高中数学必修3算法初步常考题型：算法的概念

【知识梳理】
1．算法的含义
2．算法的特征
计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．
【常考题型】
题型一、算法的概念
【例1】(1)下列说法正确的是()
A．算法就是某个问题的解题过程
B．算法执行后可以产生不同的结果
C．解决某一个具体问题算法不同，则结果不同
D．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施
[解析]选项B正确，例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；选项A，算法不能等同于解法；选项C，解决某一个具体问题算法不同，但结果应相同；选项D，算法可以为很多次，但不可以无限次．
[答案] B
(2)下列叙述不能称为算法的是()
A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海
B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1
C．利用公式S＝πr2计算半径为2的圆的面积得π×22
D．解方程x2－2x＋1＝0
[解析]选项A，B给出了解决问题的方法和步骤，是算法；选项C是利用公式计算也属于算法；选项D只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．
[答案] D
【类题通法】
理解算法的关键点
(1)算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．
(2)判断一个问题是否有算法，关键看是否有解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．
【对点训练】
计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是()
①S＝2＋4＋6＋…＋1 000；
②S＝2＋4＋6＋…＋1 000＋…；
③S＝2＋4＋6＋…＋2n(n≥1，n∈N)．
A.①②B．①③
C．②③D．①②③
解析：选B由算法的有限性知②不正确，而①③都可通过有限的步骤操作，输出确定结果.
题型二、算法的设计
【例2】(1)早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤．从下列选项中选出最好的一种算法() A．第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六步听广播B．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听广播
C．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播
D．第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶
[解析]
[答案] C (2)写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．
[解]算法一：
第一步，计算1＋2，得到3.
第二步，将第一步中的运算结果3与3相加，得到6.
第三步，将第二步中的运算结果6与4相加，得到10.
第四步，将第三步中的运算结果10与5相加，得到15.
第五步，将第四步中的运算结果15与6相加，得到21.
算法二：
第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝7×3.
第二步，计算7×3.
第三步，得到运算结果．
算法三：
第一步，取n ＝6.
第二步，计算n (n ＋1)2
. 第三步，得到运算结果．
【类题通法】
设计具体问题的算法的步骤
设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：
(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
【对点训练】
1．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法如下，请补充完整．
第一步，求1×3得结果3.
第二步，将第一步所得结果3乘以5，得到结果15.
第三步，_________________________________________________________.
第四步，再将第三步所得结果105乘以9，得到结果945.
第五步，再将第四步所得结果945乘以11，得到结果10 395，即为最后结果．
解析：依据算法功能可知，第三步应为“再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105”． 答案：再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105
2．写出解方程x 2－2x －3＝0的一个算法．
解：算法一：第一步，移项，得x 2－2x ＝3.①
第二步，①式两边同时加上1并配方，得(x －1)2＝4.②
第三步，②式两边开方，得x －1＝±2.③
第四步，解③得x ＝3，或x ＝－1.
算法二：第一步，计算方程的判别式并判断其符号：Δ＝22＋4×3＝16＞0.
第二步，将a ＝1，b ＝－2，c ＝－3代入求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a
，得x 1＝3，x 2＝－1. 题型三、算法的应用
【例3】 (1)结合下面的算法：
第一步，输入x .
第二步，判断x 是否小于0.若是，则输出x ＋2，否则执行第三步．
第三步，输出x －1.
当输入的x 的值为－1,0,1时，输出的结果分别为( )
A ．－1,0,1
B ．－1,1,0
C ．1，－1,0
D ．0，－1,1
[解析] 根据x 值与0的关系，选择执行不同的步骤．当x ＝－1时，输出x ＋2，即输出1；当x ＝0时，输出x －1，即输出－1；当x ＝1时，输出x －1，即输出0.
[答案] C
(2)设计一个判断直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2的位置关系的算法．
[解] 算法如下：第一步，输入圆心坐标(x 0，y 0)，直线方程的系数A 、B 、C 和半径r .第二步，计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C .第三步，计算z 2＝A 2＋B 2.第四步，计算d ＝|z 1|z 2
.第五步，若d ＞r ，则输出“相离”；若d ＝r ，则输出“相切”；若d ＜r ，则输出“相交”．
【类题通法】
数学中两种算法应用的处理方法
(1)数值性计算问题，如解方程(组)、解不等式(组)或套用公式判断性问题，一般通过数学模型
借助数学计算方法分解成清晰的步骤，并条理化．
(2)非数值性问题，如查找、变量代换、文字处理等非数值性计算问题，设计算法时，首先建立过程模型，然后根据过程设计步骤，完成算法．
【对点训练】
已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，写出求直线AB 的斜率的一个算法．
解：算法如下：
第一步，输入x 1，y 1，x 2，y 2.
第二步，计算Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1.
第三步，若Δx ＝0，则输出“斜率k 不存在”；否则，执行第四步．
第四步，计算k ＝Δy Δx
. 第五步，输出斜率k .
【练习反馈】
1．下列关于算法的说法中正确的个数有( )
①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止；③x 2－x ＞2是一个算法；④算法执行后一定产生确定的结果；⑤对于像“喝一碗水”这类含有动作的语言能出现在算法的一个步骤中．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：选B 因为x 2－x ＞2仅仅是一个数学问题，不能表达一个算法，所以③是错误的．依据算法的多样性(不唯一性)知①错误，由算法的有限性知②正确，由于算法具有可执行性，算法的每一步必须是计算机能执行的，所以⑤是错误的，正确的有②④.
2．已知直角三角形两直角边长为a 、b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步：( )
①计算c ＝a 2＋b 2；②输入直角三角形两直角边长a ，b 的值；③输出斜边长c 的值．其中正确的顺序是( )
A ．①②③
B ．②③①
C ．①③②
D ．②①③
解析：选D 明确各步骤间的关系即可知D 选项正确．
3．输入一个x 值，利用y ＝|x ＋1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：
第一步，输入x ；
第二步，________________________；
第三步，当x ＜－1时，计算y ＝－x －1；
第四步，输出y .
解析：含绝对值的函数的函数值的算法要注意分类讨论思想的应用，本题中当x ≥－1时y ＝x ＋1；当x ＜－1时y ＝－x －1，由此可完善算法．
答案：当x ≥－1时，计算y ＝x ＋1，否则执行第三步
4．已知长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c .写出求对角线长l 的算法如下：
第一步，输入长、宽、高a 、b 、c 的值．
第二步，计算l ＝a 2＋b 2＋c 2的值．
第三步，____________.
将算法补充完整，横线处应填________________．
解析：算法要有输出，故第三步应为输出结果l 的值．
答案：输出对角线长l 的值
5．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积．
解：算法一：
第一步，取S ＝16π.
第二步，计算R ＝S 4π
(由于S ＝4πR 2)． 第三步，计算V ＝43
πR 3. 第四步，输出运算结果．
算法二：
第一步，取S ＝16π.
第二步，计算V ＝43π(S 4π
)3. 第三步，输出运算结果．。