数学

2T 2T 2T 2 2 0 2 x y Z
2T T 4 2 t x
2. 一阶与高阶微分方程
微分方程的阶
在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最高 阶数 n 称为该方程的阶。
当n=1时，称为一阶微分方程； 当n>1时，称为高阶微分方程。
d2y dy b cy f (t ) 2 dt dt
d 2s m dt 2
s (t )
mg
1 2 2
d 2s dt 2
g
s (t ) gt c1t c2
例2：放射性元素镭因不断放射出各种射线而逐渐减少其
质量，这种现象成为衰变，实验知镭的衰变率与其当时
的质量成比例。试求镭衰变的规律。 解：设在任意时刻 t 镭的质量为R(t)，
R(t ) kR(t )
x 的已知函数
a0 ( x) y a1 ( x) y a2 ( x) y g ( x)
y x 2 y y sin x xex
4. 解和隐式解
对于方程 或 y (n) f ( x, y, y, , y (n1) ) 若将函数 y (x) 代入方程后使其有意义且两端成立 即
2T 2T 2T 2 2 0 2 x y Z
dy 2 dy ( ) t y 0 dt dt
2T T 4 2 t x
一阶常微分方程的一般隐式形式可表示为：
F ( x, y, y) 0
一阶常微分方程的一般显式形式可表示为：
y f ( x, y )
Volterra被捕食-捕食模型
两种群竞争模型
Lorenz方程
总结
• 微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关， 是一个动态系统 • 从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出 由自变量、未知函数及其导数的关系史，即微分 方程，从而建立数学模型 • 数学模型的建立有多种方式 • 研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与 实际相吻合，不断改进模型 • 由微分方程发现或预测新的规律和性质
2 而 s (t ) 1 gt 是方程满足初始条件 s(0) 0, s(0) 0 解。 2
初值条件
对于 n 阶方程
y (n) f ( x, y, y, , y (n1) )
初值条件可表示为
( y( x0 ) y0 , y( x0 ) y0 , y( x0 ) y0 ,, y (n1) ( x0 ) y0n1)
在方向场中寻求一条曲线，使这条曲线上每一点切线
的方向等于方向场中该点的方向。
基本概念
• • • • • • • • • • 1. 常微分方程和偏微分方程 2. 一阶与高阶微分方程 3. 线性和非线性微分方程 4. 解和隐式解 5. 通解和特解 6. 积分曲线和积分曲线族 7. 微分方程的几何解释-----方向场 8. 微分方程组 9.驻定与非驻定，动力系统 10. 相空间、奇点和轨线
实际问题的信息
抽象 简化
数学模型
求 解
数学模型解 解 释
验证
实际问题
1、方程
含有未知量(数)的等式(或关系式)。例如:
1.代数方程(组)，其未知量为数 一元 n次代数方程： 无理方程：
2
x n a1x n1 an1x an 0
x 5 6
2.超越方程（组），其含有超越函数 三角方程： 指数方程：
dy 3. p ( x) y ( x) dx
4. F ( x, y, y, , y (n) ) 0
5. y (n) f ( x, y, y, , y (n1) ) dx dt x y 6. dy x y dt 2u 7. 0 xy
n 阶方程初值问题（Cauchy Problem）的表示
y ( n) f ( x, y, y,, y ( n1) ) ( y( x0 ) y0 , y( x0 ) y0 , y( x0 ) y0 ,, y ( n1) ( x0 ) y0n1)
一阶和二阶方程初值问题（Cauchy Problem）的表示
y f ( x, y ) y ( x0 ) y0
y f ( x, y, y) y ( x0 ) y0 , y( x0 ) y0
6.积分曲线和积分曲线族
dy f ( x, y )的解 y (x) 表示 x, y平面的一条 一阶微分方程 dx
曲线，我们称它为微分方程的积分曲线，而微分方程的通解
y ( x, c) 表示 x, y 平面的一族曲线，称它们为微分方程
的积分曲线族。
7. 微分方程的几何解释---方向场
dy f ( x, y ) 其右端函数 f ( x, y ) 对于一阶微分方程 dx
的定义域为 D， 在定义域的每一点 ( x, y ) 处，画一 个小线段，其斜率等于 f ( x, y ) ，此时，点集 D 就成 dy f ( x, y ) 为带有方向的点集。称此区域为由方程 dx 确定的方向场。 常微分方程求解的几何意义是：
类似的，n 阶隐方程的一般形式可表示为：
F ( x, y, y, , y (n) ) 0
n 阶显方程的一般形式为：
y (n) f ( x, y, y, , y (n1) )
其中, F及f分别是它所依赖的变元的已知函数。
3. 线性和非线性微分方程
如果方程 F ( x, y, y, , y (n) ) 0
1. 常微分方程与偏微分方程
常微分方程/ODE/
在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程称为 常微分方程。
d2y dy b cy f (t ) 2 dt dt
偏微分方程/PDE/
dy 2 dy ( ) t y 0 dt dt
在微分方程中，自变量的个数有两个或两个以上的微 分方程称为偏微分方程。
• 微分方程理论发展经历了三个过程：
一、求微分方程的解； 二、定性理论与稳定性理论； 三、微分方程的现代分支理论。
• 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物 理学，以及其他科学技术的发展密切相关的； • 数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、 组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深 刻的影响； • 当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理 论研究提供了非常有力的工具。
n 阶线性微分方程的一般形式为：
a0 ( x) y ( n ) a1 ( x) y ( n1) an ( x) y g ( x)
其中 a0 ( x) 0 a0 ( x), a1 ( x), , an ( x), g ( x) 均为 如：2 阶线性方程的一般形式
教学安排
• • • • • • • • 第1周—第10周、第15周—第16周，共48学时 考试安排：第 19 周考试 总成绩=平时（40%）+ 期末（60%） 每周一次课后作业（记入平时成绩） 答疑时间：时间待定 答疑地点：系办公室 课件、教案、课后答 gaoshima@ 密码：changweifen
t2 (t ) c1t c 2 2
(t ) cos t
定义：一个或几个包含自变量，未知函数以及未知函数的 某些阶导数（或微商）的关系式，称之为微分方程。
例
1. y x 2
2. r 2 d 2u dr 2 r
ห้องสมุดไป่ตู้
y f (x)
du (r 2 1)u 0 dr
5. 通解和特解
常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几个常 数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程 的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的通解。 常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的特解。 例：二阶方程 其通解
d 2s dt 2
g
s(t ) 1 gt2 c1t c2 2
第一章 绪 论
Introduction
本章要求
能快速判断微分方程的类型；
掌握高阶微分方程及其初值问题的一般形式；
理解微分方程解的意义。
微分方程概述
1. 微分方程的产生与发展
• 微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现 象强有力的工具，是数学科学联系实际的主要途 径之一。 • 1676年，Leibniz（莱布尼兹）在给Newton（牛 顿）的信中首次提到Differential Equations（微 分方程）这个名词。 • 微分方程研究领域的代表人物：Bernoulli、 Cauchy、 Euler 、Taylor 、Leibniz、Poincare、 Liyapunov等。
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅 膀，可以在两周以后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。”
对初值的敏感性
分形（Fractal）
吸引盆
微分方程概述
2. 微分方程模型
微分方程是数学联系实际问题的重要渠道之一，将实 际问题建立成微分方程模型最初并不是数学家做的，而是 由化学家、生物学家和社会学家完成的。
2u 2u 2u 8. 2 2 4 xy y
n 阶隐式方程 n 阶显式方程
方程组
偏微分方程 偏微分方程 不是微分方程
9. f 2 ( x) sin x
2、模型
例1：质量为m 的物体在重力的作用下，沿铅直线下落， 物体下落距离S(向下为正）随时间 t 而改变。在不考虑 空气阻力的情况下，试求出距离 S 应满足的微分方程。 解： 设在时刻 t 物体下落的距离为 按牛顿第二定律
微分方程模型：含有自变量，未知函数及未知函数导数 （或变化率）的关系式。
人口模型
• 马尔萨斯(Malthus)假设：在人口自然增长的过程中，净相 对增加率（ 单位时间内人口的净增长数与人口总数之比） 是常数，记为 r