数列的递推公式 (共15张PPT)
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高中数学 2.1.2 数列的递推公式课件 新人教A版必修5
不同点 通项 公式 递推 公式 可根据某项的序号,直接用代入法求出该项 可根据第 1 项或前几项的值,通过一次或多 次赋值逐项求出数列的项,直至求出所需的 项 相同点 都可确定一个数列,都 可求出数列的任何一 项
-7-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
题型 一
题型 二
题型 三
题型一
递推公式的应用
a3=1+ a2=1+ × = , a4=1+ a3=1+ × = a5=1+ a5=1+ ×
15 8 15 , 8 31 . 16 3 2 7 4 15 8 31 16
=
∴ 这个数列的前 5 项是 a1=1,a2= ,a3= ,a4= ,a5= .
-9-
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课堂互动
典型考题
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题型 一
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高中数学课件
-
第2课时
数列的递推公式
-3-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
1.知道递推公式是给出数列的一种形式. 2.能够根据递推公式写出数列的前几项.
-4-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
递推公式 如果已知数列 {an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或 前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式. 用递推公式给出数列的方法叫做递推法.
-15-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
题型 一
题型 二
题型 三
递推公式中往往含有 a n+m,其意义是数列中的第 n+m 项,通常与 an+m 不相等.
-7-
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题型 二
题型 三
题型一
递推公式的应用
a3=1+ a2=1+ × = , a4=1+ a3=1+ × = a5=1+ a5=1+ ×
15 8 15 , 8 31 . 16 3 2 7 4 15 8 31 16
=
∴ 这个数列的前 5 项是 a1=1,a2= ,a3= ,a4= ,a5= .
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题型 一
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第2课时
数列的递推公式
-3-
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1.知道递推公式是给出数列的一种形式. 2.能够根据递推公式写出数列的前几项.
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递推公式 如果已知数列 {an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或 前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式. 用递推公式给出数列的方法叫做递推法.
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目标引航
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典型考题
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题型 一
题型 二
题型 三
递推公式中往往含有 a n+m,其意义是数列中的第 n+m 项,通常与 an+m 不相等.
高考数学 数列的递推公式 PPT课件
模型一：自上而下： 第1层钢管数为4:即 4＝1+3 第2层钢管数为5:即 5＝2+3 第3层钢管数为6:即 6＝3+3 第4层钢管数为7:即 7＝4+3 第5层钢管数为8:即 8＝5+3 第6层钢管数为9:即 9＝6+3 第7层钢管数为10:即 10＝7+3 若用 表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列.且
想这个数列的通项公式
20
。
18
16 14
。
12
10
。
8 6 4
。 。。
2
O 12 3456 7
已知数列Βιβλιοθήκη 的前5项为5，7，10，14，19
试猜想这个数列的通项公式
解：
一、请回答下列概念：
1. 数列的定义：
按一定次序排列的一列数叫做数列.
2. 数列的通项公式： 如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公
式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
3.数列的图像：
4.数列表示形式： 都是一群孤立的点.
列举法、通项公式法、图象法.
二、知识都来源于实践，最后还要应用于生活。用其来解决一些实际问 题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型
请同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都 钢管数多1。即:
比上一层
依此类推：
三、递推公式：
如果已知数列 的第1项（或前n项），
且任一项 与它的前一项 （或前n项） 间的关系可以用一个公式来表示，那么 这个公式就叫做这个数列的递推公式。
●递推公式也是给出数列的一种方法。 ●注意定义中的逻辑联结词“且”所给出的含义。
想这个数列的通项公式
20
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18
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8 6 4
。 。。
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O 12 3456 7
已知数列Βιβλιοθήκη 的前5项为5，7，10，14，19
试猜想这个数列的通项公式
解：
一、请回答下列概念：
1. 数列的定义：
按一定次序排列的一列数叫做数列.
2. 数列的通项公式： 如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公
式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
3.数列的图像：
4.数列表示形式： 都是一群孤立的点.
列举法、通项公式法、图象法.
二、知识都来源于实践，最后还要应用于生活。用其来解决一些实际问 题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型
请同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都 钢管数多1。即:
比上一层
依此类推：
三、递推公式：
如果已知数列 的第1项（或前n项），
且任一项 与它的前一项 （或前n项） 间的关系可以用一个公式来表示，那么 这个公式就叫做这个数列的递推公式。
●递推公式也是给出数列的一种方法。 ●注意定义中的逻辑联结词“且”所给出的含义。
常见递推数列通项公式的求法ppt课件
1S 2
1 23
2 24
n2 2n
n 1 2 n＋1
②
由①－②得
1S 2
1 22
1 23
1 2n
n 1 2n＋1
1 2
n 1 2 n 1
S 1 n1 2n
an 2n
1
an 2n
2
n 1 2n
an 2n1 n 1
变式训练：答案an 6 4n1 (n 1) 2n
数列 满足 an
an1 3 4 5 6
n 1
an a1
1 2 n(n 1)
a1
1 an
2 n(n 1)
累乘
例 2：已知数列an 中，a1
1且满足 an1 an
n ，求数 n2
列an 的通项公式。
其他解法探究：
a n 1 an
n n2
(n 2)an1
nan
(n 1)(n 2)an1 n(n 1)an
则可构造n(n 1)an 是常数数列
故an n2 n 2(n 1,2,3,)
方法归纳：累加
可求和
变式训练：
1.已知数列an中， a1 2 满足 an1 an 2n n ,求数列an 的通 项公式. 2.已知数列an 中， a1 2 满足 an1 an n 2n n ,求数列an 的 通项公式.
类型二：形如 an1 f (n)
an1 2an n 2n1 2n1 2n1
an1 an n 2n1 2n 2n1
累加
a2 22
a1 2
1 ，a3 22 23
a2 22
2 23
,,
an 2n
an1 2n1
n 2n
1
,
人教a版必修五课件：数列的递推公式(60页)
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第二章 2.1 第2课时
系列丛书
典例导悟
类型一 [例1] 由递推公式求数列中的项 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由
an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； an (2)通过公式bn＝ 构造一个新的数列{bn}，写出数 an＋1 列{bn}的前4项．
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第二章 2.1 第2课时
系列丛书
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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系列丛书
第二章
数列
第二章
数列
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系列丛书
2.1
数列的概念与简单表示法
第二章
数列
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系列丛书
第2课时
课前自主预习
数列的递推公式
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
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第二章 2.1 第2课时
系列丛书
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.体会递推公式是数列的一种表示方法． 2．理解递推公式的含义，能根据递推公式写出数列的 前n项，了解数列的函数性质． 3．掌握一些简单的递推公式来求数列的通项公式.
递推法 ． 方法叫做________
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第二章 2.1 第2课时
系列丛书
思考感悟
1．通项公式与递推公式的区别与联系
人教A版· 数学· 必修5
4.1第二课时 数列的递推公式与前n项和(课件(人教版))
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an＋1＝ an＋f(n)或 an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得 通项公式，即：
(1)累加法：当 an＝an－1＋f(n)时，常用 an＝(an－an－1)＋ (an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 求通项公式；
(2)累乘法：当aan－n 1＝g(n)时，常用 an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa21·a1 求通项公式．
3＋b，n＝1， 当 b≠－1 时，an＝2·3n－1，n≥2.
已知 Sn 求 an 的 3 个步骤 (1)先利用 a1＝S1 求出 a1； (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝ Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式； (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的 表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符 合，则应该分 n＝1 与 n≥2 两段来写．
1．由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想 方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等， 此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…， n}这一条件．
2．可以利用不等式组aann－≥1≤ana＋n1， (n>1)找到数列的最大 项；利用不等式组aann－≤1≥ana＋n1， (n>1)找到数列的最小项．
根据数列的前 n 项和公式求通项 [例 4] 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. [解] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2－3＝－1，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]
数列的递推公式PPT优秀课件
3.已知数列 an :1,12,123 ,1234 ,
,123456789
(在每一项的数字后面添写后一项的序号,便得到后一项)
求数列 an 的递推公式.
解:
a 1 1 ,a n 1a n 0 1 n (2 n 9 )
实例探索
意大利匹萨饼店的伙计喜欢将饼切成形状
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
常见递推数列通项公式的求法课件
解题步骤与例题解析
• 将递推式中的每一项乘以累乘因子，并累乘得到通项公式 。
解题步骤与例题解析
例题解析 1. 题目：求数列1, 3, 7, 13, 21...的通项公式。 2. 分析：该数列的递推式为`an+1 = an + 2n`。
解题步骤与例题解析
01
3. 解题步骤
02
a. 确定关系：an+1 = an + 2n。
常见递推数列通项公式的求法课件
目录 Contents
• 递推数列通项公式概述 • 累加法 • 累乘法 • 构造法 • 特征根法 • 其他方法
01
递推数列通项公式概述
定义与分类
递推数列的定义
递推数列是一种特殊的数列，它 可以通过前一项或前几项的值， 推导出下一项的值。
递推数列的分类
根据不同的递推关系，递推数列 可以分为线性递推、二次递推、 指数递推等。
03
累乘法
适用范围与基本思想
适用范围
适用于形如`a(n+1) = an + f(n)`的递推数列，其中f(n)为关 于n的函数。
基本思想
累乘法的基本思想是将递推式中的每一项都乘以累乘因子， 从而得到通项公式。
解题步骤与例题解析
步骤 1. 确定递推式中每一项与前一项的关系。
2. 选择适当的累乘因子。
常见递推数列类型
01
02
03
04
Fibonacci数列：每一项是前 两项的和。
Lucas数列：每一项是前两项 的差。
等差数列：每一项与前一项的 差是一个常数。
等比数列：每一项与前一项的 比值是一个常数。
通项公式的应用
数学分析
数列的递推公式 (共15张PPT)
课堂检测
(1)数列-1,7,-13,19， 的一个通项公式是 ______ 2a n （2）a1 = 1，a n+1 = （n ∈ N *）,则an = ______(观察归纳出公式) an + 2 (3)已知数列an 满足an an 1 2n 1, （n 2）,则an = ______ 1 (4)已知数列an 满足an 1 an , n n , 则an = ______ n(n 1) n （5）数列an 中，a1 1, an 1 an , 则an = ______ n 1 1 （6）数列an 中，an =（1- ）an 1 ,（n 2）,则an = ______ n
典型例题
题型1 已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式
例1：已知下列数列的递推公式，写出此数列的前 4 项，
并推测数列的通项公式．
(1)数列{an}满足 an＋1＝2an＋1，n∈N*，且 a1＝－1； 1 (2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋ n(n－1) (n≥2)．
自主解答：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1， 可推测数列{an}的通项公式 an＝－1. 1 3 (2)由已知，得 a1＝1，a2＝1＋ ＝ ， 2×1 2 3 1 5 5 1 7 a3＝2＋ ＝ ，a ＝ ＋ ＝ ， 3×2 3 4 3 4×3 4 2n－1 可推测数列{an}的通项公式 an＝ n .
自主解答： 解法一： a1＝2， a2＝2×2＝22， a3＝2×22＝23， …， 观察可得： an＝2n. an 解法二：由 an＋1＝2an，得 an＝2an－1，即 ＝2. an－1 an an－1 an－2 a2 n－1 ∴ × × ×…× ＝2 . a1 an－1 an－2 an－3 若数列有形如an＋1＝nan的 递推公式，可用累乘法求 ∴ an＝a1· 2n－1＝2n. 通项公式．
递推数列的通项公式PPT演示文稿
其中
0，求数列 an 的通项公式。
n 1 n a a (2 ) 2 n 解：由 a a n 1 (2 ) 2n n 1 n1 n 1 n n 1 n 1 n1 n 1 n n 1 n an1 an 2 a a 2 2 2 n 1 n n1 n 1 n1 n 1 a 2
B B B a A an 是以 A 为 0 时，数列 n ，当 a1 A 1 A 1 A 1
公比的等比数列。 例1（2006年重庆高考）在数列 的通项公式 an
an 中，若 a1 1, an1 2an 3 则该数列
则
an 的通项公式为
。
3 an 1 1 an 1 an 1 1 ，得 数列是以 a1 1 0 解：由 an 2 2 n 1 n 1 1 1 1 为首项，公比为 则 an 1 (a1 1) an 1 (a1 1) 2 2 2
1时， f (n) B n ,( B 0, 0)
时 an 1
an a1 即数列 n 1 是以 0 为首项，公差为B的等差数列。 a1 2, an1 an n1 (2 ) 2n , n N * an 中， 例5、（2007年天津高考）在数列
二、递推关系为
an1 Aan f n ,( A 0)
1、当A＝1时，有
an1 an f (n)
1, an1 an n
型
，此时可用累加法求
an
0，求数列 an 的通项公式。
n 1 n a a (2 ) 2 n 解：由 a a n 1 (2 ) 2n n 1 n1 n 1 n n 1 n 1 n1 n 1 n n 1 n an1 an 2 a a 2 2 2 n 1 n n1 n 1 n1 n 1 a 2
B B B a A an 是以 A 为 0 时，数列 n ，当 a1 A 1 A 1 A 1
公比的等比数列。 例1（2006年重庆高考）在数列 的通项公式 an
an 中，若 a1 1, an1 2an 3 则该数列
则
an 的通项公式为
。
3 an 1 1 an 1 an 1 1 ，得 数列是以 a1 1 0 解：由 an 2 2 n 1 n 1 1 1 1 为首项，公比为 则 an 1 (a1 1) an 1 (a1 1) 2 2 2
1时， f (n) B n ,( B 0, 0)
时 an 1
an a1 即数列 n 1 是以 0 为首项，公差为B的等差数列。 a1 2, an1 an n1 (2 ) 2n , n N * an 中， 例5、（2007年天津高考）在数列
二、递推关系为
an1 Aan f n ,( A 0)
1、当A＝1时，有
an1 an f (n)
1, an1 an n
型
，此时可用累加法求
an
人教版高中数学选择性必修第二册4.1.2数列的递推公式【课件】
4.1.2数列的递推公式
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
复习旧知
1 数列的概念是 ？
2 数列的表示有 ？
3 数列的通项公式是？
提示：
1
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每
一个数叫做这个数列的项.
2 ①通项公式法 ②列表法 ③图象法 ④一般表示法
3 如果数列{ }的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子
答案： （1）-17
（2）2
（3）2020
课堂练习
2（由递推公式求数列的项）
（多选题）已知数列{ }满足 =
−
，+ =
−
, 则下列各数是{ }的
项的有（ BD）
A．-2
B.
Hale Waihona Puke C.
D. 3
分析： 根据递推关系找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而得出结论.
解： 因为数列{ }满足 = − ，
用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项；
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项；
(4)用递推公式给出数列，不易了解数列的全貌，计算也不方便，所以，
经常用它推导出数列的通项公式或得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列.
（若存在一个正整数t，使得∀ ∈ ∗ , + = ,则数列{ }）为周期数列，其周期为t）
来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
新知导入
问题：
1 什么叫数列的递推公式？
2 由数列的递推公式能否求出数列的项？
新知讲解
例3 如果数列{ }的通项公式为 = + , 那么120是不是这个数列的项？
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
复习旧知
1 数列的概念是 ？
2 数列的表示有 ？
3 数列的通项公式是？
提示：
1
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每
一个数叫做这个数列的项.
2 ①通项公式法 ②列表法 ③图象法 ④一般表示法
3 如果数列{ }的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子
答案： （1）-17
（2）2
（3）2020
课堂练习
2（由递推公式求数列的项）
（多选题）已知数列{ }满足 =
−
，+ =
−
, 则下列各数是{ }的
项的有（ BD）
A．-2
B.
Hale Waihona Puke C.
D. 3
分析： 根据递推关系找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而得出结论.
解： 因为数列{ }满足 = − ，
用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项；
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项；
(4)用递推公式给出数列，不易了解数列的全貌，计算也不方便，所以，
经常用它推导出数列的通项公式或得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列.
（若存在一个正整数t，使得∀ ∈ ∗ , + = ,则数列{ }）为周期数列，其周期为t）
来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
新知导入
问题：
1 什么叫数列的递推公式？
2 由数列的递推公式能否求出数列的项？
新知讲解
例3 如果数列{ }的通项公式为 = + , 那么120是不是这个数列的项？
数列的递推公式 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
1
3 8
a5 1 =1 =
a4
5 5
总结：递推公式也是给出
数列的一种方法，根据数
列的递推公式，可以逐次
写出数列的所有项.
探究新知
问题2 通项公式与递推公式有什么差别与联系呢？
回顾：到目前为止，数列一共有多少种表示方法？
课本P8
小试牛刀
1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在
3
3
2
2
a3 1 3 1 3，
3
3
2
2
a4 1 3 1 3.
3
3
课本P8
小试牛刀
3.已知数列{an }满足a1 2,an 2
1
an 1
( n 2),写出它的前5项,并猜想它的通项公式.
解：a1 2,
1
2 4
1
1 3
2 ，
a2 2 2 ， a3 2
4n 3
2
2
当n = 1时，a1 S1 2 12 1 1 2，
不符合上式
2 , ( n 1)
故数列{an}的通项公式为 an
*
4
n
3,(
n
2
且
n
N
)
拓展训练
3. 已知数列 {an} 的前 n 项和公式 Sn ，求数列{an}的通项公式.
（1）Sn = 2n2－n＋1， （2）Sn = log2 (n＋1)
从第二项起，后一项是前一项的3倍
1
3
3
1
0
×3
1 = 1
3 8
a5 1 =1 =
a4
5 5
总结：递推公式也是给出
数列的一种方法，根据数
列的递推公式，可以逐次
写出数列的所有项.
探究新知
问题2 通项公式与递推公式有什么差别与联系呢？
回顾：到目前为止，数列一共有多少种表示方法？
课本P8
小试牛刀
1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在
3
3
2
2
a3 1 3 1 3，
3
3
2
2
a4 1 3 1 3.
3
3
课本P8
小试牛刀
3.已知数列{an }满足a1 2,an 2
1
an 1
( n 2),写出它的前5项,并猜想它的通项公式.
解：a1 2,
1
2 4
1
1 3
2 ，
a2 2 2 ， a3 2
4n 3
2
2
当n = 1时，a1 S1 2 12 1 1 2，
不符合上式
2 , ( n 1)
故数列{an}的通项公式为 an
*
4
n
3,(
n
2
且
n
N
)
拓展训练
3. 已知数列 {an} 的前 n 项和公式 Sn ，求数列{an}的通项公式.
（1）Sn = 2n2－n＋1， （2）Sn = log2 (n＋1)
从第二项起，后一项是前一项的3倍
1
3
3
1
0
×3
1 = 1
人教B版必修5高二数学2.1.2数列的递推公式教学课件
5.设数列{an}：a1=1,且4an+1-anan+1+2an=9。 求通项an.
解：把已知式子变形为
an+1
=
2an - 9 an - 4
，令an= bn+t
an+1
=
bn+1
+
t
=
2(bn + t) - 9 bn + t - 4
从而
bn+1
=
(2
-
t)bn - (t2 - 6t bn + t - 4
解：1= 1 ，点Qn+1与Pn的纵坐标相同，都 是an，2同时点Pn+1与Qn+1的横坐标相等，
点Pn+1在曲线c：y
=
(
1 2
)x
上，
由横坐标得它的纵坐标为 ( 1 )an 2
即
an+1
=
( 1 )an 2
这就是数列{an}的递推公式。
例3.已知数列{an}中，a1=1，对任意自然数n都有
a5
25 16
a3
a5
9 4
25 16
61 16
解法2：（1）因为 a1 a2 an n2
所以a1a2 4 解得a2=4，
又 a1a2a3 9
解得
a3
9 4
同理可得
a4
16 9
,
a5
25 16
a3
a5
9 4
25 16
61 16
（2） 256 225
是此数列中的项吗？
解：（2）令
256 225
知识回顾
1、数列：按一定顺序排列的一列数叫数列。
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数列的递推公式是由递推关系式( 递推)和首 项或前几项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样， 而首项不同就可得到两个不同的数列，适当配凑是本题进行归 纳的前提．
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9
题型2 已知递推公式，用累加法求通项公式
例2：已知在数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，求数 列{an}的通项公式．
(4)已知数列an满足an1
an
1 n(n 1)
,
n
n,则an
=
______
（5）数列an中，a1
1,
an1
n
n
1
an
,
则an
=
______
（6）数列an中，an
=（1-
1 n
）an1,（n
2）,则an
=
______
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13
课堂小结
1. 递推公式的概念；
2. 递推公式与数列的通项公式的区别是：
思维突破：先对an＝an－1＋3 从2 到n 进行取值，得到 n－1 个式子，再把这n－1 个式子相加，消去中间项．
自主解答：由递推关系 an＝an－1＋3(n≥2)，得
a2＝a1＋3，
a3＝a2＋3，
…
整理ppt
10
an－1＝an－2＋3， an＝an－1＋3. 将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得 a2＋a3＋…＋an－1＋an ＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3， 消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋3(n－1)． ∵a1＝5，∴an＝3n＋2.
2
复习导入
4、数列的表示方法：
列表法，
通项公式法，
图象法，
递推公式法
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3
学习目标
1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与 通项公式的异同；
2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌 握求简单数列的通项公式的方法.
重点：数列递推公式的概念.
难点：根据各项的特点找出规律写出前n项 的通项公式.根据递推关系求通项公式..
(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，
而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之
间的关系.
(2)对于通项公式，只要将公式中的n依次取1,
2, 3, 4,…即可得到相应的项，而递推公式
则要已知首项(或前n项)，才可依次求出其
他项.
3. 用递推公式求通项公式的方法：
观察法、累加法、迭整理乘ppt 法.
14
若数列有形如an＋1 － an ＝ f(n)的递推公式，且可 求 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，可用累加法求通项公式．
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11
题型3 已知递推公式，用累乘法求通项公式
例3：已知a1＝2，an＋1＝2an，求an. 思维突破：对an＋1＝2an从 1 到n－1 进行取值，得到n－1 个式子，再把这 n－1 个式子相乘，消去中间项．
多次)赋值逐项求出数列的值，直至求出所需的项 an.
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7
典型例题
题型1 已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式
例1：已知下列数列的递推公式，写出此数列的前 4 项， 并推测数列的通项公式．
(1)数列{an}满足 an＋1＝2an＋1，n∈N*，且 a1＝－1； 1
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋n(n－1) (n≥2)．
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4
自主先学
《庄子·天下篇》曰：“一尺之棰，日取其 半，万世不竭。” 1.如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部 分构成一个数列，依次写出前五天剩下的部分。 2.第n天与第n+1天剩下的部分有何关系？
a 3。第n天剩下的部分 n与第n+1天剩下的部分
an+1能用等式表示吗？
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递推公式，可用累乘法求 通项公式．
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课堂检测
(1)数列-1,7,-13,19，的一个通项公式是 ______
（2）a1
=
1，an+1
=
2an （n an + 2
∈N*）,则an
=
______(观察归纳出公式)
(3)已知数列an满足an an1 2n 1（, n 2）,则an = ______
5
展示点津
如果一个数列 {an}的首项a1=1，从第2项起每一项等于 它的前一项的2倍再加上1，即an =2an-1+（ 1n>1）， 那么a2=2a1+1=3， ...a3=2a2+1=7,
像这样给出数列的方法叫做递推法，其中
an =2an-1 +（ 1 n>1）称为递推公式.
递推公式也是给出数列的一种方法.
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8
自 主 解 答 ： (1)a1＝ a2＝ a3＝ a4＝ － 1， 可 推 测 数 列 {an}的 通 项 公 式an＝ － 1. (2)由 已 知 ， 得a1＝ 1， a2＝ 1＋ 2× 11＝ 3 2， a3＝ 3 2＋ 3× 12＝ 5 3， a4＝ 5 3＋ 4× 13＝ 7 4， 可 推 测 数 列 {an}的 通 项 公 式an＝ 2n－ n1.
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6
探索迁移
1．数列的递推公式是 n 的函数的关系式吗？
答案：数列的递推公式不是 n 的函数的关系式．
2．通项公式与递推公式有何异同？ 答案：相同：二者都可确定一个数列，都可求出数列的任
何一项．不同：通项公式是 n 的函数的关系式，可直接求出任
一项；而递推公式可根据第一项(或前 n 项)的值，通过一次(或
数列的递推公式和求通项（1）
平远中学 潘浩
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1
复习导入
1、数列的定义：
按照一定顺序排列的一列数称为数列.
2、数列的实质—特殊的函数（离散函数） 3、数列的通项公式
如果数列{ a n } 的第n项与序号n之间的关 系可以用一个式子来表示，那么这个公式 叫做这个数列的通项公式.
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自主解答：解法一：a1＝2，a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，…， 观察可得： an＝2n.
解法二：由 an＋1＝2an，得 an＝2an－1，即aan－n 1＝2.
∴aan－n 1×aann－－12×aann－ －23×…×aa21＝2n－若1.数列有形如an＋1＝nan的
∴ an＝a1·2n－1＝2n.
作业
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