09级线性代数试卷A

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2009-2010(2)线代A卷

）。
(A) 0 (B) 6 (C) -6 (D) 4 3、已知 α 1 , α 2 , α 3 是非齐次线性方程组 Ax = b 的三个不同的解，那么下列向量 2 α1 − α 2 , α1 + α 2 − 2α 3 , (α 2 − α1 ), α1 − 3α 2 + 2α 3 3 中是导出组 Ax = 0 的解共有（）。 (A) 4 个； (B) 3 个； (C) 2 个； (D) 1 个 1 −1 1 4、设 A = 2 4 a 的特征值为 λ1 = 6, λ2 = λ3 = 2 。若 A 相似于对角矩阵，则 a =（ −3 −3 5 (A) 2 (B) -2 (C) 4 (D) -4
p1 = (1, 0, 0)T , p2 = (1,1, 0)T , p3 = (1,1,1)T
求矩阵 A 及 A100 ；
2 2 （ 2、 15 分）已知实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x2 + x3 + 2ax1 x2 + 2 x1 x3 经正交变换 X = PY 2 2 变为标准形 f = y2 + 2 y3 ，求参数 a 和正交矩阵 P 。
2 2 5、如果实二次型 f = x12 + 2 x2 + tx3 − 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 4 x2 x3 为正定的,则 k >
二、单项选择题（每小题 2 分，共 10 分）单项选择题（ 1、设矩阵 Am×n 的秩为 r ，则非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分条件是（ (A) m = n ； (B) r = m ； (C) r = n ； (D) m < n ； 1 0 2011 2010 0 1 1 2 3 1 1 ）。 2、设 A = 0 1 ，则行列式 A ＝（ 1 0 4 5 6 1 1 0 1

2008-2009学年线性代数试卷A及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008-2009学年第2学期考试科目：线性代数考试类型：（闭卷）考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四五六总分得分评阅人试卷说明: T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，1A -表示矩阵A 的逆矩阵，A 表示方阵A 的行列式, R (A )表示矩阵A 的秩, I 是单位矩阵.一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设n B A 均为,阶方阵，满足等式0=AB ，则必有( C )(A) 0=A 或 0=B(B) 0=+B A () 0||=A 或 0||=B(D) 0||||=+B A2. 已知,,A B C 均为n 阶可逆方阵，且ABC I =，则下列结论必然成立的是( C )(A) ACB I = (B) BAC I = () BCA I = (D) CBA I =3．设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα 和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα> ，则( B )(A) 向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关() 向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 (C) 向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 (D) 向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关4．设n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX =0有非零解的充分必要条件是( B )5. Matlab 软件中, 在命令窗口输入[1:3][321]'*, 显示ans=( D )二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010021A ，则=-1A120010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． (A) r=n() r<n(C) r ≥n(D) r>n(A) 7 (B) 8 (C) 9 () 107. 设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是非齐次线性方程组b A =X 的解向量，则=+++t λλλ 21______1__________.8. 矩阵20002023A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵10002000B b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似, 则a b += . 9. 设123,1,1),0,2,3),1,0,1),k ααα===（（（则当k = 时，α1,α2,α3 线性相关.10.设A 为三阶方阵，其特征值2,1,3,- 则*A = ．11.已知二次型222123112132233(,,)2245f x x x x tx x x x x x x x =+-+++正定, 则t 的取值范围为．三、计算题12.(7分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求:2T A AB +13.（8分）计算下列行列式3214214314324321四、解方程组14. (10分)求方程组123412341234311232x x x xx x x xx x x x⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩的通解.五、解答题15.（10分）求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：a1=(1, 2,-1, 4)T,a2=(9, 100, 10, 4)T, a3= (-2,-4, 2,-8)T．16. (8分) 已知1121 342 012A--⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求A的伴随矩阵*A．17.(12分) 设212122221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一个正交阵P ，使1P AP -=Λ为对角阵．六、证明题18.(6分) 设向量组322211,a a b a a b +=+= 433,a a b += 144,a a b +=, 证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.2008—2009第二学期《线性代数》（A ）参考答案和评分标准一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. C2. C3. B4. B5. D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. 120010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ 7. 18. 8 9. -1/2 10. 36 11. 405t -<<三、计算题12.T T A AB A E B 2(2)+=+=1001001001102010310021001112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3分100300110330021114⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 5分 300030754⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭7分 13.将行列式第2、3、4列加到第1列上，得3214214314324321=32110214101431043210=101110222031104321------ 4分=10400440311--- 6分=160 8分14.11110111101111011131002410024111231/200121/200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4分 x x x x x x 1234340241--+=⎧⎨-=⎩，x x x x x x x x 1324132431-=-⎧⎨+=++⎩， 5分取x x 2400⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得*120120η⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 6分取x x 2410,01⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，x x 1311,02⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 8分得齐次方程组基础解系为121110,0201ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 9分通解为x x k kx x 12123411120101022010⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10分 15. 192192192210040820010110201900004480320000A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦6分rank(A)=2 7分所以向量组的秩为2． 8分 a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T 不成比例，所以 a 1，a 2为最大无关组. 10分16. 因为1*1,||A A A -=2分*1111||||A A AA A ---==4分 1||1A -=- 6分*1||1*A A -=-=121342012--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭8分17.123(1)(1)(5),1,1,5A E λλλλλλλ-=-+--=-==， 3分对应于11λ=-，由 ()0A E x += 得111122ξ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得111162p -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭； 6分对应于21λ=，由 ()0A E x -= 得2110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得211120p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 8分对应于35λ=，由 (5)0A E x -= 得3111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得311131p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 10分 11162311162321063P ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有1100010005TP AP P AP --⎛⎫⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭． 12分18. 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x即0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 3分整理得 01100011000111001)(43214321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x a a a a 4分而011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x x x 有非零解，所以结论成立 6分。

2009级高等数学第二学期期末试卷 A类170学时.

2009级高等数学第二学期期末试卷（A 类，170学时）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知 ()()dy y x bx dx y x ay 22+++ 是某函数的全微分，则（）（A ）a b =；（B ）a b =-；（C ）b a 2=；（D ）2b a =。

2. 设S 为球面：2222x y z R ++=的外侧，在下列四组积分中，同一组的两个积分均为零的是：（）（A ）⎰⎰S dS x 2，⎰⎰S dydz x 2；（B ）⎰⎰S xdS ，⎰⎰Sxdydz ；（C ）⎰⎰S xdS ，⎰⎰S dydz x 2；（D ）⎰⎰S xydS ，⎰⎰Sydzdx 。

3. 设L 为圆422=+y x ，则()=-⎰ds y x L2232 （）（A ）π27；（B ）π27-；（C ）π8；（D ）π8-。

4. 设有无穷级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑，那么（）（A ）当lim 0n n n a b →∞=时，1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑中至少有一收敛；（B ）当lim 1n n n a b →∞=时，1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑中至少有一发散；（C ）当lim 0n n na b →∞=时， 1n n b ∞=∑收敛⇒1n n a ∞=∑收敛；（D ）当lim n n n a b →∞=∞时，1n n b ∞=∑发散⇒1n n a ∞=∑发散。

5. 设幂级数1n n n a x ∞=∑与1n n n b x ∞=∑收敛半径分别为1与2，则幂级数1()n n n n b na x n∞=+∑的收敛半径为（）（A ）1 ；（B ）2；（C ）3；（D ）无法确定。

二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设向量场()()()()k j i xyz cxz z z xy by x axz z y x F 2,,222-+-++++=，其中a 、b 和c 是常数。

09年10月线性代数(经管类)试题答案

全国2009年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式0111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式=21A （ B ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=C （ A ） A ．ABB ．BAC ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c A 的行列式1|-=A |，则=-1*)(A （ A ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----d cb aB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cb as 21（）的秩不为零的充分必要条件是（ B ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ C ） A ．n A r =)(B ．m A r =)(C ．n A r <)(D ．m A r <)(7．已知3阶矩阵A 的特征值为1,0,1-，则下列矩阵中可逆的是（ D ） A ．AB ．A E -C ．A E --D ．AE -2．．A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101011001433241214321A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001010A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ D ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z --- C ．232221z z z -- D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．已知行列式422221111-=-+-+b a b a b a b a ，则=2211b a b a_________．12．已知矩阵)1,1,2(),1,2,1(-=-=B A ，且B A C =，则=C _________．13．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333022A ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-121A _________．14．已知矩阵方程B XA =，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111B ，则=X _________．15．已知向量组a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a _________．16．设)0,1,0(,)0,0,1(21==αα，且22211,αβααβ=-=，则21,ββ的秩为_________．17．设3元方程组增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++01001010a a ，若方程组无解，则a 的取值为_______．19．已知向量k )2,,3(=α与k ),1,1(=β正交，则数=k _________．20．已知321321)3()1(),,(x a x x a x x x f +++-=正定，则数a 的取值范围是_________． 21．计算行列式1111111111111111---+-----+=x x x x D 的值．解：1111111111111111111111111111---+-----=---+-----+=x x x x x xx x x x x D 4000000000111x xx xx =--=．22．设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA +=，求||B ．解：由E B BA +=，得E E A B =-)(，1)(--=E A B ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111110012112E A ，21111||=-=-E A ，21||||1=-=-E A B ． 23．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-313232121ax x a x x a x x ，（1）讨论常数321,,a a a 满足什么条件时，方程组有解．（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3121321110110011101110011),(a a a a a a a b A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--→32121000110011a a a a a ，0321=++a a a 时，方程组有解．（2）),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000011001121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-→0000110101221a a a ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=333213211x x x a x x a a x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1110221k a a a ． 24．设向量组T T T T )3,6,2,0(,)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(4321-=--=--==αααα，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=3130631120140121),,,(4321αααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------3130643024700121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------2470643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------612210643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------15500930031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3100310031300121 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000310031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310060303021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310020103021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000310020101001，向量组的秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组，=4α32132ααα+-．25．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3421A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1205B ，存在TT )1,1(,)2,1(21-==αα，使得,511αα=A 22αα-=A ；存在T T )1,0(,)1,3(21==ββ，使得2211,5ββββ-==B B ．试求可逆矩阵P ，使得B AP P =-1．解：由题意，A 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,αα；B 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,ββ．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1211),(211ααP ，则1P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005111AP P ；令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1103),(212ββP ，则2P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005212BP P ．由上可得=-111AP P 212BP P -，从而B P P A P P=--)()(121112，即B P P A P P =---)()(1211121，令=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--13/113/23101121131110312111121P P ，则P 是可逆矩阵，使得B AP P =-1．26．已知323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=，求正交变换Py x =，将二次型化为标准形．解：原二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011101110A ．=-||A E λλλλ111111------λλλλλλλλ1111111)2(1212112-----=-------==++-=101011001)2(λλλ)2()1(2-+λλ，A 的特征值为=1λ12-=λ，23=λ．对于=1λ22=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------111111111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，取=1α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011，=2α⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101，先正交化：11αβ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011，1211222||||),(βββααβ-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12/12/101121101．再单位化：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==02/12/1||||1111ββp ，==222||||1ββp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--6/26/16/1．对于23=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------211121112→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000110101 ，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，取=3α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111，单位化为==333||||1ααp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3/13/13/1．令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/16/203/16/12/13/16/12/1P ，则P 是正交矩阵，经过正交变换Py x =后，原二次型化为标准形 2322212y y y +--．四、证明题(本题6分)27．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若01≠k ，则向量组32,,ααβ也线性无关．证：设033221=++ααβx x x ，即0)()(33132212111=++++αααx x k x x k x k ．由321,,ααα线性无关，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=00031321211x x k x x k x k ．若01≠k ，则方程组的系数行列式01001001321≠=k k k k ，只有0321===x x x ，所以32,,ααβ线性无关．。

09年01月线性代数量02198自考试题及答案

2009年1月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示矩阵A 的逆矩阵，秩（A ）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的。

请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设A 为n 阶方阵，若A 3=O ，则必有（） A. A =OB.A 2=OC. A T =OD.|A |=02.设A ，B 都是n 阶方阵，且|A |=3，|B |=-1,则|A T B -1|=（） A.-3 B.-31C.31 D.33.设A 为5×4矩阵，若秩(A )=4，则秩(5A T )为（）A.2B.3C.4D.5 4.设向量α=（4,-1,2,-2），则下列向量中是单位向量的是（） A.31α B.51α C.91αD.251α5.二次型f (x 1,x 2)=522213x x +的规范形是（）A.y 21-y 22B. -y 21-y 22C.-y 21+y 22 D. y 21+y 226.设A 为5阶方阵，若秩(A )=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中包含的解向量的个数是（）A.2B.3C.4D.5 7.向量空间W ={(0,x ,y ,z ) |x +y =0}的维数是（） A.1 B.2C.3D.48.设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛3421，则矩阵A 的伴随矩阵A *=（） A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛1423 B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1423C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1243 D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1243 9.设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300130011201111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（）A.1B.2C.3D.410.设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（II ）是由（A ，B ）的列向量构成的向量组，则必有（） A.若（I ）线性无关，则（II ）线性无关 B.若（I ）线性无关，则（II ）线性相关 C.若（II ）线性无关，则（I ）线性无关 D.若（II ）线性无关，则（I ）线性相关二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

江西农业大学2009—2010第一学期《线性代数》试卷_(A) - 副本

线
= (−2, 4, b)T 线性相关，则 a = − 2
b=
6
.
二．单项选择题（2 分×6=12 分）
1. 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列各式不正确的是（ B ）. ．．． A. ( A + B ) =A + B
T T T
B. ( A + B )
T
−1
=A−1 + B −1
T T
·
a13 a23 = （ D ）. a33
D. −16
C. 16
永远支持软件 097
——第 1 页本试卷共 4 页
3. 设 α1 ， α 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， β 是对应的齐次方程组 Ax = 0 的解，则
Ax = b 必有一个解是（ D ）.
A. α1 + α 2 B. α1 − α 2 C. β + α1 + α 2 D. β + α1 +
2 2
姓名：
AB = BA
.
不
5. 已知 3 阶方阵 A 的特征值分别为 1 ﹑ −2 ﹑ 3 ，则 A =
− 6 ， A−1 = − 1 ， A∗ = 36 ，
6
A − 2E = 4 .
软件 097
订
6. 方程组内
λ x1 + x2 = 0
x1 + λ x2 = 0
有非零解，则 λ = 1 或 − 1 .
订
C. ( AB )
−1
= B −1 A−1 a12 a22 a32
D. ( AB ) = B A
院系：
装
装
全

2009年线性代数考试A卷

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学二零零九至二零十零学年第一学期期末考试线性代数与空间解析几何课程考试题 A 卷（ 120 分钟）考试形式：闭卷考试日期 20 10 年 1 月 19 日课程成绩构成：平时分，期中分，实验分，期末分一二三四五六七八九十合计复核人签名得分签名一、选择题 (每小题3分，共15分)1．设A 、B 、C 均为n 阶可逆矩阵，则()1-1T AC B -=( ).① ()11TB C A --; ② ()1-21TB C A --;③ ()11T A C B --; ④ ()112T B A C --- .2．设n 阶实矩阵A ，线性方程组AX=b 有解的充分必要条件是( ).① A 的列向量线性无关； ② 列向量b 能由A 的列向量组线性表出；③ ()(,)R A R A b ≤；④ A 为可逆矩阵。

3．设n 阶方阵A B 、等价A B ≅，则下列结论中正确的是（）.①A B A B +≅-； ② 22A B ≅；③ AB BA ≅； ④ 23T T A B B A ⎡⎤⎢⎥≅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.4．设,A B 为n 阶实对称矩阵，则A 与B 合同的充要条件为（）.① A 与 B 有相同的特征值； ② A 与 B 有相同的行列式；③ A 与 B 有相同的秩； ④ A 与 B 有相同的正、负惯性指数.得分………密………封………线………以………内………答………题………无………效…….5．设,A B 均为正交矩阵, 则 ()*31*, , , ,TAB A A B AB A A - 中, 共有（）个正交矩阵。

① 3； ② 0； ③ 5； ④ 4.二、填空题 (每小题3分，共15分)1．已知1234222236414753a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，计算131232333434a A a A a A a A ----= ；2．设()1,2,3a = ，()2,2,1b =-，()1,4,2=c ，则()32a c b -⨯=； 3．设实n 阶矩阵A ，若齐次线性方程组0AX =的解空间为n R 则A = ； 4．向量空间n R 的任意二个子空间的并集（）是n R 的子空间；5．点(1,0,1),(-2,1,4),(1,3,-3),(2,1,3)A B C D --- 构成的四面体ABCD 的体积为（）三、已知3R 中直线 50,:40,x y z l x z ++=⎧⎨-+=⎩ 平面:48120.x y z π--+=（共12分）1）求直线l 对应的线性方程组在3R 中的通解；2）借助1）所得结果，写出直线l 的点向式，并求直线l 与平面π的夹角。

线性代数2009试题A答案

2009年《线性代数》统考试题参考答案一．填空题（每个小题3分,共15分）二.选择题(每小题3分,共15分)三.（8分）解: 9644129644129644129644122222++++++++++++=d d d d c c c cb b b b a a a a D 062126212621262122222=++++=d d c cb b a a四.（12分）解:由B A AB +=2知B A AB =-2，即B E B A =-)2(，又⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0020202002E B ，显然082≠=-E B ，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--002102102100)2(1E B 而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-101020101)2(1E B B A 。

所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--001010100)(1E A 。

五.（12分）解: 对增广矩阵作初等变换,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=0000061000802103010133707101133110143412),(b A取3x 为自由未知数，1x 、2x 和4x 为非自由未知数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=68234333231x x x x x x x ，所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛608301214321c x x x x 。

六.（10分）证明:A A An T)1(-=-=，由n 是奇数和A A T =得A A -=，整理得02=A ，故0=A 。

七.（10分）解:21ηη-和31ηη-是齐次线性方程组的解，)(23213121ηηηηηηη+-=-+-是齐次线性方程组的解。

齐次方程组的基础解系中含解向量的个数为4-3=1.所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54326543k x ，其中k 可取任意常数。

八.（10分）证明:按题设，有111p Ap λ=，212p Ap λ=，故.)(221121p p p p A λλ+=+用反证法，假设21p p +是A 的特征向量，则应存在数λ，使),()(2121p p p p A +=+λ于是221121)(p p p p λλλ+=+，即,0)()(2211=-+-p p λλλλ因21λλ≠，所以1p ，2p 线性无关，故由上式得,021=-=-λλλλ即21λλ=，与题设矛盾。

高等数学A3复习题

09级《线性代数》（A ）阶段练习题（一）答案一、填空题1.行列式1234234134124123=160. 解：123410234123412342341103411341011310103412104121412022241231012311230111-===-----123401131016000440004-==--[2.]排列12345a a a a a 的逆序数等于3，排列54321a a a a a 的逆序数等于7. 解：排列12345a a a a a 排列54321a a a a a 的逆序数之和等于10.因此排列12345a a a a a 的逆序数等于3，则排列54321a a a a a 的逆序数等于7.[3.]已知四阶行列式D 中第三列元素依次为1,2,0,1-，它们的余子式依次为5,3,7,4-，则D =-15.4.矩阵132113411,212343341A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则35828359125A B ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭.5.A 为7阶方阵，且满足T A A=-,则A =0.解: 7(1)0T A A A A AA ==-=-=-⇒=.6.272132-⎛⎫= ⎪-⎝⎭2132-⎛⎫⎪-⎝⎭. 解:事实上2212110,323201E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭故272132-⎛⎫= ⎪-⎝⎭2132-⎛⎫⎪-⎝⎭.7.设n 阶方阵A 的行列式2A =，则1*A AA E -=. 解：事实上1***111()A AA AA A A AA E A A--====. 8.设矩阵100110111A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则()12A E -+=100110011⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 解:100100100100(2,)110010010110,111001001011A E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 因此1100(2)110011A E -⎛⎫⎪+=- ⎪ ⎪-⎝⎭.9.设分块矩阵A B D O C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中A ,C 可逆,则1D -=1111A A BC O C ----⎛⎫- ⎪⎝⎭. 10.设5421,3234BC ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，且BAC E =，则1A -=131034⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 二、选择题1.如果11121311121321222313132333132332122232220,222222a a a a a a D a a a M D a a a a a a a a a ==≠=,则1()D D =. ()2;()2;()8;()8A M B M C M D M --.2.如果11121311111213212223121212223313233313132334231,423423a a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a a a -===--，则1()D B =. ()8;()12;()24;()24A B C D --.3.下列行列式中(B )的值必为零.1();A n D n 阶行列式中零元素的个数多于 2();B n D 阶行列式中有两列对应元素成比例121112122123412200000();()00n nn n n n nna a a a a a a C D D D a a a a ==.[4.]如果线性方程组304050x ky z y z kx y z +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则()k C =. ()1;()0;()3;()2A B C D -.5.1111234549162582764125D =是一个范德蒙行列式，D 的第四行元素的代数余子式之和41424344()A A A A C +++=.()12;()12;()0;()5!A B C D -.解:41424344A A A A +++=1111234504916251111=.6.,A B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有()D .();();();()A B E B A E C A B D AB BA ====.7.A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*()A A =.12();();();()n n n A AB AC AD A --.8.,A B 均为n 阶方阵，且0AB =，则必有()B .()00;()00;()||0;()0A A B B A B C A B D A B ====+=+=或或. 9.,A B 均为n 阶可逆矩阵，下列诸式()B 是正确的.()();()();T T T T T T A AB A B B A B A B =+=+ 111111()();()()C AB A B D A B A B ------=+=+.[10.]A 、B 、C 、E 均为同阶矩阵，E 为单位矩阵，若ABC E =，则下列诸式中()B 是正确的.();();();()A ACB E B BCA E C CBA E D BAC E ====.三、计算题 1.计算行列式x a a a a x a a D a a x a a a a x= .解:(1)(1)(1)(1)x a a ax n a a a aa x a a x n a x a a D a a x a x n a a x a a a a x x n a a a x+-+-==+-+-1110001100[(1)][(1)]1100110[(1)]()n a a a x a a x ax n a x n a a x a x a a a xx ax n a x a --=+-=+---=+--2.计算行列式123123123123n n n nb a a a a a b a a a D a a b a a a a a b a ++=++.解:231123112323123231123231nin i nn ii n n nn in i nnini b a a a a b a a a a b a a b a a a b a a a D a a b a a b a a b a a a a a b a b a a a b a ====+∑++∑++=+=+∑+++∑+232323112311110001100()1()1001100()n n nni n i i i nnn i i a a a b a a a bb a a b a a b a b a a b a bb a b ==-=+=+∑+=+∑+=+∑[3.]计算行列式1110110110110111D =.解：111011*********111011101(1)101110111011011111111111n n D n n n --===---2(1)21220001010(1)(1)(1)(1)(1)(1)01001111n n n n n n n n -+----=-=---=---.[4.]计算行列式123111000022000002011n n D n n n---=---.解：(1)123123121100001000022002200000200002011011n n n n n n D nn n nn n+------==------11(1)(1)!(1)(1)!(1)22n n n n n n --++=--=- [5.]当λ取何值时，齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解?解：方程组的系数行列式1111(4)(1)112D λλλλ=-=--+-当1λ=-或4λ=时，0D =，方程组有非零解.6.设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随阵.已知12A =,求1*(3)2A A --. 解：1*1****32124416(3)222()||333327A A A A A A A A ---=-=-=-=-=-. 或1*111311228116(3)2()||33327||27A A A A A A A ------=-=-=-=-⋅=-.7.已知三阶矩阵A 的逆矩阵1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,试求*1()A -.解：1***11111(),()2E A A A A A A A A A A A A A A---======故，求A . 1111100111100111100(,)12101001011001011011300100210111001022A E -⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭*15151100115212222010110,()21102201111101001002222A -⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.[8.]解矩阵方程AX B X =+,其中223231344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123111B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. 解：1()()(*)AX B X A E X B X A E B -=+⇒-=⇒=-,以下求1()A E --123100123100(,)221010025210343001001111A E E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭102110100132025210020365001111001111---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭110013213235350103,()3.2222001111111A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭将1()A E --代入(*)式可得1132107123517()331102*********X A E B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭--⎝⎭⎝⎭. 9.已知A PQ =，其中12,(2,1,2)1P Q ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭,求10A .解：10()()()()()()()A PQ PQ PQ PQ P QP QP QP Q ==()999121222221224241212PQ -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.10.已知n 阶方阵A 满足232A A E O --=,试证A 可逆，并求1A -. 解：由2332(3)2()2A EA A E O A A E E A E ---=⇒-=⇒=.由定理2.2的推论知A 可逆，且132A EA --=. 四、证明题[1.],A B 是两个n 阶方阵，且AB A B =+，证明：AB BA =. 证明:()()AB A B A E B A A E B E A E =+⇒-=⇒--=-⇒()()()()(*)A E B A E E A E B E E ---=⇒--=.由(*)式知A E -与B E -互为逆矩阵，故A E -与B E -可交换.即有:()()()()A E B E B E A E --=--⇒AB A B E BA B A E AB BA --+=--+⇒=.[2.]A 为n 阶方阵，且有2A A =，证明：A E +可逆.证明: 22()2()(*)2AA A A E A A A A A E A =⇒+=+=⇒+=,另外还有()(**)A E E A E +=+.用(**)式减(*)式，可得:()()2AA E E E +-=，因此A E+可逆，且1()2AA E E -+=-.[3.]如果A 为非奇异的对称阵，则1A -也是对称阵. 证明:由于T A A =,因此有1111()()()T T T T E A A A A A A A A ----====由定理2.2的推论知11()T A A --=,即1A -是对称阵.4.A B 、均为n 阶矩阵，且A B A B +、、均可逆.证明：1111()()A B B A B A ----+=+.证明：由于有111111()[()]()()A B B A B A A B A B A A B A ------++=+++ 11111()()()()A B E A B A A B A A A B A -----=++=++ 11()()A A B A B A E --=++=根据定理2.2的推论知：1111()()A B B A B A ----+=+.5.已知A ,B 均为n 阶矩阵，||0B ≠,A E -可逆，且1()()T A E B E --=-,求证矩阵A 可逆.证明:由1()()T A E B E --=-,当有()()()()T T T T E A E B E A E B E AB A B E =--=--=--+因此()()(*)T T T T T T AB A B A B E B A B E B -=⇒-=⇒-=对(*)式两端取行列式有()00T T A B E B B A -==≠⇒≠.A 非奇必可逆.。

成都信息工程学院 09-10学年线性代数试题A答案[1][1]

2009——2010学年第一学期课程名称：线性代数与空间解析几何使用班级：08级全校理工各专业一.解： 12111111111110111101111101111011(1)1110111101111101111nir r n n n An n n +--∑-==-----（6分）1111110100000100(1)(1)(1)0001001n n n ---=-=------（4分）二.(10分)解：由2,AX A X =+得 (2)A I X A -=而101211010012A I -=-=-≠，所以2A I -可逆，1(2)X A I A -=- ---（4分） 101301101301(2)1101100112110121401214A I A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100522010432001223--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 故522432223X --⎛⎫⎪=--⎪ ⎪-⎝⎭——（6分）三、(10分) 解: 所求平面过点1M ，可设它的方程为(4)(1)(2)0A x B y C z -+-+-= -----（3分）因为该平面与已知平面垂直且与12M M平行，所以有62307430A B C A B C -+=⎧⎨-+-=⎩ 求得33,510A CB C=-=-， -----（5分）故，所求平面方程为631070x y z +--= ————（2分）四.(10分) 解:1234132013201043(,,,)1441012101211210121000A αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4分） 1.()2R A =，向量组1234,,,αααα线性相关. --------（3分） 2. 12,αα为极大无关组， 31241242,3αααααα=-+=-+ ————（3分）五.(10分)解: 1. 设ξ是属于特征值0λ的特征向量，即02121153111211a bλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭-----（2分）即0001,2,.1a b λλλ-=⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩解得 01,3,0.a b λ=-=-= -----（3分） 2. 3212533(1)12I Aλλλλλ---=-+-=++ -----（3分）因此特征值为1231,λλλ===-又因为312()5232101R I A R --⎛⎫⎪--=--= ⎪ ⎪⎝⎭因此属于1的特征向量只有1个，因此，A 不能对角化 . -----（2 分）六.(10分)解: 331024113137()313401241598000B A b ⎛⎫---⎛⎫ ⎪⎪⎪==--→-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ -----（4分）由于()()2R A R B ==，方程组有解，对应方程组为;132333243724x x x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 令30x =，得特解102334740x x x η⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ -（2分）对应齐次方程组为;12223232x x x x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 令31x =，得基础解系12332321x x x ξ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭（2分）故，方程组的通解为：3342734201k η⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k R ∀∈ ————（2分）七.(10分)解: 240031(4)(2)013I A λλλλλλ--=--=----故得特征值1232,4λλλ=== -----（3分）当12λ=时，由 123200001100110x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭求得基础解系 1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，单位化得10e ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ - ⎝-----（2分）当234λλ==时，由 123000001100110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭求得基础解系 23100,101ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23,ξξ刚好正交，单位化得23010,0e e ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝ ， -----（2分）于是得正交阵01000C ⎛⎫⎪=⎝有 1244T C AC C AC -⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭-----（3分）八.(10分)解: 作变换：11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ -----（3分）则 2212312123123(,,)()()f x x x y y y y y y y y =-+-++22222121313232()y y y y y y y y =-+=+-- -----（3分）令 1122233z y y z y z y=+⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故标准形为222123123(,,)f x x x z z z =-- -----（4分）九.(10分)解: 由方程组消去y ，得到曲线Γ在xoz 面上的投影曲线方程为:2240z x y ⎧+=⎨=⎩曲线Γ在母线平行于z 轴的柱面上，故曲线Γ在xo y 面上的投影曲线方程为: 2220x y x z ⎧+-=⎨=⎩十.(8分)解: 由于 1223312,2,32a αααααα+++ 线性相关，所以有不全为零的123,,x x x ，使 112223331(2)(2)(32)0x x a x αααααα+++++=即 131122233(2)(22)(3)0x x x x ax x ααα+++++= -----（4分）因为 123,,ααα线性无关，故有1312232022030x x x x ax x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 由于不全为零，从而齐次方程组有非零解，系数行列式必为零.即 1023220640,23a a a=+==------（6分）。

全国2009年4月高等教育自学考试

全国2009年4月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，r (A )表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．3阶行列式011101110---=ij a 中元素a 21的代数余子式A 21=（） A ．-2B ．-1C ．-1D ．22．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则B -1=（）A ．A -1C -1B ．C -1A -1 C ．ACD ．CA 3．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100010，则A 2的秩为（） A ．0B ．1C ．2D ．3 4．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛22211211a a a a ，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++121112221121a a a a a a ，P 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110，P 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，则必有（） A ．P 1P 2A =BB ．P 2P 1A =BC ．AP 1P 2=BD ．AP 2P 1=B5．设向量组α1, α2, α3, α4线性相关，则向量组中（）A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合6．设α1, α2, α3, α4是一个4维向量组，若已知α4可以表为α1, α2, α3,的线性组合，且表示法惟一，则向量组α1, α2, α3, α4的秩为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．设α1, α2, α3是齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（）A ．α1, α2, α1+α 2B ．α1, α2, α1-α 2C ．α1+α2, α2+α3, α3+α 1D ．α1-α2，α2-α3，α3-α18．设A 为3阶矩阵，且E A 32-=0，则A 必有一个特征值为（）A ．-23 B ．-32 C ．32D ．23 9．设实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--120240002，则3元二次型f (x 1,x 2,x 3)=x T Ax 的规范形为（） A ．21z +22z +23z B ．21z +22z -23zC ．21z +22zD ．21z -22z10．设2元二次型f (x 1,x 2)=x T Ax 正定，则矩阵A 可取为（）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221 D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛1221 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

北林08-09年线代试卷(带答案)

北京林业大学2008--2009学年第一学期试卷A试卷名称：线性代数（56学时）课程所在院系：理学院考试班级学号姓名成绩试卷说明：1. 本次考试为闭卷考试。

认真审题，请勿漏答；2. 考试时间为 120 分钟，请掌握好答题时间；3. 本试卷所有试题答案写在试卷纸上，其它无效；4. 答题完毕，请将试卷纸正面向外对叠交回，不得带出考场；一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”）（每小题3分，共 12 分）1、若方程组0Ax =含有自由未知量，则方程组Ax b =将有无穷多解.（ × ）2、一个n 阶矩阵A 为非奇异的，当且仅当A 相抵于I （I 是单位矩阵.（ √ ）3、任何两个迹相同的n 阶矩阵是相似的.（ × ）4、设A 是m n ⨯矩阵，则()()T r A r A =. （ √ ）二、单项选择题(在每小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内) (每题3分, 共 15 分)1、已知1112111221222122,a a ka ka M a a ka ka == 则（ A ） ()2 A k M ； () B kM ； ()4 C k M ； ()2 D kM ,2、,A B 均为()n n 2≥阶方阵，且AB O =，则 ( C ).(),A A B 均为零矩阵； (),C A B 至少有一个矩阵为奇异矩阵； (),B A B 至少有一个为零矩阵； (),D A B 均为奇异矩阵. 3、m n >是n 维向量组12m ,,ααα线性相关的( A )条件. ()A 充分； ()B 必要； ()C 充分必要； ()D 必要而不充分的；4、设12,ξξ为齐次线性方程组0Ax =的解，12,ηη为非齐次线性方程组Ax b =的解，则( C ).11()2A ξη+为0Ax =的解； 12()B ηη+为Ax b =的解；12()C ξξ+为0Ax =的解； 12()D ηη-为Ax b =的解.5、设A 是正交矩阵，j α是A 的第j 列，则j α与j α的内积等于（ B ）() 0A ； () 1B ； ()2C ； ()3D三、填空(将正确答案填在题中横线上，每题3分, 共 21 分)1、设A 为三阶方阵，且2A =，则1(2)T A -= 1/162、设1212,,,,ααββγ都是3维行向量，且行列式112212122ααααββββγγγγ====，则12122ααββγ++=__16_____.3、设A 是4阶矩阵，若齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含有一个解向量，则AA *= O4、设矩阵A O D O B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若A 、B 可逆，则D 也可逆且1D -=11A O O B --⎛⎫ ⎪⎝⎭5、若方程组 1234234123423653414589x x x x x x x x x x x k -+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+-=⎩有解, 则 k = 76、设123(,1,1),(0,2,3),(1,2,1)k ααα===，则当k= 1/4 时，123,,ααα线性相关。

2009年4月线性代数试卷

全国2009年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．3阶行列式011101110||---=ij a 中元素21a 的代数余子式=21A （）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211a aa a A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=121112221121a a a a a a B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01101P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11012P ，则（） A ．B A P P =21B ．B A P P =12C ．B P AP =21D ．B P AP =123．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1B （） A ．11--C AB ．11--A CC ．ACD ．CA4．设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100010A ，则2A 的秩为（）A ．0B ．1C ．2D ．35．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（） A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7．设321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（） A ．2121,,αααα+ B ．133221,,αααααα+++ C ．2121,,αααα-D ．133221,,αααααα---8．若2阶矩阵A 相似于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3202B ，E 为2阶单位矩阵，则与A E -相似的是（）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4101B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4101C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4201D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛---42019．设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120240002A ，则3元二次型Ax x x x x f T =),,(321的规范形为（）A ．232221z z z ++B ．232221z z z -+C ．2221z z +D ．2221z z - 10．若3阶实对称矩阵)(ij a A =是正定矩阵，则A 的正惯性指数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．已知3阶行列式696364232333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=333231232221131211a a a a a a a a a _______________． 12．设3阶行列式3D 的第2列元素分别为3,2,1-，对应的代数余子式分别为1,2,3-，则=3D _______________．13．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0121A ，则=+-E A A 22_______________． 14．设A 为2阶矩阵，将A 的第2列的（2-）倍加到第1列得到⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ，则=A _____． 15．设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333220100A ，则=-1A _______________．16．设向量组)1,1,(1a =α，)1,2,1(2-=α，)2,1,1(3-=α线性相关，则数=a ___________．17．已知T x )1,0,1(1-=，T x )5,4,3(2=是3元非齐次线性方程组b Ax =的两个解向量，则对应齐次线性方程组0=Ax 有一个非零解向量=ξ_______________．18．设2阶实对称矩阵A 的特征值为2,1，它们对应的特征向量分别为T )1,1(1=α，T k ),1(2=α，则数=k ______________． 19．已知3阶矩阵A 的特征值为3,2,0-，且矩阵B 与A 相似，则=+||E B _______________．20．二次型232221321)()(),,(x x x x x x x f -+-=的矩阵=A _______________．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．已知3阶行列式=||ij a 4150231-x x 中元素12a 的代数余子式812=A ，求元素21a 的代数余子式21A 的值．22．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0111A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2011B ，矩阵X 满足X B AX =+，求X23．求向量组T )3,1,1,1(1=α，T )1,5,3,1(2--=α，T )4,1,2,3(3-=α，T )2,10,6,2(4--=α的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出．24．设3元齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321ax x x x ax x x x ax ，（1）确定当a 为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解．25．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=504313102B ，（1）判定B 是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若B 可与对角矩阵相似，求对角矩阵Λ和可逆矩阵P ，使Λ=-BP P 1．26．设3元二次型3221232221321222),,(x x x x x x x x x x f --++=，求正交变换Py x =，将二次型化为标准形．四、证明题（本题6分）27．已知A 是n 阶矩阵，且满足方程022=+A A ，证明A 的特征值只能是0或2-．。

08-09(1)线性代数A-参考答案与评分标准

广州大学2008-2009学年第一学期考试卷参考答案与评分标准课程：线性代数考试形式：闭卷考试一．填空题（每小题3分，共15分）1．行列式524210321--中（2，3）元素的代数余子式A 23的值为__-10__ 2．设A 是4阶方阵，A =-2，则*A -=___-8___3．向量组α1=(1,2,-1,1), α2=(2,0,3,0), α3=(-1,2,-4,1)的秩为__2__4．若α1，α2，α3都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，则A （3α1-5α2+2α3）=__0__.5．已知0=λ是方阵A 的一个特征值，则|A|= 0___二．单项选择题（每小题3分，共15分）1．设n 阶方阵A 中有n 2-n 个以上元素为零，则A 的值【 B 】A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．不能确定2．设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有【 D 】A ．ACB=EB ．CBA=EC ．BAC=ED ．BCA=E3．设3阶矩阶A=（α1，β，γ），B=（α2，β，γ），且A =2，B =-1，则B A += 【 A 】A ．4B ．2C ．1D ．-44．设A 是3阶可逆矩阵, A 的第2行乘以2为矩阵B ，则1-A 的【 C 】为1-BA ．第2列乘以2; B. 第2行乘以2;装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院系专业班级学号姓名C. 第2列乘以21; D. 第2行乘以21. 5．设A 为m ×n 矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b 有惟一解的充分必要条件是【 D 】A ．m=nB ．Ax=0只有零解C ．向量b 可由A 的列向量组线性表出D ．A 的列向量组线性无关，而增广矩阵A 的列向量组线性相关三．（本题8分）计算行列式3351110243152113------=D .解：331511204351213121-------=↔c c D 7216011206480213114125------=+-r r r r ……………………2分 7216064801120213132-----=↔r r 1510001080011202131242384----=-+r r r r ……………………………4分 402/50001080011202131344/5=---=+r r …………………………………………6分…………………………………………8分四．（本题8分）设矩阵3400430000200022A ⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求4A 解：记13443A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭22022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭2212343450434305A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭44145005A ⎛⎫=⎪⎝⎭………………………………………………3分22232202020222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭442642022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭………………………………………………6分4444141442264500000050000200022A A A A A ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭…………8分┋┋┋┋┋ 装 ┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院系专业班级学号姓名五．（本题10分）已知向量1110α-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1322α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2133α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7054α，（1）试判定1α，2α，3α是向量组1α，2α，3α，4α的一个最大无关组（2）将4α用1α，2α，3α线性表出解：（1）12341235(,,,)13100127A αααα-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭122334123501250013r r r r r ÷---⎛⎫⎪−−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………2分123233120401010013r r r r +---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………4分12(1)123412100601010013(,,,)r r r Bββββ-⨯-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪⎪⎝⎭= ………………………………………………6分由于()()3R A R B ==，且1β，2β，3β线性无关，所以1α，2α，3α是向量组1α，2α，3α，4α的一个最大无关组………………………………………………8分（2）由于对矩阵初等行变换，不改变列向量组的线性相关性所以412363αααα=++ …………… ……………………………10分六．（本题10分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A ，B A AB 2+=，求B 解：B A AB 2+=A B E A =-⇒)2( ……………………………………………2分021*********≠=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-E A …………………………………………4分所以1)2(--E A 存在，有A E A B 1)2(--=……………………………………6分()A E A 2-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321121011011330332⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++330110011011352310~23212r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+022200363301352310~1312r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷↔011100352310363301~)2(312r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011100321010330001~323133r r r r ………………………8分 ⇒A E A B 1)2(--==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011321330 ……………………………………………10分┋┋┋┋┋ 装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院系专业班级学号姓名七．（本题12分）求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=--+0377023520432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解解：对系数矩阵A 作初等行变换，变为行最简形矩阵，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------81014045701111~121327r r r r …………………………3分 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----000045701111~232r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----÷-00007/47/5107/37/201~)7(221r r r ……………………6分便得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=43243174757372x x x x x x ……………………………………………8分令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0143x x 及⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10，则对应有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛7/57/221x x 及⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7/47/3，即得基础解系 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=017/57/21ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=107/47/32ξ……………………………………………10分并由此写出通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=017/57/21c ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+107/47/32c ，),(21R c c ∈…………………………………12分八．（本题12分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00111100x A ，问x 为何值时，矩阵A 能对角化？解：λλλλλλλ---=---=-11)1(011110x E A ……………………………2分 )1()1(2+--=λλ得11-=λ，132==λλ ……………………………………………4分对应单根11=λ，可求得线性无关的特征向量恰有一个，故A 可对角化的充分必要条件是对应重根132==λλ，有两个线性无关的特征向量，即方程0)(=-x E A 有两个线性无关的解，亦即系数矩阵E A -的秩为1………6分由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-10101101)(x E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-000100101~x r ，……………………………8分要1)(=-E A R ，得01=+x ，即1-=x ………………………………10分因此，当1-=x 时，矩阵A 能对角化。

同济大学线性代数期末考试试题(多套)

证明向量组 b1, b2 , b3 , b4 线性无关．
铺
货
杂
料
资
习
同济大学课程考学核试卷（A 卷）
2009—20号10：学年第二学期
众一、(24 分) 填空与选择题，其中选择题均为单选题.
⎛6
1、
设
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 x
y 5⎞
公 0 微信 2
4 3
⎟ ⎟⎟⎠
，则
A
中元素
y
的代数余子式的值为
.
⎛1 0 0⎞
6 0
−11⎟⎟⎟⎠ 有两重特征值-1，则行列式 A − 5E =
.
5 、设 A 为 3× 4 阵，非齐次线性方程组 Ax = b 有解，其解向量组的秩为 2 ，则
R(A) =
.
⎛ 1 0 2⎞
6、
设矩阵
A
=
⎜ ⎜
k
3
3
⎟ ⎟
可对角化，则
k
=
.
⎜⎝ −1 0 4 ⎟⎠
时,推理“若 AB = O ，则 B = O ”可成
微立. （注：此题可多选）
(A). A 可逆
(B). A 为列满秩（即 A 的秩等于 A 的列
数）
(C). A 的列向量组线性无关
(D). A ≠ O
7、设矩阵 A, B 分别为 3 维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1, −2 为
(B) 对任一个α j (1≤ j ≤ s ) ，向量组α j ，β 2 ，L，β s 线性相关；
(C) 向量组α 1 ，α 2 ，L，α s 与向量组 β 1 ，β 2 ，L，β s 等价.

高等教育自学考试线性代数经管类真题2009年1月_真题-无答案

高等教育自学考试线性代数（经管类）真题2009年1月(总分100,考试时间150分钟)课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.2.3.4. 设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A，B）的列向量构成的向量组，则必有（）A. 若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性无关B. 若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性相关C. 若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性无关D. 若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性相关5. 设A为5阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含的解向量的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 56.7. 对非齐次线性方程组Am×nx=b，设秩（A）=r，则（）A. r=m时，方程组Ax=b有解B. r=n时，方程组Ax=b有唯一解C. m=n时，方程组Ax=b有唯一解D. r<n时，方程组Ax=b有无穷多解8.9.10.二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.22.23.24.25.26.四、证明题（本大题共1小题，6分）27.。

至诚理科线性代数试题09级A卷10级AB卷

至诚理科线性代数试题09级A卷10级AB卷福州大学至诚学院09级理工科线性代数(A)卷 20101106专业班姓名学号一、填空题（每小题 3 分，共 24 分）1、abac aebdcd de bfcfef---＝ . 2、设240A A E +-=，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，则1A E --（）= . 3、设,A B 为3阶方阵，3,2,A B =-=则132()T A B -=_________.4、若方程组??=+-=-+=-+020202z y x z y x z y x λλλ存在非零解，则正数λ= .5、若向量组123(1,2,2),(1,1,0),(6,1,4)αααλ===+线性相关，则λ= .6、设三阶方阵A 的三个特征值为2,3,0,则223A A E -+= .7、设矩阵2xy x ??与3101?? ?-??相似,则x = ,y = . 8、设二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的,则t 的取值范围是 .二、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）1、设A B 、为n 阶方阵，下列论断中不正确的是（）.(A)若A 可逆且AB O =，则B O =； (B)若A B 、中有一个不可逆，则AB 不可逆； (C)若A B 、可逆，则A B +可逆； (D)若A B 、可逆，则T A B 可逆2、若n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,则必有（）.()A ACB E = ()B BCA E = ()C CBA E = ()D BAC E = 3、设A 为n 阶矩阵，下列等式成立的为（）.()T T A AA A A = ()33B A A = 11()(3)3C A A --= ()(3)3T T D AA =4、,,A B C 为同阶矩阵，A 可逆，则下列命题正确的是（）. ()A 若0AB =，则0B = ()B 若BA BC =，则A C =()C 若AB CB =，则A C = ()D 若0BC =，则0B =或0C =5、设12,ηη是AX b =的解，则（）.12()0A AX ηη+=是的解1112()(1)0B k k AX ηη+-=是的解 12()C AX b ηη-=是的解1112()(1)D k k AX b ηη+-=是的解 6、设()n n ij a A ?=的秩为r ，则在A 的n 个行向量中（）.()A 必有r 个线性无关 ()B 任意r 个线性相关 ()C 任意r 个线性无关 ()D 必有r 个线性相关7、若向量组,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关，则（）.()A α必可由,,βγδ线性表示()B β必可由,,αγδ线性表示 ()C γ必可由,,αβδ线性表示()D δ必可由,,αβγ线性表示8、若向量组U 与向量组123(1,2,3,4),(2,3,4,5),(0,0,1,2)ααα===等价，则U 的秩为（）.()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 49、同阶方阵A 与B 相似的充要条件是（）.(A) 存在可逆阵B PAQ Q P =使,,； (B) 存在可逆阵BP P A P 1,-=使； (C) A 与B 有相同的特征值； (D) B A =10、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是它可对角化的（）.()A 充分条件 ()B 必要条件 ()C 充要条件 ()D 无关条件三、计算题（每小题 10分，共 20分）1、计算行列式：3111131111311113.2、求解矩阵方程AX B =，其中213122132A -?? ?=- ? ?-??，112025B -?? ?= ? ?-??.四、计算题（每小题 10 分，共 10 分）1、求解线性方程组123412341234101222x x x x x x x x x x x x ?-+-=?--+=--+=-?.五、计算题（每小题 10 分，共 20 分）1、求向量组1234(1,1,0,1),(0,1,1,2),(1,2,3,1),(2,2,2,2)ααααT T T T =-=-=-= 的秩和一个最大无关组，并用最大无关组表示其余向量.2、求211020413A -?? ?= ? ?-??的特征值与特征向量，并判定A 是否与对角矩阵相似.六、证明题（每小题 6 分，共 6 分）设1234,,,αααα线性无关，记112223334,,βααβααβαα=+=+=+，441βαα=-，证明4321,,,ββββ也线性无关.福州大学至诚学院10级理工科线性代数(A)卷 20111119专业班姓名学号一、填空题1、=+1112222b b a ab ab a .2、设2230A A E +-=，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，则14A E -+（）= . 3、设A 为3阶方阵，12A =则()1*23A A --=___ ______. 4、若12323123304050x kx x x x kx x x +-=??+=?--=?有非零解, 则k 应满足的条件为. 5、向量组),3,5(),2,1,3(),3,2,1(321λααα=-==线性无关的条件是≠λ . 6、设四阶方阵A 的四个特征值为1111,,,3456,则1A E --= .7、设矩阵A 与100020002-相似,则2A E += .8、已知二次型22212312132325448f x ax x x x x x x x =+++--的秩为2，则a = .二、单项选择题1、设,A B 均为n 阶方阵，以下命题正确的是（）()A 222()2A B A AB B -=-+ ()B 22()()A B A B A B -+=- ()C 2()()A E A E A E -=-+ ()D 222()AB A B =2、设A 为n 阶矩阵，下列等式成立的为（）.()T T A AA A A = ()33n B A A = 11()(3)3C A A --= ()(3)3T n TD A A =3、若12312,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式1231m αααβ=，1223n ααβα=，则32112()()αααββ+=.4、设向量组123:,,A ααα与向量组12:,B ββ等价，则必有（）()A 向量组B 线性无关 ()B 向量组A 的秩不大于向量组B 的秩 ()C 向量组A 线性相关()D 3α不能由112,,αββ线性表示5、设A 是n 阶方阵，则（）.()A A 必有n 个线性无关的特征向量； ()B A 必有n 个特征值 ()CA 没有n 个线性无关的特征向量； ()D A 没有n 个特征值三、计算题（每小题 10分，共 10分）1、计算行列式：1221304312107301----=D .四、计算题（每小题 10分，共 20分）1、设110011101A -?? ?=- ? ?-??，2AX A X =+，求X .2、设2221231213235224f x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，求a 的取值范围.五、计算题（每小题 10 分，共 10 分）1、当λ取何值时,线性方程组1232123123424x x x x x x x x x λλλ++=??-++=??-+=-?无解、有唯一解,有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.六、计算题（每小题 10 分，共 20 分）1、求下列矩阵列向量组的秩和一个最大无关组，并用其表示出其余列向量.A ：11221021512031311041??--??-??2、求142034043A ?? ?=- ? ???的特征值与特征向量，并判定A 是否与对角矩阵相似. 若相似，求出相似变换矩阵P ，使1P AP -为对角阵.七、证明题（每小题 6 分，共 6 分）若方阵A 满足2320A A E -+=,试证：方阵A 的特征值只能取12或.福州大学至诚学院10级理工科线性代数(B)卷 20120210专业班姓名学号一、填空题1、0001002003004000＝ .2、设210102011A ?? ?= ?，则12(4)(16)A E A E -+-=____________.3、设,A B 为3阶方阵，3,2,A B =-=则132()TA B -=_________.4、若=+-=++=++004202321321321x x x x x x x x ax 有非零解。

安徽建筑大学线性代数A-009标准答案

一、填空题（每小题3分，共15分）1、11332244a a a a 或11332442a a a a -；2、19； 3、()R A n <； 4、r ； 5、!n二、单项选择题（每小题3分，共 15分）1、A ；2、B ；3、B ；4、B ；5、D ．三、解答题 (本题11分)解：21222 1 220120 -1 0000101 -4 11041D ==-=-- ……………11分四、解答题 (本题11分)解：（1）32A B +=363020630420330042⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3831010372⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ …………… 3分（2）451210220AB ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，210432510BA -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ ∴261622330AB BA ⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪-⎝⎭ …………… 7分（3）121010451211210231100021010T A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………11分五、解答题 (本题14分)解：由方程组有无穷多解，得()(|)3R A R A b =<，因此其系数行列式11||112011aA a=-=-。

即1-=a 或4=a 。

…………………4分当1-=a 时，该方程组的增广矩阵1111(|)11211111A b --⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪--⎝⎭11012301020000⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭于是()(|)23R A R A b ==<，方程组有无穷多解。

分别求出其导出组的一个基础解系13122T-⎛⎫ ⎪⎝⎭，原方程组的一个特解()100T-，故1-=a 时，方程组有无穷多解，其通解为()13100122TTk -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， …………………9分当4=a 时增广矩阵1141(|)112114116A b -⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪-⎝⎭1141022000015-⎛⎫ ⎪⎪--⎪ ⎪⎝⎭，()2(|)3R A R A b =<=，此时方程组无解…………14分六、解答题 (本题13分)解：()1234511343113433354100488,,,,~2232000369334210051010ααααα----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----⎪ ⎪= ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭1134300488~0000000000--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， …………………6分所以()12345,,,,2R ααααα=， …………………9分任意两个不成比例的向量组均是12345,,,,ααααα的一个极大无关组。