵ DE ∥BC ，∠ACB ＝90°，∴ DE ⊥AC.∴ ∠CED ＝90°.∴ S ＝12DE ·CE ＝12×40−8t 5×65t ＝－2425t 2＋245；② 当t ＝5时，点D 与点A 重合，△CDE 不存在，不合题意；③ 如图，当5＜t ＜8时，点D 在AC 上，AD ＝(2t －10)cm ，CD ＝AB ＋AC －2t ＝(16－2t)cm.∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ACB.∴DE CB＝AD AC.∴DE 8＝2t−106.∴ DE ＝8t−403cm.∵ DE ∥BC ，∠ACB ＝90°，∴ DE ⊥AC.∴ ∠CDE ＝90°.∴ S ＝12DE ·CD ＝12×8t−403×(16－2t)＝－83t 2＋1043t －3203. 综上所述，S关于t 的函数解析式为S ＝{−2425t 2+245t (0<t <5)，−83t 2+1043t −3203(5<t <8)16..如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，B ，C ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，AD ，BD 交AC 于点F.(1) 若AD 2＝DF ·DB ，求证：AD ＝BF. (2) 若∠BAD ＝90°，BE ＝6.求： ① tan ∠DBE 的值； ② DF 的长．证明：(1) ∵ AD 2＝DF ·DB ，∴ ADDB ＝DFAD .∵ ∠ADF ＝∠BDA ，∴ △ADF ∽△BDA.∴ ∠FAD ＝∠ABD.∵ △ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴ AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ACB ＝∠CDE ＝60°.∴ ∠ACD ＝60°.∴ ∠ACD ＝∠BAF.∴ △ADC ≌△BFA(ASA)．∴ AD ＝BF(2) ① 过点D 作DG ⊥BE 于点G.∵ ∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，∴ ∠DAC ＝30°.∵ ∠ACD ＝60°，∴ ∠ADC ＝90°.∴ DC ＝12AC.∴ CE ＝12BC.∵ BE ＝6，∴ CE ＝2，BC ＝4.∴ CG ＝EG ＝1，BG ＝5.∴ DG ＝√3.∴ tan ∠DBE ＝DG BG＝√35② 在Rt △BDG 中，∵ ∠BGD ＝90°，DG ＝√3，BG ＝5，∴ BD ＝√DG 2+BG 2＝√(√3)2+52＝2√7.∵ ∠ABC ＝∠DCE ＝60°，∴ CD ∥AB.∴ △CDF ∽△ABF.∴ DF BF＝CD AB＝CE BC＝12.∴DFBD＝13.∴ DF ＝2√7317.我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BCAB ＝ABAC ，那么称B 为线段AC 的黄金分割点．它们的比值为√5−12. (1) 在图①中，若AC ＝20 cm ，则AB 的长为______________cm.(2) 如图②，用边长为 20 cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 再展开得折痕EF ，连接CE ，将 CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG.试说明：G 是AB 的黄金分割点．(3) 如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E(AE ＞DE)，连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF ，CB 交于点P . 他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E ，F 恰好分别是AD ，AB 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由．解：（1）(10√5－10)(2) 如图，延长CG ，DA 交于点J.∵ CG 是折痕，得∠BCG ＝∠ECG. ∵ 在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴ ∠J ＝∠BCG ＝∠ECG.∴ JE ＝CE.∵ EF 是折痕，∴ DE ＝AE ＝12AD ＝10 cm.∴ 在Rt △CDE 中，CE ＝√DE 2+CD 2＝10√5 cm.∴JE ＝10√5 cm.∴ AJ ＝JE －AE ＝(10√5－10)cm.∵ AJ ∥BC ，∴ △AGJ ∽△BGC.∴AG BG＝AJBC＝10√5−1020＝√5−12. ∴ G 是AB 的黄金分割点(3) 当BP ＝BC 时，满足题意理由：∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB ＝BC ＝AD ，∠BAE ＝∠CBF ＝90°，AD ∥BC ，即AE ∥BP .∴ BP ＝AB ＝AD.∵ BE ⊥CF ，∴ ∠ABE ＋∠CFB ＝90°.又∵ 在Rt △FBC 中，∠BCF ＋∠CFB ＝90°，∴ ∠BCF ＝∠ABE.∴ △BCF ≌△ABE(ASA)．∴ BF ＝AE.∴ AF ＝DE. ∵ AE ∥BP ，∴ △AEF ∽△BPF.∴ AE BP＝AF BF，即AEAD＝DE AE，BF AB＝AFBF.∴ E ，F 分别是AD ，AB 的黄金分割点．。

重庆市北碚区江北中学2019-2020年中考九年级数学四边形综合题强化训练(含答案)

重庆市北碚区江北中学2019-2020学年中考九年级数学四边形综合题强化训练1、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．2、如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E（1）求证：DE=AB；（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求扇形ABG的面积．（结果保留π）【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°=∠B，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴DE=AB；（2）解：∵BC=AD，AD=AF，∴BC=AF，∵BF=1，∠ABF=90°，∴由勾股定理得：AB==，∴∠BAF=30°，∵△ABF≌△DEA，∴∠GDE=∠BAF=30°，DE=AB=DG=，∴扇形ABG的面积==π．3、已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（Ⅰ）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、O A．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M 在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF 的长度．解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴，∴CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边CD的长为10；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，∴BN=QM．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．∴QF=QB，[来源:]∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB=，∴EF=PB=2，∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．4、在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE 的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC；（2）若∠DAF=∠DBA，①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF．【解答】解：（1）由旋转得，∠BAC=∠BAD，∵DF⊥AC，∴∠CAD=90°，∴∠BAC=∠BAD=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴AC=CB，（2）①由旋转得，AD=AB，∴∠ABD=∠ADB，∵∠DAF=∠ABD，∴∠DAF=∠ADB，∴AF∥BB，∴∠BAC=∠ABD，∵∠ABD=∠FAD由旋转得，∠BAC=∠BAD，∴∠FAD=∠BAC=∠BAD=×180°=60°，由旋转得，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，在△AFD和△BED中，，∴△AFD≌△BED，∴AF=BE，[来源:学科网]②如图，由旋转得，∠BAC=∠BAD，∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD，由旋转得，AD=AB，∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°，∴∠BAD=36°，设BD=x，作BG平分∠ABD，∴∠BAD=∠GBD=36°∴AG=BG=BC=x，∴DG=AD﹣AG=AD﹣BG=AD﹣BD，∵∠BDG=∠ADB，[来源:学_科_网Z_X_X_K]∴△BDG∽△ADB，∴．∴，∴，∵∠FAD=∠EBD，∠AFD=∠BED，∴△AFD∽△BED，∴，∴AF==x．5、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．（1）求证： =；（2）求证：AF⊥FM；（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，∵∠MAN=45°，∴∠MAF=∠MBE，∴A、B、M、F四点共圆，∴∠ABM+∠AFM=180°，∴∠AFM=90°，∴∠FAM=∠FMA=45°，∴AM=AF，∴=．（2）由（1）可知∠AFM=90°，∴AF⊥FM．（3）结论：∠BAM=22.5时，∠FMN=∠BAM理由：∵A、B、M、F四点共圆，∴∠BAM=∠EFM，∵∠BAM=∠FMN，∴∠EFM=∠FMN，∴MN∥BD，∴=，∵CB=DC，∴CM=CN，∴MB=DN，在△ABM和△ADN中，，∴△ABM≌△ADN，∴∠BAM=∠DAN，∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAM=22.5°．6、如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．【解答】解：（1）过点P作PG⊥EF于点G，如图1所示．∵PE=PF=6，EF=6，∴FG=EG=3，∠FPG=∠EPG=∠EPF．在Rt△FPG中，sin∠FPG===，∴∠FPG=60°，∴∠EPF=120°．（2）过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，如图2所示．∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME=NF．又AP=10，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=AN=APcos30°=10×=5，∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=10．（3）如图，当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P，P之间运动，1O=PO=3，AO=9，∴P1∴AP的最大值为12，AP的最小值为6，7、【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC 于点G，H．求证： =；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．【解答】解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP=EF，GH=BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，[来源:]∴∠QAT+∠AQT=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，∴∠DAP+∠DPA=90°，∴∠AQT=∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴=，∴=；（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得=， =，∴==．故答案为；（2）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得=．设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①，在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2=100②，由②﹣①得x=2y﹣5③，解方程组，得（舍去），或，∴AR=5+x=8，∴===．8、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN=AC；（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．【解答】（1）证明：如图1，连接BD，交AC于O，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD为等边三角形，∵DE⊥AB，∴AE=EB，∵AB∥DC，∴==，同理， =，∴MN=AC；（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，∴∠EDF=60°，当∠EDF顺时针旋转时，由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，DE=DF=，∠DEG=∠DFP=90°，在△DEG和△DFP中，，∴△DEG≌△DFP，∴DG=DP，∴△DGP为等边三角形，∴△DGP的面积=DG2=3，解得，DG=2，则cos∠EDG==，∴∠EDG=60°，∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于3，同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3，综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3．9、如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF 绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴∠QAF=90°，∵∠EAF=45°，∴∠QAE=45°，∴EA是∠QED的平分线；（2）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．10、如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x 轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．（1）线段OC的长为；（2）求证：△CBD≌△COE；（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD，CE，设点E的坐标为（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面积为S．①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；②在平移过程中，当S=时，请直接写出a的值．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），∴OA=4，OB=1，[来源:Z*xx*]∵∠AOB=90°，∴AB==，∵点C为边AB的中点，∴OC=AB=；故答案为：．（2）证明：∵∠AOB=90°，点C是AB的中点，∴OC=BC=AB，∴∠CBO=∠COB，∵四边形OBDE是正方形，∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°，∴∠CBD=∠COE，在△CBD和△COE中，，∴△CBD≌△COE（SAS）；（3）①解：过点C作CH⊥D1E1于点H，∵C是AB边的中点，∴点C的坐标为：（2，）∵点E的坐标为（a，0），1＜a＜2，∴CH=2﹣a，∴S=D1E1•CH=×1×（2﹣a）=﹣a+1；②当1＜a＜2时，S=﹣a+1=，解得：a=；当a＞2时，同理：CH=a﹣2，∴S=D1E1•CH=×1×（a﹣2）=a﹣1，∴S=a﹣1=，解得：a=，综上可得：当S=时，a=或．11、如图1，△ABC中，∠C=90°，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同）（1）填空：BC的长是 3 ；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．【解答】解；（1）由图象可知BC=3．故答案为3．（2）①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，由题意BC=3，AC=2，∠C=90°，∴AB==，∵∠B=∠B，∠DMB=∠C=90°，∴△BMD∽△BCA，∴==，∴DM=，BM=，∵BD=DF，DM⊥BF，∴BM=MF，=x2，∴S△BDF∵EG∥AC，∴=，∴=，∴EG=（x+2），∴S四边形ECAG= [2+（x+2）]•（1﹣x），∴S=S△ABC ﹣S△BDF﹣S四边形ECAG=3﹣x2﹣ [2+（x+2）]•（1﹣x）=﹣x2+x+．②如图②中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，在RT△ANC中，∵AN2=CN2+AC2，∴x2=22+（3﹣x）2，∴x=，[来源:学#科#网Z#X#X#K]∴当1＜x≤时，S=S△ABC ﹣S△BDF=3﹣x2，③如图3中，当＜x≤3时，∵DM∥AN，∴=，∴=，∴CM=（3﹣x），∴S=CD•CM=（3﹣x）2，综上所述S=．12、如图，将边长为6的正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF ，展平后，再将点B 折到边CD 上，使边AB 经过点E ，折痕为GH ，点B 的对应点为M ，点A 的对应点为N 。

2022-2023学年九年级数学上学期期末高分必刷专题《旋转与概率初步》强化训练

期末高分必刷专题《旋转与概率初步》强化训练1．道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为（）A ．B ．C ．D ．2．下列图形是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．平行四边形、矩形、线段菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（） A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个4．点()5,7-关于原点对称的点为（） A ．()5,7--B ．()5,7-C ．()5,7D ．()5,7-5．在平面直角坐标系中，若点(,)P m n 与(2,3)Q -关于原点对称，则点(,)M m n -在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 、E 、在y 轴上，Rt △ABC 经过变换得到Rt △ODE ．若点C 的坐标为（0，2），AC ＝4，则这种变换可以是（）A ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移2B ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移2 C ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移6D ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移67．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（）A ．旋转前和旋转后的图形全等B ．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等C ．图形上的每一个点旋转的角度都相同D ．图形上可能存在不动的点8．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为α（090α︒<<︒），若24α=°，则1∠的度数为（）A ．116︒B ．114︒C ．112︒D ．66︒9．如图，将Rt ABC △（其中34B ∠=︒，90C ∠=︒），绕A 点按顺时针方向旋转到11AB C △的位置，使得点C ，A ，1B 在同一直线上，则旋转角的度数为（）A ．56°B ．68°C ．124°D ．180°10．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB C ''的位置，使//CC AB '，则旋转角的度数为（）A ．35°B ．40°C ．50°D ．65°11．如图，将ABC 绕点C 按逆时针方向旋转55°后得到A B C ''，若25ACB ∠=︒，则BCA '∠的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°12．如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，点P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后，点P的对应点的坐标是（）A．(3，-1) B．(1，-3) C．(23，-2) D．(2，-23)13．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为（）A．（－4，2）B．（4，－2）C．（3，1）D．（4，0）14．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为（）A．4 B．5C．6 D．615．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC'''关于点P成中心对称，则点A'的坐标为（）＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与A B CA．(－4，－5) B．(－5，－4) C．(－3，－4) D．(－4，－3) 16．下列说法正确的是( )A．可能性很大的事情是必然发生的B．“任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件C．可能性很小的事情是不可能发生的D．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件17．从单词“wellcome”中随机抽取一个字母，抽中字母“l”的概率为（）A．43B．25C．12D．1418．如图，42的正方形网格中，在,,,A B C D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（）A．12B．14C．13D．3419．小刚和小丽一起玩一种转盘游戏．转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，固定指针转动转盘，任其自由停止．若指针所指的数字为奇数，小刚获胜；否则小丽获胜．此规则（）A．公平B．对小丽有利C．对小刚有利D．公平性不可预测20．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明每次摸一个后放回再摸，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．8 B．5 C．12 D．1521．小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是（）A．掷一枚骰子，出现3点的概率B．抛一枚硬币，出现反面的概率C．任意写一个整数，它能被3整除的概率D．从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率22．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多23．现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（）A．14B．12C．18D．11624．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“实验结果落在D中的某个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率A MPD=．如图，现向等边ABC的外接圆区域内射入一个点，则该点落在ABC内的概率是（）A．12B．14C．34πD．334π25．下列说法正确的是（）A ．为了解六名学生的视力情况，采用抽样调查B ．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为x 甲、x 乙，方差分别为2S 甲、2S 乙，若x x =甲乙，20.8S =甲，21.5S =乙，则甲的成绩比乙的稳定．C ．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件．D ．一个抽奖活动中，中奖概率为130，表示抽奖30次就有1次中奖． 26．如图所示是“赵爽弦图”飞镖板，是由直角边长分别为2和1的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成，小明向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上)，则飞镖落在阴影部分的概率是（）A 5B ．15C ．14D ．1327．某校学生会文艺部换届选举，经初选、复选后，共有甲、乙、丙三人进入最后的竞选．最后决定利用投票的方式对三人进行选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内，全校设有四个投票箱，目前第一、第二、第三投票箱已开完所有选票，剩下第四投票箱尚未开箱，结果如表所示（单位：票）：投票箱候选人废票合计甲乙丙一20021114712570下列判断正确的是（）A．甲可能当选B．乙可能当选C．丙一定当选D．甲、乙、丙三人都可能当选28．甲、乙、丙进入了“中国主持人大赛”的东南区预选赛的决赛，他们三人擅长主持的节目分别是A、B、C．现将标有A、B、C的三个标签的球放入不透明的盒子中，让三位选手随机摸取一球，以确定比赛时的节目．则三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的概率是（）A．13B．12C．16D．1929．爸爸把正面写有1,2,3,4,5的五张卡片扣在桌子上，背面完全相同，每次洗匀后，爸爸先抽两张计算两个数字的和，然后放回由小丽抽两张计算两个数字的和，爸爸约定若和大于5爸爸赢：若和不大于5，小丽赢．轮流抽了几十次后，小丽发现爸爸赢的次数比自己多多了，小丽赶快用树状图计算了自己赢得概率后大吃惊，小丽赢的概率是（）A．12B．13C．25D．5930．典典、诺诺、悦悦三人参加学校的“幸运就是我”节目．幸运的是，她们都得到了一件精美的礼物．其过程是这样的：墙上挂着两串礼物（如下图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止．典典第一个取得礼物，然后诺诺、悦悦依次取得第2件、第3件礼物．事后她们打开这些礼物品仔细比较发现礼物B最精美，那么取得礼物B可能性最大的是（）A．典典B．诺诺C．悦悦D．无法确定二：解答题1．（2021·陕西扶风·九年级期末）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加.抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名. （1）该班男生“小刚被抽中”是事件，“小悦被抽中”是事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为；（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率.2．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级期末）一个口袋中有9个红球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明采用如下的方法估算其中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色…，小明重复上述过程共摸了100次，其中40次摸到白球，请回答：(1)口袋中的白球约有多少个？(2)有一个游乐场，要按照上述红球、白球的比例配置彩球池，若彩球池里共有1200个球，则需准备多少个红球？3．（2021·吉林铁西·九年级期末）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）．（2021·广东·深圳市南山区第二外国语学校（集团）九年级期末）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．5．（2021·山东夏津·九年级期末）如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD 绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE（1）求∠DCE的度数；（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长．6．（2021·内蒙古霍林郭勒·九年级期末）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，且∠EAF=45°，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ ，求证：（1）EA 是∠QED 的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．7．（2021·山东河东·九年级期末）如图1，在ABC 中，90,21A AB AC ∠=︒==，点D ，E 分别在边,AB AC 上，且1AD AE ==，连接DE ．现将ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为()0360αα︒︒<<，如图2，连接,,CE BD CD ．（1）当0180α︒<<︒时，求证：CE BD =；（2）如图3，当90α=︒时，延长CE 交BD 于点F ，求证：CF 垂直平分BD ；（3）在旋转过程中，求BCD △的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．8．（2021·江西大余·九年级期末）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC 绕点C 旋转．（1）当△DEC 统点C 旋转到点D 恰好落在AB 边上时，如图2．①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为；②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为 (用含a 的式子表示)．（2）当△DEC 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC 的面积与△AEC 的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．参考答案1．D解：A 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．2．A解：A 、是中心对称图形，故此选项符合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A ．3．C解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；线段是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；共3个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：C ．4．B解：点()5,7-关于原点对称的点为(5，-7)．故选B ．5．A解：∵点(,)P m n 与(2,3)Q -关于原点对称，∴m=2，n=﹣3，∴点M(2，3)在第一象限，故选：A ．6．C把Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°，在向下平移6个单位可得到Rt △ODE ，故选：C ．7．B解：A 、旋转前和旋转后的图形全等，故A 选项不符合题意；B 、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B 选项符合题意；C 、图形上每一点移动的角度相同，都等于旋转角，故C 选项不符合题意；D 、图形上可能存在不动的点，故D 选项不符合题意；故选：B ．8．B∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠B=∠D=90，∵旋转角为α，24α=°，∴∠DA D =24︒，∴∠BA D =66︒，由旋转得∠D =∠D=90，∴∠2=360909066114---=，∴∠1=∠2=114︒，故选：B .9．C在ABC 中，∠BAC=90°-34°=56°，∴∠BAB 1=180°-56°=124°，即旋转角为124°，故选：C ．10．C根据旋转，'AC AC =，'CAC ∠即为旋转角，则'ACC 是等腰三角形，又由'CC AB ，得'65C CA CAB ∠=∠=︒，则在'ACC 内，'18026550CAC ∠=︒-⨯︒=︒，故选：C ．11．C由旋转的定义得：55ACA '∠=︒25ACB ∠=︒552530BCA ACA ACB '∴∠'=∠-∠=︒-︒=︒故选：C ．12．B解：根据题意画出△AOB 绕着O 点顺时针旋转120°得到的△COD ，连接OP ，OQ ，过Q 作QM ⊥y 轴，∴∠POQ=120°，∵AP=OP=PB ，∴∠BAO=∠POA=30°，∴∠MOQ=30°，在Rt △OMQ 中，OQ=OP=2，∴MQ=1，3则P 的对应点Q 的坐标为(1，3，故选：B ．13．D如图，正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90︒后得到正方形''A B C D''，则B点旋转后的对应点为B'(4，0)，故选：D．14．D解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，∴AD＝DC＝5∵DE＝2，∴Rt△ADE中，AE22AD DE+6．故选：D．15．A∵点B、C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴A(4，3)，设直线AB解析式为y=kx+b，则3=4k+b，1=2k+b，解得k=1，b=−1；∴直线AB解析式为y=x−1，令x=0，则y=−1，∴P(0，−1)，又∵点A与点A′关于点P成中心对称，∴点P为AA′的中点，设A′(m,n)，则42m+=，n312+=-，∴m=−4，n=−5，∴A′(−4，−5)，故选：A．16．BA、可能性很大的事情也可能不会发生，故错误，不符合题意；B、“任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件”，正确，符合题意C、可能性很小的事情是也是可能发生的，故错误，不符合题意；D、“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，故错误，不符合题意．故选：B．17．D单词“wellcome”中共有8个字母，其中字母“l”有2个，∴抽中字母“l”的概率为21 84 =，故选：D.18．A解：在A，B，C，D四个点中任选三个点，有四种情况：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD，其中能够组成等腰三角形的有△ACD、△BCD两种情况，则能够组成等腰三角形的概率为21 42 =，故选A．19．C解：∵转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，其中奇数有2个，∴在该游戏中小刚获胜的概率是23，小丽获胜的概率是13，∵23＞13，∴对小刚有利，故选：C．20．A解：设袋子中红球有x 个，根据题意，得：0.420x ，解得x=8，∴袋子中红球的个数最有可能是8个，故选：A ．21．CA 、掷一枚骰子，出现4点的概率为16,不符合题意； B 、抛一枚硬币，出现反面的概率为12,不符合题意； C 、任意写出一个整数，能被3整除的概率为13，符合题意； D 、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率为154．故答案为C ．22．B解：取两个球的共有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个，②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个，③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个；设一共有球2a 个，则a 个红球，a 个黑球，甲中球的总个数为a ，其中红球x 个，黑球y 个，x+y=a ，则乙中有x 个球，其中k 个红球，j 个黑球，k+j=x ；丙中有y 个球，其中l 个红球，i 个黑球，i+l=y ；黑球总数a=y+i+j ，又x+y=a ，故x=i+j ，由于x=k+j ，所以可得i=k ，即乙中的红球等于丙中的黑球；故选B ．23．D解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有16种等可能出现的结果情况，其中两道题恰好全部猜对的只有1种，所以，两道题恰好全部猜对的概率为116，故选：D ． 24．D解：如下图设正三角形ABC 外接圆的半径为r 易得12OD r =，3cos302CD r r =︒= ∴32AD r =，3BC r = ∴21332ABCS BC AD =⋅= 据A M P D=得该点落在ABC 223333rr π=．故选：D ．25．B 了解六名学生的视力情况，由于总体数量较少，且容易操作，因此宜采取普查，因此选项A 不符合题意；根据平均数和方差的意义可得选项B 符合题意；任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，因此选项C不符合题意；一个抽奖活动中，中奖概率为130，表示中奖的可能性为130，不代表抽奖20次就有1次中奖，因此选项D不符合题意；故选：B．26．C∵总面积为22+12=5，其中阴影部分面积为1542112-⨯⨯⨯=，∴飞镖落在阴影部分的概率是15，故选：C．27．A三个投票箱中甲的得票率是5831550×100%≈37.6%；三个投票箱中乙的得票率是3371550×100%≈21.7%；三个投票箱中丙的得票率是5961550×100%≈38.5%；因为还有250人的投票没有统计，所以三人都有可能当选，可能性最大的是乙，最小的是乙. 但丙一定当选也不对，所以应判断甲可能当选.故选A.28．C解：根据题意画树状图如下：共有12种等情况数，其中三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的有2种，则三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的概率是21 126=；故选：C．29．C解：树状图如下：共有20种情况，其中两数和大于5的有12种情况，不大于5的有8种情况，∴小丽赢的概率是82 205=，故选：C．30．C解：∵取得礼物共有三种情况：（1）典典A，诺诺B，悦悦C；（2）典典C，诺诺A，悦悦B；（3）典典A，诺诺C，悦悦B．∴典典取得礼物B的概率=0；诺诺取得礼物B的概率1=3；悦悦取得礼物B的概率2=3∴悦悦取得礼物B可能性最大故选：C．二：解答题1【详解】（1）因为从女班干部中进行抽取，所以男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，所以“小悦被抽中”的概率为14，故答案为不可能，随机，14；（2）画树状图如下：由树状图可知共12种可能，其中“小惠被抽中”有6种可能，所以“小惠被抽中”的概率是:61P122== .2：（1）解：设白球的个数为x个，根据题意得：解得：x=6小明可估计口袋中的白球的个数是6个．（2）1200× =720．答：需准备720个红球．3【详解】（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是14，故答案为：14；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=21 126．4【详解】（1）10÷20%=50（名）答：本次抽样调查共抽取了50名学生. （2）50-10-20-4=16（名）答：测试结果为C等级的学生有16名. 图形统计图补充完整如下图所示：（3）700×450=56（名）答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名. （4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，所以抽取的两人恰好都是男生的概率=21 126=．5：（1）∵△ABCD为等腰直角三角形，∴∠BAD=∠BCD=45°．由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°．∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°．（2）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴AC=2242AB BC+=．∵CD=3AD，∴AD=2，DC=32．由旋转的性质可知：AD=EC=2．∴DE=2225CE DC+=．6【详解】(1)、∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；(2)、由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．7【详解】（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90︒，∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90︒，∴∠CAE=∠BAD，在△ACE 和△ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≅△ABD(SAS)，∴CE=BD；（2）根据题意：AB=AC ，AD=AE ，∠CAB=∠EAD=90︒，在△ACE 和△ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≅△ABD(SAS)，∴∠ACE=∠ABD，∵∠ACE+∠AEC=90︒，且∠AEC=∠FEB，∴∠ABD+∠FEB=90︒，∴∠EFB=90︒，∴CF⊥BD， ∵AB=AC=21+，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90︒，∴BC=2AB =22+，CD= AC+ AD=22+，∴BC= CD，∵CF⊥BD，∴CF 是线段BD 的垂直平分线；（3）BCD △中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时BCD △的面积有最大值， ∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，BCD △的面积取得最大值，如图：∵∵AB=AC=21+，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90︒，DG⊥BC 于G ， ∴AG=12BC=222+，∠GAB=45︒， ∴DG=AG+AD=2224122+++=，∠DAB=180︒-45︒=135︒， ∴BCD △的面积的最大值为：()1124325222222BC DG ⎛⎫++⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭，旋转角α135=︒．8解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°， ∴∠CAD=90°﹣30°=60°．∵CA=CD，∴△ACD 是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴旋转角为60°．故答案为：60°．②如图2中，作CH⊥AD 于H ．∵CA=CD，CH⊥AD，∴∠ACH=∠DCH．∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°， ∴∠ACH=∠B，∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，∴旋转角为2α．故答案为：2α．（2）小杨同学猜想是正确的．证明如下：过B 作BN⊥CD 于N ，过E 作EM⊥AC 于M ，如图3，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC=∠EMC=90°．∵△ACB≌△DCE，∴BC=EC，在△CBN和△CEM中，∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，∴△CBN≌△CEM(AAS)，∴BN=EM．∵S△BDC12=•CD•BN，S△ACE12=•AC•EM．∵CD=AC，∴S△BDC=S△ACE．。

2021年中考九年级数学第一轮专题复习：三角形综合压轴题强化训练(无答案)

2021年中考九年级数学第一轮专题复习：三角形综合压轴题强化训练1、已知，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上，点E在AB边上，，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F．（1）如图1，当AB＝AC时：①∠EBF的度数为；②求证：DE＝2BF．（2）如图2，当AB＝kAC时，求的值（用含k的式子表示）．2、在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为AC上一点，M为BC上一点．（1）若AM⊥BP于点E．①如图1，BP为△ABC的角平分线，求证：PA＝PM；②如图2，BP为△ABC的中线，求证：BP＝AM+MP．（2）如图3，若点N在AB上，AN＝CP，AM⊥PN，求的值．3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）．4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，等腰RT△DEF中，∠D=90°，EF=4cm.EF在BC 所在直线L上，开始时点F与点C重合，让等腰RT△DEF沿直线L向右以每秒1cm的速度做匀速运动，最后点E和点B重合。

（1）请直接写出等腰RT△DEF运动6S时与△ABC重叠部分面积（2）设运动时间为xS,运动过程中，等腰RT△DEF与△ABC重叠部分面积为ycm²①在等腰RT△DEF运动6S后至运动停止前这段时间内，求y与x之间的函数关系式②在RT△DEF整个运动过程中，求当x为何值时，y=1/2.5、【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．①AC与BD之间的数量关系为；②∠AMB的度数为；【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数；【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝，求点A、D之间的距离．6、如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，，点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B ，C 重合）．以D 为顶点作∠ADE ＝∠B ，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）当DE ∥AB 时（如图2），求AE 的长；（3）点D 在BC 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF ＝CF ？若存在，求出此时BD 的长；若不存在，请说明理由．7、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△BAC ＝120°，D 为BC 边上的点，将DA 绕D 点逆时针旋转120°得到DE ．（1）如图1，若△DAC ＝30°.△求证： AB =BE ；△直接写出BE 2＋CD 2与AD 2的数量关系为；（2）如图2，点D 为BC 边上任意一点，线段BE 、CD 、AD 是否依然满足（1）中△的关系，请给出结论并证明.MBAABEDC DC B A8、已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图（1）当C、A、D在同一直线上时，连CE、BD，判断CE和BD位置关系，填空：CE_____BD．（2）如图（2）把△ADE绕点A旋转到如图所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立，写出你的结论，并说明理由．（3）如图（3）在图2的基础上，将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置，连接BE′、DC′，过点A 作AN⊥BE′于点N，反向延长AN交DC′于点M．求的值．9、△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D是平面内不与点A和点B重合的一点，连接DB，将线段DB绕点D顺时针旋转α得到线段DE，连接AE、BE、CD．（1）如图①，点D与点A在直线BC的两侧，α＝60°时，的值是；直线AE与直线CD相交所成的锐角的度数是度；（2）如图②，点D与点A在直线BC两侧，α＝90°时，求的值及直线AE与直线CD相交所成的锐角∠AMC的度数；DMDC（3）当α＝90°，点D 在直线AB 的上方，S △ABD ＝S △ABC ，请直接写出当点C 、D 、E 在同一直线上时，的值．10、（1）问题发现如图1，在△OAB 和△OCD 中，OA =OB ，OC =OD ，△AOB =△COD =40°，连接AC ，BD 交于点M ．填空： △BDAC的值为； △△AMB 的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB 和△OCD 中，△AOB =△COD =90°，△OAB =△OCD =30°，连接AC 交BD 的延长线于点M ．请判断BDAC的值及△AMB 的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．11、几何探究：【问题发现】（1）如图1所示，ABC∆是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是（选填“相等”∆和ADE或“不相等”)；（请直接写出答案）【类比探究】（2）如图2所示，ABC∆是有公共顶点的含有30︒角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗？∆和ADE请说明理由；【拓展延伸】（3）如图3所示，ADE∆和ABC∆绕点∆是有公共顶点且相似比为1:2的两个等腰直角三角形，将ADEA自由旋转，若BC=B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．。

2021年中考九年级数学第一轮强化训练：一次函数压轴题专题复习(无答案)

2021年中考九年级数学第一轮强化训练：一次函数压轴题专题复习1、如图，一次函数y＝x+3的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．（1）若点P（﹣2，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由．（2）在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是6，求m的值．2、如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a）与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足（a+2）2+＝0（1）求直线l2的解析式；（2）若在第二象限中有一点P（m，5）使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标；（3）已知直线y＝2x﹣2分别交x轴、y轴于E、F两点，M、N分别是直线l1、l2上的动点，请直接写出能使E、F、M、N四点构成平行四边形的点M的坐标．3、如图所示平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，8），若一次函数y＝kx+2的图象平分矩形OABC的面积．（1）求一次函数的解析式．（2）求（1）中一次函数与矩形的交点坐标．（3）设点D（﹣1，0），在一次函数图象上求一点P，使△ADP为直角三角形，求点P坐标．4、如图，直线y＝﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．（1）填空：点C的坐标是（，），点D的坐标是（，）；（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（﹣2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．6、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x 轴交于点B（﹣2，0），△ABO的面积为2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线BO上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过P 作PM⊥X轴交直线AB于M．（1）求直线AB的解析式．（2）当点P在线段OB上运动时，设△MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t 的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．（3）过点Q作QN⊥x轴交直线AB于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使△MNQ是等腰三角形？若存在，求出时间t值．7、如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+12的图象分别交x轴，y轴于A，B两点过点A 的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的函数解析式．（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB，请直接写出点P的坐标．（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A，B，M，H为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．8、、如图，直线l1的解析表达式为：y＝3x﹣3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求△ADC的面积；（2）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，则点P的坐标为；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．9、如图，直线l1：y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2：y＝kx﹣6交于点C（4，2）．（1）求A点坐标及k，b的值；（2）在直线BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形；（3）若点P为x轴上一点，在坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形？若存在，求出所有符合条件的Q的坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝x与直线l2：y＝﹣x+6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．（1）求M，N的坐标．（2）矩形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动，设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S，移动的时间为t （从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时开始结束）．直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）．（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值．11、已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．（1）如图1，过点A作x轴的垂线，若点P（x，2）为垂线上的一个点，Q是y轴上一动点，若S△CPQ＝5，求此时点Q的坐标；（2）若P在过A作x轴的垂线上，点Q为y轴上的一个动点，当CP+PQ+QA的值最小时，求此时P的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（﹣2，0），将直线l1绕点C旋转，使旋转后的直线l3刚好过点E，过点C作平行于x轴的直线l4，点M、N分别为直线l3、l4上的两个动点，是否存在点M、N，使得△BMN是以M点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．12、如图，直线y＝kx+b与x轴和y轴交于A、B两点，AB＝4，∠BAO＝45°．（1）如图1，求直线AB的解析式．（2）如图1，直线y＝2x﹣2交x轴于点E．且P为该直线在直线AB上方一动点，当△PAB 的面积等于10时，将线段PE沿着x轴平移得到线段P1E1，连接OP1．求OP1+P1E1+的最小值．（3）如图2，在（2）问的条件下，若直线y＝2x﹣2与y轴的交点是C，连接CE1，得到△OCE1，将△OCE1绕着原点O逆时针旋转α°（0＜α＜180），旋转过程中直线OC与直线AB 交于点M，直线CE1与直线AB交于点N，当△CMN为等腰三角形时，直接写出α的值．13、已知直线y＝﹣x+6与x轴，y轴分别相交于点A，B，将∠OBA对折，使点O的对应点E落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）求点C的坐标和直线BC的函数表达式；（2）若已知x轴上有一点D（4，0），点M为直线AB上一点，点N为直线BC上一点，是否存在这样的点M、N，使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由；（3）已知y轴上有点P（0，2），点Q为直线BC上一点，点K为直线y＝﹣x上一点，是否存在合适的点Q，K，使得PQ+KQ最小？若存在，求出PQ+KQ的最小值以及此时K点的坐标；若不存在，请说明理由．14、如图1．在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，D（0，3），点E是OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括O、B），作MN⊥DM，交∠CBE的平分线于点N．（1）①直接写出点C的坐标：②求证：MD＝MN；（2）如图2，若M（2，0），在OD上找一点P，使四边形MNCP是平行四边形，求直线PN的解析式；（3）如图，连接DN交BC于F，连接FM，下列两个结论：①FM的长为定值：②MN平分∠FMB，其中只有一个正确，选择并证明．15、在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y＝x+3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；11/ 11。

2021年中考九年级数学第一轮压轴题专题复习：二次函数强化训练试题(无答案)

2021年中考九年级数学第一轮压轴题专题复习：二次函数强化训练试题1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．2、如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．3、已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图象上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－3,0)，点D 在线段AB 上，AD ＝AC ．（1）求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径；（3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上，如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BN CN的值．5、已知直线y ＝3x －3分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A ，B ．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，点B 关于直线l 的对称点为C ，若点D 在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD 为梯形．①求点D 的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P ，其对称轴与直线y ＝3x －3交于点E ，若73tan =∠DPE ，求四边形BDEP 的面积．6、如图，抛物线y ＝x 2－4x 与x 轴交于O 、A 两点，P 为抛物线上一点，过点P 的直线 y ＝x ＋m 与抛物线的对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是_________，直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是______；（2）若两个三角形的面积满足S △OQP ＝13S △P AQ ，求m 的值；（3）当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点C (2, 2)的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：①PD ＋DQ 的最大值；②PD ·DQ 的最大值．7、如图，在四边形OABC 中，AB //OC ，BC ⊥x 轴于点C ，A (1,－1)，B (3,－1)，动点P 从O 出发，沿着x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P 作PQ 垂直于直线OA ，垂足为Q ．设点P 移动的时间为t 秒（0＜t ＜2），△OPQ 与四边形OABC 重叠部分的面积为S ．（1）求经过O 、A 、B 三点的抛物线的解析式，并确定顶点M 的坐标；（2）用含t 的代数式表示点P 、Q 的坐标；（3）如果将△OPQ 绕着点P 按逆时针方向旋转90°，是否存在t ，使得△OPQ 的顶点O 或Q 在抛物线上？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S 与t 的函数关系式．8、如图，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．9、如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，点B 是这条直线上第一象限内的一个点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，已知△ABD 的面积为18．（1）求点B 的坐标；（2）如果抛物线212y x bx c =-++经过点A 和点B ，求抛物线的解析式；（3）已知（2）中的抛物线与y 轴相交于点C ，该抛物线对称轴与x 轴交于点H ，P 是抛物线对称轴上的一点，过点P 作PQ //AC 交x 轴于点Q ，如果点Q 在线段AH 上，且AQ ＝CP ，求点P 的坐标．10、如图， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？11、如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B (3, 0)，D 为抛物线的顶点，直线AC 与抛物线交于点C (5, 6)．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 在x 轴上，且△AEC 和△AED 相似，求点E 的坐标；（3）若直角坐标系平面中的点F 和点A 、C 、D 构成直角梯形，且面积为16，试求点F 的坐标．12、如图，抛物线21(3)12y x =--与x 轴交于 A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）联结CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，联结AE 、AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．13、如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (0, 1)、B (4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan ∠ABO 的值；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点N ，交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标．14、如图，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．15、将抛物线c 1：2y =x 轴翻折，得到抛物线c 2，如图所示．（1）请直接写出抛物线c 2的表达式；（2）现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．①当B 、D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．16、如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．17、如图，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．18、如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值；（2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．19、如图，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △COD 方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上．已知点A (1，2)，过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过O 、A 、C 三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB 在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．20、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．21、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m m y x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．22、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为54，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．备用图23、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．24、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN 对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．图1 图225、如图，已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3,0)和B(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？26、如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图。

强化训练人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程定向训练试题(含答案解析)

九年级数学上册第二十一章一元二次方程定向训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、目前以5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G 用户2万户，计划到2021年底全市5G 用户数累计达到8.72万户．设全市5G 用户数年平均增长率为x ，则x 值为（）A ．20%B ．30%C ．40%D ．50%2、已知x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根，则x 12+x 22的值为（）A ．5B ．10C ．11D ．133、若a 是关于x 的方程3x 2﹣x ﹣1=0的一个根，则2021﹣6a 2＋2a 的值是（）A ．2023B ．2022C ．2020D ．20194、下列方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是（）A ．20ax bx c ++=B ．230x -=C ．2111x x +=D ．22(1)0x x x +--=5、下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．212x x +=B ．21=0x +C ．223x x -=D ．220x x -=6、下列方程：①2320x x +=；②22340x xy -+=；③214x x -=；④24x =-；⑤2340x x --=．是一元二次方程的是（）A ．①②B ．①②④⑤C ．①③④D ．①④⑤7、一元二次方程23610x x -+=的二次项系数、一次项系数分别是( )A ．3，6-B ．3，1C ．6-，1D ．3，68、如果关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个实数根，那么k 的取值范围是（）A ．94kB ．94k -且0k ≠C ．94k 且0k ≠D ．94k - 9、元旦当天，小明将收到的一条微信，发送给若干人，每个收到微信的人又给相同数量的人转发了这条微信，此时收到这条微信的人共有157人，则小明给多少人发了微信（）A ．10B ．11C ．12D ．1310、关于x 的一元二次方程2220ax x -+=有两个相等的实数根，则a 的值为（）A ．12B ．12- C ．1 D ．-1第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如果关于x 的一元二次方程260x x m -+=有实数根，那么m 的取值范围是___．2、若关于x 的一元二次方程2240x x m -+=的根的判别式的值为4，则m 的值为_____．3、已知关于x 的一元二次方程()221330m x mx -++=有一实数根为1-，则该方程的另一个实数根为_____________4、已知关于x 的方程226250x x m m ++-+=的一个根是1，则224m m -=______．5、如图，在△ABC 中，AC ＝50cm ，BC ＝40cm ，∠C ＝90°，点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以2cm/s 的速度匀速移动，同时另一点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以3cm/s 的速度匀速移动，当△PCQ 的面积等于300cm 2时，运动时间为__．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程的两根都为整数，求正整数m 的值．2、已知方程2560x kx +-=的一根是2，求它的另一根及k 的值．3、解方程：(1)2x 2－5x －3＝0；(2)x 2－2x ＝2x －1；(3)x 2＋3x ＋2＝04、小敏与小霞两位同学解方程()()2333x x -=-的过程如下框：你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．5、解关于y 的方程：by 2﹣1＝y 2+2．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】先用含x 的代数式表示出2020年底、2021年底5G 用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的5G 用户数量之和=8.72万户即得关于x 的方程，解方程即得答案．【详解】解：设全市5G 用户数年平均增长率为x ，根据题意，得：()()2221218.72x x ++++=，解这个方程，得：10.440%x ==，2 3.4x =-（不合题意，舍去）．∴x 的值为40%．故选：C ．【考点】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．2、D【解析】【分析】利用根与系数的关系得到12123,2,x x x x +==-再利用完全平方公式得到222121212()2,x x x x x x +=+-然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据题意得12123,2,x x x x +==-所以2222121212()232(2)13.x x x x x x +=+-=-⨯-=故选：D ．【考点】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握以上知识是解题的关键．3、D【解析】【分析】先把a 代入方程得到3a 2-a =1，然后方程两边都乘以-2得-6a 2+2a =-2，从而求出答案．【详解】解：由题意得：3a 2-a -1=0，∴3a 2-a =1，∴-6a 2+2a =-2，∴2021﹣6a 2＋2a =2021-2=2019．故选：D ．【考点】本题考查的是逆用一元二次方程解的定义得出-6a 2+2a 的值，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．4、B【解析】【分析】根据一元二次方程的概念（只含一个未知数，并且含有未知数的项的次数最高为2次的整式方程是一元二次方程）逐一进行判断即可得．【详解】解：A 、20ax bx c ++=，当0a =时，不是一元二次方程，故不符合题意；B 、230x -=，是一元二次方程，符合题意；C 、2110x x+=，不是整式方程，故不符合题意； D 、()2210x x x +--=，整理得：20x +=，不是一元二次方程，故不符合题意；故选：B ．【考点】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．5、A【解析】【分析】根据根的判别式逐一判断即可．【详解】A.212x x +=变形为2210x x -+=，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A 正确；B.21=0x +中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B 错误；C.223x x -=整理为2230x x --=，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；D.220x x -=中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D 错误.故选：A.【考点】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键．6、D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义进行判断．【详解】①2320x x +=该方程符合一元二次方程的定义；②22340x xy -+=该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程； ③214x x -=该方程含有分式，它不是一元二次方程； ④24x =-该方程符合一元二次方程的定义；⑤2340x x --=该方程符合一元二次方程的定义．综上，①④⑤一元二次方程．故选：D ．【考点】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．7、A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义解答．【详解】3x2−6x+1=0的二次项系数是3，一次项系数是−6，常数项是1.故答案选A.【考点】本题考查的知识点是一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的一般形式.8、C【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤94且k≠0，故选：C．【考点】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．9、C【解析】【分析】设小明发短信给x个人，根据每人只转发一次可得第一次转发共有(x+1)人收到了短信，第二次转发有(1+x+x2)人收到了短信，由题意可得方程人收到了短信=157，再解方程即可．【详解】解：设小明发短信给x 个人，由题意得：∴1+x +x 2=157，解得：x 1=12，x 2=-13(不合题意舍去)，答：小明发短信给12个人，故选：C ．【考点】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．10、A【解析】【分析】由题意，根据一元二次方程根的判别式值为零，求a 可解．【详解】解：由一元二次方程有两个相等实根可得，判别式等于0可得，2(2)42480a a --⨯⨯=-= ，得12a =，故应选A ．【考点】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解答时注意△=0⇔方程有两个相等的实数根．二、填空题1、9m ≤【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得：0,≥ 从而列不等式可得答案．【详解】解：关于x 的一元二次方程260x x m -+=有实数根，240,b ac ∴=-≥1,6,,a b c m ==-=()26410,m ∴--⨯⨯≥ 436,m ∴≤9.m ∴≤故答案为：9.m ≤【考点】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．2、32【解析】【分析】利用根的判别式244b ac =-=，建立关于m 的方程求得m 的值．【详解】关于x 的一元二次方程2240x x m -+=的根的判别式的值为4，∵2a =，4b =-，c m =，24b ac =-=2(4)424m --⨯=，解得32m =．故答案为：32．【考点】本题考查了一元二次方程20ax bx c++=（a≠0）的根的判别式24b ac=-．3、1 3 -【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．【详解】解：把x=-1代入()221330m x mx-++=得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，∵(m-1)2≠0，∴m≠1．∴m=4.∴方程为9x2+12x+3=0.设另一个根为a,则-a=39.∴a=-13.故答案为: -13．【考点】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．4、24-【解析】【分析】根据题意可得出1+6+m2-2m+5=0，然后解出该方程的解即可．【详解】解：∵方程22++-+=的一个根是1，6250x x m m∴1+6+m2-2m+5=0，∴m2-2m=-12，∴2（m2-2m）=-24．∴2m m-=24-24故答案为：-24【考点】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．5、5s【解析】【分析】设x秒后，△PCQ的面积等于300m2，根据路程＝速度×时间，可用时间x表示出CP和CQ的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去，即可得出时间的值．【详解】解：设x秒后，△PCQ的面积等于300m2，有：1（50﹣2x）×3x＝300，2∴x2﹣25x＋100＝0，∴x 1＝20，x 2＝5．当x ＝20时，CQ ＝3x ＝3×20＝60＞BC ＝40，即x ＝20s 不合题意，舍去．答：5秒后，△PCQ 的面积等于300cm 2．故答案是：5s ．【知识点】此题主要考查一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．三、解答题1、（1）5m ＜；（2）3m =【解析】【分析】（1）直接运用一元二次方程根的判别式列不等式解答即可；（2）先运用求根公式求解，然后根据根为整数以及二次根式有意义的条件列式解答即可．【详解】解：（1）∵关于x 的方程26210x x m -+-=有两个实数根，∴()()264218400m m ∆=---=-+>，解得，5m ＜；（2）由题意得，x ∵x 为整数，且m 为正整数，∴3m =或5m =，又∵5m ＜∴3m =．【考点】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、运用公式法解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．2、135x =-，7k =-．【解析】【分析】把x 1=2代入已知方程，列出关于k 的一元一次方程，通过解方程求得k 的值；由根与系数的关系来求方程的另一根．【详解】设它的另一根为1x ，根据题意得125k x +=-，1625x ⨯=-，解得135x =-，7k =-．【考点】考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根与系数的关系, 熟记公式1212bc x x x x a a+=-=，是解决本题的关键.3、 (1)x 1＝－12，x 2＝3(2)x1＝2x 2＝2(3)x 1＝－1，x 2＝－2【解析】【分析】（1）直接用公式法求解；（2）用配方法求解；（3）用因式分解法求解．(1)解：∵a＝2，b＝－5，c＝－3，∴b2－4ac＝(－5)2－4×2×(－3)＝49＞0，∴x 574±，∴x1＝－12，x2＝3；(2)解：移项，得x2－4x＝－1，配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，即(x－2)2＝3，两边开平方，得x－2即x－2x－2∴x1＝2x2＝2(3)解：原方程可变形为(x＋1)(x＋2)＝0，∴x＋1＝0或x＋2＝0，∴x1＝－1，x2＝－2．【考点】本题考查一元二次方程解法，根据方程的特征，选择适当方法求解是解题的关键．4、两位同学的解法都错误，正确过程见解析【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程【详解】解：正确解答：()()2333x x -=- 移项，得()()23330x x ---=，提取公因式，得()()3330x x ⎡--⎤⎣⎦-=，去括号，得()()3330x x --+=，则30x -=或60x -=，解得13x =，26x =．【考点】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．5、当b＞1时，原方程的解为y；当b≤1时，原方程无实数解．【解析】【分析】把b看做常数根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，系数化为1，即可得出答案．【详解】解：移项得：by2﹣y2＝2+1，合并同类项得：（b﹣1）y2＝3，当b＝1时，原方程无解；当b＞1时，原方程的解为y；当b＜1时，原方程无实数解．【考点】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意分类讨论．。

2021年中考一轮复习数学综合题复习：四边形强化训练练习

2021年中考一轮复习九年级数学综合题复习：四边形强化训练练习1、如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH AE⊥，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF.（1）求证：AE BF=.BE=，求AF的长.（2）若正方形边长是5，22、如图,在平行四边形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过点C作CQ∥DB,且CQ=DP,连接AP、BQ、PQ.(1)求证:△APD≌△BQC；(2)若∠ABP+∠BQC=180°,求证:四边形ABQP为菱形。

3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．4、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．5、把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。

（1）求证：△BHE≌△DGF；（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长。

6、如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．（1）求证：AF﹣BF=EF；（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．7、如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.（1）求证：D是BC的中点；（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.8、如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．(1)求证：△AGE≌△BGF；(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．9、如图，□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F．（1）求证：CF＝AB；（2）连接BD、BF，当∠BCD＝90°时，求证：BD＝BF．10、已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N.（1）求证：△ABE≌△BCN；（2）若N为AB的中点，求tan∠ABE.11、如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD 在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．(1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．12、如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK。

专题强化训练(六)基本不等式求最值高中数学必修一

基本不等式的应用经典例题一．选择题（共11小题） 1．已知x ，0y >，则41x y x y+++的最小值为A ．B ．6C ．D ．2．已知0a >，0b >，且2ab +=，则22a b+的最小值是 A ．4 B ．6 C ．8 D ．23．已知0x >，0y >，且211y x+=，则2x y +的最小值为 A ．9 B ．12 C ．16 D ．204．下列不等式一定成立的是 A ．21()(0)4lg x lg x x +>>B ．1s i n 2(,)s i n x x k k Z xπ+≠∈…C ．212||()x xx R +∈… D ．211()1x R x ∈+… 5．已知10x y +>>，则4111x x y x y ++++-+的最小值为A 1B ．103C ．1-D ．1-6．已知1x >，0y >，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为A ．9B ．10C ．11D ．7+7．已知正数a ，b 满足2ab +=，则22(3)(8)a b++的最小值为 A ．36 B ．42 C ．49D ．608．若实数a ，b 满足0a b >，则22112a b ab+++的最小值为 A ．2 B ．3 C ．4D ．59．设0a >，0b >，且21a b +=，则12(aa a b++A ．有最小值为4B ．有最小值为1+C ．有最小值为143D ．无最小值10．已知实数0a >，0b >，111112a b +=++，则2a b +的最小值为A ．B ．6+C ．3+D ．3+11．若0x >，0y >，且11112x x y+=++，则2x y +的最小值为A ．2B ．C ．12+ D ．4+二．解答题（共3小题） 12．已知0a >，0b >，142a b+=，求28a b +的最小值．13．设1x >，且4149(1)x x +--的最小值为m ．（1）求m ；（2）若关于x 的不等式2a x a xm -+…的解集为R ，求a 的取值范围．14．设0x >，0y >，4x y x y a =++，其中a 为参数．（1）当0a =时，求x y +的最小值；（2）当5a =时，求x y 的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题） 1．【解答】解：x ，0y >，41x y x y∴+++ 41()()x y x y=+++412x y x y+426=+=，（当且仅当2x =，1y =时“=”成立），故选：B ．2．【解答】解：由题意可得，22224a b a b b a b aa b a b a b a b+++=+=+++=…，当且仅当a b =时取等号，故选：A ．3．【解答】解：0x >，0y >，且211y x+=，则21222(2)()5549x yxy x y y x y x+=++=+++=…，当且仅当22x y y x =且211y x+=，即3x y ==时取等号．故选：A ．4．【解答】解：当12x =时21()4lg x lgx +=，故A 不符合题意；当s i n 0x <，B 中不等式显然不成立，因为2(1)0x ±…恒成立，所以212x x+±…即212||x x +…一定成立，故C 正确；由211x +…可知21011x<+…，故D 不正确，故选：C ．5．【解答】解：根据题意，4111411112211x y x y x x y x y x y x y ++-+++=+++-++-+++-+ 1411()()12121x y x y x y x y ++-+=+++-++-+，又10x y +>>，则1421x y x y +++++，当且仅当1x y +时等号成立，112x y x y -++-，当且仅当1x y -时等号成立，故411411()()1112121x y x y x x y x y x y x y ++-+++=+++-++-+++-+1-，当且仅当1x +=，y = 故选：D ．6．【解答】解：1x >，10x ∴->，又0y >，且1211x y+=-， 2(1)21x y x y ∴+=-++12[(1)2]()11x y x y =-+++-22(1)61y x x y-=++-2(1)61y x y--…10=，当且仅当22(1)1y x x y-=-，即4x =，3y =时等号成立，故2x y +的最小值为10．故选：B ．7．【解答】解：因为正数a ，b 满足2ab +=，所以229494(3)(8)(4)(9)37249b a b a b aa b a b a b a b++=++=+++=…，当且仅当65a =，45b =时取等号．故选：C ．8．【解答】解：因为0a b >，则221112122a b a b a b a b+++++…，当且仅当a b =时取等号，1132a b a b +=，当且仅当122a b a b=且a b =时取等号，即a b == 此时取得最小值3．故选：B ．9．【解答】解：0a >，0b >，且21a b +=， 120b a ∴=->，解得102a <<． ∴12122(1)12121122(1)()232211111a a a a aa a a ab a a a a a a a a a a----+=+=+-=+-+-=++-++-----…，当且仅当1a ，3b 时取等号．∴12aa a b++有最小值1+．故选：B ．10．【解答】解：令1s a =+，1t b =+，则1s >，1t >，且1112s t +=， 2(1)2(1)23a b s t s t ∴+=-+-=+-，而112222(2)()2(12)2(32)2(322)s t s t s t s t s t t s t s +=++=+++⨯+=+…，当且仅当2s t t s=，即s 时，等号成立．2s t ∴+的最小值为2(3+，223a b s t ∴+=+--．故选：D ．11．【解答】解：（法一）11112x x y +=++可变形为311332x x y+=++，所以112(422x y x x +=+++13(2)33313[4](3)2332222x y x x x y ++=++--=++…，当且仅当233x y x +=+即x =，12y =-时取等号，（法二）原式可得212x x y x+-=，则21112232222x x x y x x x x +-+=+=++⨯+=+…，当且仅当3122x x=，即x =时取“=”故选：C ．二．解答题（共3小题）12．【解答】解：因为0a >，0b >，142a b+=，所以1411888828(28)()(34)(42)2522a b b aa b a b a b b a a b+=++⨯=+++=…，当且仅当88b a a b =即52a b ==时取等号．故28a b+的最小值25． 13．【解答】解：（1）因为1x >，所以10x ->，所以4441149(1)49()7x x x x +-=-+=--…，当且仅当4149(1)x x -=-，即217x -=，也即97x =时等号成立，故47m =．（2）由（1）知4,7m =，若不等式2407a x a x -+… 的解集为R ，则当0a = 时4,07… 恒成立，满足题意；当0a ≠时，201607a a a >⎧⎪⎨=-⎪⎩…，解得1607a <…，综上，1607a剟，所以a 的取值范围为16[0,]7． 14．【解答】解：（1）当0a =时，4x y x y =+，两边同除以x y 得141y x+=，则1444()()1259x y x yx y x y y x y x y x+=++=+++=…，当且仅当4x yy x=，即6x =，3y =时取“=”，即当0a =时，x y +的最小值为9；（2）当5a =时，45x y x y =+，即有1)0+=，5，即25xy …，当且仅当4x y =，即10x =，52y =时取“=”，即当5a =时，x y 的最小值为25．。

2022年强化训练京改版九年级数学下册第二十五章概率的求法与应用专题练习练习题(无超纲)

九年级数学下册第二十五章概率的求法与应用专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、明明和强强是九年级学生，在本周的体育课体能检测中，检测项目有跳远，坐位体前屈和握力三项．检测要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽到跳远的概率是（）．A．13B．19C．23D．292、不透明的袋子里装有7个只有颜色不同的球，其中3个黑球，4个白球，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率是（）A．34B．37C．47D．433、某十字路口的交通信号灯，每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的可能性大小为（）A．112B．13C．512D．124、在“石头、剪子、布”的游戏中，当你出“剪刀”时，对手与你打平的概率为（）A．12B．13C．23D．145、某市教委高度重视自然灾害中的安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育活动．某数学兴趣小组准备了4张印有安全图标的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的概率是（）A．12B．13C．14D．166、在一个不透明的纸箱中，共有15个蓝色、红色的玻璃球，它们除颜色外其他完全相同．小柯每次摸出一个球后放回，通过多次摸球试验后发现摸到蓝色球的频率稳定在20%，则纸箱中红色球很可能有（）A．3个B．6个C．9个D．12个7、在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中黑球1个，红球2个，从中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黑色的概率是（）A．12B．13C．23D．168、小张同学去展览馆看展览，该展览馆有A、B两个验票口（可进可出），另外还有C、D两个出口（只出不进）．则小张从不同的出入口进出的概率是（）A．12B．13C．14D．349、抛掷一枚质地均匀的硬币三次，恰有两次正面向上的概率是（）A．18B．14C．38D．5810、下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，一个转盘，转盘上共有红、白两种不同的颜色，已知红色区域的圆心角为80 ，自由转动转盘，指针落在白色区域的概率是_________．2、如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是______．3、某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱内有标号分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10十个质地、大小相同的小球，顾客从中任意摸出一个球，摸出的球的标号是3的倍数就得奖，顾客得奖概率是______．4、一个转盘盘面被分成6块全等的扇形区域，其中2块是红色，4块是蓝色．用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性大小是________．5、粉笔盒中有10支白色粉笔盒若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿一支粉笔，拿到白色的概率为25，则其中彩色粉笔的数量为________支．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、小丽进行摸球实验，她在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．实验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．若小丽随机摸球两次，请你用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．2、在一次数学兴趣小组活动中，小李和小王两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于11，则小李获胜；若指针所指区域内两数和大于11，则小王获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．（1）请用列表或画树状图的方法分别求出小李和小王获胜的概率；（2）这个游戏公平吗？若不公平，请你设计一个公平的游戏规则．3、新高考“3+1+2”是指：3，语数外三科是必考科目；1，物理、历史两科中任选一科；2，化学、生物、地理、政治四科中任选两科．某同学确定选择“物理”，但他不确定其它两科选什么，于是他做了一个游戏：他拿来四张不透明的卡片，正面分别写着“化学、生物、地理、政治”，再将这四张卡片背面朝上并打乱顺序，然后从这四张卡片中随机抽取两张，请你用画树状图（或列表）的方法，求该同学抽出的两张卡片是“化学、政治”的概率．4、某水果公司以2元/千克的成本购进10000千克柑橘，销售人员在销售过程中随机抽取柑橘进行“柑橘损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下面问题：（1）柑橘损坏的概率估计值为；（2）估计这批柑橘完好的质量为千克；（3）如果公司希望销售这些柑橘能够获得不低于25000元的利润，那么在出售（已去掉损坏的柑橘）时，每千克柑橘大约定价为多少元比较合适？5、从一副52张（没有大小王）的扑克牌中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在试验中得到下列表中部分数据：（1）将数据表a、b补充完整；（2）从上表中可以估计出现方块的概率是________；（3）从这副扑克牌中取出两组牌，分别是方块1，2，3和红桃1，2，3，将它们背面朝上分别重新洗匀后，从两组牌中各摸出一张，若摸出的两张牌的牌面数字之和等于3，则甲方赢；若摸出的两张牌的牌面数字之和等于4，则乙方赢．你认为这个游戏对双方是公平的吗．若不是，有利于谁．请你用概率知识（列表或画树状图）加以分析说明．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据题意，采用列表法或树状图法表示出所有可能，然后找出满足条件的可能性，即可得出概率．【详解】解：分别记跳远为“跳”，坐位体前屈为“坐”，握力为“握”，列表如下：由表中可知，共有9种不同得结果，两人都抽到跳远的只有1种可能，则两人抽到跳远的概率为：19P ，故选：B．【点睛】题目主要考查利用树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图法或列表法是解题关键．2、C【分析】直接根据概率公式求解即可．【详解】解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率＝47．故选：C．【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．3、C【分析】用绿灯亮的时间除以三种灯亮总时间即可解答．【详解】解：除以三种灯亮总时间是30+25+5=60秒，绿灯亮25秒，所以绿灯的概率是：255= 6012．故选C．【点睛】本题主要考查了概率的基本计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键.4、B【分析】根据题意画树状图展示所有3种等可能的结果数，再找出对手与你打平的结果数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：画树状图为：共有3种可能的结果数，其中对手与你打平的结果数为1，所以对手与你打平的概率=13.故选：B．【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，注意掌握利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．5、A【分析】利用列表法列举所有的可能性，再由当心低温的图片为轴对称图形得到两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的有6种，根据公式计算即可求出概率．【详解】解：由题意知，当心低温的图片为轴对称图形，共有12种等可能的情况，其中两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的有6种，∴两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的概率是612=12，故选：A．【点睛】此题考查了列举法求事件的概率，正确判断轴对称图形，正确列举出所有不同情况是解题的关键．6、D【分析】根据利用频率估计概率得到摸到蓝色球的概率为20%，由此得到摸到红色球的概率=1-20%=80%，然后用80%乘以总球数即可得到红色球的个数．【详解】解：∵摸到蓝色球的频率稳定在20%，∴摸到红色球的概率=1-20%=80%，∵不透明的布袋中，有黄色、白色的玻璃球共有15个，∴纸箱中红球的个数有15×80%=12（个）．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．7、B【分析】用黑色的小球个数除以球的总个数即可解题．【详解】解：从中摸出一个小球，共有3种可能，其中摸出的小球是黑色的情况只有1种，故摸出的小球是黑色的概率是：1 3故选：B．【点睛】本题考查概率公式，解题关键是掌握随机事件发生的概率．8、D【分析】先画树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到小张从不同的出入口进出的结果数，最后根据概率公式求解即可．【详解】解：列树状图如下所示：由树状图可知一共有8种等可能性的结果数，其中小张从不同的出入口进出的结果数有6种，∴P小张从不同的出入口进出的结果数63 84==，故选D．【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图法求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握用列表法或树状图法求解概率．9、C【分析】根据随机掷一枚质地均匀的硬币三次，可以分别假设出三次情况，画出树状图即可．【详解】解：列树状图如下所示：根据树状图可知一共有8种等可能性的结果数，恰好有两次正面朝上的事件次数为：3，∴恰好有两次正面朝上的事件概率是：38．【点睛】本题主要考查了树状图法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图．10、B【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义可判断A，根据随机事件发生的机会大小，估计概率的大小可判断B，可判断C，不规则物体的概率只能通过大数次的实验，使频率达到稳定时用频率估计概率可判断D．【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故选项A不正确；事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B正确；某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定会中奖机会很小，故选项C不正确；图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D不正确．故选择B．【点睛】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实验概率知识是解题关键．二、填空题1、7 9【分析】先确定白色部分的面积是整个圆的面积的79，结合几何概率的含义可得答案.解：由题意得：白色部分的圆心角为：36080280, 所以：2807==,3609S S 白全部所以自由转动转盘，指针落在白色区域的概率是79，故答案为：7.9【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，几何概率的计算，掌握“几何概率的计算与图形面积的关系”是解本题的关键.2、112【分析】由题意根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：如图假设围棋盘上两个格子的格点分别为A B C D E F 、、、、、，白球在网格上有A B C D E F 、、、、、6种摆放方法，两棋子不在同一条格线上的摆放记为（白，黑）共有(,),(,),(,),(,),A F A C E D E C (,),(,),(,),(,),B D B F D E D B (,),(,),F A F B (,),C A (,)C E 12种摆放方法，其中，恰好摆放成如图所示位置的情况只有(A,C)1种，故概率为：112.故答案为：112．【点睛】本题考查概率的求法.注意掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．3、3 10【分析】结合题意，首先分析3的倍数的数量，再根据概率公式的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意，3的倍数有：3，6，9，共3个数∴摸出的球的标号是3的倍数的概率是：310，即顾客得奖概率是：310故答案为：3 10．【点睛】本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握概率公式，从而完成求解．4、1 3【分析】根据简单概率公式进行计算即可．【详解】解：根据题意，共有6块全等的扇形区域，其中2块是红色，4块是蓝色．则指针对准红色区域的可能性大小是21 63故答案为：1 3【点睛】本题考查了几何概率，立即题意是解题的关键．5、15【分析】设彩色笔的数量为x支，然后根据概率公式列出方程求解即可．【详解】解：设彩色笔的数量为x支，由题意得：102 105x=+，解得15x=，经检验15x=是原方程的解，∴彩色笔为15支，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了概率公式和分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握概率公式列出方程进行求解．三、解答题1、树状图见解析，P两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球18 =．【分析】先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的结果数，最后根据概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下所示：由树状图可知，一共有16种等可能性的结果数，其中两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的结果数有2种，∴P两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球21 168 ==．【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握画树状图或列表法求解概率．2、（1）小李获胜的概率是14，小王获胜的概率是12；（2）不公平，见详解.【分析】（1）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案；（2）由题意根据各自得出的概率得出游戏不公平，再根据概率公式直接修改为两人获胜的概率相等即可．【详解】解：（1）根据题意画图如下：由上图可知，共有12种等可能的情况数，其中指针所指区规内两数和小于11有3种，两数和大于11有6种，则小李获胜的概率是31124=，小王获胜的概率是61122=；（2）由（1）知，小李获胜的概率是14，小王获胜的概率是12，所以游戏不公平；游戏规则：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和不大于11，则小李获胜；若指针所指区域内两数和大于11，则小王获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．注意掌握判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3、1 6【分析】用A、B、C、D分别表示化学、生物、地理、政治，然后画出树状图求解．【详解】解：用A、B、C、D分别表示化学、生物、地理、政治，画树状图如下，，由树状图可知，共有12种等可能发生的情况，其中符合条件的情况有2种，所以该同学抽出的两张卡片是“化学、政治”的概率=21=126．【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可，即mPn ．4、（1）0.1；（2）9000；（3）每千克柑橘大约定价为5元比较合适．【分析】（1）根据图形即可得出柑橘损坏的概率；（2）用整体1减去柑橘损坏的概率即可出柑橘完好的概率，再乘以10000千克即可解题；（3）先设每千克柑橘大约定价为x元比较合适，根据题意列出方程，解方程即可解答．【详解】解：（1）由图可知，柑橘损坏概率估计值为0.1故答案为：0.1；（2）1-0.1=0.9,10000×0.9=9000（千克）故答案：9000；（3）设每千克柑橘大约定价为x元比较合适，由题意得，9000x=25000+2×10000解得：x=5答：每千克柑橘大约定价为5元比较合适．【点睛】本题考查频率估计概率，解题关键是在图中找到必要信息，求出柑橘损坏的概率．5、（1）30，0.250；（2）14；（3）这个游戏对双方是不公平的，有利于乙方，说明见解析【详解】（1）根据频数＝总数×频率，频率＝频数÷总数计算，补全即可；（2）概率是题目中比较稳定在的那个数，观察（1）中表格可得到答案；（3）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的概率相同，本题中即甲方赢或乙方赢的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．【分析】解：（1）由题意得：1200.25030a=⨯=，803200.250b=÷=，填表如下所示：（2）从表中得出，出现方块的频率稳定在0.250附近，故可以估计出现方块的概率为14；（3）列表如下：由表可知所有等可能的结果有9种，其中甲方赢的结果有2种，乙方赢的结果有3种，P 甲方赢29=，P 乙方赢3193==， ∴P 乙方赢P >甲方赢，∴这个游戏对双方是不公平的，有利于乙方．【点睛】本题主要考查了求频率，根据频率估计概率，游戏公平性，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．。

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