2021年中考数学专项训练: 涉及内心外心的试题(含答案)
三角形的重心垂心内心外心附三角函数的图象与性质练习题及答案
三角形的重心垂心内心外心附三角函数的图象与性质练习题及答案一、三角形重心定理二、三角形外心定理三、三角形垂心定理四、三角形内心定理五、三角形旁心定理有关三角形五心的诗歌三角形五心定理三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单。
(重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名)重心的性质:1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心。
外心的性质:1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角)。
3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。
外心坐标:( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质:1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆。
三角形内心和外心练习题
EB内心和外心一、选择题:1、对于三角形的外心,下列说法错误的是( )A。
它到三角形三个顶点的距离相等B。
它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径C.它是三角形三条角平分线的交点D。
它是三角形三条边垂直平分线的交点2、下列命题正确的个数有( )错误!过两点可以作无数个圆;错误!经过三点一定可以作圆;错误!任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆;○,4任意一个圆有且只有一个内接三角形。
A.1个B.2个 C。
3个 D.4个2、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C的距离是( )A。
5cm B。
6cm C. 7cm D。
8cm3、下列说法错误的是()A.三角形有且只有一个内切圆B.若I为△ABC的内心,则AI平分∠BACC。
三角形的内心不一定都在三角形的内部D。
等腰三角形的内心一定在它底边的高上4、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,则△ABC的外接圆的面积为()A.254cm2 B.5πcm2 C.254πcm2 D.25cm25、⊙O与△ABC分别相切于点D、E、F,△ABC的周长为20cm,AF=5cm,CF=3cm,则BE的长度为( )A。
1cm B。
2cm C。
3cm D.2.5cm第5题第7题第9题6、△ABC内接于⊙O,∠A=60°,⊙O的半径为5,则BC的长为( )C。
527、已知,如图在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,⊙O为Rt△ABC的内切圆,切点为D、E、F,则⊙O的半径为()A。
12cm B.1cm C.32cm D.2cm8、等边三角形的内切圆半径为r,外接圆半径为R,高为h,则r:R:h的值为()A.1:2:3B.1。
2:1:3 D。
19、如图,⊙O为△ABC的内切圆,∠C=90°,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径为( )A。
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三⾓形五⼼主要有:
①重⼼:三条中线的交点
②内⼼:三条⾓平分线交点
③外⼼:三边垂直平分线交点
④垂⼼:三条⾼交点
⑤旁⼼:旁切圆圆形
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【中考提分】三角形五心的经典考题
有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1.过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ;引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证:P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析:由已知可得MP ′=MP =MB ,NP ′=NP=NC ,故点M 是△P ′BP 的外心,点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ,∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而,P ′点与A ,B ,C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ,显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2.在△ABC 的边AB ,BC ,CA 上分别取点P ,Q ,S .证明以△APS ,△BQP ,△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析:设O 1,O 2,O 3是△APS ,△BQP ,△CSQ 的外心,作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A , ∠QO 2P =2∠B , ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3,易判断△KSO 1≌△O 2PO 1,同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)=21∠PO 1S =∠A ;同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每A B C PP MN 'A B C QK P O O O ....S 123条中线都分成定比2:1及中线长度公式,便于解题.例3.AD ,BE ,CF 是△ABC 的三条中线,P 是任意一点.证明:在△PAD ,△PBE ,△PCF 中,其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析:设G 为△ABC 重心,直线PG 与AB,BC 相交.从A ,C ,D ,E ,F 分别 作该直线的垂线,垂足为A ′,C ′, D ′,E ′,F ′. 易证AA ′=2DD ′,CC ′=2FF ′,2EE ′=AA ′+CC ′,∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍,有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析:将△ABC 简记为△,由三中线AD ,BE ,CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心,连DE到H ,使EH =DE ,连HC ,HF ,则△′就是△HCF .(1)a 2,b 2,c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形,易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ,有CF =2222221c b a -+, BE =2222221b ac -+, AD =2222221a cb -+. 将a 2+c 2=2b 2,分别代入以上三式,得 CF =a 23,BE =b 23,AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2,b 2,c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时, △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′,∴∆∆S S '=(aCF )2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”,有∆∆S S '=43.AA 'F F 'GE E 'D 'C 'P C B D∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c2⇒a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利.例5.设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形,H 1,H 2,H 3,H 4依次为△A 2A 3A 4,△A 3A 4A 1,△A 4A 1A 2,△A 1A 2A 3的垂心.求证:H 1,H 2,H 3,H 4四点共圆,并确定出该圆的圆心位置.(1992,全国高中联赛) 分析:连接A 2H 1,A 1H 2,H 1H 2,记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4; 由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4,故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2,于是,A 2H 1 A 1H 2, 故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ,故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理,H 2H 3与A 2A 3,H 3H 4与A 3A 4,H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称,两者是全等四边形,H 1,H 2,H 3,H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ,Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ,M 两点,Q 点就不难确定了.例6.H 为△ABC 的垂心,D ,E ,F 分别是BC ,CA ,AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ,FD ,DE 于A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2. 求证:AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989,加拿大数学奥林匹克训练题) 分析:只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a , CA =b ,AB =c ,△ABC 外接圆半径为R ,⊙H 的半径为r . 连HA 1,AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH2=r 2+(AM 2-MH 2), ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2, ② 而ABH AH ∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aa sin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∥=∥=.OA A A A 1234H H 12H H HM AB BA ABC CC F12111222D E∴AH 2+a 2=4R 2,AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有A 21A =r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理,21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2,21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住下面一个极为有用的等量关系:设I 为△ABC 的内心,射线AI 交△ABC 外接圆于A ′,则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之,点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7.ABCD 为圆内接凸四边形,取△DAB ,△ABC ,△BCD , △CDA 的内心O 1, O 2,O 3, O 4.求证:O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986,中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992;4例8.已知⊙O 内接△ABC ,⊙Q 切AB ,AC 于E ,F 且与⊙O 内切.试证:EF 中点P 是△ABC之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析:在第20届IMO 中,美国提供的一道题实际上是例8的一种特例,但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ,怎样证明呢? 如图,显然EF 中点P 、圆心Q ,BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r . ∵QK ·AQ =MQ ·QN ,∴QK =AQQNMQ ⋅=αsin /)2(r rr R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理,即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于A B C D O O O 234O 1AααMBCNE R OQFrP一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9.在直角三角形中,求证:r +r a +r b +r c =2p .式中r ,r a ,r b ,r c 分别表示内切圆半径及与a ,b ,c 相切的旁切圆半径,p 表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析:设Rt △ABC 中,c 为斜边,先来证明一个特性:p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c ) =41[(a +b )2-c 2]=21ab ;(p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c )=41[c 2-(a -b )2]=21ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形,可得 r a =AF -AC =p -b , r b =BG -BC =p -a , r c =CK =p . 而r =21(a +b -c ) =p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.例10.M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1,r 2,r 分别是△AMC ,△BMC ,△ABC 内切圆的半径,q 1,q 2,q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明:11q r ·22q r =qr . (IMO -12)分析:对任意△A ′B ′C ′,由正弦定理可知OD =OA ′·2'sinA =A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin2'sin B A B A +⋅, Kr r r r O O O 213AOE CBabcA ...'B 'C 'OO 'EDO ′E = A ′B ′·2''sin2'cos 2'cosB A B A +. ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有11q r ·22q r =2222Btg CNB tg CMA tgA tg ∠∠ =22B tg A tg=qr. 六、众心共圆这有两种情况:(1)同一点却是不同三角形的不同的心;(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11.设在圆内接凸六边形ABCDFE 中,AB =BC ,CD =DE ,EF =FA .试证:(1)AD ,BE ,CF 三条对角线交于一点;(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991,国家教委数学试验班招生试题)分析:连接AC ,CE ,EA ,由已知可证AD ,CF ,EB 是△ACE 的三条内角平分线,I 为△ACE的内心.从而有ID =CD =DE , IF =EF =FA , IB =AB =BC .再由△BDF ,易证BP ,DQ ,FS 是它的三条高,I 是它的垂心,利用 不等式有:BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明IE =2IP ,IA =2IQ ,IC =2IS .∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC . ∴AB +BC +CD +DE +EF +FA=2(BI +DI +FI ) ≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI )=AD +BE +CF .I 就是一点两心.例12.△ABC 的外心为O ,AB =AC ,D 是AB 中点,E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD . (加拿大数学奥林匹克训练题)分析:设AM 为高亦为中线,取AC 中点F ,E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设CD 交AM 于G ,G 必为△ABC 重心. 连GE ,MF ,MF 交DC 于K .易证: DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF .∵OD 丄AB ,MF ∥AB ,∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心.Erdos ..I P AB CD E FQ SA B CD E F OKG易证OE 丄CD . 例13.△ABC 中∠C =30°,O 是外心,I 是内心,边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证:OI 丄DE ,OI =DE .(1988,中国数学奥林匹克集训题)分析:辅助线如图所示,作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ,∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式,有∠AIB =90°+21∠C =105°,∴∠DIE =360°-105°×3=45°.∵∠AKB =30°+21∠DAO =30°+21(∠BAC -∠BAO )=30°+21(∠BAC -60°)=21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ,∴DO 丄IE ,即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心,OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ,易知OI =DE .例14.锐角△ABC 中,O ,G ,H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外,重心到三边距离和为d 重,垂心到三边距离和为d 垂.求证:1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析:这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1,三个内角记为A ,B , C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ,∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C , 同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ② ∴BCHBHsin =2,∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2,HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③ 欲证结论,观察①、②、③,O A BC DEFI K30°B C O IA O G H O G H GO G H 123112233须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B +cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.练 习 题1.I 为△ABC 之内心,射线AI ,BI ,CI 交△ABC 外接圆于A ′, B ′,C ′.则AA ′+BB ′+CC ′>△ABC 周长.(1982,澳大利 亚数学奥林匹克)2.△T ′的三边分别等于△T 的三条中线,且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989,捷克数学奥林匹克)3.I 为△ABC 的内心.取△IBC ,△ICA ,△IAB 的外心O 1,O 2,O 3.求证:△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988,美国数学奥林匹克)4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ,△ABD ,△ADC 的外心O ,O 1,O 2.则△OO 1O 2是等腰三角形.5.△ABC 中∠C <90°,从AB 上M 点作CA ,CB 的垂线MP ,MQ .H 是△CPQ 的垂心.当M 是AB 上动点时,求H 的轨迹.(IMO -7)6.△ABC 的边BC =21(AB +AC ),取AB ,AC 中点M ,N ,G 为重心,I 为内心.试证:过A ,M ,N 三点的圆与直线GI 相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)7.锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是H 1,H 2,H 3.已知:H 1,H 2,H 3,求作△ABC .(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知△ABC 的三个旁心为I 1,I 2,I 3.求证:△I 1I 2I 3是锐角三角形.9.AB ,AC 切⊙O 于B ,C ,过OA 与BC 的交点M 任作⊙O 的弦EF .求证:(1)△AEF 与△ABC 有公共的内心;(2)△AEF 与△ABC 有一个旁心重合.。
初三数学冀教版三角形的内心与外心易错题
初三数学冀教版三角形的内心与外心易错题1、一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,又以8折(即按标价的80%)优惠卖出,结果每件作服装仍可获利15元,答案B 解析2、一个几何体的三视图如图所示,则此几何体是(答案C 解析3、分式方程的解是()A.2 B.1 C.-1 D.-2 答案B 解析解:4、已知等腰三角形中的一边长为5㎝,另一边长为9㎝,则它的周长为(答案D 解析5、如图点C在线段AB上,AC=2BC,M、N分别为AC、BC的中点,若BC=4cm,求线段MN 的长。
答案MN=MB-NB=6-2=4(cm)解析6、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是(; 答案D解析7、给出下列结论正确的有(;)①物体在阳光照射下,影子的方答案B 解析8、若点M(a,b)在第二象限,则点(,b)是在()A.第一象限B.第二象答案A解析考点:点的坐标.分析:第一、二、三、四象限内点的符号分别为:(+,+)、(-,+)、(-,-)、(+,-),点A(a,b)在第二象限,所以a、b的符号分别是-、+.解答:解:因为点A(a,b)在第二象限,所以a<0、b>0,所以-a+1>0,所以点Q(-a+1,b)在第一象限.故选A.点评:解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的坐标的符号.9、命题:①对顶角相等;②过一点有且只有一条直线与已知直线平行;③相等的角是对顶角;④同位角相等。
其中错误的有答案C 解析10、某商品以每包30千克为标准,32千克记为+2千克,那么记为-3千克、+5千克、-2千克、+1千克、+4千克的5包答案A 解析分析:首先求出-3千克、+5千克、-2千克、+1千克、+4千克的平均数,然后加上30千克即可求解.解30+(-3+5-2+1+4)=30+1=31千克.故选A.11、方程的解是()A.B.C.D.答案C 解析七年级数学北京课标版直径所对圆周角的特征下列说法错误的是答案C 解析12。
2023年人教版数学中考复习考点专练——三角形的内切圆与内心(含答案)
2023年人教版数学中考复习考点专练——三角形的内切圆与内心一、单选题1.如图,⊙O内切于⊙ABC,切点为D,E,F,若⊙B=50°,⊙C=60°,连接OE,OF,DE,DF,⊙EDF等于()A.45°B.55°C.65°D.70°2.下列命题是真命题的是()A.对顶角相等B.平行四边形的对角线互相垂直C.三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点D.三角分别相等的两个三角形是全等三角形3.如图,已知⊙ABC与⊙ACD都是直角三角形,⊙B=⊙ACD=90°,AB=4,BC=3,CD=12。
则⊙ABC的内切圆与⊙ACD的内切圆的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.外离4.如图,⊙ABC中,⊙C=90°,AC=12,BC=5,⊙O与⊙ABC的三边相切于点D、E、F,则AD长为()A.8B.10C.12D.14 5.下列四个命题中,正确的个数是()①经过三点一定可以画圆;②任意一个三角形一定有一个外接圆;③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点;④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等;⑤三角形的外心一定在三角形的外部.A .4个B .3个C .2个D .1个 6.在⊙ABC 中,O 为内心,⊙A=80°,则⊙BOC=( )A .140°B .135°C .130°D .125° 7.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则其内切圆半径的长为( )A .2 ﹣2B .2﹣C ﹣1D 8.有如下四个命题:(1)三角形有且只有一个内切圆;(2)四边形的内角和与外角和相等;(3)顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形;(4)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.其中真命题的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个 9.已知一个三角形的三边长分别为5、7、8,则其内切圆的半径为( )A .2B .32CD .10.如图,在 ABC ∆ 中, 60BAC ∠=︒ 其周长为20,⊙I 是 ABC ∆ 的内切圆,其半径为 ,则 BIC ∆ 的外接圆半径为( )A .7B .C .2D 二、填空题11.在⊙ABC 中,⊙C=90°,AB=10,且AC=6,则这个三角形的内切圆半径为 .12.已知一个三角形的三边长分别为5、7、8,则其内切的半径为 .13.如图,在平面直角坐标系中,矩形 OACB 的顶点 ()68C , ,点 I 是 ABC 的内心,将 ABC 绕原点顺时针旋转 90︒ 后, I 的对应点 I ' 的坐标是 .14.从一个边长为 cm 的正三角形钢板上裁下一个面积最大的圆,则这个圆的半径是 cm .15.若直角三角形的两边a 、b 是方程 27120x x -+= 的两个根,则该直角三角形的内切圆的半径r = .三、解答题16.如图,在⊙ABC 中,⊙C=90°,⊙O 是⊙ABC 的内切圆,切点分别为D ,E ,F ,若BD=6,AD=4,求⊙O 的半径r .17.如图⊙ABC 内接于圆O ,I 是⊙ABC 的内心,AI 的延长线交圆O 于点D .(1)求证:BD=DI ;(2)若OI⊙AD ,求AB AC BC+的值.18.如图,在⊙ABC中,内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,若⊙A=70°,求⊙FDE.19.如图,⊙ABC中,⊙C=90°,⊙O是⊙ABC的内切圆,D、E、F是切点.(1)求证:四边形ODCE是正方形;(2)如果AC=6,BC=8,求内切圆⊙O的半径.20.如图:在三角形ABC中,AB=5,AC=7,BC=8,求其内切圆的半径.21.如图,点E是⊙ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交⊙ABC的外接圆⊙O 于点D,连接BD,过点D作直线DM,使⊙BDM=⊙DAC.(⊙)求证:直线DM是⊙O的切线;(⊙)求证:DE2=DF•DA.答案解析部分1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】C10.【答案】D11.【答案】212.13.【答案】(64)-,14.【答案】115.【答案】1或1 216.【答案】解:连接EO,FO,∵⊙O是⊙ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,∴OE⊙BC,OF⊙AC,BD=BE,AD=AF,EC=CF,又∵⊙C=90°,∴四边形ECFO是矩形,又∵EO=FO,∴矩形OECF是正方形,设EO=x,则EC=CF=x,在Rt⊙ABC中BC2+AC2=AB2故(x+6)2+(x+4)2=102,解得:x=2,即⊙O的半径r=2.17.【答案】(1)证明:∵点I 是⊙ABC 的内心 ∴⊙BAD=⊙CAD ,⊙ABI=⊙CBI∵⊙CBD=⊙CAD∴⊙BAD=⊙CBD∴⊙BID=⊙ABI+⊙BAD ,⊙BAD=⊙CAD=⊙CBD , ∵⊙IBD=⊙CBI+⊙CBD ,∴⊙BID=⊙IBD∴ID=BD ;(2)解:连接OA 、OD 、BD 和BI ,∵OA=OD ,OI⊙AD∴AI=ID ,∵I 为⊙ABC 内心,∴⊙BAD=⊙BCD ,∴弧BD=弧CD ,∵弧CD=弧CD ,∴⊙BCD=⊙BAD ,∴⊙DBI=⊙BCD+⊙CBI=⊙CAD+⊙CBI , =12(⊙BAC+⊙ACB ), ∵⊙DIB=⊙DAB+⊙ABI=12(⊙BAC+⊙ABC ), ∴⊙DIB=⊙DBI ,∴BD=ID=AI ,BD DC ∧∧=,故OD⊙BC ,记垂足为E ,则有BE=12BC ,作IG⊙AB于G,又⊙DBE=⊙IAG,而BD=AI,∴Rt⊙BDE⊙Rt⊙AIG,于是,AG=BE=12BC,但AG=12(AB+AC﹣BC),故AB+AC=2BC,∴AB ACBC=2.18.【答案】解:连接IE,IF,∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,∴⊙AEI=⊙AFI=90°,∵⊙A=70°,∴⊙EIF=110°,∴⊙FDE=55°.答:⊙FDE的度数为55°.19.【答案】(1)解:∵⊙O是⊙ABC的内切圆,∴OD⊙BC,OE⊙AC,又⊙C=90°,∴四边形ODCE是矩形,∵OD=OE,∴四边形ODCE是正方形.(2)解:∵⊙C=90°,AC=6,BC=8,∴AB= =10,由切线长定理得,AF=AE ,BD=BF ,CD=CE , ∴CD+CE=BC+AC ﹣BD ﹣AE=BC+AC ﹣AB=4, 则CE=2,即⊙O 的半径为2.20.【答案】解:如图,作 AD BC ⊥ ,设 BD x = ,则 8CD x =- ,由勾股定理可知: 2222AB BD AC CD -=- ,则 ()2225498x x -=-- ,解得 52x = ,则 2AD = ,故 118222ABC S BC AD =⋅=⨯⨯= , 由三角形的内切圆性质,可得: ()12ABC S r AB BC AC =++2ABC S r AB BC AC ∴===++ . 21.【答案】解:(⊙)如图所示,连接OD , ∵点E 是⊙ABC 的内心,∴⊙BAD=⊙CAD ,∴BD = CD ,∴OD⊙BC ,又∵⊙BDM=⊙DAC ,⊙DAC=⊙DBC , ∴⊙BDM=⊙DBC ,∴BC⊙DM ,∴OD⊙DM ,∴直线DM 是⊙O 的切线;(⊙)如图所示,连接BE ,∵点E 是⊙ABC 的内心,∴⊙BAE=⊙CAE=⊙CBD ,⊙ABE=⊙CBE , ∴⊙BAE+⊙ABE=⊙CBD+⊙CBE ,即⊙BED=⊙EBD,∴DB=DE,∵⊙DBF=⊙DAB,⊙BDF=⊙ADB,∴⊙DBF⊙⊙DAB,∴DFDB=DBDA,即DB2=DF•DA,∴DE2=DF•DA.。
中考数学圆内心外心
B前言:元月调考圆的知识占据较大比重,这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。
第1个问题 内心、外心知多少 【2013元调 第10题】如图,点I 和O 分别是△ABC 的内心和外心,则∠AIB 和∠AOB 的关系为( )A 、AIB AOB ∠=∠ B 、AIB AOB ∠≠∠C 、121802AIB AOB ∠-∠=o D 、121802AOB AIB ∠-∠=o 分析:外心:圆在三角形外,经过三角形3个顶点三角形外接圆的圆心,圆心到3个顶点的距离相等,它是三边的垂直平分线的交点。
内心:圆在三角形内,与三边都相切三角形内切圆的圆心,圆心到三边的距离相等,它是三个内角平分线的交点。
∠AIB 和∠AOB 都与 ∠C 有关系,∠AOB=2∠C , ∠AIB=180°-(∠IAB+∠IBA )=180°-12(∠A+∠B )=180°-12(180°-∠C )=90°+12∠C外心和内心的考查很频繁外心考查重点:①圆周角与圆心角的转换,如2013中考第22题如图,△ABC 为等腰三角形,AB=AC ,则∠BEC=∠BOD②直角三角形的外心是斜边的中点,反之说明是直角三角形(2013中考第25题) 内心的考查更灵活:常考角度、面积(1)11190,90,90222BOC A BOA C AOC B ∠=+∠∠=+∠∠=+∠o o o(2)1()2S a b c r ABC =++V ,a 、b 、c 为三边长,r 是内切圆的半径当90BAC ∠=o 时,四边形ADOF 为正方形,2a b cr +-=AABE【例题1】如图,AB 是⊙O 的直径,点P 为半圆上一点(不与A 、B 重合),点I 为△ABP 的内心,连接PI 交⊙O 于点M ,IN ⊥BP 于N ,下列结论: ①∠APM=45°;②AB=2IM ;③∠BIM=∠BAP ;④PMOBIN +=22;其中正确的个数有________________A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 分析:①题目中给出直径、圆上的点这样的字眼想到:直径所对圆周角等于180度,则△ABP 是直角三角形 ②I 为内心,内心与三角形顶点的连线即为内角平分线 则PI 平分APB ∠,所以∠APM=45°。
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_圆_三角形的内切圆与内心-单选题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_圆_三角形的内切圆与内心-单选题专训及答案三角形的内切圆与内心单选题专训1、(2021薛城.中考模拟) 如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB 平移使其顶点与I重合,则图中阴影部分的周长为()A . 4.5B . 4C . 3D . 22、(2017泰州.中考真卷) 三角形的重心是()A . 三角形三条边上中线的交点B . 三角形三条边上高线的交点C . 三角形三条边垂直平分线的交点D . 三角形三条内角平分线的交点3、(2019桥东.中考模拟) 如图,点E点为△ABC的内心,且EF⊥BC于点F,若∠BAC=38°,∠B=56°,则∠AEF的度数为()A . 163B . 164C . 165D . 1664、(2016丹阳.中考模拟) 三角形内切圆的圆心为()A . 三条边的高的交点B . 三个角的平分线的交点C . 三条边的垂直平分线的交点D . 三条边的中线的交点5、(2018嘉兴.中考模拟) 下列命题是假命题的是()A . 三角形的内心到这个三角形三边的距离相等B . 有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形C . 直角坐标系中,点(a,b)关于原点成中心对称的点的坐标为(-b,-a)D . 有三个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形6、(2015湖州.中考真卷) 如图,AC是矩形ABCD的对角线,⊙O是△ABC的内切圆,现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠,使点D与点O重合,折痕为FG.点F,G 分别在边AD,BC上,连结OG,DG.若OG⊥DG,且⊙O的半径长为1,则下列结论不成立的是()A . CD+DF=4B . CD﹣DF=2 ﹣3C . BC+AB=2 +4D . BC﹣AB=27、(2019滨州.中考模拟) 如图,在ΔABC中,,,作的内切圆,分别与、、相切于点、、,设,ΔABC 的面积为,则关于的函数图象大致为()A .B .C .D .8、(2018武昌.中考模拟) 若一直角三角形的斜边长为c,内切圆半径是r,则内切圆的面积与三角形面积之比是()A .B .C .D .9、(2017淄川.中考模拟) 如图,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,以此类推,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1, S2, S3,…,S10,则S 1+S2+S3+…+S10=()A . 4πB . 3πC . 2πD . π10、(2018烟台.中考真卷) 如图,四边形ABCD内接于⊙O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为()A . 56°B . 62°C . 68°D . 78°11、(2018武汉.中考模拟) 如图将△ABC沿着直线DE折叠,点A恰好与△ABC的内心I重合,若∠DIB+∠EIC=195°,则∠BAC的大小是()A . 40°B . 50°C . 60°D . 70°12、(2015武汉.中考模拟) 如图,△ABC中,下面说法正确的个数是()个.①若O是△ABC的外心,∠A=50°,则∠BOC=100°;②若O是△ABC的内心,∠A=50°,则∠BOC=115°;③若BC=6,AB+AC=10,则△ABC的面积的最大值是12;④△ABC的面积是12,周长是16,则其内切圆的半径是1.A . 1B . 2C . 3D . 413、(2017武汉.中考真卷) 已知一个三角形的三边长分别为5、7、8,则其内切圆的半径为()A .B .C .D .14、(2016襄阳.中考真卷) 如图,I是△ABC的内心,AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BI、BD、DC.下列说法中错误的一项是()A . 线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B . 线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C . ∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D . 线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合15、(2019福田.中考模拟) 如图,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论:①∠BOC=90°+ ∠A;②EF=mn;④以E为圆不可能是△A BC的中位线;③设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切.其中正确结论的个数是()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个(2018深圳.中考模拟) 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针,则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为()A .B .C .D .17、(2012.中考真卷) 如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D,E,F,连接OE,OF,DE,DF,乙组∠A=80°,则∠EDF等于()A . 40°B . 45°C . 50°D . 80°18、(2017眉山.中考真卷) 如图,在△ABC中,∠A=66°,点I是内心,则∠BIC的大小为()A . 114°B . 122°C . 123°D . 132°19、(2016遵义.中考真卷) 如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,连接AC,⊙P和⊙Q 分别是△ABC和△ADC的内切圆,则PQ的长是()A .B .C .D . 2(2019天山.中考模拟) 已知在△ABC中,∠BAC=90°,M是边BC的中点,BC的延长线上的点N满足AM⊥AN.△ABC的内切圆与边AB,AC的切点分别为E,F,延长EF分别与AN,BC的延长线交于P、Q,则=()A . 1B . 0.5C . 2D . 1.521、(2020平昌.中考模拟) 如图,点I和O分别是△ABC的内心和外心,则∠AIB和∠AOB的关系为()A . ∠AIB=∠AOB B . ∠AIB≠∠AOBC . 4∠AIB﹣∠AOB=360°D . 2∠AOB ﹣∠AIB=180°22、(2020广西壮族自治区.中考模拟) 如图,等边的内切圆O切边于点D,已知等边三角形的边长为12,则图中阴影部分的面积为( )A .B .C .D .23、(2020陕西.中考模拟) 如图,点为角平分线交点,,,,将平移使其顶点与重合,则图中阴影部分的周长为( )A .B .C .D .24、(2021武汉.中考模拟) 如图,是的直径,C是上一点,E 是的内心,.若,则的面积为()A .B . 2C .D . 125、(2021杭州.中考模拟) 如图,在中,,于D,⊙O为的内切圆,设⊙O的半径为R,AD的长为h,则的值为()A .B .C .D .26、(2021荆门.中考模拟) 如图,点为的内心,,,,则的面积是()A .B .C . 2D . 427、(2021海沧.中考模拟) 如图所示,在4×4的网格中,A、B、C、D、O均在格点上,则点O是()A . △ABC的内心B . △ABC的外心C . △ACD的外心D . △ACD的重心28、(2021新华.中考模拟) 如图,在中,.小丽按照下列方法作图:①作的角平分线,交于点D;②作的垂直平分线,交于点E.根据小丽画出的图形,判断下列说法中正确的是()A . 点E是的外心B . 点E是的内心C . 点E在的平分线上D . 点E到边的距离相等29、如图,已知,用尺规按照下面步骤操作:①作线段的垂直平分线;②作线段的垂直平分线,交于点O;③以O为圆心,长为半径作.结论Ⅰ:点O是的内心.结论Ⅱ:.对于结论Ⅰ和结论Ⅱ,下列判断正确的是()A . Ⅰ和Ⅱ都对B . Ⅰ和Ⅱ都不对C . Ⅰ不对Ⅱ对D . Ⅰ对Ⅱ不对30、如图,点是的内心,的延长线和的外接圆相交于点,连接,,,若,则的大小为()A .B .C .D .三角形的内切圆与内心单选题答案1.答案:B2.答案:A3.答案:C4.答案:B5.答案:C6.答案:A7.答案:A8.答案:B9.答案:D10.答案:C11.答案:B12.答案:C13.答案:C14.答案:D15.答案:D16.答案:C17.答案:C18.答案:C19.答案:B20.答案:A21.答案:C22.答案:23.答案:24.答案:25.答案:26.答案:。
河北省近年届中考数学系统复习第六单元圆滚动小专题(八)三角形的内心与外心练习(2021年整理)
河北省2019届中考数学系统复习第六单元圆滚动小专题(八)三角形的内心与外心练习编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(河北省2019届中考数学系统复习第六单元圆滚动小专题(八)三角形的内心与外心练习)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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滚动小专题(八) 三角形的外心与内心类型1三角形外心1.已知在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,则△ABC的外心在(D)A.△ABC内B.△ABC外C.BC边中点D.AC边中点2.(2018·河北模拟)如图,每个小三角形都是正三角形,则△ABC的外心是(B)A.D点B.E点C.F点D.G点3.如图,点O是正八边形ABCDEFGH的中心,则下列说法错误的是(C)A.O是△CEF的外心B.O是△CFG的外心C.O是△OAC的外心D.O是△CDE的外心4.如图是10个相同的正六边形紧密排列在同一平面上的情形.根据图中各点的位置,判断O 点是下列哪一个三角形的外心(C)A.△AB D B.△BCD C.△ACD D.△ADE5.某地有四个村庄E,F,G,H(其位置如图所示),现拟建一个电视信号中转站,信号覆盖的范围是以发射台为圆心的圆形区域.为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号,且使中转站所需发射功率最小(圆形区域半径越小,所需功率越小),此中转站应建在(C)A.线段HF的中点处B.△GHE的外心处C.△HEF的外心处D.△GEF的外心处6.在△ABC中,O是它的外心,BC=24 cm,O到BC的距离是5 cm,则△ABC的外接圆半径为(C)A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm 7.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2).若点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,则点C的坐标为(7,4)或(6,5)或(1,4).8.如图,在△ABC中,∠BAC=70°,AB=AC,O为△ABC的外心,△OCP为等边三角形,OP与AC 相交于点D,连接OA.(1)求∠OAC的度数;(2)求∠AOP的度数.解:(1)∵O为△ABC的外心,∴AO垂直平分BC。
中考数学模拟题汇总《三角形的内切圆与内心》专项练习及答案
中考数学模拟题汇总《三角形的内切圆与内心》专项练习及答案一、单选题1.下列四个命题:①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;②对角线相等的平行四边形是菱形;⑨一组邻边相等的矩形是正方形;④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心.其中真命题共有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个2.内心和外心重合的三角形是( )A .直角三角形B .钝角三角形C .等腰三角形D .等边三角形3.如图,在ABC 中, 906,8,ACB AC BC O ∠===, 是 ABC 的内切圆,连结 AO ,BO ,则图中阴影部分的面积之和为( )A .3102π-B .5142π-C .12D .144.如图,ABC 的内切圆O 与AB BC CA ,,分别相切于点D ,E ,F ,若50DEF ∠=︒,则A ∠的度数是( )A .50︒B .100︒C .90︒D .80︒5.在△ABC 中,点I 是内心,△BIC=114°,则△A 的度数为( )A .57°B .66°C .48°D .78°6.如图,△O 内切于△ABC ,切点分别为D ,E ,F ,连接OE ,OF ,DE ,DF ,乙组△A=80°,则△EDF等于( )A .40°B .45°C .50°D .80°7.在△ABC 中,已知△C=90°,BC=3,AC=4,则它的内切圆半径是( )A .32B .1C .2D .238.设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ,则下列结论不正确...的是( )A .h R r =+B .2R r =C .3r =D .3R =9.将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°,得正方形AB 1C 1D 1,B 1C 1交CD 于点E ,3则四边形AB 1ED 的内切圆半径为( ) A 31+B 33- C 31+D 33- 10.已知一个三角形的三边长分别为5、7、8,则其内切圆的半径为( )A .3B .32C 3D .23二、填空题11.如图,在ABC 中,点O 是 ABC 的内心, 48A ∠=︒ , BOC ∠= ︒ .12.如图,在扇形CAB 中,CD△AB ,垂足为D ,△E 是△ACD 的内切圆,连接AE ,BE ,则△AEB 的度数为 .13.设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R 和r ,则R—r = . 14.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有这样的一个问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”.其意思是:“如图,现有直角三角形,勾(短直角边)长为 8 步,股(长直角边)长为 15 步,问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少?”答:该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是 步.15.如图,点I 为△ABC 的内心,连AI 交△ABC 的外接圆于点D ,若2AI CD =,点E 为弦AC 的中点,连接EI ,IC ,若6IC =,5ID =,则IE 的长为 .三、解答题16.如图,在Rt△ABC 中,△ACB=90°,△O 是Rt△ABC 的内切圆,其半径为1,E ,D 是切点,△BOC=105°.求AE 的长.17.如图,圆O 是ABC 的内切圆,其中75AB BC ==,,8AC =,求其内切圆的半径.18.如图,在△ABC 中,I 是内心,O 是AB 边上一点,△O 经过B 点且与AI 相切于I 点.(1)求证:AB=AC ;(2)若BC=16,△O 的半径是5,求AI 的长.19.如图1,点I 是△ABC 的内心,AI 的延长线交△ABC 的外接圆△O 于点D .(1)求证:DB=DC=DI ;(2)若AB 是△O 的直径,OI△AD ,求tan2CAD的值. 20.如图:在三角形ABC 中,AB=5,AC=7,BC=8,求其内切圆的半径.21.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆△O于点D,连接BD,过点D作直线DM,使△BDM=△DAC.(△)求证:直线DM是△O的切线;(△)求证:DE2=DF•DA.参考答案1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】C6.【答案】C 7.【答案】B 8.【答案】C 9.【答案】B 10.【答案】C11.【答案】114 12.【答案】135° 13.【答案】1.5 14.【答案】6 15.【答案】416.【答案】解:连结OD,OE,如图所示,则OD=OE=1.∵O是△ABC的内切圆圆心,∴BO,CO分别是△ABC,△ACB的平分线,即△OBD=△OBE= 12△ABC,且△OCD=12△ACB.又∵△ACB=90°,∴△OCD= 12△ACB=45°.∵OD,OE是过切点的半径,∴OD△BC且OE△AB,∴△OCD+△COD=90°,∴△COD=△OCD=45°,∴CD=OD=1.∵△COB=105°,∴△DOB=△COB-△COD=60°.∵△OBD+△BOD=90°,∴△OBD=30°.∵OD=1,∴OB=2,∴DB=3.∵△OBD=△OBE= 12△ABC=30°,∴△ABC=60°,∴△A=30°.∵BC=BD+CD=1+ 3,∴AB=2+23.在Rt△OBE中,∵OE=1,△OBE=30°,∴BE= 3.∴AE=AB-BE=2+ 317.【答案】解:过B 作BD△AC 于D ,切点分别为E 、F 、G ,连结OE ,OF ,OG ,设AD=x ,CD=8-x , 其内切圆的半径为r ,根据勾股定理2222AB AD BC CD -=-,即()2222758x x -=--, 解方程得112x =, ∴BD=22221157322AB AD ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭, ∵圆O 是ABC 的内切圆,∴OE△AC ,OF△AB ,OG△BC ,OE=OF=OG=r , ∴S △ABC=()1111122222AC BD AB OF BC OG AC OE AB BC AC r ⋅=⋅+⋅+⋅=++⋅, ∴()AC BD AB BC AC r ⋅=++⋅,∴5832320AC BDr AB BC AC⨯⋅===++. 18.【答案】解:(1)延长AI 交BC 于D ,连结OI ,作BH△AC 于H ,如图,∵I 是△ABC 的内心,∴BI 平分△ABC ,即△OBI=△DBI , ∵OB=OI , ∴△OBI=△OIB ,∴△DBI=△OIB,∴OI△BD,∵AI为△O的切线,∴OI△AI,∴BD△AD,∵AI平分△BAC,∴△ABC为等腰三角形,∴AB=AC;(2)∵OI△BC,∴△AOI△△ABD,∴AO OI AI AB BD AD==,∴558 ABAB-=,∴AB=403,∴2232 3AB BD-=,∴AI=OIBD•AD=53220833⨯=.19.【答案】(1)证明:∵点I是△ABC的内心,∴△BAD=△CAD,△ABI=△CBI,∵△CBD=△CAD,∴△BAD=△CBD,∴△BID=△ABI+△BAD,∴△ABI=△CBI,△BAD=△CAD=△CBD,∵△IBD=△CBI+△CBD,∴△BID=△IBD,∴ID=BD , ∵△BAD=△CAD , ∴BD CD ∧∧=, ∴CD=BD , ∴DB=DC=DI ;(2)∵AB 是△O 的直径, ∴BD△AD ,OI△AD , ∴OI△BD , ∵OA=OB , ∴AI=DI ,由(1)知ID=BD , ∴AD=2BD ,BD=2OI ,设OI=x ,则BD=AI=2x ,AD=4x , ∴22AD BD +5,如图2,过O 作OE△BD 交△O 于E ,连接AE 交OI 于F ,则OE△AI , ∴AI IF OE OF=, 5IFX IF x=-, ∴52+, ∵OE△BD , ∴BE DE ∧∧=, ∴△DAE=12△BAD=12△CAD , ∴tan△DAE=tan2CAD∠=52xIF AI+=5﹣2.20.【答案】解:如图,作 AD BC ⊥ ,设 BD x = ,则 8CD x =- ,由勾股定理可知: 2222AB BD AC CD -=- , 则 ()2225498x x -=-- ,解得 52x =,则 53AD = , 故 11538103222ABCSBC AD =⋅=⨯⨯=, 由三角形的内切圆性质,可得: ()12ABCS r AB BC AC =++ 22033578ABC S r AB BC AC ∴===++++ .21.【答案】解:(△)如图所示,连接OD ,∵点E 是△ABC 的内心, ∴△BAD=△CAD , ∴BD = CD , ∴OD△BC ,又∵△BDM=△DAC ,△DAC=△DBC , ∴△BDM=△DBC , ∴BC△DM , ∴OD△DM ,∴直线DM 是△O 的切线;(△)如图所示,连接BE,∵点E是△ABC的内心,∴△BAE=△CAE=△CBD,△ABE=△CBE,∴△BAE+△ABE=△CBD+△CBE,即△BED=△EBD,∴DB=DE,∵△DBF=△DAB,△BDF=△ADB,∴△DBF△△DAB,∴DFDB=DBDA,即DB2=DF•DA,∴DE2=DF•DA.。
三角形内心和外心练习题上课讲义
CEB 内心和外心一、 选择题:1、 对于三角形的外心,下列说法错误的是( )A.它到三角形三个顶点的距离相等B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径C.它是三角形三条角平分线的交点D.它是三角形三条边垂直平分线的交点2、下列命题正确的个数有( )○1过两点可以作无数个圆;○2经过三点一定可以作圆;○3任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆;○4任意一个圆有且只有一个内接三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个2、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6cm ,BC=8cm ,则它的外心与顶点C 的距离是( )A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm3、下列说法错误的是( )A.三角形有且只有一个内切圆B.若I 为△ABC 的内心,则AI 平分∠BACC.三角形的内心不一定都在三角形的内部D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上4、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3cm ,BC=4cm ,则△ABC 的外接圆的面积为( )A.254cm 2B.5πcm 2C. 254πcm 2 D.25cm 2 5、⊙O 与△ABC 分别相切于点D 、E 、F ,△ABC 的周长为20cm ,AF=5cm ,CF=3cm ,则BE 的长度为( )A.1cmB. 2cmC.3cmD.2.5cm第5题 第7题 第9题6、△ABC 内接于⊙O ,∠A=60°,⊙O 的半径为5,则BC 的长为( )527、已知,如图在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3cm ,BC=4cm ,⊙O 为Rt △ABC 的内切圆,切点为D 、E 、F ,则⊙O 的半径为( )A.12cm B.1cm C.32cm D.2cm8、等边三角形的内切圆半径为r,外接圆半径为R,高为h,则r:R:h的值为()A.1:2:3 B.1 2 C.2:1:3 D.19、如图,⊙O为△ABC的内切圆,∠C=90°,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径为( )A.45B.54C.34D.5610、△ABC内接于⊙O,∠A=60°,∠ABC、∠ACB的角平分线分别交AC、AB于点D、E,CE、BD相交于点F.以下四个结论:○1∠BFE=60°;○2BC=BD;○3EF=FD;○4BF=2DF.其中结论一定正确的是()A. ○1○2○3B.○1○3C. ○1○2○4D. ○1○2○3○4第10题第15题第16题二、填空题11、已知I是△ABC的内心,且∠BIC=130°,则∠A= ;12、已知⊙O为△ABC的内切圆,D、E、F为切点,则△DEF一定是三角形;13、已知等腰Rt△的外接圆半径是5,则其内切圆半径是;14、三角形的周长为20,面积为35,则其内切圆半径是;15、如图,⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆,则图中阴影部分的面积为16、如图,网格中的小正方形的边长均为1,小正方形的顶点叫做格点,△ABC的三个顶点都在格点上,那么△ABC的外接圆半径是17、等边三角形的边长为6cm,则这个等边三角形的外接圆半径为 cm,外接圆的面积是 cm2;18、等腰△ABC的外接圆半径是5,其底BC=4 ,则S△ABC= .三、解答题19、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,求其内心和外心之间的距离.。
2021年河北省数学中考专题复习 三角形的内心与外心
考向 1 三角形的内心
(3)已知AB=7,BC=9,若点D是△ABC的内心,过D作DF⊥BC于F,直接 写出BF的取值范围.
(3)0<BF<7.
解法提示:∵点D是△ABC的内心,∴2BF=AB+BC-AC,
∴AC=16-2BF,由三角形三边关系得2<16-2BF<16,∴0<BF<7.
考向 1 三角形的内心
A. 只有甲正确 B. 只有丙不正确 C. 甲、乙、丙都正确 D. 甲、乙、丙都不正确
考向3 三角形的内心与外心结合
考向 1 三角形的内心
(2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值;
(2)解:∵AD=6,∴PD=6-x;如解图①,
当AD⊥BC时,x最小,PD最大.
∵∠B=30°,AB=6,
1
1
∴x=2 AB= 2 ×6=3,∴PD的最大值为3;
考向 1 三角形的内心
(3)当AB⊥AC时,∠AIC的取值范围为m°<∠AIC<n°, 分别直接写出m,n的值.
(3)40°<α<130°.
考向3 三角形的内心与外心结合
27. 如图,在△ABC中,∠BOC=140°,I是△ABC的内心,O是外心,则 ∠BIC等于( B)
A. 130°
B. 125°
C. 120°
D. 115°
考向3 三角形的内心与外心结合
28. (2020随州)设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半 径分别为h、r、R,则下列结论不正确的是( C )
考向 2 三角形的外心
15. (2016河北9题3分)如图为4×4的网格图,A,B,C,D,O均在格点上, 点O是( B ) A. △ACD的外心 B. △ABC的外心 C. △ACD的内心 D. △ABC的内心
专题35 内外心综合问题(解析版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练
专题35 内外心综合问题【规律总结】1、内心(1)定义:三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
(2)三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r ③2)(c b a r S ++=(r 为内切圆半径) ④在Rt △ABC 中,∠C=90°,r=(a+b -c)/2.⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90°+∠B/22、外心(1)定义:三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
(2)三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心. ②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合。
③锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R ⑤∠BOC=2∠BAC ,∠AOB=2∠ACB ,∠COA=2∠CBA ⑥S △ABC=abc/4R【典例分析】例1.(2020·浙江省黄岩实验中学九年级期中)如图,扇形AOD 中,90AOD ∠=︒,6OA =,点P 为弧AD 上任意一点(不与点A 和D 重合),PQ OD ⊥于Q ,点I 为OPQ △的内心,过O ,I 和D 三点的圆的半径为r .则当点P 在弧AD 上运动时,r 的值满足( )A .03r <<B .3r =C .3r <<D .r =【答案】D【分析】连OI ,PI ,DI ,由△OPH 的内心为I ,可得到△PIO=180°-△IPO -△IOP=180°-12(△HOP+△OPH )=135°,并且易证△OPI△△ODI ,得到△DIO=△PIO=135°,所以点I 在以OD 为弦,并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上;过D 、I 、O 三点作△O′,如图,连O′D ,O′O ,在优弧AO 取点P′,连P′D ,P′O ,可得△DP′O=180°-135°=45°,得△DO′O=90°,O′O=【详解】解:如图,连OI ,PI ,DI ,△△OPH 的内心为I ,△△IOP=△IOD ,△IPO=△IPH ,△△PIO=180°-△IPO -△IOP=180°-12(△HOP+△OPH ), 而PH△OD ,即△PHO=90°,△△PIO=180°-12(△HOP+△OPH )=180°-12(180°-90°)=135°, 在△OPI 和△ODI 中,IO IO POI DOI OD OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△△OPI△△ODI (SAS ),△△DIO=△PIO=135°,所以点I 在以OD 为弦,并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上;过D 、I 、O 三点作△O′,如图,连O′D ,O′O ,在优弧DO 取点P′,连P′D ,P′O ,△△DIO=135°,△△DP′O=180°-135°=45°,△△DO′O=90°,而OD=6,△OO′=DO′=△r的值为故选D .【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心,根据题意作出辅助线,构造出全等三角形是解答此题的关键.例2.(2020·山东省昌乐第一中学九年级期中)如图,I 是ABC 的内心,AI 的延长线与ABC 的外接圆相交于点D ,与BC 交于点E ,连接BI 、CI 、BD 、DC .下列说法:①CAD DAB ∠=∠,②AI BI CI ==,③1902BIC BAC ∠=︒+∠;④点D 是BIC △的外心;正确的有______.(填写正确说法的序号)【答案】①③④【分析】利用三角形内心的性质得到BAD CAD ∠=∠,根据旋转的性质可对①进行判断;利用三角形内心的性质可对②进行判断;利用12IBC ABC ∠=∠,12ICB ACB ∠=∠和三角形内角和定理得1902BIC BAC ∠=︒+∠,可对③判断;通过证明BID DBI ∠=∠,可得BD DI =,在证明BD CD =,可对④进行判断.【详解】△I 是ABC 的内心,△AD 平分BAC ∠,即BAD CAD ∠=∠,△CAD ∠绕点A 顺时针旋转一定的角度一定能和DAB ∠重合,△①正确;△I 是ABC 的内心,△点I 到三角形三边距离相等,△②错误;△BI 平分ABC ∠,CI 平分ACB ∠, △12IBC ABC ∠=∠,12ICB ACB ∠=∠, △()111801809022BIC IBC ICB ABC ACB BAC ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒+∠ △③正确; △IBC IBA ∠=∠,BAI CAD CBD ∠=∠=∠,△BAI ABI IBC DBC ∠+∠=∠+∠,△BID DBI ∠=∠,△BD DI =,△CAD BAD ∠=∠,△BD CD=,=,△BD CD==,△BD CD DI△的外心,△点B、I、C在以点D为圆心,DB为半径的圆上,即点D是BIC△④正确.故答案为:①③④.【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心的性质,以及旋转的性质和三角形外心,熟练掌握三角形内切圆以及内心的性质是解答本题的关键.例3.(2020·陕西九年级专题练习)问题提出(1)如图①,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点O是△ABC的外接圆的圆心,则OB的长为问题探究(2)如图②,已知矩形ABCD,AB=4,AD=6,点E为AD的中点,以BC为直径作半圆O,点P为半圆O上一动点,求E、P之间的最大距离;问题解决(3)某地有一块如图③所示的果园,果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的,果园主人现要从入口D到BC上的一点P修建一条笔直的小路DP.已知AD△BC,△ADB=45°,BD=BC=160米,过弦BC的中点E作EF△BC交BC于点F,又测得EF=40米.修建小路平均每米需要40元(小路宽度不计),不考虑其他因素,请你根据以上信息,帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元?【答案】(1)254;(2)E、P之间的最大距离为7;(3)修建这条小路最多要花费4000)元.【分析】(1)若AO交BC于K,则AK=8,在Rt△BOK中,设OB=x,可得x2=62+(8﹣x)2,解方程可得OB的长;(2)延长EO交半圆于点P,可求出此时E、P之间的最大距离为OE+OP的长即可;(3)先求出BC所在圆的半径,过点D作DG△BC,垂足为G,连接DO并延长交BC于点P,则DP为入口D到BC上一点P的最大距离,求出DP长即可求出修建这条小路花费的最多费用.【详解】(1)如图,若AO交BC于K,△点O是△ABC的外接圆的圆心,AB=AC,△AK△BC,BK=162BC=,△AK8=,在Rt△BOK中,OB2=BK2+OK2,设OB=x,△x2=62+(8−x)2,解得x=254,△OB=254;故答案为:254.(2)如图,连接EO,延长EO交半圆于点P,可求出此时E、P之间的距离最大,△在BC是任意取一点异于点P的P′,连接OP′,P′E,△EP=EO+OP=EO+OP′>EP′,即EP>EP′,△AB=4,AD=6,△EO=4,OP=OC=13 2BC ,△EP=OE+OP=7,△E、P之间的最大距离为7.(3)作射线FE交BD于点M,△BE=CE,EF△BC,BC是劣弧,△BC所在圆的圆心在射线FE上,假设圆心为O,半径为r,连接OC,则OC=r,OE=r−40,BE=CE=180 2BC=,在Rt△OEC中,r2=802+(r−40)2,解得:r=100,△OE=OF−EF=60,过点D作DG△BC,垂足为G,△AD△BC,△ADB=45°,△△DBC=45°,在Rt△BDG中,DG=BG120=,在Rt△BEM中,ME=BE=80,△ME>OE,△点O在△BDC内部,△连接DO并延长交BC于点P,则DP为入口D到BC上一点P的最大距离,△在BC上任取一点异于点P的点P′,连接OP′,P′D,△DP=OD+OP=OD+OP′>DP′,即DP>DP′,过点O作OH△DG,垂足为H,则OH=EG=40,DH=DG−HG=DG−OE=60,△OD=,△DP=OD+r=100,△修建这条小路最多要花费40×100)4000)=元.【点睛】本题主要考查了圆的性质与矩形性质的综合运用,熟练掌握相关方法是解题关键.【好题演练】一、单选题1.(2020·江苏苏州市·九年级期中)10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内,A 、B 、C 、D 、E 、O 均是正六边形的顶点.则点O 是下列哪个三角形的外心( ).A .AEDB .ABD △C .BCD △ D .ACD △【答案】D【分析】 根据三角形外心的性质,到三个顶点的距离相等,可以依次判断.【详解】答:因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,所以由正六边形性质可知,点O 到A ,B ,C ,D ,E 的距离中,只有OA=OC=OD .故选:D .【点睛】此题主要考查了三角形外心的性质,即到三角形三个顶点的距离相等.2.(2020·上饶市广信区第七中学九年级月考)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,AOB ∆为Rt ∆,点A 的坐标是()10,,60BAO ∠=︒,把Rt AOB ∆绕点A 按顺时针方向旋转90︒后,得到Rt AO B ''∆,则Rt AO B ''∆的外接圆圆心坐标是( )A .112⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭, B .12⎫⎪⎪⎝⎭, C .1⎫⎪⎪⎝⎭ D .12⎛ ⎝⎭ 【答案】A【分析】取AB'中点P ,过点P 分别作PE△x 轴,根据旋转的性质可得AB =AB',△BAB'=90°,△B'O'A=△BOA =90°,先说明Rt AO B ''∆的外接圆圆心为点P ,再利用点A 的坐标是()10,,60BAO ∠=︒,求得AB 长,进而可得AB'的长,在求得△PAE =30°,在Rt△PAE 中,利用30°角的性质及勾股定理即可求得答案.【详解】解:如图,取AB'中点P ,过点P 分别作PE△x 轴,垂足为点E ,连接PO',△把Rt AOB ∆绕点A 按顺时针方向旋转90︒后,得到Rt AO B ''∆,△AB =AB',△BAB'=90°,△B'O'A =△BOA =90°,△点P为AB'的中点,△PA=PB'=PO'=12AB',△Rt AO B''∆的外接圆圆心为点P,△△BAO=60°,△AOB=90°,△△ABO=90°-△BAO=30°,△OA=12 AB,△点A的坐标为(1,0),△OA=1,△AB'=AB=2OA=2,△PA=12AB'=1,△△BAB'=90°,△BAO=60°,△△PAE=180°-△BAB'-△BAO=30°,△PE=12PA=12,△在Rt△PEA中,2AE===,△点P的坐标为1122⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭,.【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理,直角三角形的外接圆等相关知识,熟练掌握含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解决本题的关键.二、填空题3.(2020·杭州市建兰中学九年级月考)如图,ABC 中,90,40BAC B ︒︒∠=∠=,BC 边上有一点P (不与点,B C 重合),I 为APC △的内心,若AIC ∠的取值范围为m AIC n ︒︒<∠<,则m n +=_______.【答案】265︒【分析】I 为△APC 的内心,即I 为△APC 角平分线的交点,应用三角形内角和定理及角平分线定义即可表示出△AIC ,从而得到m ,n 的值即可.【详解】设BAP x ∠=,则40APC B BAP x ︒∠=∠+∠=+,则180140PAC PCA APC x ︒︒∠+∠=-∠=-,△I 为△APC 的内心,△AI 、CI 分别平分△PAC ,△PCA , △1180()180()2AIC IAC ICA PAC PCA ︒︒∠=-∠+∠=-∠+∠ ()11801402x ︒︒=-- 1102x ︒=+, △090x ︒︒<<,△1101101552x ︒︒︒<+<, 即110155AIC ︒︒<∠<,△110m =︒,155n =︒△265m n ︒+=,故答案为:265︒.【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心,三角形内角和定理,角平分线定义等,熟练掌握内心的性质是解题的关键.4.(2020·福建南平市·九年级期中)如图,AB 是△O 的直径,且AB =4,点C 是半圆AB 上一动点(不与A ,B 重合),CD 平分△ACB 交△O 于点D ,点 I 是△ABC 的内心,连接BD .下列结论:①点D 的位置随着动点C 位置的变化而变化;②ID =BD ;③OI 1;④AC +BC CD .其中正确的是 _____________ .(把你认为正确结论的序号都填上)【答案】②④【分析】①在同圆或等圆中,根据圆周角相等,则弧相等可作判断;②连接IB ,根据点I 是△ABC 的内心,得到ABI CBI ∠=∠,可以证得 DBI DIB ∠=∠,即有ID BD =,可以判断②正确;③当OI 最小时,CD 经过圆心O ,作IE BC ⊥,根据等腰直角三角形的性质和勾股定理,可求出2IO =,可判断③错误;④用反证法证明即可.【详解】解: CD 平分ACB ∠,AB 是△O 的直径,45ACD BCD ∴∠=∠=,∴AD BD =, AB 是O 的直径,D ∴是半圆的中点,即点D 是定点;故①错误;如图示,连接IB ,△点I是△ABC的内心,∠=∠△ABI CBI又△45∠=∠=,ABD ACD△45DBI ABD ABI ABI∠=∠+∠=+∠∠=∠+∠=+∠DIB DCB CBI ABI45∠=∠即有DBI DIB△ID BD=,故②正确;如图示,当OI最小时,CD经过圆心O,⊥,交BC于E点过I点,作IE BC△点I是△ABC的内心,CD经过圆心O,=,△IO IE△45∠=BCD△CIE是等腰直角三角形,AB=,又△4设IO x =,则=IE CE x =,2IC x =-,△()2222x x x +=-,解之得:2x =,即:2IO =,故③错误;假设AC BC +≠,△点C 是半圆AB 上一动点,则点C 在半圆AB 上对于任意位置上都满足AC BC +≠,如图示,当CD 经过圆心O 时,AC BC ==,4CD =,△AC B D C +==与假设矛盾,故假设不成立,△AC BC +综上所述,正确的是②④,故答案是:②④【点睛】此题考查了三角形的内心的定义和性质,等腰直角三角形的判定与性质,三角形外接圆有关的性质,角平分线的定义等知识点,熟悉相关性质是解题的关键.三、解答题5.(2020·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级一模)如图,在△DAM内部做Rt△ABC,AB 平分△DAM,△ACB=90°,AB=10,AC=8,点N为BC的中点,动点E由A点出发,沿AB 运动,速度为每秒5个单位,动点F由A点出发,沿AM运动,速度为每秒8个单位,当点E到达点B时,两点同时停止运动,过A、E、F作△O.(1)判断△AEF的形状为,并判断AD与△O的位置关系为;(2)求t为何值时,EN与△O相切,求出此时△O的半径,并比较半径与劣弧AE长度的大小;(3)直接写出△AEF的内心运动的路径长为;(注:当A、E、F重合时,内心就是A 点)(4)直接写出线段EN与△O有两个公共点时,t的取值范围为.(参考数据:sin37°=35,tan37°=34,tan74°≈247,sin74°≈2425,cos74°≈725)【答案】(1)等腰三角形,相切;(2)t=1,半径为256,劣弧AE长度大于半径;(3;(4)1≤t≤73 57【分析】(1)过点E作EH△AF于H,连接OA、OE、OH,由勾股定理求出BC6,设运动时间为t,则AE=5t,AF=8t,证明△EAH△△BAC,得出AE ABAH AC=,求出AH=4t,则FH=AF﹣AH=4t,AH=FH,得出△AEF是等腰三角形,证明E、H、O三点共线,得出△OAF+△AOE =90°,由AB平分△DAM,得出△DAE=△EAF=△EFA,由圆周角定理得出△AOE=2△EFA,则△DAF+△OAF=90°=△DAO,即OA△AD,即可得出AD与△O相切;(2)连接OA、OF、OE,OE于AC交于H,易证四边形EHCN为矩形,得出EH=NC,由勾股定理得出EH3t,则NC=3t,BC=2NC=6t,由BC=6,得出t=1,则AH=4,EH=3,设△O的半径为x,则OH=x﹣3,由勾股定理得出OA2=OH2+AH2,解得x=256,得出OH=76,tan△AOH=247,得出△AOH=74°,由△AOH=60°时,△AOE是等边三角形,AE=OA,74°>60°,得出AE>OA,则劣弧AE长度的大于半径;(3)当点E运动到B点时,t=2,AF=16,AE=EF=AB=10,此时△AEF的内心记为G,当A、E、F重合时,内心为A点,△AEF的内心运动的路径长为AG,作GP△AE于P,GQ△EF于Q,连接AG、GF,则CG=PG=NQ,S△AEF=12AF•BC=48,设CG=PG=NQ=a,则S△AEF=S△AGF+S△AEB+S△FEG=12AF•CG+12AE•PG+12EF•NQ=12×(16+10+10)a=48,解得a=83,由勾股定理得出AC2+CG2=AG2,得出AG(4)分别讨论两种极限位置,①当EN与△O相切时,由(2)知,t=1;②当N在△O上,即ON为△O的半径,连接OA、ON、OE,OE交AC于H,过点O作OK△BC于K,则四边形OKCH为矩形,OA=OE=ON,得出OH=CK,AH=4t,EH=3t,设△O的半径为x,由勾股定理得出AH2+OH2=OA2,解得x=256t,则OH=CK=76t,由勾股定理得出222OK KN ON+=,解得t=7357,即可得出结果.【详解】(1)过点E作EH△AF于H,连接OA、OE、OH,如图1所示:△△ACB=90°,AB=10,AC=8,△BC6,设运动时间为t,则AE=5t,AF=8t,△△AHE=△ACB=90°,△EAH=△BAC,△△EAH△△BAC,△AE ABAH AC=,即5108tAH=,△AH=4t,△FH=AF﹣AH=8t﹣4t=4t,△AH=FH,△EH△AF,△△AEF是等腰三角形,△E为AF的中点,△EAF=△EFA,△AH=FH,△OH△AC,△E、H、O三点共线,△△OAF+△AOE=90°,△AB平分△DAM,△△DAE=△EAF=△EFA,△△AOE=2△EFA,△△AOE=△DAE+△EAF=△DAF,△△DAF+△OAF=90°=△DAO,即OA△AD,△OA为△O的半径,△AD与△O相切;故答案为:等腰三角形,相切;(2)连接OA、OF、OE,OE于AC交于H,如图2所示:由(1)知:EH△AC,△EN与△O相切,△△OEN=90°,△△ACB=90°,△四边形EHCN为矩形,△EH=NC,在Rt△AHE中,EH3t,△NC=3t,△点N为BC的中点,△BC=2NC=6t,△BC=6,△6t=6,△t=1,△AH=4,EH=3,设△O的半径为x,则OH=x﹣3,在Rt△AOH中,由勾股定理得:OA2=OH2+AH2,即x2=(x﹣3)2+42,解得:x=256,△△O的半径为256,△OH=26,△tan△AOH=476=247,△△AOH=74°,△△AOH=60°时,△AOE是等边三角形,AE=OA,74°>60°,△AE>OA,△劣弧AE长度的大于半径;(3)当点E运动到B点时,t=10÷5=2,△AF=2×8=16,AE=EF=AB=10,此时△AEF的内心记为G,当A、E、F重合时,内心为A点,△△AEF的内心运动的路径长为AG,作GP△AE于P,GQ△EF于Q,连接AG、GF,则CG=PG=NQ,如图3所示:S△AEF=12AF•BC=12×16×6=48,设CG=PG=NQ=a,则S△AEF=S△AGF+S△AEB+S△FEG=12AF•CG+12AE•PG+12EF•NQ=12×(16+10+10)a=48,解得:a=83,在Rt△AGC中,AC2+CG2=AG2,即82+(83)2=AG,△AG(4)分别讨论两种极限位置,①当EN与△O相切时,由(2)知,t=1;②当N在△O上,即ON为△O的半径,连接OA、ON、OE,OE交AC于H,过点O作OK△BC于K,如图4所示:则四边形OKCH为矩形,OA=OE=ON,△OH=CK,AH=4t,EH=3t,设△O的半径为x,则在Rt△AOH中,AH2+OH2=OA2,即(4t)2+(x﹣3t)2=x2,解得:x=256t,△OH=CK=256t﹣3t=76t,在Rt△OKN中,OK2+KN2=ON2,即(8﹣4t)2+(3+76t)2=(256t)2,解得:t=73 57,△线段EN与△O有两个公共点时,t的取值范围为:1≤t≤73 57,故答案为:1≤t≤7357. 【点睛】本题考查圆的综合,还用到了三角函数和勾股定理,注意在动点问题的处理中,我们要先找出动点运动时的分界点,将动点问题转化为顶点问题来解决.6.(2020·浙江宁波市·九年级学业考试)如图,AB 为△O 的直径,点C 为AB 下方的一动点,连结OC ,过点O 作OD △OC 交BC 于点D ,过点C 作AB 的垂线,垂足为F ,交DO 的延长线于点E .(1)求证:EC =ED .(2)当OE =OD ,AB =4时,求OE 的长.(3)设OE ED=x ,tan B =y . ①求y 关于x 的函数表达式;②若△COD 的面积是△BOD 的面积的3倍,求y 的值.【答案】(1)见解析;(2)OE =3;(3)①y (0<x <1),②y =2. 【分析】(1)先证明△ECD=△EDC ,即可证明EC =ED ;(2)先证明△ECD是等边三角形,即可说明△E=60°,然后再说明△EOC是直角三角形,最后解直角三角形即可;(3)①连接AC.先证明x=EOEC=OFCO,再证得tan tanAFB ACF yCF∠=∠==;令OC=k,则OF=kx,然后再利用勾股定理求得CF、AF,即可求得函数解析式;②作OH△BC于H,设BD=m,根据相似三角形的性质用m表示出OH、BH,然后代入函数解析式即可.【详解】(1)证明:△OD△OC,△△COD=90°,△△OCD+△ODC=90°,△EC△AB,△△CEB=90°,△△B+△ECB=90°,△OC=OB,△△B=△OCD,△△ODC=△ECB,△EC=EB.(2)解:△OE=OD,OC△ED,△CE=CE,△EC=ED,△EC=ED=CD,△△ECD是等边三角形,△△E =60°,在Rt△EOC 中,△△EOC =90°,OC =12AB =2,△OE =tan 60OC ︒. (3)解:①连接AC .△EC =ED ,△EOC =90° △EO ED =EO EC=sin△ECO , △△OFC =90°,△sin△ECO =OF OC, △x =EO EC =OF CO, △AB 是直径,△△ACB =90°,△CE △AB ,△△AFC =90°,△△ACF +△A =90°,△B +△A =90°,△△ACF =△B ,△tan△B =tan△ACF =AF CF=y ,令OC =k ,则OF =kx ,CF k△AF =OA ﹣OF =k ﹣kx =k (1﹣x ),△y =AFCF 0<x <1). ②作OH △BC 于H .设BD =m ,△△COD 的面积是△BOD 的面积的3倍,△CD =3BD =3m ,CB =4m ,△OH △BC ,△CH =BH =2m ,△HD =m ,△△OCH +△COH =90°,△COH +△DOH =90°,△△OCH =△DOH ,△△OHC =△OHD =90°,△△OHC △△DHO , △OH DH =CH OH, △OH 2=2m 2,△OH m ,△y =tan B =OH BH【点睛】本题属于圆的综合题,主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识,掌握用参数解决问题、添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键.。
2022年中考数学复习:圆的内心和外心综合解答题
2022年中考数学复习:圆的内心和外心综合解答题1.如图,已知点D在O的直径AB延长线上,点C为O上,过D作ED AD⊥,与AC的延长线相交于E,CD为O的切线,2AE=.AB=,3(1)求证:CD DE=;(2)求BD的长;(3)若ACB∠的平分线与O交于点F,P为ABC的内心,求PF的长.2.如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD△BC,垂足为点F,△ABC的平分线交AD 于点E,连接BD,CD.(1)求证:BD=CD;(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由.3.如图1,在△ABC中,AB=AC,△O是△ABC的外接圆,过点C作△BCD=△ACB 交△O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.(1)求证:ED=EC;(2)求证:AF是△O的切线;(3)如图2,若点G是△ACD的内心,BC•BE=25,求BG的长.4.如图,O 的直径AB 为10cm ,弦AC 为6,cm ACB ∠的平分线交O 于点D . (1)求AD 的长;(2)试探究CA CB CD 、、之间的等量关系,并证明你的结论;(3)连接,OD P 为半圆ADB 上任意一点,过P 点作PE OD ⊥于点E ,设OPE ∆的内心为M ,当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时,求内心M 所经过的路径长5.如图1,在△ABC 中,I 是内心,AB =AC ,O 是AB 边上一点,以点O 为圆心,OB 为半径的△O 经过点I .(1)求证:AI 是△O 的切线;(2)如图2,连接CI 交AB 于点E ,交△O 于点F ,若tan△IBC =12,求BE AE.6.如图,点E 是△ABC 的内心,AE 的延长线交BC 于点F ,交△ABC 的外接圆△O 于点D ,连接BD ,过点D 作直线DM ,使△BDM=△DAC .(1)求证:直线DM 是△O 的切线;(2)求证:DE 2=DF•DA .7.如图,半径为4的O 中,弦AB 的长度为C 是劣弧AB 上的一个动点,点D 是弦AC 的中点,点E 是弦BC 的中点,连接DE ,OD ,OE .(1)求AOB ∠的度数;(2)当点C 沿着劣弧AB 从点A 开始,逆时针运动到点B 时,求ODE ∆的外心P 所经过的路径的长度;(3)分别记,ODE CDE ∆∆的面积为12,S S ,当221221S S -=时,求弦AC 的长度.8.如图,在五边形ABCDE 中,90BCD EDC ∠=∠=︒,BC ED =,AC CD AD ==.(1)求证:ABC AED ∆∆≌;(2)当140B ∠=︒时,求BAE ∠的度数;(3)如果ABC ∆的外心与ACD ∆的内心重合,请直接写出B 的度数.9.如图,A B ∠=∠,AE BE =,点D 在AC 边上,12∠=∠.()1求证:AEC △△BED ;()2若75C ∠=︒,求AEB ∠的度数;()3若90AEC ∠=︒,当AEC △的外心在直线DE 上时,2CE =,求AE 的长.10.如图,O 是△ABC 的外心,I 是△ABC 的内心,连接AI 并延长交BC 和△O 于D ,E .(1)求证:EB =EI ;(2)若AB=8,AC=6,BE=4,求AI的长.11.如图,四边形ABCD是△O的内接四边形,对角线AC是△O的直径,AB=2,I是△ADC的内心,△ADB=45°.(1)求△O半径的长;(2)求证:BC=BI.12.如图,AB是△O的直径,点M是△ABC的内心,连接BM并延长交AC于点F交△O于点E,连接OE与AC相交于点D.BC(1)求证:OD=12(2)求证:EM=EA13.如图,△O为△ABC的外接圆,AC=BC,D为OC与AB的交点,E为线段OC延长线上一点,且△EAC=△ABC.(1)求证:直线AE是△O的切线.(2)若D为AB的中点,CD=6,AB=16,求△O的半径;(3)在(2)的基础上,点F在△O上,且BC BF,△ACF的内心点G在AB边上,求BG的长.14.如图,在△ABC中,AB=AC,△BAC与△ABC的角平分线相交于点E,AE的延长线交△ABC的外接圆于点D,连接BD.(1)求证:△BAD=△DBC;(2)证明:点B、E、C在以点D为圆心的同一个圆上;(3)若AB=5,BC=8,求△ABC内心与外心之间的距离.15.如图,点E是ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交ABC的外接圆O点D .过D 作直线DM BC ∥.(1)求证:DM 是O 的切线;(2)求证:DE BD =;(3)若DE =8BC =,求O 的半径.16.如图1,在ABC 中,30,24cm A B AB ∠=∠=︒=,点D 和点E 分别从点A 、点B 同时出发,在线段AB 上以2cm /s 做等速运动,分别到达点B 、点A 后停止运动.设运动时间为t 秒.(1)求证:ADC BEC ≌;(2)若AC AE =,求ADC ∠的度数;(3)当△ADC 的外心在其外部时,请直接写出t 的取值范围.17.如图,线段6AB =,以AB 为直径作O ,C 为O 上一点,过点B 作O 的切线交AC 的延长线于点D ,连接BC .(1)求证:BCD ABD ∽(2)若50D ∠=︒,求BC 的长.(3)点P 在线段AC 上运动,直接写出PBD △的外心运动的路径长.18.如图,点O 为线段AB 的中点,点C 为线段OA 上一点(不与O ,A 重合),以点O 为圆心,OC 为半径作圆O 交线段OB 于点D 、△EAB =△FBA =60°,AE =BF =2,AB =10,连接EC ,FD .(1)求证:EC =DF ;(2)当EC 与圆O 相切时,求OC 的长度;(3)直接写出△AEC 的外心在该三角形内部时,△E 的取值范围.19.如图,点A B 、分别在DPE ∠两边上,且PA PB =,以AB 为直径作半圆O ,点C 是半圆O 的中点(1)连接AC BC 、,求证: PAC PBC ≌;(2)若60APB ∠=︒, 4PA =,求阴影部分面积(3)若点O 是PAB △的外心,判断四边形APBC 的形状,并说明理由20..如图所示,已知锐角△ABC 的外接圆半径R =1,△BAC =60°,△ABC 的垂心和外心分别为H、O,连接OH、BC交于点P(1)求凹四边形ABHC的面积;(2)求PO·OH的值.。
2021年河北省中考数学 外心、内心备考
2021年河北省中考外心、内心备考2016年的第9题就是由2010年的第6题改编而来。
2018年的第15题和2019年的第23题都考的内心,都源自课本。
外心:三角形外接圆的圆心(三角形三边的垂直平分线的交点)。
圆和三角形的位置关系是圆在三角形的外部,所以叫外接圆的圆心,简称外心。
外心的特点:锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心在斜边中点,钝角三角形的外心在三角形外部,并且在最大的角所对的方向。
现在分析河北省近几年外心考点。
2010年是河北省第一考外心,虽然没有出现外心这个词,但是连接A 、B 、C 三点,形成△ABC,△ABC 是钝角三角形,找三角形的外心,找任意两个边的垂直平分线的交点即可。
首先画出AB 边的垂直平分线,可以确实外心为Q 点或M 点,再画出BC 的垂直平分线,交点为Q.20106.如图3,在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A ,B ,C 三点, 那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A .点P B .点Q C .点R D .点M分析:这是河北省刚开始考尺规作图时设计的此题,考到了线段垂直平分线的画法,钝角三角形的外心。
20156.如图3,AC ,BE 是⊙O 的直径,弦AD 与BE 交于点F ,下列三角形中,外心不是..点O 的是( ) A.△ABE B.△ACF C.△ABD D.△ADE此题设计出了锐角、直角、钝角三角形的外心的位置考点,同学们要总结一下。
FE FEFEFEOOOOABDC ABDCABDCABDC20169.图示为4×4的网格图,A ,B ,C ,D ,O 均在格点上,点O 是()A .△ACD 的外心B .△ABC 的外心 C .△ACD 的内心 D .△ABC 的内心此题考到了钝角三角形的外心在三角形的外部。
选项A,△ACD 是直角三角形,外心在斜边的中点;选项B,△ABC 是钝角三角形,外心在三角形的外部,在任意两边的垂直平分线上,作出AC 的垂直平分线,和BC 的垂直平分线可,如下图选项C .△ACD 的内心我们也要在图中用尺规画出来,既然出现了内心,就显示出明年可以考内心这个考点。
备考2021年中考数学复习专题:图形的性质_圆_三角形的外接圆与外心,单选题专训及答案
A . AC=BC+CD B . AC=BC+CD C . AC=BC+CD D . 2AC=BC+CD 7、 (2017农安.中考模拟) 如图,⊙O是△ABC的外接圆,点C、O在弦AB的同侧.若∠ACB=40°,则∠ABO的大小为( )
A . △ACD的外心 B . △ABC的外心 C . △ACD的内心 D . △ABC的内心 14、 (2020永宁.中考模拟) 如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B、C为圆心,以大于
BC的长为半径
作弧,两弧相交于点M、N;②作直线MN交AB于点D,连接CD,若CD=AD,∠B=20°,则下列结论中错误的是(
16、 (2015襄阳.中考真卷) 点O是△ABC的外心,若∠BOC=80°,则∠BAC的度数为( ) A . 40° B . 100° C . 40°或140° D . 40°或100° 17、 (2018福田.中考模拟) 下列命题错误的是( ) A . 经过三个点一定可以作圆 B . 同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等 C . 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 D .
A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ①②③
9、 (2019南浔.中考模拟) 小明在学了尺规作图后,通过“三弧法”作了一个△ACD,其作法步骤是:①作线段AB,分别以A ,B为圆心,AB长为半径画弧,两弧的交点为C;②以B为圆心,AB长为半径画弧交AB的延长线于点D;③连结AC,BC ,CD.下列说法不正确的是( )
山西省吕梁市2021年中考数学核心考点题集合及答案(含解析)
山西省吕梁市2021年中考数学核心考点题集合及答案(含解析)一、单选题1、根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是()A.B.C.D.【分析】根据三角形外心的定义,三角形外心为三边的垂直平分线的交点,然后利用基本作图格选项进行判断.【解答】解:三角形外心为三边的垂直平分线的交点,由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线,从而可用直尺成功找到三角形外心.故选:C.【点评】本题考查了作图﹣基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).也考查了三角形的外心.2、对于题目:“如图1,平面上,正方形内有一长为12、宽为6的矩形,它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长x,再取最小整数n.甲:如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去;结果取n=13.乙:如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取n=14.丙:如图4,思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去;结果取n=13.下列正确的是()A.甲的思路错,他的n值对B.乙的思路和他的n值都对C.甲和丙的n值都对D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对【分析】平行四边形的性质矩形都具有;②角:矩形的四个角都是直角;③边:邻边垂直;④对角线:矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形,又是中心对称图形.它有2条对称轴,分别是每组对边中点连线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点.【解答】解:甲的思路正确,长方形对角线最长,只要对角线能通过就可以,但是计算错误,应为n=14;乙的思路与计算都正确;丙的思路与计算都错误,图示情况不是最长;故选:B.【点评】本题考查了矩形的性质与旋转的性质,熟练运用矩形的性质是解题的关键.3、若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3﹣m,n)、D(,y2)、E(2,y3),则y1、y2、y3的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y3<y2<y1D.y2<y3<y1【分析】由点A(m,n)、C(3﹣m,n)的对称性,可求函数的对称轴为x=,再由B(0,y1)、D(,y2)、E(2,y3)与对称轴的距离,即可判断y1>y3>y2;【解答】解:∵经过A(m,n)、C(3﹣m,n),∴二次函数的对称轴x=,∵B(0,y1)、D(,y2)、E(2,y3)与对称轴的距离B最远,D最近,∵|a|>0,∴y1>y3>y2;故选:D.【点评】本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键.4、已知点A的坐标为(2,1),将点A向下平移4个单位长度,得到的点A′的坐标是()A.(6,1)B.(﹣2,1)C.(2,5)D.(2,﹣3)【分析】将点A的横坐标不变,纵坐标减去4即可得到点A′的坐标.【解答】解:∵点A的坐标为(2,1),∴将点A向下平移4个单位长度,得到的点A′的坐标是(2,﹣3),故选:D.【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移,平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.正确掌握规律是解题的关键.5、已知点A(1,﹣3)关于x轴的对称点A'在反比例函数y=的图象上,则实数k的值为()A.3 B.C.﹣3 D.﹣【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为(1,3),然后把A′的坐标代入y=中即可得到k的值.【解答】解:点A(1,﹣3)关于x轴的对称点A'的坐标为(1,3),把A′(1,3)代入y=得k=1×3=3.故选:A.【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是双曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.6、如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为()A.4B.4C.10 D.8【分析】连接AE,由线段垂直平分线的性质得出OA=OC,AE=CE,证明△AOF≌△COE得出AF=CE=5,得出AE=CE=5,BC=BE+CE=8,由勾股定理求出AB==4,再由勾股定理求出AC即可.【解答】解:连接AE,如图:∵EF是AC的垂直平分线,∴OA=OC,AE=CE,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD∥BC,∴∠OAF=∠OCE,在△AOF和△COE中,,∴△AOF≌△COE(ASA),∴AF=CE=5,∴AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=8,∴AB===4,∴AC===4;故选:A.【点评】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,熟练掌握矩形的性质和勾股定理,证明三角形全等是解题的关键.7、下面命题正确的是()A.矩形对角线互相垂直B.方程x2=14x的解为x=14C.六边形内角和为540°D.一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确;由方程x2=14x的解为x=14或x=0得出选项B不正确;由六边形内角和为(6﹣2)×180°=720°得出选项C不正确;由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确;即可得出结论.【解答】解:A.矩形对角线互相垂直,不正确;B.方程x2=14x的解为x=14,不正确;C.六边形内角和为540°,不正确;D.一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,正确;故选:D.【点评】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定;要熟练掌握.8、小明总结了以下结论:①a(b+c)=ab+ac;②a(b﹣c)=ab﹣ac;③(b﹣c)÷a=b÷a﹣c÷a(a≠0);④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0)其中一定成立的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【分析】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案.【解答】解:①a(b+c)=ab+ac,正确;②a(b﹣c)=ab﹣ac,正确;③(b﹣c)÷a=b÷a﹣c÷a(a≠0),正确;④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0),错误,无法分解计算.故选:C.【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.9、对于题目:“如图1,平面上,正方形内有一长为12、宽为6的矩形,它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长x,再取最小整数n.甲:如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去;结果取n=13.乙:如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取n=14.丙:如图4,思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去;结果取n=13.下列正确的是()A.甲的思路错,他的n值对B.乙的思路和他的n值都对C.甲和丙的n值都对D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对【分析】平行四边形的性质矩形都具有;②角:矩形的四个角都是直角;③边:邻边垂直;④对角线:矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形,又是中心对称图形.它有2条对称轴,分别是每组对边中点连线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点.【解答】解:甲的思路正确,长方形对角线最长,只要对角线能通过就可以,但是计算错误,应为n=14;乙的思路与计算都正确;丙的思路与计算都错误,图示情况不是最长;故选:B.【点评】本题考查了矩形的性质与旋转的性质,熟练运用矩形的性质是解题的关键.10、如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若tan∠BAC=,则此斜坡的水平距离AC为()A.75m B.50m C.30m D.12m【分析】根据题目中的条件和图形,利用锐角三角函数即可求得AC的长,本题得以解决.【解答】解:∵∠BCA=90°,tan∠BAC=,BC=30m,∴tan∠BAC=,解得,AC=75,故选:A.【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.二、填空题1、如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,E为BC上一点,把△CDE沿DE折叠,使点C落在AB边上的F处,则CE的长为.【分析】设CE=x,则BE=6﹣x由折叠性质可知,EF=CE=x,DF=CD=AB=10,所以AF=8,BF=AB﹣AF=10﹣8=2,在Rt△BEF中,BE2+BF2=EF2,即(6﹣x)2+22=x2,解得x=.【解答】解:设CE=x,则BE=6﹣x由折叠性质可知,EF=CE=x,DF=CD=AB=10,在Rt△DAF中,AD=6,DF=10,∴AF=8,∴BF=AB﹣AF=10﹣8=2,在Rt△BEF中,BE2+BF2=EF2,即(6﹣x)2+22=x2,解得x=,故答案为.【点评】本题考查了矩形,熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键.2、现有8张同样的卡片,分别标有数字:1,1,2,2,2,3,4,5,将这些卡片放在一个不透明的盒子里,搅匀后从中随机地抽出一张,抽到标有数字2的卡片的概率是.【分析】直接利用概率公式计算进而得出答案.【解答】解:∵现有8张同样的卡片,分别标有数字:1,1,2,2,2,3,4,5,∴将这些卡片放在一个不透明的盒子里,搅匀后从中随机地抽出一张,抽到标有数字2的卡片的概率是:.故答案为:.【点评】此题主要考查了概率公式,正确掌握计算公式是解题关键.3、不等式组的最小整数解是0 .【分析】求出不等式组的解集,确定出最小整数解即可.【解答】解:不等式组整理得:,∴不等式组的解集为﹣1<x≤2,则最小的整数解为0,故答案为:0【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解,熟练掌握运算法则是解本题的关键.4、如图,直线AB∥CD,直线EC分别与AB,CD相交于点A、点C,AD平分∠BAC,已知∠ACD=80°,则∠DAC的度数为50°.【分析】依据平行线的性质,即可得到∠BAC的度数,再根据角平分线的定义,即可得到∠DAC的度数.【解答】解:∵AB∥CD,∠ACD=80°,∴∠BAC=100°,又∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠BAC=50°,故答案为:50°.【点评】本题主要考查了平行线的性质,以及角平分线的定义.解题时注意:两直线平行,同旁内角互补.5、《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”小辉同学根据原文题意,画出圆材截面图如图所示,已知:锯口深为1寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),则该圆材的直径为26 寸.【分析】设⊙O的半径为r.在Rt△ADO中,AD=5,OD=r﹣1,OA=r,则有r2=52+(r﹣1)2,解方程即可.【解答】解:设⊙O的半径为r.在Rt△ADO中,AD=5,OD=r﹣1,OA=r,则有r2=52+(r﹣1)2,解得r=13,∴⊙O的直径为26寸,故答案为:26.【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.三、解答题(难度:中等)1、某种机器使用期为三年,买方在购进机器时,可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务,每次维修服务费为2000元.每台机器在使用期间,如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数,每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元;如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数,超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元,但无需支付工时费.某公司计划购买1台该种机器,为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务,搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数,整理得下表;维修次数8 9 10 11 12频率(台数)10 20 30 30 10(1)以这100台机器为样本,估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率;(2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据,说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务?【分析】(1)利用概率公式计算即可.(2)分别求出购买10次,11次的费用即可判断.【解答】解:(1)“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率==0.6.(2)购买10次时,某台机器使用期内维修次数8 9 10 11 12该台机器维修费用24000 24500 25000 30000 35000此时这100台机器维修费用的平均数y1=(24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10)=27300购买11次时,某台机器使用期内维修次数8 9 10 11 12该台机器维修费用26000 26500 27000 27500 32500此时这100台机器维修费用的平均数y2=(26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10)=27500,∵27300<27500,所以,选择购买10次维修服务.【点评】本题考查利用频率估计概率,加权平均数,列表法等知识,解题的关键是理解题意,熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.2、观察以下等式:第1个等式:=+,第2个等式:=+,第3个等式:=+,第4个等式:=+,第5个等式:=+,……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:;(2)写出你猜想的第n个等式:(用含n的等式表示),并证明.【分析】(1)根据已知等式即可得;(2)根据已知等式得出规律,再利用分式的混合运算法则验证即可.【解答】解:(1)第6个等式为:,故答案为:;(2)证明:∵右边==左边.∴等式成立,故答案为:.【点评】本题主要考查数字的变化规律,解题的关键是根据已知等式得出的规律,并熟练加以运用.3、先化简,再求值:(﹣)÷,其中x=.【分析】先化简分式,然后将x的值代入计算即可.【解答】解:原式==当x=时,原式==【点评】本题考查了分式的化简求值,熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.4、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P(,﹣),Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.【分析】(1)A(0,﹣)向右平移2个单位长度,得到点B(2,﹣);(2)A与B关于对称轴x=1对称;(3)①a>0时,当x=2时,y=﹣<2,当y=﹣时,x=0或x=2,所以函数与AB无交点;②a<0时,当y=2时,ax2﹣2ax﹣=2,x=或x=当≤2时,a≤﹣;【解答】解:(1)A(0,﹣)点A向右平移2个单位长度,得到点B(2,﹣);(2)A与B关于对称轴x=1对称,∴抛物线对称轴x=1;(3)∵对称轴x=1,∴b﹣2a,∴y=ax2﹣2ax﹣,①a>0时,当x=2时,y=﹣<2,当y=﹣时,x=0或x=2,∴函数与AB无交点;②a<0时,当y=2时,ax2﹣2ax﹣=2,x=或x=当≤2时,a≤﹣;∴当a≤﹣时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点;【点评】本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数图象上点的特征,数形结合讨论交点是解题的关键.5、解方程组.【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.【解答】解:,①+②得:3x=9,即x=3,把x=3代入①得:y=﹣2,则方程组的解为.【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.6、已知抛物线C1:y=(x﹣1)2﹣4和C2:y=x2(1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2?(2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=﹣x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B.请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q,连接AQ.①若AP=AQ,求点P的横坐标;②若PA=PQ,直接写出点P的横坐标.(3)如图2,△MNE的顶点M、N在抛物线C2上,点M在点N右边,两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点,ME、NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2,设M、N两点的横坐标分别为m、n,求m与n的数量关系.【分析】(1)y=(x﹣1)2﹣4向左评移1个单位长度,再向上平移4个单位长度即可得到y=x2;(2)易求点A(3,0),b=4,联立方程﹣x+4=(x﹣1)2﹣4,可得B(﹣,);设P(t,﹣t+4),Q(t,t2﹣2t﹣3),①当AP=AQ时,则有﹣4+t=t2﹣2t﹣3,求得t=;②当AP=PQ时,PQ=t2+t+7,PA=(3﹣t),则有t2+t+7=(3﹣t),求得t=﹣;(3)设经过M与N的直线解析式为y=k(x﹣m)+m2,∴,则可知△=k2﹣4km+4m2=(k﹣2m)2=0,求得k=2m,求出直线ME的解析式为y=2mx﹣m2,直线NE的解析式为y=2nx﹣n2,则可求E(,mn),再由面积[(n2﹣mn)+(m2﹣mn)]×(m﹣n)﹣(n2﹣mn)×(﹣n)﹣(m2﹣mn)×(m﹣)=2,可得(m﹣n)3=8,即可求解;【解答】解:(1)y=(x﹣1)2﹣4向左评移1个单位长度,再向上平移4个单位长度即可得到y=x2;(2)y=(x﹣1)2﹣4与x轴正半轴的交点A(3,0),∵直线y=﹣x+b经过点A,∴b=4,∴y=﹣x+4,y=﹣x+4与y=(x﹣1)2﹣4的交点为﹣x+4=(x﹣1)2﹣4的解,∴x=3或x=﹣,∴B(﹣,),设P(t,﹣t+4),且﹣<t<3,∵PQ∥y轴,∴Q(t,t2﹣2t﹣3),①当AP=AQ时,|4﹣t|=|t2﹣2t﹣3|,则有﹣4+t=t2﹣2t﹣3,∴t=,∴P点横坐标为;②当AP=PQ时,PQ=﹣t2+t+7,PA=(3﹣t),∴﹣t2+t+7=(3﹣t),∴t=﹣;∴P点横坐标为﹣;(3)设经过M与N的直线解析式为y=k(x﹣m)+m2,∴,则有x2﹣kx+km﹣m2=0,△=k2﹣4km+4m2=(k﹣2m)2=0,∴k=2m,直线ME的解析式为y=2mx﹣m2,直线NE的解析式为y=2nx﹣n2,∴E(,mn),∴[(n2﹣mn)+(m2﹣mn)]×(m﹣n)﹣(n2﹣mn)×(﹣n)﹣(m2﹣mn)×(m﹣)=2,∴(m﹣n)3﹣=4,∴(m﹣n)3=8,∴m﹣n=2;【点评】本题考查二次函数的图象及性质;是二次函数的综合题,熟练掌握直线与二次函数的交点求法,借助三角形面积列出等量关系是解决m与n的关系的关键.7、如图,⊙O的直径AB=10,弦AC=8,连接BC.(1)尺规作图:作弦CD,使CD=BC(点D不与B重合),连接AD;(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)所作的图中,求四边形ABCD的周长.【分析】(1)以C为圆心,CB为半径画弧,交⊙O于D,线段CD即为所求.(2)连接BD,OC交于点E,设OE=x,构建方程求出x即可解决问题.【解答】解:(1)如图,线段CD即为所求.(2)连接BD,OC交于点E,设OE=x.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴BC===6,∵BC=CD,∴=,∴OC⊥BD于E.∴BE=DE,∵BE2=BC2﹣EC2=OB2﹣OE2,∴62﹣(5﹣x)2=52﹣x2,解得x=,∵BE=DE,BO=OA,∴AD=2OE=,∴四边形ABCD的周长=6+6+10+=.【点评】本题考查作图﹣复杂作图,圆周角定理,解直角三角形等知识,解题的关键是学会利用参数,构建方程解决问题.8、如图①,在平面直角坐标系xOy中,已知A(﹣2,2),B(﹣2,0),C(0,2),D(2,0)四点,动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动(M不与点B、点D重合),设运动时间为t(秒).(1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式;(2)点P在(1)中的抛物线上,当M为BC的中点时,若△PAM≌△PBM,求点P的坐标;(3)当M在CD上运动时,如图②.过点M作MF⊥x轴,垂足为F,ME⊥AB,垂足为E.设矩形MEBF与△BCD 重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值;(4)点Q为x轴上一点,直线AQ与直线BC交于点H,与y轴交于点K.是否存在点Q,使得△HOK为等腰三角形?若存在,直接写出符合条件的所有Q点的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)设函数解析式为y=ax2+bx+c,将点A(﹣2,2),C(0,2),D(2,0)代入解析式即可;(2)由已知易得点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点,点P的纵坐标是1,则有1=﹣﹣x+2,即可求P;(3)S=(GM+BF)×MF=(2t﹣4+t)×(4﹣t)=﹣+8t﹣8=﹣(t﹣)2+;(4)设点Q(m,0),直线BC的解析式y=﹣x+2,直线AQ的解析式y=﹣(x+2)+2,求出点K(0,),H(,),由勾股定理可得OK2=,OH2=+,HK2=+,分三种情况讨论△HOK为等腰三角形即可;【解答】解:(1)设函数解析式为y=ax2+bx+c,将点A(﹣2,2),C(0,2),D(2,0)代入解析式可得,∴,∴y=﹣﹣x+2;(2)∵△PAM≌△PBM,∴PA=PB,MA=MB,∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点,∵AB=2,∴点P的纵坐标是1,∴1=﹣﹣x+2,∴x=﹣1+或x=﹣1﹣,∴P(﹣1﹣,1)或P(﹣1+,1);(3)CM=t﹣2,MG=CM=2t﹣4,MD=4﹣(BC+CM)=4﹣(2+t﹣2)=4﹣t,MF=MD=4﹣t,∴BF=4﹣4+t=t,∴S=(GM+BF)×MF=(2t﹣4+t)×(4﹣t)=﹣+8t﹣8=﹣(t﹣)2+;当t=时,S最大值为;(4)设点Q(m,0),直线BC的解析式y=﹣x+2,直线AQ的解析式y=﹣(x+2)+2,∴K(0,),H(,),∴OK2=,OH2=+,HK2=+,①当OK=OH时,=+,∴m2﹣4m﹣8=0,∴m=2+2或m=2﹣2;②当OH=HK时,+=+,∴m2﹣8=0,∴m=2或m=﹣2;③当OK=HK时,=+,不成立;综上所述:Q(2+2,0)或Q(2﹣2,0)或Q(2,0)或Q(﹣2,0);【点评】本题考查二次函数综合;熟练应用待定系数法求函数解析式,掌握三角形全等的性质,直线交点的求法是解题的关键.。
2023年九年级中考数学专题培优训练:三角形的内切圆和圆心【含答案】
2023年九年级中考数学专题培优训练:三角形的内切圆和圆心一、单选题1.如图,点I和O分别是△ABC的内心和外心,则△AIB和△AOB的关系为()A.△AIB=△AOB B.△AIB≠△AOBC.4△AIB﹣△AOB=360°D.2△AOB﹣△AIB=180°2.如图,已知△O是△ABC的内切圆,且△ABC=60°,△ACB=80°,则△BOC的度数为()A.110°B.120°C.130°D.140°3.利用尺规作一个任意三角形的内心P,以下作法正确的是()A.B.C.D.4.在△ABC中,已知△C=90°,BC=3,AC=4,则它的内切圆半径是()A.√32B.1C.2D.235.如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,动点E在AB边上(与点A、B均不重合),点F在对角线AC上,CE与BF相交于点G,连接AG,DF,若AF=BE,则下列结论错误的是()A.DF=CE B.∠BGC=120°C.AF2=EG⋅EC D.AG的最小值为2√236.将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°,得正方形AB1C1D1,B1C1交CD于点E,AB=√3,则四边形AB1ED的内切圆半径为()A.√3+12B.3−√32C.√3+13D.3−√337.在Rt△ABC ,△C=90°,AB=6.△ABC的内切圆半径为1,则△ABC的周长为() A.13B.14C.15D.168.如图,ΔABC中,AB=8,AC=6,∠A=90°,点D在ΔABC内,且DB平分∠ABC,DC平分∠ACB,过点D作直线PQ,分别交AB、AC于点P、Q,若ΔAPQ与ΔABC相似,则线段PQ的长为()A.5B.356C.5或356D.6二、填空题9.如图,△ABC中,AB=AC,△A为锐角,CD为AB边上的高,点O为△ACD的内切圆圆心,则△AOB=°10.小红随机地在如图所示的边长为6的正三角形及其内部区域投针,则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为.11.如图,AB为弓形AB的弦,AB=2 √3,弓形所在圆△O的半径为2,点P为弧AB上动点,点I为△PAB的内心,当点P从点A向点B运动时,点I移动的路径长为.12.定义:到三角形两边距离相等的点叫做三角形的准内心.已知在Rt△ABC中,△C=90°,AC=6,BC=8,点P是△ABC的准内心(不包括顶点),且点P在△ABC的边上,则CP的长为.13.如图,半径为4cm,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P,从点P向半径OA 引垂线PH交OA于点H.设△OPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为.14.如图,扇形AOB,且OB=4,△AOB=90°,C为弧AB上任意一点,过C点作CD△OB于点D,设△ODC的内心为E,连接OE、CE,当点C从点B运动到点A时,内心E所经过的路径长为。
2021年上海市中考数学定心试卷(附详解)
2021年上海市中考数学定心试卷1.下列四个选项中的数,不是分数的是()A. √33B. 80% C. 213D. 2272.下列计算中,正确的是()A. 2a2+3a=5a3B. 2a2⋅3a=5a3C. 2a2÷3a=23a D. (2a2)3=8a53.下列方程中,有实数解的是()A. x2−x+1=0B. x2+1=0C. 1x−1=2x2−1D. √x−1=1−x4.一家鞋店对上周某品牌女鞋的销售量统计如下:这家鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺寸为37码的鞋,影响鞋店决策的统计量是()A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差5.已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4,且AB=5,AC=6,BC=6,那么这三个圆的位置关系()A. ⊙A与⊙B、⊙C外切,⊙B与⊙C相交B. ⊙A与⊙B、⊙C相交,⊙B与⊙C外切C. ⊙B与⊙A、⊙C外切,⊙A与⊙C相交D. ⊙B与⊙A、⊙C相交,⊙A与⊙C外切6.在四边形ABCD中,AD//BC,下列选项中,不能判定四边形ABCD为矩形的是()A. AD=BC且AC=BDB. AD=BC且∠A=∠BC. AB=CD且∠A=∠CD. AB=CD且∠A=∠B7.计算:(3a)2=______.8.分解因式:x2−4x=______.9.方程√x+3=3的解是______ .10.不等式组{2x+3>xx−1<0的解集是______.11.如果关于x的方程x2−2x+k=0(k为常数)有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是______.12. 已知点A(1,y 1)、点B(2,y 2)在抛物线y =ax 2−2上,且y 1<y 2,那么a 的取值范围是______ .13. 一个不透明的盒子中装有n 个小球,其中红球有4个,小球除颜色不同外其它都相同.如果要设计一个游戏,从盒中任意摸出一个球,使得摸出红球的概率是0.2,那么n = ______ .14. 如图,BE 、AD 分别是△ABC 的两条中线,设BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,那么向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量a ⃗ ,b ⃗ 表示为______ .15. 如果正六边形的半径是1,那么它的边心距是______ .16. 如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =9,BC =6,DE//BC ,且CD =2AD ,以点C 为圆心,r 为半径作⊙C.如果⊙C 与线段BE 有两个交点,那么⊙C 的半径r 的取值范围是______ .17. 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时,我们称这个四边形为“等腰四边形”,其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”.如果凸四边形ABCD 是“等腰四边形”,对角线BD 是该四边形的“等腰线”,其中∠ABC =90°,AB =BC =CD ≠AD ,那么∠BAD 的度数为______ . 18. 如图,正方形ABCD 的边长为4,点M 在边DC 上,将△BCM 沿直线BM 翻折,使得点C 落在同一平面内的点C′处,联结DC′并延长交正方形ABCD 一边于点N.当BN =DM 时,CM 的长为______ .19. 计算:|1−√2|−(√3)0+√3−1−(√22)−1.20.解方程:6x2−9+1=1x−3.21.如图,在△ABC中,∠ACB=45°,cotB=32,BC=10.(1)求AB的长;(2)如果CD为边AB上的中线,求∠DCB的正切值.22.张先生准备租一处房屋开一家公司.现有甲、乙两家房屋出租,甲家房屋已装修好,每月租金3000元;乙家房屋没有装修,每月租金2000元,但要装修成甲家房屋的模样,需要花费40000元.请你自行定义变量,建立函数,并利用与函数有关的知识帮助张先生设计一个租房方案(备注:只从最省钱的角度设计租房方案,写出具体的解题过程).23.如图,在▱ABCD中,点G是边BC延长线上一点,联结AG分别交BD和CD于点E和F,联结DG.(1)求证:AE2=EF⋅EG;(2)如果∠ABD=∠AGD,求证:四边形ABGD是等腰梯形.24.在平面直角坐标系xOy(如图)中,二次函数f(x)=ax2−2ax+a−1(其中a是常数,且a≠0)的图象是开口向上的抛物线.(1)求该抛物线的顶点P的坐标;(2)我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”,将抛物线f(x)=ax2−2ax+a−1与y轴的交点记为A,如果线段OA上的“整点”的个数小于4,试求a的取值范围;(3)如果f(−1)、f(0)、f(3)、f(4)这四个函数值中有且只有一个值大于0,试写出符合题意的一个函数解析式;结合函数图象,求a的取值范围.,AC=5,点M是射线AB上一点,以MC 25.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,tanA=34为半径的⊙M交直线AC于点D.(1)如图,当MC=AC时,求CD的长;(2)当点D在线段AC的延长线上时,设BM=x,四边形CBMD的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)如果直线MD与射线BC相交于点E,且△ECD与△EMC相似,求线段BM的长.答案和解析1.【答案】A【解析】解:∵√33是无理数,无理数一定不是分数,∴√33不是分数,故选:A.有理数包括分数和整数,无理数一定不是分数.本题考查实数的分类,解题的关键是掌握无理数一定不是分数.2.【答案】C【解析】解:A、2a2+3a,无法计算,故此选项错误;B、2a2⋅3a=6a3,故此选项错误;C、2a2÷3a=23a,故此选项正确;D、(2a2)3=8a6,故此选项错误;故选:C.直接利用整式的混合运算以及合并同类项法则分别计算得出答案.此题主要考查了整式的混合运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.3.【答案】D【解析】解:方程x2−x+1=0的根的判别式△=1−4=−3<0,所以方程A没有实数解;方程x2+1=0的根的判别式△=0−4=−4<0,故方程B没有实数解;方程1x−1=2x2−1可变形为x2−1=2x−2,整理得x2−2x+1=0.解得x=1,当x=1时,分式方程无解.故方程C没有实数解;方程√x−1=1−x的解为x=1,故方程D有实数解.故选:D.解各个方程,根据解的情况得结论.本题考查了一元二次方程、分式方程、无理方程的解法,掌握一元二次方程、分式方程及无理方程的解法是解决本题的关键.4.【答案】B【解析】解:鞋店最关心的应该是某一尺码鞋子的销售量最多,在统计量中也就是众数,所以影响鞋店决策的统计量是众数,故选:B.平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量;方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量.销量大的尺码就是这组数据的众数.此题主要考查统计的有关知识,熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键.5.【答案】A【解析】解:∵⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4,AB=5=2+3,AC=6=2+4,BC=6<3+4,根据圆与圆之间的位置关系可知:⊙A与⊙B、⊙C外切,⊙B与⊙C相交.故选:A.根据两圆的位置关系有:相离(d>R+r)、相切(d=R+r或d=R−r)、相交(R−r< d<R+r).进行逐一判断即可.本题主要考查两圆的位置关系.两圆的位置关系有:相离(d>R+r)、相切(外切:d= R+r或内切:d=R−r)、相交(R−r<d<R+r).解决本题的关键是掌握相交两圆的性质.6.【答案】C【解析】解:A、∵AD//BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,故选项A不符合题意;B、∵AD//BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∠A+∠B=180°,∵∠A=∠B,∴∠A=∠B=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,故选项B不符合题意;C、∵AD//BC,∴∠A+∠B=∠C+∠D=180°,∵∠A=∠C,∴∠B=∠D,∴四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,故选项C不符合题意;D、∵AD//BC,∴∠A+∠B=180°,∵∠A=∠B,∴∠A=∠B=90°,∴AB⊥AD,AB⊥BC,AB的长为AD、BC间的距离,又∵AB=CD,∴CD⊥AD,∴∠ADC=90°,∴四边形ABCD是矩形,∴选项D不符合题意;故选:C.由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识;熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键.7.【答案】9a2【解析】解:(3a)2=9a2.故答案为:9a2.利用积的乘方的性质求解即可求得答案.此题考查了积的乘方.此题比较简单,注意掌握积的乘方的性质的应用是解题的关键.8.【答案】x(x−4)【解析】解:x2−4x=x(x−4).故答案为:x(x−4).直接提取公因式x进而分解因式得出即可.此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.9.【答案】6【解析】解:由原方程的两边平方,得 x +3=9, 移项,得 x =6; 故答案是:6.把方程两边平方去根号后求解.本题考查了无理方程的解法.在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法,本题用了平方法.10.【答案】−3<x <1【解析】解:{2x +3>x ②x−1<0 ①,解不等式①得:x <1, 解不等式②得:x >−3,所以不等式组的解集是−3<x <1. 故答案为:−3<x <1.先求出每个不等式的解集,再求出其公共部分即可.本题考查了解一元一次不等式组,熟悉不等式的性质是解题的关键.11.【答案】k <1【解析】解:∵关于x 的方程x 2−2x +k =0(k 为常数)有两个不相等的实数根, ∴△>0,即(−2)2−4×1×k >0, 解得k <1,∴k 的取值范围为k <1. 故答案为:k <1.根据一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式的意义得到△>0,即(−2)2−4×1×k >0,然后解不等式即可.本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0,a ,b ,c 为常数)的根的判别式△=b 2−4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.12.【答案】a >0【解析】解:由已知抛物线为y =ax 2−2,∴对称轴为x =0,∵x 1<x 2,要使y 1<y 2,则在x >0时,y 随x 的增大而增大,∴a >0,故a 的取值范围是:a >0.利用A 、B 坐标且y 1<y 2和二次函数的性质即可判断.本题主要考查二次函数的增减性.由A 、B 坐标和y 1<y 2是解题关键.13.【答案】20【解析】解:∵一个不透明的盒子中装有n 个小球,其中红球有4个,从盒中任意摸出一个球,使得摸出红球的概率是0.2,∴4n =0.2,解得:n =20.故答案为:20.直接利用红球个数除以总数得出摸出红球的概率,即可得出答案.此题主要考查了概率公式,正确掌握概率求法是解题关键. 14.【答案】2b ⃗ −3a ⃗【解析】解:∵AD ,BE 是△ABC 的中线,∴OA =2OD ,∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b ⃗ −2a ⃗ ,∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b ⃗ −2a ⃗ −a ⃗ =2b ⃗ −3a ⃗ ,故答案为:2b ⃗ −3a ⃗ .利用三角形重心的性质求出AO⃗⃗⃗⃗⃗ ,再根据三角形法则求解即可. 本题考查三角形的重心,三角形法则等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.15.【答案】√32【解析】解:∵ABCDDEF为正六边形,∴∠BOC=360°÷6=60°,OG⊥BC.∴∠BOG=12∠BOC=30°.在Rt△BOG中,cos∠BOG=OGOB.∵OB=1,∴OG=OB⋅cos∠BOG=1×√32=√32.故答案为:√32.根据正六边形的中心角为60°以及正六边形边心距的性质解直角三角形△OBG可得结论.本题主要考查了正六边形与圆的有关计算,利用正六边形的中心角和边心距的性质是解题的关键.16.【答案】2√5<r≤2√6【解析】解:连接CE,过C作CF⊥AB于F.∵DE//BC,∴ADAC =AEAB=DEBC.∵CD=2AD,∴ADAC =AEAB=DEBC=13.∵AB=9,BC=6,∴DE=13BC=2,AE=13AB=3.∵AC=√AB2−BC2=√92−62=3√5,CD=2AD,∴CD=2√5.∴CE=√CD2+DE2=√(2√5)2+22=2√6.∵∠ACB=90°,∴∠BCF+∠ACF=90°.∵CF⊥AB,∴∠CAF+∠ACF=90°.∴∠BCF=∠FAC.∵∠BFC=∠EDA=90°,∴△BFC~△ADE.∴BCCF =AEAD.∴6CF =3√5.∴CF=2√5.∴当r=2√5时,⊙C与线段BE相切.∵⊙C与线段BE有两个交点,∴2√5<r≤2√6.故答案为:2√5<r≤2√6.连接CE,过C作CF⊥AB于F.利用DE//BC,计算得出AD,AE的长,通过说明△BFC~△ADE,得出CF的长,利用勾股定理计算CE的长,因为⊙C与线段BE有两个交点,可以确定r的取值范围.本题主要考查了直线与圆的位置关系,勾股定理,平行线的性质,相似三角形的判定与性质.通过计算CF,CE的长来确定r的取值范围是解题的关键.17.【答案】75°【解析】解:∵凸四边形ABCD是“等腰四边形”,对角线BD是该四边形的“等腰线”,∴△CBD和△ABD为等腰三角形.由于AB≠AD,在△ABD中分两种情形:①AB=BD,②AD=BD.当①AB=BD时,如下图:∵AB=BC=CD,AB=BD.∴BC=CD=BD.∴△BDC为等边三角形.∴∠DBC=60°.∵∠ABC=90°,∴∠ABD=30°.∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA=180°−30°2=75°.当②AD=BD时,如下图,过点D作DE⊥AB,过点D作DF⊥CB,交CB延长线于点F,∵AD=BD,DE⊥AB,∴BE=12AB.∵DE⊥AB,DF⊥CB,∠ABC=90°,∴四边形EBFD为矩形.∴DF=BE=12AB.∵AB=CD,∴DF=12CD.在Rt△DCF中,sin∠DCF=DFCD =12,∴∠DCF=30°.∵BC=CD,∴∠DBC=∠BDC=∠DCF2=15°.∵∠ABC=90°,∴∠ABD=75°.∵AD=BD,∴∠BAD=∠ABD=75°.综上,∠BAD=75°.故答案为:75°.根据“等腰四边形”的定义画出图形,对角线BD是该四边形的“等腰线”,所以△CBD 和△ABD为等腰三角形,由于AB=BC=CD≠AD,△ABD中分两种情形:①AB=BD,②AD=BD.当AB=BD时,由于AB=BC=CD,可得△BDC为等边三角形,∠ABC= 90°,则∠ABD=30°,结论可得;当AD=BD时,过点D作DE⊥AB,根据等腰三角形的三线合一,BE=12AB,过点D作DF⊥CB,交CB延长线于点F,根据四边形EBFD为矩形,DF=12AB=12CD,可得∠DCB=30°,由于∠ABC=90°,∠FDB可得,从而∠BAD可求.本题主要考查了等腰三角形,多边形的对角线,等腰直角三角形等知识点.本题是阅读题,正确理解题意是解题的关键.18.【答案】2或8−4√3【解析】解:如图1中,当BN=DM时,连接CC′交BM于J.∵BN=DM,BN//DM,∴四边形BNDM是平行四边形,∴BM//DN,∵CJ=JC′,∴CM=DM=12CD=2.如图2中,当BN=DM时,过点C′作C′T⊥CD于T.∵CB=CD,BN=DM,∴CN=CM=MC′,在△BCM和△DCN中,{CB=CD∠BCM=∠DCN CM=CN,∴△BCM≌△DCN(SAS),∴∠CDN=∠CBM,∵∠CBM+∠BCC′=90°,∠BCC′+∠C′CD=90°,∴∠CBM=∠C′CD,∴∠C′CD=∠DCN,∴C′D=C′C,∵C′T⊥CD,∴DT=TC=2,∵C′T//CN,∴DC′=C′N,∴C′T=12CN,设C′T=x,则CN=CMMC′=2x,TM=√3x,∴2x+√3x=2,∴x=4−2√3,∴CM=8−4√3,综上所述,CM的值为2或8−4√3.分两种情形:如图1中,当BN=DM时,连接CC′交BM于J.如图2中,当BN=DM时,过点C′作C′T⊥CD于T.分别求解即可.本题考查翻折变换,正方形的性质,平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,三角形中位线定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考填空题中的压轴题.19.【答案】解:原式=√2−1−1+4(√3+1)(√3−1)(√3+1)−1(√22)=√2−1−1+2√3+2−√2=2√3.【解析】利用绝对值,零指数幂、负整数指数幂,二次根式的化简的方法进行计算即可.本题考查绝对值,零指数幂、负整数指数幂以及二次根式的化简,掌握绝对值的性质,零指数幂、负整数指数幂的计算方法以及二次根式的化简方法是得出正确答案的前提.20.【答案】解:去分母得:6+x2−9=x+3,整理得:x2−x−6=0,即(x−3)(x+2)=0,解得:x=3或x=−2,检验:把x=3代入得:(x+3)(x−3)=0,把x=−2代入得:(x+3)(x−3)=−5≠0,则x=3是增根,分式方程的解为x=−2.【解析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.21.【答案】解:(1)过A作AE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,∵∠BCA=45°,在Rt△AEC中,AE=EC,∵cotB=32,在Rt△BEA中,BEAE =32,设BE=3x,AE=2x,∴BC=BE+EC=BE+AE=10,∴x=6,∴BE=6,EA=EC=4,由勾股定理得:AB2+BE2=AE2.即AB2=36+16=52.∴AB=√52=2√13.(2)由(1)知AB=2√13,又∵D为AB的中点,∴BD=AD=√13,∵DF⊥BC,AE⊥BC,∴DF//AE,∵BD=AD,BE=3.∴BF=FE=12∴DF=1AE=2,2∴FC=FE+EC=3+4=7.【解析】(1)过点A作AE⊥BC,构造两个直角三角形,分别用特殊角和三角函数求解.(2)过D作DF⊥BC,分别在两个直角三角形中求解.本题考查了特殊角度、余切和正切的定义,以及三角形中位线的知识,是常见题型.22.【答案】解:设张先生组的时间为自变量x,租金为函数值y,∴租甲家房屋y与x的关系为:y=3000x,租甲家房屋y与x的关系为:y=40000+2000x,①当甲家费用高于乙家费用时3000x>40000+2000x,解得:x>40;②当甲家费用等于乙家费用时3000x=40000+2000x,解得:x=40;③当甲家费用低于乙家费用时3000x<40000+2000x,解得:x<40,综上所诉,①当租期超过40个月时,租乙家合适;②当租期等过40个月时,租家、乙家都可以;③当租期低于40个月,租甲家合适.【解析】由租金随租期的变化而变化,所以租期是自变量,租金是函数值,列出y与x 的关系式,再根据两家租金的多少分类讨论分类讨论即可.此题是一次函数的应用,关键是根据租金的多少进行分类讨论.23.【答案】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB//CD,AD//BC.∴△ABE∽△FDE.∴AEEF =BEDE.∴ADE∽△GBE.∴BEDE =EGAE.∴AEEF =EGAE.∴AE2=EF⋅EG.(2)∵AB//CD,∴∠ABD=∠CDB.∵∠ABD=∠AGD,∴∠CDB=∠AGD.∵∠DEF=∠GED,∴△DEF∽GED.∴DEEF =EGDE.∴DE2=EF⋅EG.由(1)知:AE2=EF⋅EG.∴DE=AE.在△ABE和△DEG中,{∠AEB=∠DEG ∠ABE=∠AGD AE=DE.∴△ABE≌△DEG(AAS).∴AB=DG.∵AD//BG,∴四边形ABGD是等腰梯形.【解析】(1)通过说明△ABE∽△FDE,△ADE∽△GBE,利用相似三角形的性质得出比例式可得结论.(2)由已知得出△DEF∽GED,可以推出DE2=EF⋅EG,利用(1)的结论可得DE=AE,进而说明△AEB≌△DEG,结论可得.本题主要考查了相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质,等腰梯形的判定等知识点,通过比例式的转化得出结论是解题的关键.24.【答案】解:(1)抛物线的方程为f(x)=ax2−2ax+a−1=a(x−1)2−1,∴抛物线的顶点坐标为(1,−1);(2)A为抛物线与y轴的交点,∴A点坐标为(0,a−1),线段OA上的整点个数小于4,则可知a−1<4,a<5,故a的取值范围为0<a<5;(3)已知f(−1)、f(0)、f(3)、f(4)有且只有一个大于0,(即其余的小于或等于0)由题可知该函数对称轴为x=1,开口方向向上,故有f(4)>f(3)=f(−1)>f(0),∴f(4)>0,∴得16a−8a+a−1>0,得a>19,f(3)≤0,得9a−6a+a−1≤0,得a≤14,取a=16,f(x)=16x2−13x−56,∴a的取值范围为19<a≤14.【解析】(1)把抛物线代入顶点式为f(x)=a(x −1)2−1,即可求顶点坐标; (2)抛物线与y 轴的交点,横坐标为O ,即A 坐标为(0,a −1),根据已知条件a −1<4,即可求a 的取值范围为0<a <5;(3)根据已知f(−1)、f(0)、f(3)、f(4)有且只有一个大于0,即其余的小于或等于0,由对称轴为x =1开口向上,可以得出f(4)>f(3)=f(−1)>f(0),根据f(4)>0,f(3)≤0可以求a 的范围,19<a ≤14,即可以写出符合条件的函数解析式.本题考查二次函数的应用,解本题关键熟练掌握二次函数由一般式转为顶点式,抛物线的性质解不等式等.25.【答案】解:在Rt △ABC 中,tanA =34,AC =5,设∠A =α,则BC =3,AB =4=BM ,sinA =35=sinα,cosA =45=cosα, (1)如图1,∵MC =MA =5,过点M 作MN ⊥CD 于点N , ∵MC =MD ,则CN =12CD ,在Rt △AMN 中,MN =AMsinA =(4+4)×35=245, 则CD =2CN =2√MC 2−MN 2=2√52−(245)2=145;(2)如图1,设CD =2m ,则CM 2=BC 2+MB 2=9+x 2, 则MN 2=CM 2−m 2=x 2+9−m 2, 在Rt △AMN 中,AN 2+MN 2=AM 2,即(5+m)2+9+x 2−m 2=(4+x)2,解得m =15(4x −9), 则MN =√x 2−9−125(4x −9)2=35(x +4);则S =12CD ⋅MN +12×AM ⋅BC =350(8x 2+39x −72); ∵m =15(4x −9)>0,∴x >94;(3)如图2,过点M 作MN ⊥CD 于点N ,过点P 作PD ⊥CM 于点P ,设圆的半径为r ,∵△ECD 与△EMC 相似,则∠ECD =∠EMC =∠ACB =α,在Rt △DPM 中,DP =DMsin∠EMC =rsinα=45r ,MP =rcosα=35r ,则CP =r −MP =r −35r =25r ,CD =√DP 2+CP 2=2√55r =2CN ,∴MN =√r 2−CN 2=2√55r , ∵tanA =MN AN=2√55r 5+√55r,解得r =3√5,则BM =√ r 2−BC 2=√(3√5)2−32=6.【解析】(1)在Rt △AMN 中,MN =AMsinA =(4+4)×35=245,则CD =2CN =2√MC 2−MN 2=2√52−(245)2=145;(2)如图1,设CD =2m ,则CM 2=BC 2+MB 2=9+x 2,在Rt △AMN 中,AN 2+MN 2=AM 2,即(5+m)2+9+x 2−m 2=(4+x)2,解得m =15(4x −9),进而求解; (3)在Rt △DPM 中,DP =DMsin∠EMC =rsinα=45r ,MP =rcosα=35r ,则CP =r −MP =r −35r =25r ,CD =√DP 2+CP 2=2√55r =2CN ,则MN =√r 2−CN 2=2√55r ,进而求解.本题考查的是圆的综合题,涉及到圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理的运用等,有一定的综合性,难度适中.。
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一、选择题 8.(2020•丽水)如图,⊙O 是等边△ABC 的内切圆,分别切AB ,BC ,AC 于点E ,F ,D ,P 是上一点,则∠EPF 的度数是( ) A .65° B .60° C .58° D .50° {答案}B
{解析}如图,连接OE ,OF .
∵⊙O 是△ABC 的内切圆,E ,F 是切点,∴OE ⊥AB ,OF ⊥BC ,∴∠OEB =∠OFB =90°,∵△ABC 是等边三角形,∴∠B =60°,∴∠EOF =120°,∴∠EPF ∠EOF =60°,因此本题选B . 9.(2020·嘉兴)如图,在等腰△ABC 中,AB =AC =25,BC =8,按下列步骤作图:
①以点A 为圆心,适当的长度为半径作弧,分别交AB ,AC 于点E ,F ,再分别以点E ,F 为圆心,大于1
2
EF 的长为半径作弧相交于点H ,作射线AH ; ②分别以点A ,B 为圆心,大于
1
2
AB 的长为半径作弧相交于点M ,N ,作直线MN ,交射线AH 于点O ;
③以点O 为圆心,线段OA 长为半径作圆.则⊙O 的半径为( ) A .25 B .10 C .4 D .5
{答案}D
{解析}本题考查了三角形的外接圆、垂径定理以及线段垂直平分线、角平分线的尺规作图.如图,由尺规作图可知,AH 为∠BAC 的平分线,又AB =AC ,知AO ⊥BC ,BG =CG =4,又因为AB =25,得到AG =2.在Rt △OGC 中,设OC =r ,则OG =r –2,所以2
2
2
(2)4
r r =-+,解得r =5,因此本题选D .
7. (2020·连云港) 10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内,A 、B 、C 、D 、E 、O 均是正六边形的顶点.则点O 是下列哪个三角形的外心
A.△AED
B.△ABD
C.△BCD
D.△ACD
(第7题图)
{答案}D
{解析}本题考查了三角形外心的概念,外心到三角形三个顶占的距离相等,即是三角形三边垂直平分线的交点处,故选D .
(2020·济宁)9.如图,在△ABC 中一点D 为△ABC 的内心,∠A =60°,CD=2,BD=4.则△DBC 的面积是( ) A.43 B.23 C.2 D.4
G
O
B
C
{答案
}B
{解析}如图,∵点D 为△ABC 的内心,∴BD ,CD 分别是∠B 、∠C 的平分线, 又∵∠A =60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∴∠DBC+∠DCB=60°,∴∠BDC=120°. 过点C 作BD 的垂线,交BD 的延长线于点E ,垂足为E ,∴∠EDC=60°,
∵CD=2,∴CE=CD ·∵BD=4,∴11
22
BDC S BD CE ∆=
⋅=⨯=
8.(2020·随州)设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ,则下列结论不正确的是( )
A. h=R+r
B.R=2r
C.a r 43=
D. a R 3
3=
{答案}C
{解析}本题考查了正三角形的内切圆和外接圆的相关计算、三角函数,解答过程如下:如图所示,
由题意得:h=R+r,R=2r,h=AD=a
2
3
,BD=
2
a
,
∴r=OD=a
6
3
,R=OA=OB=a
3
3
.∴C错误.因此本题选C.
二、填空题
15.(2020·南京)如图,线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O.若∠1=39°,则∠AOC=____°.
{答案}78
{解析}由题意可知点O是△ABC的外接圆圆心,如图,∴∠AOC=2∠B.在四边形OEBD中,∠OEB+∠ODB=180°,∴∠B+∠DOE=∠1+∠DOE=180°,∴∠B=∠1=39°.∴∠AOC=2∠B=78°.
15.(2020·泰州)如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A、B、C、在直角坐标系中的坐标分别为()
3,6,()
3,3
-,()
7,2
-,则ABC
∆内心的坐标为______.
{答案}(2,3)
{解析}本题考查了三角形内心的知识,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,本题我们只需作出∠B和∠C 的两条角平分线,两角平分线的交点就是内心的位置.
10.(2020·青海)如图4,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则△ABC的内切圆半径r=______.
l2
l1
A
B C
O
1
l2
l1
A
B C
D
E
O
1
A
O
r
图4
{答案}1
{解析}AB =22AC BC =5.由“直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半”可知,r =12
×(3+4-5)=1.
三、解答题 21.(2020湖州)如图,已知△ABC 是⊙O 的内接三角形,AD 是⊙O 的直径,连结BD ,BC 平分∠ABD .
(1)求证:∠CAD =∠ABC ;
(2)若AD =6,求CD
̂的长. 【分析】(1)由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC =∠ABC =∠CAD ;
(2)由圆周角定理可得CD
̂=AC ̂,由弧长公式可求解. 【解答】解:(1)∵BC 平分∠ABD ,∴∠DBC =∠ABC ,∵∠CAD =∠DBC , ∴∠CAD =∠ABC ;
(2)∵∠CAD =∠ABC ,∴CD ̂=AC ̂,∵AD 是⊙O 的直径,AD =6, ∴CD
̂的长=1
2
×1
2
×π×6=3
2
π.。