习题3 递推关系

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04.递推算法(C++版包括习题参考答案)

min{m , n}1 i 0
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个；长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个；根据乘法原理
【参考程序】 #include<iostream> using namespace std; int main() { int f[1001][2],n,i,x; cin>>n; f[1][1]=1;f[1][0]=9; for(i=2;i<=n;i++) { x=f[1][0]; if(i==n)x--; f[i][0]=(f[i-1][0]*x+f[i-1][1])%12345; f[i][1]=(f[i-1][1]*x+f[i-1][0])%12345; } cout<<f[n][0]; return 0; }
下面是输入n，输出x1~xn的c++程序： #include<iostream> using namespace std; int main() { int n,i,j,a[101]; cout<<"input n:"; //输入骨牌数 cin>>n; a[1]=1;a[2]=2; cout<<"x[1]="<<a[1]<<endl; cout<<"x[2]="<<a[2]<<endl; for (i=3;i<=n;i++) //递推过程 { a[i]=a[i-1]+a[i-2]; cout<<"x["<<i<<"]="<<a[i]<<endl; } } 下面是运行程序输入 n=30，输出的结果： input n: 30 x[1]=1 x[2]=2 x[3]=3 ........ x[29]=832040 x[30]=1346269

浅析数列应用题中的递推关系

阅读题目、分析题意、联想、归纳、概括、建模，将实际问题抽象成纯数学问题，是解答应用问题的途径和关键，本文举例说明如何建立递推数列模型来解决与浓度，增长率和利息等有关的问题。
一、稀释溶液化工厂的某容器的容积为装满了浓度为100%的纯酒精，现欲使其稀释，从中倒出后用清水兑满，再从中倒出，又用清水兑满，为此反复进行了次，所得的溶液浓度为多少？欲使浓度不超过50%，至少要进行多少次操作？解：设操作次后的浓度为则操作次后的浓度为即故数列是首项为90%，公比为的等比数列，那么操作次后的浓度为要使
t=s·10-1000n=40000(2-)-1000n 欲使Tn最大，则：，得，故n=5,此时s=7875。即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，
能使获利最大。三、an= C·an-1+B，其中B、C为非零常数且
C≠1 例3、某企业投资1千万元于一个高科技项目，每
年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4 倍）的目标？（lg2=0.3）。
染者人数an=50n—30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=—30， bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.
故共感染者人数为：=8670，化简得：n261n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。
分析：设经过n年后，该项目的资金为an万元，则容易得到前后两年an和an-1之间的递推关系：an =an-1（1+25%）-200（n≥2），对于这类问题的具

递推算法分析

3. 递推的实施步骤
（1）确定递推变量递推变量可以是简单变量，也可以是一维或多维数组。（2）建立递推关系递推关系是递推的依据，是解决递推问题的关键。（3）确定初始（边界）条件根据问题最简单情形的数据确定递推变量的初始（边界）值，这是递推的基础。（4）对递推过程进行控制递推过程控制：递推在什么时候结束，满足什么条件结束。
i=1;k=1.0;y[1]=k;
while(i<=5)
{ i++;y[i]=(4*y[i-1]-1)/5;
if(y[i]!=（int）y[i])
{ k=k+1.0;y[1]=k;i=1;}
}
x=5*y[1]+1;
printf("原有椰子至少有：%6.0f个.\n",x);
习题3: 1, 2, 3, 5, 6, 7
首先y(1)赋初值k(取值从1开始递增)后推出y(2)，由y(2)推出y(3)，…，依此经5次递推得y(6)。如果某一次推出的不是整数，则中止继续往后推，返回k增1后赋值给y(1)，从头开始。如果5次递推都是整数，则输出原有椰子数5*y(1)+1后结束。
2. 算法描述
int i; double k,x,y[7];
1. 递推的概念
递推是计算机数值计算中的一个重要算法。思想是通过数学推导，将复杂的运算化解为若干个重复的简单运算，以充分发挥计算机善长重复处理的特点
2. 递推关系
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项之间的关系，即递推关系。递推关系是一种高效的数学模型，是递推应用的核心。递推关系不仅在各数学分支中发挥着重要的作用，由它所体现出来的递推思想在各学科领域中更是显示出其独特的魅力。

计算机算法设计与分析(第4版) 王晓东习题解答

第一章作业1.证明下列Ο、Ω和Θ的性质1）f=Ο(g)当且仅当g=Ω(f)证明：充分性。

若f=Ο(g)，则必然存在常数c1>0和n0，使得∀n≥n0，有f≤c1*g(n)。

由于c1≠0，故g(n) ≥ 1/ c1 *f(n)，故g=Ω(f)。

必要性。

同理，若g=Ω(f)，则必然存在c2>0和n0，使得∀n≥n0，有g(n) ≥ c2 *f(n).由于c2≠0，故f(n) ≤ 1/ c2*f(n)，故f=Ο(g)。

2）若f=Θ(g)则g=Θ(f)证明：若f=Θ(g)，则必然存在常数c1>0，c2>0和n0，使得∀n≥n0，有c1*g(n) ≤f(n) ≤ c2*g(n)。

由于c1≠0，c2≠0，f(n) ≥c1*g(n)可得g(n) ≤ 1/c1*f(n)，同时，f(n) ≤c2*g(n)，有g(n) ≥ 1/c2*f(n)，即1/c2*f(n) ≤g(n) ≤ 1/c1*f(n)，故g=Θ(f)。

3）Ο(f+g)= Ο(max(f,g))，对于Ω和Θ同样成立。

证明：设F(n)= Ο(f+g)，则存在c1>0，和n1，使得∀n≥n1，有F(n) ≤ c1 (f(n)+g(n))= c1 f(n) + c1g(n)≤ c1*max{f,g}+ c1*max{f,g}=2 c1*max{f,g}所以，F(n)=Ο(max(f,g))，即Ο(f+g)= Ο(max(f,g))对于Ω和Θ同理证明可以成立。

4）log(n!)= Θ(nlogn)证明：∙由于log(n!)=∑=n i i 1log ≤∑=ni n 1log =nlogn ，所以可得log(n!)= Ο(nlogn)。

∙由于对所有的偶数n 有，log(n!)= ∑=n i i 1log ≥∑=n n i i 2/log ≥∑=nn i n 2/2/log ≥(n/2)log(n/2)=(nlogn)/2-n/2。

当n ≥4，(nlogn)/2-n/2≥(nlogn)/4，故可得∀n ≥4，log(n!) ≥(nlogn)/4，即log(n!)= Ω(nlogn)。

04.递推算法(C++版包括习题参考答案)

【例6】过河卒（Noip2002）【问题描述】棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如C点），该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点，如图3-1中的C点和P1，„„，P8，卒不能通过对方马的控制点。棋盘用坐标表示，A点 (0,0)、B点(n, m) (n,m为不超过20的整数),同样马的位置坐标是需要给出的，C≠A且C≠B。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。
min{m , n}1 i 0
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个；长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个；根据乘法原理
【例3】棋盘格数
设有一个N*M方格的棋盘（ l≤ N≤100，1≤M≤100）。求出该棋盘中包含有多少个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。例如：当 N=2， M＝3时：正方形的个数有8个：即边长为1的正方形有6个；边长为2的正方形有2个。长方形的个数有10个：即2*1的长方形有4个：1*2的长方形有3个：3*1的长方形有2个：3*2的长方形有1个：程序要求：输入：N，M 输出：正方形的个数与长方形的个数如上例：输入：2 3 输出：8 10 【算法分析】 1.计算正方形的个数s1 边长为1的正方形个数为n*m 边长为2的正方形个数为(n-1)*(m-1) 边长为3的正方形个数为(n-2)*(m-2) ………… 边长为min{n，m}的正方形个数为(m-min{n，m}+1)*(n-min{n，m}+1) 根据加法原理得出

李凡长版组合数学课后习题答案习题3

f(2)=1,f(3)=1,f(4)=2.
6. 求 n 位 0,1 序列中“ 010”只出现一次且在第 n 位出现的序列数 f(n). 解：最后三位是“ 010”的序列共有 2n-3 个。包括以下情况：
f(n) 包含了在最后三位第一次出现 010 的个数，同时排除了从
n-4 到 n-2 位第一次出现 010 的可能；
13. 在一个平面上画一个圆 , 然后一条一条地画 n 条与圆相交的直线 . 当 r 是大于 1 的奇数时 , 第 r 条直线只与前 r －1 条直线之一在圆内相交 . 当 r 是偶数时 , 第 r 条直线与前 r －1 条直线都在圆内相交 . 如果无 3 条直线在圆内共点 , 这 n 条直线把圆分割成多少个不重叠的部分？
2) 证明 f r (n, k)
n rk r , n r k( r 1)
k
解：可将本题转换为构造相应的 0－1 串的问题。将这样的 n 位 0－1 串与 1 到 n 的正整数对位，与 1 相应的整数选取，与 0 相应的不取。一个 0－1 串对应一个选取方案。这也对应将相同的球放入不同的盒子的方案数。
解：设 f(n) 表示 n 个椭圆将平面分割成的部分的个数，则有：一个椭圆将平
面分成内、外两个部分，两个椭圆将平面分成 4 个部分。第二个椭圆的周界
被第一个椭圆分成两部分，这恰恰是新增加的域的边界。依此类推，第三个
椭圆曲线被前面两个椭圆分割成 4 部分，将平面分割成 4＋4＝8 个部分。若
n－ 1 个椭圆将平面分割成 f(n-1) 个部分，第 n 个椭圆和前 n－1 个椭圆两两
f (n) (n 2) f (n 1) ( n 1)
（6）
；
f (0) 1
解： f(n)=(n+2)f(n-1)=(n+2)(n+1)f(n-2)=

递推-递归-分治-回溯

递推算法在程序编辑过程中，我们可能会遇到这样一类问题，出题者告诉你数列的前几个数，或通过计算机获取了数列的前几个数，要求编程者求出第N项数或所有的数列元素（如果可以枚举的话），或求前N项元素之和。

这种从已知数据入手，寻找规则，推导出后面的数的算法，称这递推算法。

典型的递推算法的例子有整数的阶乘，1，2，6，24，120…，a[n]=a[n-1]*n(a[1]=1)；前面学过的2n，a[n]=a[n-1]*2(a[1]=1)，菲波拉契数列：1，2，3，5，8，13…，a[n]=a[n-1]+a[n-2](a[1]=1,a[2]=2)等等。

在处理递推问题时，我们有时遇到的递推关系是十分明显的，简单地写出递推关系式，就可以逐项递推，即由第i项推出第i+1项，我们称其为显示递推关系。

但有的递推关系，要经过仔细观察，甚至要借助一些技巧，才能看出它们之间的关系，我们称其为隐式的递推关系。

下面我们来分析一些例题，掌握一些简单的递推关系。

例如阶梯问题：题目的意思是：有N级阶梯，人可以一步走上一级，也可以一步走两级，求人从阶梯底走到顶端可以有多少种不同的走法。

这是一个隐式的递推关系，如果编程者不能找出这个递推关系，可能就无法做出这题来。

我们来分析一下：走上第一级的方法只有一种，走上第二级的方法却有两种（两次走一级或一次走两级），走上第三级的走法，应该是走上第一级的方法和走上第二级的走法之和（因从第一级和第二级，都可以经一步走至第三级），推广到走上第i级，是走上第i-1级的走法与走上第i-2级的走法之和。

很明显，这是一个菲波拉契数列。

到这里，读者应能很熟练地写出这个程序。

在以后的程序习题中，我们可能还会遇到菲波拉契数列变形以后的结果：如f(i)=f(i-1)+2f(i-2)，或f(i)=f(i-1)+f(i-2)+f(i-3)等。

我们再来分析一下尼科梅彻斯定理。

定理内容是：任何一个整数的立方都可以写成一串连续的奇数和，如：43=13+15+17+19=64。

算法设计与分析基础课后习题答案(中文版)

Program算法设计与分析基础中文版答案习题1.15..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立.Hint:根据除法的定义不难证明:●如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;●如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。

数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。

故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?Hint:对于任何形如0<=m<n的一对数字,Euclid算法在第一次叠代时交换m和n, 即gcd(m,n)=gcd(n,m)并且这种交换处理只发生一次.7.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次)b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次)gcd(5,8)习题1.21.(农夫过河)P—农夫W—狼G—山羊C—白菜2.(过桥问题)1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数)算法Quadratic(a,b,c)//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法//输入:实系数a,b,c//输出:实根或者无解信息If a≠0D←b*b-4*a*cIf D>0temp←2*ax1←(-b+sqrt(D))/tempx2←(-b-sqrt(D))/tempreturn x1,x2else if D=0 return –b/(2*a)else return “no real roots”else //a=0if b≠0 return –c/belse //a=b=0if c=0 return “no real numbers”else return “no real roots”5.描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法a.用文字描述b.用伪代码描述解答：a.将十进制整数转换为二进制整数的算法输入：一个正整数n输出：正整数n相应的二进制数第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出b.伪代码算法DectoBin(n)//将十进制整数n转换为二进制整数的算法//输入：正整数n//输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中i=1while n!=0 do {Bin[i]=n%2;n=(int)n/2;i++;}while i!=0 do{print Bin[i];i--;}9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进.算法MinDistance(A[0..n-1])//输入:数组A[0..n-1]//输出:the smallest distance d between two of its elements习题1.31.考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count[] 4.(古老的七桥问题)习题1.41.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度. a.删除数组的第i 个元素(1<=i<=n)b.删除有序数组的第i 个元素(依然有序) hints:a. Replace the i th element with the last element and decrease the array size of 1b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array ’s element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the i th position is empty. (“lazy deletion ”)第2章习题2.17.对下列断言进行证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n )∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解:a. 这个断言是正确的。

数列与数列的性质讲解与习题实例

数列与数列的性质讲解与习题实例数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列有序的数按照一定的规律排列而成。

数列不仅在数学中具有重要意义，也广泛应用于其他领域，如物理、经济等。

本文将对数列的概念、性质进行讲解，并提供一些习题实例，以帮助读者更好地理解和运用数列。

一、数列的概念及表示方式数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序数集。

比如：1, 2, 3, 4, 5, ...就是一个从1开始的自然数列，其中每个数依次加1。

数列的表达方式有多种，常见的有列表法、通项公式和递推关系法。

1. 列表法：将数列的每一项按照一定的顺序列出来，用逗号隔开。

比如：1, 2, 3, 4, 5, ...就是一个数列的列表表示方式。

2. 通项公式：数列的通项公式是用一个变量n表示数列的项数，通过这个变量和一些常数表达数列的每一项。

比如：数列1, 4, 7, 10, ...的通项公式可以表示为an = 3n - 2。

3. 递推关系：数列的递推关系是通过前一项和后一项之间的关系来表示数列的。

比如：数列1, 1, 2, 3, 5, ...的递推关系可以表示为an = an-1 + an-2，其中an表示数列的第n项。

二、数列的性质数列具有一些重要的性质，掌握这些性质可以更好地理解数列，并在解题过程中作为辅助工具。

1. 单调性：数列可以是递增的（单调递增）或者递减的（单调递减），也可以是不增或不减的。

2. 有界性：数列可以是有上界或有下界的，也可以同时具有上下界，或者无界。

3. 整体性：数列的性质可以通过数列的前几项来确定，这样可以简化问题的分析和计算。

4. 规律性：数列的规律可以通过观察数列的前几项来找出，从而得到数列的通项公式或递推关系。

三、习题实例下面通过一些具体的习题实例来加深对数列的理解和应用。

习题1：求等差数列1, 3, 5, 7, ...的前n项和。

解析：这是一个公差为2的等差数列，可以使用等差数列的求和公式Sn = (a1 + an) * n / 2来解决。

李庆扬-数值分析第五版第3章习题答案(20130702)

和变量均需要发生变化。
2、当 f (x) x 时，求证 Bn ( f , x) x
利用多项式展开定理证明：证：
Bn (
f
,
x)
n k 0
f
(
k n
)
Pk
(
x)
n k 0
f
(
k n
)
n k
xk (1
x)nk
f (0)0
n
k
n!
n
xk (1 x)nk
(n 1)!
xxk 1(1 x)(n1)(k 1)
答：
b
|| f ||1 | f (x) |dx a
b
|| f ||2 f (x)2 dx a
||
f
||
max
a xb
|
f
(x) |
2、f , g C [a , b]，它们的内积是什么？如何判断函数族{ 0, 1, …, n}C [a , b]在[a ,b]上线性无关？
解：f , g C [a , b]，其内积为
a0 a1 x a2 x2 .... an xn 0
由于需要解出 a0 , a1, a2 ,..., an 共 n+1 个未知数，构造 n+1 个方程，取 x x0 , x1, x2 ,..., xn
n
有方程组 a j xk j 0 ，则系数行列式为 k 0 j0
1
G
1
...
x01 x11 ...
xi
] | |
min p
i0
[
f
xi
Pn xi ] |
m
| min [ f p i0
xi
Pn xi ] |2

数列应用问题中两种重要的递推关系

找准递推关系---快速解数列应用题江苏常州邓兆华数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式，排列组合，概率统计是较为常见的模型,其中建立数列的递推关系来解题是高考应用题中的常见题型一、一个数列相邻两项的递推，利用递推数列求通项的方法解决这类数列的通项问题。

例1、某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，……，每年新增汽车x 万辆，则 301=b ，x b b n n +=+94.01 解法一：当2≥n 时，x b b n n +=-194.0，两式相减得：()1194.0-+-=-n n n n b b b b（1）显然，若012=-b b ，则011==-=--+ n n n n b b b b ，即301===b b n ，此时.8.194.03030=⨯-=x（2）若012≠-b b ，则数列{}n n b b -+1为以8.106.0112-=-=-x b x b b 为首项，以94.0为公比的等比数列，所以，()8.194.01-⋅=-+x b b n n n .（i ）若012<-b b ，则对于任意正整数n ，均有01<-+n n b b ，所以，3011=<<<+b b b n n ，此时，.8.194.03030=⨯-<x（ii ）当万8.1>x 时，012>-b b ，则对于任意正整数n ，均有01>-+n n b b ，所以，3011=>>>+b b b n n ，由()8.194.01-⋅=-+x b b nn n ，得()()()()()3094.0194.01112112211+---=+-++-+-=----n n n n n n b b b b b b b b b b()()3006.094.018.11+--=-n x ，要使对于任意正整数n ，均有60≤n b 恒成立，即()()603006.094.018.11≤+---n x 对于任意正整数n 恒成立，解这个关于x 的一元一次不等式 , 得-11.81.810.94n x ≤+-, 上式恒成立的条件为：-11.8 1.810.94n n N x ∈⎛⎫≤+⎪-⎝⎭在上的最小值，由于关于n 的函数()-11.81.810.94n f n =+-单调递减，所以，6.3≤x . 解法二：利用待定系数法可以求出1300.940.060.06n n x x b -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，下省略点评：上面的解法其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.例2、将四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种，要使得相邻的边的颜色互不相同，有多少种不同的涂色方法？n 边行呢？解：本题从表面上看是排列组合的问题，与数列没有关系，但直接考虑并不简单，为此，我们考虑更一般的问题（即对于n 边形的涂色问题），并建构如下递推数列的模型：设n 边形（各边依次为12,,,n a a a …）满足条件的涂色方法有n b 种．考虑n ＋1边形的涂法：从边1a 开始考虑，对于1a ，有3种涂法；对于边2a ，由于要不同于边1a ，故有2种涂法；……；对于n a ，有2种涂法；最后考虑边1n a +，如果不考虑这条边是否与边1a 同色，则也应该有2种涂法，故涂法种数为32n⨯．上述涂色的方法中，包括两种，第一种是边1n a +与边1a 的颜色不同，这种涂色方法恰好符合题意，其总数应该为1n b +；第二种是边1n a +与边1a 的颜色相同，对于这一种涂色方法，如果我们把边1n a +与边1a 看作是同一条边，则其涂色方法也满足题目中对于n 边形的要求，故涂色方法总数应该为n b ．由此，不难得出：132n n n b b ++=⨯．所以，11132n n n b b -+--=⨯．另一方面，显然有33216b =⨯⨯=．所以，()()()212121212353321233213232323222k k k k k k k k b b b b b b b b ++-----+=-+-++-+=⨯+⨯++⨯+⨯=-222213222k k k k b b +=⨯-=+，(),2k N k ∈≥且显然，418b =．点评：本题的难点在于递推数列模型的建立．一般来说，数列型应用题的特点是：与n 有关．二、两个数列的三项递推，转化为一个数列的递推问题。

3数列的递推关系

3数列的递推关系对于数列{}1n n a ≥,若当1n k ≥+时,12,,,n n n n k a a a a ---与之间满足函数关系12(,,,,)0n n n n k F a a a a ---= (1)或 12(,,,)n n n n k a f a a a ---= (2)则称(1)或(2)为k 阶递推关系或k 阶递归关系.由此递推关系及初值条件12,,,k a a a ⋅⋅⋅所确定的数列称为k 阶递推数列.在k 阶递推关系(1)中,我们规定每一项的次数为该项中12,,,,n n n n k a a a a ---的次数的和,该项的系数为这项中除12,,,,n n n n k a a a a ---之外其余的因数.在k 阶递推关系(1)中,若各项的系数均是与n 无关的常数,则称这个递推关系为常系数递推关系；若递推关系中各项的次数相同,则称这个递推关系为齐次递推关系；若递推关系中各项的次数均不超过一次,则称这个递推关系为线性递推关系.例如,2130(2)n n n a a a n -+++=≥是常系数递推关系.32531220(3)n n n n a na a n a n ---++=≥是二阶齐次递推关系.2123(3)n n n a na a n n --=++≥是二阶线性递推关系；12334(4)n n n n a a a a n ---=++≥是3阶常系数线性齐次递推关系.下面我们介绍递推关系中常见的一些求解方法.1 基本原理定理1 设()g n 是已知数列,对于关于n a 的一阶递推关系,(1)（叠加法）若1()(2)n n a a g n n --=≥,则12();nn k a g k a ==+∑(2)（累乘法）若1()(2)nn a g n n a -=≥,则12()nn k a a g k ==∏； (3)（不动点法）若1(2)1,()n n a ba c n b p f x bx c -=+≥≠=+且是得不动点,则有 1()(2)n n a p b a p n --=-≥.证 (1),(2)显然.(3)因为()p f x 是的不动点,所以p bp c =+,又1n n a ba c -=+,两式相减得 1()n n a p b a p --=-.对于常系数线性齐次递推关系11220n n n k n k a b a b a b a ---++++= (3)其中0k b ≠,我们称方程121210k k k k k x b x b x b x b ---+++++= (4)为递推关系(3)的特征方程.特征方程(3)的根称为递推关系的特征根.若0x 为特征方程(4)的r 重根,我们将r 个数列{}{}{}1000,,,n n r n x nx n x -称为递推关系(3)的由特征根0x 所确定的r 个特解.有了这些约定,对于常系数线性齐次递推关系,我们有如下结论：定理2 设12,,,s x x x 分别为特征方程(4)的1r 重根,2r 重根,,s r 重根,则递推关系(3)的通解为1122111112111121222222112,s s r n n n n r r n n n r r n n n s s s s sr s a c x c nx c n x c x c nx c n x c x c nx c n x ---=++++++++++++其中(1,1)ij i c i s j r ≤≤≤≤为任意常数,即递推关系(3)的通解为各个特征根所确定的特解的线性组合.定理2的证明见组合数学教材.由定理2知，对于常系数线性齐次递推关系，只要能求出特征方程的特征根,就能求出这个递推关系的通解,在给定初值条件下,我们可用初值条件确定通解中的任意常数,进而求出满足初值条件的特解.一个数列常常可能满足多个递推关系,对于分式递推关系11(2)n n n aa ba n ca d--+=≥+ (5)其中0ad bc -≠,我们希望找到两个常数,p q 使得能将(5)化成如下形式11n n n n a p a pk a q a q----=-- （6）下面我们讨论,p q 应满足的条件.因为11111111()()()()n n n n n n n n n n aa b b pdp a a p ca d a pc a b pd a pc a pcaa b b qda q a qc ab qd a qc a q a qc ca d--------+--+-+-+---===⋅+---+--+--+,所以,要将(5)化为(6),只需b pdp a pc-=-- (7)b qdq a qc-=-- (8)由(7)得 ap bp cp d+=+ (9)由(8)得 aq bq cq d+=+ (10)令(),(9),(10)ax b f x cx d +=+表明,p q 是()f x 的不动点,这就说明了若函数()ax bf x cx d+=+有两个不动点,p q ,则递推关系(5)可化为递推关系(6).如果()ax bf x cx d+=+只有一个不动点,同样可证明递推关系(5)可化为如下形式： 111(2)n n k n a p a p-=+≥--这样我们得到如下结论：定理3 设0ad bc -≠,()ax bf x cx d+=+,若函数()f x 有两个不动点,p q ,则分式递推关系 11(2)n n n aa ba n ca d--+=≥+ ()*可化成11(2)n n n n a p a pk n a q a q----=≥--.若函数()f x 只有一个不动点p ,则递推关系()*可化成111(2)n n k n a p a p-=+≥--.3 方法解读对于某些递推关系,我们可用定理1至定理3中的叠加法,累乘法,不动点法,特征根法求解,也能够先猜测数列的一般项,然后再用数学归纳法证明.除这些方法外,我们常常是通过代换及代数恒等变形,将一个不熟悉的递推关系转化成一个可求解的递推关系,在作代换与变形时,常用的化归思想有如下几种.（1）无理化有理：当递推关系中含有无理式时,通过代换与变形化去递推关系中的无理式.(2)多元化少元：当递推关系中所含的未知数列有多个时,通过消元化成只含有一个未知数列的递推关系.(3)高次化低次：当递推关系的次数较高时,通过变形与代换降低递推关系的次数.(4)高阶化低阶：当递推关系的阶较高时,通过代换与变形,降低递推关系的阶.(5)非线性化线性：对于一个非线性递推关系关,若能把它化为线性递推关系,就先作这种化归.(6)非齐次化齐次：一个非齐次的递推关系,利用代换、消元的思想把它化为齐次递推关系.需要说明的是,一个数列所满足的递推关系常常不是唯一的,所以,对于一个较为复杂的递推关系,我们可猜测满足这个递推关系的数列也满足某一个较为简单的递推关系,在证明了我们的猜想之后,通过简单递推关系的求解去寻求原问题的答案.例1 在正项数列中,已知11100,n a a +==,求这个数列的通项.解 11lg 2lg ,lg 3n n n n a a b a +=+=令,则有1123n n b b +=+. 解方程123x x =+,得3x =,由定理1知(1)可化为113(3)3n n b b +-=-,得∴1113()(3)3n n b b --=-.11lg 2b a == ， ∴1111()(23)3()333n n n b --=-+=-+，113()31010n nb n a --∴==.例2 已知112,4,1a b n ==≥当时,112(1)66(2)n n n n n n a a b b a b ++=--⎧⎨=+⎩ 求,.n n a b 解由(2)得,116n n n a b b +=-,从而有12116n n n a b b +++=-,代入(1),得 2156n n n b b b ++=- (3)(3)的特征方程为2560x x -+=,从而知特征根为122,3x x ==,所以(3)的通解为1223n n n b c c =⋅+⋅.12114,66122436b b a b ==+=+=1212234,4936.c c c c ⨯+⨯=⎧∴⎨+=⎩解之得122812,3c c =-=， 2812233n nn b ∴=-⋅+⋅. 将n b 代入(2),得148233nnn a =⋅-⋅. 例3 已知11121,1,1n n n a a n a a --+=>=+当时,求.n a .解解方程122,1x x x x x +===+得1111213)21n n n n a a a a ----+-+===+++从而有13)3).n n -==解之得n n a = 例4 已知正数数列n a 满足= (1)且121,3,a a ==,求{}n a 的通项公式.解 (1),2= (2)令n b =则由(2)可得132n n b b +=+. 解方程32,1,x x x =+=-得从而有113(1)n n b b ++=+，1113(1)n n b b -∴+=+.112b =+==,13,31,n n n nb b ∴+==-31n =-. 221(31)1323,n n n n na a +=--=-⋅再由累乘法知121(323)n kk n k a -==-⋅∏.例5 已知{}n a 为数列,14,a =当1n ≥时,有22111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=+-, (1)求.n a解由(1)得22111(2)168(),n n n n n n a a a a a a ++++++=+211()8()160,n n n n a a a a ++∴+-++= 21(4)0,n n a a +∴+-=从而有140n n a a ++-=.14n n a a +=-+.解方程4, 2.x x x =-+=得所以1(2)(2),n n a a +-=--1112(1)(2)(1)2,n n n a a --∴-=--=-⋅ 1(1)2 2.n n a -∴=-⋅+例6 已知{}n a 满足121,a a ==≥当n 1时,有2122n n n n a a a ++=-+ (1)求.n a解由(1)得11122n n n n a a a -+-=-+ (2)(1)(2)2,-⨯得21112242,n n n n n n a a a a a a +++--=--+211452n n n n a a a a ++-∴=-+123452n n n n a a a a ---=-+ (3)(3)的特征方程为 32452,x x x =-+ (4) (4)的3个根分别为1232,1,x x x ===所以(3)的通解为1232.n n a c c c n =⋅++⋅因为121a a ==,所以33,a =解方程组12312312321,421,831,c c c c c c c c c ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩ 得1231,1,2,c c c ===-22 1.n n a n ∴=-+注：本题是用通法求解.若将(1)变形为211()()2,nn n n n a a a a +++-=-+并令1n n n b a a +=-,则解法会简单一些.例7 已知{}n a 满足1231,2,a a a ===当3n ≥时,有1123n n n n a a a a -+-+= (1)求.n a解由(2)得3123n n n n a a a a ---=+ (3)(2)(3)-得123112n n n n n n n n a a a a a a a a +------=-， 121213n n n n n n n n a a a a a a a a +-----+=+， 11213()()n n n n n n a a a a a a +----+=+.0n a >,两边同除以2n n a a -,得11132,n n n n n n a a a a a a +----++=111331223,n n n n n n a a a a a a a a a +----+++∴====或114233,n n n a a a a a a +-++∴== 从而有113,nn n a a a+-+=即123.n n na a a --=- 利用特征方程的特征根,易得5353((.5222n nn a -+=+ 例8 已知11,1a n =≥当时,11(1416n n a a +=+ (1) 求.n a解令n b 则有21,24n n b a -=从而有221111(14),241624n n n b b b +--=+⨯+ 化简得221469,n n n b b b +=++ 221(2)(3).n n b b +=+又因为0,n b >所以123n n b b +=+,113(3)2n n b b +-=-1113()(3),2n n b b -∴-=-1115,3()2,2n n b b -=∴-=⨯221323,2n n n b --∴=+=+2221(23).2424n n n b a --+==例9 数列{}n a 满足16,1a n =≥当时,15[4n n a a +=+ (1) 这里[]x 表示x 的整数部分,求.n a解12346,11,21,41,a a a a ====猜想 12 1.n n a a +=- (2)下证(2)成立.当1n =时,(2)显然成立,假设对于(2)n k =时成立,那么当1n k =+时,113224k ka a ++-<<，121,k a +∴=-即2121k k a a ++=-，所以对于1n k =+时(2)也成立.由归纳法原理知(2)成立. 由(2)得112(1),n n a a +-=-11112(1)52,n n n a a --∴-=-=⨯152 1.n n a -∴=⨯+例10 设整数数列{}n a 满足122,7,a a ==当2n >时,有2121122n n n a a a ++-<-≤ (1) 试求{}n a 的通项公式.分析当1,n n a a +给定时,满足(1)式的整数2n a +是唯一的,所以(1)式也给定了数列{}n a 所满足的一个递推关系.为了找到{}n a 所满足的其它递推关系,可猜测{}n a 满足一个二阶常系数线性齐次递推关系21,n n n a Aa Ba ++=+然后利用(1)式求出3425,89,a a ==再用1234,,,a a a a 的值求出3,2A B ==,最后证明2132,n n n a a a ++=+ (3)解我们用数学归纳法证明：当1n ≥时,(3)式成立.当1n =时,因为122,7,a a ==由(1)得325,253722a ==⨯+⨯,所以(3)式成立. 假设对于n k =时(3)成立,那么当1n k =+时,因为2222221211212211111(32)()2()3232k k k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++++++++-+-==+⋅=++ 22212121112211(32).22k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a ++++++++∴+-=-≤<从而有32132k k k a a a +++=+,即对于1n k =+,(3)式成立.由归纳法原理知结论成立.递推关系(3)的特征方程为2320x x --=,特征根为12x x ==,所以(3)的通解为1233()(.22n nn a c c =+ 由122,7,a a ==得1217176868c c +-==173173((.682682n nn a +-∴=+习题32. 已知{}n a 为整数数列,121,10,a a ==当1n ≥时,23211,n n n a a a ++=求.n a3. 在数列{}{},n n a b 中,已知1110,a b ==当1n ≥时,13411n n n n n n a a bb a b++⎧=⎪⎨⎪=⎩,求,.n n a b5. 已知{}n a 为正数数列,011,2a a n ==≥当时12,n a -=求n a .。

黄云清版数值计算方法习题解答

第一章引论（习题）2．证明：记 x x f =)( ，则)()(***x x x x x xx x f E r +-=-=)(21**x E x x x x x xr ≈-⋅+=.3．证明：令： )()()(b a fl b a fl b a **-*=δ可估计： 1|)(|-≥*c b a fl β （c 为b a *阶码），故： 121||--≤c t c ββδt-=121β 于是： )1()()(δ+*=*b a b a fl .4．解 (1) )21()1(22x x x ++. (2))11(2x x x x x-++.(3) xxx x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-.6．解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-⋅≤-=a x x E . x a x x E r -=)(, 221018110921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ） )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==()25.021011321⨯⋅≤-+---ax x a =310-33104110|)(|--⨯=-≤a f E r .9．解递推关系： 1101.100-+-=n n n y y y (1) 取初值 10=y ， 01.01=y 计算可得： 11001.10022-⨯=-y 10001.1-=410-= 6310-=y ， 8410-=y ， 10510-=y ， …(2) 取初值 50101-+=y ， 2110-=y , 记： n n n y y -=ε,序列 {}n ε ，满足递推关系，且 5010--=ε ， 01=ε1101.100-+-=n n n εεε, 于是： 5210-=ε,531001.100-⨯=ε, 55241010)01.100(---⨯=ε,55351002.20010)01.100(--⨯-⨯=ε, 可见随着 n ε 的主项 5210)01.100(--⨯n 的增长，说明该递推关系式是不稳定的.第二章多项式插值 (习题)1. 方法一. 由 Lagrange 插值公式)()()()()(332211003x l f x l f x l f x l f x L ⋅+⋅+⋅+⋅=)1)((31)2)()(1()1)(()(123210---=-----=x x x x x x x l , ))(1(2)1)()(1()(21221211--=--+=x x x x x x l ， x x x x x x l )1()()1()1!()(2382121232--=-⋅⋅-+=, )()1(12)()1()(2121213-+=⋅⋅-+=x x x x x x x l . 可得： )21()(23-=x x x L方法二. 令：)()21()(3B Ax x x x L +-=由 23)1(3-=-L ， 21)1(3=L ，定A ，B （称之为待定系数法）2. 证明(1) 由于 j i j i x l ,)(δ= 故： =)(x L n ∑=ni i k i x l x0)( ，当 j x x = 时有： k j j n x x L =)( ， n j ,,1,0 =)(x L n 也即为 kx 的插值多项式，由唯一性，有：∑==ni k i ki x x l x)( ， n k ,,1,0 =证明(2)：利用Newton 插值多项式)(],[)()(0100x x x x f x f x N n -+=)()(],,[100---++n n x x x x x x f )()()()()()(00101x l x x x x x x x x x f n n =----=差商表：f(x) 一阶二阶 … n 阶差商0x 1 1x 0101x x -)()(11020x x x x --n x 0 0)()(1010n x x x x --代入)(*式有：)()()()()(1)(020*******n n n x x x x x x x x x x x x x x x N -----++--+=- . )(0x l 为n 次代数多项式，由插值多项式的唯一性：有 )()(0x N x l n ≡.4. 解作)(x f 以b a a ,,ε+为节点的Lagrange 插值多项式，有： )()()(22x R x L x f +=，其中：)()()()()()()()()()(2εεεεε+-+--+-----=a fb a b x a x a f b a b x a x x L)()()()()(b f a b a b a x a x εε------+，)()()(!3)()(2b x a x a x f x R ----'''=εζ ， b a <<ζ 令： 0→ε 有 )()(6)()()(22b x a x f x R x R --'''=→ζ，又：)()()()([)()(2a f a b ax a f a b a x x b x L εεεεε----+----= )]()()()()(a f a b a x a f a b a x -------+εεεε )()()()()(b f a b a b a x a x εε------+)()()2()(2a f ab a b x x b --+-→)()()()(a f a b a x x b '---+ )()()()(22x P b f a b a x =--+ 故当 0→ε 时，成立公式： )()()(x R x P x f +=.5. 解：因为34)(3'-=x x f ，2''12)(x x f =)(x f 为凹函数.又从数值表可见：当]5.0,1.0[∈x 时，)(x f 单调下降.有反函数)(1y fx -=)(y f的Newton 插值多项式：)17440.0)(10810.0)(40160.0)(70010.0(01225.0)10810.0)(40160.0)(70010.0(01531.0)40160.0)(70010.0(0096436.0)70010.0(33500.01.0)(4+---+------+--=y y y y y y y y y y y N.337.0)0(4*≈=N x7．解 1)(37++=x x x f .有：=]2,,2,2[71f !7)()7(ξf =1, !8)(]2,,2,2[)8(810ηf f = 0=.9. 证明：(1) =⋅-⋅=⋅∆++i i i i i i g f g f g f 11)(i i i i i i i i g f g f g f g f ⋅-⋅+⋅-⋅++++1111i i i i f g g f ∆+∆=+1.(3) n x n n)1()1(-=∆！)()(nh x h x x h n ++此题可利用数学归纳法：设 k n = 成立，证明 1+=k n 成立.又 1=n 时是成立的.10. 证明：记： 2]2/)1([)(+=n n n f ，33321)(n n g +++=有： 3)1()()1()(+=-+=∆n n f n f n f 故： ∑-=∆=10)()(n k k f n g ∑-=-+=1)]()1([n k k f k f2]2/)1([)0()(+=-=n n f n f .13．解作重节点差商的Newton 插值公式)1(]1,1[)1()(+--+-=x f f x P 22)1(]1,0,1,1[)1(]0,1,1[+--++--+x x f x f )1()1(]1,1,0,1,1[2-+--+x x x f 重节点差商表：i x i f 一阶二阶三阶四阶10-=x 110-=x 1 201=x 1 0 -212=x 1 0 0 112=x 1 2 2 1 0得 22)1()1(2)1(21)(+++-++=x x x x x P 13+-=x x .17．证：取 ,00=x 211=x ， 12=x ， 21=h00=f ， 11=f ， 12=f 记： )(i i x s M ''= ， 2,1,0=i有 hx x M h x x M x S 01101)(-+-=''x M x M 102)21(2+-= )21(2)1(2)(212-+-=''x M x M x S 又三弯矩方程为：( 2],,[210-=x x x f )244210-=++M M M ， )24(41201M M M ++-=.分段积分：⎰⎰+''=''∆1021221)]([)]([dx x s dx x s ⎰''12221)]([dx x s ⎰+-+=21201)]21([4dx x M x M ⎰-+-121221)]21()1([4dx x M x M⎰⎰-+-+-+-=121121221201)]21()1([4)]1()21([4dxx M x M dx x M x M由于 ⎰=-1212241)21(dx x ，⎰=-1212241)1(dx x ，⎰=--121481)1()21(dx x x ，于是：⎰++++=''∆1022212110202]2[61))((M M M M M M M dx x S 又： )24(41201M M M ++-=记 =),(20M M I ⎰∆''12))((dx x S=)()24(41[6120202220M M M M M M +++-+ ])24(81220M M +++由00=∂∂M I， 02=∂∂M I . 得：⎩⎨⎧=+-=-07072020M M M M 即当： 020==M M 时, ),(20M M I 达最小故：⎰=⋅⋅≥''∆102212)24(8161))((dx x S ,由最小模原理： ⎰≥''1212)]([dx x f .20. 解利用三弯矩方法 )(i i x s M ''= ， 2,1,0=i 10=x ， 22=x ， 32=x⎪⎩⎪⎨⎧-=+=++=+542364622121010M M M M M M M解得： 70-=M ， 201=M ， 372-=M]2,1[∈x 72431729)(231-+-=x x x x s ]3,2[∈x 105229367219)(232+-+-=x x x x s .第三章最佳逼近及其实现 (习题)2. 解 (1) ⎰'⋅'=badx x g x f g f )()(),( 不是 ),(b a c '中的内积，事实上容易验证：),(),(f g g f = ， ),(),(g f g f λλ= ),(),(),(w g w f w g f +=+但是 0),(=f f 当且仅当 0)(≡x f . 条件不满足，因为： ⎰='⋅'=badx x f x f f f 0)()(),(推出0)(≡'x f ，0)(≠=const x f . 因而 ),(g f 不是 ),(b a C '中的内积.(2) ),(g f 是 =],[10b a C {}],[)(,0)(:)(b a C x f a f x f '∈'=空间的内积，这是因为： 0),(=f f 推出 0)(='x f , C x f =)(，又],[10b a C f ∈ ，故 0)(=x f .4. 解：由于 0)(],,[2≠''∈x f b a c f ，则)(x f ''于],[b a 上保号，由定理5的推论2可知：)()(1x P x f -的交错点组恰有三个交错点，且 a x =1，b x =3，即： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-'='-=+-==+-==+-=0)()(,)()()(,)()()(,)()()(122210223103311011αρααρααρααx f x e x x f x e x x f x e x x f x e 故： a b a f b f x f --='=)()()(21α，2)()(2)()(220x a a b a f b f x f a f +⋅---+=α 记 c x =2 ，即证得(1).(2) 若 x x f cos )(= ，]2,0[],[π=b a此时由 ab a f b fc f --=')()()( 得：π2sin =c ， )2sin(πarc c =，πα21-=πππα2)4(2120-+=2)/2sin(2ππarc ⋅+)4(212-+=πππππ)2sin(arc +. 误差估计：)()(10b f b f E -+=-=ααρ)4(212-+=πππ1)2sin(-+ππarc5. 解：选取α ，使得：=)(αI ||max 211x x x α-≤≤ ，达到极小，即要求 x x *)(*αϕ= ，于]1,0[上一致逼近于2x ，如图应选 *α ，使得：x x x *)(2αϕ-=,于 ]1,0[ 上有两个轮流为正负偏差点，其中之一为1，另一个假设为 ζ 于是： )()1(ζϕα-=, 0)(='ζϕ ，（ ζ为)(x ϕ的极值点）得： αζζα+-=-2102=-αζ 解得：ζα2= ，0122=-+ζζ, 212,1±-=ζ取12-=ζ ， 222-=α. 又： α 是唯一的.6. 证明：由最佳一致逼近的特征定理，)(*x P n 为)(x f 的最佳一致逼近多项式，则存在2+n 个点b x x x a n ≤<<<≤+110使得： )()()(*k n k k x P x f x e -==*)1(n kP f --σ.又由于 ],[)(b a C x f ∈ ，于 ),(1+i i x x 中有一个点 i η ，1+<<i i i x x η ，使得： 0)()()(*=-=i n i i P f e ηηη, n i ,,1,0 =即： )(*x P n 为)(x f 满足插值条件： )()(*i i n f P ηη= ， n i ,,1,0 = 的插值多项式.7．解：求C*，使得：C x f C I bx a R C -=≤≤∈)(max min *)(记 C x f x e -=)()(, 依最佳一致逼近的特征定理：应取 )](min )(max [21*],[],[x f x f C b a b a +=*)()(C x f x e -=于 ],[b a 才有两个轮流正负的偏差点，（即 )(x f 于],[b a 上的最大值点和最小值点）1x ，2x )(max )(],[1x f x f b a = ， )(min )(],[2x f x f b a =此时： *)(m a x )1()(],[C x f x e b a ii --=σ即 *C 为)(x f 的零次最佳逼近多项式.8. 解： 436)(23+++=x x x x f 2)(34)3(62031T T T T +++=014T T ++01232112112323T T T T +++= 因为)(413x T 与零偏差最小，故： 012221121123)(T T T x P ++=421132++=x x . 为)(x f 的最佳一致逼近多项式.9. 证明：我们仅证明)(x f 是偶函数时，)(x P n 亦是偶函数.由于)(x P n 为)(x f的最佳一致逼近多项式，有：)()()(max ],[f E x P x f n n a a =--和： [,max ()()()]n n a af x P x E f ----=即： )()()(m a x ],[f E x P x f n n a a =---)(x P n -亦是)(x f 的最佳一致逼近多项式，由最佳一致逼近多项式的惟一性，有： )()(x P x P n n =-即： )(x P n 为偶函数.11．解：设 x a a x P 10*1)(+= ， 2210*2)(x b x b b x P ++= 分别为)(x f 的一次、二次最佳平方逼近多项式。

数列的递推关系求解练习题

数列的递推关系求解练习题数列是数学中常见的概念，它由一系列有序的数字组成。

在数列中，每个数字都有一个位置，我们可以通过递推关系来找到数列中每个数字之间的规律。

本文将提供一些数列的递推关系求解练习题，帮助读者加深对数列的理解和运用。

一、斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的数列，它的递推关系可以表示为：F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(n)表示第n个数字。

题目1：求斐波那契数列的第10个数字。

解答：根据递推关系，我们可以依次计算得到斐波那契数列的前10个数字如下：F(1) = 1F(2) = 1F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8F(7) = F(6) + F(5) = 8 + 5 = 13F(8) = F(7) + F(6) = 13 + 8 = 21F(9) = F(8) + F(7) = 21 + 13 = 34F(10) = F(9) + F(8) = 34 + 21 = 55所以斐波那契数列的第10个数字为55。

二、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻数字之间的差值都相等的数列。

题目2：已知等差数列的首项为a，公差为d，求该数列的前n项和Sn。

解答：根据等差数列的性质，我们可以得到数列的递推关系：an = a + (n-1)d，其中an表示第n个数字。

首先，我们可以计算数列的第n个数字：an = a + (n-1)d然后，我们可以计算数列的前n项和Sn：Sn = (a + an) * n / 2= (a + (a + (n-1)d)) * n / 2= (2a + (n-1)d) * n / 2题目3：已知等差数列的首项为3，公差为4，求该数列的前6项和Sn。

解答：根据题目给出的数据，代入等差数列的递推关系和前n项和的公式，我们可以得到：a = 3d = 4n = 6an = a + (n-1)d= 3 + (6-1)4= 3 + 20= 23Sn = (2a + (n-1)d) * n / 2= (2*3 + (6-1)*4) * 6 / 2= (6 + 20) * 3= 26 * 3= 78所以该等差数列的前6项和Sn为78。

《促织》知识点归纳练习

《促织》知识点归纳练习一、本文体裁特点：《促织》是清代文学家蒲松龄的著名短篇小说，也是其代表作之一。

这篇小说以“促织”为线索，讲述了一个在明代宣德年间的小村庄里发生的故事。

故事中，主人公成名因为无力缴纳征促织的税金，被迫捕捉一只珍贵的促织（蟋蟀）来抵税。

然而，这只促织却不幸被他的儿子弄死。

为了弥补损失，成名不得不花费大量金钱购买另一只促织，最终却发现这只促织实际上是他儿子变的。

这个故事不仅具有浓郁的人情味和鲜明的社会批判意味，同时也展现了蒲松龄精湛的叙述技巧和深刻的社会洞察力。

二、本文知识点归纳：1、人物形象：成名是一个老实、善良的读书人，他性格软弱，面对征促织的税金无法承受，但又不得不顺从；他的儿子则是一个顽皮、好奇的孩子，对促织充满了好奇心，最终却因为弄死了促织而感到内疚。

2、情节结构：本文情节跌宕起伏，围绕着“征促织”这一事件展开，通过捕捉促织、弄死促织、购买促织、得知真相等情节，让读者产生了强烈的阅读兴趣。

3、语言特色：蒲松龄的语言既简洁明了，又生动形象。

他运用了大量的方言土语和民间传说，使得文章具有浓厚的地方色彩和民间文学的韵味。

4、主题思想：本文通过一个普通人家因征促织而遭遇的悲欢离合，揭示了封建社会统治阶级的荒淫无耻和老百姓所遭受的欺压与苦难，具有强烈的社会批判意味。

三、练习题：1、请简要概括本文的故事情节。

2、请分析成名的人物形象及其在故事中的作用。

3、请分析蒲松龄在本文中运用的叙述技巧及其效果。

《促织》知识点归纳《促织》是《聊斋志异》中的名篇，作者通过叙述明朝宣德年间一个名叫成名的人的故事，反映了封建社会的黑暗和腐朽，揭露了统治阶级的横暴贪婪，并寄寓着对受尽欺凌、不能生计的劳动人民的深切同情。

故事开始时，先介绍了背景，即皇上喜欢斗蟋蟀，官员则借进贡的名头，搜刮民脂民膏，导致百姓生计困窘。

主人公成名因此陷入困境，他本来没有多余的钱财，更因为交不出蟋蟀而被官府传讯、杖打。

此时，他的灵魂化成了一只善斗的蟋蟀，由此引出了一系列惊险的故事。

求双曲函数解析式的基本方法及练习题

求双曲函数解析式的基本方法及练习题引言双曲函数是数学中常见的一类特殊函数，具有许多重要应用。

本文将介绍求解双曲函数解析式的基本方法，并提供一些练题供读者练。

基本方法双曲函数的定义首先，我们需要了解双曲函数的定义。

双曲函数包括双曲正弦（sinh）、双曲余弦（cosh）、双曲正切（tanh）等，它们的定义如下：- 双曲正弦（sinh）：sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2- 双曲余弦（cosh）：cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2- 双曲正切（tanh）：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)基本性质双曲函数具有许多与三角函数类似的性质，包括奇偶性、周期性等。

具体性质如下：- 双曲正弦（sinh）和双曲余弦（cosh）均为偶函数，即 sinh(-x) = -sinh(x)，cosh(-x) = cosh(x)。

- 双曲正弦（sinh）的周期为无穷大。

- 双曲正切（tanh）为奇函数，即 tanh(-x) = -tanh(x)。

- 双曲正切（tanh）的周期为πi，其中 i 为虚数单位。

求解方法在求解双曲函数的解析式时，可以利用基本公式、级数展开等方法。

以下是一些常用的求解方法：1. 使用欧拉公式进行展开：利用欧拉公式 e^(ix) = cos(x) + isin(x)，可以将双曲函数表示为复指数形式，然后利用级数展开对复指数进行展开。

2. 使用幂级数展开：双曲函数可以通过幂级数展开得到近似解析式。

通过展开双曲函数的级数，可以得到一个无穷级数表达式。

3. 使用递推关系：双曲函数之间存在一些递推关系，可以利用这些关系来求解双曲函数的解析式。

例如，可以通过双曲正切和双曲余弦之间的递推关系求解双曲正弦的解析式。

练题以下是一些练题供读者练求解双曲函数解析式的能力：1. 求解双曲正弦的级数展开式。

2. 利用双曲函数的递推关系，求解双曲正弦的解析式。

3. 将双曲正弦和双曲余弦表示为复指数形式，并进行级数展开。

一年级数学练习题左右拿花

一年级数学练习题左右拿花在小学一年级的数学练习题中，左右拿花是一种常见的题型。

通过这种题型的练习，学生可以巩固对左右方向的理解，并培养他们的逻辑思维和数学运算能力。

本文将通过几个具体例子，详细介绍左右拿花题目的内容和解题思路。

例题1：小明左右拿花问题小明有一串花，他从左边开始，每次可以拿走一朵花或者跳过一朵花。

如果第n朵花是红色的，则小明会拿走它；如果是黄色的，则小明会跳过它。

根据这个规则，小明最终到达了一朵蓝色的花。

如果这串花中共有9朵花，那么小明最开始在第几朵花位置上？解析：根据题意，我们可以推断出小明是按照从左到右的顺序拿花的。

因此，我们可以用一个变量i来表示小明所拿走的花的数量，初始值为0。

然后，我们用一个循环从第1朵花开始，逐一判断每朵花的颜色，如果是红色，则i加1；如果是黄色，则继续；如果是蓝色，则循环结束，这时的i就是小明最开始的位置。

例题2：小红左右拿花问题小红和小黄站在一串花的两端，两人轮流拿花，每次可以从左边或者右边拿走一朵花。

最终，谁拿到的花总价值更高，谁就获胜。

给定一串花的价值数组flowers，小红先开始拿花，求小红能拿到的最大价值。

解析：这是一个动态规划的问题。

我们可以创建一个二维数组dp，dp[i][j]表示从第i朵花到第j朵花之间，小红能够拿到的最大价值。

根据题目要求，我们可以得出以下递推关系：1. 如果i == j，那么只有一朵花可选，小红直接拿走，dp[i][j] = flowers[i]；2. 如果i + 1 == j，那么只有两朵花可选，小红选择拿走价值大的那朵花，dp[i][j] = max(flowers[i], flowers[j])；3. 如果i < j，那么小红有两种选择：拿走第i朵花（价值为flowers[i]）或拿走第j朵花（价值为flowers[j]），接下来小红将成为小黄，小红能拿到的最大价值为flowers[i] + min(dp[i+2][j], dp[i+1][j-1])或flowers[j] + min(dp[i+1][j-1], dp[i][j-2])中的较大值。

线性代数课后习题答案

第一章行列式习题1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。

（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。

选择性必修第3册(习题答案)

３.解析 ∵ Ｓｎ＝ｎ２－ｎ①ꎬ
∴ Ｓｎ－１＝ ( ｎ－１) ２－( ｎ－１) ( ｎ≥２) ②ꎬ
由①－②得ａｎ＝２ｎ－２( ｎ≥２) .
当ｎ＝１时ꎬａ１＝Ｓ１＝０满足该式ꎬ
∴ ａｎ＝２ｎ－２.
４.解析ａ１＝
１
２
ꎬａ＝ .
２２２
递推关系为ａ１＝
教材习题答案
５.１.１数列的概念
练习Ａ
１.解析ａ１＝２ꎬａ２＝４ꎬａ３＝８.
２.解析 (１) ａ１＝１ꎬａ２＝４ꎬａ３＝９.
(２) ａ１＝－２ꎬａ２＝４ꎬａ３＝－６.
(３) ａ１＝０ꎬａ２＝
１
１
ꎬａ＝ .
６３６
３.解析 (１) ａｎ＝ｎ＋１.(２) ａｎ＝－３ｎ.
∴ { ａｎ } 的通项公式为ａｎ＝３.
练习Ｂ
１.解析 (１) ａ１＝１ꎬａ２＝３ꎬａ３＝７ꎬａ４＝１５ꎬ
ａ５＝３１.
前３项和Ｓ３＝ａ１＋ａ２＋ａ３＝１１ꎬ前５项和
Ｓ５＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＝５７.
◆习题 5-1A
１
ꎬａ＝
２ｎ＋１
( ２１ )
ａｎ
.
１.解析 ( １) １ꎬ１.４ꎬ１.４１ꎬ１.４１４ꎬ１.４１４２ꎬ
１.４１４２１ꎬ.
(２)２ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎬ１１ꎬ１３ꎬ１７ꎬ１９.
２.解析 ( １) ａ１＝１２ꎬａ２＝１４ꎬａ３＝１６ꎬａ４＝
１８ꎬａ５＝２０ꎬ前５项和Ｓ５＝８０.