第7章回归分析资料
第7章 相关与回归分析。
第七章相关与回归分析学习内容一、变量间的相关关系二、一元线性回归三、线性回归方程拟合优度的测定学习目标1. 掌握相关系数的含义、计算方法和应用2. 掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二3. 掌握回归方程的显著性检验4. 利用回归方程进行预测5. 了解可化为线性回归的曲线回归6. 用Excel 进行回归分析一、变量间的相关关系1. 变量间的关系（函数关系）1)是一一对应的确定关系。
2)设有两个变量x和y，变量y 随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x 取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，则称y 是x的函数，记为y = f (x)，其中x 称为自变量，y 称为因变量。
3)各观测点落在一条线上。
4）函数关系的例子–某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价)。
–圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = π R2。
–企业的原材料消耗额(y)与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3间的关系可表示为y =x1 x2 x3。
单选题下面的函数关系是（）A、销售人员测验成绩与销售额大小的关系B、圆周的长度决定于它的半径C、家庭的收入和消费的关系D、数学成绩与统计学成绩的关系2. 变量间的关系（相关关系）1)变量间关系不能用函数关系精确表达。
2)一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定。
3)当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个。
4)各观测点分布在直线周围。
5）相关关系的例子–商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系。
–商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系。
–粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度 (x3)之间的关系。
–收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系。
–父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系。
3. 相关图表1)相关表：将具有相关关系的原始数据，按某一顺序平行排列在一张表上，以观察它们之间的相互关系。
2)相关图：也称为分布图或散点图，它是在平面直角坐标中把相关关系的原始数据用点描绘出来，通常以直角坐标轴的横轴代表自变量x，纵轴代表因变量y。
第7章岭回归分析
第7章岭回归分析岭回归分析（Ridge Regression Analysis）是一种线性回归的改进方法，用于解决当自变量之间存在多重共线性（multicollinearity）时，常规最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）估计的回归系数不稳定的问题。
多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性，即两个或多个自变量之间存在线性关系。
在OLS估计中，当出现多重共线性时，回归系数的估计值可能变得非常大，导致模型不可靠。
岭回归通过引入一个惩罚项（penalty term）来解决多重共线性带来的问题。
惩罚项是对回归系数的约束，使得估计值更稳定。
惩罚项的大小由一个称为岭参数（Ridge parameter）的超参数决定，岭参数越大，惩罚项越大。
具体实施岭回归分析的步骤如下：1.收集数据：收集需要进行回归分析的数据，包括自变量（X）和因变量（Y）。
2.数据预处理：对数据进行预处理，包括缺失值处理、异常值处理和标准化处理等。
3.岭回归模型：构建岭回归模型，假设回归方程为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中β0是截距，β1-βn是回归系数，ε是误差项。
4. 岭参数选择：选择适当的岭参数值。
一种常用的方法是交叉验证（cross-validation），通过在训练集上进行模型拟合和验证，选择使得平均误差最小的岭参数。
5.模型拟合：使用选定的岭参数，对模型进行拟合，通过最小化残差平方和（RSS）来估计回归系数的值。
6.结果分析：通过分析回归系数的估计值，评估模型的拟合效果和自变量的影响程度。
岭回归分析的优点是可以解决多重共线性问题，使得回归模型在存在多重共线性时仍然具有较好的稳定性。
同时，通过调节岭参数，还可以控制惩罚项的大小。
然而，岭回归也存在一些限制。
首先，岭回归对于多重共线性问题的处理是通过牺牲模型的拟合度来换取回归系数的稳定性，有时会导致模型的预测能力下降。
其次，选择合适的岭参数值也需要一定的经验和技巧，选择过小的岭参数可能无法很好地解决多重共线性问题，而选择过大的岭参数可能导致模型欠拟合。
第7章 5逻辑回归分析讲义
7.5 逻辑回归分析统计学上的定义和计算公式定义：逻辑回归分析是对定性变量的回归分析。
现实中的很多现象可以划分为两种可能，或者归结为两种状态，这两种状态分别用0和1 表示。
买汽车回受到家庭、收入等因素的影响，但最终的结果只能是两个：买或不买。
如果我们采用多个因素对0－1 表示的某种现象进行因果关系解释，就可能应用到logistic 回归。
例如，想探讨胃癌发生的危险因素，可以选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群肯定有不同的体征和生活方式等。
这里的因变量就是是否胃癌，即“是”或“否”，为两分类变量，自变量就可以包括很多了，例如年龄、性别、饮食习惯等。
自变量既可以是连续的，也可以是分类的。
通过logistic回归分析，就可以大致了解到底哪些因素是胃癌的危险因素。
可用于处理定性因变量的统计分析方法有：判别分析（Discriminant analysis）、Probit分析、Logistic回归分析和对数线性模型等。
在社会科学中，应用最多的是Logistic回归分析。
Logistic回归分析根据因变量取值类别不同，又可以分为Binary Logistic回归分析和Multi-nominal Logistic回归分析。
Binary Logistic回归模型中因变量只能取两个值1和0（虚拟因变量），而Multinomial Logistic回归模型中因变量可以取多个值。
本节将只讨论Binary Logistic回归，并简称Logistic 回归（与7.5节曲线估计中介绍的Logistic曲线模型相区别）。
Logistic函数的形式为实例操作在一次关于某城镇居民上下班使用交通工具的社会调查中，因变量y =1表示居民主要乘坐公共汽车上下班；y=0表示主要骑自行车上下班；自变量x1表示被调查者的年龄；x2表示被调查者的月收入；x3表示被调查者的性别（x3=1为男性，x3=0为女性）。
试建立y与自变量间的Logistic回归，数据如表所示。
第7章岭回归分析
第7章岭回归分析岭回归分析是一种用于解决多重共线性问题的回归方法。
在多重共线性问题中，自变量之间存在高度相关性，这会导致传统的最小二乘法线性回归产生不稳定的估计结果。
岭回归通过对系数进行约束，来减小估计值的方差，从而提高回归模型的稳定性。
本章将介绍岭回归的原理、步骤和应用。
一、岭回归的原理岭回归是对普通最小二乘法进行修正的一种方法。
其基本思想是通过对最小二乘法中的残差平方和添加一个惩罚项来控制系数的大小，从而减小方差。
岭回归的目标是找到一个最优的系数向量，使得残差平方和和正则化项的加权和最小化。
在岭回归中，通过引入一个正则化参数λ（也称为岭参数），目标函数变为最小二乘法的残差平方和加上λ乘以系数向量的平方和。
正则项的引入使得系数向量的估计值在其中一种程度上受到限制，使回归模型更加稳定。
通过调整正则化参数λ的值，可以控制估计值的偏差和方差之间的权衡。
二、岭回归的步骤岭回归的步骤如下：1.数据准备：将数据集划分为自变量矩阵X和因变量向量y。
2.数据标准化：对X和y进行标准化，使得均值为0，方差为1、这一步骤是为了使得不同变量之间的尺度一致。
3.构建岭回归模型：通过求解最小二乘法，得到系数估计值。
岭回归的系数估计值计算公式为：β^=(X^T*X+λI)^(-1)*X^T*y。
其中，X^T为X的转置矩阵，I为单位矩阵，λ为正则化参数。
4.选择合适的λ：通过交叉验证等方法，选择合适的正则化参数λ。
5.模型评估：使用选择的正则化参数λ对模型进行评估，计算均方误差等指标。
三、岭回归的应用岭回归在实际应用中具有广泛的用途，主要包括以下几个方面：1.多重共线性问题：当自变量之间存在高度相关性时，使用岭回归可以解决多重共线性问题，减小估计值的方差，提高回归模型的稳定性。
2.特征选择：岭回归通过惩罚项的引入，可以压缩系数向量，从而减小不重要的特征对模型的影响，实现特征的选择。
3.数据挖掘：岭回归可以用于数据挖掘任务，如预测、分类等。
回归分析课件-第七章
第七章 多元线性回归模型的有偏估计
性质7.4的证明
并且
ˆ k trCov ˆ k E ˆ k MSE
2
i 1
p
i
i
k
2
k
2
i 1
p
i2
i
k
2
ˆ g1 k g 2 k ˆ g k
1949 年－1959 年法国进口总额与相关变量的数据 x1 149.3 171.5 175.5 180.8 190.7 202.1 202.1 212.4 226.1 231.9 239.0 x2 4.2 4.1 3.1 3.1 1.1 2.2 2.1 5.6 5.0 5.1 0.7 x3 108.1 114.8 123.2 126.9 132.1 137.7 146.0 154.1 162.3 164.3 167.6
第七章 多元线性回归模型的有偏估计
LS 估计的性能效果与设计矩阵 X 有关，当
R X X 接近是一个奇异阵时，即呈现所谓
的“病态”时，LS 估计的性能变坏。
上海财经大学 统计与管理学院 2
第七章 多元线性回归模型的有偏估计
例 7.2
表 7.1 是 Malinvand 于 1966 年提出的研究法国经济
上海财经大学 统计与管理学院 6
第七章 多元线性回归模型的有偏估计
将 x3 看作因变量， x1 自作解释变量，那么 x3 关于 x1 的一元线性回归方 程为
x3 60258 0.686x1 ，
这说明当 x1 变化时， x3 不可能保持一个常数，因此对回归系数的解释 就复杂了，不能仅从其符号上作解释， x1 与 x3 之间存在着多重共线性 关系，
统计学 第 七 章 相关与回归分析
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
第七章相关与回归分析
函数关系
(几个例子)
某种商品的销售额 y 与销售量 x 之间的关系 可表示为 y = px (p 为单价)
圆的面积S与半径R之间的关系可表示为 S=R2 企业的原材料消耗额y与产量x1 、单位产量 消耗x2 、原材料价格x3之间的关系可表示为 y = x1 x2 x3
相关关系
(correlation)
1. 是一一对应的确定关系 2. 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完 y 全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 3. 各观测点落在一条线上
二.相关关系的种类 1、按相关的程度划分 完全相关 不完全相关 不相关 正相关 负相关 线性相关 非线性相关 单相关 4、按影响因素的多少划分 复相关 3、按相关的形式划分
2、按相关的方向划分
散点图
(scatter diagram)
第七章 相关与回归分析
教学目的与要求 掌握相关关系的含义，以及相关关系与 函数关系的区别，了解相关分析的内容，掌 握相关关系的判别方法和类型，理解回归分 析的实质，熟悉回归分析与相关分析的区别 与联系，掌握一元线性回归分析方法和应用
本章主要内容 第一节 相关分析 第二节 回归分析
第一节
相关分析
客观存在的各种现象之间的相互联系，都可以 表现为一定的数量关系，研究现象之间的数量关系 ，则是回归分析和相关分析的宗旨。现象之间的相 互联系，在许多情况下，表现为一定的因果关系， 将这些现象数量化，则成为变量，其中起着影响作 用的变量称为自变量，受自变量影响而发生变动的 变量称为因变量。 现象之间的相互关系，可以概括为两种不同的类 型，即函数关系和相关关系。
七章 相关与回归分析
（一）狭义的相关分析。简称为相关关系分析，它以现象之间是 否相关、相关的方向和相关密切程度等为主要研究内容，它不区 别自变量与因变量，对各变量的构成形式也不关心。其主要分析 方法有：编制相关表、绘制相关图、计算相关系数。 （二）广义的相关分析。还包括对现象间具体的相关形式的分析， 即回归分析。在回归分析中根据研究的目的，应区分出自变量和 因变量，并研究确定自变量和因变量之间的具体关系的方程形式。 其主要方法有：建立回归模型、求解回归模型中的参数、对回归 模型进行检验等。可见，广义的相关分析包括狭义的相关分析和 回归分析两部分内容，也就是本章讲解的主要内容。
.
.
（2）配合单位成本倚产量的直线回归方程，并解释参数 a、b 的经济含义。 （3）当产量为6000件时。试问单位成本为多少元？ （4）计算估计标准误。 解：
r
n xy x y n x 2 x 2
6 1 4 8 1 2 1 4 2 6
2
n y 2 y 2
.
样本相 关系数
r
s s
x
2 xy s
.
y
1 ( x x )( y y ) n 1 1 2 2 ( x x ) ( y y) n n ( x x )( y y ) ( x x)
2 2 ( y y)
n xy x y
n x 2 ( x) 2 n y 2 ( y ) 2 1 2 LXY ( x x)( y y ) xy x y n 1 2 2 LXX ( x x) x ( x) 2 n 1 2 2 Lyy ( y y ) y ( y ) 2 n
.
统计学 第七章 相关与回归分析
数 值 说 明
完全负相关
无线性相关
完全正相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
通常：当相关系数的绝对值： 通常：当相关系数的绝对值： 小于0.3 小于0.3时,表示不相关或微弱相关 0.3时 介于0.3 0.5， 介于0.3至0.5，表示低度相关 0.3至 介于0.5 0.8，表示显著（中度） 介于0.5至0.8，表示显著（中度）相 0.5至 关 大于0.8Lxx Lyy
r=
n ∑ xy − ∑ x ⋅ ∑ y n ∑ x 2 − (∑ x ) 2 ⋅ n ∑ y 2 − (∑ y ) 2
r=
∑ ( x − x )( y − y) ∑ ( x − x )2 ∑ ( y − y)
2
( x − x )( y − y) = ∑ xy − 1 ∑ x ∑ y ∑ n
第二节
定性分析
相关分析的方法
是依据研究者的理论知识和实践经 验，对客观现象之间是否存在相关 关系，以及何种关系作出判断。 关系，以及何种关系作出判断。 在定性分析的基础上，通过编制相 在定性分析的基础上， 关表、绘制相关图、计算相关系数 等方法， 等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。 形态及密切程度。
xy
( y − y) 2 ∑
σ xσ y
3.相关系数的其他公式 相关系数的其他公式
• （1）积差法公式： ）积差法公式： • • （2）积差法简化式： ）积差法简化式： r= • • （3）简捷公式： ）简捷公式： •
∑ ( x − x)( y − y) r=
nσ xσ y
∑ ( x − x )( y − y ) ∑ (x − x) ⋅ ∑ ( y − y)
生物统计学课件 7、回归与相关分析
第一节 直线回归
㈡数据整理
由原始数据算出一级数据6个： ΣX＝1182 ΣY＝32650 ΣXY＝3252610 320
ΣX 2＝118112 ΣY 2＝896696700 n＝12
Байду номын сангаас
再由一级数据算出二级数据5个：
SSX＝ ΣX 2 － (ΣX) 2 /n＝1685.00 SSY＝ ΣY 2 － (ΣY ) 2 /n ＝831491.67 SP＝ ΣXY － ΣX ΣY /n ＝36585.00
280
80
X＝ΣX/n ＝98.5 Ӯ ＝ΣY/n ＝2720.8333
㈢计算三级数据
b ＝ SP/ SSX ＝21.7122 ＝36585÷1685
a＝ Ӯ －bX＝582.1816 ＝2720.8333－ 21.7122×98.5 得所求直线回归方程为：
y ＝ 582.1816 + 21.7122 x
第一节 直线回归
二、建立直线回归方程
340
例7.1 在四川白鹅的生产性能研究中， 得到如下一组n = 12（只）关于雏鹅重（g） 与70日龄重（10g）的关系的数据，其结 300 果如下表，试予分析。
解 ㈠描散点图
本例已知雏鹅70日龄重随雏鹅重的变 260 化而变化，且不可逆；又据散点图反映的 趋势来看，在80—120g的重量范围， 70日 龄重随雏鹅重呈上升的线性变化关系。
程 y ＝ 582.1816 + 21.7122 x可用于预测。
而是多元回归。
第二节 直线相关
一、相关的含义
二、相关系数
如果两个变量X和Y，总是X和Y 相互 前已述及，具有线性回归关系的
制约、平行变化，则称X和Y为相关关系。 双变量中，Y变量的总变异量分解为：
第七章回归分析
第七章回归分析本章介绍用于回归分析的常用SAS过程，包括一般回归分析过程REG、建立二次响应曲面回归模型过程RSREG、逐步回归分析过程STEPWISE、非线性回归分析过程NLIN等。
§7.1 一般回归分析过程 REG7.1.1 概述REG过程是一个通用回归过程，用最小二乘法估计线性回归模型。
此过程可以有多个模型(MODEL)语句，输入数据可以是原始样本数据，也可以是相关阵，可打印模型中的参数估计值、预测值、残差及置信区间等，并可作线性假设检验。
7.1.2 过程说明可用下列语句调用REG过程：PROC REG 选项;LABEL：MODEL 因变量表=回归变量表/选项;OUTPUT OUT=数据集关键字=名称表;BY 变量表;（1）PROC REG 选项;常用的选项有：DATA=数据集指定要分析的数据集，缺省时为最新建立的数据集。
ALL 要求各种输出项。
SIMPLE 为每个变量打印简单统计量。
NOPRINT 抑制正常的打印输出。
CORR 打印模型中所有变量的相关阵。
USSCP 为所用变量打印平方和及叉积阵。
（2）LABEL :MODEL 因变量=回归变量/选项;LABEL是模型标号，可省略。
如果使用多个模型，则可给予模型标号名称，便于区别。
常用的选项有：NOPRINT 抑制回归分析结果的打印输出。
NOINT 抑制模型中常数项的出现，缺省时模型中包括常数项。
I 打印X'X的逆矩阵。
XPX 打印X'X阵。
ALL 要求各项输出。
P 打印观测值号、实测值、预测值及残差。
R 要求残差分析。
包括预测值及残差的标准误，学生化残差及COOK'S统计量D。
CLM 打印每个观测值的因变量期望值的95%可信上下限，给出参数估计的变异范围，而不是预测区间。
CLI 要求为每一个观测值打印95%可信度的上下限。
DW 要求计算DURBIN-WASTON统计量，可检验误差是否有一阶自相关。
第七章 回归分析１７４ PARTIAL 要求打印每个回归变量的偏回归影响图。
第7章 直线回归与相关分析
y y ( x x)
y x
总体资料直线回 归的数学模型
总体回归截踞
总体回归系数 随机误差
y ( x x)
总体回归截踞 总体回归系数 随机误差
α：它是y的本底水平，即x对y没有任何作用时，y的数量 表现。 βx：它描述了因变量y的取值改变中，由y与自变量x的线 性关系所引起的部分，即可以由x直接估计的部分。 误差：它描述了因变量y的取值改变由x以外的可能与y有 关的随机和非随机因素共同引起的部分，即不能由 x直接 估计的部分。
ˆ y) ( y y ˆ) ( y y) ( y
2 2
2
回归平方和 U
离回归平方和 Q
ss
y
U Q
ˆ y ) 2 [ y b ( x x ) y ]2 U (y b 2 ( x x) b 2 ss x bsp ( sp ) 2
2 sy /x
2
sy / x SSx
回归系数的标准误
b 2 b t ( ) 2 sb sb
2
2 2 2
2
sb
sy / x SSx
b SSx b t 2 2 s y / x / SSx sy / x
2
U b
2
ss bsp
x
(sp)
2
ss
x
U t F Q /(n 2)
相关关系
X身高
Y体重
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，虽然在同样身高 下，体重并不完全一样。但在每一身高下，都有一个确定的 体重分布与之相对应;
X体重
Y身高
在大量测量各种体重人群的身高时会发现，虽然在同样体重 下，身高并不完全一样。但在每一体重下，都有一个确定的 身高分布与之相对应;
统计学第7章相关与回归分析PPT课件
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
计量经济学第7章 含有定性信息的多元回归分析
第7章含有定性信息的多元回归分析：二值(或虚拟)变量在前面几章中，我们的多元回归模型中的因变量和自变量都具有定量的含义。
就像小时工资率、受教育年数、大学平均成绩、空气污染量、企业销售水平和被拘捕次数等。
在每种情况下，变量的大小都传递了有用的信息。
在经验研究中，我们还必须在回归模型中考虑定性因素。
一个人的性别或种族、一个企业所属的产业（制造业、零售业等）和一个城市在美国所处的地理位置（南、北、西等）都可以被认为是定性因素。
本章的绝大部分内容都在探讨定性自变量。
我们在第7.1节介绍了描述定性信息之后，又在第7.2、7.3和7.4节中说明了，如何在多元回归模型中很容易地包含定性的解释变量。
这几节几乎涵盖了定性自变量用于横截面数据回归分析的所有流行方法。
我们在第7.5节讨论了定性因变量的一种特殊情况，即二值因变量。
这种情形下的多元回归模型具有一个有趣的含义，并被称为线性概率模型。
尽管有些计量经济学家对线性概率模型多有中伤，但其简洁性还是使之在许多经验研究中有用武之地。
虽然我们在第7.5节将指出其缺陷，但在经验研究中，这些缺陷常常都是次要的。
7.1 对定性信息的描述定性信息通常以二值信息的形式出现：一个人是男还是女；一个人有还是没有一台个人计算机；一家企业向其一类特定的雇员提供还是不提供退休金方案；一个州实行或不实行死刑。
在所有这些例子中，有关信息可通过定义一个二值变量(binary variable)或一个0-1变量来刻画。
在计量经济学中，对二值变量最常见的称呼是虚拟变量(dummy variable)，尽管这个名称并不是特别形象。
在定义一个虚拟变量时，我们必须决定赋予哪个事件的值为1和哪个事件的值为0。
比如，在一项对个人工资决定的研究中，我们可能定义female为一个虚拟变Array量，并对女性取值1，而对男性取值0。
这种情形中的变量名称就是取值1的事件。
通过定义male在一个人为男性时取值1并在一个人为女性时取值0，也能刻画同样的信息。
第七章 岭回归分析
MSE[
(k
)]
MSE
(
ˆ
)
即
p
E[ j (k) j ]2
p
D(ˆ j )
j 1
j 1
§3 岭迹分析
当岭参数 k 在 (0, ) 内变化时，ˆ j (k)是k 的函数， 在平面坐标系上把函数 ˆ j (k) 描画出来，画出的曲线称
为岭迹。由于尚未找到一种公认的最优选择 k 的方法， 所以在实际应用中，可以根据岭迹曲线的变化形状来确 定适当的 k 值和进行自变量的选择。
用最小二乘法求出回归参数的估计值为
ˆ0 11.292, ˆ1 11.307, ˆ2 6.591,
而原模型的参数为
0 10, 1 2, 3 3,显然相差很大；
计算 X1, X 2 的样本相关系数为 r12 0.986, 表明X1, X 2 之间高度相关.
岭回归的定义
当自变量间存在多重共线性， X X 0 时，设想给 X X 加上一个 正常数矩阵 kI (其中k 0) ，则 X X kI 接近奇异的程度就会比 X X
中 k=0.5 时，岭迹已算平稳，这时 ˆ1(0.5) 2.06已相当接近真值2 ， 但此时 ˆ2 (0.5)=1.49与真值3还相差很大 。
岭迹法的缺点是：缺少严格的理论依据； 岭迹法的优点是：发挥了定性分析和定量
分析的有机结合.
方差扩大因子法
记 R 2 j 为自变量 x j 对其余 p 1 个自变量作回 归拟合的复决定系数。这里 R2 j 度量了 x j 与其余 p 1 个变量的线性相关程度。可以证明：
岭迹法
选择k值的一般原则是： 各回归系数的岭估计基本稳定； 用最小二乘估计时符号不合理的回归系数，
其岭估计的符号变得合理； 回归系数没有不合乎经济意义的绝对值； 残差平方和增大不太多.
第7章 相关与回归
Q
b
( X X )(Y Y (X X )2
)
( X
X
)(Y
Y
)
b( X
X
)2
判定系数r2与相关系数r的关系 Q r2 (Yˆ Y )2 (Y Y )2 且 :Yˆ a bX Y a bX (Yˆ Y )2 (a bX a bX )2 b2( X X )2
r2
(Yˆ Y )2
假设1：解释变量X是确定性变量，不是随机变量； 模 假设2：随机误差项 具有零均值、同方差和不序列相关性： 型 的 基 假设3：随机误差项 与解释变量X之间不相关： 本 假 设 假设4： 服从零均值、同方差、零协方差的正态分布
推论1： 推论2：
（总体理论回归直线）
为同方差，但不同分布的随机变量
（二）样本一元线性回归方程（一元线性经验回归方程）
129.5
X2
1122.25 2570.49 4044.96 6162.25 7726.41 9761.44 11513.29 10465.29 14568.49 19768.36
87703.23
Y2
30.25
25 144 88.36 65.61 289 256 237.16
345.96 506.25 1987.59
因果关系 互为因果关系 共变关系
确定性依存关系
随机性依存关系
二、 相关的种类
正相关 负相关
一元相关 多元相关
线性相关 曲线相关
y
y
y
y
x 线性正相关
x 线性负相关
x 曲线相关
x 不相关
三、简单线性相关
（一）相关系数（皮尔逊积矩相关系数、动差相关系数）
对两变量之间简单线性相关程度和方向的测定。
第七章 方差分析与回归分析
Se
2
~ 2 (n r)，还可证明，在 H0 为真时
SA
2
~
2 (r 1) ，且与 Se 相互独立.
因而，由 F 分布的构造可知，在 H0 为真时，（21）
式给出的检验统计量 F ~ F(r 1, n r) ，当取 c F1 (r 1, n r)
便有 P(F c} ，故得拒绝域为 W {F F1 (r 1 n r)}.
i 个总体获得容量为 mi 叫的样本yi1, yi2 ,, yimi , i 1,2,, r
各样本间还是相互独立的.这些样本可以通过试验或某种
观察获得.为方便起见，本章对样本及其观察值都用同一
符号 y 加下标表示，其含义可从上下文理解.
在 Ai 水平下获得的 yij 与 i 不会总是一致的，记
A 的各水平间无显著差异，简称因子 A不显著；
反之，当 H0 不真时，各i 不全相同，这时称因子 A 的各水平间有显著差异，简称因子 A显著.图（1）
示意了这两种说法的含义.
(a)A 不显著
图（1）
(b)A 显著
定义1 用于检验假设（1）式的统计方法称为方差分 析法，其实质是检验若干个具有相同方差的正态总体的 均值是否相等的一种统计方法.在所考察的因子仅有一 个的场合，称为单因子方差分析. 为检验假设（1）式需要从每一总体中抽取样本.设从第
二、单因子方差分析的统计模型
在例1中所考察的因子只有一个，称其为单因子试验.
通常在单因子试验中，设因子 A有 r 个水平A1, A2,, Ar ,
在每一水平下考察的指标可以看成一个总体，现有 r 个
水平，故有 r 个总体，并假定：
（1）每一总体均服从正态分布； （2）每一总体的方差相同； （3）从每一总体中抽取的样本相互独立.
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❖ 拟合优度检验
三、异方差问题
❖ 异方差产生的原因
体育社会现象是错综复杂的，因而在建立回归模型时，经常会出现某一因素或一些 因素随着解释变量（自变量）观测值的变化而对被解释变量（因变量）产生不同的影响， 导致随机误差项产生不同的方差；当样本数据为时间序列数据时也会出现异方差，因为 此时随机误差项会随时间而变化；异常值（离群点）会导致异方差；用样本平均数作为 样本数据时也会出现异方差；等等。
一、模型的求法 ❖ 理论回归模型
❖ 实际回归模型的求法
式7-15写成矩阵形式，其中：
注意：在求多元回归方程的回归系数时，要求自变量之间不能存在线性关 系，在应用中应多加注意。
二、回归模型的检验
多元线性回归模型与一元线性回归模型一样，求出回归系数后，只有通过各种检 验，模型才可用于预测。
❖ 回归方程的检验（方差分析）
第7章 回归分析
1 一元线性回归分析 2 多元线性回归分析 3 线性回归分析SPSS例解 4 ??
7.1 一元线性回归分析
在研究两个变量之间的关系时，一般是先将两个变量的n对观察值所对应的点在直 角坐标系中做出散点图，当散点图呈直线趋势时，也就是两变量具有直线相关关系时， 从专业知识角度分析两个变量间存在因果关系，常把其中的原因变量叫自变量，用X 表示，而把结果变量（依赖于X而变化的量）叫因变量，用Y表示，这时可采用一元线 性回归分析法。
从这些例子可以看出，在研究体育运动、社会经济现象等问题时，由 于问题本身的复杂性，涉及的因素很多，在建立回归方程时，往往很难在 众多的因素中找到一组互不相关又对因变量有显著影响的自变量，会不可 避免地出现多重共线性问题。
❖ 多重共线性的影响
当多重共线性存在时，任何一个自变量的回归系数，依赖于包括在模型中的其它 自变量，所以回归系数并不反映方程中任何一具体自变量对因变量的影响，且其方差 较大，使回归系数不能令人满意。
❖ 异方差问题的处理方法
当进行回归分析时诊断出存在异方差性时，不宜用普通最小二乘法求回归方程， 必须对原来的模型进行变换，使变换后模型的随机误差项满足同方差的假定，然后才 能得到理想的回归模型。在SPSS软件中提供了加权最小二乘法（Weighted Least Square即WLS）。
四、多重共线性问题
用来检验模型预测的可靠程度。回归剩余标准差记作 ： S Y
SY
(Y Yˆi)2 n2
Q n2
（7-12）
注意在体育科研中一般都是进行微观研究，比如预测运动员的运动成绩，这时 用回归方程进行预测的效果通常不能满足实际需要，回归方程的预测对于宏观研究效 果会更好。
❖ 拟合优度检验
7.2 多元线性回归分析
残差图分析法是一种直观、方便的分析方法，它以残差 e 为纵坐标，以任何其他的 量为横坐标画散点图。常用的横坐标有：以拟合值为横坐标、以 xi 为横坐标、以观测时
间或序号为横坐标。一般情况下，当模型满足所有假定时，残差图上的n个点的散布应 是随机、无任何规律的。如果回归模型存在异方差，残差图上的点的散布会呈现出一定 的趋势。残差图分析法缺点是凭主观判断有其随意性。
估计值是较理想和实用的，但此回归模型是否合理，以及回归模型的优劣需要被评价，
回归模型的检验就是用各种统计检验方法来判别模型的实用性。
❖ 回归方程的检验（方差分析）
在计算时，常用如下公式：U b Lxy b2 Lxx L2xy Lxx
（7-10）
上述回归方程检验问题常总结于方差分析表（简称ANOVA）中，由表7-2给出。
存在多重共线性时，一个自变量引起总离差平方和的减少必须看作是与包括在同 一方程中的其它自变量相关联。此外多重共线性还会影响预测值的方差，但其效果不 太明显。
❖ 多重共线性的识别
1、非正式方法 在进行多元回归分析中，如果下列情况存在时往往表明存在多重共线性： ①模型中增加或删除一个自变量，回归系数值会发生较大变化； ②回归模型的检验通过，而有的回归系数的检验未通过； ③一些重要的自变量在回归方程中没有通过显著性检验； ④有些自变量的回归系数值的符号与实际经验相反时； ⑤自变量的相关阵中，两个自变量的相关系数较大时。
(7-2)
其中，假定各个 i是互不相关的，其总体均值0，总体方差为 2 。
❖ 实际回归模型的求法
二、回归模型的检验
统计理论告诉我们，利用样本数据建立回归模型时，我们实际上做了这样几种假定：
①变量X与Y存在线性关系； ②回归余项线性独立；
③回归余项服从正态分布，即
。
在这种条件下得到的估计值a、b是参数 、 的最小方差无偏估计，但尽管这些
❖ 异方差带来的问题
当在多元回归分析时存在异方差问题时，仍用普通的最小二乘法求回归系数，将会 使最小二乘法的使用的有效性遭到破坏。会使得到的回归系数估计值虽是无偏的，但不 满足渐近有效性，并使得参数的显著性检验失效，使得到的回归方程效果不理想。
❖ 异方差的诊断方法
关于异方差的诊断，统计学家进行了大量地研究，目前，已有很多种方法问世，但 没有一种最权威的方法。常见的诊断方法有残差图分析法、数据变换法、加权最小二乘 法、基于得分统计量的异方差检验法等等，在此只介绍常用的残差图分析法。
❖ 多元共线性问题产生的原因
多重共线性问题在体育研究中常常会遇到。例如，要研究百米跑运动 员的运动成绩，影响百米跑运动成绩的因素有很多，如步幅、步频、起跑 时间、加速跑时间、途中跑时间、终点冲刺跑时间等，这些因素显然对运 动员百米跑成绩产生重要影响，而它们之间又有很强的相关性。又如在居 民体育消费额的回归分析中，选择家庭收入、家庭储蓄、家庭人口、前期 消费额等作为自变量时，这些自变量间也存在很强的相关性。
一、模型的求法
❖ 理论回归模型
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
从理论上讲因变量与自变量的线性关系可用下式表示：Y X
(7-1)
式7-1中， 和 是固定的但未知的参数， 是常数项， 是理论回归系数； 是随机误
差项，它可由多种因素引起。对于每一组可以观察到的因变量、自变量数值
式7-1可以表示成： Y i X i i
❖ 回归系数的检验
建立回归方程后，不仅可以用方差分析法检验回归方程的效果是否显著，还可以 通过与其等价的回归系数的t检验方法得到判别。
❖ 回归剩余标准差的检验
1、回归剩余标准差的检验
回归残差 ei Yi Yˆi有助于衡量回归模型拟合样本数据的程度。应用线性回归分析， 需要计算回归剩余标准差，回归剩余标准差是表示回归方程用来预测的精度标志，可