概率魏宗舒 第一章1-5

特别地，当A=S时,P（B|S）=P(B)，条件 概率化为无条件概率，因此无条件概率可看 成条件概率。 P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件 不同,
二、 乘法公式 P ( AB) 由条件概率的定义： ( A | B ) P , P( B) 在已知P(B), P(A|B)时, 可反解出P(AB)。 即 若P(B)>0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2)
某人从任一箱中任意摸出 一球，发现是红球，求该 球是取自1号箱的概率。 B ={取得红球}。
到底谁说的对呢？让我们用 概率论的知识来计算一下,每个 人抽到“入场券”的概率到底 有多大?
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。”
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”， i＝1,2,3,4,5。
则 Ai 表示“第i个人未抽到入场券”， 显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5，
也就是说，
同理，若 P(A)>0 ,则 P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3) (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计 算两个事件同时发生的概率。
例5: 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
例3 ：掷两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: 设A={掷出点数之和不小于10}， B={第一颗掷出6点}。 解法1:
应用定义
P ( AB) 3 36 1 P ( A | B) 。 P ( B) 6 36 2 解法2: P ( A | B ) 3 1 。 6 2
在B发生后的 缩减样本空间 中计算
例4: 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4。问 现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的 概率是多少？
解:设A={能活20年以上}, B={能活25年以上}， 所求为P(B|A) 。 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4，
求的是 P(A|B) 。 B发生, 在P(AB)中作为结 果; 在P(A|B)中作为条件。
Байду номын сангаас
推广到多个事件的乘法公式: 当P(A1A2…An-1)>0时，有 P (A1A2…An） =P(A1)P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1)。
例6：一批灯泡共100只,其中10只是次品,其
余为正品,作不放回抽取,每次取一只,求:第 三次才取到正品的概率。
AB A

“条件概率”是“概率”吗？
3. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; 2. P(Ω |B)=1； 3. 设A1,…,An ,…互不相容，则 P[(A1+…+An +…)| B] = P(A1|B)+ …+P(An|B)+…
而且，前面对概率所证明的一切性质，也都 适用于条件概率。
B
i 1
n
i
, 则对任一事件A，有
P( A) P( Bi ) P( A｜Bi )。
i 1
n
称满足上述条件的B1,B2,…,Bn为完备事件组。 由上式不难看出: “全部”概率P(A)可分成许 多“部分”概率之和。
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下，直接计算P(A)不容易, 但 总可以适当地构造一组两两互斥的Bi ，使A 伴随着某个Bi的出现而出现，且每个P ( Ai B) 容易计算。可用所有P ( Ai B ) 之和计算P(B)。
A1
B A4
A5
A6 A8
诸Ai是原因 B是结果
A2
A7
实际中还有下面一类问题——已知结果求原因
某人从任一箱中任意摸 出一球,发现是红球, 求该球 是取自1号箱的概率。 1红4白 或者问: 1 2 3 该球取自哪号箱的可能 性大些? 这一类问题在实际中更为常见，它所求 的是条件概率，是已知某结果发生条件下， 求各原因发生可能性大小。
例7:袋中有同型号小球b+r个，其中b个是黑
球，r个是红球。每次从袋中任取一球，观其 颜色后放回,并再放入同颜色，同型号的小球 c个。若B={第一，第三次取到红球,第二次取 到黑球}，求P(B)。
解: 设Ai={第i次取到红球}, i=1,2,3, 则:
B A1 A2 A3 , P ( B ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) r b (r c ) 。 b r b ( r c ) (b c ) ( r c )
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式。 某一事件B的发生有各种可能的原因Ai (i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai 所引起，则 B发生的概率是 P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 每一原因都可能导致B发生，故 B发生的概率是各原因引起B发生概 率的总和，即全概率公式。
可以形象地把全概率公式看成是 “由原因推结果”，每个原因对结果的发 生有一定的“作用”，即结果发生的可能 性与各种原因的“作用”大小有关。全概 率公式表达了因果之间的关系 。 A3

P ( A ) P ( B｜A ),
i 1 i i
3
对求和中的每一项 运用乘法公式得
代入数据计算得：P(B)=8/15。 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式。
全概率公式: 设Ω为随机试验的样本空间，B1,B2,…,Bn 是两两互斥的事件，且有P(Bi)>0，i =1,2,…,n,
例如：对任意事件A1和A2 ,有 等。 P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)- (A1A2|B)
其他性质请同学们自行写出。
4. 条件概率的计算 1) 用定义计算: P ( AB) P ( A | B) , P ( B)
P(B)>0。
2)从加入条件后改变了的情况去算 n AB n AB n P(AB) P(B | A) nA nA P(A) n
设B={零件是乙厂生产}， A={是标准件}， 所求为P(AB)。
甲、乙共生产
300个
乙厂生产
189个是 标准件
1000 个
设B={零件是乙厂生产}， 300个
A={是标准件}， 所求为P(AB) 。
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”
1000 个
三、全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用。 综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
例8: 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱，从 中任意摸出一球，求取得红球的概率。
已知事件B发生，此时试验所 有可能结果构成的集合就是B。 B中共有3个元素，每个元素出现 是等可能的，且其中只有1个(2点) 在集合A中。 于是，P(A|B)= 1/3。 容易看到： 1 1 6 P ( AB) P(A|B) 。 3 36 P( B) 掷骰子
例2 ：10件产品中有7件正品，3件次品; 7件 正品中有3件一等品, 4件二等品。现从这10件 中任取一件，记 A={取到一等品}， B={取到正品}， P(A )=3/10，
第一章第五节
条件概率
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球， 十人依次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二 个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人 取到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球 ，则第二个人取到红球的概率 又是多少？
已知事件A发生的条件下， 事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
一、条件概率 1、 条件概率的概念 在解决许多概率问题时，往往需要求 在有某些附加信息(条件)下事件发生的概率。 通常记事件B发生的条件下, 事件A发生的概 率为P(A|B)。
一般情况下， P(A|B) ≠P(A) 。
例1：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6， P(A|B)=？
接下来我们介绍解决这类问题的 贝叶斯公式
有三个箱子，编号分别为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球， 3号箱装有3红球.。某人从三箱中任取一箱， 从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取 自1号箱的概率 。 ?
1红4白
1
2
3
1红4白 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
解:
设Ai ={第i次取到正品}, i=1,2,3。 A={第三次才取到正品}。 则:
A A1 A2 A3 , 故， ( A) P ( A1 A2 A3 ) P P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) 10 9 90 0.0083。 100 99 98
3 3 10 P ( AB ) P(A|B) 。 7 7 10 P( B)
A={取到一等品}， B={取到正品}，
P(A )=3/10， P(A|B)=3/7。
本例中，计算P(A)时，依据前提条件是10 件产品中一等品的比例。 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只 是加上“事件B已发生”这个新的条件。
这好象给了我们一个“情报”，使我们 得以在某个缩小了的范围内来考虑问题。
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0，则称 P ( AB) (1) P ( A | B) P ( B) 为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。
B
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB。 由于我们已 经知道B已发生, 故B就变成了 新的样本空间 , 于是 就有(1)。
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须 第1、第2个人都没有抽到。因此，
P ( A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )
=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5， 继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券 ” 的概率都是1/5。 这就是有关抽签顺序问题的正确解答——— 抽签不必争先恐后。
一场精彩的足球赛将要举行, 但5个球迷只搞 到一张球票，但大家都想去。没办法，只好用 抽签的方法来确定球票的归属。
球票
5张同样的卡片，只有一张上写有“球票”，其余的什么也 没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取。
请回答： 先抽的人比后抽的人抽到球票的机会大吗？ 后抽的人比先抽的人吃亏吗？
“大家不必争，你们一个一个按次序来， 谁抽到‘入场券’的机会都一样大。”
第1个人抽到入场券的概率是1/5。
由于 A2 A1 A2 , 由乘法公式， 得
因为若第2个人抽到 入场券时，第1个人 肯定没抽到。
P ( A2 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ),
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1 个人未抽到， 计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5。
解：记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球}。 1
2
3
B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生， 即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B两两互斥。(应用加法公式)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( AB) P ( B ) 0.4 P ( B | A) 0.5。 P ( A) P ( A) 0.8
条件概率P(A|B)与P(A)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行的，则 P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小。
条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生” 这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概 率。