数列的几种递推公式

数列的几种递推公式

一、 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 。

二、 n n a n f a )(1=+

解法：把原递推公式转化为)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 。

例3:已知31=a ，n n a n n a 2

31

31+-=+ )1(≥n ，求n a 。 解：12

31

32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=

3437

526

331348531n n n n n --=

⋅⋅⋅⋅=---。

变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则

{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩

12n n =≥

解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32， 用此式减去已知式，得

当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+， 又112==a a ，

n a a a a

a a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-1

3423121,,4,3,1,

1， 将以上n 个式子相乘，得2

!

n a n =)2(≥n

三、 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例4.已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为

)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .

故递推公式为)3(231+=++n n a a , 令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且

23

3

11=++=++n n n n a a b b . 所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列， 则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .

变式:在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________（key:321-=+n n a ）

四、类型4 n

n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（或

1n

n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1

+n q ，

得：q q a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n

n

n q a b =），

得：q b q p b n n 11+=

+再待定系数法解决。

例5:已知数列{}n a 中，

651=

a ,1

1)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以1

2+n 得：1)2(32211

+•=•++n n n n a a 令n

n

n a b •=2，则1321+=+n n b b ,解之得：

n

n b )32(23-= 所以

n

n n

n n b a )

31(2)21(32-==

五、递推公式为

n

S 与

n

a 的关系式。(或

()

n n S f a =)

解法：利用

⎩⎨

⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或 与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a

进行求解。

例6. 数列{}n a 前n 项和

2214--

-=n n n a S .

（1）求1

+n a 与

n

a 的关系；（2）求通项公式n

a .

解：（1）由

2214--

-=n n n a S 得：

111214-++--=n n n a S

于是

)

21

21(

)(12

11--++-

+-=-n n n n n n a a S S ，

所以11121-+++

-=n n n n a a a n n

n a a 21211+=⇒+.

（2）应用类型（

n

n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））

的方法，上式两边同乘以12+n 得：

2

22

11

+=++n n n n a a

由

121

4121111=⇒-

-==-a a S a .于是数列{}n n a 2是以2为首项，2为公差的等差

数列，所以

n n a n n

2)1(222=-+=12-=⇒n n n

a