91搜学网整理成都实验外国语高三11月月考文科数学试卷(带解析)

…装………___姓名：_____…装………绝密★启用前91搜学网整理成都实验外国语高三11月月考文科数学试卷（带解析）试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释）1．若集合}1|{2<=x x M ，N ＝{x|y ，则N M ＝（ ） A ．N B ．M C ．Φ D ．{|01}x x << 2．下列结论正确的是（ ） A ．若向量，则存在唯一的实数λ使得；B ．已知向量为非零向量，则“的夹角为钝角”的充要条件是“＜0”；C ．；D ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>3．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则（ ）A ．6a =B ．5a =C ．4a =D ．7a =4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15S 为一确定常数，下列各式也为确定常数的是（ ）A ．213aa + B．213a a C ．1815a a a ++ D ．1815a a a5．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（ ）A.3πB.π4C.π2D.π25 6．下列曲线中焦点坐标为)0,1(-的是（ ）A ．223312x y -= B ．y ＝－4x 2 C ．22143x y -= D ．22123x y += 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所的 θ角的取值范围是（ ）俯视图正视图侧视图A.B.C.D.8．如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，F 在线段CD （不在端点处）上，设AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ，AF xa yb =+u u u r r r ，则14x y+的最小值为（ ）A ．3 C. 9 D. 9．设函数()[](),01,0x x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.3]＝－2，[1.3]＝1，则函数y ＝f （x ）－14x －14不同零点的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数32115()33212g x x x x =-+-，则122013(()......()201420142014g g g +++＝（ ）A . 2011B . 2012C . 2013D . 2014 11．直线2202ax by a b x y +++=+=与圆的位置关系为第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）12．设复数1ii2ix y-=++，其中,x y∈R，则x y+=______．13．已知二次函数4)(2+-=axxxf，若)1(+xf是偶函数，则实数a的值为__________ 14．动点(,)P a b在不等式组20x yx yy+-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则31a bwa+-=-的取值范围是 . (,1][3,)-∞-⋃+∞15．若数列{}na满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有n T na a+=成立，则称数列{}na为周期数列，周期为T. 已知数列{}na满足1(0)a mm=>，11, 1=1, 0 1.n nnnna aaaa+->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，现给出以下命题：①若34a=，则m可以取3个不同的值②若m={}n a是周期为3的数列③T∀∈*N且2T≥，存在1m>，{}n a是周期为T的数列④Qm∃∈且2m≥，数列{}n a是周期数列.其中所有真命题的序号是 .三、解答题（题型注释）16．已知函数()21()2cos2f x x x x R=--∈（1）当5,1212xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()xf取得最大值和最小值时x的值；（2）设锐角△ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a＝1，c∈N*，若向量()1,sinm A=u r与向量()2,sinn B=r平行，求c的值.…………17．在数列{}n a 中，11=a ，)(21......321321*+∈+=++++N n a n na a a a n n （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）若存在*n N ∈，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值.18．某校高三年级文科学生600名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生（该班共50名同学），并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表： （1）写出a 、b 的值；（2）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]中选两位同学，来帮助成绩在[45，60）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分， 乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率．19．如图，在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、CD 、1BB 、11C D 的中点．（1）求点P 到平面MNQ 的距离；（2）求直线PN 与平面MPQ 所成角的正弦值．20．设椭圆E 中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为4，点Q （2. （1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线L 交椭圆E 于A 、B 两点，且，求△OAB 的面积的取值范围.（3）过M （11,y x ）的直线1l :N （22,y x ）的直线2l :于G，H两点，求−→−OG·−→−OH的值.21．已知函数f（x）＝a x＋x2－xlna（a＞0，a≠1）．（1）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；（2）若函数y＝|f（x）－t|－1有三个零点，求t的值；（3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f（x1）－f（x2）|≥e－1，试求a的取值范围．参考答案1．D【解析】由已知，M ＝{x|－1＜x ＜1}，N ＝{x|x ＞0} 故M ∩N ＝{x|0＜x ＜1}，选D 考点：集合的运算 2．C【解析】对于A ，当时，满足条件的λ不存在；对于B ，当夹角为π时，也有＜0，故充要条件不成立；对于C ，满足“否命题是条件和结论同时否定”，故正确；对于D ，若2:,10p x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥，故D 错. 考点：命题，充要条件 3．C【解析】第一次，S ＝1，k ＝1，进入循环，S ＝3第二次，k ＝2，再进入循环，S ＝351263+=第三次，k ＝3，再进入循环，S ＝512131212+=第四次，k ＝4，再进入循环，S ＝10892111220605+==第五次，k ＝5，跳出循环，故a ＝4 考点：算法，程序框图 4．C【解析】等差数列中，S 15＝15a 8＝15（a 1＋7d ） a 2＋a 13＝2a 1＋13d ，a 2a 13＝（a 1＋d ）（a 1＋12d ），a 1＋a 8＋a 15＝3a 1＋21d ＝3（a 1＋7d ），a 1＋a 8＋a 15＝a 1（a 1＋7d ）（a 1＋14d ），其中只有a 1＋a 8＋a 15＝155S 为定值. 考点：等差数列性质 5．A1的正方体截去四个角后余下的几何体，其外接球与正方体的外接球相同，故其直径为2R S＝4πR 2＝（2R ）2π＝3π.选A 考点：三视图，球的表面积 6．A【解析】双曲线223312x y -=中，a 2＝23，b 2＝13，故c2＝a2＋b2＝1，一个焦点为（－1，0），符合题意；抛物线y ＝－4x 2中，焦点为（0，－116），不符合题意；双曲线22143x y -=0），不符合题意；椭圆22123x y +=中，焦点为（0，±1），不符合题意.故选A【知识点】圆锥曲线的性质 7．D【解析】如图，连结CD'，则异面直线CP 与BA'所成的角θ 等于∠D'CP ，由图可知，当P 点与A 点重合时，θ＝3π 当P 点无限接近D'点时，θ趋近于0.由于是异面直线，故θ≠0. 选D考点：空间几何体，异面直线所成角 8．D【解析】因为D 是AB 中点，故2AF xa yb xAD yAC =+=+u u u r r r u u u r u u u r且x ＞0，y ＞0因为C 、F 、D 三点共线，故2x ＋y ＝1于是14148()(2)66y x x y x y x y x y+=++=++≥+选D考点：平面向量，基本不等式 9．B【解析】函数f （x ）的图象如图所示 并在同一坐标系中画出y ＝14x ＋14的图象两者的公共点个数即为函数y ＝f （x ）－14x －14不同零点的个数 选B考点：函数的零点 10．C【解析】由已知，g'（x ）＝x 2－x ＋3，g''（x ）＝2x －1 令g''（x ）＝0，得x ＝12，且g （12）＝32111115()()()3()3222212g x =-+-＝1可知，函数g （x ）的对称中心为（12，1） 根据函数图象的对称性可得：g （x ）＋g （1－x ）＝2 记S ＝122013()()......()201420142014g g g +++ 则S ＝201320121()()......()201420142014g g g +++ 相加得2S ＝2013×2，故S ＝2013，选C考点：利用导数研究函数性质，函数值求和 11．相交或相切【解析】原点到直线0ax by a b +++=的距离为d因为（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2≤2（a 2＋b 2），所以d即直线与圆相交或相切.考点：直线与圆的位置关系，基本不等式 12．－25【解析】1(1)(2)132(2)(2)5i i i ii i i ----==++- 故x ＋y ＝132555-=- 考点：复数的代数运算13．2【解析】因为f （x ＋1）是偶函数，图象关于y 轴对称，故f （x ）的图象关于x ＝1对称，即2a＝1，故a ＝2【知识点】函数的奇偶性，二次函数的对称轴 14．（－∞，－1]∪[3，＋∞） 【解析】画出可行域如图32111a b b w a a +--==+--， 其中k ＝21b a --表示点P （1，2）与可行域内点连线的斜率由图可知，k 的范围是（－∞，－2]∪[2，＋∞） 故w 的取值范围是（－∞，－1]∪[3，＋∞） 考点：简单的线性规划 15．①②③【解析】对于①，根据条件，当m ＞2时，有a 2＝m －1＞1，a 3＝m －2，于是m －2＝4，有m ＝6满足条件；当m ∈（1，2]时，有a 2＝m －1∈（0，1]，则a 3＝11m -，于是11m -＝4，m ＝54满足条件；若m ＝1，则a n ＝1恒成立，不可能有a 3＝4，当m ∈（0，1）时，有a 2＝1m ＞1，a 3＝1m －1，于是1m －1＝4，m ＝15满足条件.故①正确.对于②，逐个推导可得：a 1a 21，a 31=，a 4是周期为3的周期数列.故②正确对于③，要想使得{a n }是周期为T 的周期数列，因为m ＞1，故只需使得a T ＝1m ，则a T ＋1＝m ，而m ＞1，可使得a T ＝m －（T －1），即m －（T －1）＝1m ，于是m 2－（T －1）m －1＝0，该关于m 的方程两根之积为－1，必为异号两根，而根之和为T －1≥1，故其正根m 必定大于1，满足条件，故③正确；对于④，仿照③可知，当T ＝1时，m ＝1不满足条件当T ∈N *且T ≥2时，若m 为整数，则必定在若干项以后出现a n ＝1，之后成为常数数列，不合题意，故m 为非整数，且m＝=（舍负），要使得m ∈Q必为有理数（且为整数），令其为n ，且T －1＋n 不是偶数，否则m 为整数，即T ＋n 是偶数，所以，T 与n 同奇或同偶由T 2－2T ＋5＝n 2知，T 与n 不能同为偶数，当T 为奇数时，T 2是奇数，等式左边是偶数，这与n 2为奇数矛盾 综上，这样的条件不可能满足.故④错误 考点：分段数列，周期性，数列综合问题 16．（1）x ＝3π时取最大值，x ＝－12π时取最小值；（2）c ＝2【解析】试题分析：（1）利用降幂公式和辅助角公式，化简f （x ），对应角的范围，结合f（x ）的单调性，可求出f （x ）的范围；（2）利用两向量平行，得到sinA 与sinB 的关系，转化为a 与b 的关系，再利用余弦定理求出c 的范围，结合c ∈N *，得到c 的值. 试题解析：（1）f （x－1cos 2122x +-sin2x －12cos2x －1 ＝sin （2x －6π）－1 3分 ∵5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴－3π≤2x －6π≤23π，sin （2x －6π）≤1 ..4分所以当sin （2x －6π）＝1，即2x －6π＝2π，得x ＝3π，f （x ）取得最大值； 当sin （2x －6π2x －6π＝－3π，得x ＝－12π，f （x ）取得最小值； 6分（2）因为向量()A m sin ,1=与向量()B n sin ,2=平行， 所以sinB ＝2sinA ，即b ＝2a ，a ＝1，b ＝2 .8分由余弦定理c 2＝1＋4－2×1×2cosC ＝5－4cosC ， ∴1＜c 2＜5，即1＜c又∵c ∈N *，∴c ＝2，经检验符合三角形要求 ..12分 考点：三角函数恒等变形，平面向量，余弦定理17．（1）21,123,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩；（2）13【解析】试题分析：（1）已知条件左边可做一个新数列的前n 项和，利用变更序号作差，即可求得a n ＋1与a n 的关系，从而求出通项公式，注意n ＝1情况的讨论；（2）由已知，存在n 使得λ≥1n a n +，则只需找到1n an +的最小值即可. 试题解析：（1）由1231123 (2)n n n a a a na a ++++++=n ≥2时，123123......(1)2n n na a a n a a -++++-=两式作差得：1122n n n n nna a a ++=- 得：（n ＋1）a n ＋1＝3na n （n ≥2）即数列{na n }从第二项起是公比为3的等比数列，且a 1＝1，a 2＝1，于是2a 2＝2故n ≥2时，na n ＝2·3n －2于是21,123,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ 6分（2）()1,1n n a a n n λλ≤+⇔≥+由（1）可知当2n ≥时，()223,11n n a n n n -⋅=++ 设()()()*12,23nn n f n n n N +=≥∈⋅ 8分 则()()()()()()()12111110,2231n n n f n f n n f n f n -+-+-=<∴>≥⋅+ 又()1123f =及1122a =，所以所求实数λ的最小值为1312分 考点：数列的通项与求和，不等式 18．（1）6、0.12；（2）120；（3）21【解析】试题分析：（1）根据样本总数为50可以求出a ，根据频率总和为1可以求出b ；（2）将样本频数作为频率，结合学生总数可得到120分以上学生的人数；（3）逐一列出可能的分组情况，其中甲乙在一个小组的情况数除以总数就是所求概率 试题解析：（1）6、0.12 2分（2）成绩在120分以上的有6＋4＝10人，所以估计该校文科生数学成绩在120分以上的学生有：1206005010=⨯ 人. 6分 （3）[45，60）内有2人，记为甲、A ．[135，150]内有4人，记为乙、B 、C 、D ． 法一：“二帮一”小组有以下6种分组办法：（甲乙B ，ACD ）、（甲乙C ，ABD ）、（甲乙D ，ABC ）、（甲BC ，A 乙D ）、（甲BD ，A 乙C ）、（甲CD ，A 乙B ）． 其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：（甲乙B ，ACD ）、（甲乙C ，ABD ）、（甲乙D ，ABC ）．所以甲、乙分到同一组的概率为2163==P . 12分 （法二：乙可能和甲或和A 分到同一组，且等可能，故甲、乙分到同一组的概率为21） 考点：样本，频数，频率，古典概型19．（1；（2 【解析】试题分析：（1）求点到平面距离，关键是过该点作出平面的垂线（段），然后构造三角形计算，也可以利用等面积或者等体积方法计算，还可以利用空间向量；（2）直线与平面所成角通常通过直线在平面上的射影构造三角形计算，也可以利用平面的法向量计算. 试题解析：方法1（几何法）：∵1BB 平面MNQ ，∴点P 到平面MNQ 的距离等于点B 到平面MNQ 的距离．设BD MN E =I ．∵平面MNQ ⊥平面ABCD ，∴由BE MN ⊥得BE ⊥平面MNQ ，∴点P 到平面MNQ 的距离为34BE BD =． 6分（2）设点N 到平面MNQ 的距离为d ．可以求得MP PQ QM ==，∴22)MPQ S ∆==．212MNQ S MN NQ ∆=⋅=．由N MPQ P MNQ V V --=得1133MPQ MNQ S d S ∆∆⋅=，∴d ．设直线PN 与平面MPQ 所成的角为θ，则s i n d PN θ=PN 与平面MPQ ． 12分 方法2（空间向量方法） 建立如图所示的空间直角坐标系．（1）(,,)(0,0,)(,,0)DB a a a a a a =-=u u u r是平面MNQ 的一个法向量．∵(,,)(0,,0)(,,)2222a a a a QP a a a =-=u u u r ，∴点P 到平面MNQ的距离||||QP DB d DB ⋅==uu u r uu u ruu u r ． （2）设平面MPQ 的一个法向量为(,,1)x y =n ．(,0,)(,,)(,,)2222a a a aPM a a a a =-=--u u u r ．由0,0PM QP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uu u rn n 得0,220,22a a x ay a a ax y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩得1,1,x y =-⎧⎨=⎩ ∴(1,1,1)=-n ．(0,,)(,,)(,,)2222a a a aPN a a a a =-=--u u u r ．cos ,PN <>=n uuu r．设直线PN 与平面MPQ 所成的角为θ，则sin cos()|cos ,|2PN πθθ=-=<>=n uuu r ．考点：空间几何体，线面关系20．（1（2（3）－8.【解析】试题分析：（1）由已知b ＝2，再由点Q 在曲线上，可求得a 的值；（2）设直线方程为y ＝kx ＋m ，根据，可得k 与m 的关系，然后用m 和k 表示出三角形面积，利用均值定理可求其范围，注意不要漏掉斜率不存在的情况；（3）利用l 1、l 2的交点找出x 0，y 0的关系，然后将表示为x 0，y 0的表达式求值.解析：（1）因为椭圆a>b>0）过M （2，2b ＝4故可求得b ＝2，a ＝椭圆E分（2）设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线L 斜率存在时设方程为y kx m =+，得222()8x kx m ++=，即222(12)4280k x kmx m +++-=，则△＝222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>， 即22840k m -+>（*），要使OA OB ⊥u u r u u u r ，需使12120x x y y +=，即 所以223880m k --=，①将它代入（*）式可得2[0,)k ∈+∞ P 到L当0k ≠时当0k=时，当AB 的斜率不存在时，，综上分（3）点P （00,y x ）在直线1l :和2l ：故点M （11,y x ）N （22,y x ）在直线 故直线MN设G ，H 分别是直线MN 与椭圆准线，4±=x 的交点 和4-=x 得G （－4和4=x 得H （4故−→−OG ·−→−OH ＝－16又P （00,y x ）在椭圆E故20208324y x -=−→−OG ·−→−OH ＝－168 13分考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量 21．（1）见解析；（2）t ＝2；（3）[)10,,a e e⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：（1）通过f '（x ）≥0（a ＞0）恒成立可证；（2）要使得函数y ＝|f （x ）－t|－1有三个零点，只需其极大值大于0，而极小值小于0即可；（3）要满足题意，只需在x ∈[－1，1]时函数的最大值与最小值之差不小于e －1即可. 解析：（1）()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x a a >->，所以()0f x '>， 故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． 4分 （2）当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增， 故()0f x '=有唯一解0x =．所以,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示：又函数|()|1y f x t =--有三个零点，所以方程()1f x t =±有三个根， 而11t t +>-，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t =． 10分 （3）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1]x ∈-时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-． 由（2）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，所以当[1,1]x ∈-时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-． 而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a a--=+--++=--， 记1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t'=+-=-≥（当1t =时取等号）， 所以1()2ln g t t t t=--在(0,)t ∈+∞上单调递增．而(1)0g =，故当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <．即当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <-．①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥；②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e--≥-⇒+≥-⇒<≤． 综上可知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦． 14分考点：利用导数研究函数性质，函数的单调性，零点，极值，不等式。