常见递推数列的几个模型

高考复习专题讲座
浅议求递推数列的通项公式的数学思想
禄劝民族实验中学
付贵有
王自存
2
一、浅谈递推数列在高考中的地位和 对策
二、几个常见模型的通项公式的求法及例子
2
一、浅谈递推数列在高考试题中的
地位与对策
3
数列在高中数学课本上篇幅很小，， 然而在高考试题中的 情况却相反。 1981年、1982年、1984年、1986年、1987年、1999年、 2000年、2002年、2003年、2004年、2005年、2006年，这些 年的题中都有考递推数列的题，且常常是大题，甚至是压轴题。 2006年的36 套题中，考递推数列的大题有25 题。2007年的38 套题中有22题，2008年的38套题中有27题，09 年的文科18套 题中有9道题。理科18套题中有15道题 关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递 推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前 几项”。但实际上，从近些年各地高考试题来看，是加大了对 “递推公式”的考查。
例1． （2006，重庆,文,14）
解。由 an1 2an 2 令 an1 x 2(an x)
与原式比较得 于是
an1 a1 =5， 已知数列｛ an ｝中， 求｛ an ｝的通项公式。
则
2an 2
a n1 +2＝2( an 2 ），
x2
an1 2an x
作代换 则
bn =
an 2
b1
=5+2=7，
bn 1=2 bn
于是｛bn｝是等比数列
由等比数列的通项公式得 由所作代换得 反思
bn an
=7× 2
n 1
=7×
2 n 1- 2
17
1, an1 2an 3(n 1) 则该数列的通项an ______________
练习1：在数列{an} 中，若 a1
特例: a1= 5, an+1= 2 an + 4n , 求通项公式.(请自己去完成) 13
例7：08全国卷文1.22
在数列｛an｝中，a1=1，an+1=2an+2n
an （Ⅰ）设 bn n 1 2
证明：数列｛bn｝是等差数列；
（Ⅱ）求数列｛an｝的前n项和Sn。
bn n
an n2
a2 a1 f (1)
以上的
n-1 个式子叠加得
an a1 f (1) f (2) ……
∴
f (n 1)
an a1 f (1) f (2) f (3) …… f (n 1)
特例.a1=3,an+1=an+2n,求通项公式. 例4
11
例4．已知数列｛
以上的
an
∴
n 1
个式子连乘得
an f (1) f (2) f (3) ……f（n a1
∴
1)
an
bf（1）f（2） ……
f（n－1）
特例.a1=5,an+1= 3n an,求通项公式 .
或例5 12
例5．已知数列｛ 求通项
n a an ｝中， a = 4， a 2 n 1 n 1
an 2
n1
3
练习2：07全国卷2理21
模型4．
r a a1 b, n 1 = qan , (q, an R )
解:
将
a n1
lg
=
qa
=
r n
两边取对数
得
a n1
r lg an lg q
令 lg
则
an bn
=
bn 1
rbn lg q
（到此，问题转化成了模型3） 特例:
模型8．
a1 b, a n 1 =
pan 解: 将 a n 1 = qan t
pan ，（ qan t ≠0，b≠0） qan t
两边取倒数得
1
1 a n 1
则有
t 1 q p an p
bn 1 t q bn p p
令 bn=
an
（到此，问题转化成了模型3）
特例:
a1 2, an 1
an , 求通项.(请自己去完成) an 2
14
看下叶陕西卷22
3 例10： 已知数列｛an｝的首项 a1 5
（Ⅰ）求｛an｝ 的通项公式；
08陕西22 （陕西卷22）．（本小题满分14分）
an 1
3an 2an 1
n 1， 2，
（Ⅱ）证明：对任意的
（Ⅲ）证明： a1
x0
n a2 an n 1
3an 2an 1
1 1 2 an ≥ x ， 2， n 1 1 x (1 x) 2 3n 2
解：（Ⅰ） an 1

1 2 1 an1 3 3a n

又
1 2 1 an 3
bn an n
an 1 an 1 解： （I）由已知有 n 1 n 2n
bn 1 bn
利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn 2
1 2n
（II）由（I）得

而
易得 于是
n an 2n n 1 2 n n n k Sn = (2k k 1 ) (2k ) k k 1 2 k 1 k 1 k 1 2
n1
sn (n 1)2n1 1
例8：已知a1 5, an 5an1 5 , (n 2)求an
n1
答案：an (5n 4) 5
1 练习：已知 a1 1, an an 1 21 n , (n 2)求an 2
1 1 答案：an 2n n 2 2
4
递推数列的题目常常是给出递推公式让你求解，或是给出 前n项和Sn与an的关系式让你求解。求解的问题或是求an，Sn 或是求an、Sn的极限等，不论是哪类问题，往往是通项 an 一 旦出来，其它问题就迎刃而解了。
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二、递推公式转化通项公式的几个常见模型 及例子
注意几点： （一）有关概念：我们在研究数列{an}时，如果任一项an与它的前一项 a n（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就称为数列 1 的递推公式。通过递推公式给出的数列，一般我们也称之为递推数列。 递推公式是给出数列的一种重要方法。 （二）求递推数列的通项公式的方向，是将其转化为等差数列或等比数 列的问题来解决。 （三）求递推数列的通项公式的手段，是连续代换，层层化简，最终化 为等差数列或等比数列的问题来解决。 （四）求递推数列的通项公式的数学思想是转化化归，高化低、隐化 显、生化熟、繁化简。 （五）求递推数列的通项公式的捷径，是记住常见模型、记住相应手段。
n k 1
n
1 2 n 1
n N*
(2k ) n(n 1)
k n2 4 k 1 2n1 k 1 2
k k 1 又 k 1 2
n
是一个典型的错位相减法模型
Sn = n(n 1) n 1 4 2
n2
评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造 新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合 不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线 教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向 作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
整理得
an 2
4 n1 1 4 3 3
19
模型5．
a1 b, a n 1
=
an f (n)
得
解: 由 ∴
a n1 = an f (n)
an an1 f (n 1) an1 an2 f (n 2)
a n1 an
＝ f ( n)
……………………………… a3 a2 f (2)
a1 =3，an1 an }中，
an+2n，求通项 an
。
解。 由 an1
an +2n
得
an1 an 2n
∴ an an1 2（n-1）
…………………………
， ，
an1 an2 2（n-2）
a3 a2 2 2
a 2 a1=2×1
Leabharlann Baidu叠加得
于是
an a1
a1 b, a n 1
=q
an f (n) （q≠0）
两边同除以
解: 由 得
a n1 =q an f (n)
q
n1
an1 an f (n) n n1 n 1 q q q
an bn n q
令
f (n) g (n) n1 q
则
bn1 bn g (n)
（到此，问题转化成了模型5）
an 。
解。 由
an1
2 an
n
得
an a2 n 1 a n 1 n2 1 ∴ 2 ，……， 2 , 2 an2 a1 an1
将上述n – 1个式子连乘得
n ( n1) 2
an1 2n an
an 2 a1
n ( n 1) 2
∴
an 4 2
2
n2 n 4 2
（六）求递推数列的通项公式的过程多是：观察—调整—代换—观察—调
整—代换‥‥‥整理—出结果。
（三）几个模型：
模型1． 模型2．
a1 b, an1 an d , 显然有 an b (n 1)d
a1 b, an1 qan
显然有
an bqn1
8
模型3.
a1 b,
07天津卷理21 09湖北卷理19
n n 1
n
n 21n
例9： （2009全国卷Ⅰ理20）（本小题满分12分在数列 {an } 中， 1 n 1 a1 1, an 1 (1 ) an n n 2 （I）设 ，求数列{an }的通项公式 （II）求数列 {an } 的前项和 Sn
1 1 1 1 1 an 1 3 an
1 1 是以 an
2 3
1 为首项， 为公比的等比数列． 3
1 2 1 2 1 n1 n an 3 3 3
72n1 2
18
例3. a1=2,an+1=2an4,求通项an . 解. 由已知易知各项均为正数,于是将 an+1=2an4 两边取以2为底的对数得 log2an+1=1+4log2an 令log2an=bn,则有bn+1=1+4bn 令bn+1+x=4(bn+x)则x=1/3 于是bn+1+1/3=4(bn+1/3) 令cn=bn+1/3则cn+1=4cn 而b1=1,c1=4/3,所以cn=(4/3)4n-1 bn=(4/3)4n-1-1/3
a n1
=
qan d
，（q≠1，q≠0）
解: 令 则 令 于是有
an1 x q(an x)
d x q 1
bn an x
bn 1 d qbn , b1 b q 1
（到此，问题转化成了模型2）
特例.a1=5,an+1=2an+3,求通项公式. （2006，重庆,文,14） 例1 9
用此式减去已知式，得 当 即 又
n2
时
an1 an nan
an1 (n 1)an
a2 a1 1
a3 an a2 a4 a1 1, 1, 3, 4, , n a1 a2 a3 an1
将以上n个式子相乘，得
n! an 2
(n 2)
模型7.
解法2：取对数（变模型5），用叠加法（自去练） 21
例6（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， n≥2，
an a1 2a2 3a3 (n 1)an1
则{an}的通项 an
1 ___
n 1 n2
解：由已知，得
an1 a1 2a2 3a3 (n 1)an1 nan
例2与例3 10
a1 = 105 a 例2．已知数列｛ an ｝中， n 1 100
a
2 n
求通项 解: 由
an
100
2 an
得lg
an1
an1 2lg an
+2
令bn=lg
∴由例1得
an
bn=7×2n-1 ﹣2
n 1
则bn+1=2bn+2
∴
lg an 7 2
2
于是
an 10
n（n-1）
an = n(n 1) + 3
20
模型6． 解:
a1 b,a n1 = an f (n) （ an ≠0 ) a n1 = a 由 f ( n) n 1 an f (n) 得
an an1 f (n 1), f (n 2) an1 an2
a ………… 2 f (1) a1