0_1背包问题的遗传算法求解及其改进

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引言
0 近年来，背包问题吸引了许多理论研究人员和实际工作者对此问题做深入的研究，在理论上尽管该问题结构简单，但它却具有组合爆炸的性质，在实际应用中，许多工业问题可以用背包问题来描述，如资本预算、货物装载、资源分配和存储分配等都是典型的应用例子．所谓背包问题，是指从件不同价值，不同重n 量物品中，选择装入背包的物品，要求在不超过背包承载重量的前提下，使装入背包的物品总价值最大．
解决背包问题的方法可分为优化算法和启发式算法．优化算法包括穷举法，动态规划法，解析法等，0-1这些方法可以找到最优解，但是只适用于小规模问题，不过在一定的条件下，将它们混合使用也能取得非常好的效果；启发式算法包括贪心算法，遗传算法等，一般用于求解更为复杂的问题．解决背包问题的关键在于约束条件的处理，目前一般采用惩罚函数的方法处理约束条件，该方法当问题规模较大时，尽管可行，但搜索效率很低，有时甚至得到的结果比一般的启发式算法还要差．因此，本文提出了一种基于贪心算法的混合遗传算法来求解背包问题．
0-1背包问题的数学模型
1 背包问题是一个典型的组合优化问题，且为完全问题，它实际上是一个规划问题．该问题可以描
NP 0-1述为：假设有个重量为，价值为，的物品要装入最大容纳重量为的背包中，要求在
不超过背包承载重量的前提下使背包的物品总价值最大．如果物品装入背包，则令，若物品不装入
背包，则令．其数学模型表示如下：
遗传算法
2 遗传算法是模拟自然界的生物演化过程而发展起来的问题求解策略和方法．它拥有多种编码技术来表示复杂的结构，并通过一组编码表示进行简单的遗传操作和优胜劣汰的自然选择来指导学习和确定搜索方向．遗传算法的一般步骤为：
背包问题的遗传算法求解及其改进
0-1黄娟
（兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州）
730070摘要： 背包问题是一个典型的组合优化问题，且为完全问题．目前常用的方法有贪心算法，动态
0-1NP 规划，回溯法等．本文探讨了一种基于贪心算法的混合遗传算法求解背包问题的方法，并在实验中获得了更0-1佳近似解．
关键词：背包问题；贪心算法；遗传算法
0-1中图分类号：文献标识码：文章编号：－（）－－O245 A 16720520201002001303
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收稿日期：2009-10-13
作者简介：黄娟（—），女，甘肃陇西人，兰州交通大学硕士研究生，研究方向：算法分析与软件设计．1983第卷第期（）河西学院学报（）
2622010 Vol.26 No.22010n i w i p (1,2,,)i n =…C i 1i x =i 0i x =1max ,
n i i i p x =∑..s t 1,n
i i i w x C =≤∑{}0,1,(1,2,,).
i x i n ∈=…
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①模型参数取值范围内的编码；
②初始化过程，即随机产生个染色体作为初始种群；n ③构造适应度函数．背包问题的适应度函数通常就是目标函数；
④选择操作．根据某种算法从种群中挑选个体作为遗传操作的父个体；
⑤交叉操作．按一定的概率对父个体实施交叉操作产生新一代子个体；
⑥变异操作．按一定的概率对父个体的一个或一些基因实施变异操作，产生新个体；
⑦经过选择、交叉和变异操作，得到一代新的种群．重复④，⑤，⑥，直到规定的遗传代数终止．
在众多的近似算法中，遗传算法是解决背包问题的一个较好算法：
①在求解背包问题时，由于遗传算法的进化特性，它在解的搜索中不需要了解背包问题的内在性质，遗传算法可以处理任意形式的目标函数和约束，无论是线性的还是非线性的，离散的还是连续的，甚至是混合的搜索空间．
②遗传算法在选择、交叉和变异的过程中，都存在对每一个体进行处理的可能．若遗传算法每一代对群
体规模为的个体进行操作，实际上处理了大约个模式，具有很高的并行性，因而具有显著的搜索效率．
③遗传算法对于各种特殊问题可以提供极大的灵活性来混合构造领域独立的启发式，从而保证算法的有效性．
④遗传算法的基本思想简单，运行和实现步骤规范，便于具体使用．
混合遗传算法
3 传统算法在求解背包问题中存在的问题
3.1 解决背包问题的传统方法主要有：解析法、穷举法、贪心算法．
解析法通常是通过求解目标函数梯度为零的一组非线性方程来进行搜索的．一般而言，若目标函数连续可微，解的空间方程比较简单，解析法还是可用的．但是，若方程的变量有几十或几百个时，它就为能为力了．
穷举法，即在一个连续有限搜索空间或离散无限搜索空间中，计算空间中每个点的目标函数值，且每次计算一个．显然，这种方法效率太低而鲁棒性不强．许多实际问题中所对应的搜索空间很大，不允许一点一点地慢慢求解．
贪心算法是指从问题的初始状态出发，通过若干次的贪心选择而得出最优值（或较优解）的一种解题方法．贪心算法总是做出在当前时刻看起来最优的策略，即希望通过局部最优决策导致问题的全局最优解．这种启发式策略并不总是产生问题的最优解，比如在求背包问题时可获得最优解，而在求背包问题时只能求0-1得近似解，但难以求得最优解．
混合遗传算法
3.2 对于背包问题，可以用贪心算法求解，先将物件价值密度的值按降序排列，然后依次将物件放入背
包内，直至超出背包最大容纳重量为止．这种算法的时间复杂度要比递归回溯法小得多，但用这种方法只能得到近似最优解．可以将贪心算法与遗传算法结合起来得到混合遗传算法：先用贪心算法生成问题的贪心解，然后在遗传算法的变异过程中，让每一代中最差适应度的个体无条件的变为此贪心解．实验证明，使用混合遗传算法要比单纯使用遗传算法或单纯使用贪心算法所得的平均最优解好的多．其算法描述如下：
⑴使用贪心算法求得贪心解作为第代中的个个体；
01⑵随机产生个～（m 02n
～）间的整数其中为物件个数，为种群规模，将其变为二进制表示其 1( )(中第位为表示第件物件被选择，若为，则表示第件物件未被选择；
1 0 )⑶计算群体中各个个体的适应值，其计算方法为：计算每个个体的价值，计算每个个体的重量； （背包所能容纳的重量）if
此个体的适应度所有物品的重量；
else 此个体的适应度背包所能容纳的重量所有物品的重量（其中为惩罚系数）．
⑷将以上个体作为第代，记录此代最高适应值的个体为当前最高适应度个体；
0⑸当此代适应值不满足最高要求并且当前代数小于初始化设定最大值时，进行①～⑥循环，否则，程序黄娟：背包问题的遗传算法求解及其改进
0-1n 3()O n i i p s n m i i i i p i w i w ≤i p =+(i p k =+∗i w −)+k
- 15 -进入⑹；
①选择：按照每个个体的适应值得到它的选择概率这里假设这个种群的适应值范围为～，利用(12000)轮盘赌方法，即随机产生个～之间的整数，看此数落在那个个体的适应度范围内，则将那个个体选112000择到下一代，从而产生下一代被选择的个体群；
②杂交：以概率随机每次选择个个体进行杂交，即随机产生个～之间的整数，（假定
221 ），将个个体从第位到位进行杂交；
2 ③变异：以概率每次选择一个当前个体群中的适应值最差的个体进行变异，即首先在当前个体群中找
出适应值最差的个体，然后，随机产生个～之间的整数，在此个体的第位上进行变异，最后，将新11n 产生的个体的适应值与原个体的适应值相比较，若有提高则此次个体变异成功，原个体被变异，否则，重新随机选择变异位，如试次，若始终不能高于原个体的适应值，则保留原个体；
4④计算此代的适应值，方法同⑶；
⑤找适应值最差的个体，将其无条件改成贪心解；
⑥用此代最高适应度的个体适应值与上次所记录的最高适应度的适应值比较，若比上一次好，则将此个体记录为当前最高适应度个体．
⑹结束后，打印最佳解的选择个数及所选物品的总价格数和总重量数．
结果分析
4 结合实例，将贪心算法和混合遗传算法进行比较（见表一），结果表明利用混合遗传算法求解背包问0-1题，其所得解跟最优解之间的平均误差在～之间，最大误差为，所以混合遗传算法优于单纯的贪2%3%3%心算法和标准遗传算法．
表一实验误差
改进的混合遗传算法增强了种群的进化能力，并在一定程度上克服了早熟现象．由于遗传算法其自身的并行性，若在并行机上运行遗传算法将可增大群体的规模，大大提高算法的效率并得到更优解，并行遗传算法也将是今后遗传算法研究的主要方向之一．
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c p 1k n 2k 21k k >1k 2k m p k k 物件数贪心算法%混合遗传算法%
40 13.75 4.75
6013.75 4.01
708.62 3.25
80 2.56 1.37
95 1.800.72
110 1.530.56
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0.41责任编辑：张飞羽[]。