“二项式定理”教学设计的比较研究与改进(PDF X页)
二项式定理教学设计及反思
二项式定理教学设计及反思引言数学教学是培养学生逻辑思维和分析解决问题能力的重要环节，而二项式定理是中学数学中一个重要的概念。
本文将针对二项式定理的教学设计进行探讨和反思，以提高学生对该概念的理解和运用能力。
一、教学目标设计在进行教学设计之前，我们需要确定教学目标。
对于二项式定理，我们的教学目标可以分为以下几个方面：1. 理解二项式定理的概念和数学含义；2. 掌握二项式定理的公式表达方式；3. 掌握二项式定理的常见应用方法；4. 运用二项式定理解决实际问题。
二、教学内容设计基于上述教学目标，我们可以设计如下的教学内容：1. 二项式定理的概念介绍：a. 通过具体例子引入二项式定理的概念，帮助学生理解。
b. 解释二项式定理在代数中的含义和作用。
2. 二项式定理的公式表达方式：a. 介绍二项式系数的概念和表示方式。
b. 引入二项式定理的公式，讲解其推导过程。
c. 分析二项式定理公式的特点和性质。
3. 二项式定理的常见应用方法：a. 通过具体例题引导学生掌握二项式定理的计算方法。
b. 引导学生归纳总结二项式定理的常见应用场景。
4. 运用二项式定理解决实际问题：a. 提供一些实际问题，帮助学生运用二项式定理解决问题。
b. 鼓励学生思考和讨论解决问题的方法和思路。
三、教学方法设计为了提高教学效果，我们可以运用一些有效的教学方法：1. 讲解与实践相结合：在讲解二项式定理的概念和公式的同时，引导学生进行实际的计算和应用实例。
2. 启发式教学：引导学生通过自主思考和探索，发现并理解二项式定理的规律和应用方法。
3. 小组合作学习：安排学生分小组进行讨论和合作，共同解决有关二项式定理的问题，促进学生间互相学习和交流。
四、教学评估设计为了评估学生对二项式定理的掌握程度，我们可以采用以下方式进行教学评估：1. 小测验：准备一些针对二项式定理的单项选择题或填空题，测试学生对概念、公式和应用的理解。
2. 解题演示：鼓励学生在课堂上进行解题演示，展示他们运用二项式定理解决实际问题的能力。
《二项式定理》教学设计
《二项式定理》教学设计
《《二项式定理》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
1.知识与技能：
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.
2.过程与方法：
(1)通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式.
(2)引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依.
3.情感、态度与价值观：
培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨.通过二项式定理的发现、推广、证明及杨辉三角历史的了解，进一步激发学生的学习兴趣，培养对科学的探究与钻研精神，渗透爱国主义教育。
4.活动体验：
通过教师提出问题并引导学生主动探究、解决问题的过程，让学生在教学活动中主动发现、大胆猜想、主动发展，达到提高学习能力与渗透情感教育的目的。
《二项式定理》教学设计这篇文章共1217字。
二项式定理教学设计教案
二项式定理教学设计教案第一章：导入1.1 教学目标让学生了解二项式定理的背景和意义。
引导学生通过实际例子发现问题，激发学习兴趣。
1.2 教学内容引入二项式定理的概念，解释其在数学中的重要性。
通过具体的例子，如完全平方公式，引导学生观察和总结一般规律。
1.3 教学活动利用多媒体展示完全平方公式的例子，引导学生观察和总结。
组织小组讨论，让学生分享自己的发现和思考。
1.4 教学评价通过小组讨论和问题解答，评估学生对二项式定理的理解程度。
第二章：二项式定理的表述2.1 教学目标让学生掌握二项式定理的表述和公式。
引导学生理解二项式定理的推导过程。
2.2 教学内容给出二项式定理的表述和公式，解释各项的系数和指数的含义。
通过示例，引导学生理解二项式定理的推导过程。
2.3 教学活动通过示例和练习，让学生熟悉二项式定理的表述和公式。
引导学生参与推导过程，加深对二项式定理的理解。
2.4 教学评价通过练习和问题解答，评估学生对二项式定理的掌握程度。
第三章：应用二项式定理3.1 教学目标让学生学会运用二项式定理解决实际问题。
引导学生运用二项式定理进行组合计数和概率计算。
3.2 教学内容解释二项式定理在组合计数和概率计算中的应用。
提供实际问题，引导学生运用二项式定理解决问题。
3.3 教学活动通过示例和练习，让学生掌握二项式定理在组合计数和概率计算中的应用。
组织小组讨论，让学生分享自己的解题方法和经验。
3.4 教学评价通过小组讨论和问题解答，评估学生对二项式定理应用的掌握程度。
第四章：拓展与深化4.1 教学目标让学生了解二项式定理的拓展和深化内容。
引导学生思考二项式定理在数学中的广泛应用和意义。
4.2 教学内容介绍二项式定理的拓展内容，如多项式定理和整数定理。
探讨二项式定理在数学中的广泛应用，如组合数学、概率论等领域。
4.3 教学活动通过示例和练习，让学生了解二项式定理的拓展内容。
组织小组讨论，让学生思考二项式定理在数学中的应用和意义。
《二项式定理》教材分析与反思
《二项式定理》教材分析与反思
《《二项式定理》教材分析与反思》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
教材分析：
作为计数原理,尤其是组合数公式的应用,二项式定理有着广泛的应用价值.一方面,它可以继续巩固排列、组合的相关知识.另一方面,借助它还可以推出组合数的诸多重要性质.
二项式定理的推导,无疑是学习中的难点,主要在于为什么会想到利用组合数公式推导及相关的组合数.当然,应用也是一个难点.重点是通项公式的应用,可以解决几乎关于二项式定理的大多数问题.
对于二项式系数的诸多性质,个人认为,让学生充分体验观察及发现过程,或独立或合作的方式归纳出相应的性质,在此基础上,做一些必要的练习.
教后反思：
由于时间紧张,不得已加快上课进度,而讲解式方法是节约时间的最好方法,进而讲解式成为这章内容的主要方法.有时,明显可以感觉自己的灌输意识浓厚.
《二项式定理》教材分析与反思这篇文章共929字。
《二项式定理》教学设计(含教学内容学情分析及教学点评)
《二项式定理（一）》教学设计一、教学内容解析《二项式定理》，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。
在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。
另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。
二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。
通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。
教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。
二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。
二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。
二、学情分析学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。
但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。
本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。
因此本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。
在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。
二项式定理数学教学设计
二项式定理数学教学设计引言：数学教育是培养学生数学素养和解决问题能力的重要环节。
而二项式定理是数学中的一项重要知识点，在高中数学中广泛应用。
本次教学设计将重点介绍二项式定理，并设计一系列活动和练习，以帮助学生更好地理解和掌握该概念。
一、教学目标：1. 掌握二项式定理的定义和基本概念；2. 理解二项式定理的展开形式；3. 掌握使用二项式定理求解实际问题。
二、教学内容与步骤：1. 导入：引导学生回顾组合数学中的基本概念，并通过几个现实生活中的例子解释二项式定理的应用背景和重要性。
2. 概念讲解：简洁明了地介绍二项式的定义、展开形式和展开系数。
3. 教学活动：组织学生参与互动活动，例如分组进行演练，利用抽签方式确定演算次序，两两配对进行交流等，以提高学生的学习兴趣和参与度。
4. 原理解析：通过解析二项式定理的展开原理，引导学生思考和发现规律，从而帮助他们更好地理解二项式定理和其应用。
5. 教学示范：设计一系列例题，带领学生逐步掌握使用二项式定理进行问题求解的方法和技巧。
6. 讲解概念应用：展示一些实际问题，引导学生将二项式定理与实际问题相联系，并思考如何应用所学知识解决这些问题。
7. 练习操练：提供大量的练习题，让学生通过反复练习巩固所学知识，并能熟练运用二项式定理解决各类问题。
8. 错题回顾：分析学生常见的错误类型，给予指导和解答，帮助学生发现和纠正错误，提高他们的思维和解题能力。
9. 教学总结：对本节课所学内容进行总结，并强调二项式定理的重要性和应用范围，激发学生对数学学习的兴趣和探索欲望。
三、教学资源与评估：1. 根据教学内容准备教学资料，包括讲义、习题、解答等；2. 提供多样化的学习资源，如教学视频、练习软件等；3. 使用评估工具，如小测验、作业等，对学生的学习效果进行评估。
四、教学反思与改进：1. 总结本次教学的亮点和不足之处，以便改进和完善教学方法；2. 针对学生在学习过程中遇到的困难和问题，及时给予辅导和指导；3. 教师要不断更新教材资源，及时关注最新的教学理论和方法，提升教学质量。
（完整版）二项式定理教案.docx
（完整版）二项式定理教案.docx1.3.1二项式定理（第一课时）一、教学目标1、知识与技能（1）理解二项式定理，并能简单应用（2）能够区分二项式系数与项的系数2、过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察，分析，归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
3、情感与态度价值观通过探究问题，归纳假设让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯，在自主学习中体验成功，在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
二、教学重点难点1、教学重点：二项式定理及二项式定理的应用2、教学难点：二项式定理中单项式的系数三、教学设计：教学过程设计意图师生活动一、新课讲授引入：展开 (a b)2、 (a b)3XK]让学生写展开式，回顾学生写展开式多项式乘法法则学生完成：(a b) 2a22ab b2利用排列、组合理知识(a b) 3a33a2 b3ab 2b3分析 (a b)2展开式分析 (a b) 2的展开式：(a b) 2(a b)(a b) a22ab b2教学过程设计意图师生活动恰有 1 个因式选b的情况有C12种，所以ab的系数是C12；2 个因式选b的情况有C22种，所以b2的系数是C22；每个因式都不选 b 的情况有C02种，所以a2的系数是C02；(a b)2C02a2C12 ab C22b2类比展开 ( a b)3(a b)3C03a3C13a2b C32ab2 C 33b3①展开式有几项？思考 3 个问题：②展开式中 a ，b 的指 1. 项数 2. 每一数和有什么特点？项 a ，b 的指数③各项的系数是什和 3.系数么？如何用排列、组合的知学生完成识解释ab2的系数？按照 a 的降幂排列类比展开 ( a b) 4(a b)4 C 04a4C14 a3b C 24a2 b2C 34ab3C44 a4归纳、类比(a b) n?二、二项式定理：(a b)n C0n a n C1n a n 1b C2n a n 2b2L C k n a n k b k LC n n b n(n N* )这个公式叫做二项式定理, 左边的多项式叫做二项式右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式，其中各项的系数 C r n ( k 0,1,2,3,L n) 称为二项式系数，式中的 C k n a n k b k叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第k 1 项，记作：T k 1=C k n a n k b k从以下几方面强调：（1）项数：n 1项；（2）指数：字母a，b的指数和为n，字母a 的指数由n 递减至0，字母 b 的指数由0递增至n；（3）二项式系数：下标为n，上标由0递增至n；C n k （ 4）通项：第k1项：T k 1C n k a n k b k 让学生类比写展开式，进一步巩固展开式的特点通过前面具体的例子，让学生从项数、项、系数这三个方面来类比(a b) n?（1）项数：n 1项；（2）指数：字母a，b的指数和为 n ，字母 a的指数由 n 递减至0，字母 b 的指数由0递增至n ；（ 3）系数是C n0 ,C n1 ,C n2 ,L ,C n kL ,C n n (k {0,1,2,L , n})生：板演( a b) 4的展开式师：展示通过前面几个例子，类比归纳得到 (a b)n的展开式，学生交流探究以下 3 个问题1.指数：3.系数教学过程设计意图师生活动三、典例分析例例 1、求 (214区别：) 的展开式x展开式中第 2 项的系解：1)4C 40 24 C 41 23( 1) C 41 22( 1) 2 C 432 ( 1)3数，第 2 项二项式系数(2 C 44 ( 1)4xx x xx32 24 8 116 x x 2 x 3 x 4例 2（ 1）求 (12x) 5思考：的展开式中第解：(1 2x)53 项是 T 2 1 C 52 13 (2 x)240 x 3展开式中第 3 项的系的展开式的第，数，第 3 项二项式系数例 3. 求 ( x1)9 的展开式中 x 3 的系数x通过例题让学生更好解：∵ ( x 1)9的展开式的通项是的理解二项式定理xTk 1C 9r x9 k( 1) k C 9k x 9 2k，x强调：通项公式的应用∴ 92k3 ，∴ x 3 的系数 C 9384课堂检测：1. (2 a b)4 的展开式中的第 2 项 . 解： T 2 1 C 41 (2a)3 b 32a 3b ，2. (x 10的展开式的第 6 项的系数（D ）进一步巩固二项式定1)C 106C 106C. C 105C 105理A. B.D.3. (1x)5 的展开式中 x 2 的系数为（ C ）25A.10B. 5C.D. 12四、小结学生应用二项式定理明确通项的作用五、作业：课本 37 页 A 组 2 、 3 题板书设计：1.3.1二项式定理一 .二项式定理：(a b)n C0n a n C1n a n 1b L C k n a n k b k L C n n b n( n N * )1.项数：n1项；2.指数：字母a，b的指数和为n ，a的指数由 n 递减至0，b的指数由 0 递增至n；3.二项式系数：C n0 , C1n , C n2 ,L , C n k L , C n n (k {0,1, 2,L n})4.通项：第k 1 项：T k 1C n k a n k b k二.典例三 .作业。
二项式定理教学设计(含教学点评)2
《二项式定理》教学设计一．教学内容及其解析二项式定理是带领我们进入微积分领域大门的一把金钥匙，只是在初中没有显示的机会。
本节知识类型属于概念型认识，将本节内容放在计数原理之后来学习，一方面是因为二项式定理证明要用到计数原理，另一方面也是学习随机变量及其分布列的准备。
二项式定理安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是计数原理、组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，它是二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。
运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。
二．教学目标及其解析（一）目标1、能用计数原理分析2)a+的展开式；捕捉二项式展开式各项的系数的组合规(b律。
2.会用类比、合情推理的方法研究3)a+二项式展开式问题。
a+，()n ba+，4)(b(b3.学生会主动观察项以及系数的变化规律、类比3)a+、a+、猜想()n b(ba+，4)(b归纳二项式的能力。
（二）目标解析1、将二项式展开式与计数原理联系在一起并不容易，所以通过小桶去球的情景铺设两者的对接的桥梁，实现对2)a+的展开式”的深入探究，最终摸索出()n b(ba+的展开式的规律，并能用自己的语言说出()n ba+的展开式的项数、各项次数及展开式中各项系数的特点，体验从特殊到一般的逻辑思考方法。
2、培养学生类比归纳的合情推理在本节课指的是学生能从取球的例题从迁移到()()()432,,b a b a b a +++的展开式，从而归纳()n b a +的展开式。
三．学情分析1.根据学生的实际情况，学生已有的基础是计数原理、排列组合相关知识，但教学中遇到的第一个困难就是学生不能主动运用计数原理分析二项式的展开式。
要解决这一问题，在教学中设计一个学生熟悉的取球的例子；然后引导学生用解决上述问题的方法写出()2b a +的展开式，突出计数原理在解决二项式展开式可以起到的作用。
二项式定理教案(待修改)
《二项式定理》教学设计1．教材分析：二项式定理在本章的学习中起着乘上启下的作用．学习本小节的意义在于：①二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有其内在联系；②二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可以得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识；③本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用；④二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法．教学重点：二项式定理的内容及应用教学难点：二项式定理的推导过程及内涵2．教学目标：（1）知识技能：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用．(2) 过程方法：通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．(3) 情感、态度和价值观：通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程.3．教学过程一、设置情境，引入课题问题:(1)今天是星期一，那么7天后的这一天是星期几呢?（星期一）(2)如果是15天后的这一天呢？（星期二）(3)如果是 8100天后的这一天呢？ 二、探索研究二项式定理的内容问题：n b a )(+的展开式有什么特点？你能将它展开吗？试一试． [学生分组探究] 学生可能的探究方法1： 由b C a C b a b a 11011)(+=+=+22212202222C C C 2)(b ab a b ab a b a ++=++=+33322321330332233C C C C 33)(b ab b a a b ab b a a b a +++=+++=+44433422243144044322344464)(bC ab C b a C b a C a C b ab b a b a a b a ++++=++++=+……学生可能通过具体的例子来展开说明，如：3223333)(b ab b a a b a +++=+[来源:学§科§网] 或4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 学生归纳过程可能如下：以4)(b a +为例的展开式的分析过程：4322344464))()()(()(b ab b a b a a b a b a b a b a b a ++++=++++=+容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：432234,,,,b ab b a b a a ．[学生可能归纳出来：（1）每一项中字母a ，b 的指数之间的关系（2）项的个数有1+n 项]在上面4个括号中：每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，所以4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况下有14C 种，所以b a 3的系数是14C ；恰有2个取b 的情况下有24C 种，所以22b a 的系数是24C ； 恰有3个取b 的情况下有34C 种，所以3ab 的系数是34C ； 4个都取b 的情况下有44C 种，所以4b 的系数是44C ； 因此44433422243144044C C C C C )(b ab b a b a a b a ++++=+．[归纳、猜想?)(=+n b a ])N (C C C C C )(*222110∈++++++=+---n bb a b a b a a b a n n n r r n r n n n n n n n n教师根据情况进行指导和引导，尤其是各项二项式系数的确定，教师要从各项中a ，b 指数的含义如b a a 34,来引导，并要求学生说明怎么得到这些项？教师可以通过电脑演示各形式项的形成过程，将学生的思维过程展示．学生可能的探究方法2：)())()(()(b a b a b a b a b a n ++++=+ ，共n 个)(b a +，依据多项式乘法，直接写出各项．[学生成果展示，可通过具体实例：通过投影、板书或口述] 问题：希望学生得到的规律 （1） 项数：1+n 项；（2）指数：字母a ，b 的指数和为n ，字母a 的指数由n 递减至0，同时，字母b 的指数由0递增至n ；（3） 二项式系数是nnr n n n n C C C C C ,,,,,210 （4）通项：r r n r n r b a C T -+=1三、二项式定理的应用例1 求6)12(xx -的展开式（分析：为了方便，可以先化简后展开。
二项式定理教学设计及反思
二项式定理教学设计及反思一、教学目标：1. 知识目标：掌握二项式定理的概念和公式。
2. 能力目标：能够灵活运用二项式定理解决实际问题。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和自信心。
二、教学内容：1. 二项式定理的概念和公式。
2. 二项式展开。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：二项式定理的概念和公式的掌握。
2. 教学难点：二项式展开的应用。
四、教学过程：1. 导入（5分钟）：通过一个生动的例子引入二项式定理的概念，让学生了解二项式的含义和特点。
2. 概念解释与公式导出（10分钟）：引导学生思考并总结二项式定理的概念和公式，通过分组讨论和合作探究，让学生主动参与知识的发现过程。
3. 理论讲解与示范（10分钟）：教师对二项式定理的概念和公式进行详细的讲解，并通过实例演示如何应用二项式定理进行展开，引导学生理解和掌握二项式展开的方法。
4. 练习与巩固（15分钟）：学生进行一些基础的练习题，巩固二项式定理的概念和公式，提高运用能力。
5. 拓展与应用（15分钟）：引导学生运用二项式定理解决实际问题，让学生明确二项式定理在实际生活中的应用价值。
6. 小结与反思（5分钟）：对本节课的学习内容进行总结，并针对学生的不足之处进行反思。
五、教学手段与资源准备：1. 教学手段：讲解、示范、讨论、练习、引导。
2. 教学资源：教材、课件、黑板、练习题。
六、教学反思：本节课从事教师配备了丰富的教学资源，通过讲解、示范、讨论等多种手段，让学生在主动参与的过程中掌握了二项式定理的概念、公式和应用方法。
在教学过程中，学生表现出了浓厚的兴趣和积极的参与度。
通过举例和练习，学生们对二项式定理的应用也有了初步的了解。
然而，还存在一些问题需要进一步改进。
首先，在导入环节，可以通过更加具体的例子或者实际问题，引发学生的思考和探究，提高学生的学习主动性。
其次，在知识讲解和示范环节，教师应该关注学生的理解情况，及时纠正错误，让学生在基础知识上打牢基础。
两种设计两种理念——谈《二项式定理》教学设计对比分析
两种设计两种理念——谈《二项式定理》教学设计对比分析胡达红
【期刊名称】《新课程研究(下旬）》
【年(卷),期】2012(000)011
【摘要】面对新课程背景下的二项式定理教学，通过新的教学设计与原有典型的教学设计进行对比分析．阐述了两种教学设计中对关注学生、关注思维、关注数学文化，关注情境教学、关注数学思想等理念的渗透过程的对比，以澄清一些教学中的误区，阐述一些个人观点。
【总页数】3页(P109-111)
【作者】胡达红
【作者单位】江苏省南京市第三高级中学,江苏南京210008
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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“二项式定理”的教学设计与分析
“二项式定理”的教学设计与分析潘秀明【期刊名称】《上海中学数学》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】6页(P32-37)【作者】潘秀明【作者单位】215151 江苏省吴县中学【正文语种】中文(一) 教学目标1. 掌握二项式定理及其简单应用(会利用二项展开式及通项公式解决有关问题).2. 展示二项式定理推导的思维探究过程，培养训练学生的观察、联想、类比、归纳及理性思维的数学归纳探究能力.3. 培养学生运用哲学思维思考数学问题的意识；积极培养学生数学探究的兴趣和信心，逐步激发学生的创新意识；运用“贾宪、杨辉三角”这一载体，在课堂中渗透民族精神教育，培养学生良好的数学文化素养.(二) 教学重点借二项式定理的发现及其必要性，关注此定理的推导过程对培养数学思维能力的现实意义，着重培养学生研究数学的意识和发展数学的能力，提升教师研究数学问题能力和探索创新的意识.(一) 情境引入1. 回顾整式乘法公式：(a+b)2=a2+2ab+b2.2. 问题：能否给出(a+b)4、(a+b)5公式(限时两分钟)．学生在处理(a+b)2、(a+b)3相关的问题时，会自觉地直接运用整式乘法公式，不但快速有效，而且展开式排列规范．但让学生限时处理(a+b)4、(a+b)5时，学生的解题节奏顿时放慢，思维发生障碍，公式运用不太流畅，给出的展开式种类繁多，而且展开式的排列可能也不太规范，甚至许多学生不能给出正确的结果或干脆甩手不干．其中有的只因展开式项数过多，整理太繁，扰乱了正常的数学思维，产生畏惧的心理；有的可能不甚清楚整式乘法的法则，产生厌学的不良情绪．如何消除这些负面影响呢？笔者认为最好方法就是极限突破，消除学生的经验定势，直接提出如何解决(a+b)n展开式的问题，指出研究的必要性，明确由一般回归到特殊，消除学生先前的畏难厌学情绪．事实上，当提出研究(a+b)n展开式时，学生群“愤”而“悱”，心理上产生强烈的矛盾冲突．“愤者”认为：解决(a+b)4、(a+b)5都很困难，何况研究(a+b)n.“悱者”喜之：若研究出(a+b)n的展开式，其他也就是套套公式而已．“愤”与“悱”其实就是一般与特殊，课堂上两种学生都有一个共同的行动：积极开动大脑，调动思维，想方设法地解决(a+b)n．教师就是要营造这种学生相互对立冲突的教学情境，充分发挥学生探究学习的兴趣，以困难诱导、激发学生研究数学的热情，教师适时调停斡旋、及时点拨、耐心引导学生共同达成学习目标，即求智慧：如何获取(a+b)n的展开式的能力；求知识：掌握(a+b)n的展开式．笔者认为本节课要以培养学生研究数学问题能力和强化探索创新的意识为主导，因为学生了解知识发生的过程，就能真正地去理解知识，并自觉运用．(二) 初步探究1. 呈现学生已掌握的和已经解决的数学问题：(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4…结合上述几个展开式，提示或启发学生从以下几个方面讨论、交流上述展开式的共性特点(保留或发展)和个性差异(调整或规避)．展开式2.通过学生仔细观察、归纳、类比，大胆猜想(a+b)n(n∈N*)的展开式可能具有的结构特征：在这一教学环节中，要使学生知道研究什么，怎么研究(从什么地方入手)，如何创新(探究新知).此时的着眼点就在于从学生最近发展区域——多项式知识出发，提出一些学生熟悉的问题，比如：多项式的次数是怎么定义的？多项式是如何分类的？多项式排列有何要求？在思维推理策略方面的启发可提出：由数列的前几项如何写出数列的通项公式？其中包含了哪些数学思想方法？培养学生细致观察、大胆讨论、自主交流、共赢合作的团队意识，让学生成为会思考的人，有分析能力的人，更要成为有创新意识的协作团体．3. 善于学习数学的人有一个共同的特征就是善于质疑，提出新的问题，从而实现知识创新的初步建构．问题1 在(a+b)n展开式中，项的形式结构为何形如“？an-rbr”，有什么科学依据？(淡化系数)结合初中的整式乘法法则，让学生作如下两个方面的思考：(1) 求(a+b)(c+d)与(a+b)(c+d)(e+f)的展开式．分析(a+b)(c+d)、(a+b)(c+d)(e+f)展开式的结果，回顾正式乘法法则实施要点：每一个括号取一个字母的积即为展开式的项，即展开式中各项的字母均来自不同的括号，项的次数即为括号的个数，每一项的系数均为1．根据计数原理知：(a+b)(c+d)项数为2×2=22项(如表1)．(a+b)(c+d)(e+f)项数为2×2×2=23项(如表2).运用上述方法研究(a1+b1)(a2+b2)…(an+bn)展开式中有多少不同的项以及展开式的各项．前者运用计数原理，后者方法简单但操作繁琐．(2) 求(a+b)(a+b)与(a+b)(a+b)(a+b)的展开式．运用替换的数学思想，把每个括号中的元素都改成a和b，情形如下：(a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd↓c←a,d←b(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2(a+b)(c+d) (e+f)=ace+acf+ade+adf+bce+bcf+bde+bdf↓c←a,d←b,e←a,f←b(a+b)(a+b)(a+b)=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb=a3+3a2b+3ab 2+b3引导学生从上述变化过程中寻找不变的东西——展开式中的每一项都是从每括号中各取一个字母的乘积，故(a+b)n(n∈N*)展开式的项的次数为n，项的形式“？an-rbr”也便水到渠成了．根据项的形式结构，学生很快悟出(a+b)5、(a+b)6以及 (a+b)n展开式大致的结构和它们展开式的项数：(a+b)5=( )a5+( )a4b+( )a3b2+( )a2b3+( )ab4+( )b5=?a5-rbr(a+b)6=?a6-rbr. 项的次数为n；展开式的项数共有n+1项)在上述分析过程中，教师一定要让学生根据已有的知识和能力，自己体会领悟，切不可操之过急，越细越好，用学生的思维构建出(a+b)n(n∈N*)展开式大致的数学结构，而接下来解决的问题仅是展开式中各项的系数．问题2 如何确定展开式中各项的系数？在多次的教学实践中，笔者发现许多学生在已知展开式的系数上存在思维定势，学生很自然地觉察出如下展开式项的系数的规律．这种规律的优点在于表层可见，学生易于操作和掌握；缺点在于制表必须讲究连续性．展开式系数(a+b)1=a+b 1 1(a+b)2=a2+2ab+b2 1 2 1(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 1 3 3 1(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 4 6 4 1学生并非从问题1第(2)小问的相关展开式前后系数和项数变化中寻找原因，当然，学生很难自觉运用这种深层次比较分析的数学思维，唯一的做法就是加强引导，适度训练，逐步培养学生高度抽象概括的能力．当前的教育现实是重视知识的传授，长于工艺技术，淡薄理论创新和对获取知识的能力的培养，数学的学习已日益走入了死胡同，在这种情况下，学生怎会想到展开式的系数会与组合数挂钩呢？学生可以自主归纳出展开式对应的系数列表有以下几个特点：(1) 系数的对称性：点评时，可以从a,b的均衡性理解，突出哲学理念在数学思维中的合理运用，为日后研究数学拓展视野.(2) 先增后降，中间项的系数最大.(3) 首末两项的系数均为1，除第一行外，其余的数值是其左上角两个数值的和．(可能还有其他规律)结论猜想连续制出系数数表，依系数的规律写出(a+b)5、(a+b)6的展开式1 4 6 4 1 (a+b)4=____________1 5 10 10 5 1 (a+b)5=____________1 6 15 20 15 6 1 (a+b)6=____________结论证明如何验证(a+b)5、(a+b)6的展开式的正确性呢？解法1：运用整式乘法法则逐步运算.解法2：运用系数对称和项的结构特征．如：验证(a+b)5的展开式．设(a+b)5=a5+xa4b+ya3b2+ya2b3+xab4+b5，选取a,b的两组不同的数值，联立方程组待定系数．回顾历史上述系数列表的规律国史称“贾宪(1023～1063)、杨辉三角”，外史称“帕斯卡(1663～1662)三角”，国人的智慧悠久500年，注重工艺技术应用和私密传授，规律运用范围狭窄，流传面不广，少有理论创新．例如直接写出(a+b)10这题，若运用上述方法解决，就必须再连续制表，知晓了(a+b)9展开式项的系数，方可写出(a+b)10的展开式．当然也可以采用上述验证的两种方案，但是操作比较繁琐．具有较强的个性特色，不具有广泛的运用价值，仅可作为对个别问题处理．时光转至1664～1665年，牛顿重新研究了(a+b)n(n∈N*)，给出简洁有效的公式？an-rbr，这就是二项式定理．顺势明确今天的教学课题．(三) 知识建构1. 从系数列表特点发现一个重要的信息：首末两项的系数均为1，除第一行外，其余的数值是其左上角两个数值的和．根据这种结构类比，适时联想近期所学的组合知识学生自然猜想到展开式的系数可能与组合有关.系数列表改成对应的组合数列表如下：系数组合11 21 3 31 4 6 4进而猜想出：这些项的系数(组合数)有什么实际意义呢？通过比较(a+b)(c+d)与(a+b)2、(a+b)(c+d)(e+f)与(a+b)3的展开式项数前后变化分析．(a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd↓c←a,d←b(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2(a+b)(c+d)(e+f)=ace+acf+ade+ad f+bce+bcf+bde+bdf↓c←a,d←b,e←a,f←b(a+b)(a+b)(a+b)=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb=a3+3a2b+3ab2+b3教学情况分析①(a+b)(a+b)展开式中各项的次数均为2，共计3项,系数分别为1、2、1；(a+b)(a+b)(a+b)展开式中各项的次数均为3，共计4项，系数分别为1、3、3、1．与(a+b)(c+d)、(a+b)(c+d)(e+f)的展开式的结果进行比较分析，找出它们之间的联系与区别，特别要注意引导学生关注展开式中项数变化的原因——合并同类项．及时明确同类项的个数，合并同类项后各项系数怎么变化？如何用现有的数学知识解决问题？②以(a+b)(a+b)(a+b)展开式为例，除展开式的首末两项系数外，重点关注：aab(在第三个括号中取b)、aba(在第二个括号中取b)、baa(在第一个括号中取b)，由这三项合并为3a2b.这里要强调含a2b项的系数3的来源：从三个括号中分别取出两个a一个b，共有种情形，每种情形系数为1，即合并后a2b项的系数为③让学生结合上述方法，分析含有ab2(a3、b3)项的系数的形成以及组合数产生的参照标准(a或b)．④结合(a+b)n展开式中项的结构，分析an-rbr的产生，即从n个(a+b)中选取r个(a+b)，从每个(a+b)中取b，从剩下的n-r个(a+b)中，每个(a+b)中取a，它们的积即为an-rbr，每一个积的系数为1，这样的积有个，合并同类项得该项系数⑤让学生有条理地阐述二项式定理以及的数学含义．an的系数即为每个括号都不取b的情况数，有种；an-1b的系数即为恰有1个括号取b其余取a的情况数，有种；…an-rbr的系数即为恰有r个括号取b其余取a的情况数，有种；…bn的系数即为有n个括号都取b的情况数，有种．2. 加速学生对二项式定理的理解分析，完善相对应的数学概念、知识模块.①右边多项式称为二项式展开式 .②第r+1项如何产生)即通项公式.③二项系数注意与项的系数的区别) ．(四) 知识运用例1 展开下列各式：(1) (a-b)5；(2) (1+)4；(3) (x-2y)6.说明：让学生独立运用二项式定理，实时投影评析，比较二项式和的结构与例题结构的异同，突出转化、整体的思维策略：(a-b)5=[a+(-b)]5；(x-2y)5=[x+(-2y)]5．旨在培养学生灵活运用二项式定理，深刻理解该定理的本质，适时呈现引申练习.(1) 已知把(x-1)5化成a0(x+1)5+a1(x+1)4+a2(x+1)3+a3(x+1)2+a4(x+1)+a5的形式．说明： (x-1)5=[(x+1)-2]5.(2) 已知函数f(x)=x6-6x5+15x4-20x3+20x2-15x+1，求f(2)．说明：直接代入是一种简单易行的方法，但计算整理繁杂，容易出现错误.应规避错误的发生，启发学生察看系数特征，培养学生全面分析问题的能力，积极寻找简洁有效的方法即二项定理的逆用．培养学生的逆向思维模式．(3) 求例题1(3)展开式中间项的二项式系数和项的系数．说明：明确展开式的二项式系数与项的系数的区别，突出展开式的项数与中间项的关系，明晰中间项所属的r值，强调研究项的特征，重点关注通项公式．引申练习在(x-)6的二项式展开式中，求:(1) 第5项的二项式系数和项的系数；(2) 展开式中常数项．说明：①强化运用通项公式的意识和整理的能力，一般遵循先系数后次数．Tr+1=x6-r(-)r=(-)rx6-2r(r=0,1,…,6).②提问：展开式中有几项是整式？拓展思考在(a-b+2c)10展开式中，求:(1) 展开式中含有a5b3c2的项为？(2) 展开式中共有多少项？说明：数学学习的最终目的并不是获取知识，而是训练思维，发展思维能力，一堂好的数学课不但有知识的学习和巩固，更要有思维的体验和发展，还要具备勇于创新和实践精神．问题(1)旨在检验学生对建构二项式定理过程的理解和方法运用的普遍性．a5b3c2就是从选5个括号中取a，从剩下的5个括号选3个括号中取-b，再从余下的括号中取2c，所得的项当然还有其他表示形式，如等．若问题从二项式(a-b+2c)10=[a+(-b+2a)]10角度来研究， a5来源于再从(-b+2c)5中研究b3c2，即故含有a5b3c2的项为问题(2)旨在巩固学生对二项式定理的理解和运用．解法1：展开式的项分别为：1、2、3、r+1…11.∴合计项数为：(1+11)×11=66.解法2：从项的特征出发：由于展开式只研究项数，项的不同是与a、b、c的次数有关而与项的系数无关，故展开式的项的形式可简单设为：axbycz，x,y,z满足条件即展开式的项数问题转化为不定方程有多少组不同自然数解的问题．再转化的形式，运用挡板法求出方程解的组数(五) 反思小结1. 本节课主要学习了二项式的展开：一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋．2. 二项式定理的探索思路:观察—归纳—猜想—证明.3. 二项式定理的表达式以及展开式的通项二项式定理及通项公式的特点.4. 要正确区别“项的系数”和“二项式系数”.二项式定理是初中乘法公式的推广，是计数知识的具体运用，是后继学习内容——概率的重要基础．教材中的二项式定理主要包括：定理本身、通项公式、杨辉三角、二项式系数的性质等．故二项式展开式应该是教学重点．二项式展开式的探究涉及到有关组合的知识，涉及到归纳、猜想等探究能力要求，对学生来说是难点．在二项式定理的发现及理解的过程中，教师要积极关注此定理的推导过程对培养学生数学思维能力的现实意义，着重培养学生研究数学的意识和发展数学的能力，提升学生提出问题、研究问题的能力，竭尽全力培养学生探索创新的意识，让学生在学习数学中得到快乐，享受幸福．学生数学能力的形成远比数学知识获得重要得多，二项式定理内容不复杂，直接让学生记忆，反复训练，不断强化巩固，课堂效果也不会太差，但这样的数学能走多远呢？许多高考成绩优秀的学生，毕业一年后再来回顾高中数学时，却一脸茫然，最主要的一个原因就是数学思维能力没有得到正常的发展．数学的学习应该关注知识产生的背景，知识形成的过程，在这过程所用的数学思想方法，知识对学生产生积极的心理情绪(比如自我认同感、相互欣赏)，探求过程对学生意志品质的培养(比如不怕困难，坚信方法总比困难多)．在二项式定理的发现过程中，积极调动学生的思维，运用“头脑风暴”的思维模式，适当点拨、引导学生，理顺目标的需求——展开式的项特点、排列的要求、运作的理论支持．在这过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神、自主批判；尽量创造让学生活动的机会，让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量培养学生研究数学的意识，发展学生学习的能力，拥有团结协作的精神，积极地创造知识，使他们能在和谐快乐的氛围中学习．从学生熟知的知识领域入手，运用学生已掌握的数学思想方法解决问题，哪怕繁杂，甚至不正确，教师要积极地引导、点拨，去伪存真.从具象形态(生活背景)到抽象的符号(数学表达)，从特殊到一般，分析共性的和个性的规律，合理而大胆地归纳猜想，运用恰当的联想(数字的规律—组合数—组合数的规律)，逐步化简难点，进行严密的演绎证明．二项式定理中蕴含的“贾宪、杨辉三角”，是我国古代数学成果的典型代表，是课堂上渗透民族精神教育的很好的载体，但要批判地接受，从而培养学生良好的数学文化素养；适时培养学生运用哲学思维模式思考数学问题的意识．这节课不要过多地关注二项式定理的应用，应用可以留置下一节课进行，但拓展思考一定要进行.因为它能够检验学生对二项式定理推导的思维探究过程，发展学生的观察、联想、类比、归纳及理性思维的数学探究能力，积极培养学生化归意识和知识迁移的能力．它为学生培养学习数学的兴趣，树立创新信心提供了绝佳时机．。
高中数学教学课例《二项式定理》课程思政核心素养教学设计及总结反思
讨论，纠正，形成小组之间的学习竞争
教学过程
一：用坐庄法研读教材六：小组互换批改
二：知识要点梳理七：小结
三：自我诊断
四：典例透析
五：跟踪训练
高效课堂当然离不开学生的有效合作。我们可以根
据学生的学习成绩按照不同的层次搭配划分学习小组，
让学生结成学习小组，共同学习，共同进步。总之，高
高中数学教学课例《二项式定理》教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《二项式定理》
称
教材分析
重点：会写出二项展开式 难点：二项展开式的特定项或系数问题
学习目标
1、利用二项式定理写出多项式的二项展开式
2、会用二项式定理解决二项展开式的特定项或系 教学目标
数问题
技能目标：会用叽叽喳喳法，坐庄法，组际批阅法
进行合作学习
我认为在学习这一章节时，应该积极倡导学生自
学生学习能 主、合作、探究的学习方式通过自主、合作、探究的学
力分析 习方式，充分激发学生的主动意识和进取精神，全面提
高学习积极性
用“坐庄法”和“叽叽喳喳法”合作学习探究，充
分体现学生学习的小组分工合作学习，关注差下生的学 教学策略选
习情况。 择与设计
效课堂无论是学习还是借鉴，都在于领会先行学校的精 课例研究综
神，而不在于形式。高效课堂虽然不是一种具体的模式， 述
但它的目标是明确的，是对传统教学模式的改革。虽然
与传统教学模式的目的有一致的地方，但它的具体要求
已经超越传统，作为教学主导者的教师必须首先改变自
己，才能真正实现高效课堂教学的目标。